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Programa Princıpios Gerais Forcas, vetores e operacoes vetoriais
MECANICA
MAC010
Departamento de Mecanica Aplicada e
Computacional
Profa Michele Farage,Profa Flavia Bastos
24 de fevereiro de 2015
Profa Michele Farage, Profa Flavia Bastos:
MECANICA MAC010 Departamento de Mecanica Aplicada e Computacional
Programa Princıpios Gerais Forcas, vetores e operacoes vetoriais
Programa
Princıpios Gerais
Forcas, vetores e operacoes vetoriais
Profa Michele Farage, Profa Flavia Bastos:
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Programa Princıpios Gerais Forcas, vetores e operacoes vetoriais
Programa
I 1. Introducao: conceitos e definicoes basicos daMecanica, sistemas de unidades, homogeneidade deunidades.
I 2. Forcas e grandezas vetoriais: escalares e vetores,operacoes vetoriais, adicao de forcas vetoriais, adicao desistemas de forcas coplanares, vetores cartesianos, adicaoe subtracao de vetores cartesianos, vetores posicao, vetorforca orientado ao longo de uma reta, produto escalar,
I 3. Equilıbrio de um ponto material: condicao deequilıbrio, diagrama de corpo livre, sistemas de forcascoplanares, sistema de forcas tridimensional;
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Programa
I 4. Resultantes de sistemas de forcas : momento(formulacoes escalar e vetorial), princıpios dos momentos,momento de uma forca em relacao a um eixo, momentode um binario, sistemas equivalentes, resultantes desistemas de forcas e momentos, reducoes de sistemas deforcas e momentos, reducao de sistemas de cargasdistribuıdas;
I 5. Equilıbrio de um corpo rıgido : condicoes de equilıbrio,diagramas de corpo livre, equacoes de equilıbrio, equilıbrioem 3 dimensoes, restricoes para o corpo rıgido.
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ProgramaI 6. Trelicas : trelicas planas, metodo dos nos, metodo das
secoes, trelicas espaciais.I 7. Esforcos internos : definicao de esforcos internos,
esforcos cortante, normal, momento fletor e momentotorsor, calculo de esforcos internos em secoes de barras.
I 8. Centro de gravidade e centroide : centro de gravidadede um sistema de pontos materiais, centro de gravidade ecentroide de um corpo, corpos compostos;
I 9. Momentos de inercia : definicao de momento deinercia de areas, raio de giracao, calculo por integracao,teorema dos eixos paralelos, momentos de inercia de areascompostas, produto de inercia, momentos de inercia emrelacao a eixos inclinados, momentos principais de inercia
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Bibliografia
I Livro-texto: Estatica: mecanica para engenharia, R. C.Hibbeler, Ed. Pearson, 10a edicao.
I Estatica, A. P. Boresi e R. . Schimidt, Ed. Thomson.
I Mecanica vetorial para engenheiros - estatica, F. Beer eE. R. Johnston, Ed. McGraw-Hill.
I Estatica, J. L. Meriam e L. G. Kraige , Ed. LTC.
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Atendimento extra-classe
I e-mail: [email protected] [email protected]
I sala: Departamento de Mecanica Aplicada eComputacional (MAC), − Faculdade de Engenharia
I Telefone: 2102-3470
I Horarios de atendimento: a definir
I Local: MAC
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Programa
Princıpios Gerais
Forcas, vetores e operacoes vetoriais
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Definicao de Mecanica
Mecanica e o ramo das ciencias fısicas que trata do estado derepouso ou movimento de corpos sujeitos a acao de forcas,sendo subdividida em:
I Mecanica dos corpos rıgidos;
I Mecanica dos corpos deformaveis e
I Mecanica dos fluidos.
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Definicao de Mecanica
Mecanica e o ramo das ciencias fısicas que trata do estado derepouso ou movimento de corpos sujeitos a acao de forcas,sendo subdividida em:
I Mecanica dos corpos rıgidos → Estatica e Dinamica
I Mecanica dos corpos deformaveis e
I Mecanica dos fluidos.
