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Autor
Orien
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E
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO..........................................................................................................1
INTRODUÇÃO...............................................................................................................3
ATIVIDADE 1: Apresentação do Triângulo de Pascal...................................................4
ATIVIDADE 2: O Triângulo Aritmético..................................................................6
ATIVIDADE 3: Relação das combinações complementares....................................8
Situação-problema da atividade 3...................................................................................11
ATIVIDADE 4: Alternância de sinais....................................................................13
ATIVIDADE 5: Teorema das linhas.......................................................................16
Situação-problema da atividade 5....................................................................................19
ATIVIDADE 6: Somando termos alternados de uma linha....................................22
ATIVIDADE 7: Relação de Stifel...........................................................................26
Situação-problema da Relação de Stifel..........................................................................31
1
APRESENTAÇÃO
A elaboração das atividades presentesnesse Produto, elaborado na Dissertação
de mesmo títulofoi feita para possibilitar ao aluno, além de participar de uma
experiência Matemática, o sabor de vivenciar a descoberta de propriedades,
promovendo a aquisição de informações e conhecimento. Tal elaboração seguiu a
abordagem teórico-metodológica das Investigações Matemáticas e Resolução de
Problemas. Também foram seguidas as orientações dos Parâmetros Curriculares
Nacionais de Matemática, no sentido de promover o desenvolvimento do pensamento
lógico-dedutivo, a fim de motivar o aluno a compreender situações diversas, resolver
problemas e aplicar o conhecimento matemático às variadas situações do cotidiano.
Há, assim, o objetivo de oferecer ao aluno uma sequência didático-
metodológica, no intuito de facilitar o processo de aprendizagem do conteúdo e
conduzi-lo a refletir, compreender e analisar as mais diversas situações-problemas
presentes, principalmente, na Análise Combinatória. Isso contribui para uma ampliação
dos métodos de Resolução de Problemas como linha metodológica de aprendizagem,
valorizando não somente os conteúdos dentro dessa área de conhecimento, mas também
a capacidade de mobilizá-los nas diferentes situações as quais se fazem necessárias,
desenvolvendo, dessa forma, habilidades e competências necessárias e indispensáveis
na formação dos estudantes.
Como o Triângulo de Pascal é um objeto com um extraordinário e vasto campo
de observação de padrões, o desenvolvimento da elaboração das atividades foi feito com
o cuidado de promover várias aquisições matemáticas, como por exemplo, a
interpretação e resolução de situações em determinado contexto e também, a capacidade
de analisar informações para resolver e formular problemas, bem como a capacidade de
generalizar padrões e elaborar argumentações Matemáticas relacionadas a problemas de
contagem.
A sequência de atividades se inicia buscando desde a concepção da formação do
Triângulo de Pascal, procurando explorar suas propriedades mais evidentes, observadas
muitas vezes pelos inúmeros padrões existentes nessa extraordinária figura, bem como
estimular os alunos a justificarem propriedades por meio de argumentos combinatórios.
Cada atividade explora uma propriedade do Triângulo, sem ter a pretensão de
esgotá-las, o que mostra a possibilidade de tais atividades serem estendidas para um
2
número muito superior, uma vez que número de propriedades do Triângulo é bastante
significativo, variando em diferentes graus de complexidade. Nesse produto, as
atividades foram divididas da seguinte maneira:
• Atividade 1: Apresentação do Triângulo de Pascal
• Atividade 2: O Triângulo Aritmético
• Atividade 3: Relação das combinações complementares
• Situação-problema da atividade 3
• Atividade 4: Alternância de sinais
• Atividade 5: Teorema das linhas (soma dos termos de uma linha)
• Situação-problema da atividade 5
• Atividade 6: Somando termos alternados de uma linha
• Atividade 7: Relação de Stifel
• Situação-problema da Relação de Stifel
Algumas das atividades apresentam uma situação-problema, que mostram
aplicações relacionadas, principalmente, a problemas de contagem, mais
especificamente a situações envolvendo agrupamentos não ordenados, como no caso
das combinações simples. Como as propriedades são muito diversas, também são as
habilidades e competências curriculares exploradas ao longo do trabalho. Algumas
atividades exploram, por exemplo, a capacidade de argumentação do aluno para
justificar a propriedade. Em outro momento, o aluno é guiado para generalizar tal
propriedade, o que não significa que as diferentes propriedades sejam também disjuntas
na exploração das capacidades do estudante.
