mecÂnica tÉcnica - tÉc. mec. 1 - 31 cÓpias.pdf

7/26/2019 MECNICA TCNICA - TC. MEC. 1 - 31 CPIAS.pdf

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MECNICATCNICA

Federao das Indstrias do Estado de Minas Gerais - FIEMG

Pouso Alegre

2012


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Federao das Indstrias do Estado de Minas Gerais - FIEMGServio Nacional de Aprendizagem Industrial - SENAIDepartamento Regional de Minas GeraisCentro de Formao Profissional Orlando Chiarini

MECNICA

TCNICA

Elaborao: Francisco Reginaldo da Rosa

Pouso Alegre / MG2012


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2012. SENAI. Departamento Regional de Minas Gerais

SENAI/MGCentro de Formao Profissional Orlando Chiarini

Presidente da FIEMG

Olavo Machado Jnior

Diretor Regional do SENAI

Lcio Jos de Figueiredo Sampaio

Gerente de Educao ProfissionalEdmar Fernando de Alcntara

Ficha Catalogrfica

SENAI. Departamento Regional de Minas Gerais.Mecnica Tcnica / SENAI. MG ; elaborao de Francisco Reginaldo da Rosa.

Pouso Alegre: [s.n.], 2012.

77 p. : il.

1. Mecnica dos Corpos Rgidos. I. Mecnica Tcnica.

CDU: XYZ.W

SENAIServio Nacional de Aprendizagem IndustrialDepartamento Regional de Minas Gerais

FIEMGAv. do Contorno, 4456Bairro Funcionrios30110-916 Belo Horizonte - Minas Gerais


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SSUUMMRRIIOO

PREFCIO ............................................................................................................................ 5MECNICA DOS MATERIAIS ............................................................................................... 6GRANDEZAS FSICAS .......................................................................................................... 8REA DE FIGURAS PLANAS ............................................................................................. 16VOLUME DE SLIDOS GEOMTRICOS ........................................................................... 19TRINGULOS ..................................................................................................................... 23TRIGONOMETRIA .............................................................................................................. 25DENSIDADE ........................................................................................................................ 30

MASSA: ............................................................................................................................... 31PESO .................................................................................................................................. 33CINEMTICA....................................................................................................................... 34INRCIA E FORA ............................................................................................................. 36FORA ................................................................................................................................ 37SEGUNDA LEI DE NEWTON .............................................................................................. 38ATRITO: RESISTNCIA PASSIVA ...................................................................................... 39FORA DE ATRITO ............................................................................................................ 41TRABALHO DE UMA FORA ............................................................................................. 43TRABALHO DA FORA PESO ........................................................................................... 46

POTNCIA MECNICA ....................................................................................................... 48RENDIMENTO ..................................................................................................................... 50ENERGIA MECNICA ......................................................................................................... 52FORA RESULTANTE ........................................................................................................ 58MOMENTO DE UMA FORA .............................................................................................. 61MOMENTO RESULTANTE .................................................................................................. 64RESULTANTE DE FORAS E MOMENTOS ...................................................................... 66REAES EM CABOS E ESTRUTURAS ........................................................................... 68REAES NOS APOIOS .................................................................................................... 69CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE SUPERFCIES PLANAS ................................... 74REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................................... 77


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PPRREEFFCCIIOO

Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade doconhecimento.

Peter Drucker

O ingresso na sociedade da informao exige mudanas profundas em todos osperfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produo,

coleta, disseminao e uso da informao.O SENAI, maior rede privada de educao profissional do pas, sabe disso, e,consciente do seu papel formativo , educa o trabalhador sob a gide do conceito dacompetncia: formar o profissional com responsabilidade no processoprodutivo, com iniciativa na resoluo de problemas, com conhecimentostcnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade, empreendedorismo econscincia da necessidade de educao continuada.

Vivemos numa sociedade da informao. O conhecimento, na sua rea tecnolgica,amplia-se e se multiplica a cada dia. Uma constante atualizao se faz necessria.

Para o SENAI, cuidar do seu acervo bibliogrfico, da sua infovia, da conexo desuas escolas rede mundial de informaes internet- to importante quantozelar pela produo de material didtico.

Isto porque, nos embates dirios, instrutores e alunos, nas diversas oficinas elaboratrios do SENAI, fazem com que as informaes, contidas nos materiaisdidticos, tomem sentido e se concretizem em mltiplos conhecimentos.

O SENAI deseja, por meio dos diversos materiais didticos, aguar a suacuriosidade, responder s suas demandas de informaes e construir linksentre os

diversos conhecimentos, to importantes para sua formao continuada !

Gerncia de Educao Profissional


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MMEECCNNIICCAADDOOSSMMAATTEERRIIAAIISS

A Mecnica uma cincia fsica aplicada que trata dos estudos das foras e dos

movimentos.

A Mecnica descreve e prediz as condies de repouso ou movimento de corpos sob a aode foras.

A finalidade da Mecnica explicar e prever fenmenos fsicos, fornecendo, assim, osfundamentos para as aplicaes da Engenharia.

A Mecnica subdividida em trs grandes ramos: Mecnica dos Corpos Rgidos, Mecnicados Corpos Deformveis e Mecnica dos Fludos, como indicado abaixo.

1) MECNICA DOS CORPOS RGIDOS subdividida em Esttica, Cinemtica e Dinmica.

A Esttica se refere aos corpos em repouso e estuda as foras em equilbrio,independentemente do movimento por elas produzido. Na Esttica, os corpos analisadosso considerados rgidos, conseqentemente, os resultados obtidos independem daspropriedades do material.

A Cinemticaestuda os movimentos em si e as leis que os regem:

movimento uniforme (MU) mvel percorrendo espaos iguais em tempos iguais paraquaisquer trechos de trajetria;

movimento uniformemente variado (MUV) a velocidade do mvel varia de valores iguaisem tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento ser uniformementeacelerado; se houver decrscimo, o movimento ser uniformemente retardado;

movimento circular: de rotao.

A Dinmicaestuda a relao entre o movimento e a causa que o produz (fora).


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2) MECNICA DOS CORPOS DEFORMVEISAs estruturas e as mquinas nunca so absolutamente rgidas, deformando-se sob a aodas cargas a que esto submetidas. Estas deformaes so geralmente pequenas e noalteram apreciavelmente as condies de equilbrio ou de movimento da estrutura

considerada.

No entanto, essas deformaes tero importncia quando houver riscos de ruptura domaterial. A Mecnica dos corpos deformveis estudada pela Resistncia dos Materiais,Mecnica dos Materiais ou Mecnica dos Slidos, como tambm, so conhecidas.

O estudo dos corpos deformveis resume-se na determinao da resistncia mecnica, darigidez e da estabilidade de elementos estruturais.

3) MECNICA DOS FLUDOS

A Mecnica dos Fludos subdividida no estudo dos fluidos incompressveis (lquidos) efluidos compressveis (gases). Uma importante subdiviso do estudo de fluidosincompressveis a hidrulica.

CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECNICAOs conceitos fundamentais da Mecnica baseiam-se na Mecnica Newtonia:

Espao: o conceito de espao associado noo de posio de um ponto material, oqual pode ser definido por trs comprimentos, medidos a partir de certo ponto de referncia,ou de origem, segundo trs direes dadas. Estes comprimentos so conhecidos como as

coordenadas do ponto;

Tempo: para se definir um evento no suficiente definir sua posio no espao. O tempoou instante em que o evento ocorre tambm deve ser dado;

Fora: a fora representa a ao de um corpo sobre outro; a causa que tende a produzirmovimento ou a modific-lo. A fora caracterizada pelo seu ponto de aplicao, suaintensidade, direo e sentido; uma fora representada por um vetor;


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GGRRAANNDDEEZZAASSFFSSIICCAASS

So elementos determinados atravs de valores numricos, acompanhados de suasrespectivas unidades de medidas. As grandezas fsicas so utilizadas para enunciar eformular conceitos e leis fsicas.

O Sistema Internacional de Unidades (SI) subdividido em unidades bsicas e unidadesderivadas.

As unidades bsicas so: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s).As unidades derivadas so, entre outras, fora, trabalho, presso, etc...

As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as trs

unidades bsicas escolhidas so independentes dos locais onde so feitas as medies.

Os quadros abaixo apresentam as seis principais grandezas fsicas bsicas e derivadas comsuas denominaes, unidades e equivalncias descritas no sistema internacional (SI).

Tabela de Grandezas Bsicas:GrandezasBsicas

Comprimento Massa Tempo CorrenteEltrica

TemperaturaTermodinmica

IntensidadeLuminosa

UnidadesBsicas

Metro Quilograma Segundos Ampre Kelvin Candela

Smbolo m Kg s A K Cd

Tabela de Grandezas Derivadas:GrandezasDerivadas

Fora Presso Energia /Trabalho

Potncia TensoEltrica

UnidadesDerivadas

Newton Pascal Joule Watt Volt

Smbolo N Pa J W VRelao 1N = 1Kg.m/s2 1Pa =1 N / m2 1J = 1 N. m 1W = 1 J / s 1V = 1 W / A

Tabela de Grandezas (Tempo, Massa e Presso):Grandezas Tempo Massa Presso Tempo TempoUnidadesDerivadas

Minuto Tonelada Megabaria Hora Dia

Smbolo Min T bar h dRelao 1min = 60s 1T = 1000Kg 1bar =

100000Pa1h = 60min1h = 3600s

1d = 24h1d = 86400s

A fora medida em Newton (N) que definido como a fora que imprime a acelerao de1m/s2 massa de 1 kg. A partir da Equao F=m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se:

1 N = 1 kg 1 m/s2.As medidas estticas de foras so efetuadas por meio de instrumentos chamadosdinammetros.


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O peso de um corpo tambm uma fora e expresso em Newton (N). Da Equao P=m.g(terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitao) segue-se que o peso de um corpo de massa 1kg = (1 kg)(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 a acelerao da gravidade.A presso medida no SI em Pascal (Pa) que definido como a presso exercida por uma

fora de 1 Newton uniformemente distribuda sobre uma superfcie plana de 1metroquadrado de rea, perpendicular direo da fora Pa = N /m2 . Pascal tambm unidadede tenses normais (compresso ou trao) ou tenses tangenciais (cisalhamento).

