aula 2 - produtos notáveis e fatoração
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Efetuar uma multiplicação é obter o produto ExistemEfetuar uma multiplicação é obter o produto ExistemEfetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem Efetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem alguns produtos muito usuais. É recomendado então alguns produtos muito usuais. É recomendado então
sabêsabê los “de cor”los “de cor”sabêsabê--los de cor .los de cor .
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QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA• QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:
(a + b)(a + b)22 == aa22 + 2ab + b+ 2ab + b22(a + b)(a + b) == aa + 2ab + b+ 2ab + b
(a(a –– b)b)22 == aa22 –– 2ab + b2ab + b22(a (a b)b) aa 2ab + b2ab + b•SOMA PELA DIFERENÇA:
(a + b) . (a (a + b) . (a –– b) =b) = aa22 –– bb22
• CUBO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:
(a + b)(a + b)33 == aa33 + 3a+ 3a22b + 3abb + 3ab22 + b+ b33(a + b)(a + b)33 == aa33 + 3a+ 3a22b + 3abb + 3ab22 + b+ b33
(a(a –– b)b)33 == aa33 –– 3a3a22b + 3abb + 3ab22 + b+ b33(a (a –– b)b)33 == aa33 –– 3a3a22b + 3abb + 3ab22 + b+ b33
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Fatorar é transformar uma expressão algébrica em umaFatorar é transformar uma expressão algébrica em umaFatorar é transformar uma expressão algébrica em uma Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de fatores. Fatoração é o processo multiplicação de fatores. Fatoração é o processo
inverso dos produtos notáveis.inverso dos produtos notáveis.inverso dos produtos notáveis.inverso dos produtos notáveis.
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Veja os retângulos e suas respectivas áreas:
O li ô i á d â l l é A•O polinômio que representa a área do retângulo amarelo é : A1 = ax.•O polinômio que representa a área do retângulo azul é : A2 = ay.O li ô i t á d tâ l lh é A•O polinômio que representa a área do retângulo vermelho é : A3 = az.
Qual polinômio representa a área total?
AATT = = ax + ay + az ax + ay + az = = aa ((x + y + zx + y + z))
Ao escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produtoAo escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produto a (x + y + z), estamos efetuando uma fatoração.
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Estudaremos a partir de agora cinco casos de fatoração muito importantes para o desenvolvimento do cálculo
algébrico.
•Fator comum em evidência;Fator comum em evidência;
•Fatoração por agrupamento;ç p g p ;
•Diferença de dois quadrados;
•Trinômio do Quadrado Perfeito;
•Soma ou diferença de dois cubos.
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Como já foi dito fatorar significa transformar uma soma em produto de dois ou mais termos.
Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentam um fator comum, podemos colocá-lo em evidência.
Por exemplo:
N ã b + f d i•Na expressão ab + ac, o fator a aparece nos dois termos, este é o fator comum.
A forma fatorada é o produto do fator comum por uma expressão que é obtida dividindo-se a expressão inicial pelo
fator comumfator comum.
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É ÊÉ UMA RECORRÊNCIA DO FATOR
COMUM EM EVIDÊNCIA.
Exemplos:Exemplos:
•x2 – ay +xy – ax = x2 – ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a) = (x – a)(x + y)
+ b +2 + 2b ( + b) + 2( + b) ( + b)( + 2)•ax + by +2a + 2b = x(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(x + 2)
•y3 – 5y2 + y – 5 = y2(y – 5) +1(y – 5) = (y – 5)(y2 + 1)
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Neste processo verificamos que:Neste processo verificamos que:
aa2 2 –– bb2 2 = (a + b).(a = (a + b).(a –– b)b)
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aa22 + 2ab + b+ 2ab + b2 2 == (a + b)(a + b)2 2
aa22 –– 2ab + b2ab + b2 2 == (a (a –– b)b)2 2
P h t i ô i é d d f itPara reconhecer se um trinômio é um quadrado perfeito, proceda da seguinte forma:
• Verifique se a expressão tem dois termos que são quadrados perfeitos (a2 e b2);
• Determine as raízes desses quadrados (a e b);
• Verifique se o 3.º termo é o dobro do produto dessas raízes (+2ab ou –2ab).
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aa33 + b+ b3 3 == (a + b) (a(a + b) (a2 2 –– ab + bab + b22))
aa33 –– bb3 3 == (a (a –– b) (ab) (a2 2 + ab + b+ ab + b22))(( ) () ( ))
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FIMFIM!FIMFIM!