3
Introdução : O número binomial
Sabemos que o número de grupos de k elementos escolhidos dentre n elementos
distintos é dado por n
k
, denominado de número binomial, cujo cálculo é:
Calcule os seguintes números binomiais:
(1) 10
3
(2) 7
2
( )n n!k n k !k!
= −
4
Atividade 1 – Apresentação do triângulo de Pascal
Objetivo da Atividade 1
A primeira atividade tem o objetivo de analisar a construção do Triângulo de
Pascal utilizando os números binomiais.O intuito da apresentação da fórmula é para que
erros de cálculo não comprometam a qualidade da experiência no sentido de serem
atingidos os objetivos que vão além dos cálculos em si. É importante ressaltar que, na
apresentação da construção do Triângulo de Pascal é explorada a capacidade de
compreensão do aluno da transição do modelo algébrico para o numérico.
Descrição da atividade
O triângulo de Pascal é um triângulo formado por linhas de números binomiais, da seguinte forma:
1. Na primeira linha colocamos o número binomial 0
0
.
2. Na segunda linha, escrevemos os dois binômios n
k
, sendo
n = 1,k = 0 1
0
e n= 1, k = 0 1
1
.
3. Na terceira linha, escrevemos os três binômios n
k
,
n = 2,k = 0 2
0
,n = 2, k = 1 2
1
e n = 2, k = 2 2
2
.
4. Na quarta linha e daí por diante, repetimos esse procedimento escrevendo na linha todos os binômios com o valor fixo de n e k variando, em ordem crescente, de 0 a n.
Dessa maneira, criamos o triângulo de Pascal, onde a seguir temos sua representação até a sexta linha:
5
Questão: Complete as duas próximas linhas (a 7ª e a 8ª) do Triângulo de Pascal.
→ 1ª linha
→ 2ª linha
→ 3ª linha
→ 4ª linha
→ 5ª linha
→ 6ª linha
6
Atividade 2 – O Triângulo Aritmético
Objetivo da Atividade 2
Apesar do Triângulo de pascal manter uma relação intrínseca com os números
binomiais, muitas pessoas conhecem o Triângulo não pelos binômios, mas pelos valores
desses binômios, como mostra a figura a seguir.Ocorre que há uma grande facilidade na
construção do Triângulo nessa forma numérica por meio de uma de suas principais
propriedades (que será explorada mais adiante): a Relação de Stifel, que nos mostra que
cada par de números consecutivos numa mesma linha somados produzem o número na
próxima linha situado entre esses dois.Dessa forma, a fim de que haja o reconhecimento
do Triângulo de Pascal não apenas pelos números binomiais, mas também por cada um
de seus valores, a atividade consiste em calcular os valores de cada binômio do
Triângulo, até a oitava linha e representar o triângulo pelos números correspondentes de
cada binômio.
Muitos dos padrões observados no Triângulo de Pascal são mais facilmente
visualizados quando o Triângulo é expresso por números e não por binômios. Alguns
padrões mais simples, como a igualdade dos números equidistantes numa mesma linha
ou da soma de dois números consecutivos numa mesma linha ser o número situado na
linha abaixo entre esses números somados são exemplos de visualizações mais diretas,
que em uma primeira observação no Triângulo já podem ser percebidas. Por isso a
opção de se fazer didaticamente a apresentação do Triângulo, primeiro na forma
binomial, para que se entenda a estrutura de sua formação e depois na forma aritmética,
de tal forma que, quando o aluno o constrói, escrevendo algumas de suas linhas na
forma aritmética (numérica) alguns padrões podem ser descobertos justamente na
construção. Daí a proposta do aluno montar o Triângulo e não o ter em sua vista de
maneira pronta em uma ilustração.
