material complementar de calculo 1

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FUNÇÕES Um pouco de História A origem da noção de função: Desde o tempo dos Gregos até à Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano. Vai ser a partir desta época que uma nova teoria, o Cálculo Infinitesimal, vai surgir e que se acaba por revelar capital no desenvolvimento da Matemática contemporânea. A noção de função vai ser um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal. Portanto a noção de função não é muito antiga. No entanto, aspectos muito simples deste conceito podem ser encontrados em épocas anteriores (por exemplo, na mais elementar operação de contagem). Mas o seu surgimento como conceito claramente individualizado e como objeto de estudo corrente em Matemática remonta apenas aos finais do Século XVII. A origem da noção de função confunde-se assim com os primórdios do Cálculo Infinitesimal. Ela surgia de forma um tanto confusa nos "fluentes" e "fluxões" de Newton (1642 - 1727) . Newton aproxima-se bastante do sentido atual de função com a utilização dos termos "relatia quantias" para designar variável dependente, e "genita" para designar uma quantidade obtida a partir de outras por intermédio das quatro operações aritméticas fundamentais. Newton (1642-1727) O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que a introdução do método analítico na definição de função (séc., XVI, séc. XVII) veio revolucionar a Matemática.

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Um pouco da história das funções e exercícos

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  • FUNES

    Um pouco de Histria

    A origem da noo de funo:

    Desde o tempo dos Gregos at Idade Moderna a teoria dominante

    era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o

    ponto, a reta e o plano.

    Vai ser a partir desta poca que uma nova teoria, o Clculo Infinitesimal, vai

    surgir e que se acaba por revelar capital no desenvolvimento da Matemtica

    contempornea. A noo de funo vai ser um dos fundamentos do Clculo

    Infinitesimal.

    Portanto a noo de funo no muito antiga. No entanto, aspectos muito simples

    deste conceito podem ser encontrados em pocas anteriores (por exemplo, na mais

    elementar operao de contagem). Mas o seu surgimento como conceito claramente

    individualizado e como objeto de estudo corrente em Matemtica remonta apenas

    aos finais do Sculo XVII.

    A origem da noo de funo confunde-se assim com os

    primrdios do Clculo Infinitesimal. Ela surgia de forma um

    tanto confusa nos "fluentes" e "fluxes" de Newton (1642 -

    1727). Newton aproxima-se bastante do sentido atual de funo

    com a utilizao dos termos "relatia quantias" para designar

    varivel dependente, e "genita" para designar uma quantidade

    obtida a partir de outras por intermdio das quatro operaes

    aritmticas fundamentais.

    Newton (1642-1727)

    O conceito de funo um dos mais importantes da Matemtica. Este conceito

    sofreu uma grande evoluo ao longo dos sculos, sendo que a introduo do

    mtodo analtico na definio de funo (sc., XVI, sc. XVII) veio revolucionar a

    Matemtica.

  • Foi Leibniz (1646 - 1716) quem primeiro usou o termo "funo"

    em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu

    de fuctionibus". Leibniz usou o termo apenas para designar, em

    termos muitos gerais, a dependncia de uma curva de quantidades

    geomtricas como as sub tangentes e sub normais. Introduziu

    igualmente a terminologia de "constante", "varivel" e parmetro".

    Leibniz (1646-1716)

    Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algbricos, tornou-se

    indispensvel um termo que representasse quantidades dependentes de alguma

    varivel por meio de uma expresso analtica. Com esse propsito, a palavra

    "funo" foi adaptada na correspondncia trocada entre 1694 e 1698 por Leibniz e

    Johann Bernoulli (1667 - 1748).

    O termo "funo" no aparecia ainda num lxico matemtico surgido em 1716.

    Mas, dois anos mais tarde Johann Bernoulli publicou um artigo, que viria a ter

    grande divulgao, contendo a sua definio de funo de uma certa varivel como

    uma quantidade que composta de qualquer forma dessa varivel e constante.

    Um retoque final nesta definio viria a ser dado em 1748 por

    Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - substituindo

    o termo "quantidade" por "expresso analtica". Foi tambm Euler

    quem introduziu a notao f(x).

    Euler (1707-1783)

  • A noo de funo era assim identificada na prtica com a de

    expresso analtica, situao que haveria de vigorar pelos Sculos XVIII e XIX,

    apesar de cedo se perceber que conduzia a diversas incoerncias e limitaes (de

    fato, uma mesma funo pode ser representada por diversas expresses analticas

    diferentes).

    Esta noo, associada s noes de continuidade e de desenvolvimento em

    srie, conheceu sucessivas ampliaes e clarificaes, que lhe alteraram

    profundamente a sua natureza e significado.

    Como conseqncia da evoluo do estudo das funes surgem numerosas

    aplicaes da Matemtica a outras cincias. Pois, os cientistas partindo de

    observaes procuravam uma frmula (uma funo) para explicar os sucessivos

    resultados obtidos. A funo era, ento, o modelo matemtico que explicava a

    relao entre as variveis.

    Assim o conceito de funo que hoje nos parece simples resultado de uma

    evoluo histrica conduzindo sempre cada vez mais a abstrao, e que s no

    sculo XIX teve o seu final.

    Na atualidade as funes estudadas na Anlise Infinitesimal, e usadas nas

    aplicaes, retm no fundamental a idia de dependncia entre variveis.

    A noo de funo de importncia central na concepo e no estudo de

    modelos (dinmicos, probabilsticos, de distribuio espacial,...), qualquer que seja a

    sua natureza, continuando por isso a ser uma noo-chave na Matemtica atual.

    1. Noo intuitiva de funo Seja um quadrado cujo lado mede .

  • Indicando por p a medida do permetro depende da medida do lado do quadrado,

    podemos estabelecer entre p e a seguinte relao expressa pela frmula

    matemtica:

    Notamos, ento, que a medida p do permetro depende da medida do lado do

    quadrado, o que pode ser verificado pela tabela seguinte:

    MEDIDA DO LADO ( ) MEDIDA DO PERMETRO (p)

    0,5

    1

    1,2

    2

    3

    4,5

    2

    4

    4,8

    8

    12

    18

    Pela tabela, observamos que:

    A medida do lado do quadrado uma grandeza varivel;

    A medida p do permetro do quadrado uma grandeza varivel;

    A todos os valores de esto associados valores de p;

    A cada valor de est associado um nico valor de p.

