mecânica dos sólidos - características geométricas das seções

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

CECS CENTRO DE ENGENHARIA, MODELAGEM E CINCIAS SOCIAIS APLICADAS

BACHARELADO EM CINCIA E TECNOLOGIA

BC 1104 MECNICA DOS SLIDOS DISCIPLINA OBRIGATRIA PARA O NCLEO DAS

ENGENHARIAS DA UFABC

CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DAS SEES TEXTO DE APOIO

Prof. Dr. Wesley Gis

So Bernardo, agosto de 2013.

BC 1104 Mecnica dos Slidos

1) Introduo

Apesar do contedo deste captulo ter relao direta com estudo de estruturas de barras em flexo, todos os conceitos sero apresentados num contexto puramente geomtrico.

Com respeito nomenclatura adotada, nota-se que algumas definies, como centro de gravidade e momento de inrcia, aqui apresentadas, envolvendo integrais sobre reas, tambm aparecem com essa mesma denominao na mecnica, porm considerando-se integrais na massa distribuda no volume do corpo. A situao aqui estudada tem caractersticas bastante particulares em relao quela da mecnica, pois se trata de uma anlise no plano, sem qualquer referncia massa. De qualquer modo, o centro de gravidade no contexto geomtrico, ou melhor, denominado centride, pode ser assimilado como o centro de massa, no sentido fsico, nas situaes em que houver uma distribuio homognea de massa associada rea da figura plana.

2) Momento esttico e o centro de gravidade de figuras planas

Considere uma figura de rea S e forma genrica, definida no plano Y Z- . Nessa rea, identifica-se um elemento infinitesimal dS por suas coordenadas em relao ao sistema de eixos de referncia adotado no plano (ver figura 2.1).

Figura 2.1 Seo com geometria qualquer no plano

O momento esttico da rea S em relao ao eixo Y definido pela seguinte integral:


ySS

M zdS==== (2.1)

Analogamente, o momento esttico da rea S em relao ao eixo Z dado por:

zSS

M ydS==== (2.2)

O momento esttico essencialmente, o produto de uma rea por uma distncia (sua unidade 3 3m ,cm , etc) e pode apresentar um sinal positivo ou negativo, dependendo da posio da figura em relao aos eixos de referncia.

O centro de gravidade definido como o ponto da figura cujas coordenadas satisfazem as seguintes relaes:

ySS

M zdS zS= == == == = (2.3a)

zSS

M ydS yS= == == == = (2.3b)

O momento esttico de uma rea com relao a um eixo de simetria, se houver, nulo. Nessas condies, pelas (2.3) conclui-se que o centro de gravidade est localizado sobre o eixo de simetria da figura. Havendo dois ou mais eixos de simetria, o centro de gravidade estar sobre o centro de simetria.

Por outro lado, se a origem do sistema coincidir com o centro de gravidade, ento z y 0= == == == = e, tambm pelas (2.3), conclui-se que o centro de gravidade pode ser definido como o ponto em relao ao qual o momento esttico da figura nulo por qualquer eixo que passe por ele.

Existem algumas figuras geomtricas cuja rea pode ser decomposta em reas de geometria mais simples (ver figura 2.2).


Figura 2.2 rea de geometria composta

Nesses casos, a integral sobre toda a rea, que define momento esttico, pode ser dividida na soma de integrais sobre as reas componentes:

z

1 2 n

SS S S S

M ydS ydS ydS ... ydS= = + + += = + + += = + + += = + + + (2.4a)

y

1 2 n

SS S S S

M zdS zdS zdS ... zdS= = + + += = + + += = + + += = + + + (2.4b)

Por outro lado, para a rea total valem as relaes:

zSS

M ydS yS= == == == = (2.5a)

ySS

M zdS zS= == == == = (2.5b)

onde, agora, z e y so coordenadas do seu centro de gravidade. Analogamente, para as reas menores segue que:


i

i iS

zdS z S==== (2.5c)

i

i iS

ydS y S==== (2.5d)

onde iz e iy so as coordenadas dos centros de gravidade individuais de cada uma das reas. Fazendo-se uso de uma notao de somatrio, as (2.4) e (2.5) combinadas fornecem expresses prticas para a determinao das coordenadas do centro de gravidade de uma figura composta:

n

i ii 1

n

ii 1

S zz

S

====

====

====

(2.6a)

n

i ii 1

i n

ii 1

S yy

S

====

====

====

(2.6b)

2.1) Momentos de segunda ordem

Considerando-se a mesma seo genrica ilustrada na figura 2.1, os momentos de segunda ordem so definidos pelas seguintes relaes:

2y

S

I z dS==== (2.7a)

2z

S

I y dS==== (2.7b)

yzS

I zydS==== (2.7c)

onde yI e zI so denominados momentos de inrcia em relao aos eixos y e z ,

respectivamente, e yzI denominado momento centrfugo ou produto de inrcia.