Desse modo, tem-se por objetivo nessa atividade o reconhecimento do Triângulo
e montagem do mesmo pelos valores dos binômios, assim como o treinamento do
cálculo dos valores dos binômios, que dentro da proposta metodológica de Resolução de
Problemas, é uma das mais importantes ferramentas do cálculo combinatório: as
combinações simples.
7
Descrição da atividade
O Triângulo de Pascal é conhecido como Triângulo Aritmético quando é apresentado
pelos valores dos seus binômios, por exemplo, escrevendo 10 no lugar de 5
2
, já que
5
2
= 10.
Questão: Apresente o triângulo aritmético com as oito primeiras linhas.
8
Atividade 3 – Relação das Combinações Complementares
Objetivo da Atividade 3
Em todas as áreas do conhecimento, e em particular na Matemática, somos
atraídos por encontrar regularidades. A observação e uso de padrões repetitivos, desde o
ensino pré-escolar contribui do modo bastante significativo, como suporte para a
aprendizagem da Álgebra, particularmente na significação de símbolos.Dessa forma,
com a intenção de explorar os padrões presentes no Triângulo de Pascal, esta é a
primeira das atividades a explorá-lo nesse sentido. A propriedade das combinações
complementares foi escolhida como a primeira a ser trabalhada através dos padrões pela
simplicidade de ser observada. Inicialmente, há uma ilustração da igualdade dos
binômios equidistantes dos extremos de uma mesma linha mostrando que, na sexta linha
no Triângulo de Pascal temos 5
2
= 5
3
= 10. O objetivo dessa atividade é que o aluno
reconheça que isso acontece para outros binômios tanto na sexta linha como nas outras,
ou seja, que em todo o Triângulo há uma simetria entre os binômios na montagem das
linhas.
Descrição da atividade
Em uma mesma linha do Triângulo de Pascal, elementos equidistantes dos extremos são iguais.Observe como exemplo, na sexta linha no Triângulo de Pascal, que temos 5
2
=
5
3
= 10.
Questões: (1) Na quinta linha do Triângulo de Pascal mostre quais binômiosproduzem o mesmo resultado, ou seja, são equivalentes.
9
(2) Mostre quais são os binômios equivalentes na sexta linha.
(3) Mostre quais são os binômios equivalentes na sétima linha.
(4) Na décima linha, um dos binômios é o 9
3
. Qual o outro binômio dessa linha cujo
resultado coincide com este?
(5) Qual binômio é equivalente a 7
2
? E 12
5
? E 34
11
?
10
(5) De uma maneira geral, qual binômio é igual a n
k
?
n
k
=
Esses binômios são chamados de binômios complementares.
11
Situação-problema da atividade 3.
Objetivo da Situação-problema da Atividade 3
Poucos conteúdos na Matemática são tão intrinsicamente ligados à metodologia
de Resolução de Problemas quanto à Análise Combinatória. É muito improvável que
um aluno aprenda, de fato, um conteúdo matemático sem a resolução de um grande
número de problemas ou a demonstração de identidades importantes. Certas identidades
algébricas, envolvendo números combinatórios são muito difíceis, quando não
impossíveis de serem provadas por efeito de manipulações algébricas. E, várias dessas
identidades, muitas vezes, permitem uma prova simples utilizando argumentos
combinatórios que em muitos casos não necessitam sequer do uso de cálculos, sejam
algébricos ou numéricos. A ideia da prova por argumentos combinatórios é a princípio
bastante simples, como sabemos: a partir de uma identidade, se ambos os lados são
resultados de um problema de contagem e se ficar claro que eles contam as mesmas
coisas, logo, elas são iguais. Para isso, torna-se imprescindível a visualização de uma
situação-problema que represente a identidade a ser demostrada e um raciocínio
coerente que conduza a prova.
Nesse ponto, algumas propriedades do Triângulo de Pascal nos permitem
explorar e incutir no aluno essa capacidade de argumentação, incluindo aí a propriedade
tratada na atividade 3, a respeito dos binômios complementares. Para que o aluno
compreenda do se trata quando falamos sobre um argumento combinatório, há no início
da situação-problema um exemplo de como podemos justificar que as possibilidades de
escolhas de dois ou três objetos são indiferentes, quando temos cinco objetos a
disposição, ou seja, faz-se uma demonstração baseada apenas em argumentos de que os
binômios 5
2
e 5
3
tem o mesmo valor. Há uma explicação detalhada desse fato, sem o
uso de cálculos e, por fim, é destacado num quadro que o raciocínio exposto é
denominado de um argumento combinatório.