PREFIXOS: MLTIPLOS E SUBMLTIPLOSQuando um valor numrico muito grande ou muito pequeno, as unidades utilizadas paradefini-lo podem ser modificadas pelo uso de prefixos. Alguns dos prefixos utilizados no SIso mostrados na tabela a seguir. Cada um representa um mltiplo ou submltiplo daunidade que, se aplicado sucessivamente, move a vrgula de um valor numrico de trs emtrs casas (o quilograma a nica unidade bsica definida com o prefixo). Por exemplo,

4.000.000 N = 4.000 KN(quilonewtons) = 4 MN (meganewtons); 0,005 m = 5 mm (milmetros). Note que o SI noinclui o mltiplo deca (10) ou o submltiplo centi (0,01), que fazem parte do sistema mtrico.Exceto para algumas medidas de volume e rea, a utilizao destes prefixos deve serevitada, sempre que possvel.

Regras de utilizaoAs regras a seguir so fornecidas para a utilizao apropriada dos vrios smbolos do SI.1-Um smbolo nunca escrito no plural s, pois ele pode ser confundido com a unidade desegundos (s).2- Os smbolos so sempre escritos em letras maisculas, com as seguintes excees:smbolos para os maiores prefixos e smbolos representando nomes de pessoas. Exemplo:(N) Newton, (G) Giga.3- Quantidades definidas por vrias unidades que so mltiplas umas das outras soseparadas por um ponto para evitar conflitos com a notao de prefixos, conforme indicadoem N = kg.m/s = kg.g.s-2. Outro exemplo m.s (metro por segundo), que diferente de ms(milissegundo).4-O expoente representado em uma unidade com prefixo refere-se tanto a unidade quantoao seu prefixo. Por exemplo, N=(N)= N.N. Da mesma forma, mm representa(mm)=mm.mm.5-Constantes fsicas ou nmeros com vrios dgitos, de ambos os lados da vrgula, serorepresentados com um ponto entre cada trs dgitos em vez de vrgula, por exemplo:

773.569.223.427. No caso de quatro dgitos em cada lado da vrgula, o ponto opcional,


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isto , 8537 ou 8.537. De qualquer forma, procure utilizar dcimos e evitar fraes, isto ,sempre escreva 15,25 em vez de 15 .6- Ao efetuar os clculos, represente os valores em termos de suas unidades bsicas ousuas derivadas convertendo todas em potncia de 10. O resultado final poder, assim, ser

expresso utilizando um nico prefixo. Aps a realizao dos clculos, tambm maisapropriado mantermos valores numricos entre 0,1 e 1000; para valores fora deste intervalo,um prefixo apropriado deve ser utilizado.Por exemplo:(50KN).(60nm)=[50.(103)N].[60.(10-9)m]=3000.(10-6)N.m=3.(10-3)N.m=3mN.m7- Prefixos compostos no devem ser utilizados, por exemplo Ks (quilomicrossegundo).Neste caso, poderamos expressar o resultado em ms (milissegundos), uma vez que 1Ks=1.(103).(10-6)s=1.(10-3)s=1 ms.8- Com exceo da unidade bsica quilograma, em geral evite o uso de um prefixo nodenominador de uma unidade composta. Por exemplo, no escreva N/mm, mas sim KN/m.

Evite m/mg, substitua por Mm/kg.9-Embora no seja expresso em mltiplos de 10, o minuto, hora, etc, so mantidos, paraefeito prtico, como mltiplos do segundo. Alm disto, uma medida angular plana feitautilizando o radiano (rad). Nesta apostila, entretanto, utilizaremos o grau freqentemente.Saiba que: 180=rad ; 360=2rad.

Tabela de Mltiplos e Submltiplos:


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CONVERSO DE UNIDADES:

Para a converso de unidades, basta que faamos a substituio do prefixo pelo fator demultiplicao equivalente.

Exemplo:24,1 daN em N => 24,1 x 10 N => 241N

54,7 KJ em J => 54,7 x 1000 J => 54 700J

Exerccios:

1) Transforme:

a) 3,4 Km em cm:

b) 140 m em mm:

c) 256 Kw em Mw:

d) 1023 bar em Mbar:

2) Efetue a soma em mm:

a) 24,41 cm + 10,5 mm + 164 m + 8,2 dm:

b) 76 m + 3 cm + 24 cm + 3,2 mm:

3) Converter as unidades:

a) 3345 kg em T =

b) 90 m/s em m/min =

c) 10.558 Pa em bar =

d) 282 W/A em V =


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TRANSFORMAO DE UNIDADES: SI E OUTROS SISTEMAS


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COMPARAO DE UNIDADES ANGLO-AMERICANAS COM AS MTRICAS

COMPRIMENTO:

REA:

VOLUME:

MASSA:


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TRABALHO / ENERGIA:

POTNCIA:


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Exerccios:

1) Transforme as unidades correlacionando os sistemas: anglo-americanas e mtricas:

a) 12 em mm:

b) 12 em m:

c) 15 em pol:

d) 15 em yd:

e) 15 em mm:

f) 400cm2

em m2

:

g) 400cm2em pol2:

h) 22em cm3:

i) 200MPa em kgf/cm2:

j) 200MPa em bar:

k) 200MPa em psi:

l) 20kN em kgf:

m) 20kN em daN:

n) 20kN em Lbf:

o) 35 em K:

p) 35 em F:

q) 25 oz em kg:

r) 25 oz em Lb:


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RREEAADDEEFFIIGGUURRAASSPPLLAANNAASS

A medida de uma superfcie chama-se rea.

O metro quadrado (m

2

) a unidade fundamental das medidas de superfcie.Dividimos o retngulo esquerda em quadrados de 1 metro de lado.

Ento o retngulo tem 15m2 de rea.Concluso: Podemos encontrar a rea do retngulo multiplicando a medida da basepelamedida da altura.

Mudanas de UnidadeCada unidade de superfcie 100 vezesmaior que a unidade imediatamente inferior.

OBS.: A mudana de unidade se faz com o deslocamento da vrgula, duas casas, direitaou para a esquerda.

Clculo de rea nos diversos polgonos:

a) Retngulo:

Altura(h)

Base (b)

b) Quadrado:

Lado ()

3m

5m

RREEAA==BBAASSEE

XXAALLTTUURRAA

RREEAA==LLAADDOO

XXLLAADDOO


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c) Paralelogramo:

d) Tringulo:

e) Losango:

f) Trapzio:b (base menor)

B (Base maior)

g) Circunferncia:

Dimetro (ou d) = maior medida da circunfernciaRaio (R) = metade do dimetro

Para se calcular o PERMETROdo crculo, ou seja, o tamanho do lado da circunfernciautiliza-se a Frmula:

.

OBS: o valor de 3,1415926535... .Utilizaremos no Curso o valor 3,14.

RREEAA==BBAASSEEXX

AALLTTUURRAA

2

h

h

RREEAA==BBAASSEEXX

AALLTTUURRAA

D

d

RREEAA ==DDIIAAGG..MMAAIIOORRXX

DDIIAAGG..MMEENNOORR

2

d

R


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Para o clculo do PERMETRO para as demais Figuras Geomtricas, basta SOMAR aMedida (Dimenso) de cada uma das arestas destas.

Exerccios de Fixao:

1) Calcular a REA E PERMETRO das figuras planas abaixo:


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VVOOLLUUMMEEDDEESSLLIIDDOOSSGGEEOOMMTTRRIICCOOSS

Volume de um corpo o espao ou capacidade ocupado por ele. Est diretamente

relacionado a trs dimenses: comprimento, largura e altura de um slido geomtrico.A unidade de medida do Volume, no SI, o Metro cbico (m3), que representa o volume deum cubo de 1m de aresta. Utilizam-se tambm, na prtica, os mltiplos e submltiplos destamedida, sendo: dm3=1litro, cm3=1ml, mm3, pol3, ... para atender as especificaes doproduto.

Exemplos Prticos de Volume: Capacidade de uma caixa dgua; Quantidade de materialem uma pea slida; Areia retirada de um rio; Entulho retirado de uma obra; Dejetospoluentes despejados nos rios, lagos ou mares.Medir o volume ou a capacidade de um objeto saber a quantidade de espao que eleocupa ou de que dispe para armazenar.

Exemplo: Para encher uma caixa dgua de 2 metros de comprimento por 2 metros delargura e 1 metro de profundidade, foram necessrios 4.000 litros de gua:Volume da caixa dgua = 2 m x 2 m x 1 m = 4 m3.Capacidade da caixa dgua = 4.000 litros, pois 1m3 contm 1000 litros de gua.

