1

MATERIAL DIDÁTICO POLI MATEMÁTICA BÁSICA PROF. CLÁUDIO MACIEL Fatoração:

)(....).).((...

)).().((

)).(.(

)).((

)).((

)).((

).(

2101

1

32123

212

2233

2233

22

nnn

nn

n xxxxxxaaxaxa

xxxxxxadcxbxax

xxxxacbxax

babababa

babababa

bababa

cbaacab

−−−=+++

−−−=+++

−−=++

++−=−

+−+=+−+=−

+=+

−−

1º) Fatore e simplifique

812272

41252)

254

45)

4472

12124)

584

463)

132

243)

38

96)

2

33)

132

)12523116

)252352

)634

)

8

16)

4

8)

1

1)

2

4)

234

234

23

234

23

234

23

23

23

23

3

3

23

23

2

2

2

2

2

2

2

3

4

2

3

2

3

2

2

−−++−−−+

+++++−−

−++−−++

−+−−+−

+−+−−

−−−−

+−−−+

+−−

−−++

+−−+

−−+−

−−

−+

−−

−−

xxxx

xxxxq

xxx

xxxxp

xxx

xxxxo

xxx

xxxm

xx

xxxl

xx

xxj

xx

xxxi

x

xxh

xx

xxg

xx

xxf

xx

xxe

x

xd

x

xc

x

xb

xx

xa

Racionalização

2º) Racionalize e simplifique . (a + b) . (a – b ) = a 2 – b2

23

3333)

232

4)

23

23)

9

12)

1

103)

1

12)

11)

121)

123

)11

)3

21)

2

222

2

22

2

+−−+−+−

−−+−

+−−+

−+−

−−−

−+−+−−+

−−−−

−+−−−

−+

xx

xxxxl

xx

xj

xx

xi

x

xh

x

xg

x

xxf

x

xxe

x

xxd

x

xc

x

xb

x

xa

3º) Racionalize e simplifique . 3322

3322

)).((

)).((

babababa

babababa

−=++−+=+−+

2

2

3 23

33

228)

11)

132

1)

153

2)

xx

xxd

x

xc

x

xb

x

xa

−−+−−−

−++

−−−

4º) Simplifique .

4

8)

12

345)

321

232)

131

11)

22

312)

11

443)

102

104)

314

223)

333

3

3

3

−−

+−−+

++−−

−+−−

−−−+

−++−+

−−+−

−+−−

x

xh

x

xg

x

xf

x

xe

x

xd

x

xxc

x

xb

x

xa

RELAÇÕES BINÁRIAS 1º) Dados os conjuntos }82/{}61/{ ≤≤∈=≤≤∈= xNxBexNxA , escrever por extensão as seguintes relações binárias de A em B.

}7/),{()

}2/),{()

}2/),{()

}/),{()

=+∈=+=∈=

=∈==∈=

yxAxByxVd

xyAxByxTc

xyAxByxSb

yxAxByxRa

2º) Escreva por extensão as relações binárias para }6/{ ≤∈= xNxA

}2/),{()

}1)3(/),{()

}102/),{()

}8/),{()

2

22

2

2

xyAyxUd

xyAyxTc

yxAyxSb

yxAyxRa

=∈=

+−=∈==+∈=

=+∈=

FUNÇÃO. )),(|!,(: fyxByAxBAf ∈∈∃∈∀⇔→ Funções Elementares

I) Função Afim ( 1º Grau ) Este modelo, na sua expressão analítica da forma y = ax + b, representa a função linear ou linear afim, de R em R , onde a e b são constantes, com a ≠ 0.

0,

:

≠+=→→

abaxyx

RRf

O gráfico: é sempre uma reta O número real a, coeficiente de x, chama-se coeficiente angular ou declividade da reta.

3

O termo constante b chama-se coeficiente linear da reta; ele representa a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo dos y. Comportamento: Crescente / Decrescente . I ) A função afim f(x) = ax + b é crescente se, e somente se, o coeficiente angular a for positivo II ) I ) A função afim f(x) = ax + b é decrescente se, e somente se, o coeficiente angular a for negativo Sinal da função afim Seja f(x) = ax + b e x1 = - b/a ( zero da função) • c/a x 1 m/a m/a : mesmo sinal de a c/a : sinal contrário de a Exercícios: 1º) Verifique o crescimento / decréscimo das funções : a) f(x) = 3x – 2 b) f(x) = – 4x + 3 2º) Estude, segundo os valores do parâmetro m, a variação ( crescente, decrescente ou constante ) da função a) y = (m – 1) x + 2 b) y = ( 4 – m ) x + 3 c) y = 4 – (m+3) x d) y = m( x – 1) + 3 – x 3º) Seja a função de R em R definida por f(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio da função que produzem imagens maiores que 2. 4º) Esboce o gráfico e verifique que a função f(x) = 2x + 1 é crescente e que g(x) = – 2x + 1 é decrescente 5º) Esboce o gráfico das seguintes funções.