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Definicao de Estatica
A Estatica trata do equilıbrio dos corpos.
Um corpo em equilıbrio encontra-se em repouso ou emmovimento retilınio uniforme.
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Definicao de Estatica
A Estatica trata do equilıbrio dos corpos.
Um corpo em equilıbrio encontra-se em repouso ou emmovimento retilınio uniforme.
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Desenvolvimento historico da MecanicaO desenvolvimento dos princıpios da Estatica comecou hamilhares de anos.
I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estaticadatam do seculo IV a.C, sendo atribuıdos a Aristoteles;
I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princıpio daAlavanca e estudos sobre polias, torcao, entre outros;
I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizarexperimentos relacionados a dinamica (pendulos e objetosem queda livre);
I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 LeisFundamentais do Movimento e a Lei da GravitacaoUniversal.
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Desenvolvimento historico da MecanicaO desenvolvimento dos princıpios da Estatica comecou hamilhares de anos.
I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estaticadatam do seculo IV a.C, sendo atribuıdos a Aristoteles;
I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princıpio daAlavanca e estudos sobre polias, torcao, entre outros;
I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizarexperimentos relacionados a dinamica (pendulos e objetosem queda livre);
I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 LeisFundamentais do Movimento e a Lei da GravitacaoUniversal.
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Desenvolvimento historico da MecanicaO desenvolvimento dos princıpios da Estatica comecou hamilhares de anos.
I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estaticadatam do seculo IV a.C, sendo atribuıdos a Aristoteles;
I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princıpio daAlavanca e estudos sobre polias, torcao, entre outros;
I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizarexperimentos relacionados a dinamica (pendulos e objetosem queda livre);
I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 LeisFundamentais do Movimento e a Lei da GravitacaoUniversal.
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Desenvolvimento historico da MecanicaO desenvolvimento dos princıpios da Estatica comecou hamilhares de anos.
I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estaticadatam do seculo IV a.C, sendo atribuıdos a Aristoteles;
I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princıpio daAlavanca e estudos sobre polias, torcao, entre outros;
I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizarexperimentos relacionados a dinamica (pendulos e objetosem queda livre);
I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 LeisFundamentais do Movimento e a Lei da GravitacaoUniversal.
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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?
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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?
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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?
Desmoronamento de ponte no Mississipi (2007): 9 mortos emais de 30 feridos
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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?
Desmoronamento de tunel em Sao Paulo (2007): 7 mortos, 212
desabrigados
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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?
Desmoronamento da cobertura da Igreja Renascer em Sao Paulo
(2009): 9 mortos e mais de 100 feridos
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O que pode ocorrer se a Mecanica nao for aplicada corretamente?
Acidente ambiental
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Programa
Princıpios Gerais
Forcas, vetores e operacoes vetoriais
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Conceitos fundamentais
I Grandezas basicas
I Idealizacoes
I Leis de Newton
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Grandezas basicas
As quatro grandezas fısicas fundamentais sao:
I comprimento - descreve posicao e dimensoes de um corpono espaco;
I massa - caracteriza um corpo e o compara com outrocorpo;
I tempo - sucessao de eventos;
I forca - acao de um corpo sobre outro.
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Idealizacoes
Idealizacoes sao formas simplificadas de representar fenomenose entes fısicos.
Idealizacoes comumente empregadas na Mecanica
I partıcula ou ponto material;
I corpo rıgido;
I forca concentrada.
Exemplo: Para simular a trajetoria de uma bola de tenis, quesimplificacoes podem ser adotadas sem prejuızo darepresentacao fısica?
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Idealizacoes
Idealizacoes sao formas simplificadas de representar fenomenose entes fısicos.Idealizacoes comumente empregadas na Mecanica
I partıcula ou ponto material;
I corpo rıgido;
I forca concentrada.
Exemplo: Para simular a trajetoria de uma bola de tenis, quesimplificacoes podem ser adotadas sem prejuızo darepresentacao fısica?
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Idealizacoes
Idealizacoes sao formas simplificadas de representar fenomenose entes fısicos.Idealizacoes comumente empregadas na Mecanica
I partıcula ou ponto material;
I corpo rıgido;
I forca concentrada.
