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MINISTÉRIO DA DEFESA
EXÉRCITO BRASILEIRO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
(Real Academia de Artilharia, Fortificação e Desenho – 1792)
SAMUEL THIMOUNIER FERREIRA
ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS
DISCRETOS EM 3D
RIO DE JANEIRO
2009
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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
SAMUEL THIMOUNIER FERREIRA
ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS
DISCRETOS EM 3D
Tema Dirigido apresentado ao Curso de Graduação como parte integrante do processo avaliativo do quarto período do Ensino Básico.
Orientador: Jayme Felipe Martins Mendes
Co-orientador: Marcello Goulart Teixeira
RIO DE JANEIRO
2009
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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
SAMUEL THIMOUNIER FERREIRA
ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS
DISCRETOS EM 3D
Tema Dirigido apresentado ao Curso de Graduação como parte integrante do processo
avaliativo do quarto período do Ensino Básico.
Orientador: Jayme Felipe Martins Mendes
Aprovada em 17 de novembro de 2009 pela seguinte Banca Examinadora:
____________________________________________________________
Jayme Felipe Martins Mendes, Dr.
____________________________________________________________
Marcello Goulart Teixeira, Dr.
____________________________________________________________
José Renato Moreira da Silva de Oliveira, Maj
RIO DE JANEIRO
2009
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Dedico o referido trabalho aos mais que professores Marcello e Jayme, que compartilharam comigo não só o conhecimento, mas também a amizade. E, principalmente, ao colega Kin Minato pelo enorme incentivo, fornecendo a ajuda necessária para vencer os obstáculos do projeto. Agradeço também ao escritores Sèneca e Spinosa, que se fizeram presentes em cada momento.
Samuel Thimounier Ferreira
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“O descontentamento é o primeiro passo na evolução de um homem ou de uma nação.”
Oscar Wilde
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO............................................................................................................10
1.1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS..........................................................................10
1.2 OBJETIVOS ..........................................................................................................................10
2 METODOLOGIA.........................................................................................................11
2.1 ALGORITMO DE SOLUÇÃO ................................................................................................11
2.2 DETECÇÃO DE COLISÃO....................................................................................................11
2.2.1 DIRECT CHECKING .....................................................................................................12
2.2.2 DIRECT MAPPING .......................................................................................................13
2.3 FORÇAS DE CONTATO .......................................................................................................15
2.3.1 CONTATO NORMAL.......................................................................................................15
2.3.2 FORÇA DE CONTATO TANGENCIAL.............................................................................16
2.4 ENERGIA E MOMENTO........................................................................................................17
2.5 CÁLCULO DAS VELOCIDADES ...........................................................................................18
3 IMPLEMENTAÇÃO....................................................................................................20
3.1 LIMGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO....................................................................................20
3.2 ARQUIVOS DE E/S ...............................................................................................................20
4 EXEMPLOS.................................................................................................................21
4.1 SIMULAÇÃO DE CONTATO SIMPLES...................................................................................21
4.2 SIMULAÇÃO DE CONTATO 4 X 1........................................................................................21
4.3 SIMULAÇÃO SINUCA ..........................................................................................................22
4.4 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO EM PAREDE ........................................................................22
4.5 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO ESFERA-ESFERA ..................................................................23
6 CONCLUSÃO..............................................................................................................24
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..........................................................................25
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LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Fig. 2.1 - Cadeia de processos...................................................................................................11
Fig. 2.2 - Algoritmo de checagem direta..................................................................................12
Fig. 2.3 - Tamanho de uma célula ............................................................................................13
Fig. 2.4 - Células com possibilidade de haver contatos............................................................14
Fig. 2.5 – Forças de contato......................................................................................................15
Fig. 2.6 – Contato normal.........................................................................................................15
Fig. 2.7 - Modelo da interface de contato.................................................................................16
Fig. 4.1 – Simulação de contato simples..................................................................................20
Fig. 4.2 – Simulação de contato 4x1.........................................................................................20
Fig. 4.3 – Simulação sinuca......................................................................................................21
Fig. 4.4 – Simulação de rolamento em parede..........................................................................21
Fig. 4.4 – Simulação de rolamento esfera-esfera......................................................................22
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LISTA DE SÏMBOLOS
Força normal
Força tangencial
Rigidez normal
Interpenetração normal
Amortecimento global
Velocidade normal
Atrito estático
Raio da esfera
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RESUMO
Esse trabalho apresenta uma implementação de um algoritmo para análise transiente
tridimensional do comportamento mecânico de meios descontínuos pelo Método dos
Elementos Discretos, utilizando elementos esféricos com variada distribuição de tamanhos e
propriedades físicas em um ambiente 3D.
