MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE

DINÂMICA POPULACIONAL

Simone de Almeida Delphim

Orientação: Regina Cerqueira de Almeida, Michel Iskin da Silvei ra Costa

Objetivo

Desenvolver uma metodologia numérica para solucionar alguns modelos relacionados a dispersão de espécies.

Possíveis Aplicações

• Auxiliar na avaliação dos riscos ambientais decorrentes da introdução de espécies exóticas:– Introdução Intencional

• Organismos geneticamente modificados;• Importação de espécies aquáticas; • Importação de agentes de controle biológico;

– Introdução Acidental• Material genético (germoplasma);

• Invasão Biológica

• Nome: Caramujo Gigante Africano (Achatina Fulica)

• Transmissor: parasita Angiostrongylus costaricensis

• Doenças: no sistema neurológico e no aparelho digestivo que podem levar a morte com sintomas similares aos da meningite

• Contágio: ingestão (não écomestível) e contato

• Características: éhermafrodita e a cada dois meses, um caramujo põe 200 ovos.

Modelos Matemáticos

Compreender, controlar e prevenir.

�Investigação da forma e taxa de dispersão da

população em um ambiente.

• Cruzamento genético

• Estocasticidade

demográfica

• Redução de interações

cooperativas

Fatores para o Efeito Allee

Densidade populacional: U(X,T)

Tempo: T Espaço : X(x 1,x2)

Processos Locais

NascimentosMortes Predação

Redistribuição populacional

Advecção Difusão

C(X,T)

Interações intra e inter-específica

CdivJ C

Tσ∂ = − +

∂J é o vetor fluxo da população.

Função de crescimento populacional.

Fluxo da densidade populacional

Taxa de crescimento

• Sem migração: v0=0 e v1=0

• Migração independente da densidade:v0 ≠ 0

• Migração dependente da densidade:v1 ≠ 0

( ) ( )2

2 30 1 2

1 cc c c

v vc c ct x x

β β∂ ∂ ∂+ + = − + + −∂ ∂ ∂

0 1β< ≤

Efeito Allee Forte

Existe uma população mínima para que a espécie não vá para a extinção.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

x

Den

sida

de C

t=0 t=40 t=80 t=120 t=160 t=200 t=240 t=280 t=320

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

xt=0 t=40 t=80 t=120 t=160 t=200 t=240 t=280 t=320

6.0=β2.0=β

Invasão

recuo

Caso sem Migraçãov0=0 e v1=0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

x

Den

sida

de C

t=0t=40t=80t=120t=160t=200t=240t=280t=320

5.0=β

Estacionária

v0=0 e v1=0

Caso sem Migração

Para 0, a solução não depende da condição in icial.β >

2.0=β

Sem MigraSem Migraççãoão

01 ≤<− β

Efeito Allee Fraco

• Não existe uma população mínima para a subsistência da espécie.

• Não existe uma expressão analítica para a solução.

1.0−=β 3.0−=β

Quanto menor a intensidade do efeito Allee, maior a velocidade de invasão

Efeito Allee FracoEfeito Allee Fraco Caso sem migração

0.2β = −Efeito Allee Fraco

Para 0, a solução depende da condição inic ia l.β <

2.0=β2.0−=β

A velocidade da frente é aproximadamente três vezes maior.

Efeito Allee Fraco x Forte

Efeito Allee Fraco x Forte

• Quando uma espécie que exibe um efeito Allee forte tenta invadir um ambiente, pode ser impedida por circunstâncias ambientais apropriadas, bloqueando o processo da invasão;

• Por outro lado, uma espécie com efeito Allee fraco aumenta sua capacidade de invasão.

Conclusões

• Solução aproximada é estável e precisa;

• Concordância com as referências da literatura;

• Simulação de cenários para uma grande variedade

de problemas.

Perspectivas

• Outros modelos de interações intra e inter-

específica;

• Outros tipos de funções de crescimento;

• Expressão para a migração dependente da

densidade;

• Modelos bi-dimensionais;

• Acoplamento a modelos econômicos.