Exemplo: Para simular a trajetoria de uma bola de tenis, quesimplificacoes podem ser adotadas sem prejuızo darepresentacao fısica?
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Idealizacoes
Idealizacoes sao formas simplificadas de representar fenomenose entes fısicos.Exemplo: Como representar o processo de contaminacao dosolo provocada por um derramamento de oleo?
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Leis do Movimento de Newton
Primeira Lei: Um ponto material inicialmente emrepouso ou movendo-se em linha reta evelocidade constante permanece nesse estadodesde que nao seja submetido a uma forca.
Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a acaode uma forca F sofre uma aceleracao a de mesmadirecao e sentido de F, que e descrita pelarelacao:
F=ma
Terceira Lei: A toda acao corresponde umareacao de mesma intensidade e direcao e desentido contrario.
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Leis do Movimento de Newton
Primeira Lei: Um ponto material inicialmente emrepouso ou movendo-se em linha reta evelocidade constante permanece nesse estadodesde que nao seja submetido a uma forca.
Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a acaode uma forca F sofre uma aceleracao a de mesmadirecao e sentido de F, que e descrita pelarelacao:
F=ma
Terceira Lei: A toda acao corresponde umareacao de mesma intensidade e direcao e desentido contrario.
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Leis do Movimento de Newton
Primeira Lei: Um ponto material inicialmente emrepouso ou movendo-se em linha reta evelocidade constante permanece nesse estadodesde que nao seja submetido a uma forca.
Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a acaode uma forca F sofre uma aceleracao a de mesmadirecao e sentido de F, que e descrita pelarelacao:
F=ma
Terceira Lei: A toda acao corresponde umareacao de mesma intensidade e direcao e desentido contrario.
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Leis de Newton
Lei da Gravitacao: governa a atracao entre doiscorpos de massa m1 e m2:
F=Gm1m2
r 2
Peso: forca de atracao exercida pela Terra
W=GmM
r 2
W=mg
Questao: A aceleracao da gravidade e um valor constante?
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Leis de Newton
Lei da Gravitacao: governa a atracao entre doiscorpos de massa m1 e m2:
F=Gm1m2
r 2
Peso: forca de atracao exercida pela Terra
W=GmM
r 2
W=mg
Questao: A aceleracao da gravidade e um valor constante?
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Leis de Newton
Lei da Gravitacao: governa a atracao entre doiscorpos de massa m1 e m2:
F=Gm1m2
r 2
Peso: forca de atracao exercida pela Terra
W=GmM
r 2
W=mg
Questao: A aceleracao da gravidade e um valor constante?
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Unidades de MedidaAs grandezas basicas da fısica sao relacionadas pela SegundaLei de Newton: F = maSistema Internacional de Unidades (SI):
I comprimento -m
I tempo - s → forca - N =kg .m
s2
I massa - kg
Nos EUA, o sistema ingles ainda e o mais empregado:
I comprimento -pe → 1 pe = 0,3048m
I tempo - s
I forca - lb → 1 lb = 4,4482N
I massa - slug → 1 slug = 14,5938kg
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Unidades de MedidaAs grandezas basicas da fısica sao relacionadas pela SegundaLei de Newton: F = maSistema Internacional de Unidades (SI):
I comprimento -m
I tempo - s → forca - N =kg .m
s2
I massa - kg
Nos EUA, o sistema ingles ainda e o mais empregado:
I comprimento -pe → 1 pe = 0,3048m
I tempo - s
I forca - lb → 1 lb = 4,4482N
I massa - slug → 1 slug = 14,5938kg
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Operacoes numericas
I Homogeneidade dimensional:As relacoes fısicas observadas na Natureza independemdas unidades adotadas para representacao das grandezasenvolvidas.
s = so + vot +at2
2
[L] = [L] + [LT−1][T ] + [LT−2][T 2]
I Representacao numerica: quantidade de algarismossignificativos
I Arredondamentos
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Operacoes numericas
I Homogeneidade dimensional:As relacoes fısicas observadas na Natureza independemdas unidades adotadas para representacao das grandezasenvolvidas.
s = so + vot +at2
2
[L] = [L] + [LT−1][T ] + [LT−2][T 2]
I Representacao numerica: quantidade de algarismossignificativos
I Arredondamentos
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Problemas1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou amassa m de uma partıcula a sua velocidade v pela formulam = mo(1− v 2/c2)−1/2, onde c = 3.108m/s e a velocidade daluz e mo e a massa da partıcula em repouso.
