mercado financeiro - conceitos geraisdreifus/cef/conceitos gerais.pdf · 2 derivativos conceitos...

Elementos BásicosDerivativos

Mercado FinanceiroConceitos Gerais

H. Dreifus1

1Departamento de Matemática AplicadaUniversidade de São Paulo

H. Dreifus Finanças

Organização

1 Elementos BásicosRenda FixaRisco

2 DerivativosConceitos GeraisVolatilidade Implicita

Renda FixaRisco

Organização

Renda FixaRisco

Juros - Tempo Discreto

Quantificar valores requer um referencial de valor padrão:

$(t)Dinâmica com Tempo Discreto

Juros Simples

$(t + δt) = (1 + jδt )$(t)

A dinâmica do numerário é determinada pelas Taxas deJuros jδt .

Renda FixaRisco

Juros Simples

$(t + δt) = (1 + jδt )$(t)

Renda FixaRisco

Juros Simples

$(t + δt) = (1 + jδt )$(t)

Renda FixaRisco

Juros Simples

$(t + δt) = (1 + jδt )$(t)

Renda FixaRisco

Juros Compostos

$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt2)(1 + jδt1)$(t)

Taxas de Juros jδt devem ser consistentes com condiçõesde não arbitragem

$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt1+δt2)$(t) = (1 + jδt1)(1 + jδt2)$(t)

jδt1+δt2 = jδ1 + jδ2 + jδ1 jδ2

Renda FixaRisco

Juros Compostos

$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt2)(1 + jδt1)$(t)

Renda FixaRisco

Juros Compostos

$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt2)(1 + jδt1)$(t)

Renda FixaRisco

Juros Compostos

$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt2)(1 + jδt1)$(t)

Renda FixaRisco

Juros - Tempo Contínuo

Juros Constantes

limn→∞

(1 +jn

)n = ej

j∆t = ej∆t − 1

jδti = ejδ ti − 1

∆t = δ t1 + δt2

e a condição de não arbitragem está satisfeita.

(1 + j∆t ) = (1 + jδt )(1 + jδt )

Renda FixaRisco

Juros Constantes

limn→∞

(1 +jn

)n = ej

j∆t = ej∆t − 1

jδti = ejδti − 1

∆t = δt1 + δt2

(1 + j∆t ) = (1 + jδt )(1 + jδt )

Renda FixaRisco

Juros Constantes

limn→∞

(1 +jn

)n = ej

j∆t = ej∆t − 1

jδti = ejδti − 1

∆t = δt1 + δt2

(1 + j∆t ) = (1 + jδt )(1 + jδt )

Renda FixaRisco

Organização

Renda FixaRisco

Passeio Aleatório

Tempo Discreto: 0 = t0 < t1 < ... < tn = t

Em cada instante tj , uma moeda é lançada:

Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.

Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita.

Renda FixaRisco

Passeio Aleatório

Renda FixaRisco

Passeio Aleatório

Renda FixaRisco

Passeio Aleatório

Renda FixaRisco

Passeio Aleatório

p é a probabilidade de obter o resultado Coroa

Renda FixaRisco

111 ppp

---111

Renda FixaRisco

111---ppp

---111

---333

---222

---111

Renda FixaRisco

A cada instante tk temos um conjunto de possíveis valores daposição e uma probabilidade associada a estes valores.

dk número de passos à direita durante o intervalo detempo [0, tk ]

ek número de passos à esquerda durante o intervalo detempo [0, tk ]