Implementações computacionais do método necessitam de uma ferramenta para a
visualização gráfica dos resultados numéricos obtidos e de uma interface para permitir o
usuário construir um modelo do problema estudado. Foram construídos modelos de
problemas de dinâmica para demonstrar as capacidades do programa e para analisar os
resultados gerados pela implementação do método.
Palavras-chave: Método dos Elementos Discretos, Computação Gráfica, 3D.
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1 INTRODUÇÃO
1.1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS
O Método dos Elementos Discretos (MED) tem sido empregado para simular o
movimento de partículas de materiais granulares e rochosos, mas tem se tornado popular
como um método para representar materiais sólidos e para o estudo de problemas de fluxo,
pois conduz a uma menor adoção de parâmetros de análise que os métodos em que o meio é
considerado como um contínuo.
A partir do entendimento das propriedades mecânicas microscópicas das partículas e o
comportamento da interação entre elas, o MED permite avaliar de maneira macroscópica o
comportamento físico e mecânico do modelo estudado.
O diferencial do método está em considerar o meio analisado como um conjunto de
partículas com propriedades mecânicas particulares e geometrias definidas (meio
discretizado). O mais usual é trabalhar com um conjunto de discos ou esferas, mas o método
tem sido aplicado também para partículas com outras geometrias.
A associação de um programa que resolva problemas por meio do MED com softwares
gráficos permite a visualização do comportamento das partículas dos materiais em estudo,
sendo muito útil para a engenharia civil, engenharia mecânica, geotecnia, engenharia química,
entre outras áreas do conhecimento, sendo, portanto, bem abrangente.
1.2 OBJETIVOS
O principal objetivo deste trabalho é efetuar um estudo dos conceitos básicos do
Método dos Elementos Discretos (MED) em 3D e de sua implementação computacional,
particularizando os elementos esféricos. O trabalho culmina com a criação de um programa
que realiza os cálculos das variáveis dinâmicas dos elementos e proporciona uma visualização
dos mesmos.
11
2 METODOLOGIA
2.1 ALGORITMO DE SOLUÇÃO
Na formulação clássica do MED, cada elemento é assumido como rígido e permite-se
que haja uma sobreposição de partículas, desde que sua ordem de magnitude seja pequena em
relação ao tamanho das mesmas.
O algoritmo de solução deve apresentar uma rotina de processos dentre os quais,
detecção de colisão entre os elementos, cálculo das forças resultantes dessas colisões e cálculo
posterior da velocidade resultante. Depois de estabelecidas essas etapas e as condições
iniciais, podem ser simulados o movimento dos elementos. A figura a seguir ilustra a cadeia
de processos.
Fig. 2.1 – Cadeia de processos
2.2 DETECÇÃO DE COLISÃO
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Serão abordados os dois algoritmos estudados para o desenvolvimento e implementação do programa. Sendo o primeiro deles, Direct Checking, aquele realmente implementado.
2.2.1 DIRECT CHECKING
Esse método de detecção consiste em nada mais do que calcular todas as possíveis
colisões entre os elementos (Fig. 2.2). Se é assumido que todos os elementos discretos são
esferas de diâmetro constante d, escolhido de forma que nenhum ponto do elemento esteja
fora da mesma. Assim, o diâmetro da esfera delimitadora é definido pelo maior elemento
presente. Abaixo será descrito o algoritmo do método:
Para I de 1 até N executa
{
Para J de I+1 até N executa
{
Calculo da colisão entre os elementos I e J
}
}
Assim o número de cálculos feitos será assintoticamente proporcional a , o que pode
tornar esse cálculo muito pesado para um grande número de elementos.
