matriz, determinante e sistemas lineares

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PROF: EDUARDO TRINDADE

EXERCÍCIOS

Matriz; Determinante; Sistemas Lineares.

Questão 01 – UEPA

A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas

(atletas) e colunas (dia), representa os registros dos

tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias.

Sendo i a ordem das linhas e j a ordem das colunas e

jiaij 1030 o elemento genérico desta tabela, com

i e j dados em minutos, o tempo de treinamento gasto

pelo atleta B no terceiro dia foi de: Dia3ºDia2ºDia1º

333231

232221

131211

C

B

A

aaa

aaa

aaa

a) 2 horas e 30 minutos

b) 2 horas e 10 minutos

c) 2 horas

d) 1 hora e 50 minutos

e) 1 hora e 30 minutos

Solução

O tempo de treinamento do atleta B no terceiro dia

(a23) é:

31023023a 306023a 9023 a min.

Ou seja, 1 hora e 30 min.

Questão 02 – UEL-PR

Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time

de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de

certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária para

uma alimentação sadia. A matriz D fornece a

quantidade diária mínima (em grama) daqueles

alimentos. A matriz M fornece a quantidade (em

grama) de proteínas, gorduras e carboidratos

fornecida por cada grama ingrida dos alimentos

citados.

cereais

leite

fruta

600

300

200

D

oscarboidrat

gorduras

proteínas

0,6310,0520,084

0,0180,0350,001

0,1080,0330,006

M

cereais leite fruta

A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em

grama) de proteínas, gorduras e carboidratos

fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:

a)

20,454

30,36

20,18

b)

20,460

20,16

70,29

c)

40,432

00,36

30,48

d)

60,405

30,48

90,51

e)

00,411

50,21

90,75

Solução

1333600

300

200

0,6310,0520,084

0,0180,0350,001

0,1080,0330,006

13336

3

2

100

63,15,28,4

1,83,50,1

10,83,30,6

100

1

6,3786,158,16

8,105,102,0

8,649,92,1

1,6362,534,82

8,165,331,02

8,1063,336,02

00,411

50,21

90,75

.

Questão 03 – UFRGS

A matriz C conforme, em reais, o custo das porções

de arroz, carne e salada usados num restaurante. A

matriz P fornece o número de porções de arroz, carne

e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2,

P3 desse restaurante.

salada

carne

arroz

2

3

1

C

3

2

1

salada carne arroz

P prato

P prato

P prato

022

121

112

P

A matriz que fornece o custo de produção, em reais,

dos pratos P1, P2, P3, está indicada na alternativa:

a)

8

9

7

b)

4

4

4

c)

4

11

9

d)

8

6

2

e)

4

2

2


Solução

O custo de produção é dado pelo produto entre as

matrizes C e P.

131333 XCP

1333

13

2

3

1

022

121

112

X

3

2

1

13

13

P custo

P custo

P custo

8

9

7

203212

213211

213112

X

.

Questão 04 – UESPI

Se o determinante da matriz

14

44

22

p

p

p

é igual a –

18, então o determinante da matriz

12

42

21

p

p

p

é

igual a:

a) –9 b) –6 c) 3

d) 6 e) 9

Solução

O valor de p da matriz é:

18

4

4

2

14

44

22

p

p

p

p

p

p

182168884 pppppp

182620 pp 186p 3p .

O determinante da matriz

123

423

213

é:

23

23

13

123

423

213

D

3241212126D 2718D

9D .


Em uma academia de fitness, o personal trainer,

preocupado com o rendimento de seus atletas,

resolveu comprar em um supermercado da cidade, x

unidades do energético tipo A por R$ 2,00 cada e y

unidades do energético tipo B a R$ 3,00 cada,

perfazendo um total de R$ 90,00, sendo que os gastos

com o energético B superam os gastos com o

energético A em R$ 30,00. O valor de yx é:

a) 40 b) 35 c) 30

d) 24 e) 18

Solução

Sejam

x: Enérgico A;

y: Enérgico B.

i) x unidades do enérgico A por R$ 2,00 + y unidades

do enérgico B por R$ 3,00 é igual a R$ 90,00, ou

seja:

9032 yx .

ii) os gastos com o energético B superam os gastos

com o energético A em R$ 30,00, ou seja:

3023 xy .