1. Qual e a porcentagem de variacao da massa de umapartıcula em relacao a sua massa em repouso se avelocidade for: (i) 3.104m/s, (ii) 3.106m/s, (i)3.107m/s?
2. O que voce acha da validade de se usar a MecanicaNewtoniana para corpos de dimensoes comuns que viajama velocidades comuns?
3. O que a teoria de Einstein diria da massa de umapartıcula que pudesse viajar a velocidade da luz?
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Problemas1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou amassa m de uma partıcula a sua velocidade v pela formulam = mo(1− v 2/c2)−1/2, onde c = 3.108m/s e a velocidade daluz e mo e a massa da partıcula em repouso.
1. Qual e a porcentagem de variacao da massa de umapartıcula em relacao a sua massa em repouso se avelocidade for: (i) 3.104m/s, (ii) 3.106m/s, (i)3.107m/s?
2. O que voce acha da validade de se usar a MecanicaNewtoniana para corpos de dimensoes comuns que viajama velocidades comuns?
3. O que a teoria de Einstein diria da massa de umapartıcula que pudesse viajar a velocidade da luz?
Profa Michele Farage, Profa Flavia Bastos:
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Problemas1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou amassa m de uma partıcula a sua velocidade v pela formulam = mo(1− v 2/c2)−1/2, onde c = 3.108m/s e a velocidade daluz e mo e a massa da partıcula em repouso.
1. Qual e a porcentagem de variacao da massa de umapartıcula em relacao a sua massa em repouso se avelocidade for: (i) 3.104m/s, (ii) 3.106m/s, (i)3.107m/s?
2. O que voce acha da validade de se usar a MecanicaNewtoniana para corpos de dimensoes comuns que viajama velocidades comuns?
3. O que a teoria de Einstein diria da massa de umapartıcula que pudesse viajar a velocidade da luz?
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Problemas
2. Em um experimento para determinar a aceleracao de umapartıcula, um estudante registra as componentes (x , y , z) daforca F que atua sobre a partıcula e as componentes (x , y , z)da aceleracao a. As medidas sao: (8, 10, 30) para F (em N) e(2, 5, 3, 125, 10) para a (em m/s2).a) Qual e a sua opiniao sobre a qualidade destes dados?Justificar a resposta.
b) O estudante verificou que o acelerometro e preciso e que acomponente z da forca F esta correta. Quais sao os valorescorretos das demais componentes de F?
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Problemas
2. Em um experimento para determinar a aceleracao de umapartıcula, um estudante registra as componentes (x , y , z) daforca F que atua sobre a partıcula e as componentes (x , y , z)da aceleracao a. As medidas sao: (8, 10, 30) para F (em N) e(2, 5, 3, 125, 10) para a (em m/s2).a) Qual e a sua opiniao sobre a qualidade destes dados?Justificar a resposta.b) O estudante verificou que o acelerometro e preciso e que acomponente z da forca F esta correta. Quais sao os valorescorretos das demais componentes de F?
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Problemas
3. Uma viga engastada de comprimento L e submetida a umaforca F na sua extremidade livre. A deflexao d do eixo da vigaa uma distancia x da extremidade livre e dada por:
d =F
6EI(2L3 − 3L2x + x3)
Quais sao as dimensoes do produto EI se esta equacao fordimensionalmente homogenea?
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Programa
Princıpios Gerais
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Como sao representadas as grandezas fısicas?
Na Mecanica, as grandezas fısicas sao representadas como:ESCALARES VETORES
I Escalar: possui magnitude: massa, volume,comprimento. . .