O algoritmo tem a vantagem de a sua implementação ser extremamente simples. Porém
este método tem utilidade apenas para problemas com quantidade pequena de elementos, o
que não será o objeto deste trabalho.
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Fig. 2.2 – Algoritmo de checagem direta.
2.2.2 DIRECT MAPPING
Este método baseia-se no mapeamento espacial do domínio, dividindo-o em células
cúbicas de tamanhos iguais. O lado das células deverá ser escolhido de forma que qualquer
elemento possa estar contido em uma célula (MUNJIZA, 2004).
Assim o lado de uma célula cúbica é igual ao diâmetro do círculo que circunscreve o
maior elemento discreto, conforme a figura abaixo.
Fig. 2.3 – Tamanho de uma célula.
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O algoritmo Munjiza é dividido em duas etapas principais: o mapeamento de cada
elemento em sua célula correspondente e a procura dos possíveis elementos que podem estar
em contato entre si.
Para encontrar os possíveis contatos com um determinado elemento checam-se somente
as células vizinhas à célula desse elemento e a sua própria célula (Fig. 2.4). Para essa
consideração ser válida, definimos o tamanho da célula como aquele que pode conter o maior
elemento discreto.
Após a constatação da possibilidade de contato entre partículas pertencentes às células
vizinhas ou a mesma célula, realiza-se outro teste de detecção entre as partículas para que se
confirme o contato, devendo esse segundo teste depender da geometria dos elementos.
Munjiza mostra que esse algoritmo de mapeamento direto para busca de contatos entre
partículas é assintoticamente proporcional ao número de elementos, o que torna esse
algoritmo muito mais apropriado para problemas com um grande número de elementos.
Fig. 2.4 – Células com possibilidade de haver contatos.
Esse algoritmo apresenta somente duas limitações, a primeira é que para partículas de
tamanhos bem variáveis ele deixa de ser assintoticamente proporcional ao número de
elementos, e a segunda é que pode apresentar uso excessivo de memória computacional caso
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o tipo de problema estudado possua elementos discretos muitos dispersos no domínio
estudado.
2.3 FORÇAS DE CONTATO
Uma vez que o contato entre dois elementos foi detectado, a interação entre eles pode
ser representada por duas forças: e . De acordo com a Terceira Lei de Newton, temos
Fazendo F1 = F, decompomos nas componentes normal e tangencial Fn e Ft (Fig.
2.5), respectivamente. Assim,
F = Fn + Ft
Fig. 2.5 – Forças de contato.
2.3.1 CONTATO NORMAL
Nesse trabalho consideramos que as colisões entre os objetos geram forças normais
aos elementos, aplicadas nas regiões de contato.
É considerado o modelo de amortecimento linear (PÖSCHEL, 2005), que estabelece
que a intensidade da força normal atuante ( ) em função dos parâmetros de rigidez normal
( ) e de amortecimento global ( ), além do valor da interpenetração ( ) e da velocidade
relativa normal ( ), pode ser dada com boa aproximação por:
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Fig. 2.6 – Contato normal.
A interpenetração é dada pela equação:
e é a distância entre os centros das esferas. Se > 0, temos que = 0.
A constante de amortecimento é dada pela fórmula abaixo (ONATE & ROJEK,
2003), experimentalmente desenvolvida afim de minimizar a vibração dos elementos.
2.3.2 FORÇA DE CONTATO TANGENCIAL
A força tangencial Ft será dada, de acordo com a mecânica newtoniana, pela seguinte
equação (modelo de Cundall e Strack):
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A força de atrito é descrita pela ação de uma mola na direção tangencial do plano de
contato (imagine as partículas como engrenagens com dentes flexíveis). Esta mola é
inicializada no tempo do primeiro contato entre as partículas e perdura até a separação das
superficies. Sua elongação determina a força tangencial restauradora, novamente limitada pela
lei de Coulomb para o atrito.