Usando o sistema de equações, temos:

3023

9032

xy

yx1206y 20y .

O valor de x é: 902032x 302x 15x .

Logo, yx 352015 .

Questão 06 – UFC

Uma matriz é dita singular quando seu determinante é

nulo. Então os valores de c que tornam singular a

matriz

31

91

111

c

c são:

a) 1 e 3 b) 0 e 9 c) –2 e 4

d) –3 e 5 e) –9 e –3

Solução

Como determinante da matriz é zero, temos:

0

1

91

11

31

91

111

cc

c 03927 2ccc

01522 cc .

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

acb 42 15)1(422 604

64 .

a

bc

2

)1(2

642c

2

82c

52

82

32

82

22

11

cc

cc

.


Questão 07 – UFPR

Para que o sistema

0156

0210

052

mzyx

zyx

zyx

admita

solução única, deve-se ter:

a) m ≠ 1 b) m ≠ 2 c) m ≠ –2

d) m ≠ 3 e) m ≠ –3

Solução

Para o sistema apresentar uma única solução o

determinante dos coeficientes deve ser diferente de

zero.

0

156

101

52

156

2101

152

0

m

D

056060156020 mm

04515m 4515m 3m .

Questão 08 – UPF-RS

A solução do sistema linear

02

1022

4

zyx

zyx

zyx

é a

terna (a, b, c). O valor de cba 22 é:

a) 6 b) 8 c) 10

d) 0 e) –4

Solução

Vamos escalonar o sistema acima usando a primeira

equação ( 4 zyx ) como fixa, temos:

i)

1022

)2)(4(

zyx

zyx

1022

8222

zyx

zyx

1843 zy .

ii)

02

)1)(4(

zyx

zyx

02

4

zyx

zyx

42 zy .

Utilizando as equações i e ii, temos:

)3)(42(

1843

zy

zy

1263

1843

zy

zy 3010z

3z .

• 42zy 432y 2y .

• 4zyx 432x 1x .

A terna do sistema é (1, –2, 3).

O valor de cba 22

é:

3)2(212 8341 .

Questão 09 – UFPA

Um cozinheiro decidiu preparar três tipos de

guloseimas doces: bolos, panquecas e biscoitos. Para

preparar 1 kg de massa de bolo, são necessárias três

xícaras de trigo, duas de açúcar e três ovos; para

preparar 1 kg de massa de panqueca são necessárias

três xícaras de trigo, uma de açúcar e dois ovos; e

para preparar 1 kg de biscoito, são utilizadas quatro

xícaras de trigo, duas de açúcar e dois ovos. Mas, em

sua dispensa, o cozinheiro dispõe apenas de 19

xícaras de trigo, 9 xícaras de açúcar e 14 ovos. Os

demais ingredientes das receitas não lhe põem

problemas, dado que ele os possui em quantidade

necessária.

Calcule as quantidades em quilogramas de massa de

bolo, massa de panqueca e massa de biscoito que

devem ser preparadas, de modo a utilizar todos os

ovos, toda a farinha de trigo e todo o açúcar de que

dispõe, sem desperdício e de acordo com as

proporções das receitas.

Solução

Há 3 tipos de guloseimas doces: bolos, panquecas e

biscoitos. Para preparar esses doces são necessários

os ingredientes (trigo, açúcar, ovos).

Para preparar os doces utilizam-se certas quantidades

de xícaras de cada ingrediente:

• Para preparar 1 kg de massa de bolo:

1 kg = 3 trigo + 2 açúcar + 3 ovos

1 kg = (3, 2, 3)

• Para preparar 1 kg de massa de panqueca:


1 kg = (3, 1, 2)

• Para preparar 1 kg de biscoito:


1 kg = (4, 2, 2)

O cozinheiro dispõe apenas de 19 xícaras de trigo, 9

xícaras de açúcar e 14 ovos, ou seja, (19, 9, 14).

Representando em um sistema linear matricial, temos:

14

9

19

223

212

433

z

y

x

ovos

açúcar

trigo

14223

922

19433

yyx

zyx

zyx

i)


)3()922(

)2)(19433(

zyx

zyx

27636

38866

zyx

zyx1123 zy

ii)

14223

)1)(19433(

zyx

zyx

14223

19433

zyx

zyx52 zy

Utilizando as equações i e ii, temos:

)3()52(

1123

zy

zy

1563

1123

zy

zy

44z 1z .