As unidades de medida de volume que podem ser empregados fazem parte do SistemaDecimal de Medidas. As mais usadas so:Metro cbico = (m3)Decmetro cbico = (dm3)

Centmetro cbico = (cm3)Milmetro cbico = (mm3)1 m

3= 1.000 dm

3= 1.000.000 cm

3= ...

Volume do PARALELEPPEDO - PRISMA RETANGULARParaleleppedo o nome que a Matemtica d aos objetos que tm a forma de uma caixade sapato, de um tijolo etc. Na verdade, a definio de paraleleppedo mais geral. Sequisermos ser mais precisos, uma caixa de sapato um paraleleppedo reto de baseretangular. Para calcularmos o volume do paraleleppedo, multiplicamos suas dimenses:Base(b), Altura(h), Comprimento(L):

Volume de um CUBOQual o volume do cubo cuja aresta mede 5 cm? Lembre-se de que o cubo umparaleleppedo cujas arestas apresentam as mesmas dimenses. EXEMPLO


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Volume de um PRISMA TRIANGULARCada um dos slidos que surge pela decomposio deste paraleleppedo retngulo umexemplo de prisma. Temos, em nosso caso, dois prismas retos de base triangular. Observeque, neste exemplo, a base de cada prisma um tringulo retngulo.

O volume do prisma reto de base triangular metade do volume do paraleleppedo.Portanto, o volume do prisma reto de base triangular :

Note que o paraleleppedo tambm um prisma reto, porm de base retangular. Para obtero volume de um prisma com uma base qualquer multiplicamos a rea da base pela altura.

Volume do CILINDROCilindro o nome que a Matemtica d aos objetos que tm a forma de um lato dequerosene ou de um cigarro. O cilindro um slido geomtrico cujas bases so dois crculosiguais, como na figura ao lado:O volume do cilindro pode ser determinado do mesmo modo que o volume do prisma reto:


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Exemplo:Determine o volume de um cilindro de 30 centmetros de altura e cuja base tem 20centmetros de raio.

V = rea da base altura

Unidade de medida de capacidadeCapacidade de um recipiente outro nome que se d ao volume interno de um recipiente. Olitro uma unidade de capacidade.

Para voc ter uma idia o volume de 1l (litro) equivalente ao volume de 1dm3

rea da base = r2

A = . 202 = 3,14 . 400

A = 1.256 cm2

Volume = 1256 . 30 = 37.680 cm3


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EXERCCIOS DE FIXAO:1. De quantos cubos iguais ao menor precisamos para montar um cubo igual a B?

2. Quantos litros de leite cabem em um galo cilndrico de 20 cm de dimetro e 60 cm dealtura?

3. Um recipiente cilndrico tem 750cm de dimetro e 350mm de altura. Determine qual suacapacidade em litros.

4. Determine o Volume dos Slidos Geomtricos abaixo, em cm3. Sabe-se que em DesenhoTcnico Mecnico a unidade de medida de comprimento expressa em mm.


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TTRRIINNGGUULLOOSS

O Tringulo uma figura geomtrica muito utilizada. Para facilitar o entendimento sobre os

ngulos de um tringulo, sabemos que a soma dos ngulos internos de um tringulo sempre igual a 180. Portanto se somarmos os ngulos dos tringulos abaixo veremos quedar 180. Vamos conhecer a nomenclatura usada no tringulo:

Os pontos A, B e C so os vrtices.Os segmentos AB; BC e CA so os lados.Os ngulos A, B e C so os ngulos internos do tringulo.Indicamos um tringulo de vrtices A, B e C por ABC.

CLASSIFICAO QUANTO AOS NGULOSOs tringulos so classificados em relao aos NGULOSque possuem, podendo ser:

Acutngulo: quando possui somente ngulos agudos (ngulos que 90).

CLASSIFICAO QUANTO AOS LADOSOs tringulos tambm podem ser classificados quanto aos LADOScomo:

Tringulo eqiltero: possui trs lados com a mesma dimenso (iguais).Tringulo issceles: possui dois lados (iguais) e outro diferente.Tringulo escaleno: possui os trs lados (diferentes) com dimenses diferentes.

Eqiltero Issceles Escaleno


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TEOREMA DE PITGORAS

O tringulo retngulo aquele que possui um ngulo reto (90). Em um tringulo retnguloos lados que formam o ngulo reto chamam-se catetos e o lado oposto ao ngulo reto

chama-se hipotenusa. (a hipotenusa ser sempre o lado maior do tringulo).

O teorema de Pitgoras afirma que se conhecermos dois lados de um tringulo retngulo

possvel descobrir a medida faltante baseando-se na seguinte frmula:

O quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos quadrados das medidas doscatetos.

(Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2 a2= b2 + c2(Cateto desconhecido)2 = (Hipotenusa)2 (Cateto conhecido)2

EXERCCIOS:1) Calcular o valor de x nos seguintes tringulos retngulo:

Hipotenusa ( A ) Cateto ( B ) Cateto ( C )A 13 5 x =B x = 18 24C 61 x = 60D x = 2 metros 2 metrosE 100 50 x =F 50 x = 40G 75 28 x =H 120 x = 75I x = 93 25


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TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRIIAA

Para o estudo da Mecnica necessitam-se dos conceitos fundamentais da

TRIGONOMETRIA.A palavra trigonometria significa medida dos trs ngulos de um tringulo e determina umramo da matemtica que estuda as relaes entre as medidas dos lados e dos ngulos deum tringulo.

CRCULO E FUNES TRIGONOMTRICAS

TRINGULO RETNGULONo tringulo retngulo, os catetos so os lados que formam o ngulo de 90.A hipotenusa o lado oposto ao ngulo de 90 e determinada pela relao: a2 = b2 + c2 .

RELAES TRIGONOMTRICAS

RAZES TRIGONOMTRICAS ESPECIAIS


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TRINGULO QUALQUER

EXEMPLO:1) Calcular o seno, o cosseno e a tangente do tringulo a seguir:

75,08

6

8,010

8cos

8,0

10

6sen

==

==

==

tg

Observaes: O seno e o cosseno so sempre nmeros reais menores que 1, pois qualquer cateto

sempre menor que a hipotenusa. A tangente um nmero real positivo.

TABELA DE RAZES TRIGONOMTRICASOs valores aproximados dos senos, cossenos e tangentes dos ngulos de 1 a 89 soencontrados em tabelas trigonomtricas. Qual a vantagem da tabela?

Com a tabela podemos resolver dois tipos de problemas:

Dado o ngulo, determinar a razo trigonomtrica.Exemplos:a) Calcule sen15.

Na coluna ngulo, procuramos 15; na coluna sen, achamos 0,2588.Assim: sen 15 = 0,2588.

b) Calcule tg 50.Na coluna ngulo, procuramos 50. Na coluna tangente, achamos o valor 1,1918.Assim: tg 50 = 1,1918.

Dada a razo trigonomtrica, determinar o ngulo.Exemplo:Calcule o ngulo x, sendo cos x = 0,4226.

Na coluna cosseno, procuramos 0,4226. Na coluna ngulo, achamos 65.Assim: x = 65


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TABELA TRIGONOMTRICAngulo sen cos tg ngulo sen cos tg

1 0,0175 0,9998 0,0175 46 0,7193 0,6947 1,03552 0,0349 0,9994 0,0349 47 0,7314 0,6820 1,0724

3 0,0523 0,9986 0,0524 48 0,7431 0,6691 1,11064 0,0698 0,9976 0,0699 49 0,7547 0,6561 1,15045 0,0872 0,9962 0,0875 50 0,7660 0,6428 1,19186 0,1045 0,9945 0,1051 51 0,7771 0,6293 1,23497o 0,1219 0,9925 0,1228 52 0,7880 0,6157 1,27998 0,1392 0,9903 0,1405 53 0,7986 0,6018 1,32709 0,1564 0,9877 0,1584 54 0,8090 0,5878 1,3764

10 0,1736 0,9848 0,1763 55 0,8192 0,5736 1,428111 0,1908 0,9816 0,1944 56 0,8290 0,5592 1,482612o 0,2079 0,9781 0,2126 57 0,8387 0,5446 1,5399

13 0,2250 0,9744 0,2309 58 0,8480 0,5299 1,600314 0,2419 0,9703 0,2493 59 0,8572 0,5150 1,664315 0,2588 0,9659 0,2679 60 0,8660 0,5000 1,732116 0,2756 0,9613 0,2867 61 0,8746 0,4848 1,804017 0,2924 0,9563 0,3057 62 0,8829 0,4695 1,880718 0,3090 0,9511 0,3249 63 0,8910 0,4540 1,962619 0,3256 0,9455 0,3443 64 0,8988 0,4384 2,050320 0,3420 0,9397 0,3640 65 0,9063 0,4226 2,144521 0,3584 0,9336 0,3839 66 0,9135 0,4067 2,246022 0,3746 0,9272 0,4040 67 0,9205 0,3907 2,3559

