Escola de Administração Fazendária – ESAF

Tema: Ajuste Fiscal e Dívida Pública

SubTema: Ajuste Fiscal e Equilíbrio Macroeconômico

Título: MODELO DE PREVISÃO PARA ARRECADAÇÃO TRIBUTÁRIA

i

SUMÁRIO

1 - INTRODUÇÃO 1

2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 6

2.1 - SÉRIES TEMPORAIS 6

2.1.1 - Estacionariedade 72.1.2 - Função de autocorrelação 82.1.3 - Operador de diferença e operador de defasagem 102.1.4 - O modelo auto-regressivo (AR) 11

2.1.4.1 - A função de autocorrelação parcial (PACF) 132.1.5 - O modelo de médias móveis (MA) 152.1.6 - O modelo auto-regressivo de médias móveis (ARMA) 162.1.7 - O modelo auto-regressivo integrado de médias móveis (ARIMA) 172.1.8 - O modelo sazonal auto-regressivo integrado de médias móveis (SARIMA)

172.2- MÉTODOS DE PREVISÃO 19

2.2.1 - Alisamento exponencial 202.2.2 - Método de Box-Jenkins 24

2.2.2.1 - Identificação 252.2.2.2 - Estimação 292.2.2.3 - Verificação de diagnóstico 30

2.3 - Métodos de comparação de previsão 31

2.4 - Softwares estatísticos 33

2.4.1 - O programa R 332.4.2 - O programa ITSM2000 33

3 - ANÁLISE DO MÉTODO DE PREVISÃO UTILIZADO PELA SECRETARIA DA

RECEITA FEDERAL (SRF) 35

3.1 - Descrição do método de indicadores 35

3.2 - Resultados 37

3.3 - Análise econométrica 41

4 - ANÁLISE E PREVISÃO DA SÉRIE TEMPORAL DO IMPOSTO SOBRE A

RENDA (IR) 43

4.1 - Considerações gerais 43

ii

4.2 - Análise exploratória 44

4.3 - Modelagem e previsão 50

4.3.1 - Alisamento exponencial 504.3.2 - Método Box-Jenkins 52

5 - DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 71

5.1 - Comparação de resultados 71

5.2 - Escolha do método de previsão 77

5.3 - Escolha de um modelo SARIMA 79

5.4 - Resultados da previsão para outros impostos 80

5.5 - Previsões com horizonte reduzido 84

6 - CONCLUSÃO 88

7 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 91

APÊNDICE A 93

APÊNDICE B 95

1

1 - INTRODUÇÃO

Uma das finalidades da Secretaria da Receita Federal (SRF), estabelecida em

seu Regimento Interno pela Portaria nº 227, de 03 de março de 1998, é a “de

realizar a previsão, o acompanhamento, a análise e o controle das receitas sob sua

administração, assim como a de coordenar e consolidar as previsões das demais

receitas federais, para subsidiar a proposta orçamentária da União”. Além de

expresso no Regimento Interno, a atividade de previsão de receitas públicas é um

dos requisitos essenciais da Responsabilidade na Gestão Fiscal, instituída pela

denominada Lei de Responsabilidade Fiscal (Lei Complementar nº 101, de 04 de

maio de 2000, artigo 11).

Dentro desse contexto institucional, a atividade de previsão consiste em

produzir estimativas da arrecadação de todos os tributos e contribuições

administrados pela SRF e demais receitas federais para o exercício seguinte. Então,

pode-se ter como objetivos básicos da atividade de previsão da arrecadação

tributária federal a de constituir-se em um instrumento gerencial aos administradores

e a de subsidiar a elaboração da proposta do Orçamento Geral da União.

Dessa maneira, a previsão da arrecadação dos tributos federais é uma

atividade que exerce influência na atividade econômica do país e não pode ser

relegada a uma atividade meramente cumpridora de exigências legais. Por isso, a

atividade de previsão dos tributos deve possuir características que façam dela uma

ferramenta segura de apoio para a tomada de decisões futura dos policymakers,

2

como planos de investimentos governamentais e planejamento de políticas públicas

de longo prazo. Assim, as previsões devem caracterizar-se pela precisão ou

acurácia de seus resultados, pela simplicidade dos métodos empregados e,

sobretudo, pela confiabilidade estatística dos modelos empregados para gerar as

previsões.

Em vista disso, o presente trabalho tem por objetivo principal desenvolver um

método de previsão baseado em modelos estatísticos e econométricos para a

previsão das receitas tributárias federais. Secundariamente, o trabalho mostrará que

o método de previsão utilizado atualmente no âmbito da Secretaria, denominado

método de indicadores, trata-se de uma prática, embora intuitiva,

econometricamente limitada.

Para cumprir os objetivos, analisou-se o poder preditivo do método de

indicadores e comparou-o a alguns métodos de previsão existentes, como

alisamento exponencial e modelos ARIMA (metodologia Box-Jenkins). A análise

detalhada dos procedimentos foi efetuada para a série temporal da arrecadação

agregada do Imposto sobre a Renda (IR) de julho de 1994 a junho de 1999, com os

meses do ano de 2000 servindo como parâmetros de comparação para as previsões

geradas. Foram estimadas também as previsões para os Impostos de Renda das

Pessoas Físicas e Jurídicas e o Imposto de Renda Retido na Fonte - Rendimentos

do Trabalho.

Esta dissertação encontra-se organizada em três partes principais: uma

revisão bibliográfica que aborda os conceitos básicos de séries temporais e os

3

softwares utilizados nos cálculos; a apresentação dos resultados obtidos para a

previsão dos valores futuros da série do IR para o ano de 2000 pelos métodos dos

indicadores, pelo método de alisamento exponencial e pelo método de Box-Jenkins;

e a discussão sobre os resultados obtidos.

A revisão bibliográfica compreende o estudo dos conceitos básicos de séries

temporais, buscando apresentá-los de forma simples e didática, para que esses

conceitos pudessem ser aplicados no embasamento teórico das metodologias de

previsão. Além disso, os softwares, R para Windows e ITSM2000 para Windows,

também foram objeto de abordagem detalhada.

Os resultados são apresentados por meio de gráficos e tabelas. A

comparação dos resultados se dá na parte da discussão, onde os resultados para os

três métodos são analisados detidamente e seus desempenhos preditivos colocados

à prova. Nessa parte, uma metodologia de previsão é indicada como satisfatória

para gerar as previsões dos tributos federais administrados pela Receita Federal.

A continuação desta dissertação está organizada em mais 5 capítulos: revisão

bibliográfica, análise do método dos indicadores, análise e previsão do IR, discussão

dos resultados e conclusão.

No capítulo 2 é realizado um resumo dos principais conceitos sobre séries

temporais, que envolvem a caracterização da estacionariedade de uma série,

funções de autocorrelação e autocorrelação parcial, modelos auto-regressivos, de

médias móveis e sua combinação, modelos integrados e modelos sazonais. Em

4

seguida, faz-se uma apresentação do método de previsão por alisamento

exponencial, mostrando-se os algoritmo de Holt-Winters sazonal aditivo e

multiplicativo, e da metodologia de Box-Jenkins, apresentando-se as três etapas do

ciclo iterativo que a compõe. A seguir, mostram-se os métodos mais utilizados para

a comparação dos resultados de previsão, os chamados índices de acurácia ou

precisão, e uma medida de acurácia, o MSE, é escolhida. Conclui-se o capítulo com

uma apresentação dos programas estatísticos empregados nesta dissertação, o R

para Windows e o ITSM2000 para Windows.

No capítulo 3 é feita uma análise dos métodos dos indicadores com a

descrição do método, a apresentação dos resultados das previsões geradas para 12

meses do ano de 2000 para os impostos de Renda agregado, o imposto de renda

sobre Pessoas Físicas e Jurídicas e o imposto de Renda Retido na Fonte -

Rendimentos sobre o Trabalho. A seguir, uma análise econométrica é empregada no

método para se determinar a confiança estatística das previsões geradas pelo

método utilizado pela Receita Federal.

No capítulo 4 é efetuada uma análise exploratória da série do IR agregado e

possíveis valores outliers são considerados. Ressalta-se que por causa dos outliers

6 diferentes séries do IR serão analisadas. Em seguida, são geradas previsões para

a série do IR pelos métodos de alisamento exponencial e Box-Jenkins. Todas as

etapas da metodologia de Box-Jenkins são explicadas e possíveis modelos são

escolhidos por meio de um critério de seleção de modelos, o BIC. Os modelos

escolhidos são testados pelos métodos de diagnóstico disponíveis no programa R.

5

No capítulo 5 os resultados obtidos nos capítulos 3 e 4 são comparados

utilizando os valores do BIC e do MSE. A seguir, faz-se uma escolha do método com

melhores capacidades preditivas que servirá como sugestão para a utilização pela

Secretaria da Receita Federal. Em seguida, são apresentadas as previsões para as

séries desagregadadas do IR, ou seja, as séries do IRPF, IRPJ e IRRF (rendimentos

do trabalho) e comparadas com as previsões obtidas pelo método dos indicadores.

Conclui-se apresentando previsões para horizontes reduzidos, com 1 passo e 3

passos à frente, de maneira que tal procedimento possa servir como uma espécie de

ajuste de previsões já realizadas.

O capítulo final faz uma conclusão sobre os métodos empregados na

dissertação, sugere mudanças na forma de produção de previsões e indica

possíveis extensões do trabalho.

6

2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo serão apresentados os conceitos básicos de séries temporais para

subsidiar a explicação dos métodos de previsão por alisamento exponencial e

metodologia Box-Jenkins. Além disso, os softwares estatísticos utilizados neste

trabalho são analisados e seu funcionamento é apresentado.

2.1 - SÉRIES TEMPORAIS

Uma série temporal caracteriza-se como um conjunto de observações que

representa uma variável observada ao longo do tempo. Quando as observações são

obtidas continuamente, isto é, a todo instante ao longo do tempo, diz-se que a série

temporal é contínua, cuja representação é X(t). Contrariamente, uma série temporal

discreta é aquela em que as observações são tomadas em um conjunto discreto, ou

seja, em intervalos fixos de tempo, cuja representação é dada por Xt.

Uma série temporal {xt} é a realização de uma família de variáveis aleatórias

{Xt}. De outra maneira, um modelo de série temporal para dados observados {xt} é

uma especificação das distribuições de uma seqüência de variáveis aleatórias {Xt}

da qual {xt} é denominada uma realização [Brockwell & Davis, 1996]. São

necessários para a caracterização da seqüência de variáveis aleatórias somente os

momentos de primeira e segunda ordem da distribuição conjunta [Granger &

Newbold, 1986]. O momento de primeira ordem é definido como o valor esperado ou

média de Xt :

7

( ).tt XE=µ

O momento de segunda ordem é definido como o produto esperado ou a covariância

entre Xt e Xs:

( ) ( )( )[ ] .,cov, ssttstst XXEXX µµγ −−==

Define-se também a variância de Xt como

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ].var,cov 2, ttttttttttt XEXXEXXX µµµγ −=−−===

2.1.1 - Estacionariedade

Uma série temporal {Xt} é dita ser (fracamente) estacionária se

( ) ; µ=tXE(i)

; 2, ∞<= xtt(ii) σγ

. , stst(iii) −= γγ

Então, um processo estacionário apresenta média (condição (i)) e

variância (condição (ii)) constantes ao longo do tempo t e a covariância (condição

(iii)) entre os dois pontos dependente da distância entre esses pontos e

independente do tempo t [Granger & Newbold, 1986].

Em vista da condição (iii), tem-se que

02 γσ =x

e a covariância é usualmente escrita como

( ).,cov thth XX +=γ

(1.4)

(1.5)

(1.2)

(1.3)

(1.1)

8

2.1.2 - Função de autocorrelação

Define-se a função de autocovariância de uma série temporal

estacionária {Xt} como

( ) ( ) .,cov thtx XXh +=γ

A função de autocorrelação (ACF) de uma série temporal estacionária

{Xt} é definida como

( ) ( )( )

( ).,0 tht

x

xx XXcor

hh +==

γγ

ρ

As funções de autocovariância e de autocorrelação fornecem uma

medida útil do grau de dependência entre os valores de uma série temporal em

diferentes períodos. As autocorrelações medem ainda o tamanho e a força da

“memória” do processo.

O gráfico das autocorrelações amostrais versus h é chamado de

correlograma. Tal gráfico apresenta valores que serão utilizados para caracterizar as

propriedades lineares ou não do mecanismo gerador do processo [Granger &

Newbold, 1986]. Porém, não é simples examinar um correlograma e extrair dele as

correspondentes propriedades populacionais. O que se faz necessário é averiguar

alguns modelos plausíveis que provejam correlogramas de formas reconhecidas.

As funções de autocovariância e autocorrelação amostrais podem ser

(1.6)

(1.7)

9

calculadas para qualquer conjunto de dados e não estão restritas a observações de

séries temporais estacionárias [Brockwell & Davis, 1996]. Para dados contendo

tendência, a ACF exibirá um decaimento lento na medida que t aumenta, conforme

mostra a Figura 1.1. Para dados com um componente periódico determinístico,

como sazonalidade, a ACF exibirá um comportamento similar ao período, conforme

a Figura 1.2.

-1.00

-.80

-.60

-.40

-.20

.00

.20

.40

.60

.80

1.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Sample ACF

Figura 1.1 - Correlograma para um série com tendência

-1.00

-.80

-.60

-.40

-.20

.00

.20

.40

.60

.80

1.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40

ACF amostral

10

Figura 1.2 - Correlograma para um série com sazonalidade

Assim, o correlograma pode ser utilizado como um indicador de não-

estacionariedade da série temporal [Brockwell & Davis, 1996]. Deve-se notar que as

linhas tracejadas nas Figuras 1.1 e 1.2 representam limites de significância

estatística, acima dos quais as autocorrelações são consideradas significativamente

diferentes de zero.

2.1.3 - Operador de diferença e operador de defasagem

Considere a série temporal {Xt}, com t = 0,..., n. A primeira diferença da

série é definida como

,...3,2,1,1 =−=∆ − txxx ttt

O operador ∆ é denominado operador de diferença. Generalizando (1.8), a n-ésima

diferença da série é dada por

( )( ) .

!!

!,1 .

01

11

rnr

n

r

nondex

r

nxxx rt

rn

rt

nt

nt

n

−=

−=∆−∆=∆ −

=−

−− ∑

Deve-se notar que n observações são perdidas ao se calcular a n-ésima diferença.

O operador de defasagem B é definido como

.1−= tt xBx

Generalizando (1.10),

,...2,1,0, == − nxxB nttn

O operador B pode ser utilizado na forma polinomial, de maneira que

(1.8)

(1.9)

(1.10)

11

tntnttt kxdxdxdx =++++ −−− L2211

pode ser escrito como

( ) ttn

n kxBdBdBd =++++ L2211

ou

( ) ,tt kxBd =

onde

( ) ( ) .1 1n

nBdBdBd +++= L

2.1.4 - O modelo auto-regressivo (AR)

Um modelo auto-regressivo é definido de maneira que os valores da

série no tempo t dependem dos valores passados. Mais especificamente o modelo

autoregressivo de orem p AR(p) é

,1

1211 ∑=

−−−− +=++++=p

jtjtjtptpttt XXXXcX εφεφφφ L

onde a série {εt} é ruído branco1 com média zero e E[Xtεt+s] = 0, para s>0.

Escrevendo a equação (1.12) em termos do polinômio do operador de defasagem B

tem-se que

( ) .tt cXB εφ +=

O polinômio φ(B) de ordem p é chamado de polinômio AR e tem-se que

( ) .1 221

ppBBBB φφφφ −−−−= L

Para que a condição de estacionariedade para modelos AR(p) seja

(1.11)

(1.12)

(1.13)

12

satisfeita é necessário que as raízes do polinômio φ(B) estejam foram do círculo

unitário (no plano complexo). Para um modelo AR(1),

,11 ttt XcX εφ ++= −

a condição de estacionariedade é satisfeita quando |φ |<1.

Assumindo que a condição de estacionariedade está satisfeita, a média

do processo AR(p) é obtida tomando os valores esperados em (1.12),

,...21 µφµφµφµ pc ++++=

ou ainda,

( )p

c

φφφµ

−−−−=

L211

As autocovariâncias são calculadas multiplicando-se ambos os lados de (1.14) por

(Xt-j - µ) e tomando os valores esperados,

.0,

,2,1,2

11

11{=+++

=++= −−

h

h

pp

phph

h σγφγφγφγφ

γL

LL

A autocorrelação é obtida dividindo-se a equação (1.15) por γ0,

LL ,2,1,11 =++= −− hphphh ρφρφρ

As p equações obtidas de (1.16) são denominadas de equações de Yule-Walker e

podem ser escritas na forma matricial como

,ñ öP=

onde

( ) ( )′=′= p211 öñ φφφρρρ ,,,,,,, 2 LL p

1 Para definição sobre o processo ruído branco consultar [Granger & Newbold, 1986]

(1.15)

(1.16)

.

(1.14)

13

e

=

−−−

−

−

1

1

1

321

211

121

K

MMM

K

K

ppp

p

p

ρρρ

ρρρρρρ

P.

Então,

ñ,Pö 1−=

de forma que os parâmetros auto-regressivos podem ser expressos como uma

função das p autocorrelações [Mills, 1990].

O comportamento da função de autocorrelação de um processo auto-

regressivo é uma mistura de decaimento exponencial e/ou decaimento senoidal. Se

as raízes da equação auto-regressiva forem reais, então as autocorrelações

decairão exponencialmente. Caso as raízes sejam complexas, o decaimento será na

forma senoidal [Granger & Newbold, 1986].