• 52zy 512y 3y .

• 922 zyx 91232x 42x

2x .

Logo, a quantidade de quilogramas de massa de bolo,

panqueca e biscoito será de 2, 3 e 1, respectivamente.


No mercado Ver-o-Peso, três vendedores combinaram

vender três espécies de peixe, cada uma delas pelo

mesmo preço e fazer uma competição para ver quem

vendia mais peixe pelo preço combinado, durante

uma hora. Sabendo-se que o vendedor A vendeu 7 kg

do peixe x, 5 kg do peixe y, 4 kg do peixe z e

arrecadou R$ 65,00; o vendedor B vendeu 8 kg do

peixe x, 7 kg do peixe y, 6 kg do peixe z e arrecadou

R$ 88,00; o vendedor C vendeu 5 kg do peixe x, 4 kg

do peixe y, 3 kg do peixe z e arrecadou R$ 49,00.

Quais os preços, por kg, dos peixes x, y e z,

respectivamente?

Solução

Vendedor A: 7x + 5y + 4z = 65.

Vendedor B: 8x + 7y + 6z = 88.

Vendedor C: 5x + 4y + 3z = 49.

49345

88678

65457

yyx

zyx

zyx

i)

)7)(88678(

)8)(65457(

zyx

zyx

616424956

520324056

zyx

zyx96109 zy .

ii)

)7)(49345(

)5)(65457(

zyx

zyx

343212835

325202535

zyx

zyx183 zy .

Utilizando as equações i e ii.

)9)(183(

)3)(96109(

zy

zy

162927

2883027

zy

zy

12621z 6z .

• 183 zy 1863y 123y 4y .

• 49345 yyx 4963445x

4918165x 49345x 155x

3x .

O preço dos peixes x, y e z são 3, 4 e 6

respectivamente.


Uma indústria cerâmica produz tijolo, telha e lajota

com produção diária de 90 mil peças. Sabe-se que o

número de telhas produzidas é igual à metade da

soma do número de tijolos com o de lajotas, que os

custos de produção do milheiro do tijolo, da telha e

lajota são respectivamente 100, 200 e 300 reais e que

o custo diário total da produção é de R$ 16.000,00.

Com base nesses dados, é correto afirmar que a

indústria produz por dia:

a) mais de 30 milheiros de tijolos e menos de 29

milheiros de lajotas.

b) menos de 29 milheiros de tijolos e menos de 29


c) mais de 50 milheiros de tijolos e menos de 30


d) 30 milheiros de tijolos e 30 milheiros de telhas.

e) 29 milheiros de tijolos e 39 milheiros de lajotas.

Solução

Considere x: tijolos; y: telhas; z: lajotas.

• Uma indústria cerâmica produz tijolo, telha e lajota

com produção diária de 90 mil peças.

x + y + z = 90

• O número de telhas produzidas é igual à metade da

soma do número de tijolos com o de lajotas.

2

zxy

• Os custos de produção do milheiro do tijolo, da

telha e lajota são respectivamente 100, 200 e 300

reais e que o custo diário total da produção é de R$

16.000,00.

100x + 200y + 300z = 16.000.

Formando o sistema linear, temos:


100)000.16300200100(

2

2)90(

zyx

zxy

zyx

16032

2

180222

zyx

zxy

zyx

1603

18022

zzxx

zzxx

16042

18033

zx

zx

802

60

zx

zx

802

60

zx

zx20z .

•

2

zxy

2

60y 30y .

• 60zx 6020x 40x .

Logo, a alternativa certa é a letra A.


Uma campanha foi deflagrada para angariar alimentos

não perecíveis com o objetivo de amenizar problemas

gerados em uma região assolada pelas secas. Os

alimentos doados foram: arroz; feijão e açúcar, todos

em sacos de 1 kg, totalizando 1.436 kg desses

alimentos. Sabe-se que a terça parte do número de

sacos de feijão, somados aos 11

2 do número de sacos

de açúcar, dá um total de 292 kg e que há 144 kg de

açúcar a mais que de feijão. Se x é a quantidade de

sacos de arroz; y a quantidade de sacos de feijão e z a

quantidade de sacos de açúcar, a representação

matricial do sistema formado, tomando por base esses

dados, é:

a)

144

9636

1436

.