23 0,3907 0,9205 0,4245 68 0,9272 0,3746 2,475124 0,4067 0,9135 0,4452 69 0,9336 0,3584 2,605125 0,4226 0,9063 0,4663 70 0,9397 0,3420 2,747526 0,4384 0,8988 0,4877 71 0,9455 0,3256 2,904227 0,4540 0,8910 0,5095 72 0,9511 0,3090 3,077728 0,4695 0,8829 0,5317 73 0,9563 0,2924 3,270929 0,4848 0,8746 0,5543 74 0,9613 0,2756 3,487430 0,5000 0,8660 0,5774 75 0,9659 0,2588 3,732131 0,5150 0,8572 0,6009 76 0,9703 0,2419 4,010832 0,5299 0,8480 0,6249 77 0,9744 0,2250 4,331533 0,5446 0,8387 0,6494 78 0,9781 0,2079 4,704634 0,5592 0,8290 0,6745 79 0,9816 O, 1908 5,144635 0,5736 0,8192 0,7002 80 0,9848 0,1736 5,671336 0,5878 0,8090 0,7265 81 0,9877 0,1564 6,313837 0,6018 0,7986 0,7536 82 0,9903 0,1392 7,115438 0,6157 0,7880 0,7813 83 0,9925 0,1219 8,144339 0,6293 0,7771 0,8098 84 0,9945 0,1045 9,514440 0,6428 0,7660 0,8391 85 0,9962 0,0872 11,430141 0,6561 0,7547 0,8693 86 0,9976 0,0698 14,300742 0,6691 0,7431 0,9004 87 0,9986 0,0523 19,081143 0,6820 0,7314 0,9325 88 0,9994 0,0349 28,6363

44 0,6947 0,7193 0,9657 89 0,9998 0,0175 57,290045 0,7071 0,7071 1,0000


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EXERCCIOS DE FIXAO:1) Consulte a tabela e encontre o valor de:a) cos 18 =b) sen 18 =

c) tg 18 =d) sen 20 =e) tg 39 =f ) cos 41 =g) sen 42 =I) cos 54 =

2) Consulte a tabela e responda:a) Qual o ngulo cujo cosseno vale 0,2756?b) Qual o ngulo cujo seno vale 0,2588?

c) Qual o ngulo cuja tangente vale 0,6494?d) Qual o ngulo cujo seno vale 0,3907 ?e) Qual o ngulo cujo cosseno vale 0,9744?f) Qual o ngulo cuja tangente vale 1.6003?

EXERCCIOS ENVOLVENDO TEOREMA DE PITGORAS:Complete a tabela abaixo descobrindo os valores faltantes utilizando o Teorema dePitgoras, depois calcule os ngulos usando as relaes trigonomtricas.

Hipotenusa Cateto Cateto ngulo ngulo a) 13 5b) 18 24c) 61 60d) 200 150e) 100 50f) 50 40g) 16 12h) 2,5 2

i) 15 25j) 100 80k) 23 11l) 55 23

m) 30 40


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EXECCIOS DE APLICAO:1. Calcule o valor de b,c da figura:

2. Calcule o valor de a,ngulo da figura:

3. Calcule o valor de b, c, b1, c1 da figura:

4. Dado que a=80; b=72; c=47. Determinar as medidas: m, n, h. Utilizando a Lei doscossenos.


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DDEENNSSIIDDAADDEE

Definida tambm como Massa especfica ou Peso especfico. a relao entre a massa do

corpo e o seu respectivo volume.

Assim teremos:

onde:m = massa (g ou kg)V = volume (cm3 ou dm3 )d = densidade (g/cm3 ou kg/dm3)

Lembre-se que: 1dm3= 1litro

Densidade est relacionada diretamente com a massa e volume de um corpo e varia emrelao ao tipo de material de fabricao deste.Abaixo, a tabela de massa especfica de alguns materiais utilizados na indstria mecnica.

Denominao / Material Densidade (g/cm3)gua 1Ao ( liga Fe-C) 7,89FoFo ( liga Fe-C) 7,2 e 7,3Ao Inox (liga Fe-C-Cr) 7,0 a 7,84Zinco (Zn) 7,14Estanho (Sn) 7,3Cobre (C) 8,94Chumbo (Pb) 11,3Lato (liga Cu-Zn) 8,4 a 8,6Bronze (liga Cu-Sn) 7,6 a 8,8Alumnio (Al) 2,7Magnsio (Mg) 2,7Nquel (Ni) 8,9Ouro (Au) 9,32Fsforo (P) 1,83Ferro (Fe) 7,85Carbono (C) 3,51Mercrio (Hg) 13,6Acetileno (C2H2) 1,17 Kg/m3Oxignio (O2) 1,43 Kg/m3Hidrognio (H2) 0,09 Kg/m3

Conhecendo a massa especfica (densidade) e volume de uma determinada pea, pode-sedeterminar sua Massa. Clculo, este, de extrema importancia aplicado em projetosmecnicos.


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MMAASSSSAA::

Cada corpo possui uma quantidade definida de material a que chamamos de massa.

A massa determinada atravs do equilbrio numa balana como uma outra de quantidadeconhecida.

Numericamente definimos a massa como sendo o produto do volume pela densidade dessematerial.

sendo:m = Massa (g; Kg)V = Volume (cm3; dm3)d = densidade (g/cm3; kg/dm3)

No podemos confundir massa com peso, pois a massa sempre constante e o pesosempre varia em relao Fora de Gravidade.

A unidade padro da massa o quilograma (kg) que corresponde massa de um cilindro deplatina iridiada.

O submltiplo e o mltiplo usuais do quilograma so, respectivamente, o grama (g) e atonelada (t).1g = 1 / 1000 kg = 10 -3 kg1t =1000 kg = lO3 kg

A medida da massa de um corpo pode ser feita por meio de uma balana, atravs da

comparao com massa-padro.


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EXERCCIOS:1. Calcular a massa da pea abaixo em kg, dado densidade do material de 7,89 g/cm3.

2. Calcular a massa da pea abaixo de Ao Inoxidvel (d=______).

3. Determine para a pea de Alumnio abaixo, sua massa em Kg.

4. Determine para a pea de Lato abaixo, sua massa em Kg.


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PPEESSOO

A terra exerce sobre os corpos uma atrao direcionada para seu prprio centro. Essa

atrao chamada FORA DE GRAVIDADE e varia em relao a altitude em que seencontra o corpo. Alm disso, em funo do movimento de rotao da terra, surge umafora centrfuga que mxima no Equador e nula nos plos.Chamamos de peso a resultante dessas foras que atuam nos corpos situados na superfcieterrestre.

Observao: o peso de um corpo varia com a altitude e a posio geogrfica.Isaac Newton determinou experimentalmente que qualquer corpo de massa (m) em queda

livre adquire acelerao da gravidade .

Definiu-se que Peso sendo o produto da massa pela acelerao da gravidade.

A acelerao da gravidade depende da natureza dos corpos, mas varia de lugar para lugar.EXEMPLOS DE ACELERAO DA GRAVIDADE:Equador 9,78 m/s2 Roma 9,80 m/s2Paris 9,81 m/s2 Plos 9,83 m/s2Lua 1,62 m/s2 Jupiter 26m/s2

Unidades de peso (S.I.):

!"

EXERCCIOS:

1. Calcule o peso de 100 g de ouro na terra e na lua.

2. Determine a massa de uma pea de 385 N de peso.

3. Determine o peso de um corpo de massa 100 kg .

4. Determine a acelerao de uma regio onde uma pea possui 400N de peso e umamassa de 25kg.


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CCIINNEEMMTTIICCAA

VELOCIDADE MDIA

t0 t

s0 s

# $%$& 0sss = 0ttt =

Sendo:

#= velocidade mdia (unidade: m/s, km/h)s = deslocamento (m)t = tempo (s, h)


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Transformao de Unidade de Velocidade

s/m6,3

1

s3600

m1000

h

km1==

"Para transformar uma velocidade em km/h para m/s, devemos dividir a velocidade por 3,6.Para transformar uma velocidade em m/s para km/h, devemos multiplicar a velocidade por3,6."

MU = MOVIMENTO UNIFORMEEquao:

' '() *

EXERCCIOS:1. Quando o brasileiro Joaquim Cruz ganhou a medalha de ouro nas Olimpadas de Los

Angeles, correu 800m em 100s. Qual foi sua velocidade mdia em m/s e Km/h?

2. Suponha que um trem-bala gaste 3 horas para percorrer a distncia de 750 km. Quala velocidade mdia deste trem em Km/h e m/s?

3. O velocmetro de um carro indica 72 km/h. Expresse a velocidade deste carro emm/s.

ACELERAO

Em um movimento, quando h uma variao de velocidade uniformemente com o tempo,dizemos que neste existe uma acelerao. Numericamente temos:

+ $$*

Sendo:v = v2- v1t = t2- t1

Onde:+= acelerao (m/s2)

$= variao da velocidade (m/s)

$*= variao de tempo (s)


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MUV = MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADOEquaes:

() + *

() + $'

' '() ( * ) + *

EXERCCIOS1. Entre 0 e 3s, a velocidade de um helicptero em MUV varia de 4 m/s para 21 m/s.

Qual a sua acelerao?

2. Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 20 m/s quandoacionou os freios e parou em 4s. Determine a acelerao imprimida pelos freios motocicleta.

IINNRRCCIIAAEEFFOORRAAQuando um nibus arranca a partir do repouso os passageiros tendem a deslocar-se paratrs, resistindo ao movimento. Da mesma forma, quando o nibus j em movimento freia, ospassageiros deslocam-se para frente tendendo a continuar com a velocidade que possuam.

Essa caracterstica que os corpos tm de resistir s mudanas do seu estado de repouso oude movimento recebe o nome de inrcia.

Inrcia a propriedade da matria de resistir a qualquer variao do seu estado de

movimento ou de repouso.

Por experincia prpria, sabemos que os corpos que apresentam maior inrcia so aquelesque apresentam maior massa.Por exemplo, mais fcil empurrar um carrinho vazio do que um cheio de compras.O carrinho com compras oferecem maior resistncia para sair do repouso.