12
Descrição da atividade
Sabemos que n
k
é o número de maneiras de escolhermos k objetos dentre n objetos
distintos. Assim, uma maneira de argumentarmos oporque de 5
2
ser igual a 5
3
é que
quando temos cinco objetos e queremos escolher dois dentre eles, cada vez que escolhemos dois deixamos de escolher os outros três, e isso é uma maneira de escolhermos três desses objetos. Ou seja, para cada grupo de dois objetos existe exatamente um grupo de três e assim, tanto faz se escolhemos dois ou três se temos cinco objetos quando queremos contar o número de grupos.
Questão: Suponha que Flávia, a professora de uma turma com 16 alunos tinha 13 canetas para distribuir entre seus alunos de modo que cada aluno recebesse apenas uma caneta. Para fazer essa distribuição, Flávia se perguntou: de quantas formas diferentes posso escolher os alunos que receberão as canetas?
Mostre através de cálculos que, ao invés de escolher os alunos que receberiam as canetas, Flávia poderia escolher aqueles que ficariam sem caneta.
Isso é o que chamamos de um argumento combinatório.
13
Atividade 4 – Alternância de sinais
Objetivo da Atividade 4
Uma propriedade menos evidente quando se observa os padrões estabelecidos no
Triângulo de Pascal é destacada nessa atividade: quando se soma os valores de uma
mesma linha alternando os sinais desses valores a soma sempre se anula. Pode-se
observar esse fato nas primeiras linhas do Triângulo de Pascal na ilustração a seguir.
Para que haja uma fixação por parte do aluno, pede-se, como primeira questão da
atividade, que ele descreva tal propriedade utilizando os elementos da quinta linha. Com
a finalidade de generalizar tal procedimento, é pedido que o aluno escrevesse essa
relação para uma linha qualquer.
Nesse caso, há a oportunidade de explorar com o aluno a escrita de uma relação
algébrica muito importante: como escrever uma expressão algébrica generalizada
mostrando a alternância de sinais? Tal discussão é muito pertinente nesse momento,
pois será necessário que o aluno saiba utilizar essa escrita, a fim de generalizar a
propriedade apresentada nessa atividade.
Por exemplo, na expressão numérica 2 – 4 + 6 – 8 + 10 – 12 + ... , pode-se
perguntar: o que vai ser precedido quando chegar num determinado valor, digamos,
100? Ou seja, o número 100 será somado ou subtraído?
Em outras palavras:
2 – 4 + 6 – 8 + 10 – 12 + ... ± (?) 100
Assim pode-se trabalhar a generalização desse processo:
1
1 – 1
1 – 2 + 1
1 – 3 + 3 – 1
1 – 4 + 6 – 4 + 1
1 – 5 + 10 – 10 + 5 – 1
0
0
0
0
0
14
2 – 4 + 6 – 8 + 10 – 12 + ... ± (?) 2n
Tendo obtido o resultado correto
2 – 4 + 6 – 8 + 10 – 12 + ... + (– 1)2n+1⋅ (2n),
Até isso acontecer pode ser discutida uma questão de fundamental importância
presente em quase toda a Matemática: a escrita algébrica. A capacidade de uso e
manipulação de símbolos matemáticos é uma das principais competências da Álgebra, a
qual possibilita a interpretação e resolução de problemas não apenas da Matemática,
mas também das outras áreas do conhecimento.
Voltando à propriedade observada nessa atividade: como esta se relaciona, de certa
maneira, com a propriedade das combinações complementares, a terceira e última
questão pede ao aluno que tente, por meio de argumentos, mostrar a relação entre tais
propriedades, em que ela busca explorar, mais uma vez, a capacidade do aluno de criar
argumentos lógicos coerentes.
Descrição da atividade
Observe que quando tomamos uma linha do Triângulo de Pascal, se subtrairmos o segundo número do primeiro, somarmos com o terceiro, subtrairmos o quarto e assim por diante, alternando subtrações e somas, o resultado sempre é zero!
