UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA DEPARTAMENTO DE PROJETO MECNICO

Estimativa das freqncias naturais e modos de um cabo em catenria

Autores: Henrique Brenner de Arajo RA: 033275

Raphael Issamu Tsukada RA: 009701

Campinas, 2009 S. P. Brasil

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NDICE

1 INTRODUO .............................................................................................. 2

2 MTODO ....................................................................................................... 3

2.1 Processamento de imagens ....................................................................... 4

2.2 O experimento no LIAB ........................................................................... 5

3 - PROCESSAMENTO DAS IMAGENS ......................................................... 9

4 RESULTADOS ............................................................................................. 10

5 SIMULAO NUMRICA ....................................................................... 15

6 PROPRIEDADES DO CABO ...................................................................... 19

7 ESTUDO ANLITICO ................................................................................ 20

8 CONCLUSO ............................................................................................... 21

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................. 22

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1. INTRODUO

Estruturas em forma de catenria ocorrem nas mais diversas aplicaes de engenharia, tais quais cabos de transmisso de energia eltrica, correntes de ncoras, risers. No caso da indstria petrolfera, os risers em forma de catenria, ou os Steel Catenary Risers (SCR), so comuns e objeto de muitos investimentos em desenvolvimento.

Uma dificuldade encontrada no estudo e desenvolvimento dessa aplicao a realizao de testes em escala de prottipo. Tendo isso em vista, testes com modelos so muito comuns na indstria petrolfera.

Tendo isso em vista, o presente trabalho tem por objetivo estimar freqncias naturais e modos de um modelo de SCR.

2. MTODO

O modelo escolhido para o presente trabalho foi um cabo de ao revestido com silicone, de 1/8.

O problema imediato ao se adotar tal modelo para anlises modais que, devido baixa rigidez do mesmo, suas freqncias naturais so muito baixas. Para analisar sua vibrao por mtodos convencionais seria necessrio utilizar acelermetros de grandes dimenses, que, atados ao cabo, alterariam suas caractersticas inviabilizando a obteno de dados representativos.

A soluo proposta para o presente estudo foi utilizar processamento de imagens para detectar os movimentos do modelo quando sob vibrao forada.

Tambm prope-se, para o estudo das freqncias naturais e modos no presente trabalho, a programao de um algoritmo em MatLab de elementos finitos para ser desenvolvido com os resultados dos experimentos. Para tanto necessrio mensurar o mdulo de Young do cabo e tambm a densidade do cabo.

Para a determinao do mdulo de Young, ser feito um ensaio de trao comum. J para a determinao da massa especfica, um pedao de comprimento conhecido do cabo ser pesado em balana de preciso.

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2.1 Processamento de imagens

Para a realizao dos ensaios, o prof. Dr. Ricardo Machado Leite de Barros emprestou as instalaes e instrumentos do Laboratrio de Instrumentao para Biomecnica (LIAB), alm do apoio de sua equipe, para a realizao do ensaio. O laboratrio acumula larga experincia com processamento de imagens aplicada ao estudo dos movimentos do corpo humano, Figura 2.1, ou mesmo de movimentos em esportes (o posicionamento de jogadores de futebol no campo durante um jogo, Figura 2.2).

Figura 2.1 Estudo dos movimentos da marcha humana.

Figura 2.2 Rastreamento da posio de jogadores em um jogo de futebol.

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O sistema utilizado para o processamento de imagens o DVideow, cujo exemplo de interface est mostrado na Figura 2.3. Esse sistema foi desenvolvido, a princpio, em cooperao com o Instituto de Biomecnica da Escola Superior de Esportes de Colnia, na Alemanha. Hoje o sistema continua em desenvolvimento com a colaborao do Instituo de Computao da Unicamp.

Figura 2.3 Interface do sistema DVideow.

O sistema caracteriza-se por ser flexvel, aberto e estruturado, controlando e executando os processos de aquisio de seqncias de imagens digitais, rastreamento de objetos nessas seqncias e as transformaes imagem-objeto, nas diferentes aplicaes do sistema.

2.2 O experimento no LIAB

Para a vibrao forada do cabo houve grande dificuldade para conceber um aparato com o qual fosse possvel obter vibraes a partir de 0,5 Hz. necessrio trabalhar com freqncias to baixas quanto 0,5 Hz por dois motivos. Primeiramente, as ondas marinhas responsveis pelas excitaes do SCR no mar trabalham em freqncias to baixas quanto 0,5 Hz. Em segundo lugar, estudos anteriores aos testes mostram que

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o primeiro modo de vibrao do cabo utilizado como modelo aparece em torno da freqncia de 0,7 Hz.