I Regra da adicao: aritmetica simples
I Vetor: possui intensidade, direcao e sentido: forca,momento, posicao
I Regra da adicao: lei do paralelogramo.
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Como sao representadas as grandezas fısicas?
Na Mecanica, as grandezas fısicas sao representadas como:ESCALARES VETORES
I Escalar: possui magnitude: massa, volume,comprimento. . .
I Regra da adicao: aritmetica simples
I Vetor: possui intensidade, direcao e sentido: forca,momento, posicao
I Regra da adicao: lei do paralelogramo.
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Aplicacao pratica da soma de vetoresCalculo da forca resultante no apoio onde concorrem 4 cabos:
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Representacao grafica de vetores
Graficamente, um vetor e representado por uma flecha:
I a intensidade e o comprimento da flecha;
I a direcao e definida pelo angulo entre o eixo de referenciae a reta de acao da flecha;
I o sentido e representado pela ponta da flecha.
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Operacoes vetoriais
Multiplicacao e Divisao de um Vetor por um EscalarO produto de um vetor A por um escalar a e um vetor deintensidade |aA|.
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Adicao vetorial
A adicao de dois vetores A e B e feita usando-se a Lei doParalelogramo ou a Construcao do Triangulo.
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Adicao vetorial
A adicao de dois vetores A e B e feita usando-se a Lei doParalelogramo ou a Construcao do Triangulo.
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Operacoes vetoriais
QUESTOES
I Como se faz a subtracao vetorial?
I Como se obtem as componentes de um vetor em duasdirecoes determinadas?
I Graficamente, como se faz a soma de mais de doisvetores concorrentes?
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QUESTOES
I Como se faz a subtracao vetorial?
I Como se obtem as componentes de um vetor em duasdirecoes determinadas?
I Graficamente, como se faz a soma de mais de doisvetores concorrentes?
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Operacoes vetoriais
QUESTOES
I Como se faz a subtracao vetorial?
I Como se obtem as componentes de um vetor em duasdirecoes determinadas?
I Graficamente, como se faz a soma de mais de doisvetores concorrentes?
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Notacao vetorial cartesianaA decomposicao de vetores equivale ao inverso da lei doparalelogramo: i e j sao os vetores unitarios nas direcoes x e y.
F=Fx i+Fy j
Dado um vetor F, pode-se calcular as suas componentes emquaisquer direcoes x e y.
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Adicao de varios vetores
1. Decomposicao de cada vetor nas direcoes x e y
2. Soma de todas as componentes em cada direcao;
3. Calculo da magnitude e da direcao do vetor resultante.
F=∑
Fx+∑
Fy
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Adicao de varios vetores
1. Decomposicao de cada vetor nas direcoes x e y
2. Soma de todas as componentes em cada direcao;
3. Calculo da magnitude e da direcao do vetor resultante.
F=∑
Fx+∑
Fy
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Adicao de varios vetores
1. Decomposicao de cada vetor nas direcoes x e y
2. Soma de todas as componentes em cada direcao;
3. Calculo da magnitude e da direcao do vetor resultante.
F=∑
Fx+∑
Fy
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Exercıcios
1. Calcular a magnitude e a direcao da forca resultante noapoio abaixo.
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Exercıcio 1
Etapas da resolucao:
1. Decompor as 3 forcas nas direcoes x e y;
2. Somar as componentes em cada direcao;
3. Calcular a magnitude e a direcao da resultante.
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Exercıcio 1
Etapas da resolucao:
1. Decompor as 3 forcas nas direcoes x e y;
2. Somar as componentes em cada direcao;
3. Calcular a magnitude e a direcao da resultante.
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Exercıcio 1
Etapas da resolucao:
1. Decompor as 3 forcas nas direcoes x e y;
2. Somar as componentes em cada direcao;
3. Calcular a magnitude e a direcao da resultante.
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Exercıcio 2
2. Calcular a intensidade e a direcao da forca resultante noapoio abaixo.
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Exercıcio 3
3. Determinar a magnitude da forca F=F1+F2 sendo:F1={10i+20j}N e F2={20i+20j}N.
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