    Dizemos, ento:

  • a) A medida p do permetro de um quadrado dada em funo da medida

    do lado.

    b) A relao p = 4. chama-se lei de associao ou frmula matemtica

    desta funo.

    c)

    2. Modelos matemticos

    Um modelo matemtico uma descrio matemtica, podendo ser gerado por meio

    de uma funo ou equao, de um fenmeno do mundo real, por exemplo, o

    tamanho de uma populao, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto

    caindo, a concentrao de um produto em uma reao qumica, a expectativa de

    vida de uma pessoa ao nascer ou o custo de reduo de poluentes. O objetivo do

    modelo entender e fazer predies sobre um comportamento futuro.

    Nas mais diversas reas as funes so usadas para a compreenso de fenmenos

    e resoluo de problemas. Formalmente podemos dizer que estamos modelando o

    mundo ao nosso redor. claro que essa afirmao no completamente

    verdadeira, pois o mundo ao redor altamente complexo e ao trabalharmos com um

    modelo fazemos simplificaes para reduzir essa complexidade. Em geral, os

    modelos so avaliados para que sejam efetivamente aplicveis como ferramentas

  • para entender e analisar diferentes fenmenos. O modelo a seguir didtico e,

    portanto, no foi necessariamente avaliado.

    Exemplo: O preo de uma corrida de txi, em geral, constitudo de uma parte fixa,

    chamada bandeirada, e de uma parte varivel, que depende do numero de

    quilmetros rodados. Em uma cidade X a bandeirada R$ 10,00 e o preo do

    quilmetro rodado 0,50.

    Modelagem Matemtica:

    P= preo da corrida

    a= preo do quilmetro rodado

    b= bandeirada

    x= nmero de quilmetros rodados

    Modelo: P(x) =ax+b

    Como o preo da corrida a bandeirada mais o preo do quilmetro rodado multiplicado pelo

    nmero de quilmetro rodado, a funo que determina o preo da corrida dada por:

    P(x) =ax+b

    A funo P(x) = ax+b, que veremos mais tarde chamada funo do 1 grau.Logo o nosso

    modelo Matemtico para a situao : P(x) = ax+b. Suponha que algum pegue o txi do

    centro da cidade e v para sua casa situada a 8 km de distncia. Qual ser o preo da corrida?

    De acordo com o modelo que descrevemos:

    Fazendo a= 0,50 e b= 10,00, no modelo descrito acima temos:

    P(x)= 0,5 x + 10,00

    P(8)= 0,5 x 8 +10,00 = 14,00.

    Portanto a pessoa pagar 14,00 reais. Neste caso dizemos que a funo linear

    baxxP )( um modelo linear.

    Existem vrios tipos diferentes de funes que podem ser usadas para modelar

    relaes observadas no mundo real. A seguir discutiremos a definio de funo e

    as diversas maneiras de descrever este conceito e suas propriedades e

    caracterizaremos o comportamento e os grficos de algumas funes elementares,

    bem como suas propriedades inerentes e daremos exemplos de situaes

    modeladas apropriadamente por tais funes .

    3. O conceito de funo atravs de conjuntos

  • Como, em geral, trabalhamos com funes numricas, o domnio e a imagem so

    conjuntos numricos, e podemos definir com mais rigor o que uma funo

    matemtica utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos.

    3.1 Produto cartesiano

    Dados dois conjuntos no vazios A e B, denomina-se produto cartesiano (indica-se A

    x B) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro

    elemento pertence a A e o segundo pertence a B.

    A x B = {(x,y) | xA e yB}

    3.2 Relao

    Dados dois conjuntos A e B, d-se o nome da relao R de A em B a qualquer

    subconjunto de A x B.

    R relao de A em B R A x B

    Exemplo:

    Sejam os conjuntos A = {0,1,2,3}, B = {0,2,4,6,8,10} e a relao R de A em B, tal que

    y = 2x, x A e yB. Escrever os elementos dessa relao R.

    Como xA: x = 0 y = 2 . 0 = 0 par (0,0)

    x = 1 y = 2 . 1 = 2 par (1,2)

    x = 2 y = 2 . 2 = 4 par (2,4)

    x = 3 y = 2 . 3 = 6 par (3,6)

    Ento, R = {(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.

    Podemos ainda representar essa relao por meio de um diagrama ou de um

    sistema cartesiano ortogonal.

    Diagrama Sistema Cartesiano

    A B

  • Podemos observar que, numa relao R de A em B, o conjunto R formado pelos

    pares (x,y) em que o elemento xA associado ao elemento y B mediante uma lei

    de associao (no caso, y = 2x).

    4. Definio de funo

    Sejam A e B dois conjuntos no vazios e f uma relao de A em B. essa relao f

    uma funo de A em B quando a cada elemento x do conjunto A est associado um

    e apenas um elemento y do conjunto B.

    Indica-se:

    f: AB (l-se: funo f de A em B)

    x y (l-se: a cada valor de xA associa-se um s valor yB)

    Em que:

    A recebe o nome de domnio da funo: D (f);

    B recebe o nome de contradomnio da funo: C (f);

    x o elemento de D (f) e chamado de varivel independente ou argumento,

    e y a imagem em C (f) de x, segundo lei f, e indica-se y = f (x).

    3.1 Conjunto imagem de uma funo

    O conjunto imagem de uma funo , pois, um subconjunto de B, formado pelos

    elementos que so imagem de ao menos um elemento de A. Representa-se:

    Im (f) = {yB| x A, f (x) = y}

    Exemplo:

    Sejam os conjuntos:

    A = nmeros naturais de 0 a 5;

    B = nmeros naturais

    lei: a cada elemento de A corresponde o seu triplo em B.

