Profa. Lena Bizelli

LIMITES

O limite de uma função y f x , é o número real para o qual a função (os valores de y) está tendendo,

quando x se aproxima de um valor a, por exemplo. Ou seja, para dizer que um limite existe, ele deve ser igual a um número real.

Observe que como x está sobre a reta dos Reais, x pode aproximar-se de a pela direita (por valores maiores que a) ou pela esquerda (por valores menores que a). Assim, dizemos que o limite de uma função existe se, e somente se, existirem os limites laterais e eles forem iguais.

lim lim limx a x a x a

f x f x f x

Para determinar o limite limx a

f x

, o primeiro passo é substituir x = a na função e observar o resultado:

1) Se o resultado der um número real, o problema está resolvido.

2) Se o resultado der uma indeterminação 0 cte 0, ,etc.0 0

você deve tentar manipular a função

algebricamente para obter uma forma em que, substituindo o valor de x = a, obtenha como resultado um número real.

3) Se não for possível manipular a função algebricamente, para eliminar a indeterminação, isso significa que o limite não existe, ou seja,

ouf x f x

Se depois de substituir o valor de x = a, para o cálculo do limite

limx a

f xg x

, encontrar como resultado

cte 0 ,0 então

limx a

f xg x

dependendo do sinal da função que zerou, ou seja, da função que está no

denominador. Nesse caso, você deve estudar o sinal de g x e utilizar a regra de sinais no quociente, para determinar se o limite é igual a +∞ ou -∞.

Agora, para determinar o limite

limx

f xg x

, onde ef x g x são polinômios, o procedimento é dividir o

numerador e o denominador pelo termo de maior expoente, simplificar e calcular o limite da função obtida depois da simplificação.

Se uma função tem um limite, ele geralmente pode se encontrado. Contudo, existem funções para as quais é bastante complicado determinar o valor do limite. Nesse caso, se você dispuser de um programa gráfico (Graphmatica, por exemplo), esboce o gráfico da função e verifique, a partir dele, se a função tem um limite ou não.

Agora tente resolver os exercícios dados a seguir, para verificar se você compreendeu as idéias apresentadas até aqui.

 

Profa. Lena Bizelli

Exercícios

Determine o valor do limite e, no caso dele não existir, verifique se a função tende para +∞ ou para -∞.

1) 2

2

5lim3x

xx

2) 3

5lim6 2x

xx

3) 0

lim 3x

x x

4) 2

3

6 9lim3x

x xx

5) 24

2 8lim12x

xx x

6)

2

25

3 10lim10 25x

x xx x

7) 1

1lim1x

xx

8) Sabendo que 1, 3,

3 7, 3x x

f xx x

encontre o valor dos limites:

(a) 3

limx

f x

(b)

3

limx

f x

(c) 3

limx

f x

9) 3 5lim6 8x

xx

10) 2

34lim2 5x

x xx

11) 3 25 2 1lim1 3x

x xx

Algumas Respostas

1) 15

2) -∞ 3) Não existe 4) 0 5) 27

6) f x quando 5x e f x quando 5x

7) 2 8) (a) 2 (b) 2 (c) 2 9) 12

10) 0

11) -∞ (Neste caso, esboce o gráfico da função para obter o resultado)