Para obter excitaes nessa faixa de freqncias, pensou-se em utilizar excitadores hidrulicos o que logo foi descartado por suas dimenses e pneumticos que no foram utilizados pela dificuldade em utilizar ar comprimido nas instalaes do LIAB.

Foi levantada tambm a possibilidade de utilizar um motor de passo para gerar o sinal senoidal, no entanto no foi possvel adquirir um e montar o aparato necessrio para control-lo em tempo hbil.

Por fim, o excitador utilizado foi um shaker seguindo os seguintes parmetros:

Tipo de teste: stepped sine;

Intervalo de freqncias e passo: o Excitaes na transversal da SCR: 0,5 a 3,9 Hz, com passo 0,2

Hz;

o Excitaes no plano da SCR: 0,5 a 3,0 Hz, com passo de 0,5 Hz.

Para a aquisio de dados por processamento de imagens, foram colocados 19 pontos, enumerados de cima pra baixo, com marcadores distribudos a longo da catenria. O shaker foi posicionado no 19 ponto.

A freqncia de amostragem das cmeras utilizada foi de 50 Hz, bem maior do que 2 vezes a maior freqncia de teste.

J os filmes foram gravados com durao de 20s, iniciando a gravao 1 min aps cada mudana na freqncia de excitao, para eliminar o registro do transiente.

Abaixo, na Figura 2.3, est um esquema da disposio das cmeras e volume de calibrao utilizado par ao ensaio. No caso foi utilizado o mesmo volume de calibrao utilizado para filmar a marcha do corpo humano, que suas dimenses se adequavam s dimenses do cabo de ao em catenria proposto.

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Figura 2.4 Esquema de posicionamento das cmeras.

Aps a calibrao, o erro em cada coordenada medida (x, y, z) ficou em 1,4mm.

A Figura 2.5 mostra o modelo de SCR montado j com os marcadores, pronto para o experimento, exceto pelo shaker, que no havia sido instalado ainda no momento da foto.

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Figura 2.5 Modelo de SCR pronto para o experimento no LIAB.

J na Figura 2.6 mostrada a maneira de prender a extremidade superior do modelo ao suporte.

Figura 2.6 Detalhe do modo utilizado para prender o modelo de SCR.

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3. PROCESSAMENTO DAS IMAGENS

Como dito anteriormente, para o processamento das imagens foi utilizado o programa DVideow (Barros et al., 1999, Figueroa et al., 2003). Um esquema dos passos realizados no processamento de imagens apresentado na Fig. 3.1. O processamento inicia a partir da marcao ponto a ponto dos pontos de interesse que sero analisados. Neste caso, 18 pontos foram marcados a partir do seu centride da rea que aparecia na fotografia.

Mar cao dos PontosMar cao dos Pontos T rack ing dos P ontosT rack ing dos P ontos Cor reoCor reo

CalibraoCalibraoReconst ru o 3-DReconst ru o 3-D

Y [cm

]

X [cm] Z [cm]

1 2 3

45

Figura 3.1 Esquema do processamento de imagem.

Em seguida foi realizada a operao de tracking dos pontos, que consiste em determinar a posio do centride do ponto marcado em cada frame. O tracking realizado utilizando a morfologia matemtica apresentada em Barros et al. (1999). O pequeno deslocamento do cabo permitiu que esta operao fosse realizada para todos os pontos simultaneamente, o que tornou o processamento muito mais rpido. Em nenhum dos casos foi observada a perda do ponto de marcao, que pode ocorrer quando existe um grande deslocamento entre um frame e outro, ou quando simplesmente o ponto analisado desaparece do campo de captura das cmeras em um dos frames.

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Uma vez determinada posio dos pontos de interesse para cada frame, uma operao de correo realizada para minimizar as possveis distores que podem ter ocorrido durante as medies. Esta correo realizada utilizando dados previamente obtidos a partir do movimento de um corpo rgido de dimenses conhecidas. Neste caso foi utilizada uma cruz (Fig. 3.2) com pontos reflexivos em cada extremidade. Conhecendo a distncia entre estes pontos possvel determinar as distores de cada cmera. Um exemplo de dado corrigido apresentado na Fig. 3.1.