    Diagrama:

  • Cada elemento de A tem sempre um nico correspondente em B. Os conjuntos

    so:

    Domnio: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5

    Contradomnio: B = I

    Imagem: Im(A) = 0, 3, 6, 9, 12, 15

    A lei pode ser escrita como: f: AB

    ab = 3a

    FUNES: SOBREJETORA, INJETORA E BIJETORA

    Funo Sobrejetora

    Definio: Uma funo f de A em B sobrejetora se, e somente se, para todo y

    pertencente a A tal que f(x) = y.

    Em smbolos:

    f: AB, f sobrejetora y, y B, x A/ f(x) = y.

    f: AB sobrejetora se, e somente se, Im(f) = B, ou seja, f(A) = B.

    f: AB, f sobrejetora Im(f) = B ou Im(f) = CD.

    Exemplo:

    O diagrama a seguir, que representa a funo f: AB, definida por f(x) = x2.

    Note que o conjunto imagem da funo f igual ao seu contradomnio. Logo, f sobrejetora. Funo Injetora

    Definio: uma funo f de A em B injetora se, e somente se, quaisquer, que

    sejam x1 e x2 de A, se x1 x2 , ento f(x1) f(x2).

    Em smbolos:

  • f: AB

    f injetora (x1 , x1 A, x2 , x2 A) (x1 x2) f(x1) f(x2).

    O que equivalncia a:

    f: AB

    f injetora x1 , x1 A, x2 , x2 A, f(x1) = f(x2) x1 = x2.

    Em lugar de dizermos que f injetora podemos dizer que f uma injeo de A em B.

    Exemplo:

    O diagrama abaixo representa a funo f: AB, definida por f(x) = x + 1.

    Veja que f associa elementos distintos de A a elementos distintos de B. Portanto, f

    injetora.

    Funo Bijetora

    Definio: Uma funo f de A em B bijetora se, e somente se, f sobrejetora e

    injetora.

    Em smbolos:

    f: AB

    f bijetora f sobrejetora e injetora y, y B, x A/ f(x) = y.

    Exemplo:

    Considere o diagrama que representa a funo f: AB, definida por f(x) = 2x + 1.

  • De acordo com o que vimos anteriormente, a funo f ao mesmo tempo,

    sobrejetora e injetora. Trata-se, portanto de uma funo bijetora.

    Funes Crescente e Decrescente

    Definio: Uma funo f de A em B , onde RBA , crescente se

    )()(;, 212121 xfxfxxAxx e decrescente se ).()(, 212121 xfxfxAxxx

    Definio: Uma funo f de A em B , onde RBA , no crescente se

    )()(;, 212121 xfxfxxAxx e no decrescente se

    ).()(, 212121 xfxfxAxxx

    FUNES LINEARES

    Definio: Toda funo f: RR, dada por f(x)= ax+b ou y= ax+b, a0, definida para

    todo x real, chamada funo linear.

    Consideremos um retngulo de base x e altura 10cm.

  • Indicando por p a medida do permetro desse retngulo, podemos estabelecer

    entre p, x e 10 a relao expressa pela frmula matemtica:

    Vemos, ento, que a medida p do permetro dada em funo da medida x da

    base, ou seja:

    f(x)= 2x+20 ou y= 2x+20

    Nomeando por S a rea desse retngulo, podemos estabelecer entre S, x e

    10 a relao expressa pela frmula matemtica:

    S= 10x

    Verificamos, tambm, que a rea S dada em funo da medida x da base, ou seja:

    f(x)= 10x ou y= 10x

    O grfico de uma funo f: RR, y= ax+b uma reta. Onde:

    a um coeficiente angular (a= tg);

    b um coeficiente linear.

    Se a0 e b0, a funo do 1 grau recebe o nome de funo afim.

    Se a= 0 e b0, a funo do 1 grau recebe o nome de funo constante.

    Se a0 e b=0, a funo do 1 grau recebe o nome de funo linear.

    Grficos das funes lineares

    Seja y= ax+b

    a0 crescente;

    P= 2x+20

  • a0 decrescente;

    Exemplos:

    1) f(x)= x+3 a= 1; b= 3 a0, crescente.

    2) f(x)= -2x+4 a= -2; b= 4 a0, decrescente

    x Y= x+3

    -3 0

    -2 1

    -1 2

    0 3

    1 4

    2 5

    3 6

  • 3) f(x)= 2x a= 2; b= 0 a0 e b= 0

    4) f(x)= -1 a= 0; b= -1

    x Y= -2x+4

    -3 10

    -2 8

    -1 6

    0 4

    1 2

    2 0

    3 -2

    x Y= 2x

    0 0

    1 2

    2 4

  • Restrio Oramentria

    Em nosso pas, um dos problemas que os jovens enfrentam diz respeito alocao de verbos

    para programas sociais e pagamento de funcionrios. Vamos supor que existe um montante

    fixo M, a ser repartido entre dois propsitos. Se denotam por se o montante a ser com

    pagamento de funcionrios e por y o montante destinado aos programas sociais, temos:

    Modelagem Matemtica :

    M = x+y Y = M x

    M denominada restrio oramentria.

    Observe que estamos interessados em valores x e y tais que x e y> 0

    X = 0

    Y = 0

    Leitura do Modelo

    . A leitura prtica que se faz da restrio oramentria e que o aumento dos gastos de um setor

    acarretar a diminuio de gastos com outros.

    Questo Fictcia

    Suponha que numa cidade X existam 200 funcionrios que ganham um salrio mdio de R$

    800,00 mensais e que o montante M de R$ 300.000,00 mensais.

    Qual o montante mensal disponvel para programas sociais? Os funcionrios reivindicam

    13% de aumento dos seus salrios. Qual o impacto desse aumento sobre os programas sociais.