xyfxyexxgd

xxfcxybxya

23)6)23)()

42

)()43)12)

−=+=−=

+−=−−=−=

6º) Determine o ponto e interseção dos gráficos das funções: f(x) = – 3x + 2 e g(x) = x + 8. f(x) = 4x – 3 e g(x) = –x + 2

4

f(x) = 2x + 4 e g(x) = 5x – 3 f(x) = 2 + 3x e g(x) = 8x + 1 7º) Resolver as inequações.

24325

)14335

)

013

23)0

15

43)

0)83()0)71()

0)34()0)54()

0)15()0)53()

0)83()0)3()

0)35).(14).(23()0)34).(2).(25()

0)72).(16()0)35).(33()6

13

3

35

2

32)

2

1

3

2)

14

3

2

1))12(3)1(52)1(3)

32)1(2)3(5)3254)

063)032)

52

54

32

34

<+−−>

−−

≤+

−−≥+

−≥−≤−

≥+<−≤+≥+

<+>−

≥++−>+−+≥+−>−+

−<−−−≥−−+

≥−−−−−−≥−+

+≤+−+−>+<+−>+

x

xz

x

xy

x

xx

x

xv

xuxt

xsxr

xqxp

xoxn

xxxmxxxl

xxjxxi

xxx

hxxx

g

xxfxxxe

xxxdxxc

xbxa

Função Quadrática ( 2º Grau) O modelo, na sua expressão analítica, da forma y = ax2 + bx + c representa a função quadrática ou polinomial do segundo grau, de R em R , onde a, b e c são constantes, com a ≠ 0.

0

:2 ≠++=→

→acbxaxyx

RRf

O coeficiente a chama-se o coeficiente dominante do trinômio.

O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta a

bx

2

−= perpendicular

ao eixo x e que passa pelo vértice. Zeros da função y = ax 2 + bx + c

5

acba

bx 4,

22 −=∆∆±−=

Intercepto y = (o,c) Vértice ( x v, yv)

aye

a

bx vv 42

∆−=−=

Discriminante do trinômio do segundo grau: Número de zeros da função: 1º) A equação apresentará duas raízes reais distintas.

a

bxe

a

bx

22,0

21

∆−−=∆+−=>∆

2º) A equação apresentará duas raízes reais iguais. a

bxx

2,0

21

−===∆

3º) A equação não apresenta raízes reais.

R∉∆<∆ ,0 Máximos e Mínimos . Se a < 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite o valor máximo

a

bxpara

ay MM 24

−=∆−=

Se a > 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite o valor mínimo

a

bxpara

ay mm 24

−=∆−=

Estudo do sinal : x1 e x2 zeros da função

0>∆

• • n/a x 1 c/a x 2 m/a

0=∆

• c/a x 1 m/a

6

0<∆ m/a Exercícios: 1º) Esboce o gráfico da função quadrática, definida por: a) f(x) = x2 – 6x + 9 b) f(x) = x2 – 2x – 3 c) f(x) = – x2 + 2x – 4 d) y = x2 – 4x + 3 e) y = – x2 + 4x – 4 f) y = – x2 + x – 2º) Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = mx2 + (2m – 1)x + ( m – 2) tenha dois zeros reais e distintos. 3º) Dada a função f(x) = 2x2 + 7x – 15, para que valor de x a função atinge o máximo? 4º) Determine o valor de m na função real f(x) = ( m – 1) x2 + ( m + 1) x – m para que o valor mínimo seja 1. 5º) Resolver as inequações.