Figura 3.2 Cruz utilizada para corrigir os dados medidos.

Aps a correo dos dados realizada a reconstruo 3-D do movimento dos pontos de interesse utilizando os dados de calibrao das cmeras, previamente determinados.

4. RESULTADOS

A partir do processamento das imagens foram obtidos os histricos de tempo para as 3 dimenses (X, Y e Z) analisadas. Um exemplo de histricos de tempo apresentado a Fig. 4.1, onde se pode visualizar os resultados obtidos para o caso no qual o cabo foi excitado na transversal com freqncia de 1.1 hertz.

Devido inclinao do cabo em relao ao eixo X, observa-se, pelo histrico de movimento em X, que as medidas dos movimentos dos pontos de interesse no oscilam em torno de zero.

Observando estes resultados pode-se notar um aparente acoplamento dos movimentos da estrutura, visto que a excitao na transversal provocou movimentos do cabo nas trs direes.

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A Figura 4.2 apresenta o histrico de tempo do movimento em X para o ponto excitado pelo shaker. Observa-se que devido ao uso de baixas freqncias, que so freqncias diferentes daquelas s quais o shaker foi projetado, a resposta se apresenta em forma de uma funo step, embora a funo selecionada no gerador de sinais tenha sido a seno. Outro fato interessante que ocorreu foi o shaker ter movimentado o cabo no ponto excitado, sempre com a mesma amplitude para toda a faixa de freqncia utilizada.

A partir dos histricos de deslocamento X mediu-se a amplitude de vibrao na direo X para cada freqncia analisada, resultando nos resultados apresentados na Fig. 4.3 e 4.4. Estas figuras representam a variao da amplitude de vibrao dos pontos 7 e 15 do cabo, respectivamente, com a freqncia de excitao. As amplitudes de vibrao dos pontos analisados foram normalizadas pela amplitude de vibrao no ponto de excitao para se ter uma idia da amplificao de vibrao, atravs do fator de amplificao (Q).

Infelizmente os passos de freqncias de excitao adotados para as regies perto da ressonncia foram muito grandes. Desta forma, no possvel observar com preciso quais so as freqncias de ressonncia do cabo, embora uma boa aproximao seja alcanada.

Tabela 4.1 Freqncias Naturais aproximadas.

Modo fN [Hz]

1 1,1

2 2,3

3 3,9

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202628303234363840

Tempo [s]

D

e

s

l

o

c

a

m

e

n

t

o

X

[

c

m

]

Histrico de tempo do movimento em X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

406080

100120140160

Tempo [s]

D

e

s

l

o

c

a

m

e

n

t

o

Y

[

c

m

]

Histrico de tempo do movimento em Y

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

80100120140160

Tempo [s]

D

e

s

l

o

c

a

m

e

n

t

o

Z

[

c

m

]

Histrico de tempo do movimento em Z

6040

180200220

X

Y

Z

Y

Z

X

Figura 4.1 Histricos de tempo dos movimentos do cabo para o caso de movimento transversal com freqncia de 1.1 hertz.

13

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0,4-0,2

00,20,4

0,6

-0,6

Tempo [s]

Des

loca

men

to em

X

[cm

] Histrico de tempo do ponto excitado pelo shaker

Figura 4.2 Registro histrico do ponto excitado pelo shaker, na direo X.

11Q

Figura 4.3 Resultados obtidos para o ponto 7.

A partir da Fig. 4.5 podem-se observar os modos de vibrao variando com a freqncia de excitao. Observa-se que para a faixa de freqncia excitada foi possvel

obter a vibrao do 1 ao 3 modo de vibrao.

14

Excitao

1

Q

Figura 4.4 Resultados obtidos para o ponto 15.

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Freqncia [Hz]

Q =

X

m/X

f

1Modo 2Modo 3Modo

[cm]

[cm] [cm] X [cm] [cm]

[cm]

[cm]

[cm] [cm]

Ponto 15Ponto 15f 1,1 hz

f 2,3 hz f 3,9 hz

Figura 4.5 Modos de vibrao.