    Modelo Matemtico

    M = x+y y = M x

    De acordo com a questo:

    M = 300.000

  • X = 160000 = 800 . 200

    Logo;

    Y = 300.000 - 160000 = 140.000,00

    Vamos calcular o aumento de 13% no salrio

    800100%

    x 13%

    13.x 800 = 100 x x = 100

    800.13 = 13.8 =104

    Salrio com aumento de 13% S = 800+104 =904 reais.

    Logo o incremento, devido a 13% a reais no salrio dos funcionrios ser de

    X1= x+ 20.800 = 160.000,00 + 20.800 = 180.800,00Logo o montante disponvel para

    programas sociais ser:

    Y1= M x1 = 30.000,00 180.800,00 = 119.200,00

    Observe que: Y = 140.000

    Y1 = 119.200 e y.y1 =20.800

    Assim:

    140.000 100%

    20.800 x %

    x = 85,1414

    208

    000.140

    100800.20

    %

    Portanto houve diminuio de aproximadamente 14,859, sobre o montante anterior disponvel

    para programas sociais.

    Depreciao de Equipamentos

    O contador de uma empresa usa o mtodo da linha reta para fazer a depreciao

    de um certo equipamento de uma empresa no decorrer do tempo. Cada

    equipamento de uma estimativa de vida til e o valor contbil descreve a taxa

    constante de tal forma que ao trmino de vida til podemos ter um valor zero de

    um valor residual denotado por r.

    Modelagem da Questo

    Y = valor contbil ;

    I = o valor do investimento na compra do equipamento;

    T = a vida til;

    t= tempo

    Temos que y = f (t) uma funo linear, assim f (t) = at + b sendo f (0) = I e f (t) = 0 ou f

    (t) = r. Dessa forma,

    I =f (0) = a .0 +b b = I

  • 0 = f (t) = aT + b = aT + I

    aT + I = 0 aT = -I a = T

    I

    Logo: f (t) = T

    I+I, que uma funo linear decrescente.

    Quando o valor residual r ento b = I e r = f (t) = aT + b = aT +I,

    aT + I = r aT = r I a = T

    Ir .

    Nesse, caso o modelo Matemtico da questo :

    f (t) =

    T

    Irt + I

    A funo f (t) s tem significado para o domnio t e [0,T]

    Como exemplo: Suponha que um note book foi comprado por 4.200,00 a estimativa de

    vida til de 5 anos. Supondo um valor residual de 800,00, qual o valor contbil ao

    trmino de 3 anos?

    De acordo como modelo matemtico: T = 5

    f (0) = 4.200 I = 4.200 = 6

    f (5) = 800 = r a = 5

    200.4800 =

    5

    400.3 = - 680

    Logo f (t) = - 680t + 4.200

    Logo, o valor contbil ao trmino de 3 anos f (3) = 2.160, ou seja, 2.160 reais.

    Uma imobiliria cobra uma comisso 12% do valor da venda de um imvel mais

    R$ 25,00 para as despesas de correio e divulgao. Suponha que x o valor do

    imvel em reais.

    a) Estabelea um modelo que descreve a comisso cobrada pela imobiliria

    b) Usando o item a), responda a questo:

    qual o valor recebido pela imobiliria na venda de um imvel de R$ 185.000.00?

    Soluo:

    1) x = valor do imvel em reais;

    C = comisso da imobiliria

    De acordo com a questo,

    C = 12% de x + 25

    C = 100

    12 . x + 25 =

    50

    6 + 25 =

    25

    3x +25

    O modelo da questo e dado pela funo linear

  • C (x) = 25

    3x + 25

    2) x = 185.000,00 = 25

    3. 185.000 + 25 =

    = 3.7.400+25 = 22 . 200 +25 = 22.225 = 4950

    FUNO QUADRTICA

    Definio: Seja f: RR dada por f(x)= ax2+ bx+ c, com a, b, c reais e a0,

    denomina-se funo do 2 grau ou funo quadrtica.

    O grfico da funo quadrtica uma curva aberta chamada parbola.

    Sua concavidade est voltada para cima (a0) ou para baixo (a0).

    a0 a0

    A parbola, que representa o grfico da funo f(x)= ax2+bx+c, passa por v,

    chamado vrtice, cujas coordenadas so:

    Xv= a

    b

    2 (abscissa)

    Yv= a4

    (ordenada)

    O vrtice o ponto extremo da parbola.

  • V= a

    b

    2,

    a4

    Teorema: Seja f: RR dada por f(x)= ax2+ bx+ c, com a, b, c reais e a0.

    f(x)= a

    2

    2

    42 aa

    bx

    Demonstrao:

    f(x)= ax2+bx+c= a ca

    bxx

    2 = a c

    a

    bxx

    2

    22 = a ca

    bxx

    222 =

    = a

    a

    c

    a

    b

    a

    bx

    2

    22

    42= a

    2

    22

    4

    4

    2 a

    acb

    a

    bx = a

    2

    2

    42 aa

    bx .

    A frmula dada no teorema anterior chamada forma cannica.

    Definio: As razes das funes quadrticas f(x)= ax2+bx+c so os valores de x

    reais tais que f(x)= 0 e, portanto, as solues da equao do 2 grau.

    ax2+bx+c= 0

    Utilizando a forma cannica transformada, temos:

    ax2+bx+c= 0

    a

    2

    2

    42 aa

    bx = 0

    2

    2

    42 aa

    bx

    = 0

    2

    2

    a

    bx =

    24a

    a

    bx

    2=

    24a

    xa

    b

    2=

    a2

    x= a

    b

    2

    a2

    x= a

    b

    2

    Para que exista razes reais para a equao do 2 grau ax2+bx+c= 0 depende da

    R. Assim, temos trs casos a considerar:

  • 1) 0, a equao apresentar duas razes distintas que so:

    x1= a

    b

    2

    e x2=

    a

    b

    2

    2) =0, a equao apresentar duas razes iguais que so:

    x1=x2= a

    b

    2

    3) 0, considerando que nesse caso R, a equao no apresenta razes

    reais, isto no existe raiz quadrada de nmeros negativos.