Fig. 2.7 - Modelo da interface de contato.
2.4 ENERGIA E MOMENTO
Se não há perda de energia por atrito (amortecimento = 0) ou durante as colisões
(elasticidade = 1), então a energia total do sistema não deve mudar.
Uma colisão entre objetos não deve alterar o momento angular. No entanto, uma
colisão com uma parede não irá preservar o momento angular porque paredes super massivas
não estão incluídas nos cálculos do movimento dos objetos.
A energia gravitacional é dada por mgh, onde h = altura do centro do objeto de massa
acima do piso. A energia translacional é dada por , onde é o vetor velocidade para
o centro de massa do objeto. Note que foi usado o produto escalar para a quadratura do vetor
velocidade. A energia rotacional é dada por , onde I é o momento de inércia e ω é a
velocidade angular.
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O momento linear é dado por . O momento angular de uma partícula é
definido pelo produto vetorial do vetor posição da partícula (em relação a um ponto de
referência) pelo seu momento linear. Abaixo está a equação representativa:
2.5 CÁLCULO DAS VELOCIDADES
Após ter formulado as equações diferenciais de equilíbrio e estabelecido as condições
iniciais, é necessário utilizar algum tipo de técnica para solução dessas equações. Existem
diversos métodos de solução, os quais podem ser analíticos ou numéricos, sendo estes mais
versáteis e, portanto, utilizado nesse programa.
O método numérico mais simples para resolver equações diferenciais é o de substituir as
derivadas por razões entre variações da função e da respectiva variável. No caso presente,
teremos
Assim, se quisermos saber as posições e velocidades de um corpo entre um instante inicial
e final , poderemos dividir o intervalo ; em N partes iguais e calcular as
velocidades nos instantes usando as acelerações no instante anterior
= +
= +
...
= +
19
...
= + ,
sendo
,
,
, com = + = .
Do mesmo modo podemos calcular as posições em cada instante usando o valor da
velocidade no instante anterior, fazendo
= + = .
As equações e constituem o método de Euler para o cálculo das posições e
velocidades de um corpo sujeito a uma força. O método de Euler é chamado um método de 1ª
ordem. A razão para isso encontra-se no fato de podermos escrever, usando o
desenvolvimento em série de Taylor,
= + + + ...
= + + + ...,
o que significa que, ao aplicar o método de Euler, estamos desprezando termos com potências
de iguais ou superiores a 2 - diz-se “termos de 2ª ordem ou superior". Podemos então
dizer que o erro cometido em cada iteração (cada cálculo de ou ) é proporcional a ,
desde que seja suficientemente pequeno. No entanto, como temos que calcular N valores
de e , o erro total cometido pode ser estimado como sendo proporcional a
20
uma vez que = - = . Assim, o erro total é proporcional a , e daí a designação de
método de 1ª ordem.
3 IMPLEMENTAÇÃO
3.1 LIMGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO
O programa foi implementado em linguagem C. O código está separado em diversos
módulos a fim de facilitar o seu desenvolvimento. Toda a interface gráfica foi criada com o
uso das bibliotecas OpenGL e GLUT, de forma a manter o código independente do sistema de
janelas e do sistema operacional, podendo ser compilado em qualquer plataforma que possua
uma implementação destas bibliotecas.
3.2 ARQUIVOS DE E/S
Dois tipos de arquivo podem ser manipulados pelo programa:
INI: Arquivo de dados iniciais. Trata-se de um arquivo de texto que armazena os dados
iniciais do problema, ou seja, o estado inicial do modelo. A partir deste estado o programa
calcula os estados subseqüentes e a cada instante de tempo o estado atual pode ser
armazenado como um novo arquivo INI. O arquivo pode ser modificado diretamente pelo
usuário, respeitando uma sintaxe própria.