2.1.4.1 - A função de autocorrelação parcial (PACF)

Em um processo AR(1), Xt e Xt-2 são correlacionados, mesmo que Xt-2

não apareça diretamente no modelo. O valor da correlação entre Xt e Xt-2 (i.e., ρ2) é

igual à correlação entre Xt e Xt-1 (ρ1) multiplicada pela correlação entre Xt-1 e Xt-2 (ρ1),

de forma que ρ2 = ρ12. Assim, toda essa correlação “indireta” está presente na ACF

de qualquer processo auto-regressivo [Enders, 1995].

Dessa maneira, define-se a função de autocorrelação parcial

14

(PACF) como a seqüência de correlações entre (Xt e Xt-1), (Xt e Xt-2), (Xt e Xt-3) e

assim por diante, desde que os efeitos de defasagens anteriores sobre Xt

permaneçam constantes [Hill, Griffiths & Judge, 1999]. A PACF é calculada como o

valor do coeficiente φkk na equação

.2211 tktkktktkt eXXXX ++++= −−− φφφ L

O coeficiente φkk é obtido das equações de Yule-Walker aplicadas a

(1.17). Tais equações são dadas por (1.16) e, substituindo p = k e φi = φii, tem-se

[Mills, 1990]

.

1

1

1

1

1

121

231

121

121

231

121

ρρρ

ρρρρρρρρρρ

ρρρρρρ

φ

L

MMLMM

L

L

L

MMLMM

L

L

−−

−−

−−

−−

−

−

=

kk

kk

kk

kkk

k

k

kk

Assim, para um processo AR(p) não há correlação entre Xt e Xt-k para

k > p [Mills, 1990]. Então, todos os valores de φkk para k > p são zero e a PACF para

um processo AR(p) puro apresenta um “corte” para zero para defasagens maiores

que p [Enders, 1995].

Assim, pode-se resumir que um processo AR(p) é descrito por:

- possuir uma função de autocorrelação, ACF, que é uma

combinação de decaimentos exponenciais e senoidais e tamanho

(1.17)

15

infinito; e

- possuir uma função de autocorrelação, PACF, que é zero para

defasagens maiores que p.

2.1.5 - O modelo de médias móveis (MA)

O modelo de médias móveis de ordem q, MA(q), é dado pela forma

,1,0

02211 ∑=

−−−− ≡+=+++++=q

jjtjqtqttttX θεθµεθεθεθεµ L

onde {εt} é ruído branco com média zero. Alternativamente,

( ) ( ) ,1, 1q

qtt BBBBX θθθεθ +++== L

onde θ(B) é o polinômio do operador de defasagem B. Um processo MA(q) é dito ser

invertível se as raízes de

01 221 =++++ q

q zzz θθθ L

se encontrarem fora do círculo unitário.

As autocovariâncias de ordem superior são

( )( ) ( )( )qjtqjtjtqtqttjttj EXXE −−−−−−−− ++++++=−−= εθεθεεθεθεµµγ LL 1111

e, como os termos envolvendo produtos de ε´s em diferentes instantes de tempo têm

valor esperado zero, para j > q, γj = 0, seguindo que

( ) ,,,2,1,2111 qjjqqjj LL =+++= −+ σθθθθθγ

.,0 qjj >=γ

Dessa feita, para um processo MA(q) a ACF apresenta um “corte” para zero para

(1.18)

(1.19)

16

defasagens maiores que q [Mills, 1990]. A função de autocorrelação parcial de um

processo MA(q) possui tamanho infinito [Mills, 1990].

Pode-se resumir que um processo MA(q) é descrito por:

- possuir uma ACF que é zero para defasagens maiores que q; e

- possuir uma PACF que é uma combinação de decaimentos

exponenciais e senoidais e tamanho infinito.

2.1.6 - O modelo auto-regressivo de médias móveis

(ARMA)

Um processo ARMA(p,q) é uma generalização dos modelos AR(p) e

MA(q), sendo definido como

qtqtttptpttt XXXcX −−−−−− +++++++++= εθεθεθεφφφ LL 22112211

ou ainda na forma polinomial

( ) ( ) .tt BcXB εθφ +=

A série temporal {Xt} é estacionária se e somente se as raízes de φ(z)

estiverem fora do círculo unitário. A série temporal {Xt} é invertível se e somente se

as raízes de θ(z) estiverem fora do círculo unitário. Para os modelos ARMA, as

funções de autocorrelação (ACF) e autocorrelação parciais (PACF) decaem até o

infinito em vez de apresentarem um “corte” em alguma defasagem particular, como

ocorre com os processos AR e MA puros [Mills, 1990]. Assim, para um processo

ARMA(p,q), a ACF decairá, seja diretamente ou oscilando ao redor de zero, a partir

(1.20)

17

da defasagem q. Por sua vez, a PACF decairá, seja diretamente ou oscilando ao

redor de zero, a partir da defasagem p [Enders, 1995].

2.1.7 - O modelo auto-regressivo integrado de médias

móveis (ARIMA)

Se d for um número inteiro não-negativo, então uma série temporal {Xt}

é dita ser um processo ARIMA(p,d,q) ou um processo integrado de ordem d se

( ) td

td

t XXBY ∆=−= 1

for um processo ARMA(p,q) causal [Brockwell & Davis, 1996]. Um processo

integrado é utilizado para séries não-estacionárias.

Assim, um modelo ARMA(p,q) é um modelo ARIMA(p,0,q).

Alternativamente, {Xt} deve satisfazer

( ) ( ) ( ) ,]1[ ttd BXBB εθµφ =−−

onde {εt} é ruído branco com média zero, φ(B) e θ(B) são polinômios de ordem p e q,

respectivamente, φ(B) é um operador estacionário, µ é a média de ∆dXt e d é a

ordem de diferenciação. A ordem de diferenciação será 0 ou 1 para a maioria dos

processos e raramente d = 2 [Granger & Newbold, 1986].

2.1.8 - O modelo sazonal auto-regressivo integrado de

médias móveis (SARIMA)

Suponha uma série temporal sazonal não-estacionária {Xt} observada s

(1.21)

18

períodos por ano, de maneira que s = 4 para séries trimestrais e s = 12 para séries

mensais. Uma forma de remover a sazonalidade da série e transformá-la em uma

série estacionária {Zt}, para que um modelo ARIMA possa ser empregado, é efetuar

uma diferenciação sazonal, nos moldes da diferenciação vista anteriormente. Assim,

( ) .1 tts

stt ZXBXX =−=− −

Contudo, em muitos casos é necessário adicionar ao modelo uma modelagem de Zt

determinada por seu padrão sazonal, então

( )( ) ( ) ,1 ts

t

Dss ZBXBB Θ=−Φ

onde

( ) ( ) ,1 1Ps

Pss

ss BBB Φ−−Φ−=Φ L

( ) ( ) .1 1Qs

Qss

ss BBB Θ++Θ+=Θ L

Pela equação (1.22), nota-se que o padrão sazonal é aleatório entre os ciclos s

[Brockwell & Davis, 1996].

Se a sazonalidade da série Zt tiver sido filtrada, um modelo

ARIMA(p,d,q) regular pode representar Zt, assim

( )( ) ( ) ,1 ttd BXBB εθφ =−

onde

( ) ( ),1 1p

pBBB φφφ −−−= L

( ) ( ),1 1q

qBBB θθθ +++= L

e {εt} é ruído branco com média zero.

Combinando (1.22) e (1.23), chega-se a classe de modelos sazonais

(1.22)

(1.23)

19

multiplicativos ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q) ou SARIMA,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,11 ts

t

Dsds BBXBBBB εθφ Θ=−−Φ

onde {εt} é ruído branco com média zero. Nessa classe de modelos permite-se tanto

a diferenciação regular quanto a diferenciação sazonal. Nota-se que a série

diferenciada pode ser representada usando tanto componentes auto-regressivos e

de médias móveis regulares quanto sazonais. Em geral, o valor para D é raramente

maior que um e os valores de P e Q não ultrapassam 2 [Brockwell & Davis, 1996].

O processo representado por (1.24) é causal se e somente se φ(B) ≠ 0

e Φ (B) ≠ 0, para | z | ≤ 1, ou seja, se as raízes do polinômios auto-regressivos se

encontrarem fora do círculo unitário [Brockwell & Davis, 1996]. Um modelo particular

dessa classe de modelos é o chamado modelo “airline”, um modelo

SARIMA(0,1,1)(0,1,1).

A seguir, os modelos teóricos apresentados nessa seção serão

aplicados nas metodologias de previsão de alisamento exponencial e Box-Jenkins.

Tais metodologias utilizam conceitos e procedimentos diferentes para produzir

prognósticos de séries univariadas, que são séries que possuem somente um

conjunto de dados.

2.2- MÉTODOS DE PREVISÃO

Nesta seção, serão apresentados dois métodos de previsão. O primeiro

método, denominado de alisamento exponencial (exponential smoothing), é

(1.24)

20

considerado um método automático de previsão e seu procedimento é bem simples.

O segundo método, denominado de metodologia Box-Jenkins, é um método de

utilização mais complexa que o anterior e emprega a classe de modelos

ARIMA/SARIMA em sua concepção.

2.2.1 - Alisamento exponencial

O alisamento exponencial é um procedimento geral para obtenção de

algoritmos de previsão automática que produz resultados relativamente acurados, de

maneira rápida e barata [Granger & Newbold, 1986].

A forma mais simples de alisamento exponencial é aquela para séries

temporais que não possuem sazonalidade nem tendência crescente ou decrescente.

O objetivo é estimar o “nível” (ou a “média”) presente da série e usar esse nível

como previsão de valores futuros. O nível da série no tempo t é estimado como

( ) ( ) ,11 22

1 L+−+−+= −− tttt xxxx ααααα

com 0 < α < 1. Uma forma mais simples de cálculo é obtida substituindo t por t-1 e

multiplicando os dois lados de (1.46) por (1-α), o que leva a

( ) .1 1−−+= ttt xxx αα

A previsão de todos os valores futuros (fn,h), com h = 1, 2,. . ., é obtida utilizando-se a

equação (1.26), i.e.,

., nhn xf =

Para se iniciar o algoritmo é necessário especificar um valor inicial, que usualmente

é [Granger & Newbold, 1986]

.11 xx =

(1.25)

(1.26)

21

O peso de cada termo é determinado pelo valor de α, a constante de

suavização. A escolha dessa constante é feita de maneira que seu valor minimize a

soma dos erros quadrados [Janacek, 2001]. O erro de previsão é definido como

,1,1−−= ttt fxe

para t = 3, 4, ... , n. Então, a soma dos erros quadrados é dada por

( ) .3

21,1

3

2 ∑∑=

−=

−==n

ttt

n

tt fxeS

Caso a série temporal apresente tendência, a equação (1.26) não é

capaz de fazer previsões de movimentos crescentes ou decrescentes futuros. O

algoritmo de alisamento exponencial de Holt-Winters leva em consideração esses

movimentos e permite estimar também a inclinação atual da série.

O nível e a inclinação da série são dados, respectivamente, por

( )( )( ) ( ) ,1

,1

11

11

−−

−−

−+−=

+−+=

tttt

tttt

TxxT

Txxx

ββαα

com 0 < α < 1 e 0 < β < 1, constantes de suavização. As previsões são obtidas

supondo um acréscimo ou decréscimo continuado dado pela última estimativa de

inclinação; assim,

.,,4,3,, nhhTxf nnhn K=+=

Os possíveis valores iniciais do algoritmo são

.

,

122

22

xxT

xx

−=

=

Os valores para as constantes de suavização são obtidos como anteriormente, de

forma que seus valores minimizem a soma dos quadrados dos erros de previsão um

(1.27)

22

passo à frente. O erro de previsão é dado por

( ) .,,5,4,111,1 ntTxxfxe tttttt K=+−=−= −−−

Então, a soma dos erros quadrados é

( ) .4

21,1

4

2 ∑∑=

−=

−==n

ttt

n

tt fxeS

Se a série temporal contiver movimentos sazonais de período s, o

algoritmo de Holt-Winters precisa ser modificado para que a sazonalidade seja

estimada. Assim, o algoritmo de Holt-Winters sazonal é definido de modo que para

cada período seja necessário estimar um fator de sazonalidade, Ft. No instante t, a

última estimativa do fator de sazonalidade para o período é Ft-s (obtido do mesmo

período do ano anterior) [Cribari-Neto, 2000]. As equações para o nível, a inclinação

e para o fator de sazonalidade são, considerando que a sazonalidade seja aditiva,

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ,1

,1

,1

11

11

stttt

tttt

ttsttt

FxxF

TxxT

TxFxx

−

−−

−−−

−+−=

−+−=

+−+−=

γγββαα

com 0 < α < 1 , 0 < β < 1 e 0 < γ < 1, constantes de suavização. As previsões são

dadas por

M

K

K

,2,,2,1,

,,,2,1,

2

,

ssshFhTx

shFhTxf

shtnn

shtnnhn

++=++=

=++=

−+

−+

Considerando a sazonalidade multiplicativa, as equações para o nível,

a inclinação e para o fator de sazonalidade são, respectivamente,

(1.28)

23

( )( )

( ) ( )

( )( ) ,1

,1

,1

11

11

stt

tt

tttt

tt

st

tt

Fx

xF

TxxT

TxF

xx

−

−−

−−−

−+

=

−+−=

+−+

=

γγ

ββ

αα

com 0 < α < 1 , 0 < β < 1 e 0 < γ < 1, constantes de suavização. As previsões são

dadas por

( )( ).

,2,,2,1,

,,,2,1,

2

,

M

K

K

ssshFhTx

shFhTxf

shtnn

shtnnhn

++=+=

=+=

−+

−+

Os possíveis valores iniciais do algoritmo podem ser [Brockwell & Davis, 1996]

( )

( )( ) .,,1,1

,

,

1

111

11

siiTxxFs

xxT

xx

siii

ss

ss

K=−+−=

−=

=

+

++

++

Tanto para a sazonalidade aditiva quanto para a sazonalidade

multiplicativa, os valores das constantes de suavização são calculados de forma a

minimizar a soma dos quadrados dos erros de previsão um passo à frente. O erro de

previsão é

( ) .,,51,14,111,1 ntFTxxfxe sttttttt K=++−=−= −−−−

Então, a soma dos erros quadrados é

( ) .14

21,1

14

2 ∑∑=

−=

−==n

ttt

n

tt fxeS

As formas aditivas e multiplicativas do algoritmo de Holt-Winters

sazonal podem fornecer previsões bem diferentes. Se a série apresentar oscilações

(1.29)

24

sazonais aproximadamente constantes, o modelo aditivo é mais indicado. Porém, se

as oscilações sazonais forem proporcionais ao nível da série, o modelo multiplicativo

é mais indicado. Alternativamente, pode-se utilizar os dois procedimentos e escolher

aquele que fornece a menor soma dos erros de previsão um passo à frente ao

quadrado [Cribari-Neto, 2000].

2.2.2 - Método de Box-Jenkins

Dada uma série temporal não-sazonal não-estacionária {Xt}, considere

que ela possa ser representada por um modelo da classe ARIMA(p,d,q),

( )( ) ( ) ,1 tt

d BXBB εθφ =−

onde

( ) ( ) ,1 1p

pBBB φφφ −−−= L

( ) ( ) .1 1q

qBBB θθθ +++= L

O objetivo da metodologia de Box-Jenkins [Box & Jenkins, 1970] é

encontrar um modelo estocástico linear da classe ARIMA que possa ter gerado {Xt} e

que esse modelo possa ser utilizado para fornecer previsões de valores futuros da

série [Granger & Newbold, 1986]. Caso a série temporal {Xt} apresente

sazonalidade, {Xt} pode ser representada por um modelo da classe

SARIMA(p,d,q) (P,D,Q), conforme a equação (1.24).

A estratégia de modelagem, tanto para modelos sazonais quanto para

não-sazonais, é baseada em um ciclo de três etapas iterativas:

25

(i) identificação do modelo;

(ii) estimação do modelo; e

(iii) verificação de diagnóstico.

A etapa de identificação consiste em selecionar valores para p, d, q e

P, D, Q (no caso de modelos sazonais). Essa etapa envolve subjetividade e

julgamento pessoal. Na etapa de estimação, os coeficientes identificados na etapa

anterior são estimados usando técnicas estatísticas. A última etapa indica se o

modelo identificado e estimado descreve adequadamente o comportamento dos

dados da série {Xt}. Caso o modelo não seja adequado, o ciclo deve começar

novamente [Cribari-Neto, 2000].

Um conceito importante nessa metodologia é o princípio da parcimônia

[Enders, 1995]. Tal princípio sugere que modelos mais simples, com poucos

parâmetros, produzem melhores previsões que modelos superparametrizados. Um

modelo parcimonioso ajusta bem os dados sem incorporar coeficientes inúteis. O

objetivo é se aproximar do processo gerador original dos dados e não descrevê-lo

exatamente [Enders, 1995].

2.2.2.1 - Identificação

Essa etapa é considerada a mais difícil e delicada, e não há consenso

sobre qual a melhor estratégia a ser seguida [Granger & Newbold, 1986]. Dentre as

várias estratégias existentes, duas se destacam: a análise das funções de

26

autocorrelação e autocorrelação parcial amostrais, e o uso de um critério de seleção

de modelos.

Para utilizar a primeira estratégia é necessário reconhecer modelos

AR, MA e ARMA por meio das características da ACF e da PACF. A Tabela 2.1

resume as propriedades da ACF e da PACF para diversos modelos ARIMA [Mills,

1990]. Para modelos sazonais, o comportamento da ACF e da PACF deve ser

analisado também próximo da defasagem sazonal, por exemplo, defasagem 12 para

dados mensais e defasagem 4 para dados trimestrais. A Tabela 2.2 resume as

propriedades da ACF e da PACF para modelos SARIMA [Bowerman & O’Connell,

1987].