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5. SIMULAO NUMRICA

Inicialmente tentou-se realizar os clculo das freqncias naturais e modos de vibrao do cabo em catenria a partir de um modelo simples de prtico. No entanto,

constatou-se que para este tipo de elemento o cabo se torna muito rgido provocando pequenos deslocamentos e altas freqncias naturais. Nesta tentativa, uma anlise

esttica foi realizada anteriormente aos clculos das freqncias naturais e dos modos de vibrao, pois a deformao causada pelo peso da estrutura fator importante e deve ser

levado em considerao.

Desta forma um modelo mais sofisticado utilizando uma aproximao por massa

concentrada foi utilizado.

Neste modelo numrico a flexo do cabo aproximada por molas rotacionais

(Fig. 5.1), tal como em Low e Langley (2006). Esta aproximao tem demonstrado ser totalmente vivel para estruturas nas quais a rigidez flexo pequena.

Neste trabalho, as foras das molas sero derivadas diretamente da energia

potencial em coordenadas globais. Este mtodo ser estendido para obter diretamente a matriz de rigidez de flexo.

A figura 5.1 mostra que a estrutura pode ser modelada por um numero finito de ns e elementos. Para exemplificar, os ns foram numerados de 1 3 e neste caso so

considerados conectados pelos elementos j e k. Cada n tem um vetor de deslocamento 1yr

, 2yr

e 3yr

.

n 1

n 2

n 3

[ ]T1312111 yyyy =r

[ ]T2322212 yyyy =r[ ]T3332313 yyyy =r

Elemento j Elemento k

Figura 5.1 Esquema dos elementos j e k.

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Cada elemento ser modelado como uma mola deformvel e as massas sero

concentradas nos ns adjacentes ao elemento. Calculando a energia de deformao da mola, tem-se a Eq. 1.

( )2j12j

j LyyLEA

21V = rr (1)

sendo Lj o comprimento original, E o modulo de elasticidade e A a rea da seo transversal da estrutura. Desta forma, a fora agindo no n 1 calculada na direo q,

que sero numerados neste trabalho como 1, 2 e 3 sendo que os mesmos representam as coordenadas x, y e z no referencial global, respectivamente, pela Eq. 2.

( ) ( )j

q1q2

12

q1q2

q1

jq1 L

yyEAyy

yyEAyV

T

=

= rr (2)

Desta forma, a matriz de rigidez tangencial para o n 1 ser dada pela Eq. 3a e 3b.

( )3

12

2q1q2

12j2q1

j2

qq1A

yy

yyEAyy

EALEA

yV

K rrrr

+

=

= (3a)

( )( )rqpara

yy

yyyyEAyy

VK 3

12

r1r2q1q2

r1q1

j2

qr1A

=

= rr (3b)

Similarmente, pode-se provar que A1A2 KK . A matriz de rigidez do elemento j montada de acordo com a Eq. 4.

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= A1

A1

A1

A1A

jelem KKKKK (4)

A flexo modelada usando a mola rotacional que acopla os dois elementos e os trs ns como mostrado na Fig. 1. Assumindo que uma estrutura sem deformao seria considerada reta, a energia potencial calculada atravs da Eq. 5.

2bk2

1U = (5)

sendo kj

b LLEI2k

= .

O momento fletor no n central pode ser encontrado derivando a Eq. 5 em

respeito de . O ngulo pode ser funo dos nove deslocamentos, [ ]T3T2T1 yyyy =r . Para a soluo deste problema foram utilizados coeficientes de influencia,

[ ]T3T2T1T =r , apresentados pelas Eq. 6a-c.

( )[ ]jjkkj

1 ttttsinL1

= (6a)

( )[ ]jjkkj

2 ttttsinL1

= (6b)

312 = (6c)

sendo jtr

e ktr

vetores tangentes unitrios para os elementos j e k, definidos pelas Eq. 7a e b.

18

12

12j yy

yyt rr

rrr

= (7a)

23

23k yy

yyt rr

rrr

= (7b)

A matriz de rigidez devido flexo calculada pelas Eq. 8 e 9.

= rr bkyU

(8)

BTb

2Kk

yyU

==

rrrr (9)

A matriz de rigidez total calculada a partir da soma da matriz de rigidez axial KA e a matriz de rigidez flexo KB, Eq. 10.

BA KKK += (10)

Neste caso, a matriz de rigidez calculada considerando apenas o peso da

estrutura, podendo ser considerada um clculo esttico.

Determinada matriz de rigidez, o clculo das freqncias naturais e dos modos de vibrao pode ser realizado pela Eq. 11.