Assim, na quarta linha, dos binômios n
k
para n = 3, temos:
3
0
– 3
1
+ 3
2
– 3
3
= 0
Questões:
(1) Repita esse procedimento mostrando a sua validade para a próxima linha, ou
seja, para os binômios n
k
onde n = 4.
15
(2) Generalize esse procedimento, ou seja, escreva essa relação para a linha
qualquer, dos números binomiais n
0
até n
n
.
(3) Essa propriedade guarda relação com a propriedade obtida na atividade 3 (dos binômios complementares). Tente argumentar por que uma propriedade justifica a outra. (Dica: observe os pares, primeiro e o último, segundo e penúltimo e etc.)
16
Atividade 5 – Teorema das linhas
Objetivo da Atividade 5
Explora-se aqui propriedade da soma dos elementos de uma mesma linha, a
saber:
“A soma dos números n
k
, com n fixo e k variando de 0 a n, ou seja, de uma linha
qualquer do Triângulo de Pascal é sempre igual a 2n.”
Pode-se observar esse fato nas primeiras linhas do Triângulo de Pascal, na ilustração a
seguir.
Para que seja bem observada, há a exemplificação da propriedade para as quatro
primeiras linhas do Triângulo. A primeira questão da atividade pede para que se
verifique a propriedade da quinta e sexta linhas, a fim de fixar essa relação. Com o
intuito de generalizar, pede-se na questão seguinte, que a propriedade seja escrita para
uma linha qualquer, ou seja, o objetivo é de que o aluno consiga representar
algebricamente essa propriedade da seguinte forma:
+ + + + =
nn n n n
... 20 1 2 n
1
1 + 1
1 + 2 + 1
1 + 3 + 3 + 1
1 + 4 + 6 + 4 + 1
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
1 = 20
2 = 21
4 = 22
8 = 23
16 = 24
32 = 25
17
Descrição da atividade
Observe que:
0
0
= 1 = 20
1
0
+ 1
1
=21
2
0
+ 2
1
+ 2
2
=22
3
0
+ 3
1
+ 3
2
+ 3
3
=23
Questões:
(1) Mostre essa propriedade para a quinta e sexta linhas do Triângulo de Pascal.
A soma dos números n
k
, com n fixo e k variando de 0 a n, ou seja, de uma linha
qualquer do Triângulo de Pascal é sempre igual a 2n.
18
(2) Escreva essa propriedade para uma linha qualquer, ou seja, deixando n como incógnita e variando k de 0 a n.
19
Situação-problema da atividade 5.
Objetivo da Situação-problema da Atividade 5
Uma aplicação bastante clara da propriedade, explorada anteriormente nos
problemas de contagem, é a de determinar o número de subconjuntos de um conjunto
com n elementos. Assim, faz-se uma explanação do que é um subconjunto, por um
conjunto dado e através de uma atividade guiada, pede-se ao aluno que a partir do
conjunto X = {a, b, c, d}, ele determine todos os subconjuntos de X com dois
elementos.
Como o objetivo principal é contar os subconjuntos, para que não haja margem
de erro, na sequência da atividade há um texto comentando que se trata de seis
subconjuntos para o caso do aluno ter esquecido um ou mais na sua resposta. Ainda no
comentário, há a observação de que o cálculo de 4
2
nos mostra essa quantidade sem a
necessidade de enumeração. A continuação sugere que 4
3
seja a quantidade de
subconjuntos de X com três elementos e com esse raciocínio, para descobrir quantos são
todos os subconjuntos de X, basta somarmos todos os números binomiais n
k
com n = 4,
já que X possui quatro elementos e k, sendo o número de elementos dos subconjuntos,
variando de 0 a 4, uma vez que o número de elementos dos subconjuntos varia de 0
(conjunto vazio) a 4 elementos (o próprio conjunto).
Dessa forma, é pedido ao aluno que, através dos números binomiais, mostre
quantos são os subconjuntos de um conjunto com três elementos e, na sequência, de um
conjunto de oito elementos. Com o propósito de estabelecer uma regra geral, pede-se
como última questão da atividade, que o aluno determine quantos são os subconjuntos
de um conjunto com n elementos.