2273

542)1

107

163)

0273

299)0

232

54)

0362)022)

0)572).(672()0)32).(41()

0542)0144)

0333)03148)

073)0383)

09124)06)

096)023)

2

2

2

2

2

2

2

2

2323

2222

22

22

22

22

22

−<++++≥

−+−−+

≤++−+−>

−−−+

≤−+−>+−−

≤+−+−>+−<+−<+−

<−+−≤+−

>++≤+−−

≥−+−>++−

≥+−>+−

xx

xxs

xx

xxr

xx

xxq

xx

xxp

xxxoxxxn

xxxxmxxxl

xxjxxi

xxhxxg

xxfxxe

xxdxxc

xxbxxa

Funções afins e quadráticas. Esboce o gráfico das seguintes funções reais, definidas por: a) f(x) = x + 3 b) f(x) = 2x – 6 c) f(x) = – 3x + 2 d) f(x) = 4 – 2x e) f(x) = x2 – 2x + 3 f) f(x) = 3x2 – 3x + 2 g) f(x) = – x2 + x – 1 h) f(x) = x2 – 3x i) f(x) = –x2 + 4x – 4

7

j) f(x) = 4x2–10x + 4 l) f(x) = 3x2 – 9x + 6 m) f(x) = x2 – 4 n) f(x) = x – 5 o) f(x) = 4x + 7 p) f(x) = 3 – x Funções: Domínio.

∈∀

>=

∈∀≥

=

≠=

∗Rbímparén

bparén

b

ay

Rbímparén

bparénby

bb

ay

n

n

,

0,,)3

,

0,,)2

0,)1

Exercicios 1º) Determine o domínio das funções reais, definidas por:

65

1)()

34

52)()4

3

24)()

1)()

1

23)()

42

3)()

122

5)()

4

1)()

62

1)()

223

23

+−−=

+−+=++

−+−=

−=

−+−=

−+=

−−=

−=

−=

xx

xxfi

xx

xxfhx

x

xxxfg

xxxff

x

xxfe

x

xxfd

x

xxfc

xxfb

xxfa

3

54

3 23

32

5

2)()

4

3)()

9

1)()

5

2)()

7

53)()

4

62)()

7)()8)())4

)()

8

2)()

9

3)()

5

2)()

+=

−=

−−=

−=−=−=

−=+=−+=

−=

−−=

−=

x

xxfu

xxft

x

xxfs

xxfr

xxfq

xxfp

xxfoxxfnnxx

xxfm

x

xxfl

x

xxfk

xxfj

2º) Dadas as funções reais, encontre os seus domínios.

8

152

1)()4

3

24)()

34

)82)(3()()

1

23)()

6

5)()

122

5)()

4

1)()

1)()

2

23

2

22

2

22

−−+−=++

−+−=

++−+−=

−+−=

−++−=

−−=

−=

−=

xx

xxfhx

x

xxxfg

xx

xxxxff

x

xxxfe

xx

xxfd

x

xxfc

xxfb

xxxfa

Funções: Imagem

2º) Simplifique pxpx

pfxf ≠−−

,)()(

, sendo dados:

23)()31

)()

21

)()11

)()

1)()2)()

0)()1)()

22

33

22

−=−===

====

==−======

pexxxfhpex

xfg

pex

xffpex

xfe

pexxfdpexxfc

pexxfbpexxfa

3º) Simplifique 0,)()( ≠−+

hh

xfhxf, sendo f(x) definida por.

xxxxfhxxxfg

xxxffxxfexxxfd

xxfcxxfbxxfa

−+=+=+−=+−=+=

+−=−=+=

233

222

)()2)()

32)()5)()3)()

42)()83)()12)()

Função Composição 1º) Sejam as funções reais f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 – 1 e h(x) = 3x + 2. Obtenha:

a) fog b) hof c) gof d) (hog)of e) ho(gof) 2º) Sejam f e g funções reais tais que f(x) = ax + b e g(x) = cx + d. Determine a relação entre a,b,c e d de modo que fog = gof. 3º) Sejam f(x) = 2x + 7 e (fog)(x) = x2 – 2x + 3. Determine g(x). Função Inversa 1º) Dadas as funções f e g, determine a função inversa de gof.