Tabela 2.1 - Propriedades da ACF e da PACF para vários modelos ARIMAModelo ACF PACF

(1,d,0)Decaimento exponencial ouoscilatório

φkk=0 para k > 1

(2,d,0)Decaimento exponencial ousenoidal

φkk=0 para k > 2

(p,d,0)Decaimento exponencial e/ousenoidal

φkk=0 para k > p

(0,d,1)ρk = 0 para k > 1 Dominado por decaimento

exponencial

(0,d,2)ρk = 0 para k > 2 Dominado por decaimento

exponencial ou senoidal

(0,d,q)ρk = 0 para k > q Dominado pela combinação

linear de decaimentoexponencial e/ou senoidal

(1,d,1)Decaimento exponencial apartir da defasagem 1

Dominado por decaimentoexponencial a partir dadefasagem 1

(p,d,q)Decaimento exponencial e/ousenoidal depois da defasagemq-p

Dominado por decaimentoexponencial ou senoidaldepois da defasagem q-p

27

Tabela 2.2 - Propriedades da ACF e da PACF para modelos SARIMAModelo ACF PACF(P,D,0) Decaimento Picos nas defasagens s, 2s, ...Ps

e corte após Ps

(0,D,Q) Picos nas defasagens s, 2s, ...Qse corte após Qs

Decaimento

(P,D,0)ou

(0,D,Q)

Picos nas defasagens s, 2s, ...Qse corte após Qs

Picos nas defasagens s, 2s, ...Pse corte após Ps

(P,D,0)e

(0,D,Q)

Decaimento rápido nadefasagem sazonal

Decaimento rápido nadefasagem sazonal

Nenhumoperadorsazonal

Valores pequenos em todas asdefasagens sazonais (não hápicos)

Valores pequenos em todas asdefasagens sazonais (não hápicos)

Além de identificar os valores para p e q (e os valores de P e Q para

modelos SARIMA), o grau de diferenciação da série (valor d e valor D para modelos

sazonais) precisa ser conhecido. Para tanto, utiliza-se também a inspeção da ACF e

da PACF amostrais. Para um modelo não-sazonal, um comportamento suave

persistente nas autocorrelações amostrais em defasagens altas indica não-

estacionariedade, i.e., necessidade de diferenciação. Assim, deve-se diferenciar a

série para sucessivos valores positivos de d e examinar o correlograma de {∆dXt}

[Cribari-Neto, 2000].

A segunda estratégia para identificar os valores de p, d, q é utilizar um

critério de informação que selecione os modelos por meio de um conjunto de

“regras” [Mills, 1990]. Os critérios de seleção para modelos ARIMA mais utilizados

são o AIC (Akaike information criterion), o AICC (Akaike information criterion

corrected) e o BIC (Bayesian information criterion). Esses critérios incorporam um

termo de penalidade para o aumento do número de parâmetros (p e q) no modelo,

28

de forma que modelos mais “parcimoniosos”, ou seja, com o menor número de

parâmetros, sejam escolhidos. As equações para esses critérios, sendo T o número

de observações, são [Cribari-Neto, 2000]

( )( )

( ) ,logˆlog2

,1

2ˆlog2

,2ˆlog2

TqpLBIC

qpT

TqpLAICC

qpLAIC

++−=

−−−+

+−=

++−=

onde L representa a verossimilhança maximizada.

O critério AIC superestima assintoticamente a ordem verdadeira do

modelo [Granger & Newbold, 1986] apresentando tendência a escolher modelos

superparametrizados [Cribari-Neto, 2000]. O AICC é uma versão corrigida do AIC

que incorpora uma correção de viés para amostras finitas, possuindo uma

penalidade mais forte para modelos de ordem elevada [Brockwell & Davis, 1996].

O BIC é um critério consistente, de forma que ele fornece estimativas

de p e q que convergem em probabilidade para os valores verdadeiros à medida que

T tende a infinito [Brockwell & Davis, 1996]. Já os critérios AIC e AICC não são

consistentes. Por outro lado, o AIC é assintoticamente eficiente para modelos

puramente auto-regressivos.

Na prática, a seleção de modelos é feita calculando o valor do critério

(o BIC, por exemplo) para todos os modelos ARIMA associados aos valores de p, d

e q de forma que p,q =0,1,2,3,4,5 e d =0,1. Assim, seleciona-se o modelo que

apresenta o menor valor do BIC e modelos alternativos cuja diferença para o valor

^

29

mínimo do BIC seja inferior a 2 [Brockwell & Davis, 1996]. Para a modelagem

SARIMA, a quantidade de modelos investigados é maior, pois além dos valores de

p, d e q, deve-se incluir ainda os valores para P,Q = 0,1,2 e D = 0,1. Porém, os

modelos são selecionados pelos mesmos critérios que os utilizados para os modelos

ARIMA.

2.2.2.2 - Estimação

Assumindo que um modelo ARIMA da forma

( )( ) ( ) tq

qtdp

p BBXBBB εθθφφ +++=−−−− LL 11 111

seja escolhido conforme a etapa anterior, o objetivo agora é estimar, utilizando o

método de máxima verossimilhança (ML)2, os parâmetros φφ = (φ1,...,φp)´,

θθ = (θ1,...,θq)´ e σ2, a variância de εt.

A estimação da ML é difícil e geralmente requer muito tempo de

processamento computacional. Desta forma, existem alternativas que aproximam a

função de máxima verossimilhança. Duas dessas alternativas são o MQE (mínimos

quadrados exatos) e o MQC (mínimos quadrados condicional). Contudo, alguns

estudos têm sugerido [Ansley & Newbold, 1980] que o método de máxima

verossimilhança é superior aos demais.

Para a modelagem SARIMA o procedimento é idêntico ao mostrado

para a modelagem ARIMA, com a superioridade da estimação por máxima

2 Para uma demonstração da estimativa de ML, consultar [Mills, 1990].

(1.30)

30

verossimilhança sendo ainda mais pronunciada para modelos sazonais [Ansley &

Newbold, 1980].

2.2.2.3 - Verificação de diagnóstico

A correta especificação de um modelo ARIMA ou SARIMA é verificada

no termo εt, pois ele deve constituir um processo ruído branco [Granger & Newbold,

1986]. Assim, a verificação da adequabilidade do modelo é efetuada nas

autocorrelações amostrais dos erros (εt), as quais seguem assintoticamente uma

distribuição normal, com média zero e desvio padrão n- ½, se forem provenientes de

um ruído branco. Como os erros verdadeiros (εt) não são conhecidos, a inferência

baseia-se nas estimativas dos erros, os resíduos εt.

Dessa forma, se o modelo estiver corretamente especificado, os

resíduos não devem apresentar correlação serial, pois toda a dinâmica dos dados já

foi capturada pelo modelo [Cribari-Neto, 2000]. A autocorrelação amostral dos

resíduos de ordem j é calculada como [Granger & Newbold, 1986]

( ) .ˆ

ˆˆ

ˆ

1

2

1

∑

∑

=

+=−

=T

tt

T

jtjtt

jrε

εεε

Então, os valores das autocorrelações residuais devem estar contidos no intervalo

de confiança assintótico de 95% que é [Cribari-Neto, 2000]

−

TT

2,

2,

31

onde T indica o número de observações da série.

Em adição ao exame das autocorrelações individuais dos resíduos um

teste conjunto das primeiras m autocorrelações pode ser utilizado, que é conhecido

por teste Ljung-Box. Tal teste “portmanteau” compara o valor de

( ) ( ) ( )jj

m

j

rjTTTQ ε̂2 2

1

1∑=

−−+=

com valores tabulados da distribuição do χ2 (qui-quadrado) com (m - p - q) graus de

liberdade e com a rejeição da hipótese nula (de que o modelo é adequado) para

valores de Q maiores que o valor crítico assintótico [Granger & Newbold, 1986]. O

valor de m deve ser pelo menos igual a √T [Cribari-Neto, 2000].

2.3 - Métodos de comparação de previsão

Um dos métodos de escolha do melhor mecanismo de previsão é a

comparação dos valores previstos (Xt) com os valores observados da série (Xt), o

que caracteriza a acurácia ou a capacidade preditiva do mecanismo utilizado. Os

três métodos mais populares de medição da acurácia utilizam os resíduos em seus

cálculos [Kvanli et al.,1996]. Esses métodos são o desvio absoluto médio (MAD), o

erro quadrático médio (MSE) e o erro percentual absoluto médio (MAPE). Assim, os

resíduos são definidos como

.ˆttt XXe −=

O desvio absoluto médio (MAD) é definido como a média dos valores

^

32

absolutos de cada resíduo e é representado por

,n

eMAD t∑=

onde n é o número de valores previstos obtidos dos dados passados.

O erro quadrático médio (MSE) é a média dos valores quadráticos de cada

resíduo, assim

.2

n

eMSE

t∑=

O erro percentual absoluto médio (MAPE) considera o erro relativo de cada

previsão. O erro relativo em cada período t é definido como et /Xt. Então,

.n

X

e

MAPE t

t∑=

Não há consenso entre os estatísticos sobre qual método é preferível. Assim,

se erros elevados de previsão são inaceitáveis, então o uso do MSE faz-se

necessário. Entretanto, se é possível ignorar alguns erros elevados, o MAD funciona

melhor. E o MAPE é utilizado para comparar a acurácia (precisão) de duas séries

temporais diferentes [Kvanli, et al., 1996]. Dessa forma, o MSE será utilizado como

critério de acurácia para as comparações dos métodos de previsão apresentados

neste trabalho.

33

2.4 - Softwares estatísticos

2.4.1 - O programa R

O programa R é um sistema para computação estatística e gráfica. Ele

provê, dentre outras coisas, uma linguagem de programação, ferramentas gráficas

de alto nível, interface com outras linguagens de programação e ferramentas para

depuração. O R é uma versão gratuita do programa S-PLUS comercializado pela

MathSoft, Inc. Essa plataforma possui várias qualidades. A primeira é ser um

programa gratuito e de livre distribuição. A segunda é permitir a criação de novas

funções e a possibilidade de modificação das funções internas. O R pode ser obtido

via Internet no endereço www.r-project.org e possui versões para os sistemas

operacionais Windows, Unix e Macintosh.

2.4.2 - O programa ITSM2000

O programa ITSM2000, diferentemente do R, é um programa

proprietário. Não há a possibilidade de alteração de suas funções, nem a

possibilidade de distribuição gratuita. O programa (versão Windows) acompanha o

livro “Introducion to Time Series and Forecasting” de Peter Brockwell & Richard

Davis. Trata-se de um programa simples e bastante intuitivo, baseado em escolhas

de menu e botões, seguindo o padrão dos programas para o sistema operacional

Windows.

Contudo, o ITSM2000 é um programa razoavelmente preciso e

34

completo, permitindo estimação de modelos ARIMA por máxima verossimilhança

exata [Cribari-Neto, 2000]. O critério de seleção de modelos utilizado no programa é

o AICC.

No próximo capítulo, o método de previsão utilizado no âmbito da

Secretaria da Receita Federal será descrito e detalhado. A descrição envolve a

formulação teórica do método, bem como os resultados obtidos na sua aplicação.

Os resultados mostrados neste capítulo restringem-se ao Imposto sobre a Renda e

seus componentes mais significativos.

35

3 - Análise do método de previsão utilizado

pela Secretaria da Receita Federal (SRF)

Este capítulo descreve sucintamente o método de previsão utilizado pela SRF,

mostra as previsões geradas por tal método e faz uma análise econométrica,

mostrando sua inadequabilidade como instrumento estatisticamente confiável de

previsão.

3.1 - Descrição do método de indicadores

O método utilizado no âmbito da SRF, denominado de indicadores, consiste

na multiplicação da arrecadação do período anterior por:

- um índice de preço que represente a variação inflacionária a que

está sujeito o fato econômico gerador da arrecadação;

- um índice de quantidade que represente a variação real desse fato

gerador;

- um índice que represente o efeito causado na arrecadação por

modificações na legislação tributária;

- outros índices que representem quaisquer influências na

arrecadação tributária.

Esse método pode ser resumido genericamente na fórmula

36

( )( )( )( ),11111 ULQPXX tt ∆+∆+∆+∆+= −

onde

Xt = arrecadação prevista para determinado período do ano t;

Xt-1 = arrecadação efetiva do mesmo período do ano t-1;

∆P = variação percentual do indicador de preços;

∆Q = variação percentual do indicador de quantidades;

∆L = variação percentual decorrente de alterações da legislação; normalmente

significa variação de alíquotas;

∆U = variação percentual de qualquer outro indicador que tenha influência na

arrecadação e não possa ser enquadrado nos indicadores básicos (preço,

quantidade e legislação).

Os termos (1+∆P), (1+∆Q) e (1+∆L) são denominados, respectivamente,

Efeito-Preço, Efeito-Quantidade e Efeito-Legislação. O termo (1+∆U) representa o

Efeito-Residual. A qualidade da previsão com a utilização desse método depende da

obtenção de bons indicadores de preço e quantidade específicos para cada caso

(tributo, setor econômico ou item de receita).

Os órgãos de pesquisa de preços e acompanhamento da conjuntura

econômica (IBGE, FGV, IPEA) são fontes importantes para se identificar quais os

índices de preço e quantidade melhor se adequam aos vários tributos. Na Tabela 3.1

estão relacionados alguns tributos e seus principais indicadores de preço e

quantidade.

(3.1)

37

A SRF mantém registro de séries históricas dos principais indicadores de

preços e algumas séries de quantidade. As projeções dos parâmetros

macroeconômicos (inflação, PIB, taxa de câmbio e taxa de juros) que influenciam os

diversos indicadores são elaboradas pela Secretaria de Política Econômica do

Ministério da Fazenda (SPE).

Tabela 3.1 - Tributos e seus indicadores de preço e quantidadeINDICADORES ESPECÍFICOSTRIBUTO/CONTRIBUIÇÃO

PREÇO QUANTIDADE

Imposto de Importação Taxa de câmbio Volume de importaçõestributadas, em dólar

IPI - Bebidas Índice de preços de bebidasVolume de vendas de bebidas ao

mercado interno

IPI - AutomóveisÍndice de preços da indústria

automobilísticaVolume de vendas de

automóveis ao mercado internoImposto de Renda Pessoa

Física - IRPFIGP - Índice Geral de Preços Número de contribuintes

Imposto de Renda PessoaJurídica - IRPFJ

IGP - Índice Geral de Preços PIB

Imposto de Renda Retido naFonte - IRRF - Trabalho

Variação nominal de salários Nível de emprego

Imposto de Renda Retido naFonte - IRRF - Capital

Taxa de jurosVolume em R$ de aplicações

financeirasIOF - Imposto sobreoperações financeiras

Variação nominal do volume de credito e prêmios de seguro (emR$)

COFINS IGP - Índice Geral de Preços PIB

3.2 - Resultados

Os resultados obtidos pela SRF com a utilização do método dos indicadores

para os componentes mais significativos da série do Imposto de Renda estão

mostrados na Tabela 3.2, juntamente com os valores reais da arrecadação, a

diferença percentual entre a previsão e o valor observado (∆%) e o valor do critério

38

de acurácia MSE.

Tabela 3.2 - Previsão gerada pelo método dos indicadoresSérie Imposto sobre a Renda - Agregado

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Totalprevisão 5.042 3.619 5.641 4.079 4.777 3.820 3.952 4.486 3.666 3.854 4.154 4.847 51.937

Real 5.156 4.206 5.718 4.713 4.113 4.261 4.937 4.619 4.375 4.825 4.705 6.546 58.174∆∆% -2,22 -13,97 -1,35 -13,46 16,13 -10,34 -19,96 -2,88 -16,20 -20,12 -11,70 -25,95 -10,72

∆∆% média -10,17MSE 585.247

Série Imposto de Renda Pessoa Física - IRPFJan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Total

previsão 136 106 124 819 424 401 405 383 381 138 124 136 3.578Real 209 159 173 829 407 334 371 336 334 182 226 194 3.754∆∆% -35,09 -33,33 -28,14 -1,20 4,30 20,09 9,05 13,97 14,19 -23,96 -45,14 -30,04 -4,70

∆∆% média -11,28MSE 3.062

Série Imposto de Renda Pessoa Jurídica - IRPJJan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Total

previsão 1.305 1.029 2.338 1.180 1.019 871 1.195 1.014 857 1.177 854 937 13.777Real 1.519 1.629 2.652 1.501 963 1.013 1.866 1.285 1.111 1.901 1.159 1.592 18.191∆∆% -14,11 -36,84 -11,82 -21,37 5,83 -13,99 -35,97 -21,07 -22,84 -38,09 -26,34 -41,12 -24,26

∆∆% média -23,14MSE 188.725

Série Imposto de Renda Retido na Fonte - Rendimentos do TrabalhoJan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Total

previsão 1.370 1.302 1.454 1.052 1.557 1.219 1.222 1.528 1.236 1.246 1.723 2.072 16.980Real 1.462 1.306 1.625 1.227 1.494 1.333 1.350 1.547 1.476 1.435 1.755 2.870 18.880∆∆% -6,31 -0,32 -10,53 -14,29 4,20 -8,53 -9,49 -1,24 -16,24 -13,17 -1,80 -27,82 -10,06

∆∆% média -8,80MSE 69.494

As Figuras 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 mostram o gráfico da série temporal do imposto,

somente para o ano de 1999, em preto, o valor da arrecadação real no ano de 2000

em azul e o valor da previsão para o ano de 2000 em vermelho pontilhado, para

cada um dos impostos constantes na Tabela 3.2. Todos os valores da arrecadação

são mostrados a preços constantes de junho de 2000.