110

6110

111

z

y

x

b)

144

1606

1436

.

110

6110

111

z

y

x

c)

144

1436

9636

.

110

6110

111

z

y

x

d)

144

1436

9636

.

110

6110

111

z

y

x

e)

144

1436

9636

.

110

6110

111

z

y

x

Solução

Sejam

x: nº de sacos de arroz com 1 kg.

y: nº de sacos de feijão com 1 kg.

z: nº de sacos de açúcar com 1 kg.

• arroz; feijão e açúcar, todos em sacos de 1 kg,

totalizando 1.436 kg:

1436 zyx .

• a terça parte do número de sacos de feijão, somados

aos 11

2 do número de sacos de açúcar, dá um total de

292 kg:

29211

2

3

1 zy .

• Há 144 kg de açúcar a mais que de feijão:

144 yz .

Dado sistema de equações abaixo:

144

29211

2

3

1

1436

yz

zy

zyx

1440

29211

2

3

10

1436

zyx

zyx

zyx

1440

96366110

1436

zyx

zyx

zyx

.

A forma matricial desse sistema é:

144

9636

1436

110

6110

111

z

y

x

.


As tabelas 1 e 2 representam respectivamente o

consumo anual de queijo por habitante e o preço

médio de queijo por ano:

Tabela 1

Consumo anual de queijo por habitante em kg

Mozzarela Gruyére Raclette Emmental

Habitante 2,2 2,0 1,6 1,0

Tabela 2

Preço Médio do queijo no ano de 2007 em reais

Mozzarela Gruyére Raclette Emmental

Habitante 16 32 36 32

Baseado nas tabelas 1 e 2, consideremos que um

habitante A consome ao ano os queijos do tipo:

mozzarela, gruyére e emmental e um habitante B


consome ao ano os queijos do tipo: gruyére, raclette e

emmental. Então afirma-se que:

a) o habitante A teve um gasto de R$ 121,20.

b) o habitante B teve um gasto menor que R$ 150,00.

c) a soma dos gastos médios dos habitantes A e B foi

de R$ 284,80.

d) o habitante A teve um gasto maior que o habitante

B.

e) a diferença entre os gastos médios dos dois

habitantes foi menor que R$ 20,00.

Solução

• O habitante A consome ao ano os queijos do tipo:

mozzarela, gruyére e emmental.

14

41

EG M

32

32

16

E

G

M

122,2 32642,35 2,131 .

• O habitante B consome ao ano os queijos do tipo:

gruyére, raclette e emmental.

14

41

E RG

32

32

16

E

R

G

16,12 326,5764 6,153 .

Portanto, a soma dos gastos médios é:

131,2 + 153,6 = 284,80.


A criptografia pode ser compreendida como a arte ou

ciência de escrever mensagens em códigos. Para

decodificar uma mensagem, utiliza-se a identidade

matricial BAX 1 em que as matrizes inversas

representam as chaves para essa decodificação.

Considerando que Henrique enviou uma mensagem

codificada para o seu amigo Norberto, com a seguinte

sequência: 1 11 21 –7 15 –15, cuja representação

matricial é dada por:

15711

15211B

Para decodificar a mensagem, Norberto utilizou a

seguinte matriz inversa:

11

01A 1

Em seguida, traduziu para a língua materna com base

na tabela abaixo, que relaciona os elementos da

matriz X com o alfabeto do Português brasileiro.

A B … J K L … V W X Y Z

1 2 … 10 11 12 … 22 23 24 25 26 Fonte: Coleção Explorando o ensino, volume 3. Brasília: Ministério da

Educação, Secretaria de Educação Básica, 2004.

Nessas condições, a mensagem decodificada por

Norberto, que obedece à sequência: 11x , 21x , 12x ,

22x , 13x , 23x , é:

a) PROSEL

b) ALAMAR

c) ALUNO

d) ALUADO

e) PRISE

Solução

Seja BAX 1 e as matrizes

15711

15211B

e

11

01A 1 , temos:

322215711

15211

11

01X

3201412

15211X

.

Considerando a tabela do alfabeto, temos:

A B C D E F G H I J K L M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W Z Y Z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

A sequência: A11 x , L21 x , U12 x , N22 x ,

O13 x , *23 x , é: ALUNO.

matriz, determinante e sistemas lineares

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