Podemos, ento, associar a massade um corpo a sua inrcia, dizendo que a massade umcorpo a medida numricade sua inrcia.


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FFOORRAA

Quando acontece uma interao entre corpos podem ocorrer variaes na velocidade,

deformaes ou ambos os fenmenos.

As causas dessas variaes ou deformaes so denominadas FORAS.

Exemplos onde se pecebe a ao de Foras:Quando um corpo abandonado de uma determinada altura, cai com movimento

acelerado devido fora de atrao da Terra.

Ao chutarmos uma bola, o p faz sobre ela uma fora que alm da deformao, inicia -lhe o movimento.

CLASSIFICAO DAS FORAS:

FORA DE CONTATOQuando as superfcies dos corpos que interagem se tocam. Exemplo: interao p-bola.

FORA DE CAMPOQuando as superfcies dos corpos que interagem no se tocam. Exemplo: interao terra-ma (Fora Garvitacional), Magnetismo (Foa Magntica e Eletromagntica).

Em Dinmicavamos tratar Foracujo efeito principal causar variaesna velocidade deum corpo, isto , acelerao.

Foras so interaes entre corpos, causando variaes no seu estado de movimento,repouso ou deformao.

Tal qual a acelerao, a FORA uma grandeza vetorial, exigindo, portanto, para que sejacaracterizada:

Ponto de contatoIntensidade (mdulo)Direo ( )Sentido.

A unidade de FORA no SI o Newton (N), definida no captulo referente ao Peso.


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SSEEGGUUNNDDAALLEEIIDDEENNEEWWTTOONN

Quando se aplica uma Fora em um corpo de massa m, este adquire uma acelerao.

, +

Sendo:

,= Fora (N)m = massa (kg)+= acelerao (m/s2)

Unidade de Fora no Sistema Internacional de Medidas (SI) dado em Newton (N).

Exerccios1. Um corpo com massa de 0,6kg foi empurrado por uma fora que lhe exerceu umaacelerao de 3m/s2. Qual o valor da fora?

2. Um caminho com massa de 4000kg est parado diante de um sinal luminoso. Quandoo sinal fica verde, o caminho parte em movimento acelerado e sua acelerao de 2m/s2.Qual o valor da fora aplicada pelo motor?

3. Sobre um plano horizontal perfeitamente polido est apoiado, em repouso, um corpo demassa m=2kg. Uma fora horizontal de 20N, passa a agir sobre o corpo. Qual a velocidade

desse corpo aps 10s?

4. Um corpo de massa 2 kg passa da velocidade de 7m/s velocidade de 13m/s numtempo de 5,2 s. Calcule a fora que foi aplicada sobre o corpo nesse percurso.


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AATTRRIITTOO::RREESSIISSTTNNCCIIAAPPAASSSSIIVVAA

GENERALIDADES

Todas as superfcies dos corpos apresentam certa aspereza (Rugosidade), por melhor queseja o Processo de Fabricao (Acabamento) utilizado. Assim, nunca um corpo se deslizarsobre o outro num perfeito deslize.

Devido a esta rugosidade das superfcies em contato, existe uma fora que tende acontrariar o escorregamento entre essas superfcies, que igual a uma resistncia,denominada Fora de Resistncia Passiva.

"Quando um corpo arrastado sobre uma superfcie rugosa, surge uma fora de atrito desentido contrrio ao sentido do movimento".

TIPOS DE ATRITOI. Atrito Esttico: no existe movimento entre as superfcies em contato.

Exemplo: Mquina assentada.

II. Atrito Cintico: apresenta movimento relativo entre as superfcies em contato.

1. Atrito de Deslizamento/Escorregamento: quando um corpo desliza sobre outroou sobre um plano sem fazer o movimento de rolar.Exemplo: Arrastar um mvel no cho, Movimento de um pisto num cilindro,movimento relativo dos dentes de engrenagens, Mancal de deslizamento, Guias/Viasde mquinas-ferramentas.

a) Atrito slido: as superfcies em contato so rgidas (slidas), sem a presena delubrificao.

b) Atrito Fluido: as superfcies em contato com presena de lubrificao.

2. Atrito de Rolamento:quando o movimento relativo de rolamento, ou seja, umadas superfcies rola sobre a outra.Exemplo: Mancal de rolamento, movimento das rodas de um carro, bola rolando,Guias/vias de esferas recirculantes presentes em mquinas a CNC.

RELAO ENTRE OS TIPOS DE ATRITOAtrito Esttico > Atrito Cintico

Atrito Deslizamento > Atrito Rolamento

Atrito Slido > Atrito Fluido


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APLICAO DO ATRITOUm atrito muito grande impede o movimento, causando prejuzos e vrios inconvenientes.Por outro lado, a atrito tambm fornece meios de se produzir movimento.

Um exemplo onde pode observar a ao do atrito o de um caminho em movimento que,sendo muito pesado, far uma forte presso contra o asfalto, esse contato produz um atritoque impede as rodas de movimentar quando a fora do motor faz as rodas girarem.

ATRITO DESFAVORVELQuando o Atrito GERA:

Consumo de certa parcela de energia, necessria para vencer a fora de atrito.Elevao de temperatura na regio de contato entre as superfcies.Desgaste das superfcies.

Nos movimentos das vrias peas das mquinas operatrizes, deseja sempre obter o menor

atrito possvel para que possa dar um maior rendimento. Essa reduo do atrito e,conseqentemente, o desgaste, sempre obtida quando se realiza uma lubrificao perfeita

Exemplos:Eixo num mancal.Pisto em movimento alternativo no cilindro.Transmisso de movimento por conjunto de engrenagens.Guias/vias de deslizamento de mquinas operatrizes sem a presena de lubrificaoadequada.

ATRITO FAVORVELQuando o Atrito gera MOVIMENTO relativo entre as superfcies em contato.

Exemplos:Sistema de freios, atravs da qual elimina a energia cintica.Esmeril, onde se transforma energia cintica do rebolo, em energia mecnica(desbaste de outra superfcie), atravs do atrito.Contato: p-cho.Transmisso de movimento por polia/correia.Transmisso por rodas de atrito (Variador de velocidade).

COEFICIENTES DE ATRITOSuperfcies em

ContatoCoeficiente Atrito

Superfcies em Contato

Coeficiente Atrito

Ferro Ferro 0,2 Bronze FeFo 0,21Madeira Madeira 0,5 FeFo FeFo 0,16

Ferro Madeira 0,6 Bronze Ao 0,18Corda Madeira 0,5 Rolamento 0,002

Ferro Pedra 0,5 Pneu Asfalto seco 0,6Madeira Pedra 0,6

Pneu Asfalto molhado 0,2Bronze Bronze 0,11

Esses coeficientes de atrito so sempre diminudos com o auxlio da lubrificao.


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FFOORRAADDEEAATTRRIITTOO

A Fora de Atrito proporcional presso exercida entre as superfcies e depende:

Massa do corpo.Rugosidade que as superfcies apresentam, onde se determina o coeficiente de atrito.

,-& . Sendo:

,-&= Fora de atrito (N) = Coeficiente de Atrito

N= normal (N)

Obs.: Considerando Fora aplicada paralela ao plano, considera-se a Normal N, igual

Fora Peso .

Sobre um corpo no qual aplicamos uma Fora ,, tem-se:,/ ,-& +Exerccios:1. Um bloco de massa 8 kg puxado por uma fora horizontal de 20N. Sabendo que afora de atrito entre o bloco e a superfcie de 2N, calcule a acelerao a que fica sujeito obloco.

2. Um bloco de massa 10 kg movimenta-se numa mesa horizontal sob a ao de umafora horizontal de 30 N. A fora de atrito entre o bloco e a mesa vale 20 N. Determine aacelerao do corpo e o coeficiente de atrito entre o corpo e a superfcie.

3. Um corpo de massa 5kg puxado horizontalmente sobre uma mesa por uma fora de15N. O coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa = 0,2. Determine a Fora de atrito e

a acelerao do corpo.

4. Um bloco de massa 2 kg deslocado horizontalmente por uma fora F = 10N, sobre umplano horizontal. A acelerao do bloco 0,5m/s2. Calcule a fora de atrito e o coeficiente deatrito.


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COMPLEMENTAO:

RESISTNCIA DO AR COEFICIENTES

Os veculos mais modernos tm um formato mais aerodinmico, ou seja, de cortar o ar deuma maneira mais eficaz, diminuindo a resistncia. Isso melhora o desempenho do veculo(velocidade final atingida) e economiza combustvel, pois o motor no precisa de tanta forapara manter a velocidade.Isso indica que a resistncia do ar tambm est ligada ao tamanho do objeto: um pra-

quedas grande, por exemplo, funciona melhor do que um pequeno. H uma frmulaqueresumem todas essas caractersticas e que expressa o valor da Fora de Resistncia noare na guapara a maioria das situaes:

Cx = Coeficiente de arrasto aerodinmico (Tabela acima).d= densidade do meio.A= rea do objeto voltada para o movimento.

= Velocidade do objeto.


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TTRRAABBAALLHHOODDEEUUMMAAFFOORRAA

O significado da palavra trabalho, em Fsica, diferente do seu significado habitual,

empregado na linguagem comum.

Trabalho, em Fsica, sempre relacionado a uma fora e a um deslocamento. Uma foraaplicada a um corpo realiza trabalho quando produz um deslocamento do corpo.