9

4)(,:1)(,:

}2/{}1/{)

94)(,:3)(,:

}49

/{}23

/{)

}4/{:)(,:)

32)(,:)(,:)

53)(,:14)(,:)

2

2

2

3

+=→−=→

≥∈=≥∈=+=→−=→

−≥∈=≥∈=

≤∈→=→

+=→=→

−=→+=→

++

+

+++

xxgBRgexxfRAf

xRxBexRxAe

xxgRBgexxxfBAf

xRxBexRxAd

xRxRgexxfRRfc

xxgRRgexxfRRfb

xxgRRgexxfRRfa

2º) Obtenha a função inversa

34)(},1/{}2/{:)

22)(},1/{}1/{:)

32)(},2/{}1/{:)

22)(},1/{}1/{:)

1

32)(

3

3)(

}2{}1{:)}1{}3{:)

2

2

2

2

+−=−≥∈→≤∈

++=≥∈→−≥∈

+−=≥∈→≥∈

++=≥∈→−≤∈

++=

−+=

−→−−−→−

xxxfyRyRxff

xxxfyRyxRxfe

xxxfyRyxRxfd

xxxfyRyxRxfc

x

xxf

x

xxf

RRfbRRfa

FUNÇÃO EXPONENCIAL

10,

: *

≠<=→

→ +

aayx

RRfx

)(exp

...718281,2,

xyouey

eeaParax ==

==

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

10,log

: *

≠<=→

→+

axyx

RRf

a

xyouxy

eeaPara

e lnlog

...718281,2,

====

Exercícios: 1º) Esboce o gráfico da função: a) y = 6x b) y = 5 – x c) y = ex – 2 d) y = 3x – 2 e) y = – 5x f) y = 4x + 1 g) y = 3 – x – 1 h) y = – 2x +1

10

2º) Esboce o gráfico. a) y = ln x b) y = 2 + ln x c) y = – ln x d) y = ln ( x + 2) e) y = – ln ( x – 1) d) y = log2 x + 2 e) y = log1/3 x + 1 f) y = log (x -1) Propriedades do logaritmo

AnA

BABA

BABA

an

a

aaa

aaa

log.log

loglog)/(log

loglog).(log

=

−=+=

3º) Escreva a expressão E como o logaritmo de um único número. a) E = ln ( x – 2) – ln (x + 2) b) E = ln ( 2x + 1) + ln ( 2x -1) c) E = 3 ln x + 2 ln y – 4ln z d) E = 1/3 [ 2 ln ( x+ 3) + ln x – ln ( x2 -1) ] e) E = 2 [ ln x – ln ( x + 1) ] – 3 [ ln x – ln ( x – 1 ) ] 4º) Mostre analiticamente que as funções f(x) e g(x) são inversas uma da outra.

3ln)()()ln2

1)(12)()

)1(ln)(1)()ln)(2)()

3 xxgeexfdxxgexexfc

xxgexexfbxxgexexfax

==+=−=

+=−===

Limites: Propriedades:

,...6,5,4,3,2,)(lim)(lim)8

0)(,)(lim

)(lim

)(

)(lim)7)(lim)(lim)6

)(lim.)(lim))(.)((lim)5)(lim)(lim))()((lim)4

)(lim.)(lim)3lim)2lim)1

==

≠=

=

=+=+

===

→→

→

→

→→→

→→→→→→

→→→→

nxfxf

xgxg

xf

xg

xfxfxf

xgxfxgxfxgxfxgxf

xfcxfcaxcc

nax

n

ax

ax

ax

ax

n

ax

n

ax

axaxaxaxaxax

axaxaxax

Exercícios: 1º) Calcule os limites.

11

2

2

23

4

2

3

2

2

2

1

32

23

2

22

1

2

1

2

2

292

523lim)

12

32lim)

46

232lim)

45

432lim)

34

232lim)

23

12lim)

34

32lim))253(lim)

+−−−−

+−+

−++

−−+

+++−+

−+−

−−++−

→−→−−→

−→→−→→

xx

xxxh

x

xxg

x

xxf

x

xxe

xx

xxxd

x

xxc

x

xxbxxa

xxxx

xxxx

1

32lim)

1252

3116lim)

252

352lim)

6

34lim)

816

lim)48

lim)11

lim)24

lim)

2

02

2

22

2

12

2

1

3

4

02

3

32

3

22

2

1

+−−

−−++

+−−+

−−+−

−−

−+

−−

−−

→−→−→→

→−→→→

x

xxq

xx

xxp

xx

xxo

xx

xxn

x

xm

x

xl

x

xj

xx

xi

xxxx

xxxx

2

3 2

0

3

13331 3

228lim)

11lim)

162

1lim)

153

2lim)

x

xxu

x

xt

x

xs

x

xr

xxxx −−+−−−

−−+

−+−

→→→→

2º) Calcule os limites.