    Os grficos das funes quadrticas

    0

    =0

    0

  • Valores mximos e mnimos da funo quadrtica

    Teorema: Uma funo quadrtica pode ter um valor mximo ou um valor mnimo,

    dependendo da concavidade da parbola. O valor mximo (ou mnimo)

    corresponde ordenada do vrtice da parbola.

    Concavidade voltada para cima (a0)

  • Essa funo tem valor mnimo yv.

    O valor mnimo dessa funo :

    yv= a4

    Concavidade voltada para baixo (a0)

    Essa funo tem valor mximo yv.

    O valor mximo dessa funo :

    yv= a4

    A seguir descreveremos uma questo fictcia que a modelagem gera uma funo quadrtica e

    a resposta depende dos valores mximo ou mmino que a funo quadrtica assume.

    Exemplo: Um avio com 120 lugares fretado para uma excurso. A companhia

    exige de cada passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar

    vago. Qual o nmero de passageiros que torna mxima a receita da companhia?

  • Modelagem Matemtica:

    Capacidade do avio =120 lugares

    Nmeros de passagem = x

    Preo por passageiro = 900,00 ( parcela fixa )

    Parcela varivel = 10 ( 120 x )

    Receita de companhia :

    900x +10 (120 x) x =

    900x + (1.200 10x) x =

    900x + 1.200x 10x =

    2.100x-10x. Como xv = a

    b

    2 e YV =

    a4

    ,

    ento xv = 10.2

    100.2

    =

    2

    10.2 = 105

    passageiros. Logo yv = 110.250.

    O Estudo de inequaes do1 e 2 graus, a partir de seus grficos.

    Inequao do1 grau

    Definio: Denomina-se equao do 1 grau na varivel x toda desigualdade

    que pode ser reduzida a uma das formas:

    ax+b 0, ax+b 0, ax+b 0 ( com a, b R e a 0).

    Na resoluo de inequaes, devemos usar adequadamente as propriedades

    das desigualdades entre nmeros reais e das desigualdades envolvendo adio

    e multiplicao de nmeros reais. Algumas dessas propriedades so:

    1) Dados x, y R, vale uma e somente uma das possibilidades: x y, x = y ou

    y x.

    2) Se x y e y z, ento x z (transitiva).

    3) Se x y, ento, para qualquer z R tem-se x+y y+z, ou, de outra forma, se

    x y e x1 y1, ento x+x1 y+y1 (soma membro a membro).

    4) Se x y e z positivo, ento xz yz,ou, de outra forma, dados x, y, x1, y1

    positivos, se x y e x1y1, ento xx1 yy1 ( produto membro a membro).

    5) Se x y e z negativo, ento xz yz (quando multiplicamos os dois membros

    de uma desigualdade por um nmero negativo, o sentido dessa desigualdade se

    inverte). Isso pode ser demonstrado assim:

    O produto dos nmeros positivos y x e y positivo, ou seja, (y x) ( y) 0.

    Efetuando a multiplicao obtemos xz yz 0 e, assim, xz yz.

    6) Se x 0, ento x2 0 (exceto zero, todo quadrado positivo).

  • 7) Se 0 x y, ento 0 y

    1

    x

    1 (quanto maior for um nmero positivo, menor

    ser seu inverso).

    Resoluo de equaes

    Exemplos:

    1) 2x5 0 em R

    2x 5

    x 2

    5 S =

    2

    5 x /Rx

    Podemos tambm resolver essa inequao por meio do estudo do sinal da

    funo afim.

    2x5 0

    f(x)

    2x 5 = 0

    2x = 5 x 2

    5

    x = 2

    5 zero f(x) 0 S =

    2

    5 x /Rx

    2) Observe a seguinte inequao resolvida de dois modos:

    3 2x x 12, em R

    2x x 12 3

    3x 15

    3x 15 x 5

    x 3

    15 f(x) 0

  • x 5 S = 5 x / Rx

    3) Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa

    mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final ser dado

    em funo das x unidades vendidas. Resposta:

    a) Qual a lei dessa funo f?

    L = 5x 230.

    b) Para que valores de x temos f(x) 0? Como pode ser interpretado esse caso?

    Para que valores de x temos f(x) 0,

    5x 230 0

    5x 230

    x 5

    230

    x 46

    Ento, o comerciante ter prejuzo se vender menos de 46 unidades.

    c) Para que valor de x haver um lucro de R$ 315,00?

    5x 230 = 315

    5x = 315+230

  • 5x = 545

    x = 109

    d) Para que valores de x o lucro ser maior do que R$ 280,00?

    5x 230 280

    5x 280+230

    5x 510

    x 102

    e)para que valores de x o lucro estar entre R$100,00 e R$180,00?

    100

  • Inequao-Quociente

    Observe que as seguintes inequaes apresentam um quociente de polinmios do

    1 Grau:

    1

    1

    x

    x > 0

    4

    12

    x

    x < 0

    23

    1

    x

    x 0

    2

    32

    x

    x 0

    Tais inequaes so denominadas inequaes-quociente.

    Para resolver inequao-produto ou uma inequao-quociente como as

    exemplificadas, fazemos o estudo dos sinais das funes polinomiais do 1 Grau

    envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funes,

    lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de nmeros reais.

    Exemplos:

    1) Resolver as inequaes (x 4) (x + 2)>0

    Resoluo: Vamos estudar os sinais das funes:

    f(x) = x 4 g(x) = x + 2

    X 4 = 0 x + 2 = 0

    X =4 x = -2

    Quadro de resolues:

    Resposta: S = x R/ x 2 ou x 4

    2) Resolver a inequao (x + 2)(x 1)(x + 2) 0.

    Resoluo:

    f(x) = x + 2 g(x) = x 1 h(x) = x + 2

    x + 2 = 0 x 1 = 0 x + 2 = 0

  • x = 2 x = 1 x = 2

    x = 2

    Quadro de soluo:

    Resposta: S = x R/ 2 x 1 ou x 2.

    3) Resolver a inequao 3

    1

    x

    x 0.