39

Figura 3.1 - Gráfico do valor real e da previsão gerada

Figura 3.2 - Gráfico do valor real e da previsão gerada

40

Figura 3.3 - Gráfico do valor real e da previsão gerada

Figura 3.4 - Gráfico do valor real e da previsão gerada

41

3.3 - Análise econométrica

Considere novamente a equação que descreve o método dos indicadores

( )( )( )( ).11111 ULQPXX tt ∆+∆+∆+∆+= −

Substituindo o resultado da multiplicação dos índices entre parênteses por uma

constante ct, a equação (3.2) fica

.1−= ttt XcX

Caso ∆P, ∆Q, ∆L e ∆U sejam simultaneamente zero, ou seja, não ocorram

alterações percentuais em nenhum dos índices, o valor de ct em (3.3) será igual a 1

e a previsão será igual ao último valor observado. Caso um dos índices apresente

variação percentual positiva, por exemplo ∆P = 10%, ceteris paribus, o valor de ct em

(3.3) será igual a 1,1. Caso a variação percentual seja negativa, por exemplo ∆P = -

10%, ceteris paribus, o valor de ct em (3.3) será igual a 0,9. Assim, ct pode assumir,

dependendo do sinal da variação percentual, valores maiores ou menores que 1.

Generalizando, caso haja variações positivas e negativas simultâneas em todos os

índices, o valor de ct na equação (3.3) pode assumir valores maiores ou menores

que zero.

A equação (3.3) assemelha-se a uma estrutura AR(1), conforme mostra a

equação (1.12), a menos do termo de erro εt e do fato que em (3.3) ct varia com t.

Assim, o método dos indicadores deve ser considerado como uma representação de

um modelo auto-regressivo de ordem 1 uma vez que Xt-1 representa a arrecadação

efetiva no período anterior.

(3.3)

(3.2)

42

Contudo, além de não conter um termo residual, o método dos indicadores

falha em reproduzir um AR(1) ao possibilitar que o valor de ct possa assumir

qualquer valor diferente de zero. E, como já foi visto, todo processo auto-regressivo

de ordem 1 que apresenta o valor absoluto de sua raiz como maior que 1 não pode

representar um processo estacionário. Então, não há perda alguma em se

desconsiderar processos AR(1) com |φ1 | > 1 [Brockwell & Davis, 1996].

Desta maneira, o método dos indicadores utilizado pela Secretaria da Receita

Federal não está reproduzindo um processo auto-regressivo causal, estacionário.

Suas previsões não são confiáveis, uma vez que as condições básicas de

estacionariedade não são satisfeitas. Por isso, tal método deveria ser abandonado

em prol de alguma outra metodologia mais adequada.

Tal metodologia pode ser alguma das que serão mostradas no próximo

capítulo, que inicia-se com uma análise exploratória da série agregada do Imposto

sobre a Renda. Depois, as metodologias de previsão por alisamento exponencial e

modelagem SARIMA serão empregadas para essa série e os resultados das

previsões obtidas passarão por uma análise detalhada.

43

4 - Análise e previsão da série temporal do

Imposto sobre a Renda (IR)

Este capítulo começa com considerações gerais sobre a série temporal do IR e suas

especificidades na utilização desse trabalho. A seguir, são empregadas as

metodologias de previsão de Holt-Winters sazonal e Box-Jenkins para a obtenção de

valores futuros para a série do IR.

4.1 - Considerações gerais

O Imposto sobre a Renda foi escolhido para a análise nesse trabalho devido a

sua importância na arrecadação federal. De acordo com a Tabela 4.1, verifica-se

que esse imposto correspondeu a mais de 30% tanto das receitas administradas

pela SRF quanto do total arrecadado pela União Federal no ano de 2000 (em

valores nominais).

Existem dados mensais da série histórica do Imposto de Renda, assim como

de todos os tributos federais, desde janeiro de 1986. Dessa forma, há mais de 180

observações na série temporal. Apesar de ser um número razoável de observações,

deve-se considerar as inúmeras mudanças econômicas ocorridas no Brasil desde

então para se utilizar todos esses dados em uma análise econométrica. Assim,

neste trabalho optou-se por utilizar os dados disponíveis após a implementação do

Plano Real, por ser esse um período de estabilidade inflacionária persistente.

44

Tabela 4.1 - Participação do Imposto sobre a Renda na arrecadação total daSRF - 2000

Imposto R$ - milhões % - administradas % - arrecadaçãoImposto sobre a Importação 8.510,1 5,12 4,83Imposto sobre a Exportação 2,5 0,00 0,00Imposto sobre Produtos Industrializados 18.839,1 11,33 10,70Imposto sobre a Renda 56.396,6 33,92 32,04I.O.F. - Imposto s/ Operações Financeiras 3.126,7 1,88 1,78I.T.R. - Imposto Territorial Rural 267,0 0,16 0,15CPMF - Contrib. Movimentação Financeira 14.544,6 8,75 8,26Cofins - Contribuição Seguridade Social 39.903,2 24,00 22,67Contribuição para o Pis/Pasep 10.043,0 6,04 5,71CSLL - Contribuição Social s/ Lucro 9.278,0 5,58 5,27Contrib. p/ Plano Seg. Social Servidores 3.626,6 2,18 2,06Contribuição para o Fundaf 372,4 0,22 0,21Outras Receitas Administradas 1.350,3 0,81 0,77Receitas de Loterias 951,6 0,57 0,54Demais 398,7 0,24 0,23Receitas Administradas pela SRF 166.260,10 100,00 94,45Total da Arrecadação Federal 176.020,60 100,00Fonte: Secretaria da Receita Federal - MF

Desta maneira, os dados analisados foram divididos em duas partes. A

primeira parte corresponde aos valores observados a partir de julho de 1994 até o

mês de dezembro de 1999. Esses dados serão utilizados pelos métodos de

alisamento exponencial e de Box-Jenkins para prever os dados conhecidos da

segunda parte, os valores da arrecadação do ano de 2000. A medida de acurácia de

previsão empregada será o MSE. A seguir, será feita uma análise exploratória sobre

a série do Imposto de Renda.

4.2 - Análise exploratória

O Imposto de Renda possui a seguinte classificação: IRPF - Pessoa Física,

IRPJ - Pessoa Jurídica, IRRF - Retido na Fonte. O IRRF apresenta ainda quatro

subdivisões, a saber: Rendimentos do Trabalho, Rendimentos do Capital, Remessas

45

para o Exterior e Outros Rendimentos

Desta maneira, oito séries distintas de dados precisam ser analisadas. Para

simplificação e para evitar repetição de procedimentos, somente a série agrupada do

imposto será descrita e analisada detalhadamente. Para as séries do IRPF , do IRPJ

e do IRRF - Rendimentos do Trabalho, somente os resultados serão apresentados.

A série do imposto de renda {IR} analisada possui 66 observações e seu

gráfico é apresentado na Figura 4.1 em milhões de reais. Os dados foram ajustados

pelo índice de preços IGP-DI divulgado pela Fundação Getúlio Vargas em janeiro de

2000, com base em junho de 2000. Assim, os dados são expressos em reais de

junho de 2000 e podem ser interpretados como a preços constantes, sem centavos.

A Tabela 4.2 mostra os valores em milhões de reais das observações da série {IR}.

Figura 4.1 - Gráfico da série do IR

46

Tabela 4.2 - Valores do Imposto sobre a Renda agregado em R$-milhõesJan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

1994 2.546 2.677 2.731 2.507 2.574 4.0521995 3.950 3.041 4.245 3.042 5.295 3.568 3.411 3.550 3467 3.425 3.458 4.3091996 3.532 2.883 6.992 3.502 3.629 3.260 3.657 3.201 3.397 3.339 3.359 6.1011997 4.095 3.102 4.093 4.375 3.411 3.419 4.145 3.345 3.511 4.055 3.492 5.9871998 6.331 4.366 5.869 4.780 3.463 3.575 5.246 4.989 4.529 4.189 3.834 5.8901999 5.139 5.718 6.127 5.187 4.083 4.268 4.519 3.683 5184 4.210 3.654 5.9522000 5.156 4.206 5.718 4.713 4.113 4.261 4.937 4.619 4.375 4.825 4.705 6.546

A série {IR} apresenta uma média amostral de 4,099 bilhões de reais com um

desvio padrão de 1,047 bilhões de reais. O valor máximo das observações é de

6,992 bilhões de reais, que corresponde ao mês de março de 1996, e o valor mínimo

é de 2,507 bilhões de reais, referente ao mês de outubro de 1994. Nota-se, pela

Figura 4.1, que há uma flutuação considerável na série, que pode estar sendo

causada por movimentos sazonais. A distribuição de freqüências de {IR} está

mostrada no histograma da Figura 4.2, em milhões de reais. Verifica-se que a

distribuição é positivamente assimétrica, com o valor do coeficiente de assimetria de

Pearson igual a 0,809. O coeficiente de curtose é 2,90 e a distribuição do {IR} é dita

platicúrtica relativamente à distribuição normal.

Figura 4.2 - Histograma da série

47

A presença de movimentos sazonais na série {IR} pode ser observada na

Figura 4.3, que mostra a componente de sazonalidade presente na série. Nota-se

claramente um comportamento sazonal homogêneo e estável em todos os anos da

série, o que caracteriza a série como uma série sazonal.

Figura 4.3 - Componente sazonal do IR

Em relação ao crescimento da arrecadação do IR, a taxa média de

crescimento é de 5,43% ao mês, com a taxa mediana ficando em 0,23% ao mês. O

gráfico na Figura 4.4 mostra a taxa de crescimento da série {IR} e a Figura 4.5

mostra o histograma da taxa de crescimento da série. Pelo gráfico da Figura 4.4,

nota-se que o crescimento máximo foi entre os meses de fevereiro e março de 1996,

142,5%. Esse crescimento elevado deveu-se principalmente ao pagamento

antecipado do ajuste anual do IRPJ realizado em março daquele ano. Anteriormente,

esse pagamento era estendido até o mês de maio [Folha de S. Paulo, 1996].

O crescimento mínimo foi entre os meses de março e abril de 1996, -49,9%.

48

Tal decréscimo deveu-se em parte na decisão da Secretaria da Receita Federal em

processar as declarações do IRPF, recolhidas até o dia 31 de abril, apenas no final

de maio [Folha de S. Paulo, 1996]. O valor elevado do desvio padrão, 32,58%,

evidencia a alta variabilidade na arrecadação desse imposto, o que pode ser

corrigido mediante o uso da série transformada em logaritmo.

Figura 4.4 - Gráfico da taxa de crescimento do IR

Figura 4.5 - Histograma da taxa de crescimento

49

Pelo gráfico da Figura 4.4, pelo histograma na Figura 4.5 e pela descrição dos

valores máximos e mínimos da taxa de crescimento, verifica-se que claramente o

valor de março de 1996, 6,99 bilhões de reais, é uma observação que destoa das

demais, ou seja, essa observação é um outlier e pode distorcer todo o

comportamento da série.

A evolução da arrecadação pode ser observada na Figura 4.6, que mostra a

componente de tendência da série. Observam-se quatro níveis principais nesse

gráfico, o 1º nível, que vai até novembro de 1995, apresenta um elevado

crescimento da série; o 2º nível, que compreende os meses de dezembro de 1995 a

fevereiro de 1997, mostra um crescimento quase nulo da arrecadação; o 3º nível,

que vai até janeiro de 1999, mostra novamente um crescimento elevado da série e o

4º nível, que compreende o ano de 1999, apresenta um início de diminuição da

arrecadação.

Figura 4.6 - Componente de tendência da série - crescimento da arrecadação

50

Devido à elevada variabilidade da série, a transformação de Box-Cox com

λ = 0 (transformação logarítmica) será empregada e a série resultante será também

modelada. Dado que o valor de março de 1996 é um outlier, ele será substituído

pelo menor valor para o mês de março na série e também pelo valor médio dos

meses de março na série [Venables & Ripley, 1999]. Desta maneira, além da série

original do IR, serão modeladas mais 5 séries: uma série utilizando o valor do mês

de março como o menor valor dos meses de março {IRmodif}, outra série utilizando

o valor médio dos meses de março {IRmodif2} e as transformações logarítmicas de

{IR}, {IRmodif} e {IRmodif2}, que serão denominadas log{IR}, log{IRmodif} e

log{IRmodif2}.

4.3 - Modelagem e previsão

4.3.1 - Alisamento exponencial

Como o método de alisamento exponencial é considerado um

procedimento automático de previsão, não se faz necessário aplicar nenhuma

estratégia de modelagem, a menos para verificar se existem tendências ou

sazonalidades. Desta maneira, o algoritmo de Holt-Winters sazonal aditivo será

empregado para a previsão das séries por meio da utilização do programa

ITSM2000. A Tabela 4.3 mostra os valores otimizados das constantes de suavização

da equação (1.28), α, β e γ , para cada uma das séries analisadas. As Tabelas 4.4,

4.5 e 4.6 mostram as previsões obtidas para cada uma das séries, a diferença

percentual entre a previsão e o valor observado (∆%) e o valor do MSE.

51

Tabela 4.3 - Coeficientes otimizadosCoeficientes otimizados

Sériesα β γ

{IR} 0,09 0,07 0,48log{IR} 0,13 0,10 0,55

{IRmodif} 0,10 0,06 0,69log{IRmodif} 0,14 0,07 0,68{IRmodif2} 0,10 0,07 0,61

log{IRmodif2} 0,13 0,10 0,64

Tabela 4.4 - Previsões geradas para as séries {IR} e log {IR}Série {IR} Série log{IR}

Mês/2000Arrecadação Real

em R$ milhões previsão ∆% MSE Previsão ∆% MSEJaneiro 5.156 5.670 9,97 - 5.622 9,04 -Fevereiro 4.206 5.135 22,09 - 4.996 18,78 -Março 5.718 6.180 8,08 - 6.072 6,19 -Abril 4.713 5.126 8,76 - 4.977 5,60 -Maio 4.113 4.376 6,39 - 4.070 -1,05 -Junho 4.261 4.350 2,09 - 4.111 -3,52 -Julho 4.937 4.994 1,15 - 4.788 -3,02 -Agosto 4.619 4.427 -4,16 - 4.140 -10,37 -Setembro 4.375 5.030 14,97 - 4.841 10,65 -Outubro 4.825 4.538 -5,95 - 4.289 -11,11 -Novembro 4.705 4.140 -12,01 - 3.845 -18,28 -Dezembro 6.546 6.355 -2,92 - 6.225 -4,90 -

Total 58.174 60.321 3,69 207.963 57.976 -0,34 221.613Diferença percentual média 4,04 -0,17

Tabela 4.5 - Previsões geradas para as séries {IRmodif} e log{IRmodif}Série {IRmodif} Série log{IRmodif}

Mês/2000Arrecadação Realem R$ milhões previsão ∆% MSE previsão ∆% MSE

Janeiro 5.156 5.709 10,73 - 5.706 10,67 -Fevereiro 4.206 5.488 30,48 - 5.309 26,22 -Março 5.718 6.140 7,38 - 6.038 5,60 -Abril 4.713 5.225 10,86 - 5.092 8,04 -Maio 4.113 4.163 1,22 - 4.020 -2,26 -Junho 4.261 4.289 0,66 - 4.139 -2,86 -Julho 4.937 4.915 -0,45 - 4.806 -2,65 -Agosto 4.619 4.285 -7,23 - 4.141 -10,35 -Setembro 4.375 5.187 18,56 - 5.055 15,54 -Outubro 4.825 4.499 -6,76 - 4.376 -9,31 -Novembro 4.705 4.043 -14,07 - 3.903 -17,05 -Dezembro 6.546 6.332 -3,27 - 6.364 -2,78 -Total 58.174 60.275 3,61 312.879 58.949 1,33 281.221Diferença percentual média 4,01 1,57

52

Tabela 4.6 - Previsões geradas para a série {IRmodif2}Série {IRmodif2} Série log{IRmodif2}

Mês/2000Arrecadação Real

em R$ milhões previsão ∆% MSE previsão ∆% MSEJaneiro 5.156 5.687 10,30 - 5.652 9,62 -Fevereiro 4.206 5.327 26,65 - 5.185 23,28 -Março 5.718 6.107 6,80 - 6.027 5,40 -Abril 4.713 5.164 9,57 - 5.034 6,81 -Maio 4.113 4.183 1,70 - 3.995 -2,87 -Junho 4.261 4.271 0,23 - 4.087 -4,08 -Julho 4.937 4.921 -0,32 - 4.746 -3,87 -Agosto 4.619 4.309 -6,71 - 4.083 -11,60 -Setembro 4.375 5.089 16,32 - 4.915 12,34 -Outubro 4.825 4.475 -7,25 - 4.280 -11,30 -Novembro 4.705 4.037 -14,20 - 3.815 -18,92 -Dezembro 6.546 6.306 -3,67 - 6.199 -5,30 -

Total 58.174 59.876 2,93 260.900 58.018 -0,27 272.674Diferença percentual média 3,29 -0,04

4.3.2 - Método Box-Jenkins

A estratégia de modelagem de Box-Jenkins consiste de três etapas,

conforme explicitado anteriormente. Para a etapa de identificação é utilizado o

correlograma da série, para uma aproximação inicial, e um procedimento de procura

dos menores valores do critério de seleção BIC. Inicialmente, a análise recairá sobre

as funções de autocorrelação amostral.

O correlograma da série {IR} está mostrado na Figura 4.7, com o

número de defasagens indo de 0 a 36 (36 corresponde a 3 no eixo horizontal). Os

picos nas autocorrelações de ordem 1, 3 e 9 indicam a não-estacionariedade da

série e sugerem a necessidade de diferenciação, talvez d = 1. Além disso, os valores

das autocorrelações indicam que o valor do termo de médias móveis pode ser de

ordem 1 ou 3, p = 0 e q = 1 ou 3.

53

Figura 4.7 - Função de autocorrelação amostral de {IR}

Ao se analisar o correlograma da primeira diferença de {IR},

mostrado na Figura 4.8, evidencia-se fortemente que o termo de médias móveis

pode ser de ordem 1, uma vez que todas as autocorrelações amostrais entre as

defasagens 2 e 10 são estatisticamente iguais a zero.