812272

41252lim)

254

45lim)

4472

12124lim)

584

463lim)

132

243lim)

38

96lim)

2

33lim)

1

32lim)

1252

3116lim)

252

352lim)

6

34lim)

8

16lim)

4

8lim)

1

1lim)

2

4lim)

234

234

1

23

234

323

234

1

23

23

023

23

23

3

2

23

23

3

2

42

2

3

2

2

22

2

13

4

0

2

3

42

3

22

2

3

−−++−−−+

+++++−−

−++−−++

−+−−+−

+−+−−

−−−−

+−−−+

+−−

−−++

+−−+

−−+−

−−

−+

−−

−−

→

→−→

→−→→

−→−→−→

→−→→

−→→→

xxxx

xxxxq

xxx

xxxxp

xxx

xxxxo

xxx

xxxm

xx

xxxl

xx

xxj

xx

xxxi

x

xxh

xx

xxg

xx

xxf

xx

xxe

x

xd

x

xc

x

xb

xx

xa

x

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

3º) Calcule os limites.

12

23

3333lim)

232

4lim)

23

23lim)

9

12lim)

1

103lim)

1

12lim)

11lim)

121lim)

123

lim)11

lim)3

21lim)

2

22

1

2

221

232110

2

0103

+−−+−+−

−−+−

+−−+

−+−

−−−

−+−−−+

−−−−

−+−−−

−+

→→→

→→→→

→→→→

xx

xxxxl

xx

xj

xx

xi

x

xh

x

xg

x

xxf

x

xxe

x

xxd

x

xc

x

xb

x

xa

xxx

xxxx

xxxx

4º) Calcule os limites.

2

3 2

0

3

03132

228lim)

11lim)

132

1lim)

153

2lim)

xx

xxd

x

xc

x

xb

x

xa

xxxx −−+−−−

−++

−−−

→→−→→

5º) Calcule os limites.

4

8lim)

12

345lim)

321

232lim)

131

11lim)

22

312lim)

11

443lim)

102

104lim)

314

223lim)

364313

3

23

3

0

4062

−−

+−−+

++−−

−+−−

−−−+

−++−+

−−+−

−+−−

→→−→→

→→→→

x

xh

x

xg

x

xf

x

xe

x

xd

x

xxc

x

xb

x

xa

xxxx

xxxx

6º) Calcule os limites:

x

xxxxxxf

x

xxxxxxe

x

xxxd

x

xxxc

x

xb

x

xxxa

xx

xxxx

∆+−−+∆+−∆+

∆−−∆+−∆+

∆−∆+

∆−∆+

∆−∆+

∆−∆+

→∆→∆

→∆→∆→∆→∆

)12(1)(2)(lim)

)5()(5)(lim)

lim))(

lim)1)1(

lim)2)(2

lim)

22

0

22

0

0

33

0

3

00

1

PROF. CLÁUDIO MACIEL

1- Funções Trigonométricas.

ZkkxxecxfexgxfIII

ZkkxxxfextgxfII

RxxxfexsenxfI

∈≠∀==

∈+≠∀==

∈∀==

,,cos)(cot)()

,2

,sec)()()

,cos)()()

π

ππ

Exercícios:

1º) Esboce os gráficos das funções trigonométricas no intervalo [ ]π2,0 .

2- Relações Fundamentais

xecxgxxtg

xsenxec

xx

xsen

xxg

x

xsenxtgxxsen

2222

22

cos1cot)7sec1)6

1cos)5

cos

1sec)4

coscot)3

cos)21cos)1

=+=+

==

===+

Exercicios.

1) Calcule sen x e tg x , sabendo que x é um ângulo agudo e que o cos x = 1/3.

2) Mostre que 11

.coscos

1.

1 =

+

−

− xtg

xtgx

xxsen

xsen

3) Simplifique a expressão xsenxxsenxxsenE 24466 coscos +−−+=

4) Sendo msen =− αα cos e α o ângulo agudo, determine o produto αα cos.sen

3- Mudança de Sinal do Arco

2

xecxec

xgxg

xtgxtgxx

xsenxsenxx

xfxfxfxf

ÍmparesFunçõesParesFunções

cos)(cos

cot)(cot

)(sec)sec(

)(cos)(cos

)()()()(

−=−−=−

−=−=−−=−=−

−=−=−

Exercicios.