    Resoluo:

    f(x) = x 1 g(x) = x 3

    x 1 = 0 x 3 = 0

    x = 1 x = 3

    Quadro de soluo:

    Resposta: S = x R/ x 1 ou x 3.

    4) Vamos determinar o domnio da funo y = 3

    1

    x

    x.

  • J sabemos que 3

    1

    x

    x s possvel em R se

    3

    1

    x

    x 0; portanto, nosso problema

    vai consistir em resolver a inquao quociente 3

    1

    x

    x 0, com x 3.

    Resoluo: 3

    1

    x

    x 0, com x 3.

    f(x) = x 1 g(x) = x 3

    x 1 = 0 x 3 = 0

    x = 1 x = 3

    Quadro de soluo:

    Resposta: D = x R/ x 3 ou x 1.

    Inequao do 2 grau

    Definio: Chama-se inequao do 2 grau toda sentena matemtica que puder

    ser colocada sob uma das formas:

    Ax2 + bx + c 0 ou ax2 + bx + c 0 ou ainda

    Ax2 + bx + c 0 ou ax2 + bx + c 0.

    Resolver uma inequao do 2 grau significa determinar os valores reais de x que

    satisfazem a inequao dada.

    Exemplos:

    1) ATENO COPIAR DO LIVRO.

    2) Resolver a inequao x2 3x 2 0.

    Resoluo: a = 1 0

    x2 3x 2 = 0 x = 2

    13

    = 9 8 x = 2

  • = 1 x = 1

    = 1

    Esquema:

    Como devemos ter f(x) 0: x 1 ou x 2.

    Resposta: S = x R/ x 1 ou x 2.

    3) Resolver a inequao x2 1 0.

    Resoluo: a = 1 0

    x2 1 = 0

    x2 = 1

    x = 1 x = 1 ou x = 1

    Esquema:

    Como devemos ter f(x) 0: x 1 ou x 1.

    Resposta: S = x R/ x 1 ou x 1.

    4) Determinar o conjunto soluo da inequao x2 10x 25 0.

    Resoluo: a = 1 0

    X2 10x 25 = 0

    = 100 100 x = 2

    10

    = 0 x = 5

    = 0

    Esquema:

  • Como devemos ter f(x) 0: R.

    Resposta: S = x / x R.

    5) Resolver a inequao x2 5x 8 0.

    Resoluo: a = 1 0

    X2 5x 8 = 0

    = 25 32

    = 7 (no existe raiz real), pois 0.

    Esquema:

    Como devemos ter f(x) 0, ento x R.

    Resposta: S = .

    6) Determinar o conjunto soluo da inequao 4x2 4x 1 0.

    Resoluo: a = 4 0.

    4x2 4x 1 = 0 x = 8

    4

    4x2 4x 1= 0 x = 2

    1

    = 16 16

    = 0

    Esquema:

    Como devemos ter f(x) 0, ento x 2

    1.

    Resposta: S =

    2

    1/ xRx .

    Inequao-produto

    Desigualdades da forma:

  • f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0 so

    denominadas inequaes-produto.

    Exemplos:

    Resolva as inequaes em R:

    1) (x 3) (x2 3x 4) 0

    Resoluo:

    f(x) = x 3 g(x) = x2 3x 4 = 5

    a = 1 0; a 0 a = 1 0; a 0 x = 2

    53

    x 3 = 0 = 9 16 x = 1

    x = 3 = 25 x = 4

    Quadro de resoluo:

    De acordo com a inequao dada, devemos ter f(x) g(x) 0. Ento:

    S = x R/ 4 x 1 ou x 3.

    2) (x2 9x 10) (x2 4x 4) 0

    Resoluo:

    f(x) = x2 9x 10 g(x) = x2 4x 4

    a = 1 0; a 0 a = 1 0; a 0

    = 81 40 = 16 16 = 121 = 0

    = 11 = 0

    x = 2

    119 x =

    2

    04

    x = 10 e x = 1 x = 2

  • Quadro de soluo:

    Logo, S = x R/ 1 x 10

    3) ( x 1) (x2 x 5) (x2 9) 0

    Resoluo:

    f(x) = x 1 g(x) = x 1 h(x) = x2 9

    a = 1 0 a = 1 0 a = 1 0

    x = 1 = 1 20 x = 9

    x = 1 = 19 x = 3 e x = 3

    Quadro de resoluo:

    Logo, S = x R/ x 3 ou 1 x 3.

    Inequao-quociente

    Desigualdade da forma:

    )(

    )(

    xg

    xf 0

    )(

    )(

    xg

    xf 0

    )(

    )(

    xg

    xf 0

    )(

    )(

    xg

    xf 0

    so denominadas inquaes-quocientes.

  • Observao: Lembramos que a regra de sinal para o clculo do quociente de dois

    nmeros reais a mesma que para o clculo do produto, e que uma frao se anula

    quando o numerador zero e o denominador diferente de zero.

    Exemplos:

    Resolva a inequaes a seguir em R:

    1) 54

    32

    xx

    x 0.

    Resoluo:

    f(x) = x 3 g(x) = x2 4x 5

    a = 1 0 a = 1 0 x = 2

    64

    x = 3 = 16 20 x = 5 e x = 1

    x = 3 = 36 x2 4x 5 0

    = 6 ento x 5 e x 1.

    Quadro de resoluo:

    S = x R/ x 1 ou 3 x 5.

    2) 9

    1282

    2

    x

    xx 0

    Resoluo:

    F(x) = x2 8x 12 g(x) = x2 9

    a = 1; a 0 a = 1 0; a 0

  • = 64 48 x = 9

    = 16 x = 3 e x = 3

    = 4 x2 9 0 ento,

    x = 2

    48 x = 6 e x = 2 x 3 e x 3.

    Quadro de resoluo:

    S = x R/ 3 x 2 ou 3 x 6.

    Sistema de Inequaes do 1 grau

    O conjunto soluo de um sistema de inequaes determinado pela interseco do

    sistema.

    Exemplos:

    1) Resolver o sistema

    03

    512

    x

    x.