Figura 4.8 - Função de autocorrelação amostral da primeira diferença de{IR}

54

Já os valores de ρ(12) = 0,44, ρ(24) = 0,21 e ρ(36) = 0,08 na série {IR}

indicam a presença de sazonalidade e sugerem que o valor do termo de médias

móveis sazonal pode ser de ordem 1, P = 0 e Q = 1, além da necessidade de

diferenciação sazonal, D = 1. A sazonalidade pode ser evidenciada também no

gráfico da primeira diferença da série, cujos valores de ρ(12), ρ(24) e ρ(36) são 0,45,

0,32 e 0,19, respectivamente.

O gráfico da diferença sazonal, D = 1, confirma a suspeita de não-

estacionariedade e da existência de sazonalidade na série original {IR}. O resultado,

mostrado na Figura 4.9, indica autocorrelações amostrais estatisticamente iguais a

zero em todas as defasagens, menos nas defasagens 12 e 29, sendo que esse

último valor pode ser explicado como erro amostral [Granger & Newbold, 1986].

Figura 4.9 - Função de autocorrelação amostral da 12ª diferença de { IR}

Esses resultados sugerem o exame da série diferenciada duas vezes,

55

uma diferenciação regular e outra sazonal, de forma que d = 1 e D = 1

simultaneamente. O correlograma para essa diferenciação dupla está mostrado na

Figura 4.10. Notam-se valores estatisticamente diferentes de zero na defasagem 1,

o que sugere um termo MA(1), e nas defasagens 12 e 13, o que sugere fortemente a

presença de sazonalidades, de forma que Q = 1. Então, um modelo SARIMA(p = 0,

d = 1, q = 1)(P = 0, D = 1, Q = 1), representado por

( )( ) ( )( ) ,1111 1211

12tt BBXBB εθ Θ++=−−

pode ser uma estimada inicial para a análise da série em questão. Essa análise

revela-se idêntica para a série do log{IR}.

Figura 4.10 - ACF amostral da 1º e 12º diferenças de { IR}

A série {IRmodif} apresenta um comportamento que se aproxima da

estacionariedade mais do que a série original {IR}, o que comprova o fato que o

outlier de março de 1996 distorce a série. O correlograma da primeira diferença para

a série {IRmodif} não apresenta um valor estatisticamente diferente de zero na

56

defasagem 11, mas os valores referentes às defasagens 1 e 12 são significativos. Já

o correlograma da 12ª diferença mostra-se totalmente estacionário, representando

um processo ruído branco, o que significa que todo movimento sazonal foi absorvido

pela diferenciação, caracterizando o termo de média móvel sazonal como zero,

Q = 0.

O correlograma para a dupla diferenciação não apresenta pico na

defasagem 12, mas nas defasagens 1 e 13 o valor da autocorrelação amostral é

significativo. Assim, tanto a 1ª diferença quanto a 12ª diferença produzem resultados

estacionários, o que pode ser indicativo que d = D = 1. Dessa maneira, espera-se

que os modelos SARIMA(0,1,1)(0,1,0) ou SARIMA(0,1,1)(0,1,1) possam representar

adequadamente a série {IRmodif}.

Para a série log{IRmodif}, o comportamento da série se aproxima mais

da condição de estacionariedade do que a série {IRmodif}. O correlograma da

primeira diferença é idêntico ao da série {IRmodif}. O correlograma da 12ª diferença

apresenta somente um valor estatisticamente diferente de zero na defasagem 1, o

que sugere q = 1 e Q = 0. O correlograma da 1ª e 12ª diferenças simultâneas

apresenta também somente um valor elevado na defasagem 1, o que sugere que

novamente q = 1 e Q = 0. Assim, tanto pode ocorrer a diferenciação regular ou não,

de forma que d = 0 ou d = 1 e espera-se que os modelos SARIMA(0,1,1)(0,1,0) e

SARIMA(0,0,1)(0,1,0) possam representar adequadamente a série log{IRmodif}.

A série {IRmodif2} não se aproxima tanto da condição de

estacionariedade do quanto a série {IRmodif}, mostrando-se bem próxima da série

57

original {IR}. Assim, os correlogramas da 1ª diferença e da 1ª e 12ª diferenças

simultâneas possuem um comportamento similar ao correlograma da série {IR}. O

correlograma da 12ª diferença apresenta somente um valor estatisticamente

diferente de zero na defasagem 12, o que característico de série sazonal. Assim,

espera-se que um modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1) possa representar adequadamente

a série {IRmodif2}.

A série log{IRmodif2} apresenta no correlograma da 1ª diferença um

comportamento similar ao correlograma de {IR}. O correlograma da 12ª diferença

apresenta um valor estatisticamente diferente de zero na defasagem 11,

caracterizando o termo sazonal. No correlograma da 1ª e 12ª diferenças simultâneas

há picos na defasagem 1 e 12. Então, espera-se que um modelo

SARIMA(0,1,1)(0,1,1) possa representar adequadamente a série log{IRmodif2}.

Deve-se destacar que para as 5 séries descritas acima o correlograma

da série sem diferenciação é semelhante ao da série original {IR}, com picos nas

defasagens 1, 3 e 12, caracterizando a necessidade de diferenciação serial.

Após a análise feita com os correlogramas, a identificação dos modelos

a serem estimados utilizará um critério de seleção de modelos. A escolha dos

modelos se baseia na minimização do valor do BIC. Esse critério foi utilizado por ser

um critério consistente, ou seja, quanto maior as observações, mais ele seleciona

um modelo que se aproxima do verdadeiro mecanismo gerador de dados, e por ele

ser parcimonioso, ou seja, por tipicamente escolher modelos com poucos

parâmetros.

58

Aqueles modelos que apresentarem o menor valor para o BIC e os que

tiverem valor até duas unidades a mais que o menor valor do BIC serão escolhidos.

Deve-se notar que a função interna do R, a função arima0, não informa o valor do

critério BIC, mas sim do AIC. Dessa maneira, a função arima0 foi modificada para

que o valor do BIC fosse informado.

Assim, será utilizada uma função externa ao programa R obtida de

[Cribari-Neto, 2000] que se encontra no Apêndice A. Tal função calcula, para um

dado conjunto inicial de d, P, D, e Q, o valor do BIC para diferentes valores de p e q,

com 0 ≤ p ≤ 4 e 0 ≤ q ≤ 4. Assim, esses valores do BIC são armazenados em uma

matriz, cuja posição (ij) representa os valores p e q, calculados como

.11 −=−= jqeip

Os intervalos possíveis para os valores de d, P, D, e Q são definidos

como D = [1], P = [0,2], Q = [0,2], d = [0,1]. Assim, para cada série são examinados

450 modelos e seus respectivos valores do BIC, uma vez que há 18 combinações

possíveis de modelos com os valores de d, P, D, e Q conforme definidos acima e a

matriz gerada pela função externa é de tamanho 5x5, ou seja, apresenta 25

elementos ou 25 valores de p e q. A Tabela 4.7 traz, para cada série, os modelos

escolhidos pelo menor valor do critério BIC e aqueles modelos que diferem em até

duas unidades do menor valor do BIC. Os resultados resumidos dos 450 modelos

possíveis de cada série estão mostrados no Apêndice B.

Assim, para a série {IR}, a Tabela 4.7 mostra que o modelo que

apresenta o menor valor do critério BIC é o modelo airline, ou seja, um modelo

59

SARIMA(0,1,1)(0,1,1). O modelo alternativo que também será estimado é um

modelo SARIMA(0,1,1)(1,1,0). Essa conclusão coincide com a oriunda da análise

dos correlogramas.

Tabela 4.7 - Valores do BIC e modelos escolhidosModelos

Série(p,d,q) (P,D,Q)

BIC

(0,1,1) (0,1,1) 873{IR}

(0,1,1) (1,1,0) 874,9(0,1,1) (0,1,1) -18,5(0,1,1) (1,1,0) -16,7log{IR}(1,0,1) (0,1,1) -16,4(0,1,1) (0,1,0) 857,2(0,1,1) (0,1,1) 857,9(0,1,1) (1,1,0) 859,1

{IRmodif}

(1,1,1) (0,1,0) 859,3(0,0,1) (0,1,0) -32,8(0,1,1) (0,1,0) -32,3(1,0,1) (0,1,0) -31,7(0,1,1) (0,1,1) -30,9(1,0,0) (0,1,1) -30,7

log{IRmodif}

(1,0,0) (1,1,0) -30,7(0,1,1) (0,1,1) 861,6(0,1,1) (1,1,0) 863,3(0,1,2) (0,1,1) 863,5

{IRmodif2}

(1,1,1) (0,1,1) 863,8(1,0,0) (0,1,0) -27,3(0,0,1) (0,1,0) -26,7(0,1,1) (0,1,1) -26,7(0,1,1) (0,1,0) -25,5

log{IRmodif2}

(0,1,1) (1,1,0) -25,3

Nota-se, para a série log{IR}, que o modelo que apresenta o menor

valor do critério BIC é novamente o modelo airline, ou seja, um modelo

SARIMA(0,1,1)(0,1,1). Os modelos alternativos que também serão estimados são

um modelo SARIMA(0,1,1)(1,1,0) e um modelo SARIMA(1,0,1)(0,1,1). Outra vez, a

análise efetuada com os correlogramas acertou ao sugerir o modelo airline como um

modelo adequado para a série log{IR}.

60

Para a série {IRmodif} o modelo com menor valor do BIC é um

SARIMA(0,1,1)(0,1,0), mas o modelo airline, SARIMA(0,1,1)(0,1,1), apresenta um

valor do BIC muito próximo ao daquele modelo. Assim, além desses dois, um

modelo SARIMA(0,1,1)(1,1,0) e outro SARIMA(1,1,1)(0,1,0) também serão

estimados. Para essa série, a análise dos correlogramas está novamente certa, pois

sugeriu os mesmos dois modelos que também apresentaram o menor valor para o

BIC.

A série log{IRmodif} apresentou 6 modelos diferentes para serem

estimados. O modelo que possui o menor BIC é um SARIMA(0,0,1)(0,1,0), mas o

modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,0) possui o valor do BIC muito próximo ao do modelo

anterior. Esses dois modelos se distinguem por causa da diferenciação regular, ou

seja, o valor de d. E tal fato foi previsto corretamente na análise dos correlogramas

da série. Além desses dois modelos, os modelos SARIMA(1,0,1)(0,1,0),

SARIMA(1,0,0)(0,1,1), SARIMA(0,1,1)(0,1,1) e SARIMA (1,0,0)(1,1,0) serão também

estimados.

Para a série {IRmodif2} o modelo que apresenta o menor valor do BIC

é novamente um modelo airline, SARIMA(0,1,1)(0,1,1). Além desse modelo, os

modelos SARIMA(0,1,1)(1,1,0), SARIMA(0,1,2)(0,1,1) e SARIMA(1,1,1)(0,1,1) serão

estimados. O exame das autocorrelações amostrais feito anteriormente revelou

também que um possível modelo para estimação era o modelo airline.

O modelo que possui o menor valor do BIC, para a série log{IRmodif2},

é um SARIMA(1,0,0)(0,1,0). Mais 4 modelos apresentam um valor de BIC próximo

ao do menor valor, SARIMA(0,0,1)(0,1,0), SARIMA(0,1,1)(0,1,1),

61

SARIMA(0,1,1)(0,1,0) e SARIMA(0,1,1)(1,1,0). Nessa série, a análise do

correlograma não revelou apropriadamente o modelo principal a ser estimado,

porém ainda assim o modelo airline foi especificado.

Após a identificação dos prováveis modelos, a etapa da estimação

gerará os valores estimados dos parâmetros φ, θ, Φ e Θ e, por conseqüência, as

previsões. Para essa etapa, as funções internas do R arima0 e predict serão

utilizadas. Assim, de posse dos modelos escolhidos pela etapa anterior, que são

aqueles com menor valor do BIC e aqueles com uma diferença para o menor BIC

não superior a 2 unidades, calcula-se para cada série a previsão para 12 meses, a

diferença percentual entre o valor previsto e o valor real (∆%) e o valor do MSE.

As Tabelas 4.8, 4.9, 4.10, 4.11, 4.12 e 4.13 mostram os resultados das

previsões para as séries {IR}, log{IR}, {IRmodif}, log{IRmodif}, {IRmodif2} e

log{IRmodif2}, respectivamente. A Tabela 4.14 mostra o cálculo das estatísticas t,

que medem a significância estatística dos parâmetros estimados, para serem

comparados com o valor de 1,96 que corresponde ao nível assintótica da

distribuição normal a 95% de significância, para aqueles modelos com o menor valor

do BIC, conforme mostrados na Tabela 4.7.

As Figuras 4.11, 4.12, 4.13, 4.14, 4.15 e 4.16 mostram,

respectivamente, para cada uma das séries {IR}, log{IR}, {IRmodif}, log{IRmodif},

{IRmodif2} e log{IRmodif2}, um gráfico da previsão gerada pelos modelos com o

menor valor do BIC. O gráfico é composto da série temporal do imposto de renda

somente para o ano de 1999 em preto, o valor da arrecadação real no ano de

62

2000 em azul e o valor da previsão gerada para o ano de 2000 em vermelho

pontilhado.

Tabela 4.8 - Previsões geradas para a série {IR} - valores em R$ milhões(0,1,1)(0,1,1) (0,1,1)(1,1,0)

Mês Real Prev. ∆∆% Prev. ∆∆%Jan 5.156 5.708 10,71 6.232 20,87Fev 4.206 5.058 20,26 5.555 32,07Mar 5.718 6.443 12,68 6.504 13,75Abr 4.713 5.293 12,31 5.491 16,51Mai 4.113 4.750 15,49 4.282 4,11Jun 4.261 4.573 7,32 4.430 3,97Jul 4.937 5.161 4,54 5.382 9,01Ago 4.619 4.681 1,34 4.832 4,61Set 4.375 5.098 16,53 5.365 22,63Out 4.825 4.773 -1,08 4.704 -2,51Nov 4.705 4.439 -5,65 4.247 -9,73Dez 6.546 6.560 0,21 6.426 -1,83

Total 58.174 62.537 7,50 63.450 9,07∆∆% média 7,89 9,45

MSE 253.846 476.673

Figura 4.11 - Gráfico da previsão gerada para o modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1)

63

Tabela 4.9 - Previsões geradas para a série log{IR} - valores em R$ milhões(0,1,1)(0,1,1) (0,1,1)(1,1,0) (1,0,1)(0,1,1)

Mês Real Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆%Jan 5.156 5.636 9,31 6.025 16,85 5.586 8,34Fev 4.206 4.967 18,09 5.464 29,91 4.930 17,21Mar 5.718 6.401 11,94 6.451 12,82 6.319 10,51Abr 4.713 5.223 10,82 5.372 13,98 5.158 9,44Mai 4.113 4.370 6,25 4.081 -0,78 4.294 4,40Jun 4.261 4.322 1,43 4.243 -0,42 4.249 -0,28Jul 4.937 5.027 1,82 5.165 4,62 4.935 -0,04Ago 4.619 4.378 -5,22 4.497 -2,64 4.287 -7,19Set 4.375 5.010 14,51 5.247 19,93 4.912 12,27Out 4.825 4.561 -5,47 4.505 -6,63 4.458 -7,61Nov 4.705 4.118 -12,48 4.000 -14,98 4.016 -14,64Dez 6.546 6.616 1,07 6.354 -2,93 6.446 -1,53

Total 58.174 60.629 4,22 61.404 5,55 59.590 2,43∆∆% média 4,34 5,81 2,57

MSE 207.871 397.849 193.268

Figura 4.12 - Gráfico da previsão gerada para o modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1)

64

Tabela 4.10 - Previsões geradas para a série {IRmodif} - valores em R$ milhões(0,1,1)(0,1,0) (0,1,1)(0,1,1) (0,1,1)(1,1,0) (1,1,1)(0,1,0)

Mês Real Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆%Jan 5.156 5.153 -0,06 5.505 6,77 5.547 7,58 5.388 4,50Fev 4.206 5.732 36,28 5.283 25,61 5.521 31,26 6.015 43,01Mar 5.718 6.141 7,40 6.040 5,63 6.190 8,25 6.437 12,57Abr 4.713 5.201 10,35 5.181 9,93 5.215 10,65 5.500 16,70Mai 4.113 4.097 -0,39 4.137 0,58 4.060 -1,29 4.396 6,88Jun 4.261 4.282 0,49 4.239 -0,52 4.228 -0,77 4.582 7,53Jul 4.937 4.533 -8,18 4.860 -1,56 4.817 -2,43 4.833 -2,11Ago 4.619 3.697 -19,96 4.194 -9,20 4.118 -10,85 3.997 -13,47Set 4.375 5.198 18,81 5.047 15,36 5.153 17,78 5.498 25,67Out 4.825 4.224 -12,46 4.401 -8,79 4.330 -10,26 4.524 -6,24Nov 4.705 3.668 -22,04 3.922 -16,64 3.821 -18,79 3.968 -15,66Dez 6.546 5.966 -8,86 6.171 -5,73 6.062 -7,39 6.266 -4,28

Total 58.174 57.892 -0,48 58.980 1,39 59.062 1,53 61.404∆∆% média 0,12 1,79 1,98 6,26

MSE 517.505 264.761 374.351 584.730

Figura 4.13 - Gráfico da previsão gerada para o modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,0)

65

Tabela 4.11 - Previsões geradas para a série log{IRmodif} - valores em R$milhões

(0,0,1)(0,1,0) (0,1,1)(0,1,0) (1,0,1)(0,1,0) (0,1,1)(0,1,1) (1,0,0)(0,1,1) (1,0,0)(1,1,0)Mês Real

Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆%Jan 5.156 5.171 0,29 5.100 -1,09 5.114 -0,81 5.431 5,33 5.238 1,59 5.243 1,69Fev 4.206 5.718 35,95 5.674 34,90 5.695 35,40 5.217 24,04 5.583 32,74 5.615 33,50Mar 5.718 6.127 7,15 6.080 6,33 6.106 6,79 6.032 5,49 6.094 6,58 6.113 6,91Abr 4.713 5.187 10,06 5.147 9,21 5.172 9,74 5.143 9,12 5.149 9,25 5.158 9,44Mai 4.113 4.083 -0,73 4.052 -1,48 4.073 -0,97 4.035 -1,90 4.026 -2,12 4.034 -1,92Jun 4.261 4.268 0,16 4.235 -0,61 4.260 -0,02 4.157 -2,44 4.202 -1,38 4.212 -1,15Jul 4.937 4.519 -8,47 4.484 -9,18 4.512 -8,61 4.781 -3,16 4.570 -7,43 4.570 -7,43Ago 4.619 3.683 -20,26 3.655 -20,87 3.678 -20,37 4.049 -12,34 3.770 -18,38 3.768 -18,42Set 4.375 5.184 18,49 5.144 17,58 5.178 18,35 5.001 14,31 5.114 16,89 5.132 17,30Out 4.825 4.210 -12,75 4.178 -13,41 4.206 -12,83 4.321 -10,45 4.207 -12,81 4.208 -12,79Nov 4.705 3.654 -22,34 3.626 -22,93 3.651 -22,40 3.814 -18,94 3.667 -22,06 3.667 -22,06Dez 6.546 5.952 -9,07 5.906 -9,78 5.948 -9,14 6.157 -5,94 5.947 -9,15 5.947 -9,15

Total 58.174 57.756 -0,72 57.281 -1,54 57.593 -1,00 58.138 -0,06 57.567 -1,04 57.667 -0,87

∆∆% média -0,13 -0,84 -0,41 0,26 -0,52 -0,34MSE 518.353 516.689 512.026 278.206 455.430 467.035

Figura 4.14 - Gráfico da previsão gerada para o modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,0)

66

Tabela 4.12 - Previsões geradas para a série {IRmodif2} - valores em R$milhões

(0,1,1)(0,1,1) (0,1,1)(1,1,0) (0,1,2)(0,1,1) (1,1,1)(0,1,1)Mês Real

Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆%Jan 5.156 5.624 9,08 5.847 13,40 5.720 10,94 5.704 10,63Fev 4.206 5.194 23,49 5.523 31,31 5.406 28,53 5.378 27,86Mar 5.718 6.151 7,57 6.320 10,53 6.332 10,74 6.325 10,62Abr 4.713 5.247 11,33 5.327 13,03 5.428 15,17 5.425 15,11Mai 4.113 4.360 6,01 4.147 0,83 4.503 9,48 4.507 9,58Jun 4.261 4.370 2,56 4.306 1,06 4.533 6,38 4.533 6,38Jul 4.937 5.021 1,70 5.061 2,51 5.183 4,98 5.184 5,00Ago 4.619 4.420 -4,31 4.431 -4,07 4.567 -1,13 4.570 -1,06Set 4.375 5.079 16,09 5.236 19,68 5.264 20,32 5.260 20,23Out 4.825 4.571 -5,26 4.487 -7,01 4.728 -2,01 4.729 -1,99Nov 4.705 4.139 -12,03 4.002 -14,94 4.285 -8,93 4.289 -8,84Dez 6.546 6.358 -2,87 6.214 -5,07 6.512 -0,52 6.515 -0,47

Total 58.174 60.534 4,06 60.901 4,69 62.461 7,37 62.419 7,30

∆∆% média 4,45 5,10 7,83 7,75MSE 225.266 372.106 326.076 317.364

Figura 4.15 - Gráfico da previsão gerada para o modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1)

67

Tabela 4.13 - Previsões geradas para a série log{IRmodif2} - valores em R$milhões

(0,0,1)(0,1,0) (0,1,1)(0,1,0) (1,0,1)(0,1,0) (0,1,1)(0,1,1) (1,0,0)(0,1,1)Mês Real

Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆% Prev. ∆∆%Jan 5.156 5.160 0,08 5.173 0,33 5.502 6,71 5.143 -0,25 5.714 10,82Fev 4.206 5.727 36,16 5.718 35,95 4.993 18,71 5.723 36,07 5.448 29,53Mar 5.718 6.131 7,22 6.127 7,15 6.101 6,70 6.132 7,24 6.281 9,85Abr 4.713 5.188 10,08 5.187 10,06 5.134 8,93 5.191 10,14 5.251 11,42Mai 4.113 4.083 -0,73 4.083 -0,73 4.162 1,19 4.086 -0,66 4.024 -2,16Jun 4.261 4.268 0,16 4.268 0,16 4.193 -1,60 4.271 0,23 4.190 -1,67Jul 4.937 4.519 -8,47 4.519 -8,47 4.889 -0,97 4.523 -8,39 4.929 -0,16Ago 4.619 3.683 -20,26 3.683 -20,26 4.208 -8,90 3.686 -20,20 4.222 -8,59Set 4.375 5.184 18,49 5.184 18,49 4.944 13,01 5.188 18,58 5.158 17,90Out 4.825 4.210 -12,75 4.210 -12,75 4.418 -8,44 4.213 -12,68 4.369 -9,45Nov 4.705 3.654 -22,34 3.654 -22,34 3.949 -16,07 3.657 -22,27 3.857 -18,02Dez 6.546 5.952 -9,07 5.952 -9,07 6.362 -2,81 5.957 -9,00 6.166 -5,81

Total 58.174 57.759 -0,71 57.758 -0,72 58.855 1,17 57.770 -0,69 59.609 2,47

∆∆% média -0,12 -0,12 1,37 -0,10 2,80MSE 520.964 518.359 194.672 518.733 359.625

Figura 4.16 - Gráfico da previsão gerada para o modelo SARIMA(1,0,0)(0,1,0)

68

Tabela 4.14 - Cálculo das estatísticas t para os modelos com menor BICParâmetros estimados

Série Modeloerro-padrão

estatística t (em valor absoluto)

-1,00 -0,69{IR} (0,1,1)(0,1,1)

0,13 0,277,69 2,55

-0,84 -0,57log{IR} (0,1,1)(0,1,1)

0,12 0,207,00 2,85

-0,78{IRmodif} (0,1,1)(0,1,0)

0,126,50

0,41log{IRmodif} (0,0,1)(0,1,0)

0,113,72

-0,87 -0,50{IRmodif2} (0,1,1)(0,1,1)

0,15 0,205,80 2,50

0,39log{IRmodif2} (0,0,1)(0,1,0)

0,128,33

Após a obtenção das previsões, a próxima etapa do método de Box-

Jenkins é a verificação da qualidade do ajuste. Por causa da quantidade de modelos

selecionados, somente aqueles modelos que apresentaram o menor valor do BIC

são verificados. Para essa verificação, a função interna do R arima0.diag será

utilizada, mas com algumas modificações. Como a função original não traça as

bandas assintóticas da distribuição normal (1,96 e -1,96) no gráfico dos Resíduos

Normalizados, tais linhas foram incorporadas.

A função original calcula os valores p para a estatística Box-Pierce e

não para a estatística Ljung-Box, e isso também foi modificado, uma vez que a

estatística Ljung-Box é tipicamente mais precisa em amostras pequenas. Nesse

mesmo gráfico, como todos os valores p devem estar acima de 0,05 e abaixo de 1, o

limite do eixo vertical foi aumentado para que uma linha tracejada fosse traçada

justamente no limite de y = 1. Além disso, os títulos e as legendas dos gráficos estão

em português.

69

Os gráficos de diagnóstico para o modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1) da

série {IR}, cuja equação estimada é dada por

( )( ) ( )( )[ ] [ ]27,013,0

,69,01111 1212tt BBXBB ε−−=−−

onde os valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão

para os parâmetros estimados, sugerem a validade do modelo.

Os gráficos de diagnóstico para o modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1) da

série log{IR}, cuja equação estimada é dada por

( )( ) ( )( )[ ] [ ]20,012,0

,57,0184,0111 1212tt BBXBB ε−−=−−

onde os valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão

para os parâmetros estimados, sugerem a validade do modelo.

Os gráficos de diagnóstico para o modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,0) da série

{IRmodif}, cuja equação estimada é dada por

( )( ) ( )[ ]12,0

,78,0111 12tt BXBB ε−=−−

onde os valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão

para os parâmetros estimados, sugerem a validade do modelo.

Os gráficos de diagnóstico para o modelo SARIMA(0,0,1)(0,1,0) da série

log{IRmodif}, cuja equação estimada é dada por

( ) ( )[ ]11,0

,41,011 12tt BXB ε+=−

70

onde os valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão

para os parâmetros estimados, sugerem a validade do modelo.

Os gráficos de diagnóstico para o modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1) da série

{IRmodif2}, cuja equação estimada é dada por

( )( ) ( )( )[ ] [ ]20,015,0

,50,0187,0111 1212tt BBXBB ε−−=−−

onde os valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão

para os parâmetros estimados, sugerem a validade do modelo.

Os gráficos de diagnóstico para o modelo SARIMA(0,0,1)(0,1,0) da série

log{IRmodif2}, cuja equação estimada é dada por

( )( )[ ]12,0

,139,01 12ttXBB ε=−+

onde os valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão

para os parâmetros estimados, sugerem a validade do modelo.

Após a apresentação dos resultados obtidos para as previsões

oriundas dos diversos métodos, no próximo capítulo discutir-se-ão as previsões e

será feita uma comparação entre os três métodos de previsão apresentados até

aqui. Depois da comparação, um dos métodos será recomendado para realizar

previsões na SRF. De posse desse método, serão geradas previsões para as séries

desagregadadas do IR (IRPF, IRPJ e IRRF-trab) e seus resultados serão

comparados com os valores obtidos pelo método dos indicadores. Por fim, serão

realizadas previsões com o horizonte reduzido para 1 passo e 3 passos à frente.

71

5 - Discussão dos resultados

Neste capítulo, serão comparados os resultados obtidos pelo método de

indicadores, pelo algoritmo de Holt-Winters sazonal e pela modelagem de Box-

Jenkins para a série {IR} e faz-se a escolha de um método de previsão para

representar os dados. Serão apresentados ainda os resultados para mais três

impostos que compõem o Imposto sobre a Renda. Além disso, são obtidas

previsões para 1 passo e 3 passos à frente.

5.1 - Comparação de resultados

Apesar de o método utilizado pela SRF não ser estatisticamente confiável,

deve-se comparar os resultados obtidos pelo método dos indicadores com os

oriundos dos métodos de alisamento exponencial e Box-Jenkins, para analisar o

melhoramento nos resultados de previsão introduzido pela adoção dessas novas

técnicas econométricas, estatisticamente mais confiáveis.

Como o método dos indicadores utiliza somente a série de dados sem

transformação, inicialmente a comparação será feita com os resultados para a série

intitulada {IR}. Teoricamente, a comparação pode se basear no valor do MSE, uma

vez que os valores reais estão disponíveis. A Tabela 5.1 resume os resultados das

Tabelas 3.2, 4.3 e 4.7. O modelo SARIMA escolhido foi aquele de menor valor do

BIC, que coincidentemente também possui o menor valor de MSE.

72

Tabela 5.1 - Comparação de resultados para a série {IR}Índices

Método∆% agregada ∆% média MSE

Indicadores -10,72 -10,17 585.247Holt-Winters sazonal 3,69 4,04 207.963

SARIMA(0,1,1)( 0,1,1) 7,5 7,9 253.846

Apesar de o valor da diferença percentual ser um índice meramente

ilustrativo, que mostra quão próximo o modelo previu o valor observado, esse valor

pode ser utilizado como comparação didática entre os modelos. Assim, os modelos

de alisamento exponencial e de Box-Jenkins aproximam-se melhor dos valores

observados para a série{IR} quando comparados aos valores das diferenças

percentuais dos métodos. Verifica-se ainda que as previsões geradas pelo método

de indicadores subestimam as receitas anuais totais em mais de 10% e subestimam,

na média, as arrecadações mensais em mais de 10%.

Além disso, nota-se que as metodologias de alisamento exponencial e Box-

Jenkins superaram a capacidade preditiva do métodos de indicadores, pois elas

apresentam menores valores de MSE. A diferença do MSE entre os dois métodos e

do métodos de indicadores é maior que 100%, o que indica a presença de grandes

resíduos gerados pelo método utilizado pela SRF, caracterizando novamente a

inadequabilidade desse método. A comparação entre os métodos de Holt-Winters e

Box-Jenkins será apresentada a seguir.

Como o método dos indicadores não inclui uma análise exploratória dos

dados da série histórica e como o valor de março de 1996 é uma observação outlier,

a comparação agora será feita entre as metodologias alisamento exponencial (HWS)

e Box-Jenkins, e entre as séries {IR}, log{IR}, {IRmodif}, log{IRmodif}, {IRmodif2}

73

e log{IRmodif2}. Essa comparação utilizará o menor valor do MSE para caracterizar

o modelo com a melhor capacidade preditiva. A Tabela 5.2 resume as informações

das Tabelas 4.3, 4.4, 4.5, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11 e 4.12. Os 6 modelos SARIMA

foram escolhidos pelo critério de menor BIC.

Tabela 5.2 - Comparação de resultados para todas as sériesÍndices

Série Método/Modelo∆% agregada ∆% média MSE

HWS 3,69 4,04 207.963{IR}

SARIMA(0,1,1)( 0,1,1) 7,5 7,9 253.846HWS -0,34 -0,17 221.613

log{IR}SARIMA(0,1,1)( 0,1,1) 4,22 4,34 207.871

HWS 3,61 4,01 312.879{IRmodif}

SARIMA(0,1,1)( 0,1,0) -0,48 -0,12 517.505HWS 1,33 1,57 281.221

log{IRmodif}SARIMA(0,0,1)( 0,1,0) -0,72 -0,13 518.353

HWS 2,93 3,29 260.900{IRmodif2}

SARIMA(0,1,1)( 0,1,1) 4,06 4,45 225.266HWS -0,27 -0,04 272.674

log{IRmodif2}SARIMA(0,0,1)( 0,1,0) -0,71 -0,12 520.964

Em relação à série {IR}, o método de alisamento exponencial forneceu

melhores previsões do que o modelo SARIMA, pois os valores das diferenças

percentuais são menores para o primeiro método. Ainda, a capacidade preditiva do

método HWS é melhor que a do método Box-Jenkins em termos do valor do MSE.

Os dois métodos superestimaram as previsões da arrecadação total e a média da

arrecadação mensal.

Para a série log{IR}, o método de alisamento exponencial conseguiu

aproximar-se com diferenças quase nulas dos valores observados, visto que a ∆%

agregada é inexpressiva. Contudo, a modelagem SARIMA possui uma capacidade

74

preditiva superior, pois o valor do seu MSE é inferior ao valor do MSE para o

método HWS. A modelagem HWS subestimou tanto a arrecadação agregada quanto

a arrecadação média mensal. Já o método Box-Jenkins superestimou as receitas em

aproximadamente 4%.

A transformação da série {IR} em logaritmos produziu efeitos diversos nas

duas modelagens. Para o alisamento exponencial, a transformação fez as diferenças

percentuais se reduzirem a quase zero, mas o valor do MSE aumentou em

aproximadamente 10%. Em relação ao método Box-Jenkins, a transformação

diminui tanto as diferenças percentuais quanto o MSE. Assim, a transformação

logarítmica conseguiu estabilizar a série e apresentar previsões melhores do que a

série original.

Em relação à série {IRmodif}, nota-se que a modelagem SARIMA aproximou-

se mais dos valores reais observados, com diferenças percentuais próximas de zero,

mas o valor do MSE foi menor para a modelagem HWS. Assim, para essa série, o

método de alisamento exponencial apresenta uma melhor capacidade preditiva. A

modelagem SARIMA subestimou as receitas enquanto que HWS superestimou a

arrecadação em 4%.

Em relação à série log{IRmodif}, a capacidade preditiva do método HWS é

muito superior à do método Box-Jenkins, visto que a diferença entre os MSE é maior

que 80%. As diferenças percentuais são menores para a modelagem. Tal qual na

série {IRmodif}, a modelagem SARIMA subestimou as receitas enquanto que HWS

superestimou a arrecadação em 2%.

75

Assim, a transformação logarítmica da série {IRmodif} produziu efeitos

diversos nas duas modelagens. Para a modelagem HWS, os logaritmos diminuíram

tanto o valor do MSE quanto os valores das diferenças percentuais. Por outro lado, a

metodologia Box-Jenkins não captou muito bem essa transformação, uma vez que

suas diferenças percentuais e o valor do MSE mantiveram-se constantes.

Para a série {IRmodif2}, verifica-se que a modelagem SARIMA possui uma

capacidade de previsão superior ao método HWS em cerca de 20% e as diferenças

percentuais são menores para o método HWS. As duas modelagens

superestimaram as receitas total e a média mensal entre 3 e 4%. A transformação

logarítmica fez com que as duas modelagens diminuíssem suas capacidades

preditivas, sendo que o método Box-Jenkins apresentou uma piora maior, pois a

diferença entre os MSE é de mais de 100%. Nota-se que os logaritmos fizeram as

diferenças percentuais serem reduzidas para próximo de zero para os dois métodos.

A substituição do valor outlier de março de 1996, ou seja, a transformação da

série {IR} em {IRmodif} e em {IRmodif2}, produziu efeitos diversos nas duas

modelagens. Para o método de alisamento exponencial essas transformações

diminuíram a capacidade preditiva do método. O valor do MSE aumentou em cerca

de 50% para a transformação {IRmodif} e em cerca de 30% para a transformação

{IRmodif2}. Nota-se que as diferenças percentuais se mantiveram praticamente

constantes nas duas transformações.

