material base - parte 1
DESCRIPTION
Material sobre DerivadasTRANSCRIPT
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 1/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
Eixo Modelagem: Derivadas parciais–
continuação
Na semana passada, estudamos as funções de duas ou mais variáveis e
iniciamos o estudo das derivadas parciais. Nesta semana, estudaremos regras de
derivação, gradiente e derivada direcional.
1 Regra da Cadeia
Pode acontecer a seguinte situação: temos uma função de duas variáveis
),( y x f e, por sua vez, as variáveis x e y são funções de uma outra variável
independente t . Neste caso, teremos uma versão da regra da cadeia:
Teorema 1.1: (Regra da cadeia: uma variável independente) Seja
),( y x f z uma função com primeiras derivadas parciais contínuas. Se )(t x x e
)(t y y são funções deriváveis de t , então z é uma função derivável de t e
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
.
Exemplo 1.1: Seja 22 y y x z , onde t x sen e t y e . Vamos encontrardt
dz
quando 0t . Pela regra da cadeia para uma variável independente temos
.e2senecossene2
e)e2sen(cos)e)(sen(2
e)2(cos2
22
2
2
t t t
t t t
t
t t t
t t t
y xt y x
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
Quando 0t , resulta que 2dt
dz .
As regras da cadeia apresentadas aqui nos fornecem técnicas alternativas para
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 2/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
resolver diversos problemas de cálculo de uma variável. Assim, no exemplo
anterior, poderíamos ter usado as técnicas de uma variável para encontrardt
dz ,
escrevendo inicialmente z como uma função de t :
t t t t t t y y x z 222222 esene)e()e()sen(
e depois derivando: .e2senecossene2 22 t t t t t t dt
dz
A regra da cadeia pode ser estendida para três ou mais variáveis: por exemplo,
se ),,( z y x f w e x , y e z são funções deriváveis de t , então
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
.
Exemplo 1.2: Vamos encontrar
s
w
e
t
w
para y xw 2 , onde 22 t s x e
t
s y . Começamos substituindo 22 t s x e
t
s y na equação y xw 2 :
st
t
s
t
st s y xw
322 2)(22 .
Agora, calculamost
t st
t
s
s
w 222 2632
e
2
23
2
322
2t
st s s
t
s
t
w
.
O teorema a seguir dá um método alternativo para calcular as derivadas parciais
no exemplo anterior, sem escrever explicitamente w como função de s e t .
Teorema 1.2: (Regra da cadeia: duas variáveis independentes) Seja
),( y x f z onde f é uma função com primeiras derivadas contínuas de x e y .
Se ),( t s x x e ),( t s y y tais que as primeiras derivadas parciais s
x
,
t
x
,
s
y
e
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 3/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
t y todas existem, então
sw e
t w existem e estão dadas por
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w
e
t
y
y
w
t
x
x
w
t
w
.
Exemplo 1.3: Usando a regra da cadeia, vamos encontrar s
w
e
t
w
para
y xw 2 , onde 22 t s x et
s y . Temos que
t
t s
t
t s
t
s
t t s s
t
s
t x s y
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w
22
222
22
26
224
12)2(2
12)2(2
2
32
2
232
2
23
2
22
2
22
224
224
2)2(2
2)2(2
t
s st
t
st s st
t
st s s
t
st st
t
s
t
s xt y
t
y
y
w
t
x
x
w
t
w
A regra da cadeia pode ser estendida de uma forma bem geral para qualquer
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 4/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
número de variáveis: Se ),,,( 21 n x x x f w
onde cada i x é uma função derivável
de m variáveis1t , 2t ,, mt , temos que
Exemplo 1.4: Vamos encontrar s
w
e
t
w
quando 1 s e 2t para
z x z y y xw sendo que t s x cos , t s y sen e t z . Então temos
e quando 1 s e 2t , resulta que 1 x , 0 y e 2 z . Assim
2)0)(21()1)(20(
s
w.
Para a outra variável temos que
e quando 1 s e 2t , resulta que
22)1)(10()1)(21()0)(20(
t
w.