    (I) (II)

    De (I) vem: De (II) vem:

    2x 1 5 x 3 0

    2x 6 x 3

    x 3 x 3

    03

    512

    x

    x

  • Fazendo a interseco de (I) com (II), temos:

    S = x R/ x 3.

    2) Joo possui um terreno de 1000m2, no qual pretende construir uma casa. Ao

    engenheiro responsvel pela planta, ele impe as seguintes condies: a rea

    destinada ao lazer (piscina, churrasqueira etc.) deve ter 200m2, e a rea interna da

    casa mais a rea de lazer devem ultrapassar 50% da rea total do terreno; alm

    disso, o custo para construir a casa dever ser de, no mximo, R$ 200000,00.

    Sabendo que o metro quadrado construdo nessa regio custa R$ 500, 00, qual a

    rea interna da casa que o engenheiro poder projetar?

    Inicialmente, vamos traduzir as condies impostas para a linguagem

    matemtica. Seja x a rea interna da casa a ser projetada.

    A rea interna da casa mais a rea de lazer tm que ser maior que 50% de

    1000m2: x 200 500.

    O custo tem que ser menor que R$ 200000, 00: 500x 200000.

    Chegamos, assim, ao sistema:

    200000500

    500200

    x

    x

    )(II

    I

    (I) x 200 500 (II) 500x 200000

    x 500 200 500

    500x

    500

    200000

    x 300 x 400

    Fazendo a interseco de (I) com (II), temos:

  • Portanto, a casa a ser projetada deve ter entre 300m2 e 400m2.

    Sistemas de inequaes

    H alguns sistemas de inequaes que apresentam uma ou mais inequaes do 2

    grau. Para resolver esses sistemas devemos resolver cada inequao

    separadamente e depois achar a interseco das respectivas solues.

    Exemplos:

    1) Resolver o sistema inequao

    05

    682 22

    x

    xxx

    05

    682 22

    x

    xxx

    )(

    )(

    II

    I

    Resoluo:

    (I) 2x2 8 x2 6x

    x2 6x 8 0

    a = 1 0

    x2 6x 8 = 0

    = 36 32

    = 4 x 2

    26

    = 2 x = 4 e x = 2

    x 4 ou x 2

    (II) x 5 0

    x 5

  • Fazendo a interseco entre as solues (II), vem:

    S = x R/ x 5.

    2) Resolver a inequao x 4 x2 4 x 2.

    Temos aqui uma dupla desigualdade que chamadas de inequao simultnea, e que

    pode ser transformada num sistema de inequaes:

    x 4 x2 4 x 2

    24

    442

    2

    xx

    xx

    )(

    )(

    II

    I

    Resoluo:

    (I) x 4 x2 4

    x2 x 4 4 0 (- 1)

    x2 x 0

    x (x 1) = 0

    x = 0 e x = 1

    a = 1 0

    x 0 ou x 1

    (II) x2 4 x 2

    x2 4 x 2 0

    x2 x 6 0

    x2 x 6 = 0

    = 1 24

    = 25 x = 2

    51

  • = 5 x = 3 e x = 2

    a = 1 0

    2 x 3

    Fazendo a interseco entre a soluo de (I) e de (II), vem:

    S = x R/ 2 x 0 ou 1 x 3.

    FUNES EXPONENCIAIS

    Crescimento Populacional

    O crescimento exponencial uma excelente oportunidade de se discutir o que um modelo

    matemtico. Descrever qual a sua importncia e as suas limitaes.

    Questes de crescimento populacional, de caimento radiativo, arrefecimento de um corpo,

    juros de depsitos, taxa de propagao de uma epidemia, etc. Fornecem inmeros exemplos

    de como a funo exponencial pode ser estudada em conjuno com outras reas das cincias

    naturais e at humanos e sociais.

    Exemplo: Uma populao de bactrias aumenta 50% em cada dia.

    Se no incio da contagem havia 1 milho de bactrias, quantos haver ao fim de t dias?

    Modelagem Matemtica da Questo:

    T= perodo de t dias;

    M = total de bactrias em t dias;

    - Inicialmente Mo = 1 milho

    - Ao fim de 1 dia M1 = Mo+ 0,5 = 1,5

    - Ao fim de 2 diasM2 = 1,5+0,5.1,5

    = 1,5 (1+0,5) =

    = 1,5 . 1,5 = 1,52

    -Ao final de 3 dias M3 = 1,52+0,5 (1,5)

    2

  • = 1,52 (1+0,5)

    = 1,52. 1,5 = 1,5

    3

    - Ao final de t dias Mt = 1,5t

    Vemos que o nmero de milhes de bactrias, ao fim de t dias, e dado por Mt = M (t) =

    (1,5)t, que uma potncia de expoente varivel. O modelo para esta questo :

    M (t) = (1,5)t

    e M (t) chamado de funo exponencial.

    A funo exponencial intervm em numerosas aplicaes Matemticas, na Cincia e na

    Industria, e indispensvel no estudo de muitos problemas de Economia e Finanas,

    nomeadamente no clculo dos juros compostos.

    Dizemos que h um juro composto quando o juro ganho por um certo capital, ao fim de

    um perodo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e passando portanto, a ganhar

    juros. O investidor, no fim do ano, receber juro do juro alm do juro do capital.

    Exemplo: Uma pessoa coloca 3.000 reais a prazo, taxa de 20% ao ano e no levantar

    dinheiro algum durante 10 anos. Quanto tem a receber capital acumulado ao fim desse

    perodo? Descreva o modelo Matemtico para a questo.

    Soluo:

    Modelagem Matemtica

    Co = 3 mil reais

    Ao fim de 1 ano C1 = 3.0,2

    3 (1+0,2) = 3 . 1,2

    Ao fim de 2 anos C2 = 3.1,2+0,2.3.1,2

    = 3.1,2[1+0,2]

    = 3.1,2 [1,2]

    = 3.1,22

    Ao fim de 3 anos C3 = 3.1,22+0,2.3.1,2

    2

    = 3.1,22

    [1+0,2]

    = 3.1,22.1,2 = 3.1,2

    3

    Ao fim de 10 anos C10 = 3.(1,2) 18,575

    Modelo Matemtico da Questo: Cx = C (x) = 3.(1,2)x onde X = perodo de anos

    FUNO LOGARTMICA

  • Seja a funo exponencial y = ax, com a 0 e a 1. A sua inversa chama-se funo

    logartmica e indica-se y = loga x.

