Metodos de Resposta em Frequencia

1. Sistemas de fase mınima

2. Exemplo de tracado do diagrama de Bode

3. Medidas da resposta em frequencia

4. Especificacoes de desempenho no domınio da frequencia

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Sistemas de Fase Mınima

Fase nao-mınima? Um sistema pode ter zeros no semi-plano direito e pode

ser tambem instavel. FT com zeros no semi-plano direito sao classificadas como

de fase nao-mınima.

B Se os zeros de uma FT sao todos refletidos para o semi-plano oposto (de

forma simetrica em relacao ao eixo imaginario), nao havera mudanca de

modulo da FT original mas apenas de fase

B Quando se compara a variacao de fase de dois sistemas, observa-se que a

variacao de fase de um sistema com todos os zeros no semi-plano esquerdo e

sempre menor (com ω variando de zero a ∞). Portanto, a FT com todos os seus

zeros no semi-plano esquerdo e dita de fase mınima

B A FT G2(s), com |G2(s)| = |G1(s)| e com todos os zeros de G1(s)

refletidos de forma simetrica com o eixo imaginario no semi-plano direito, e

chamada de FT de fase nao-mınima

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Sistemas de Fase Mınima

Uma FT e dita de fase mınima

se todos os seus zeros estao

no semi-plano esquerdo do plano-s.

Ela e chamada de FT de fase nao-mınima se algum

zero estiver no semi-plano direito

Nota Segundo alguns autores, sistema de fase nao-mınima nao e caracterizado

apenas por zeros no semi-plano direito, mas tambem por polos instaveis...

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Sistemas de Fase Mınima

Exemplo Considere dois sistemas cujas FT sao

G1(jω) =1 + jωT

1 + jωT1

, G2(jω) =−1 + jωT

1 + jωT1

, 0 < T1 < T

B As duas FT tem a mesma magnitude, porem caracterısticas de fase diferentes

B Particularmente, selecionando T = 2 e T1 = 0.1, obtem-se para G1 e G2 a

mesma curva de magnitude e duas curvas para a fase, como ilustrado a seguir

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Sistemas de Fase Mınima

0

5

10

15

20

25

30

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

103

0

45

90

135

180

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

G2

G1

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Sistemas de Fase Nao-Mınima

Exemplo Retardo no tempo - ou atraso de transporte - caracterizado por

e−sT , e um exemplo de sistema de fase nao-mınima. Veja que uma simples

expansao de ordem ‘n’ usando pade gera ‘n’ zeros no semi plano-direito...

B A magnitude e sempre igual a ‘1’, pois

|G(jω)| = | cos ωT − jsen ωT | = 1

Portanto, a magnitude e igual a 0dB. O angulo de fase do retardo e

∠G(jω) = −ωT

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Sistemas de Fase Nao-Mınima

Exemplo Como obter o diagrama de Bode para a FT de 1a. ordem (que

representa uma vasta gama de processos reais)

G(jω) =e−jωL

1 + jωτ

B A magnitude e

20 log |G(jω)| = 20 log∣∣e−jωL

∣∣

︸ ︷︷ ︸

0

+20 log

∣∣∣∣

1

1 + jωτ

∣∣∣∣

B O angulo de fase e

∠G(jω) = ∠e−jωL

︸ ︷︷ ︸

−ωL

− tan−1 ωτ

B Portanto basta combinar o efeito do retardo, ie, um decrescimo em fase...

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Sistemas de Fase Nao-Mınima

B Pode-se usar o MATLAB c© para avaliar o efeito da resposta em frequencia de

um sistema de 1a. ordem com retardo no tempo.

h=tf(1,[2 1]) % h = 1/(2s + 1) - sem retardo

g=tf(1,[2 1],’iodelay’,2) % g = exp(-2s) * h - "h" com retardo

bode(h), hold on, bode(g)

Note que para frequencias especıficas, considerando L = 2s, obtem-se o atraso

em fase de −ωL:

frequencia (rad/s) Atraso na Fase ((−ωL ∗ 180o/π))

1 −114o

2 −229o

10 −1145o

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Sistemas de Fase Nao-Mınima

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

−1440

−1080

−720

−360

0

Fas

e (d

eg)

DIAGRAMA DE BODE

Frequencia (rad/sec)

gh

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Exemplo de Tracado do Diagrama de Bode

B O diagrama de Bode de uma FT, G(s), composta de varios polos e zeros e

obtido adicionando-se a curva de cada polo e zero individualmente

B Considera a FT

G(jω) =5(1 + j0.1ω)

jω(1 + j0.5ω)

[

1 + j0.6(

ω

50

)+

(jω

50

)2]

Ganho constante K = 5 (20 log 5 = 14dB)