[ ] [ ]{ }( ){ } { }0IK 2 =+ (11)

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6. PROPRIEDADES DO CABO

Para o clculo das freqncias naturais e os modos de vibrao do cabo em catenria necessrio o prvio conhecimento da geometria e das propriedades

mecnicas do cabo.

A geometria do cabo pode ser obtida atravs da foto e resultados obtidos pelo

processamento das imagens.

As propriedades mecnicas foram determinadas atravs de medies. Para determinar o Modulo de elasticidade do cabo foi realizado um ensaio de trao,

conforme Fig. 6.1.

Figura 6.1 - Ensaio de trao.

A partir deste ensaio verificou-se que o modulo de elasticidade do cabo de 90,8 GPa, bem inferior ao do ao, como esperado.

Alm do modulo de elasticidade, a massa linear do cabo tambm medida atravs de balanas precisas. Estas medies indicaram que a massa linear do cabo de

0,047 kg/m.

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7. ESTUDO ANLITICO

Para verificar a importncia de se considerar o efeito da flexo no clculo das freqncias naturais, foi realizado um estudo analtico atravs do uso de formulaes

para cabos e vigas. As formulaes apresentadas neste trabalho podem ser encontradas em Wilson (2003). Uma vez que o objetivo deste estudo foi verificar a importncia de se considerar os efeitos de flexo no clculo das freqncias naturais, uma simplificao adotada neste trabalho foi a considerao da trao constante ao longo de todo cabo.

Para cabos, a formulao geralmente utilizada para o clculo das freqncias

naturais definida pela Eq. 12.

m

TL2nf cabo,n = (12)

Pode-se observar pela Tab. 2 que calculando as freqncias naturais

considerando apenas os efeitos de cabo, os resultados obtidos no apresentaram boa correlao com os resultados experimentais.

No entanto, considerando o efeito combinado do cabo e da viga, atravs das Eq.

13 e 14, observamos pela Tab. 2, que os resultados obtidos foram mais consistentes com os resultados experimentais.

2viga,ncabo,n

2comb,n fff += (13)

sendo, ( )m

EIL

5,0nf 22

2viga,n

pi+= (14)

Isto uma evidencia de utilizarmos modelos como os apresentados por Low e Langley (2006), que levem em considerao os efeitos de flexo do cabo.

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Tabela 2 - Freqncias naturais do cabo calculadas analiticamente.

Modo fn,cabo [Hz] fn,comb [Hz]

1 0,63 1,06

2 1,27 2,68

3 1,91 5,00

8. CONCLUSO

Neste trabalho procurou-se determinar as freqncias naturais de um cabo em catenria, para a validao de modelos numricos. Embora a implementao numrica

ainda no tenha sido finalizada, os resultados experimentais permitiram tirar algumas concluses.

1) O processamento de imagens se apresentou como uma ferramenta eficaz para identificao de modos e freqncias naturais;

2) Apesar de robusta, essa ferramenta computacionalmente e humanamente cara e complexa, visto que para cada caso analisado

foram gastos 30 minutos e ocupados aproximadamente 1,5 GB em disco rgido;

3) O mtodo stepped sine no foi aplicado adequadamente, o que no permitiu a determinao das freqncias naturais com grande preciso;

4) Observou-se que simples modelos de viga no conseguiram apresentar respostas condizentes com os resultados experimentais. Desta forma, o modelo mais sofisticado para cabos em catenria est sendo

implementado, de forma a permitir o clculo das freqncias naturais.

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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

BARROS, R.M.L; REN, B.; LEITE, N.J.; FIGUEROA, P.; Desenvolvimento e Avaliao de um Sistema para Anlise Cinemtica Tridimensional de Movimentos Humanos. Revista Brasileira de Engenharia. Caderno de Engenharia Biomdica, Rio de Janeiro, v.15, n.1, p. 79 86, 1999.

FIGUEROA, P.; LEITE, N.J.; BARROS, R.M.L. A flexible software for tracking of markers used in human motion analysis. Computer Methods and Programs in Biomedicine, v. 72, n.2, p. 155 165, 2003.

LOW, Y.M.; LANGLEY, R.S. Dynamic analysis of a flexible hanging riser in the time and frequency domain. Proceedings of 25th International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering, Alemanha, 2006.

WILSON, J.F. Dynamics of offshore structures. John Wiley & Sons. New Jersey, 2003.