Nota-se que os momentos de segunda ordem tm unidades de comprimento quarta ( 4 4cm ,mm ,etc ), sendo que os momentos de inrcia so essencialmente positivos, enquanto que o produto de inrcia pode ser positivo ou negativo.

2.3) Transportes dos momentos de segunda ordem por efeito da translao de eixos

Considerem-se conhecidos os momentos de segunda ordem de uma seo em relao aos eixos arbitrrios cuja origem est num ponto qualquer do plano da figura 2.3. Em relao a esses eixos valem as definies (2.7).

Figura 2.3 Translao de eixos

Seja, agora, outro par de eixos de referncia, (((( ))))z , y , paralelo ao primeiro, porm com origem posicionada no centro de gravidade da seo. Em relao a esses novos eixos, momentos de segunda ordem podem ser calculados por meio de expresses anlogas s (2.7):

2y

S

I z dS

==== (2.8a)

2z

S

I y dS

==== (2.8b)


y zS

I z y dS

==== (2.8c)

Tendo-se em vista que em relao aos eixos y e z o centro de gravidade da seo apresenta coordenadas c e d , respectivamente (ver figura 2.3), pode-se afirmar que as coordenadas de qualquer ponto da seo em relao aos dois sistemas de referncia apresentam a seguinte correspondncia:

y y d= += += += + (2.9a)

z z c= += += += + (2.9b)

Assim sendo, o momento de inrcia zI pode ser expresso na forma:

(((( ))))2 22 2zS S S S S

I y dS y d dS y dS 2d y dS d dS = = + = + += = + = + += = + = + += = + = + + (2.10)

Cada uma das integrais que aparecem na (2.10) possuem um significado. A primeira parcela , por definio, o momento de inrcia da seo em relao ao eixo z ; a segunda parcela nula, porque o eixo de referncia passa pelo centro de gravidade de seo; a ltima parcela o produto do quadrado da distncia entre eixos coordenados z e z pela rea da seo. Portanto, a (2.10) pode ser escrita na forma:

2z ZI I Sd= += += += + (2.11)

Essa ltima relao usualmente referenciada como relao de transporte de inrcia.

Analogamente, considerando-se o momento de inrcia yI pode-se deduzir a seguinte relao de transporte de inrcia:

2y yI I Sc= += += += + (2.12)

Finalmente, uma relao de transporte para o produto de inrcia pode tambm ser deduzida:


(((( )))) (((( ))))yzS S S S S

yz y z

I y d z c dS y z dS d z dS z y dS dc dS

I I Scd

= + + = + + += + + = + + += + + = + + += + + = + + +

= + = + = + = +

(2.13)

2.4) Momentos de segunda ordem de figuras compostas

No caso de uma seo que possa ser decomposta em reas de geometria mais simples, as integrais que definem os momentos de segunda ordem podem ser desmembradas na soma de integrais sobre as reas menores, como indicam as relaes que seguem:

1 2 n

2 2 2 2z

S S S S

I y dS y dS y dS y dS= = + + += = + + += = + + += = + + + L (2.14a)

1 2 n

2 2 2 2y

S S S S

I z dS z dS z dS z dS= = + + += = + + += = + + += = + + + L (2.14b)

1 2 n

yzS S S S

I yzdS zydS zydS zydS= = + + += = + + += = + + += = + + + L (2.14c)

Como cada uma das reas iS possui centros de gravidade posicionados com coordenadas ic e id em relao ao referencial adotado para escrever as (2.14), pode-se incluir as relaes de transportes nas (2.14) e reescrev-las nas seguintes formas:

(((( ))))in 2z z i ii 1

I I S d

====

= += += += + (2.15a)

(((( ))))in 2y y i ii 1

I I S c

====

= += += += + (2.15b)

(((( ))))inyz y z i i ii 1

I I S c d

====

= += += += + (2.15c)

2.5) Efeito da rotao dos eixos sobre o clculo dos momentos de segunda ordem

Uma situao que se apresenta com freqncia a necessidade de se determinar como variam os valores dos momentos de segunda ordem quando aos eixos de referncia se


impem uma defasagem, ou giro, de um certo ngulo em relao s direes iniciais . A figura 2.4 ilustra a situao em anlise.

Figura 2.4 a) eixos de referncia defasados de um ngulo b) interpretao geomtrica da relao entre os momentos de segunda ordem

Como conveno. A rotao considerada positiva quando realizada no sentido horrio. Entre as coordenadas dos pontos da seo, segundo os eixos iniciais e os defasados, valem as seguintes relaes:

z z cos ysen= = = = (2.16a)

y zsen y cos= += += += + (2.16b)

Por outro lado, os momentos de segunda ordem podem ser calculados com relao aos novos eixos aplicando-se as definies:

2y

S

I z dS==== (2.17a)

2z

S

I y dS==== (2.17b)

yzS

I zydS==== (2.17c)

Substituindo-se nas definies acima, as (2.16), resultam:


(((( ))))2 2 2z z y yzS

I zsen y cos dS I cos I sen 2I sen cos= + = + += + = + += + = + += + = + + (2.18a)

(((( ))))2 2 2y z y yzS

I z cos ysen dS I sen I cos 2I sen cos= = + = = + = = + = = + (2.18b)

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))2 2yz yz y zS

I zsen y cos z cos ysen dS I cos sen I I sen cos= + = + = + = + = + = + = + = + (2.18c)

Uma observao inicial que decorre das (2.18) que a soma dos momentos de inrcia invariante em relao a um giro do sistema de referncia, ou seja:

z y z yI I I I+ = ++ = ++ = ++ = + (2.19)

A outra observao que os momentos de segunda ordem possuem uma variao contnua com , o que leva ao questionamento sobre a existncia de direes particulares para os eixos em relao s quais correspondam, para aqueles momentos, valores extremos, mximo ou mnimo. Com relao pesquisa de valores extremos, aquela que mais interessa a dos momentos de inrcia.

Nesse sentido, impondo-se a nulidade da primeira derivada da expresso de ZI com relao a , obtm-se a seguinte relao:

(((( )))) (((( ))))2 2z yz y z zydI I cos sen I I sen cos I 0d = + = == + = == + = == + = = (2.20)

Portanto, conclui-se que o segundo a direo em que o momento de inrcia assume um valor extremo, o produto de inrcia se anula.

Da (2.20) segue uma expresso para o clculo do ngulo :

(((( ))))yz

Z y

2Itg2

I I====

(2.21)

Relao que pode ser satisfeita para um certo ngulo e tambm por 2; ou seja, os ngulos que satisfazem a (2.21) definem direes ortogonais entre si, devendo corresponder a cada uma delas um valor mximo ou mnimo do momento de inrcia.


A substituio da (2.21) na (2.18 a), leva s expresses para o clculo dos valores mximo e mnimo dos momentos ditos principais de inrcia, respectivamente aqui denotados por 1I e 2I :

2Z y Z y 2

1 yz

2Z y Z y 2

2 yz

I I I II I

2 2

I I I II I

2 2

+ + + + = + += + += + += + +

+ + + + = += += += +

(2.22a,b)

Uma maneira simples de se chegar s expresses (2.22) consiste em inicialmente reescrever a (2.18 a) para a seguinte forma:

Z y Z y1 yz

I I I II cos 2 I sen2

2 2+ + + +

= + += + += + += + +

(2.23)

onde se empregaram as relaes: (((( ))))2 1cos 1 cos 22= += += += + e (((( ))))2 1sen 1 cos 2

2= = = = .

Na sequncia da deduo, a interpretao geomtrica proporcionada pela figura 2.4b, permite concluir que:

2Z y Z y 2

yz yz

I I I Icos 2 I sen2 I

2 2

+ = ++ = ++ = ++ = +

(2.24)

de onde resultam as (2.22). Uma observao importante neste ponto sobre a utilizao das expresses deduzidas. Supondo que se queira determinar os momentos principais de inrcia e suas direes a partir de valores de momentos de segunda ordem conhecidos em relao a um dado sistema de referncia, as (2.22) permitem calcular diretamente os valores principais; j a (2.21) fornece as direes principais.

Entretanto, no se pode identificar, de imediato, a correspondncia entre valor e direo principal. Isto , para estabelecer corretamente a correspondncia, necessrio um ltimo passo que consiste em substituir o valor de um dos ngulos determinado pela (2.21), na expresso de ZI , por exemplo. Necessariamente o valor resultante dever coincidir com


o valor de 1I ou de 2I , indicando que direo definida por aquele ngulo corresponde a maior ou menor inrcia, respectivamente.

Contudo h uma alternativa para a prtica descrita acima e consiste em determinar uma relao que fornea diretamente a correspondncia entre direes e valores principais.

Com esse objetivo, seja, por hiptese, 1 o ngulo de giro que deve ser dado ao eixo z para que o mesmo passe a ser o eixo maior de maior inrcia z . Ento, da (2.18a) segue:

2 21 z 1 y 1 yz 1 1I I cos I sen 2I sen cos= + += + += + += + + (2.25)

Essa relao pode ser reescrita na forma;

(((( )))) 21 z y z 1 yz 1I I I I sen I sen2 = + = + = + = + (2.26)

Mas o ngulo 1 tambm satisfaz a (2.21), de onde se pode escrever que:

yz 11 z

1

2I cos 2I I

sen2 = = = = (2.27)

Substituindo-se (2.27) na (2.26), e levando-se em conta que 2 2cos 2 cos s en = = = = , aps algumas passagens simples, obtm-se a relao procurada:

1 z1

yz

I Itg

I

==== (2.28)

Portanto, vale frisar que o 1 o ngulo entre o eixo z e o eixo ao qual se associa a maior inrcia, devendo ser marcado no sentido horrio se tiver valor positivo.

.

mecânica dos sólidos - características geométricas das seções

Documents