Tem-se dois casos:

1 Caso: A Fora aplicada paralela ao plano de apoio do corpo:

Consideremos um ponto material que, por causa da Fora ,, horizontal e constante, semovimenta da posio A para a posio B, sofrendo um deslocamento d.

O Trabalho da Fora

,no deslocamento AB dado por:

0 , 1 2 A unidade de medida de Trabalho, no Sistema Internacional, o denominado Joule 2 .

Se a Fora ,tem o mesmo Sentido do deslocamento o trabalho dito Motor.Quando apresenta Sentido contrrio ao deslocamento, o Trabalho denominadoResistente.

Exemplo:Um ponto material desliza num plano horizontal, sem atrito, submetido ao da forahorizontal F=80N. Calcular o trabalho dessa fora em um deslocamento de 7m no mesmosentido dessa fora.


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2 Caso: A Fora aplicada no paralela ao plano de apoio do corpo:

Consideremos um ponto material que sob a ao da Fora , passa da posio A para aposio B sofrendo um deslocamento d.

Decompondo a Fora ,, tem-se:

O Trabalho da componente Fy no deslocamento d nulo, pois no h deslocamento nadireo y; logo, somente Fx realiza Trabalho, dado por:

0 ,3 1 , 4!51 2

Observao:

Se a Fora ,for perpendicular direo do deslocamento o Trabalho da a Fora , nulo,pois cos 90 = 0.

Exemplo:

Um ponto material deslocado de 10m pela a Fora ,50N, indicada na Figura.

Determine o trabalho realizado pela a Fora ,no deslocamento AB.


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Exerccios:1. Uma caixa desliza num plano sem atrito sob a ao de uma fora F de intensidade 60N.Determine o trabalho dessa Fora em um deslocamento de 12m, no mesmo sentido dessaFora.

2. A fora F indicada na figura tem intensidade 8N. Ache o trabalho dessa Fora numdeslocamento de 5m. Dado: cos 30=0,866.

3. Um ponto material, de massa 6kg tem velocidade de 8m/s quando sobre ele passa aagir uma fora de intensidade 30N na direo do movimento, durante 4s. Determine:

a) Deslocamento durante esses 4s.b) Trabalho realizado nesse deslocamento.

4. Um carrinho se desloca num plano horizontal sob a ao de uma fora horizontal de50N. Sendo 400J o Trabalho realizado por essa Fora, calcule a distncia percorrida.

5. Aplica-se uma fora horizontal de 10 N sobre um corpo que desloca-se numa trajetriaretilnea de acordo com a equao s = 10 + 3t + t2, no SI. Calcule o Trabalho realizado pelaFora em 5 s.


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TTRRAABBAALLHHOODDAAFFOORRAAPPEESSOO

Consideremos um corpo de massa m, lanado do solo, verticalmente para cima, e atingindo

uma altura h ou abandonado da mesma altura em relao ao solo, num local onde aacelerao da gravidade igual a . Como o corpo fica sujeito fora peso , ela realizaum Trabalho resistente durante a subida e um trabalho motor durante a descida.

Note que o trabalho da Fora Peso independe da trajetria, isto , depende somente dasposies inicial e final do corpo. Foras com essa caracterstica so chamadas Forasconservativas.

Trabalho da Fora Peso durante os trajetos AB, AC e AD so iguais, isto :

mghD.AC.AB.A ===

Exemplo:Um homem levanta uma caixa de massa 8kg a uma altura de 2 metros em relao ao solo,com velocidade constante. Determinar o Trabalho realizado pela Fora Peso.


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Exerccios:1. Um garoto abandona uma pedra de 0,4kg do alto de uma torre de 25 metros de altura.Calcule o Trabalho realizado pela Fora Peso de at a pedra atingir o solo.

2. O carrinho indicado na figura tem massa de 100kg. Calcule o Trabalho e o Trabalho daFora Peso realizado para lev-lo de A at B com velocidade constante.

3. Um bloco de massa 4,5kg abandonado em repouso em um plano inclinado. Calcule oTrabalho da Fora Peso no percurso de A at B.

4. Determine o Trabalho Total gasto pelo avio para ir do ponto A ao ponto B.

F=1KN / t=4s


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48

PPOOTTNNCCIIAAMMEECCNNIICCAA

A definio de Trabalho no envolve o tempo gasto para realiz-lo, embora seja um dado

muito importante para estudar a eficincia da Fora que o realiza.

Consideremos duas pessoas que realizam o mesmo Trabalho:Se uma delas leva um tempo menor que a outra para a realizao desse Trabalho,tem de fazer um esforo maior e, portanto, dizemos que desenvolveu uma potnciamaior.

Uma mquina caracterizada no pelo Trabalho que efetua, mas pelo Trabalho que podeefetuar em determinado tempo; da a noo de Potncia.

Define-se como Potncia mdia o quociente do Trabalho desenvolvido por uma Fora e oTempo gasto para realiz-lo.

Matematicamente, tem-se:

60* 6

,

A unidade de medida de Potncia no Sistema Internacional o Watt ( W ).

Duas outras unidades de medida de Potncia so utilizados, e pertence ao sistema tcnicode unidade de medida, sendo o cavalo-vapor e o horse-power cujas relaes so:

1CV = 735,5W1HP = 745,6W

Como o watt uma unidade de Potncia muito pequena, mede-se a potncia em unidadesde 1000W, denominada quilowatts (kW).

1kW=1000W

ExemploCalcular a potncia mdia desenvolvida por uma pessoa que eleva a 20 metros de altura,com velocidade constante, um corpo de massa 5kg em 10 segundos.


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49

Exerccios:1. Determine a Potncia de um dispositivo para elevar um corpo de massa 100Kg a umaaltura de 80 metros em 20 segundos.

2. Um motor de um automvel fornece uma potncia de 10CV. Sabendo que o automveltem a velocidade constante de 72km/h, determine a Fora que ele desenvolve.

3. O guindaste da figura eleva a cada 5s, e altura de 4m, 10 fardos de 1470 Kg cada um.Determine a Potncia desse guindaste em CV.


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50

RREENNDDIIMMEENNTTOO

Uma Mquina no gera Trabalho, sua funo transmit-lo.

A Fora aplicada a uma mquina desenvolve um Trabalho chamado Trabalho motor ouTrabalho total.

Uma parte desse Trabalho comunicado mquina se perde para vencer as Resistnciaspassivas, representadas pelo Atrito, Resistncia do ar, ... .

Esse Trabalho perdido chamado Trabalho dissipado.

Denominando Trabalho til aquele que a mquina devolve.

Utilizando o princpio da conservao do Trabalho, tem-se:

t = u + d

Em que:

t= Trabalho total ou Trabalho motor.u= Trabalho til.

d= Trabalho dissipado.

Relacionando com a Potncia, tem-se:

Pt = Pu+Pd

Em que:

Pt= Potncia total.

Pu= Potncia til.Pd= Potncia dissipada.

Denomina-se Rendimento de uma mquina o quociente entre a potncia til e a potnciatotal e indicamos pela letra grega (ta).

t

u

PP

=


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51

Exemplo:O rendimento de uma mquina de 80%. Sabendo-se que ela realiza um trabalho de 1kJem 20s, determinar a Potncia total consumida pela mquina.

Resoluo:O Trabalho realizado pelo motor til, logo:

t

u

PP

=

Para o clculo da Potncia total, tem-se:

W5,62P

P50

8,0PP

t

tt

u

=

==

Exerccios:1. Uma mquina fornece o trabalho til de 600J. Sabendo que seu rendimento de 60%,calcule o trabalho perdido.

2. Um dispositivo consome uma potncia total de 1kW, e realiza um trabalho til depotncia 800W. Determine o Rendimento desse dispositivo.

3. O rendimento de uma mquina 80%. Se a potncia total recebida 6kW, qual apotncia efetivamente utilizada?

4. O rendimento de uma mquina de 70% e a potncia dissipada vale 300W. Determine:a) a potncia til; b) a potncia total fornecida mquina.

5. Uma mquina precisa receber 3500W de potncia total para poder operar. Sabendo que2100W so perdidos por dissipao, qual o rendimento da mquina?


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52

EENNEERRGGIIAAMMEECCNNIICCAA

Quando dizemos que uma pessoa tem energia, supomos que tem grande capacidade de

trabalhar. Quando no tem energia, significa que perdeu a capacidade de trabalho.

Ento, podemos dizer que um sistema ou um corpo tem Energia quando tem a capacidadede realizar Trabalho.

O vocbulo Energia vem do grego ergon, que quer dizer Trabalho.

A Energia manifesta-se sob vrias formas, segundo o agente que a produz.Energia mecnica: na queda dos corpos.Energia trmica: na mquina a vapor.Energia eltrica: na pilha.

Na Mecnica, estudaremos a Energia que pode se apresentar, basicamente, sob duasformas:

Energia Cintica ou de Movimento.Energia Potencial ou de Posio.

ENERGIA CINTICAA gua que corre, o vento que sopra, um corpo que cai, a bala que sai da boca de umcanho etc. tm energia, pois podem produzir trabalho quando encontram algum obstculo.

A gua corrente pode acionar uma turbina, o vento impulsiona barcos a vela, faz girarmoinhos, a bala de um canho derruba prdios.

Esse tipo de energia que os corpos tm devido ao movimento denominado ENERGIACINTICA.