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 5/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
1.1 Derivação parcial implícita
Vejamos uma aplicação da regra da cadeia. Suponha que temos x e y
relacionadas pela equação 0),( y x F e que y é uma função diferenciável de x :
)( x f y . A regra da cadeia fornece uma alternativa para o cálculo dedx
dy:
Consideremos ))(,(),( x f x F y x F w . Então aplicando o teorema 1.1, obtemos
dxdy y x F y x F
dxdy
y F
dxdx
x F
dxdw y x
),(),( ,
e como 0),( y x F w , entãodx
dy y x F y x F
dx
dw y x ),(),(0 . Da última igualdade
podemos tirar em evidênciadx
dy e conseguir
),(
),(
y x F
y x F
dx
dy
y
x .
Este resultado pode ser estendido para encontrar as derivadas parciais de
funções de várias variáveis que estão definidas implicitamente. Resumimos estas
observações no seguinte teorema:
Teorema 1.3: (Regra da cadeia: derivação implícita)
a. Se a equação 0),( y x F define y implicitamente como uma função
derivável de x , então
),(
),(
y x F
y x F
dx
dy
y
x , sempre que 0),( y x F y .
b. Se a equação 0),,( z y x F define z implicitamente como uma função de x
e y com primeiras derivadas contínuas, então
),,(),,(
z y x F z y x F
dx z
z
x
e
),,(
),,(
z y x F
z y x F
dy z
z
y
sempre que 0),,( z y x F z .
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 6/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
Exemplo 1.5: Vamos encontrardxdy para 045
223 x y y y . Fazemos
45),( 223 x y y y y x F . Então
x y x F x 2),( e 523),( 2 y y y x F y .
Usando o teorema 1.3, temos que523
2
523
)2(
),(
),(22
y y
x
y y
x
y x F
y x F
dx
dy
y
x .
Exemplo 1.6: Vamos encontrar x
z
e
y
z
para 05323 3222 yz z y x z x .
Fazemos 5323),,( 3222 yz z y x z x z y x F . Então
226),,( xy xz z y x F x , z y x z y x F y 32),,( 2 e y z x z y x F y 363),,( 22 .
Usando o teorema 1.3, temos que
y z x
xz xy
y z x
xy xz
z y x F
z y x F
x
z
z
x
363
62
363
26
),,(
),,(22
2
22
2
e
y z x
z y x
y z x
z y x
z y x F
z y x F
y
z
z
y
363
32
363
32
),,(
),,(22
2
22
2
.
2. Gradiente e Derivada Direcional
Imagine a seguinte situação: Você está em pé sobre uma colina representada
por ),( y x f z e quer determinar a inclinação da colina na direção ao eixo z .
Você já sabe como determinar as inclinações em duas direções: a inclinação na
direção x está dada por ),( y x f x e a inclinação na direção y está dada por
),( y x f y . Vamos utilizar estas derivadas para encontrar a inclinação em qualquer
direção.
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 7/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
Figura 2.1: Representação gráfica da superfície de uma colina.
Para determinar a inclinação num ponto sobre a superfície, vamos definir um
novo tipo de derivada denominada derivada direcional. Seja ),( y x f z uma
superfície e ),( 00 y x P um ponto no domínio de f e uma "direção" dada por um
vetor unitário jiu sencos)sen,(cos , onde é o ângulo que o vetor
forma com a direção positiva do eixo x como mostra o lado esquerdo da figura
abaixo:
Figura 2.2: Lado esquerdo: uma superfície ),( y x f z , um ponto ),( 00 y x P e
uma "direção" u ; lado direito:
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 8/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
Para calcular a inclinação desejada na direção u , reduzimos o problema a um deduas dimensões intersectando a superfície com um plano vertical que passa pelo
ponto P e paralelo a u , como é mostrado no lado direito da figura anterior. Esse
plano vertical intersecta a superfície numa curva C . A inclinação da superfície no
ponto ),(,, 0000 y x f y x na direção de u é definido como a inclinação da curva C
nesse ponto. Omitindo cálculos intermediários, passamos diretamente à
definição:
Definição 2.1: (Derivada direcional)
Seja f uma função de duas variáveis x e y e seja jiu sencos um vetor
unitário. Então a derivada direcional de f na direção de u , denotada por
f Du define-se comot
y x f t yt x f f D
t
),()sen,cos(lim
0
u desde que tal limite
exista.
