material complementar - tabela verdade

7/21/2019 Material Complementar - Tabela Verdade

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Tabela-verdade

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Tabela-verdade , tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabelamatemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se umsequente é correto.

As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege , Charles Peirce e outros dadécada de 1880 , e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post eLudwig Wittgenstein . A publicação do Tractatus Logico-Philosophicus , deWittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. Avasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas-verdade.

Conceitos iniciais da lógica

A lógica proposicional. Um dos ramos da lógica é o estudo das proposições. Tais proposiçõesseriam qualquer oração que possa ser classificada como verdadeira(V) ou falsa(F).

Por exemplo:5 < 8 (V) 4 é um número primo(F)

Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, etc).

Exemplo:p:2 é um número primo(V)

Como poderíamos negar esta afirmação?~p:2 não é um número primo(F)

Como podem ver,o símbolo da negação é "~".

Observe que, como a afirmação p é verdadeira(V), a sua negação ~p é automaticamentefalsa(F). Caso, pelo contrário, a afirmação p fosse falsa(F), a sua negação seria verdadeira.Existe uma tabela que pode ser montada com todos os resultados possíveis de uma sentença.Essa tabela em que você analisa os valores lógicos da sentença é chamada de tabela-verdade.

p ~p V F F V

Vamos ver agora como montar proposições usando conectivos.

1 Lógica – Tabela Verdade – Revisão 02 – JG- 13/09/11

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_verdade#column-one





http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tabela_matem%C3%A1tica&action=edit&redlink=1




http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica



http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula



http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege



http://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Peirce



http://pt.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9cada_de_1880


http://pt.wikipedia.org/wiki/1922



http://pt.wikipedia.org/wiki/Emil_Post



http://pt.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Wittgenstein


http://pt.wikipedia.org/wiki/Tractatus_Logico-Philosophicus



http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_veritativa


















Conectivos

Conectivo (E) Conjunção, " ^ ", Lê-se: "... e ..."

Uma sentença composta pelo "e" vai ser verdadeira quando ambas as sentenças foremverdadeiras.

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Como isso poderia cair numa prova?

Se tivéssemos que, por exemplo, julgar a frase abaixo como verdadeira ou falsa:

Ex: O elefante voa e 2+2 = 4.

A primeira coisa a ser feita é converter a frase acima em letras e símbolos. Em questões maisfáceis como essa pode ser que isso não seja necessário. No entanto, existem muitas questõesque apresentam frases utilizando os mais diversos conectivos, e cujo objetivo da questão é

justamente verificar se o aluno sabe converter a mesma para símbolos da lógica e vice-versa.

Logo, teríamos o seguinte:

O elefante voa e 2+2 = 4.

p ^ Q(F) (V)

Na tabela-verdade vemos que o único caso no qual o "e" é verdadeiro é quando ambas asorações também o são. Como não foi o que aconteceu neste exemplo, temos que a frase éfalsa.




Conectivo (OU), Disjunção, "V", Lê-se:"...ou...".

Lê-se:"...ou..." p q p V q

V V V

V F V

F V V

F F F

Quando construímos uma sentença com o conectivo "ou" temos a idéia de escolha, de opção,

ou seja, se uma das orações for correta, a sentença inteira também o será, não precisandonem mesmo que analisemos o valor lógico da outra.

Exemplo: 2 < 7 ou a girafa é azul.

(V) V (F)

Reparem que na tabela do "ou", o importante é que o candidato perceba que a única linha noqual o resultado será falso é a última, sendo as demais verdadeiras.

São essas as "manhas" que o candidato deve ter para que ele decore com mais facilidade astabelas-verdade.

Embora não seja muito habitual, algumas provas cobram um outro tipo de "ou", que é o "ouexclusivo"...como é? não estou entendendo mais nada....

Pois é...reparem como o “ou” da tabela acima é também verdadeiro para o caso em que ambasas orações são verdadeiras...é como se no exemplo acima eu também pudesse falar:

2 < 7 e /ou a girafa é azul.

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, adisjunção "p ou q " corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q.

Reparem nas frases abaixo:

Vou ganhar uma bicicleta ou vou ganhar uma bola.




Ou vou ganhar uma bola ou vou ganhar uma bicicleta.

Na primeira frase, o fato de eu ganhar uma bicicleta não impede que eu também ganhe umabola. A diferença entre as duas sentenças é bem sutil... Na segunda sentença, apenas umadas duas afirmações poderá ser verdadeira, ou eu ganharei a bola ou eu ganharei a bicicleta,não podendo ganhar as duas ao mesmo tempo.