TXT: Arquivo de dados processados. É um arquivo texto que armazena os dados processados
pelo programa, ou seja, os estados do modelo após o estado inicial. Os estados são gravados
em intervalos de tempo determinados pelo usuário. Cada estado gravado no arquivo TXT
pode ser convertido em um arquivo INI completo.
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4 EXEMPLOS
4.1 SIMULAÇÃO DE CONTATO SIMPLES
Neste exemplo foi simulado um choque entre dois elementos desconsiderando a força
gravitacional, para fins de análise do comportamento rotacional ocasionado pelo contato
esfera-esfera com atrito.
Fig. 4.1 – Simulação de contato simples.
4.2 SIMULAÇÃO DE CONTATO 4 X 1
Esta simulação consiste-se do choque entre 5 (cinco) elementos, ocasionado
inicialmente pela ação da força gravitacional em uma esfera que é deixada cair sobre outras 4
(quatro).
Fig. 4.2 – Simulação de contato 4x1.
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4.3 SIMULAÇÃO SINUCA
Neste exemplo foi simulada uma situação semelhante a um jogo de sinuca, em que
uma esfera é lançada sobre outras 6 (seis). Foram considerados os atritos esfera-esfera e
esfera-parede.
Fig. 4.3 – Simulação sinuca.
4.4 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO EM PAREDE
Este exemplo mostra o rolamento do elemento (esfera) em uma parede com atrito, sob
a ação única da força gravitacional. Note que o assoalho possui um coeficiente de restituição,
e a esfera sofre um “damping” (amortecimento), até a dissipação total do movimento.
Fig. 4.4 – Simulação de rolamento em parede.
23
4.5 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO ESFERA-ESFERA
Novamente uma simulação de rolamento, desta vez entre duas esferas. Neste caso,
temos uma esfera rotacionando sobre outra, sob ação somente das forças gravitacional e de
atrito.
Fig. 4.4 – Simulação de rolamento esfera-esfera.
24
6 CONCLUSÃO
O trabalho desenvolvido até este momento constitui a transição do Método dos
Elementos Discretos da segunda para a terceira dimensão. Foram implementadas o que
podemos chamar de forças básicas, ou seja, as componentes normal e tangencial (atrito),
levando em consideração o amortecimento. A análise dos resultados pôde ser feita pela
visualização de alguns exemplos gerados. Estes se mostram bastante satisfatórios,
apresentando elementos com comportamentos coerentes com o esperado na realidade. Isso
mostra o potencial do Método de Elementos Discretos em 3D, em particular a ferramenta
computacional desenvolvida durante este trabalho, na simulação e visualização de problemas
que envolvam meios descontínuos.
Na continuidade deste trabalho, serão implementados outras forças como, por
exemplo, as forças de atrito viscoso e aquelas geradas por um campo potencial arbitrário. O
método de integração temporal será alterado para outro de maior precisão e será
implementado o algoritmo Direct Mapping para a detecção de contato.
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7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MUNJIZA, A. The Combined Finite-Discrete Element Method. Londres: John Wiley &
Sons, 2004.
PÖSCHEL, T. & SCHWAGER, T. Computational Granular Dynamics: Models and
Algorithms. Berlin: Springer, 2005.
KRYSYL, P. & BELYTSCHKO, T. Object-oriented parallelization of explicit structural
dynamics with PVM, Computers & Structures, vol. 66. 1998.
CUNDALL, P.A. & STRACK, O.D.L., 1979. A discrete numerical model for granular
assemblies. Geotechnique. vol. 29, No. 1.
ALONSO, M. & FINN, E. Física um curso universitário, vol. 1. Brasil : Edgard Blucher,
1972.
ROJEK, E. & OÑATE, J. Combination of discrete element and finite element methods for
dynamic analysis of geomechanics problems. Espanha: Elsevier, 2003.
MINATO, K. K., CANTINI, C., Teixeira, M. G. Estudo e implementação do método dos
elementos discretos. 30o CILAMCE, Buzios, RJ, 2009.