20
Descrição da atividade
Aplicações em conjuntos.
Suponha um conjunto X com quatro elementos, por exemplo, X = {a, b, c, d}. Sabemos que um subconjunto de X é todo conjunto que não possua elemento que não pertença a X. Assim, Y = {a, c} e Z = ∅ são subconjuntos de X, porém W = {a,g} não o é, pois g∉ X.
Questão: Determine todos os subconjuntos de X com dois elementos.
Repare que os subconjuntos de Xque têm dois elementos são seis. Para determinarmos a
quantidade sem escrevermos um por um poderíamos ter calculado simplesmente 4
2
,
uma vez que cada um desses subconjuntos com dois elementos nada mais é que uma
escolha de 2 dos 4 elementos de X. Assim sabemos pelo cálculo que temos 4
2
= 6
subconjuntos de 2 elementos. Então os subconjuntos de três elementos são 4
3
= 4.
Portanto, para descobrirmos quantos são todos os subconjuntos de X, basta somarmos
todos os números binomiais n
k
com n = 4, já que X possui quatro elementos e k
variando de 0 a 4, uma vez que o número de elementos dos subconjuntos varia de 0 (conjunto vazio) a 4 elementos.
Questões:
(1) Mostre, através dos números binomiais, quantos são os subconjuntos de
S = {a, b, c}.
21
(2) Faça o mesmo para o conjunto R = {a, b, c, d, e, f, g, h}.
(3) Quantos são os subconjuntos de um conjunto com n elementos?
22
Atividade 6 – Somando os termos alternados de uma linha
Objetivo da Atividade 6
O primeiro objetivo pretendido nessa atividade é fazer com que o aluno compreenda a seguinte propriedade:
“Se somarmos todos os binômios n
k
de uma linha (então com n fixo) e k variando
apenas com números pares, ou seja, k = 0, 2, 4, ... o resultado é sempre 2n–1”.
A título de ilustração, a figura mostra esse resultado para as primeiras linhas do
triângulo.
Para que haja uma fixação da propriedade, pede-se como primeira questão na
atividade, que a propriedade seja apresentada para os elementos da quarta linha do
Triângulo de Pascal. Com o objetivo de apresentar uma regra geral, na sequência, a
questão posterior pede que se mostre a propriedade numa linha qualquer, ou seja,
fixando n e variando k = 0, 2, 4, ...
Assim, há uma expectativa de que os alunos possam escrever algebricamente a
seguinte relação:
n
0 +
n
2 +
n
4 +
n
6+ ... +
n
n = 2n – 1,para n par; ou
n
0 +
n
2 +
n
4 +
n
6+ ... +
−
nn 1
= 2n – 1,para n ímpar.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 = 20
1 + 1 = 21
1 +3 = 4 = 22
1 + 6 + 1 = 8 = 23
5 + 10 + 1 = 16 = 24
2ª linha, n = 1
3ª linha, n = 2
4ª linha, n = 3
5ª linha, n = 4
6ª linha, n = 5
23
A propriedade em questão apresenta clara relação com as propriedades das
atividades (4) e (5). Explorando a capacidade do aluno em estabelecer recursividade,
como questão final da atividade, pede-se ao aluno que utilize as referidas propriedades
para justificar essa última. Esta questão exige muito mais dos alunos do que havia sido
até então, seja da capacidade de argumentação ou mesmo da manipulação algébrica. Há
na resolução dessa demonstração um trabalho de manipulação algébrica bastante
sofisticada. O que se espera é que os alunos, de alguma maneira, formulem o seguinte:
Da propriedade (4), sabe-se que:
n
0 –
n
1 +
n
2 –
n
3+ ... +
n
n = 0(para n par)
Da propriedade (5), sabe-se que:
n
0 +
n
1 +
n
2 +
n
3+ ... +
n
n = 2n
Assim, pode-se estabelecer a seguinte relação, ao somar as equações:
n
0 –
n
1 +
n
2 –
n
3+ ... +
n
n = 0
n
0 +
n
1 +
n
2 +
n
3+ ... +
n
n = 2n
2
n
0 + 2
n
2 + 2
n
4 +... + 2
n
n = 2n
⇒2
n
0 +
n
2 +
n
4 +... +
n
n = 2n⇒
n
0 +
n
2 +
n
4 +
n
6+ ... +
n
n = 2n – 1
+
24
Isso demonstra a propriedade para n par. Para n ímpar faz-se um cálculo similar,
substitui-se o último binômio da propriedade (4) por −
nn 1
e chega-se a conclusão que
n
0 +
n
2 +
n
4 +
n
6+ ... +
−
nn 1
= 2n – 1, para n ímpar.