Frmula matemtica da Energia CinticaSuponha um corpo de massa m, inicialmente em repouso, sobre o qual passa a agir uma

Fora de intensidade ,durante um tempo *.

Aps esse tempo a velocidade do corpo e o deslocamento d.

A Energia adquirida pelo corpo igual ao Trabalho realizado por ,.78 0 , 1 + 1


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53

Mas o deslocamento dado por:

$' 1 9 + *

Substituindoem, vem:

78 + + *

78 +

*

Como +*, tem-se:

78

Esta a frmula matemtica da Energia Cintica de um corpo de massa m e velocidade erepresenta o Trabalho realizado pela Fora ,.

Exemplo:Consideremos um ponto material de m assa 6kg, inicialmente em repouso sobre um planohorizontal liso. No instante t = 0, passa a agir sobre o ponto material uma fora F = 12N,durante 10s.

a) Qual o Trabalho realizado por ,?b) Qual a Energia Cintica do ponto material no instante 10s?

1) Clculo da acelerao:

2) Clculo do deslocamento:

3) Clculo do Trabalho:

4) Clculo da velocidade:

5) Clculo da Energia Cintica:


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Exerccios:1. Calcule a energia cintica de um corpo de massa 8kg no instante em que suavelocidade de 72km/h.

2. Consideremos um ponto material de massa 8kg, inicialmente em repouso, sobre umplano horizontal liso. Sabendo que sobre ele passa a agir uma fora horizontal deintensidade 32N, calcule:

a) o Trabalho realizado pela Fora horizontal durante 10s.

b) a Energia Cintica do ponto material no instante 16s.

ENERGIA POTENCIALA gua parada em uma represa, uma pedra suspensa no ar, uma mola comprimida.

Esse tipo de energia armazenada pelos corpos devido a suas posies denominadoENERGIA POTENCIAL.

Frmula matemtica da Energia PotencialUm corpo ou um sistema de corpos pode ter foras interiores capazes de modificar posio relativa de suas diferentes partes, realizando assim um Trabalho.

Dizemos, ento, que o corpo ou o sistema de corpos tem Energia Potencial.


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55

Como exemplo podemos citar a gua contida numa represa a certa altura.

Abrindo as comportas, a gua atrada pela gravidade coloca-se em movimento e realizarTrabalho.

Um outro exemplo o de uma mola comprimida ou esticada.Ficando livre da fora do operador, a Fora Elstica da mola far o corpo se movimentarproduzindo Trabalho.

A Energia Potencial denominada tambm Energia de Posio, porque se devem posio relativa que ocupam as diversas partes do corpo ou do sistema.

A ENERGIA POTENCIAL devida gravidade chamada Energia Potencial Gravitacional eaquela devida mola denominada Energia Potencial Elstica.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONALConsideremos um corpo de massa m, sobre o solo, num local onde a acelerao dagravidade .

O Trabalho para uma pessoa (Fora ,) elevar o corpo at a altura h, com velocidadeconstante, fica armazenado no corpo sob forma de Energia Potencial Gravitacional dadapor:

0: 7:; 0: Observao:Para o clculo da energia potencial gravitacional adotamos o solo como nvel de referncia,

isto , nesse nvel a energia potencial gravitacional nula.


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Exemplo:Um corpo de massa 4kg encontra-se a uma altura de 16 metros do solo. Admitindo o solocomo nvel de referncia e supondo onde:>= Deformao Elstica sofrida pela mola (m).= Constante Elstica da Mola (N/m).

Podemos representar esta deformao xgraficamente, como:

O Trabalho que o agente externo realiza para vencer a resistncia da mola (rea A) igual Energia que ele transfere para ela, e fica armazenada como Energia Elstica, dada por:

0 > , 0 > >

0 >

0 7?@

7?@ A3B

2

Sendo:

Eixo X Fora aplicada na mola;

Eixo Y Deformao da mola;


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57

Exemplo:Uma mola de constante elstica k=400N/m comprimida de 5cm. Determinar a ForaEltica mxima a ser executada na mola e a Energia Potencial Elstica.Resoluo:

Exerccios:1. Um corpo de massa 20Kg est localizado a 6 metros de altura em relao ao solo.Dado g=9,8m/s2, calcule a Energia Potencial Gravitacional.

2. Uma mola de constante elstica k=600N/m tem energia potencial elstica de 1200J.Calcule a Fora Elstica e a Deformao Elstica.

3. Uma mola tem Constante Elstica de 100N/m. Determine a Fora que deve ser aplicadapara que a mola sofra uma Deformao de 5cm. Determine a Energia Potencial Elstica.

4. A constante elstica de uma mola de 300N/m. Determine a Deformao sofrida pelamola ao se aplicar nela uma Fora de 120N. Determine a Energia Potencial Elstica.

5. Uma mola de suspenso de carro sofre deformao de 5cm sob ao de uma Fora de2kN. Qual a constante elstica dessa mola? Determine a Energia Potencial Elstica

ENERGIA MECNICA TOTALDenominamos Energia Mecnica Total de um corpo a soma das Energias Cintica ePotencial, isto :

EM=EC+EP

Nesta frmula, a parcela EP inclui a Energia Potencial Gravitacional e a Energia PotencialElstica.


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FFOORRAARREESSUULLTTAANNTTEE

Seja uma partcula na qual esto aplicadas vrias foras. Esse sistema de foras pode ser

substitudo por uma nica fora, a fora resultante, que capaz de produzir na partcula omesmo efeito que todas as foras aplicadas.

Exemplo:Duas foras concorrentes F1 e F2 de intensidade 4N e 3N atuam num mesmo pontomaterial, formando um ngulo entre si. Determinar a intensidade da Fora Resultante paraos seguintes valores de .a) 0 d) 180 b) 60 c) 90

Deve-se Determinar a Fora Resultante de maneira Escalar e Vetorialmente.

Resoluo:a)Sendo =0, as foras tm mesma Direo e mesmo Sentido:A Fora Resultante obtida vetorialmentepela soma dos Vetores Foras:

Escalarmente:

,C ,9) ,A intensidade (Mdulo) da Fora Resultante ser:

,C ,9) ,,C ) D Eb)Sendo = 180, as Foras tm mesma Direo e Sentidos contrrios:

A intensidade (Mdulo) da Fora Resultante ser:

,C ,9/ ,,C / D


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59

sendo cos 60 =21

c) Para = 90,aplica-se o Teorema de Pitgoras:


,C ,9 ) ,

,C

) D,C ,CF

d) Para = 60, ou qualquer outro ngulo diferente de (0, 90 e 180),aplica-se a regrado Paralelogramo:


,C

,9

) ,

) G ,9 ,4!5HA intensidade (Mdulo) da Fora Resultante ser:

NFNF

F

RR

R

1,637

)60cos.3.4.(234

2

222

=

++=


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60

Exerccios:Determine a intensidade da fora resultante em cada um dos sistemas de Forasconcorrentes.


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MMOOMMEENNTTOODDEEUUMMAAFFOORRAA

INTRODUO

mais fcil abrir uma porta quando aplicamos a fora cada vez mais distante do eixo derotao.

Portanto h uma relao entre a Fora aplicada e a Distncia do ponto de aplicao ao Eixode Rotao.

A grandeza fsica que relaciona essa distncia com a fora aplicada denominadaMOMENTO.

Momento de uma Fora ,, em relao a um ponto Ofixo, o produto da intensidade daFora ,pela distncia ddo ponto reta suporte da fora.

Consideremos a Fora ,aplicada a uma chave, encaixada no parafuso preso a um suporte.

Sob a ao da Fora , a chave gira em torno do ponto O. O momento da Fora , emrelao ao ponto O dado por:

I6 ,1 Em que:d= brao do momento.O= plo do momento.

A unidade de medida para a grandeza Momento no Sistema Internacional o N.m.

Observaes:O Momento de uma Fora tende sempre a causar um movimento de rotao, sob a aodesta Fora, em torno do ponto Oconsiderado.


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O momento de uma Fora ,, em relao a um ponto O, pode ser negativo ou positivo.

A conveno de sinais arbitrria, porm adotaremos a seguinte:Rotao no sentido horrio = Momento Positivo.

Rotao no sentido anti-horrio = Momento Negativo.

Exemplo:

1. A pessoa indicada na figura aplica-se uma Fora , vertical, para cima, de intensidade40N em uma chave disposta horizontalmente, para girar um parafuso.

Achar o momento dessa fora em relao ao ponto O.Resoluo:

==

=

m2,0cm20d

N40FDADOS

mNdFMO .82,0.40 ===

2. Uma rgua de 30cm de comprimento fixada numa parede no ponto O, em torno doqual pode girar.

Calcular os momentos das foras F1 e F2 de intensidades 50N e 60N, respectivamente, emrelao ao ponto O.

===

=

m3,0cm30dN60F

N50F

DADOS 2

1


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Resoluo:

O Momento de , em rela

Fora de , nula.

dFM

M

F

F

3,060

0

220

10

==

=

Exerccios:

1. O menino indicado naem uma chave disposta hFora em relao ao pont

2. Determine o Moment5N, 6N e 8N, em relao a

3. Determinar a intensidde intensidade 10N.

o a O nulo, pois a distncia do ponto O

mN.18

figura, aplica uma fora vertical, para baixrizontalmente para girar um parafuso. CalcO.

das Foras , , de intensidade, reso plo O.

de de cada Momento, sendo que cada uma

63

at a linha de ao da

o, de intensidade 20Nule o Momento dessa

ectivamente, iguais a

das Foras indicadas


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MMOOMMEENNTTOORREESSUULLTTAANNTTEE

Se um corpo est sob a ao de vrias Foras, o Momento resultante desse sistema de

Foras em relao a um ponto a soma algbrica dos Momentos das Foras componentesem relao ao mesmo ponto.