Conectivo (OU Exclusivo), Disjunção Exclusiva, "V", Lê-se:"...ouexclusivo...".

cuja tabela-verdade ficaria:

p q p V q V V F

V F V F V V F F F

A conjunção é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro.




Condicionais

Condicional (Se... Então), Implicação, " q → p"

(Lê-se :"Se...então...")

Este condicional é o mais importante de todos. Aqui iremos fazer o contrário. Iremos partir doexemplo e, a partir dele, iremos montar a tabela-verdade. Imaginem que eu me dirijo a vocês edigo:

"Se amanhã fizer Sol, então eu vou à praia".

Chegou o dia de amanhã, fez Sol e eu estou na praia. A sentença é verdadeira. Ou seja,antecedente V e conseqüência V, a sentença é verdadeira.

Imaginem que deu Sol e eu não fui à praia. Eu menti. A sentença é falsa. Ou seja,antecedente verdadeiro e conseqüência falsa, a sentença é falsa.

Agora, façamos o seguinte: e se choveu e mesmo assim eu fui à praia?(!) Eu menti?Não!(????)

Reparem que, fazendo Sol, eu disse que eu obrigatoriamente iria à praia.

Sol → praia

Ou seja, chover também poderia ser um dos motivos que me levariam a ir à praia. Ou não.

Ou seja, se choveu e eu não fui à praia, tal sentença também seria verdadeira, pois eu nãoentrei em contradição em relação à frase original.

Ou seja, antecedente falso e conseqüência verdadeira, sentença verdadeira.

E antecedente falso e conseqüência falsa, sentença verdadeira.

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional " Se p então q " corresponderá à inclusão do conjunto p noconjunto q (p está contido em q):

Ufa!




Ufa! Caramba! Depois dessa você pode estar achando a lógica muito complicada ou, esperoeu, algo muito mais tranqüilo...

De qualquer maneira, existem duas coisas que você tem realmente que perceber:

1) Viram como nesse caso foi meio complicado fazer a análise "crua" da sentença?

2) Muitas vezes isso irá acontecer e é justamente para isso que temos que entender e decoraras tabelas-verdade, para evitar que percamos muito tempo analisando as sentenças, o quepode dar origem a muitos erros ou, na melhor das hipóteses, fazer com que percamos muitotempo numa questão que seria quase imediata com a tabela.

Como ficaria a tabela neste caso? Utilizando o desenvolvimento que fizemos acima, teríamos:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Ex: Se 2 x 3 = 7 então 3 é divisor de 6 .F V

A situação acima corresponde à terceira linha da tabela e, sendo assim, a sentença éverdadeira.

Tabela do condicional "se e somente se"

Bicondicional (Se e somente se), Equivalência, "p ↔ q":

Lê-se: "Se...e somente se..."

Esta última tabela-verdade é relativamente fácil de decorar, o problema é como fazer o alunoentender a sua montagem. Na realidade, precisamos saber alguma coisa sobre tabelas




equivalentes para justificar a forma pela qual esta nossa tabela será preenchida. Mas nós aindanão vimos equivalência! Isso mesmo... irei agora dar a tabela, explicar o que decorar nela e,mais a frente, quando falarmos sobre equivalências, voltaremos a ela.

p q p↔ q V V V V F F F V F F F V

Repare como a bicondicional (como é também chamada esta tabela) será verdadeirasomente quando ambas as afirmações forem verdadeiras ou quando ambas foremfalsas.

Exemplo:

1) O elefante voa se, e somente se, 2+1=6

Como ambas as afirmações são falsas, temos que a sentença será classificada comoverdadeira.

2)O elefante voa se, e somente se, 2+1=3.

Como a primeira afirmação é falsa e a segunda é verdadeira, temos que a sentença seráclassificada como falsa.

Até agora vimos que uma tabela-verdade que contém duas proposições apresentaráexatamente um número de quatro linhas! Mas, e se estivermos analisando uma proposiçãocomposta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade nestecaso?

Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdadeserá dado por:

Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposições

Ou seja, se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade 2 terá 4 linhas, já que 2 =4.

E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p,q er? Quantas linhas a tabela-verdade irá possuir?

3 Terá 8 linhas , uma vez que 2 =8.

Ficou confuso?Vamos lá... vamos dar um exemplo em que teremos que montar a tabela-verdade de uma sentença composta por mais que duas proposições.Exemplo: Construa a tabela-verdade da seguinte proposição composta:

(p ^ ~q) v (q V ~p)




Em primeiro lugar, quantas linhas? Vejamos, temos apenas duas proposições: p e q … nãoimporta quantas vezes cada letra foi repetida, temos que contar com quantas letras diferentesestamos trabalhando... são duas letras.