A expectativa é a de que poucos alunos do grupo, o qual está envolvido na
pesquisa, formulem tal demonstração algébrica. Como o enunciado já antecipou a
relação dessa atual propriedade com as duas anteriores, espera-se também que a
explicação da relação entre as propriedades seja feita na forma de texto.
Apesar de não ter sido explorada, a atividade deixa em aberto a possibilidade de
ser analisada também a soma dos elementos n
k
de uma linha, para valores ímpares de k,
que também resulta em 2n – 1.
Descrição da atividade
Por exemplo, na oitava linha, onde n = 7, temos:
7
0
+ 7
2
+ 7
4
+ 7
6
= 27 – 1 = 26 = 64
Questão:
(1) Mostre essa propriedade na quinta linha (n = 4).
Se somarmos todos os binômios n
k
de uma linha (então com n fixo) e k variando
apenas com números pares, ou seja, k = 0, 2, 4, ...o resultado é sempre 2n–1.
25
(2) Mostre essa propriedade numa linha qualquer, ou seja, tomando n como n, e fazendo k = 0, 2, 4, ...
(3) Essa propriedade pode ser justificada a partir das observações obtidas nas atividades4 e 5. Tente justificar essa propriedade dando argumentos obtidos com as conclusões obtidas nas atividades citadas.
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26
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A próxima questão pede que seja explicitada a relação entre os binômios, a qual
afirma que a soma dos binômios da linha de cima é igual ao valor do binômio da linha
abaixo. Após essa questão, é destacado que a relação estabelecida pelo aluno é
conhecida como Relação de Stifel. A seguir, ao explorar a capacidade de verbalização
dos alunos, é pedido como atividade que a Relação de Stifel seja enunciada com
palavras, sem cálculos ou exemplos.
Na sequência das questões, uma vez que o aluno tenha a habilidade de
reconhecer o grupo de binômios e estabelecer a relação entre eles é, então, cobrado que
o aluno apresente a Relação de Stifel para o binômio 5
2
e seu consecutivo. Para fixação
do conceito, é pedido posteriormente que o mesmo seja feito para 8
4
e seu consecutivo.
Observando que ao calcular os valores dos binômios, pode-se facilmente
justificar a Relação de Stifel por meio dos cálculos nessas duas últimas questões, para
que se estabeleça uma regra geral. Após isso, a questão pede ao aluno que, na
sequência, faça o mesmo para o binômio 35
12
. Observa-se que ainda não há um processo
de generalização, pois ainda se utiliza de valores específicos para o binômio. Porém
como não há no caso desse binômio de 35
12
fazer os cálculos (pelo menos tão
facilmente), a fim de se constatar a referida relação, já há um processo de generalização
intuitivo por parte do aluno, a qual acredita ser verdadeira a propriedade, sem, no
entanto, fazer os cálculos. Dessa forma, na sequência da atividade, pede-se na última
questão que seja escrita a Relação de Stifel para n
k
e seu consecutivo, criando assim, a
regra geral.
28
Descrição da atividade
Observe o Triângulo de Pascal e os números binomiais destacados:
Na figura acima, em relação aos binômios destacados, observe que
2
0
+ 2
1
= 3
1
e ainda que
4
2
+ 4
3
= 5
3
29
Questão:
(1) Na quinta linha, qual o binômio consecutivo de 4
3
, ou seja, o que vem à direita
deste?
(2) Qual o binômio da sexta linha situado entre esses dois?
(3) Calculando os valores desses binômios, que a relação podemos estabelecer entre esses três binômios?