EQUILBRIOUm ponto material est em equilbrio quando a resultante das foras que nele atuam nula.Podemos distinguir dois casos:

EQUILBRIO ESTTICOUm ponto material est em equilbrio esttico quando est em repouso, isto , sua velocidadevetorial nula no decorrer do tempo.

pousoVFR Re

00

==

EQUILBRIO DINMICOO equilbrio dito dinmico quando o ponto material estiver em movimento retilneo euniforme, isto , sua velocidade vetorial constante e diferente de zero.

MU

cteV

M

FR

=

=

=

0

0

0

0

Exemplo:1. Considerar as Foras atuantes sobre a barra AB de peso desprezvel indicadas na figura.

Determinar:a) Momento de cada uma das Foras em relao ao ponto O.b) Momento resultante em relao ao ponto O.Resoluo:

a)

mNOBFM

mNODFM

mNCOFM

mNAOFM

F

F

F

F

.547,.220

.122,110

.616

.2438

40

30

20

10

4

3

2

1

===

===

==+=

===

b)

mNM

M

MMMMM FFFF

.60

5412624

0

0

00000 4321

=

++=

+++=

Se o momento resultante negativo, isto significa que a barra gira no sentido anti-horrio.


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65

2. Considerar a alavanca de peso desprezvel indicada na figura.Sabendo-se que ela est em Equilbrio Dinmicoe disposta horizontalmente, determinar a

intensidade de ,.

Resoluo:

Para que ela fique em Equilbrio Dinmico, deve-se apresentar:

NF

FFBCRACF

M

100

400422004

00

=

===

=

Exerccio:

Para os Sistemas de Alavancas abaixo, determinar a intensidade da Fora ,, para que semantenha em Equilbrio Dinmico ( )00 =M :


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RREESSUULLTTAANNTTEEDDEEFFOORRAASSEEMMOOMMEENNTTOOSS

Para que um determinado corpo esteja em equilbrio necessrio que sejam satisfeitas as 3

equaes da esttica:Fx = 0 Fy = 0 M = 0

VNCULOS ESTRUTURAIS (APOIOS)So elementos de construo que impedem os movimentos de uma estrutura.

So classificados em 3 tipos:

Vnculo simples ou mvelEste tipo de vnculo impede o movimento de translao na direo normal ao

plano de apoio, fornecendo assim uma nica reao.

Vnculo duplo ou fixoEste vnculo impede o movimento de translao em duas direes, normal eparalela ao plano de apoio, fornecendo assim duas reaes.

EngastamentoEste tipo de vnculo impede a translao em qualquer direo,impedindo tambm a rotao do mesmo.


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ESTRUTURA o conjunto de elementoesforos.

So classificados em 3 tip

Estruturas hipoesSo instveis quanto estSua classificao deviequaes da esttica.Exemplo: Estrutura com 1

Estruturas isosttA estrutura definida cocom o nmero de incgnitExemplo: Estrutura com 1

Estruturas hipereA estrutura classificadainferior ao nmero de incPara solucionar estas esequaes de deslocamentExemplo: Estruturas com2 apoios fixos.

TRAO E COMPRESSSo solicitaes provocadFora axial ou fora nortransversal.

TRAO solicitao qu

COMPRESSO solicita

de construo, composto com a finalidade

s, atravs da sua estaticidade:

ticas:ticidade.o ao fato do nmero de incgnitas ser

apoio fixo, 2 apoios mveis ou 1 apoio mv

icas:o isosttica quando o nmero de equas.apoio fixo e 1 mvel ou 1 engaste.

tticascomo hiperesttica quando o nmero denitas a ser determinada.truturas devemos complementar as equa.

2 engastes, 1 engaste e 1 apoio mvel, 1 e

Os em uma pea pela ao de uma fora axi

mal a fora que atua perpendicularm

tende a alongaruma pea.

o que tende a encurtaruma pea.

67

de receber e transmitir

inferior ao nmero de

l.

es da esttica coincide

quaes da esttica

es da esttica com

gaste e 1 apoio fixo ou

l.nte rea de seo


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RREEAAEESSEEMMCCAABBOOSSEEEESSTTRRUUTTUURRAASS

Mtodo das Projees

O estudo do equilbrio neste mtodo consiste em decompor as componentes das Forascoplanares atuante no sistema em Xe Y.

Para determinarmos a intensidade das Foras, iniciamos os clculos pelo nque seja o maisconveniente, ou seja, que possua a soluo mais rpida, que possua o menor nmero deincgnitas.E, em cada n (amarrao), desenvolve as Equaes:

0

0

=

=

y

x

F

F

De modo a determinar as reaes atuantes em cada cabo ou estrutura.

Exemplo:

Mtodo do Polgono de ForasPara que um sistema de foras concorrentes atuantes em um plano esteja em equilbrio, condio essencial que o polgono de Foras formado pela disposio geomtrica destascargas esteja fechado.

importante ressaltar que para a formao do polgono, o incio de um vetor representativo

de uma carga deve coincidir com o final do outro.

Exemplo:


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69

RREEAAEESSNNOOSSAAPPOOIIOOSS

Como visto em captulo anterior, define-se como Momento de uma Fora em relao a um

ponto qualquer de referncia, como sendo o produto entre a intensidade da Fora aplicada ea respectiva distncia em relao ao ponto de rotao.

importante observar que a direo da Fora e a distncia, estaro sempre defasadas 90.

No clculo de Reaes nos Apoios devem-se aplicar os sistemas de equaes de modo adescobrir todas as incgnitas (variveis) presentes.

Assim, para que um determinado corpo esteja em equilbrio necessrio que sejamsatisfeitas as 3 equaes da esttica, aplicando:

J ,3


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70

2) Viga solicitada por carga inclinada

Devido carga aplicada na viga ser inclinada, deve-se, decompor a Fora aplicada em

componentes ,3 M ,L, antes de determinar as reaes nos apoios.

,3 ,4!5

,L ,!NO5

Nesta estrutura apresentam, alm de reaes perpendiculares (RAY, RB), tambm reaeshorizontais (RAx), que, em A, calcula-se a Resultante da reao (RA).

Para se determinar as Reaes nos apoios (RAx, RAy, RB), basta aplicar as equaes:

J ,3


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71

4) Viga solicitada por Torque

Nesta estrutura h presena de carga somente paralela viga, e que se anulam. Assim, areaes Horizontais (sentido x) no estaro presentes na estrutura.

E, para que a viga fique em equilbrio, as reaes RAy= RB.Para se determinar as Reaes RB, basta aplicar somente a equao dos Momentos, sendo:

J I(


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72

a) Carga Distribuda de forma Retangular:A intensidade (Mdulo)de carga ser determinada por:

,P ,

A distnciaem que estar localizada a intensidade da carga ,P ao longo da viga, deveser determinada por:

1

b) Carga Distribuda de forma Triangular:A intensidade (Mdulo)de carga ser determinada por:

,P ,

A distnciaem que estar localizada a intensidade da carga ,P ao longo da viga, deveser determinada por 1/3 de L, partindo do sentido de maior ao da carga:

1 D

Exemplo:

Nesta estrutura apresentam, alm de reaes perpendiculares (RAY, RB), tambm reaeshorizontais (RAx), que, em A, calcula-se a Resultante da reao (RA).

Para se determinar as Reaes nos apoios (RAx, RAY, RB), basta aplicar as equaes:

J ,3


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73

Exerccios:1. Os mancais em A e B exercem apenas reaes verticais sobre o eixo. O carregamento aplicado s rodas em B, C e D. Determinar as reaes nos mancais A, B.

2. Determinar as reaes nos apoios A, B, a partir de aplicao de cargas distribudas.

3. O guindaste da figura foi projetado para 5 kN. Determinar a fora atuante na haste docilindro e a reao na articulao A.


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74

CCAARRAACCTTEERRSSTTIICCAASSGGEEOOMMTTRRIICCAASSDDEE

SSUUPPEERRFFCCIIEESSPPLLAANNAASS

MOMENTO ESTTICOMomento esttico de um elemento de superfcie definido atravs do produto entre a rea do elemento e a distncia que o separa do

eixo de referncia.

Momento esttico de uma superfcie plana definido atravs da integral de rea dos momentos estticos dos elementos de

superfcie que formam a superfcie total.

Centro de gravidade de uma superfcie plana o ponto localizado na prpria figura, ou fora desta, no qual se concentra a superfcie.

As coordenadas do centro de gravidade so obtidas atravs da relao entre o momentoesttico da superfcie e a rea total desta.

XCG = A1X1+ ...AnXnA1+ ...An

YCG = A1Y1+ ...AnYnA1+ ...An

- Tabela do centro de gravidade de superfcies planas Retngulo / Quadrado

Tringulo


75/77

75

Crculo

Quadrante de crculo

Semicrculo

Trapzio

Exerccios1. Determinar as coordenadas do centro de gravidade do topzio representado na figura a

seguir. Dado: a = 10mm.


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76

2. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da superfcie hachuradarepresentada na figura. Dado: r = 50mm.

3. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da superfcie hachuradarepresentada na figura


77/77

RREEFFEERRNNCCIIAASSBBIIBBLLIIOOGGRRFFIICCAASS

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