2 Sendo assim, nossa tabela terá exatamente 2 = 4 linhas. Isso também pode ser cobrado como número de valorações. Isso pode nos confundir muito.

Ao perguntar quantas valorações possíveis existem, muitos responderiam: duas! Verdadeiro oufalso!

Não, não, muito cuidado pessoal...

número de valorações é a mesma coisa que número de linhas da tabela-verdade!!!

Bom, sabemos que a tabela terá que possuir quatro linhas. Vamos, agora, passo-a-passo,montar as suas colunas:

Como há dois parênteses, vamos primeiramente montar as colunas correspondentes a eles eno final, juntar os dois resultados.

a) Negação de q:

p q ~q V V F V F V F V F F F V

b) Conectivo "e":

p q ~q p ~q V V F F V F V V F V F F F F V F

c) Negação de p:

p q ~q p ~q ~p V V F F F V F V V F F V F F V F F V F V

d) Conectivo "ou":

p q ~q p ~q ~p q V ~p V V F F F V V F V V F F F V F F V V

F F V F V V




e) Agora vamos montar a coluna final,que é aquela na qual realmente estamosinteressados:

p q ~q p ~q ~p q V ~p (p ^ ~q) v (q V ~p) V V F F F V V

V F V V F F V F V F F V V V F F V F V V V

Reparem que sempre iremos começar montando as colunas correspondentes aos parênteses.

Calma! Essas tabelas podem parecer muito complicadas num primeiro momento mas, com umpouco de treino, o seu preenchimento se torna bem tranqüilo e imediato.

Além disso, nem todas as questões exigem a montagem de tal tabela. Muitas questões, porexemplo, exigem que o aluno julgue como verdadeira ou falsa a transformação da sentença emletras e vice-versa.

Exemplo:

Sendo p: Pedro foi à praia; q: Marina foi ao cinema; e r: João foi pescar, julgue aafirmativa a seguir:

A proposição "Se Pedro foi à praia ou Marina não foi ao cinema, então João não foipescar" pode ser corretamente representada por:

(p V ~q ) → ~ r (V)

A sentença está correta! Sendo q a proposição "Marina foi ao cinema" , "Marina não foi" seráa sua negação ~q. Idem para João, sendo "João foi pescar" representado por r , "João não foipescar será a sua negação ~r .

Vale lembrar: caso fôssemos montar a tabela-verdade desta sentença, quantas linhas ela iriapossuir?

Temos três proposições: p, q e r . Logo, o número de linhas da tabela-verdade será igual a 23= 8 linhas .




Considerações finais

Ao trabalhar com a lógica proposicional, não vamos estar realmente trabalhando com frases,mas sim com VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS, que vão representar as proposições simples esímbolos para representar os conectivos lógicos.

¬ NÃO

E

v OU

SE, ENTÃO

SE, E SOMENTE SE

( ) Símbolos auxiliares

Toda variável proposicional é uma sentença, portanto se Q é uma sentença então ¬Q é uma

sentença também. E se P e Q são sentenças então: PvQ, P^Q, P Q e P Q, tambémserão.

Partindo disso podemos ter expressões mais complexas em lógica proposicional:

¬(P^Q) v (P^¬P) (PvQ) v (¬P^¬Q)

A semântica das sentenças é dada pela função v, chamada função de atribuição, se tivermos 3variáveis proposicionais, existem 2³ possibilidades de resposta para v.

P Q R v=(¬PvQ)^R

V V V V V V F F V F V F V F F F F V V V F V F F F F V V F F F F

Ordem de precedência dos conectivos

Para a resolução da função da tabela anterior, devemos levar em conta uma ordem deprecedência dos conectivos:

1. ¬ 2. ^ 3. v 4. 5.




Propriedades

1. Tautologia

Uma fórmula P é uma tautologia (ou é válida) se e somente se, para qualquer interpretaçãoI, I[P] = V.

Por exemplo, uma fórmula (P v ¬P) pode ter duas interpretações possíveis, I ou J.

I[P] = V, neste caso I[P v ¬P] = VJ[P] = F, neste caso J[P v ¬P] = V

Cada linha em uma tabela verdade é uma interpretação possível, se todas asinterpretações tem o valor V, então a fórmula é uma tautologia.