Para o método de Box-Jenkins a transformação da série original {IR} em

{IRmodif} diminui sensivelmente a capacidade preditiva do método. O valor do MSE

76

aumentou em mais de 100%. Porém, a transformação {IRmodif2} aumentou a

capacidade de previsão do método, pois o valor do MSE diminuiu 10%. Nota-se que

as diferenças percentuais para a transformação {IRmodif} são bem próximas de

zero, enquanto que para a outra transformação essas diferenças são próximas de

4%.

As transformações logarítmicas das séries, log{IR} em log{IRmodif} e em

log{IRmodif2}, produzirem efeitos iguais para as duas modelagens. Os valores do

MSE para a série log{IR} nas duas modelagens são menores do que os mesmos

valores para as séries log{IRmodif} e log{IRmodif2}. Isso mostra que para os

logaritmos a substituição do outlier diminuiu a capacidade preditiva dos métodos de

alisamento exponencial e Box-Jenkins.

A Tabela 5.1 mostra ainda que a modelagem HWS se adapta melhor à série

original {IR}, com o valor do MSE em 207.963. A modelagem Box-Jenkins adapta-se

melhor à série log{IR}, com o valor do MSE em 207.871. Em termos da diferença

percentual agregada, a modelagem HWS produziu as menores diferenças na série

log{IRmodif2}, -0,27%. A modelagem Box-Jenkins produziu as menores diferenças

na série {IRmodif}, 0,48%.

Em relação à significância estatística dos modelos SARIMA constantes da

Tabela 4.14 e da tabela 5.2, deve-se comparar os valores absolutos calculados para

a estatística t com o valor crítico de 1,96, que corresponde ao nível assintótico da

distribuição normal para 5% de significância. Assim, deve-se rejeitar a hipótese nula

que os parâmetros são individualmente nulos, com 95% de confiança, para todos os

77

modelos constantes da Tabela 4.14. Porém, tais testes devem ser tomados com

cautela, devido ao fato que o número reduzido de observações pode causar viés nas

estimativas das variâncias [Ansley & Newbold, 1980]. Por isso, os testes de

significância estatística não serão considerados.

5.2 - Escolha do método de previsão

Pelo explicitado na seção anterior, os dois métodos de previsão, baseados no

algoritmo de Holt-Winters sazonal e de Box-Jenkins, apresentaram resultados muito

parecidos entre si, tanto para valores de MSE quanto para as diferenças percentuais

agregadas. Então, a escolha do método poderia ser feita em relação a

características de simplicidade, automaticidade ou praticidade no uso. Assim, a

escolha mais óbvia seria o método de alisamento exponencial em detrimento ao

método de Box-Jenkins.

Contudo, nem sempre o método de alisamento exponencial produz previsões

iguais ou superiores ao método de Box-Jenkins. Em um estudo realizado por Paul

Newbold e Clive Granger [Newbold & Granger, 1974] com 106 séries econômicas

(80 mensais e 26 trimestrais), incluindo séries macro e microeconômicas sazonais e

não-sazonais, a capacidade preditiva dos métodos de Box-Jenkins e alisamento

exponencial foi comparada utilizando o critério do MSE. A Tabela 5.3 mostra a

percentagem de ocasiões que o método Box-Jenkins (BJ) superou o alisamento

exponencial (HW) para previsões até 8 passos a frente.

78

Tabela 5.3 - Percentagem (%) de vezes que BJ superou HWPassos à frente

1 2 3 4 5 6 7 8BJ:HW 73 64 60 58 58 57 58 58

Nota-se pela Tabela 5.3 que a metodologia de Box-Jenkins é claramente

superior ao método de alisamento exponencial para previsões poucos passos à

frente. Quando o horizonte de previsão é mais longo, a vantagem comparativa do

método ARIMA diminui. Mas isso é devido principalmente à influência das séries

não-sazonais e, ao se considerar somente séries sazonais, a vantagem do método

Box-Jenkins persiste a longo prazo [Newbold & Granger, 1974]. Ao se analisar mais

detalhadamente as previsões um passo à frente, nota-se que

.8,0previsõesde

previsõesde=

HWMSE

ARIMAMSE

Isso mostra que os erros de previsão do método Box-Jenkins são 20% inferiores aos

erros do método de alisamento exponencial.

Os autores sugerem ainda algumas regras que servem de base para decidir

qual método de previsão escolher:

(a) Para séries com até 30 observações o método de Holt-Winters deve ser

utilizado.

(b) Para séries com mais de 30 e menos de 50 observações não há muita

certeza, e pode-se escolher entre Holt-Winters e modelos ARIMA.

(c) Para séries com mais de 50 observações, se o custo de previsão não

for importante, deve-se utilizar modelos ARIMA. Caso o custo de previsão

seja importante, deve-se utilizar Holt-Winters ou modelos AR.

79

Então, recomenda-se que a modelagem Box-Jenkins seja seguida para se

fazer as previsões da série do Imposto de Renda e, generalizando, para todas as

previsões dos tributos administrados pela Secretaria da Receita Federal.

5.3 - Escolha de um modelo SARIMA

Como na prática não se dispõe dos dados futuros para que o modelo com a

melhor capacidade preditiva (menor valor de MSE) seja escolhido, o valor do critério

BIC deve ser utilizado. Assim, analisando a Tabela 4.6, nota-se que o modelo com o

menor valor de BIC é um modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,0) com uma diferença de 0,7

unidades para um modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1), para a série {IRmodif}. Nota-se

que, para as três séries não transformadas em logaritmo, o modelo com o menor

BIC é o modelo airline.

Para as séries logarítmicas, o modelo com menor BIC é um

SARIMA(0,0,1)(0,1,0) com uma diferença de 0,5 unidades para um modelo

SARIMA(0,1,1)(0,1,0), para a série log{IRmodif}. Para as séries logarítmicas, o

modelo airline não obteve um valor para o BIC competitivo.

Assim, se em termos do valor do MSE as transformações no valor outlier

tiveram pouco sucesso, conforme visto na seção 5.1, para a análise do valor do BIC

a transformação do valor do mês de março para o menor valor da série mostrou-se

satisfatória. Os modelos selecionados que possuem o menor valor do BIC são os

das séries {IRmodif} e log{IRmodif}, conforme mostra a Tabela 4.6. Ainda, ao se

analisar as Tabelas 4.9 e 4.10, nota-se que esses modelos apresentam valores

80

muito baixos para as diferenças percentuais agregadas, o modelo

SARIMA(0,1,1)(0,1,0), da série {IRmodif}, produziu uma ∆% agregada de -0,48% e o

modelo SARIMA(0,0,1)(0,1,0), da série log{IRmodif}, produziu uma ∆% agregada de

-0,72%.

Desta maneira, apesar de a diferença em termos de BIC ser menor que 0,1%

para os modelos SARIMA da série {IRmodif}, a escolha do modelo deve ser feita

respeitando-se o princípio da parcimônia, aquele em que modelos mais simples

sempre devem ser preferidos. Então, o modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,0) é escolhido em

vez do modelo airline. A equação do modelo ajustado é dada por

( )( ) ( )[ ]12,0

78,0111 12tt BXBB ε−=−−

e os gráficos de diagnóstico sugerem a validade do modelo escolhido e ajustado.

Para a série log{IRmodif}, o modelo escolhido é um SARIMA(0,0,1)(0,1,0),

respeitando-se o princípio da parcimônia. A equação do modelo ajustado é dada por

( ) ( )[ ]11,0

41,011 12tt BXB ε+=−

e os gráficos de diagnóstico sugerem a validade do modelo escolhido e ajustado.

5.4 - Resultados da previsão para outros impostos

Com o objetivo de evitar repetições, as previsões para os impostos sobre a

renda de Pessoas Físicas (IRPF), Pessoas Jurídicas (IRPJ) e o imposto de renda

retido na fonte - Rendimentos do Trabalho (IRRF- trab) não serão analisadas tão

81

detidamente quanto a previsão para o imposto de renda agregado. Os resultados

obtidos pelo método dos indicadores, conforme mostra a Tabela 3.2, serão

comparados aos obtidos por modelos SARIMA. Tais modelos foram escolhidos

conforme os procedimentos apresentados na seção 5.3, ou seja, modelos com o

menor valor do BIC, que respeitem o princípio da parcimônia.

Além das séries do {IRPF}, {IRPJ} e {IRRF-trab} foram investigadas também

as transformações logarítmicas para as mesmas. Assim, a Tabela 5.4 mostra as

previsões obtidas para as séries {IRPF}, log{IRPF}, {IRPJ}, log{IRPJ} e {IRRF-trab} e

log{IRRF-trab}, de acordo com cada método de previsão.

Tabela 5.4 - Comparação de resultados para as outras sériesÍndices

Série Método/Modelo∆% agregada ∆% média MSE

Indicadores -4,70 -11,28 3.602{IRPF}

SARIMA(0,1,1)(0,1,0) -2,50 -5,84 3.171

log{IRPF} SARIMA(0,1,1)(0,1,0) 0,75 -2,64 3.631

Indicadores -24,26 -23,14 188.725{IRPJ}

SARIMA(0,1,1)(0,1,1) -18,93 -19,23 117.418

log{IRPJ} SARIMA(0,0,0)(0,1,1) -15,94 -14,37 104.643

Indicadores -10,06 -8,8 69.494{IRRF-trab}

SARIMA(0,1,1)(0,1,1) -9,94 -8,55 59.961

log{IRRF-trab} SARIMA(1,0,0)(0,1,0) -9,79 -8,55 60.765

Nota-se pela análise da Tabela 5.4 que todos os modelos SARIMA possuem

capacidade preditiva superior ao método dos indicadores, i.e., possuem o valor do

MSE inferior ao obtido pelo método dos indicadores. A única exceção é o modelo

SARIMA(0,1,1)(0,1,0) da série log{IRPF}. Porém, a diferença dos valores do MSE

para as duas previsões é desprezível, cerca de 1%. Verifica-se também que os

82

valores das diferenças percentuais calculadas para os modelos SARIMA são bem

inferiores que para o método dos indicadores.

Além disso, nota-se que a utilização da transformação logarítmica trouxe

resultados benéficos, em termos do MSE, somente para a série {IRPJ}, cujo valor do

MSE foi reduzido em torno de 10%. As duas outras séries apresentaram ou

resultado pior, com diminuição da capacidade preditiva em cerca de 13% para a

série {IRPF}, ou resultado praticamente constante, com diminuição em torno 1,5%

para a série {IRRF-trab}.

O modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,0) estimado para a série {IRPF} possui equação

de acordo com

( )( ) ( )[ ]085,0

84,0111 12tt BXBB ε−=−−

e os gráficos de diagnóstico sugerem a validade do modelo escolhido e ajustado. Os

valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão para os

parâmetros estimados.

O modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,0) estimado para a série log{IRPF} possui

equação de acordo com

( )( ) ( )[ ]081,0

81,0111 12tt BXBB ε−=−−

e os gráficos de diagnóstico sugerem a validade do modelo escolhido e ajustado. Os

valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão para os

parâmetros estimados.

83

O modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1) estimado para a série {IRPJ} possui equação

de acordo com

( )( ) ( )[ ] [ ]32,017,0

)1(97,0111 1212tt BBXBB ε−−=−−

e os gráficos de diagnóstico sugerem a validade do modelo escolhido e ajustado. Os

valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão para os

parâmetros estimados.

O modelo SARIMA(0,0,0)(0,1,1) estimado para a série log{IRPJ} possui

equação de acordo com

( )[ ]20,0

)63,01(1 1212tt BXB ε−=−

e os gráficos de diagnóstico sugerem a validade do modelo escolhido e ajustado. Os

valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão para os

parâmetros estimados.

O modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1) estimado para a série {IRRF-trab} possui

equação de acordo com

( )( ) ( )[ ] [ ]24,011,0

)45,01(62,0111 1212tt BBXBB ε−−=−−

e os gráficos de diagnóstico sugerem a validade do modelo escolhido e ajustado. Os

valores entre colchetes representam os valores aproximados do erro padrão para os

parâmetros estimados.

O modelo SARIMA(1,0,0)(0,1,0) estimado para a série log{IRRF-trab} possui

84

equação de acordo com

( )( )[ ]11,0

12159,01 ttXBB ε=−−

e os gráficos de diagnóstico sugerem a validade do modelo. Os valores entre

colchetes representam os valores aproximados do erro padrão para os parâmetros

estimados.

5.5 - Previsões com horizonte reduzido

Em conformidade com o estudo realizado por Paul Newbold e Clive Granger

[Newbold & Granger, 1974], o horizonte de previsão será reduzido para que os dois

métodos de previsão, alisamento exponencial e Box-Jenkins, possam ser

comparados em relação ao grau de acurácia, que será medido pelo MSE. As

previsões serão feitas para 1 passo e 3 passos à frente para a série log{IR}, de

forma que se utilizará a série com observações até janeiro de 2000 para prever o

valor da arrecadação do mês de fevereiro de 2000 e com observações até março de

2000 para fazer previsões para os meses de abril, maio e junho de 2000.

Os métodos de previsão utilizados serão alisamento exponencial e método

Box-Jenkins. O modelo para o método Box-Jenkins é um SARIMA(0,1,1)(0,1,1), que

possui o menor valor para o critério do BIC para a série log{IR}, conforme mostra a

Tabela 4.7. A Tabela 5.5 mostra os resultados obtidos para a previsão 1 passo à

frente para cada método e a Tabela 5.6 mostra os resultados para a previsão 3

passos à frente para cada método.

85

Tabela 5.5 - Previsões geradas 1 passo à frente - valores em R$ milhõesMês

Método/ModeloFevereiro

∆% MSE

HWS 4.897 16,43 477.481SARIMA(0,1,1)(0,1,1) 4.489 15,28 413.449Valor arrecadado real 4.206

Tabela 5.6 - Previsões geradas 3 passos à frente - valores em R$ milhõesMês

Método/ModeloAbril Maio Junho

∆% -agregada

∆% -média

MSE

HWS 4.673 3.860 3.856 -5,33 -5,50 76.545SARIMA(0,1,1)(0,1,1) 4.873 4.207 4.088 0,62 0,54 21.455Valor arrecadado real 4.713 4.113 4.621

Pela Tabela 5.5, nota-se que o modelo SARIMA forneceu melhores previsões

do que o método HWS, pois o valor da diferença percentual é menor para o modelo

airline. Ainda, a capacidade preditiva do modelo SARIMA é superior em cerca de

10% em relação ao método HWS, em termos do valor do MSE. Os dois métodos

superestimaram a previsão mensal em torno de 15%.

Pela Tabela 5.6, verifica-se que o modelo SARIMA possui características

preditivas superiores ao método de alisamento exponencial, pois os valores da

diferença percentual agregada e média são quase nulos para a modelagem Box-

Jenkins. Além disso, a diferença dos valores do MSE para os dois métodos é

superior a 300%, indicando que, em termos de precisão segundo o MSE, o modelo

SARIMA é mais de 3 vezes preciso. Então, evidencia-se pela análise das duas

tabelas que o método de Box-Jenkins produziu previsões superiores em relação ao

método de alisamento exponencial para horizontes curtos de previsão, o que está de

acordo com o estudo dos autores mencionados.

86

Além de se comparar os dois métodos de previsão, a redução do horizonte de

previsão pode ser útil para se revisar e ajustar as previsões calculadas

anteriormente. Assim, pode-se imaginar uma estratégia de revisão a cada bimestre

ou trimestre à medida que novas observações vão sendo acrescentadas à série. Por

exemplo, suponha que ocorra uma revisão em meados do final de 1º trimestre para

ajustar as previsões efetuadas para o 2º trimestre, que foram calculadas com um

modelo com horizonte de 12 passos à frente.

Ao se comparar os dados de previsão para os meses do 2º trimestre da

Tabela 4.9 com os dados da Tabela 5.6, nota-se uma clara melhoria em relação

tanto ao valores das diferenças agregadas e médias quanto em relação ao valor do

MSE. A Tabela 5.7 mostra os resultados dessa comparação utilizando um modelo

SARIMA(0,1,1)(0,1,1) para a série log{IR}. A Figura 5.1 mostra graficamente tal

comparação, na qual a reta azul representa o valor real, a reta vermelha a previsão

com 3 passos à frente e a reta verde a previsão com 12 passos à frente.

Tabela 5.7 - Comparação entre previsões - valores em R$ milhõesMêsNº de passos à frente do

modelo Abril Maio Junho∆% -

agregada∆% -média

MSE

3 4.873 4.207 4.088 0,62 0,54 21.45512 5.223 4.370 4.322 6,33 6,17 109.957

Valor arrecadado real 4.713 4.113 4.621

87

Figura 5.1 - Comparação gráfica da revisão da arrecadação

88

6 - Conclusão

O objetivo principal desse trabalho foi aplicar métodos estatísticos e

econométricos na busca de previsões mais confiáveis e mais acuradas para a

arrecadação do tributo federal denominado como Imposto sobre a Renda. Ao

mesmo tempo, buscou-se mostrar que o método atualmente utilizado pela Secretaria

da Receita Federal, conhecido como método de indicadores, poderia ser aprimorada

econometricamente mediante a utilização da metodologia proposta neste estudo.

Os métodos estatísticos de previsão utilizados ao longo do trabalho foram o

alisamento exponencial, principalmente o algoritmo de Holt-Winters sazonal aditivo,

e a metodologia de Box-Jenkins, principalmente a modelagem SARIMA. Tais

métodos se mostraram superiores ao método de indicadores, gerando previsões

mais acuradas. Um fato importante relacionado ao uso dessas modelagens é que

sua utilização depende apenas dos dados históricos da série temporal em questão,

ou seja, as modelagens trabalham com séries temporais univariadas.

Apesar de parecer paradoxal que as previsões obtidas com modelos mais

simples possam gerar previsões mais precisas, tal fato está bem estabelecido na

literatura [Cooper, 1972]. Existem também comparações entre os vários métodos de

previsão com modelos univariados, sendo o principal estudo realizado por [Newbold

& Granger, 1974]. Os autores mostraram a superioridade da modelagem SARIMA

em relação a métodos de modelagem automático. Nesse mesmo estudo, os autores

verificaram que a combinação de métodos de previsão pode gerar resultados tão ou

89

mais precisos que a utilização dos métodos individualmente.