Um polo na origem, um polo em ω = 2rad/s, um par de polos complexos em

ω = ωn = 50rad/s

Um zero em ω = 10rad/s

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MA

ST

ER

105

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21

1

2

3

4

5

0.1 0.2 10 50 100

20

0

10

14

210

220

20 lo

g u G

u , dB

v

Figure 8.19 Magnitude asymptotes of poles and zeros used in the example

MA

ST

ER

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10.1 10 100

20

0

220

240

10

210

230

250

220 dB/dec

240 dB/dec

220 dB/dec

260 dB/dec

Approximate curve

Exact curvedB

v

Figure 8.20 Magnitude characteristic

MA

ST

ER

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90

60

30

0

230

260

290

2120

2150

2180

2210

2240

22700.1 0.2 1.0 2.0 10 60 100

Zero at v 5 10

Pole at v 5 2

Complex poles

Pole at origin

Approximate f(v)

f

v

Figure 8.21 Phase characteristic

MA

ST

ER

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Max. mag 5 33.96906 dBMax. phase 5 292.35844 degThe gain is 2500

Min. mag 5 2112.0231 dBMin. phase 5 2268.7353 deg

0 dB

2180 deg

dBand

phase Mag:Phase:

0.1 1 10 100 1000Frequency, rad/s

Figure 8.22 The Bode plot of the G( jv) of Eq. (8.42)

Medidas da Resposta em Frequencia

B E possıvel obter FT a partir da resposta em frequencia de um sistema obtido

experimentalmente? Basta usar o procedimento inverso ao do tracado do

diagrama de Bode...

Potencialidades?

B Como exemplo, considere o diagrama de Bode apresentado na pagina seguinte

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Medidas da Resposta em Frequencia

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Medidas da Resposta em Frequencia

Informacoes Relevantes? Tudo que possa identificar a presenca de zeros,

polos (reais ou complexos) e ganho no tracado...

Veja que o ganho cai a uma taxa aproximada de −20dB/decada quando ω

varia de 100 a 1000rad/s e que, quando a fase chega a −450

(em ω = 300rad/s), o ganho tem queda de 3dB, o que pode concluir que o

sistema tem um polo em 300rad/s

Como o sistema apresenta uma mudanca brusca de fase (de aproximadamente

1800) passando por 00 quando ω = 2450rad/s (frequencia em que a variacao

de amplitude muda aproximadamente de -20dB para +20dB), pode-se concluir

que o sistema possui um par de zeros complexos com ωn = 2450rad/s

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Medidas da Resposta em Frequencia

A diferenca entre a amplitude das assıntotas e do valor mınimo medido na

frequencia de canto (ωn = 2450) que e de 10dB indica que

Mpω= 3.16 =

1

2ζ√

1 − ζ2

e obtem-se o fator de amortecimento igual a ζ = 0.16

Note ainda que a amplitude retorna a 0dB quando ω excede 50000rad/s, o

que pode-se concluir que ha um polo no ponto em que a amplitude atinge

novamente −3dB e fase de +450, ou ω = 20000rad/s

FT?

T (s) =

(s

2450

)2+

(2(0.16)2450

)

s + 1(

s

300+ 1

) (s

20000+ 1

)

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Especificacoes de Desempenho no Domınio da Frequencia

B Como relacionar as especificacoes de desempenho no domınio do tempo com

as em frequencia? Ou como especificar a resposta em frequencia a partir das

caracterısticas transitorias (temporais) especificadas?

B Foi mostrado que para um sistema de 2a. ordem generico, o maximo da

resposta em frequencia, Mpω, ocorre na frequencia de ressonancia, ωr

B A faixa de passagem, ωB, por outro lado, corresponde a frequencia em que a

resposta reduziu-se em 3dB em relacao ao seu valor em baixas frequencias (e que

esta relacionada a velocidade de resposta do sistema)

B A faixa de passagem, ωB, esta relacionada, aproximadamente, a frequencia

natural do sistema, como ilustrado na figura a seguir, para um sistema de 2a.

ordem

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MASTER 109

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2

Y(s)R(s)1

s (s 1 2zvn)

v2n

v

0

20 log Mpv

20 lo

g u T

u , dB

23

0 vr vB

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

1

0.9

0.8

0.7

0.60.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

vn

vB

0.7 0.8 0.9 1

vn

vB

Linear approximation

< 21.19z 1 1.85

z

Figure 8.24 A second-order closed-loop system

Figure 8.25 Magnitude characteristic of the second-order system

Figure 8.26 Normalized band-width, vB/vn, versus zfor a second-order system (Eq. 8.46)

Especificacoes de Desempenho no Domınio da Frequencia

B Como a resposta do sistema de 2a. ordem a um degrau unitario e

y(t) = 1 + Be−ζωnt cos(ωn + θ)

quanto maior o valor de ωn, com ζ constante, mais rapidamente a resposta se

aproximara do valor estacionario. Portanto, as especificacoes no domınio da

frequencia sao:

1. Ganho na ressonancia relativamente pequeno: eg, Mpω< 1, o que gera um

fator de amortecimento“harmonico”de ζ = 0.707

2. Faixa de passagem grande de forma que a constante de tempo do sistema,

τ = 1/ζωn, seja suficientemente pequena

B Sao relacoes validas se a resposta do sistema em estudo for dominada por um

par de polos complexos...

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