tk = dk + ek

ptk (xk ) =

)pdk (1− p)ek

Renda FixaRisco

tk = dk + ek

ptk (xk ) =

)pdk (1− p)ek

H. Dreifus, Finanças

Renda FixaRisco

tk = dk + ek

ptk (xk ) =

)pdk (1− p)ek

Renda FixaRisco

tk = dk + ek

ptk (xk ) =

)pdk (1− p)ek

Renda FixaRisco

Passeios Aleatórios

p = 0.5

Renda FixaRisco

Limite do Contínuo

Considerando um horizonte de tempo t

δt = tn

δx = σ(δt)1/2

limn→∞

ptn (xn)→ P(x , t) =1

4πte−

Passeio Aleatório Simétrico

Renda FixaRisco

Limite do Contínuo

δt = tn

δx = σ(δt)1/2

limn→∞

ptn (xn)→ P(x , t) =1

4πte−

Renda FixaRisco

Limite do Contínuo

δt = tn

δx = σ(δt)1/2

limn→∞

ptn (xn)→ P(x , t) =1

4πte−

Renda FixaRisco

Limite do Contínuo

δt = tn

δx = σ(δt)1/2

limn→∞

ptn (xn)→ P(x , t) =1

4πte−

Renda FixaRisco

Teorema Central do Limite

Incrementos Independentes⇒ Distribuição Normal

N(µ, σ) =1

4πte−

(x−µt)2

Independente da distribuição dos incrementos!

Renda FixaRisco

Movimento Browniano

Processo Estocástico a tempo contínuo caracterizado por:

W (0) = 0.

W (t) é contínuo com probabilidade 1.

Os incrementos de W (t), W (t)−W (s) , são variáveisaleatórias com distribuição Normal, N(0, t − s)

Renda FixaRisco

Movimento Browniano

W (0) = 0.

Renda FixaRisco

Movimento Browniano

W (0) = 0.

Renda FixaRisco

Lançamento de Moedas Revisitado.

Ingredientes Básicos:

Espaço de Eventos Ω

É constituído de dois elementos

Ω = cara, coroa

Medida de Probabilidade

Medida dos subconjuntos de Ω

Renda FixaRisco

Ω = cara, coroa

Renda FixaRisco

Ω = cara, coroa

Renda FixaRisco

Ω = cara, coroa

Renda FixaRisco

Medida de Probabilidade.

Subconjuntos de Ω:

C1 = ∅

C2 = Ω

C3 = cara

C4 = coroa

Renda FixaRisco

Subconjuntos de Ω:

C1 = ∅

C2 = Ω

C3 = cara

C4 = coroa

Renda FixaRisco

Subconjuntos de Ω:

C1 = ∅

C2 = Ω

C3 = cara

C4 = coroa

Renda FixaRisco

Subconjuntos de Ω:

C1 = ∅

C2 = Ω

C3 = cara

C4 = coroa

Renda FixaRisco

Subconjuntos de Ω:

C1 = ∅

C2 = Ω

C3 = cara

C4 = coroa

Renda FixaRisco

Medida µ(·)

µ(∅) = 0

µ(Ω) = 1

µ(cara) = p; 0 ≤ p ≤ 1

µ(coroa) = 1− p

Renda FixaRisco

Medida µ(·)

µ(∅) = 0

µ(Ω) = 1

µ(cara) = p; 0 ≤ p ≤ 1

µ(coroa) = 1− p

Renda FixaRisco

Medida µ(·)

µ(∅) = 0

µ(Ω) = 1

µ(cara) = p; 0 ≤ p ≤ 1

µ(coroa) = 1− p

Renda FixaRisco

Medida µ(·)

µ(∅) = 0

µ(Ω) = 1

µ(cara) = p; 0 ≤ p ≤ 1

µ(coroa) = 1− p

Renda FixaRisco

Medida µ(·)

µ(∅) = 0

µ(Ω) = 1

µ(cara) = p; 0 ≤ p ≤ 1

µ(coroa) = 1− p

Renda FixaRisco

σ-algebra

O conjunto de subconjuntos de Ω,

Σ = C1,C2,C3,C4

é fechado por operações de união, intersecção e complementar

Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∪ Cj ∈ Σ

Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∩ Cj ∈ Σ

Ci ∈ Σ⇒ Cci ∈ Σ

∅ ∈ Σ, Ω ∈ ΣΣ é uma σ − algebra

Renda FixaRisco

σ-algebra

Σ = C1,C2,C3,C4

Renda FixaRisco

σ-algebra

Σ = C1,C2,C3,C4

Renda FixaRisco

σ-algebra

Σ = C1,C2,C3,C4

Renda FixaRisco

σ-algebra

Σ = C1,C2,C3,C4

Renda FixaRisco

σ-algebra

Σ = C1,C2,C3,C4

Renda FixaRisco

σ-algebra

Σ = C1,C2,C3,C4

Renda FixaRisco

Uma medida µ(·), definida em Σ, é uma função com valoresem R ∪ 0 satisfazendo as seguintes propriedades:

µ(∅) = 0Para Ci e Cj subconjuntos em Σ tais que Ci ∩ Cj = ∅,

µ(Ci ∪ Cj) = µ(Ci) + µ(Cj)

medidas de probabilidades são exemplos particulares demedidas com a propriedade de que µ(Ω) = 1

Renda FixaRisco

Variáveis Aleatórias

Variáveis aleatórias são funções definidas em Ω com imagemem R.

Exemplos:

X (ω) =

0 se ω = cara1 se ω = coroa

Renda FixaRisco

Y (ω) =

1 se ω = cara0 se ω = coroa

W (ω) =

12 se ω = cara

12 se ω = coroa

Z (ω) =

1 se ω = cara−1 se ω = coroa

Renda FixaRisco

Apostas híbridas

Em um lançamento de moedas, considere uma situação emque um participante investe R$90.00 em uma aposta em que oretôrno é:

A(ω) =

R$100.00 se ω = cara

R$80.00 se ω = coroa

consistente com lançamentos moedas em que

µ(cara) = µ(coroa) = 1

e apostas de R$50.00 no resultado cara e R$40.00 noresultado coroa

Renda FixaRisco

Preço da Aposta por Valor Esperado

O valor esperado desta aposta é:

E(A) =

$100.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+

$80.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00)

= $100.00× 12

+ $80.00× 12

= $90.00

Renda FixaRisco

E(A) =

$100.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+

$80.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00)

= $100.00× 12

+ $80.00× 12

= $90.00

Renda FixaRisco

E(A) =

$100.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+

$80.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00)

= $100.00× 12

+ $80.00× 12

= $90.00

Renda FixaRisco

E(A) =

$100.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+

$80.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00)

= $100.00× 12

+ $80.00× 12

= $90.00

Renda FixaRisco

Derivativos e Contrôle de Risco

Nesta situação o apostador faz um investimento de $ 90.00 eassume o risco de ganhar ou perder $ 10.00

Para mudar a sua exposição ao risco, o portador da apostapode negociar contratos derivativos. Por exemplo ele podevender uma opção de compra nos seguintes termos:

Caso o resultado do sorteio seja cara o portador da opção teráo direito de comprar a aposta por $80.00

Renda FixaRisco

Cenários para o portador do derivativo

Resultado cara: O portador da opção exerce o seu direitode compra, paga $80.00 e recebe $100.00 pela aposta.Resultado coroa: O portador da opção não tem nada afazer.Preço do derivativo:

E(D) =

$20.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+

$0.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00) = $10.00

Renda FixaRisco

Cenários para o portador do derivativo

Resultado cara: O portador da opção exerce o seu direitode compra, paga $80.00 e recebe $100.00 pela aposta.Resultado coroa: O portador da opção não tem nada afazer.Preço do derivativo:

E(D) =

$20.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+

$0.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00) = $10.00

Renda FixaRisco

Cenários para o portador da aposta

Resultado cara: O portador da aposta recebe $10.00 pelavenda da opção e $80.00 pela transferencia da aposta,totalizando $90.00.Resultado coroa: O portador da aposta recebe $10.00 pelavenda da opção e $80.00 pela aposta, totalizando $90.00.

Todo o risco foi transferido para o comprador da opção.

Lançamento de Moedas

Renda FixaRisco

Conceitos GeraisVolatilidade Implicita

Organização

Um Derivativo é um contrato financeiro cujo valor (preço) éderivado do valor de um outro ativo financeiro (ativo base).

Exemplos: Contratos Futuros, Opções, Swaps, etc..Problema: Conhecido o preço do ativo base, determinar opreço do derivativo.