(4) Usando suas palavras, tente descrever na forma de texto, sem cálculos, a Relação de Stifel.
Essa relação é conhecida como “Relação de Stifel”.
30
(5) Mostre usando apenas os binômios, a Relação de Stifel para 5
2
e seu
consecutivo.
(6) Mostre usando apenas os binômios, a Relação de Stifel para 8
4
e seu
consecutivo.
(7) Mostre usando apenas os binômios, a Relação de Stifel para 35
12
e seu
consecutivo.
(8) Generalize a Relação de Stifel, ou seja, escreva-a para n
k
e seu consecutivo.
31
Situação-problema para a Relação de Stifel:
Objetivo da Situação-problema da Atividade 7
A Relação de Stifel traz uma aplicação muito utilizada nos problemas de
contagem que é explorada por meio dessa atividade. O problema compara todas as
comissões que podem ser formadas a partir de um grupo de pessoas com as comissões
formadas com e sem determinada pessoa. O objetivo da atividade é guiar o aluno à
descoberta que o princípio que caracteriza a situação é exatamente a Relação de Stifel.
Em um primeiro momento, nos exercícios 1 a 4, a situação é abordada com valores
específicos, ou seja, um caso particular de número de pessoas. Assim, a partir de um
grupo de oito pessoas, pergunta-se:
1) Quantas comissões podem ser formadas escolhendo quatro dentre essas pessoas?
Na sequência há o seguinte questionamento:
2) Suponha que uma das oito pessoas da turma seja Leonardo e que por alguma razão ele não possa entrar no grupo das quatro pessoas. Portanto, quantos grupos podem ser formados sem Leonardo?
Na próxima questão, tem-se:
3) Suponha agora o contrário, que Leonardo tenha que ser um dos quatro escolhidos. Dessa forma, quantos são os grupos em que Leonardo é sempre uma das pessoas escolhidas?
Ao finalizar a descoberta, a questão pede ao aluno para mostrar que os valores
satisfazem a Relação de Stifel. Para se estabelecer uma regra geral, explorar a
capacidade de argumentação do aluno e contribuir para fazê-lo compreender e utilizar
um argumento combinatório, segue-se o mesmo princípio das questões apresentadas
anteriormente, porém ao generalizar o raciocínio.
32
Dessa forma, foi elaborada a seguinte situação: considere um grupo de k + 1
pessoas que devem ser escolhidas dentre n + 1 pessoas. E assim, são feitas então as
mesmas perguntas:
1) quantas são as comissões possíveis de serem formadas?
2) quantas comissões excluem determinada pessoa?
3) quantas comissões incluem determinada pessoa?
E por meio dos resultados obtidos nessas três questões, pede-se ao aluno não
apenas que observe a Relação de Stifel, como crie um argumento combinatório que o
justifique.
Descrição da atividade
Considere uma turma de oito pessoas e todos os grupos de quatro pessoas dentre essas oito que podem ser formados.
Pergunta:
(1) Quantos são esses grupos?
(2) Suponha que uma das oito pessoas da turma seja Leonardo e que por alguma razão ele não possa entrar no grupo das quatro pessoas. Portanto, quantos grupos podem ser formados sem Leonardo?
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(3) Suponha agora o contrário, que Leonardo tenha que ser um dos quatro escolhidos. Dessa forma, quantos são os grupos em que Leonardo é sempre uma das pessoas escolhidas?
(4) Mostre que os valores obtidos satisfazem a Relação de Stifel.
Vamos generalizar esse raciocínio: considere um grupo de k+1 pessoas que devem ser escolhidas dentre n+1 pessoas. Logo, o número de grupos que podem ser formados é
n 1
k 1
+ +
. Suponha uma pessoa específica desse grupo e faça o seguinte:
(5) Escreva na forma binomial quantos são os grupos que não incluem essa pessoa.
(6) Escreva na forma binomial quantos são os grupos que incluem essa pessoa.
(7) Qual a relação entre os grupos obtidos em (5) e (6) e o total?
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(8) Tente através do raciocínio obtido em (5), (6) e (7) dar um argumento combinatório que justifique a Relação de Stifel.