2. Contraditória

Uma fórmula P é contraditório (ou insatisfatível) se e somente se, para qualquer interpretação I,I[P] = F.

A fórmulaP^¬P pode ter duas interpretações possíveis (I ou J) onde:

I[P] = V, neste caso I[P ^ ¬P]=FJ[P] = F, neste caso J[P ^ ¬P]=F

Ao contrário da tautologia em cada linha da tabela verdade contraditória o valor resultante dafórmula é F.

3. Satisfatível

Uma fórmula P é satisfatível se e somente se existir pelo menos uma interpretação I tal que I[P]= V.

Logo, se uma fórmula tem um valor V em pelo menos uma das linhas, essa fórmula ésatisfatível.

Relação entre as propriedades:

Se é tautologia então é satisfatível. Se não é tautologia então pode ser satisfatível ou pode ser contraditória. Se é satisfatível então não é contradição e pode ser tautologia. Se não é satisfatível então é uma contradição e não é tautologia. Se é contraditória então não é satisfatível e não é tautologia. Se não é contraditória então é satisfatível e pode ser tautologia. Se não é tautologia e nem contraditória então é satisfatível.

Podemos transformar essas proposições em formulas da seguinte maneira, TAUTOLOGIA = T, SATISFATÍVEL = S e CONTRADITÓRIA = C.

a) T S b) ¬T (S v C)c) S (¬C v T)d) ¬S (C ^ ¬T) e) C (¬S ^ ¬T)f) ¬C (S v T)g) (¬T ^ ¬C) S




2. Determine se as fórmulas são equivalentes:

a) (~P v ~Q) e (~PvQ)

Não Equivalentes, pois, os resultados das linhas 1 e 2 diferem.

b) (~PvQ) e (P ^ Q)

Não Equivalentes, pois, os resultados das linhas 3 e 4 diferem.

3. Considere as fórmulas H e G, que são formadas utilizando os símbolos proposicionais P e Q e a tabela associada:

a) Como deve ser a relação entre as colunas de H e G para que H seja equivalente a G ?

Para cada linha ambas tem de possuir o mesmo valor de avaliação, ou seja as colunas

tem de ser idênticas. b) Como deve ser a relação entre as colunas de H e G para que H implique G ?

Para cada valor T (true) na coluna H, obrigatoriamente deverá haver um valor T na coluna G.




4. Considere as fórmulas A, B , C, D.

Demonstre que {A,B,C,D} é insatisfatível ~(A^B^C^D) é tautologia.

{A, B, C, D} é insatifatível Para toda interpretação, (A^B^C^D) = F

Para toda interpretação, ~(A^B^C^D) = T ~(A^B^C^D) é uma tautologia.

Sendo assim, iremos construir a tabela verdade para mostrar que ~(A^B^C^D)é umatautologia.

Concluímos pela análise da tabela que ~(A^B^C^D), não é uma tautologia, por conseqüência (A^B^C^D) não é insatisfatível.

5. Considere os conjuntos de argumentos indicados a seguir. Determine se os conjuntosde argumentos são satisfatíveis ?

a) Marcos não está feliz ou se Sílvia foi ao baile, então Marcos também foi ao baile. Se Marcosestá feliz, então Sílvia não foi ao baile. Se Marcos foi ao baile, então Sílvia também foi ao baile.

Formalizando:

M → Marcos está feliz,S → Silvia foi ao baile, B → Marcos foi ao Baile.

{M v (S→ B), ~M→ ~S, B → S}

Como as linhas 1, 5, 6 e 8 são verdadeiras para (M v (S → B)) ^ (~M→ ~S) ^ (B → S) oconjunto de argumentos é satisfatível.




b)Um casamento é feliz se e somente se os noivos têm objetivos comuns. Os noivos têmobjetivos comuns se e somente se os noivos cursam disciplinas em áreas comuns. Há divorciose e somente se o casamento é infeliz. Há divorcio se e somente se os noivos não cursamdisciplinas em áreas comuns.

Formalizando:

F → Casamento é feliz, O → Noivos tem objetivos comuns, C → Noivos cursam disciplinas em áreas comuns,D → Há divorcio.

{F ↔ O, O ↔ C, D ↔ ~F, D ↔ ~C}

Como as linhas 5 e 12 são verdadeiras para (F ↔ O)^ (O ↔ C)^(D ↔ ~F) ^(D ↔ ~C) o conjuntode argumentos é satisfatível.

Fonte: www.editoraferreira.com.br- Alexandre Azevedo, UFCG - Joseluce Farias Cunha


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