Opção de Compra Européia

Contrato que fornece ao portador o direito de comprar umdeterminado ativo em uma data específica T (data deexercício) por um determinado valor K .

Função Payoff

No caso de uma opção de compra européia, na data deexercício T , o portador da opção terá um ativo com valorfinanceiro, C(T ), dado por:

C(T ) = [S(T )− K ]+

S(t) denota o preço do ativo base no tempo T .C(T ) = [S(T )− K ]+ é definido por:

C(T ) = [S(T )− K ]+ = max0,S(T )− K

Função Payoff

No caso de uma opção de compra européia, na data deexercício T , o portador da opção terá um ativo com valorfinanceiro, C(T ), dado por:

C(T ) = [S(T )− K ]+

S(t) denota o preço do ativo base no tempo T .C(T ) = [S(T )− K ]+ é definido por:

C(T ) = [S(T )− K ]+ = max0,S(T )− K

0 2 4 6 8 10 12 14

Opção de Compra Européia

0 2 4 6 8 10 12 14

Apreçamento de C(t)

Questão: Qual o preço que deve ser pago por uma opçãode compra européia em uma data T < T .

Hipótese: Distribuição de Probabilidade para o preço doativo base, S(T ), é conhecida no tempo t .

Preço de uma Opção de Compra Européia.

Assumindo que a distribuição de probabilidade para S(T ), notempo t , tem densidade dado por:

Φt (S(T )) =exp− 1

2σ2(T−t) [ln(S(T )S(t) )− (T − t)(r − 1

2σ2)]2

S(T )σ√

2π(T − t)

onde r , σ e S(t) são respectivamente

r - taxa de juros livre de risco.σ - volatilidade do preço do ativo base.S(t) - preço do ativo base no tempo t (conhecido).

C(t) = e−(T−t)r E[S(T )− K ]+

C(t) = e−(T−t)r∫ ∞

0[S(T )− K ]+Φt (S(T ))dS(T )

= e−(T−t)r∫ ∞

K(S(T )− K )Φt (S(T ))dS(T )

Black-Sholes

C(t) =

e−(T−t)r∫ ∞−d1S(t)e[(r− 1

2σ2)(T−t)+σx

√T−t] − Ke−

x22 dx

−d1 =ln( K

S(t) )− (T − t)(r − 12σ

T − t

Black-Sholes

C(t) =

e−(T−t)r∫ ∞−d1S(t)e[(r− 1

2σ2)(T−t)+σx

√T−t] − Ke−

x22 dx

−d1 =ln( K

S(t) )− (T − t)(r − 12σ

T − t

Fórmula de Black & Scholes

C(t ,S(t); r , σ,K ) =

S(t)N(d2(t ,S(t); r , σ,K ))− Ke−(T−t)r N(d1(t ,S(t); r , σ,K ))

d2 = d1 + σ√

T − t

N(x) =1√2π

−∞e−

x22 dx

Organização

Determinação da Volatilidade

Uma das dificuldades relacionadas ao apreçamento deativos financeiros utilizando a Teoria de Black e Scholesestá na dificuldade de se determinar a volatilidade σ.

Observações históricas podem não ser um bom preditordo comportamento futuro.

A existência de um mercado de derivativos líquido forneceuma alternativa para obter estimativas para σ

Cálculo da Volatilidade Implícita

A partir da fórmula de Black e Scholes temos

C(t ,S(t); r , σ,K ) =

S(t)N(d2(t ,S(t); r , σ,K ))− Ke−(T−t)r N(d1(t ,S(t); r , σ,K ))

S(t)N(d2(σ))− Ke−(T−t)r N(d1(σ))− C(t) = 0

Cálculo da Volatilidade Implícita

Utilizando um algoritmo numérico

Método de Newton-Raphson

podemos determinar estimativas para σ a partir dos valoresobservados de C(t), S(t) e r .

Cálculo da Volatilidade Implicita

mercado financeiro - conceitos geraisdreifus/cef/conceitos gerais.pdf · 2 derivativos conceitos...

Documents