    O conjunto domnio

    O conjunto domnio da funo logartmica o conjunto dos nmeros reais estritamente positivos.

    D(f) = R*+

    Conjunto imagem

    O conjunto imagem da funo logartmica o conjunto dos nmeros reais.

    Im(f) = R

    Grfico

    Quanto ao grfico da funo logartmica y = loga x temos dois casos a considerar:

    1caso:

    Quando a 1, f ser crescente:

    2 caso:

    Quando 0 a 1 f ser decrescente:

    Exemplo:

    Construir o grfico cartesiano das funes:

    a) y = log2 x

    X Y = log2 x

    1/8 3

    1/4 2

    1/2 1

    1 0

    2 1

  • 4 2

    b)log1/2 x

    X Y = log1/2 x

    1/8 3

    1/4 2

    1/2 1

    1 0

    2 -1

    4 -2

  • Equaes logartmicas

    So aquelas que apresentam a incgnita no logaritmando ou na base do logaritmo.

    Exemplos:

    log3 (log2 x) = 2

    log (x+2) + log (x+3) = log 12

    log8 x log2 (2x) = 1

    As equaes logartmicas podem se apresentar em trs tipos principais:

    1 tipo: Aquelas em que aplicaremos apenas a definio de logaritmo para sua

    resoluo.

    Exemplos:

    Determinar o conjunto soluo (ou o conjunto verdade) das seguintes equaes

    logartmicas:

    a) log5 (log2 x) = 0

    Aplicando a definio, duas vezes, obtemos a soluo desta equao.

    log5 (log2 x) = 0

    log2 x = 50

    log2 x = 1

    x = 21

    x = 2

    S = {2}

    2 tipo: Aquelas em que aplicaremos as propriedades do logaritmo para a

    resoluo.

    Exemplo:

    Determinar o conjunto soluo da equao logartmica:

    log3 (x+7) + log3 (x -1) = 2

    Inicialmente aplicaremos a propriedade de logaritmo do produto, ou seja:

    C.E.:

    7

    07

    x

    x

    e

    e

    1

    01

    x

    x

    Em seguida, vamos aplicar a definio do logaritmo e resolver a equao do 2 grau.

    (x+7) . (x -1) = 32

    x2 x + 7x 7 9 = 0

  • x2 + 6x 16 = 0

    a = 1, b = 6 e c = -16

    = 36+64

    = 100

    x = 2

    106

    x = -8 (no convm)

    x = 2

    V = {2}

    3 tipo: Aqueles em que aplicaremos a mudana de base para a resoluo.

    Exemplo:

    Determinar o conjunto soluo da equao logartmica:

    log4 x + log2 x = 6

    C.E. x > 0

    1 passo: Deixar os logaritmos na mesma base; para isso vamos mudar log4 x para

    base 2.

    log4 x = 4log

    xlog

    2

    2 = 2

    log2 x

    2 passo: Substituir 2

    log2 x na equao e fazer a mudana de varivel.

    2

    log2 x + log2 x = 6

    Fazendo log2 x = n, temos:

    2

    n+ n = 6

    3 passo: Resolver a equao do 1 grau e determinar o valor de x.

    2

    n+

    1

    n=

    1

    6

    2

    2nn =

    2

    12

    3n = 12

    n = 4

    Sendo log2 x = n, ento:

    log2 x = 4

    x = 24

    x = 16

  • V = {16}

    Inequaes logartmicas

    As inequaes logartimicas caracterizam-se por envolverem a funo logartimca.

    Exemplos:

    log3 (2x 5) > 1

    log (x2 + 4) log x 2

    Vamos analisar o comportamento da funo atravs do grfico.

    1 caso: quando a > 1

    Nesse caso a funo crescente, ento, se loga x1 > loga x2 podemos afirmar que

    x1 > x2, ou seja, conservamos o sentido da desigualdade para comprar os

    logaritmandos.

    Exemplo:

    Se log2 x > log2 5, ento x > 5

    2 caso: quando 0 < a < 1

    Nesse caso a funo decrescente, ento, se loga x1 > loga x2 podemos afirmar que

    0 < x1 < x2, ou seja, invertemos o sentido da desigualdade parta comparar os

    logaritmandos.

    Exemplo:

  • Se log2

    1 x > log2

    1 5, ento 0 < x < 5.

    Exemplos:

    1) log2 (x+2) < 3

    Condio de existncia: x + 2 > 0

    I) x > -2

    Vamos substituir 3 por log2 8, na inequao:

    log2 (x+2) < log2 8

    Como a base maior que 1, basta conservar o sinal da desigualdade e resolver x+ 2

    < 8.

    II) x < 6

    A soluo da inequao logartmica o conjunto dos nmeros reais que satisfazem

    I) e II), ou seja, dada por I) II).

    2) (FEI-SP) Resolver log2

    1 (x2 x 6) > 0

    log2

    1 (x2 x 6) > 0

    Condio de existncia para log2

    1 (x2 x 6) > 0.

    I) x2 x 6 > 0

    x = -2

    x = 3

    V1 = {x | x < -2 ou x > 3}

    Vamos substituir 0 = log2

    1 1 na inequao log2

    1 (x2 x 6) > log

    2

    1 1.

    Como a base menor que 1 devemos inverter o sentido da desigualdade.

    II) x2 x 6 < 1

  • x2 x 7 < 0

    x = 2

    291

    x = 2

    291

    V2 = x | 2

    291< x <

    2

    291

    A soluo da equao logartmica o conjunto interseco de V1 com V2.

    V = x | 2

    291< x < -2 ou 3 < x <

    2

    291