Assim, fica aqui a primeira recomendação para um futuro trabalho, estudar os

resultados da combinação do método de Box-Jenkins com o alisamento exponencial

e verificar a precisão das previsões geradas. Essa combinação pode ser pensada

como uma combinação linear entre os dois métodos, de forma que os pesos

associados ao métodos possam ser estimados.

A comparação entre os métodos efetuada nesta dissertação teve como

principal função a escolha de uma metodologia que pudesse ser aplicada para a

previsão de todos os tributos federais. Assim, a escolha da metodologia Box-Jenkins

foi amplamente amparada na literatura e no estudo de caso aqui exposto. Porém,

pode surgir a dúvida por que nessa comparação não foram utilizados também os

resultados de uma regressão.

Primeiramente, porque a modelagem de uma regressão requer um total

conhecimento da relação entre as variáveis do modelo, o que no caso de

arrecadação tributária poderia gerar modelos subparametrizados ou

superparametrizados, uma vez que a arrecadação de tributos é dependente de

muitas variáveis econômicas. Tal fato poderia gerar modelos incorretamente

especificados, principalmente se o analista possuir pouca experiência com modelos

de regressão. Além disso, Gourieroux & Monfort (1997), em uma comparação entre

a modelagem ARIMA e a modelagem de regressão, mostraram que o erro relativo

de previsão da modelagem ARIMA foi inferior 2,5 pontos percentuais em relação a

modelos de regressão.

90

Portanto, como uma segunda sugestão para um futuro trabalho sugere-se

incluir variáveis exógenas, tais como o PIB, o consumo de energia elétrica ou o

comportamento da taxa de juros, entre outras, no modelo ARIMA e estudar a classe

de modelos ARMAX.

Por fim, depreende-se do estudo que a Secretaria da Receita Federal poderia

aprimorar fortemente sua previsão de arrecadação, em particular do Imposto de

Renda, com a metodologia ora proposta, que permitiu reduzir o erro de previsão

médio de 10% para 0,17% aproximadamente, para o período janeiro de 2000 a

dezembro de 2000. Neste sentido, este trabalho mostrou que existem metodologias

econometricamente mais apropriadas que fornecem previsões muito superiores e de

uma maneira relativamente simples, apesar do trabalho de modelagem ser

“artesanal” que poderiam complementar o método dos indicadores correntemente

utilizado pela Receita Federal.

Ainda, cabe destacar que a utilização das técnicas aqui consideradas pode

tornar o trabalho tanto do analista de previsões quanto do administrador mais eficaz,

uma vez que o primeiro não precisará de tantas variáveis em seu modelo e o

segundo poderá tomar decisões mais realistas e precisas quando utilizar os

resultados das previsões como instrumento de planejamento econômico.

91

7 - Referências bibliográficas

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for autoregressive moving average models. Journal of Econometrics.13, 159-

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[2] Bowerman, B.L. & O’Connell, R.T. (1987). Time Series Forecasting, Unified

Concepts and Computer Implementation, 2ª Edição. Boston: Duxbury Press.

[3] Box, G.E.P., & Jenkins, G.M. (1970). Time Series Analysis, Forecasting

and Control. San Francisco: Holden Day.

[4] Brockwell, P.J. & Davis, R.A. (1996). Introduction to Time Series and

Forecasting. NewYork: Springer-Verlag.

[5] Cooper, R.L. (1972). The predictive performance of quartely econometric

models of the United States. Em Hickman, B.G. (ed.) Econometric Models of

Cyclical Behavior. New York: Columbia University Press.

[6] Cribari-Neto, F. (2000). Método de Previsão de Arrecadação Tributária.

MIMEO

[7] Enders, W. (1995). Applied Econometric Time Series. New York: John

Wiley & Sons.

[8] Folha de S. Paulo. Jornal Folha de S. Paulo edição de 17/05/1996. Editoria

Dinheiro, páginas 2 a 4.

[9] Gourieroux, C. & Monfort, A. (1997). Time Series and Dinamics Models.

New York: Cambridge University Press.

[10] Granger, C.W.J. & Newbold, P. (1986). Forecasting Economic Time

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92

[11] Hill, R.C., Griffiths, W.E. & Judge, G.G. (1999). Econometria. São Paulo:

Editora Saraiva.

[12] Janacek, G. (2001). Practical Time Series. London: Arnold Publishers.

[13] Kvanli, A.H, Guynes, C.S. & Pavur, R..J. (1996). Introduction to Business

Statistics, A Computer Integrated Approach, 4ª Edição. St.Paul: West

Publishing Company.

[14] Mills, T.C. (1990). Time Series Techniques for Economists. Cambridge:

Cambridge University Press.

[15] Newbold, P. & Granger, C.W.J. (1974). Experience with forecasting

univariate time series and the combination of forecasts. Journal of the Royal

Statistics Society A, 137, 131-146.

[16] Venables, W.N. & Ripley, B.D. (1999). Modern Applied Statistics with S-

PLUS 3rd Edition. New York: Springer-Verlag.

93

Apêndice A

94

Este apêndice apresenta a função utilizada no R para a seleção de modelos com

base nos valores do BIC. Tal função foi adaptada de Cribari-Neto (2000) e calcula,

para uma dada configuração inicial de P, D, Q, d, uma matriz com o valor do BIC

para diversas combinação de valores de p e q.

bic<-function(serie,d,P,D,Q)

{

M<-matrix(0,5,5)

if(P==0 && Q==0)

{

for(i in 0:4)

{

for(j in 0:4)

{

if(i==0 && j==0) M[1,1]<-NA

else

M[i+1,j+1]<-

my.arima0(serie,order=c(i,d,j),seasonal=list(order=c(P,D,Q)))$aic

}

}

}

else

{

for(i in 0:4)

{

for(j in 0:4)

{

M[i+1,j+1]<-

my.arima0(serie,order=c(i,d,j),seasonal=list(order=c(P,D,Q)))$aic

}

}

}

M.AIC<-M

return(M)

}

95

Apêndice B

96

Este apêndice apresenta os resultados do valor do critério de seleção de modelos

BIC para cada série. Em cada tabela estão listados os modelos com o menor BIC

para uma dada configuração inicial dos valores de P, D, Q, d e aqueles modelos que

possuem uma diferença de até dois para o BIC do modelo com menor BIC.

Tabela B.1 - Modelos e valores para o BIC da série {IR}Modelo Modelo Modelo Modelo

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(0,0,1) (0,1,0) 897,6 (0,0,1) (1,1,0) 894,7 (1,0,0) (2,1,0) 898,4 (0,1,1) (0,1,1) 873(1,0,0) (0,1,0) 897,7 (0,0,0) (1,1,0) 895,6 (0,0,1) (2,1,0) 898,9 (0,1,1) (0,1,2) 877,1(1,0,1) (0,1,1) 892 (1,0,1) (1,1,1) 896,1 (1,0,1) (2,1,1) 901,5 (0,1,1) (1,1,0) 874,9(1,0,1) (0,1,2) 896,8 (1,0,0) (1,1,1) 898,5 (1,0,0) (2,1,1) 902,1 (0,1,1) (1,1,1) 887,1(0,0,1) (0,1,2) 898,1 (0,0,1) (1,1,1) 898,9 (0,0,1) (2,1,1) 902,4 (0,1,1) (1,1,2) 881,3(1,0,0) (0,1,2) 898,5 (1,0,1) (1,1,2) 900,3 (1,0,1) (2,1,2) 904,2 (0,1,1) (2,1,0) 877,3(1,0,1) (1,1,0) 893,9 (0,0,1) (1,1,2) 902,5 (1,0,0) (2,1,2) 906 (0,1,1) (2,1,1) 881,5(1,0,0) (1,1,0) 894,3 (1,0,1) (2,1,0) 896 (0,1,1) (0,1,0) 881,9 (0,1,1) (2,1,2) 885,4

Tabela B.2 - Modelos e valores para o BIC da série log{IR}Modelo Modelo Modelo Modelo

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(1,0,0) (0,1,0) -14,5 (1,0,1) (1,1,1) -12 (1,0,0) (2,1,1) -6,6 (0,1,1) (1,1,0) -16,7(0,0,1) (0,1,0) -14,5 (1,0,0) (1,1,1) -10,4 (0,0,1) (2,1,1) -6,3 (0,1,2) (1,1,0) -15

(1,0,1) (0,1,1) -16,4 (0,0,1) (1,1,2) -6,6 (1,0,1) (2,1,2) -3,6 (1,1,1) (1,1,0) -14,5

(1,0,0) (0,1,1) -14 (1,0,0) (1,1,2) -6,4 (1,0,0) (2,1,2) -2,9 (0,1,1) (1,1,1) -14,4(0,0,1) (0,1,2) -10,7 (1,0,1) (1,1,2) -5,1 (0,0,1) (2,1,2) -2,8 (0,1,1) (1,1,2) -10,2

(1,0,0) (0,1,2) -10,6 (1,0,1) (2,1,0) -11,2 (0,1,1) (0,1,0) -13,1 (0,1,1) (2,1,0) -14,2(1,0,1) (1,1,0) -14,7 (1,0,0) (2,1,0) -10,4 (0,1,2) (0,1,0) -11,3 (0,1,1) (2,1,1) -10,1(1,0,0) (1,1,0) -14,6 (0,0,1) (2,1,0) -9,7 (0,1,1) (0,1,1) -18,5 (0,1,1) (2,1,2) -6,1

(0,0,1) (1,1,0) -13,7 (1,0,1) (2,1,1) -7,9 (0,1,1) (0,1,2) -14,4

Tabela B.3 - Modelos e valores para o BIC da série {IRmodif}Modelo Modelo Modelo Modelo

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(1,0,0) (0,1,0) 872 (0,0,1) (1,1,0) 877,2 (0,0,1) (2,1,2) 889,7 (0,1,2) (1,1,0) 861(0,0,1) (0,1,0) 873,4 (1,0,0) (1,1,1) 879,5 (0,0,0) (2,1,2) 890,1 (0,1,1) (1,1,1) 861(1,0,1) (0,1,0) 874,4 (1,0,1) (1,1,1) 880,2 (0,1,1) (0,1,0) 857.2 (1,1,1) (1,1,1) 863.4(1,0,0) (0,1,1) 875,3 (0,0,1) (1,1,1) 881,4 (1,1,1) (0,1,0) 859.3 (0,1,2) (1,1,1) 863.6(1,0,1) (0,1,1) 876,1 (1,0,1) (1,1,2) 883 (0,1,2) (0,1,0) 859.9 (0,0,0) (1,1,2) 879.7(0,0,1) (0,1,1) 877,2 (1,0,0) (1,1,2) 883,2 (0,1,1) (0,1,1) 857.9 (0,0,0) (2,1,0) 875.6(1,0,1) (0,1,2) 879,1 (1,0,1) (2,1,0) 879,1 (0,1,2) (0,1,1) 859.8 (0,0,0) (2,1,1) 879.8(1,0,0) (0,1,2) 879,4 (1,0,0) (2,1,0) 879,4 (1,1,1) (0,1,1) 860.1 (0,0,0) (2,1,2) 883.8(0,0,1) (0,1,2) 881,4 (0,0,1) (2,1,0) 881,4 (0,0,0) (0,1,2) 875.8(1,0,0) (1,1,0) 875,4 (0,0,1) (2,1,1) 884,6 (0,1,1) (1,1,0) 859.1(1,0,1) (1,1,0) 877 (0,0,0) (2,1,1) 886,4 (1,1,1) (1,1,0) 860.9

97

Tabela B.4 - Modelos e valores para o BIC da série log{IRmodif}Modelo Modelo Modelo Modelo BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)(0,0,1) (0,1,0) -32,8 (0,0,1) (1,1,1) -27 (1,0,0) (2,1,2) -19,5 (1,1,1) (1,1,0) -28,3(1,0,1) (0,1,0) -31,7 (1,0,1) (1,1,1) -25,2 (1,0,1) (2,1,2) -17,8 (0,1,2) (1,1,0) -28,2(1,0,0) (0,1,1) -30,7 (1,0,0) (1,1,2) -22,8 (0,0,1) (2,1,2) -16,3 (0,1,1) (1,1,1) -27,7(1,0,1) (0,1,1) -29,2 (1,0,1) (1,1,2) -21,9 (0,1,1) (0,1,0) -32,3 (0,1,2) (1,1,1) -25(0,0,1) (0,1,1) -28,6 (0,0,1) (1,1,2) -21,2 (0,1,2) (0,1,0) -30,4 (0,0,1) (1,1,2) -24,1(1,0,0) (0,1,2) -26,7 (1,0,0) (2,1,0) -26,8 (1,1,1) (0,1,0) -30 (0,1,2) (1,1,2) -22,4(1,0,1) (0,1,2) -26,1 (1,0,1) (2,1,0) -25,1 (0,1,1) (0,1,1) -30,9 (1,1,1) (1,1,2) -22,2(0,0,1) (0,1,2) -24,4 (0,0,1) (2,1,0) -24,4 (1,1,1) (0,1,1) -29 (0,0,1) (2,1,0) -28,1(1,0,0) (1,1,0) -30,7 (1,0,0) (2,1,1) -22,7 (0,1,2) (0,1,1) -28,9 (0,0,1) (2,1,1) -23,9(0,0,1) (1,1,0) -28,6 (1,0,1) (2,1,1) -21,9 (0,1,1) (0,1,2) -28,2 (0,1,2) (2,1,1) -22,6(1,0,1) (1,1,0) -28,2 (0,0,1) (2,1,1) -20,6 (0,1,1) (1,1,0) -29,9 (0,0,1) (2,1,2) -20

Tabela B.5 - Modelos e valores para o BIC da série {IRmodif2}Modelo Modelo Modelo Modelo BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)(1,0,0) (0,1,0) 879,4 (2,0,1) (1,1,2) 888,6 (0,1,2) (0,1,1) 863,5 (0,1,1) (1,1,2) 869,6(0,0,1) (0,1,0) 879,8 (1,0,0) (2,1,0) 884,8 (1,1,1) (0,1,1) 863,8 (0,1,2) (1,1,2) 871,7(1,0,1) (0,1,1) 880,1 (1,0,1) (2,1,0) 885,1 (0,1,1) (0,1,2) 865,5 (1,1,1) (1,1,2) 871,9(1,0,0) (0,1,1) 880,9 (1,0,1) (2,1,1) 888,2 (0,1,2) (0,1,2) 867,7 (0,1,1) (2,1,0) 865,7(1,0,1) (0,1,2) 884 (1,0,0) (2,1,1) 888,8 (1,1,1) (0,1,2) 867,9 (0,1,2) (2,1,0) 867,6(1,0,0) (0,1,2) 884,5 (1,0,0) (2,1,2) 892,5 (0,1,1) (1,1,0) 863,3 (1,1,1) (2,1,0) 867,9(1,0,2) (1,1,0) 880,6 (1,0,1) (2,1,2) 893 (0,1,2) (1,1,0) 864,5 (0,1,1) (2,1,1) 869,7(1,0,1) (1,1,0) 881,5 (0,1,1) (0,1,0) 864,4 (1,1,1) (1,1,0) 864,9 (0,1,2) (2,1,1) 871,8(1,0,1) (1,1,1) 884,1 (0,1,2) (0,1,0) 866,4 (0,1,1) (1,1,1) 865,5 (0,1,1) (2,1,2) 873,7(1,0,0) (1,1,1) 884,8 (1,1,1) (0,1,0) 866,6 (0,1,2) (1,1,1) 867,7 (0,1,2) (2,1,2) 875,8(1,0,1) (1,1,2) 888,3 (0,1,1) (0,1,1) 861,6 (1,1,1) (1,1,1) 867,9

Tabela B.6 - Modelos e valores para o BIC da série log{IRmodif2}Modelo Modelo Modelo Modelo

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(p,d,q) (P,D,Q)BIC

(1,0,0) (0,1,0) -27,3 (1,0,1) (1,1,2) -16,7 (0,1,2) (0,1,1) -24,7 (0,1,2) (1,1,2) -16,8(0,0,1) (0,1,0) -26,7 (1,0,0) (2,1,0) -20,5 (1,1,1) (0,1,1) -24,4 (0,1,1) (2,1,0) -22,9(1,0,1) (0,1,1) -24,6 (1,0,1) (2,1,0) -19,9 (0,1,1) (0,1,2) -23,1 (1,1,1) (2,1,0) -20,4(1,0,0) (0,1,1) -23,3 (1,0,0) (2,1,1) -16,6 (0,1,2) (0,1,2) -20,6 (0,1,1) (2,1,1) -18,8(1,0,1) (0,1,2) -20,9 (1,0,1) (2,1,1) -16,6 (1,1,1) (0,1,2) -20,3 (0,1,2) (2,1,1) -17,9(1,0,0) (0,1,2) -20,8 (1,0,0) (2,1,2) -13 (0,1,1) (1,1,0) -25,3 (0,1,1) (2,1,2) -14,8(1,0,0) (1,1,0) -24,7 (1,0,1) (2,1,2) -12,6 (0,1,2) (1,1,0) -24,2 (0,1,2) (2,1,2) -13(1,0,1) (1,1,0) -23,6 (0,1,1) (0,1,0) -25,5 (1,1,1) (1,1,0) -23,7(1,0,0) (1,1,1) -20,6 (0,1,2) (0,1,0) -24,3 (0,1,1) (1,1,1) -23(1,0,1) (1,1,1) -20,6 (1,1,1) (0,1,0) -23,8 (0,1,2) (1,1,1) -20,5(1,0,0) (1,1,2) -16,7 (0,1,1) (0,1,1) -26,7 (0,1,1) (1,1,2) -19