1) Calcule

( ) )2()2sec)6

cot)4

cos)

4)

3cos)

2))(cos)

ππππ

ππππ

−−

−

−

−

−

−−

senhgfece

tgdcsenba

4- Transformações.

tgbtga

tgbtgabatg

tgbtga

tgbtgabatg

senbsenababa

senbsenababa

asenbbsenabasen

asenbbsenabasen

xsenx

xxsen

.1)()8

.1)()7

.cos.cos)cos()6

.cos.cos)cos()5

cos.cos.)()4

cos.cos.)()3

1cos)2

cos1)122

22

+−

=−

−+

=+

+=−−=+−=−+=+

−=

−=

Exercicios

Mostre que :

xtg

tgxxtgxsenxxxsenxxsen

2

22

1

2)2()3cos)2(cos)2cos.2)2()1

−=−==

xxxxsenxsenxsen

xx

xxsen

xsenxxx

cos3cos4)3(cos)943)3()8

2

2cos1cos)7

2

2cos1)6

21)2cos()51cos2)2(cos)4

33

22

22

−=−=

+=

−=

−=−=

3

5- Fórmulas de Werner

senbsenababa

bababa

asenbbasenbasen

bsenabasenbasen

.2)cos()cos()4

cos.cos2)cos()cos()3

cos.2)()()2

cos.2)()()1

−=−−+=−++=−−+=−++

5.1- Fórmulas de Reversão

I) Transformação de produto em soma a partir das Fórmulas de Werner

[ ]

[ ]

[ ])cos()cos(2

1cos.cos)

)cos()cos(2

1.)

)()(2

1cos.)

bababac

bababsensenab

basenbasenbasena

++−=

+−−=

++−=

II) Transformação de soma em produto

Nas Fórmulas de Werner considere a + b = p e a – b = q e somando estas

duas igualdades temos 22

qpbe

qpa

−=+= .

2.

22coscos)

2cos.

2cos2coscos)

2cos.

22)

2cos.

22)

qpsen

qpsenqpd

qpqpqpc

qpqpsenqsenpsenb

qpqpsenqsenpsena

−+−=−

−+=+

+−=−

−+=+

Exercicios:

1) Transforme em soma

xxfxxye

xsenxsenydxsenxsenyc

xxsenybxxsenya

5cos.4cos)2cos.6cos)

.6)5.2)

5cos.)4cos.3)

=====

4

2) Transforme em produto.

xsenxsenxxyfxxsenye

xxsenydxsenxsenyc

xsenxsenybxxya

39cos5cos)cos3)

cos)26)

35)3cos5cos)

+++=−=+=+=−=+=

Funções Trigonométricas Inversas

1. Função inversa do seno , do cosseno e da tangente

221 ππ ≤≤−=⇔== − yexysenxarcsenyouxseny

π≤≤=⇔== − yexyxyouxy 0cosarccoscos 1

221 ππ ≤≤−=⇔== − yexytgxarctgyouxtgy

2. Função inversa da cossecante, da secante e da cotangente

( )

( )π

πππ

πππ

<<=⇔=

∪

∈=⇔≥=

∪

∈=⇔≥=

−

−

−

yexygxgy

yexyxxy

yexyxxy

0cotcot

2

3,

2,0sec1sec

2

3,

2,0seccos1seccos

1

1

1

Exercicios

1 )Esboce o gráfico das funções trigonométricas inversas abaixo e calcule seu valor para os respectivos valores de x dados.

a) y = arcsen (x) ; x = sen π /4

b) y = arcsen(x), x =sen(α ) para 22

παπ ≤≤−

5

c) y = arcsen (x); x = 4

3πsen

d) y = arcsen(x), x = sen(α ) para 2

3

2

παπ ≤<

e) y = arcsen(x); x =4

7πsen

f) y = arcsen(x), x =sen(α ) para 2

5

2

3 παπ ≤<

g) y = arccos(x); x =4

7cos

π

h) y = arccos(x), x =cos(α ) para παπ 2≤<

i) y = arctg(x), x = 4

3πtg

j) y = arctg(x), x = tg(α ) para 2

3

2

παπ <<

k) y = arctg(x), x = tg (α ) para 2

5

2

3 παπ <<

l) y = sen(x) ; x = arccos(π/4)

m) y = tg(x); x =arcos(π/6)

2) Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e, em cada caso, a sua inversa.

a) f(x) = arcsen(5x)

b) g(x) = arctg(3x)

c) h(x) = 3arccos(2x-1)

3) Calcule as derivadas das funções abaixo:

a) f (x) = arcsen( 5 x + 32x )

6

b) g(x) = arctg(ln x )

c) h(x) = arccos( ax xa + )

d) p(x) = 5)]([ xarctag

e) i(x) = ln(arccos x )

f) q(x)= ))(arccos(log7 x