O cálculo das derivadas direcionais por esta definição é pouco prático. Por isso,
temos um resultado importante:
Teorema 2.1: Se f é uma função com primeiras derivadas contínuas, então a
derivada direcional de f na direção do vetor unitário jiu sencos é
sen),(cos),( y x f y x f f D y x u .
Existem infinitas derivadas direcionais de uma superfície num dado ponto - uma
para cada direção especificada por u , como mostra a figura abaixo:
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 9/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
Figura 2.3: Existem infinitas derivadas direcionais num ponto dado, uma para
cada direção.
Observe que:
a. se 0 , i jiu 0sen0cos , e temos que
),(0sen),(0cos),( y x f y x f y x f f D x y x i .
b. se2
, j jiu
2sen
2cos
, e temos que
),(2
sen),(2
cos),( y x f y x f y x f f D y y x
j .
Exemplo 2.1: Vamos encontrar a derivada direcional de 22
4
14),( y x y x f em
)2,1( na direção de jiu
3sen3cos
. Temos que x y x f x 2),( e
2),( y
y x f y . Aplicando o teorema 2.1,
sen2
cos2sen),(cos),( y
x y x f y x f f D y x u .
Se3
, 1 x e 2 y , temos que a igualdade anterior fica
866,12
31
2
3
2
12
3sen
3cos2)2,1(
f Du .
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 10/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
Figura 2.4: Ilustração da derivada direcional do exemplo.
Observe que, de acordo com a figura 2.4, a derivada direcional pode ser
interpretada como a inclinação da superfície no ponto )2,2,1( na direção do vetor
unitário u .
As direções utilizadas até agora estão dadas por um vetor unitário u . Quando a
direção está dada por um vetor cujo comprimento não é 1, devemos normalizar
o vetor antes de aplicar o teorema 2.1.
Exemplo 2.2: Vamos encontrar a derivada direcional de )2sen(),( 2 y x y x f em
2,1
na direção do vetor jiv 43 . Temos que )2(sen2),( y x y x f x e
)2(cos2),( 2 y x y x f y que são contínuas. Agora, encontramos um vetor unitário na
direção de v : ji jiv
vu sencos
5
4
5
3 . Usando este vetor unitário,
temos que
sen)2(cos2cos)2(sen2sen),(cos),( 2
y x y x y x f y x f f D y x u .
Assim,
5
4)2(
5
30
5
4)(cos2
5
3)(sen2
2,1
f Du , ou seja,
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 11/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
58
2,1
f Du
.
2.1 O gradiente de uma função de duas variáveis
O gradiente de uma função de duas variáveis é um função vetorial de duas
variáveis. Esta função tem usos importantes, algumas das quais vão ser
descritas aqui.
Definição 2.2: (Gradiente de uma função de duas variáveis)
Seja ),( y x f z uma função de duas variáveis tal que x f e y f existe. Então o
gradiente de f , denotado por ),( y x f é o vetor
ji y ),(),(),( y x f y x f y x f x .
Outra notação para o gradiente é ),(grad y x f . Observe que ),( y x f é um vetor
no plano (não um vetor no espaço, pois não tem componente em z )
Exemplo 2.3: Vamos encontrar o gradiente de 2ln),( y x x y y x f no ponto
)2,1( . Primeiro, vemos que 2),( y x
y y x f x e xy x y x f y 2ln),( , e assim
ji
ji y
xy x y x
y
y x f y x f y x f x
2ln
),(),(),(
2
e no ponto )2,1( , o gradiente é
ji ji 462121ln21
2)2,1( 2
f .
Podemos observar que
ji ji yu sencos),(),(sen),(cos),( y x f y x f y x f y x f f D x y x ,
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 12/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
ou seja, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente e o vetordirecional. Apresentamos isto na forma de um teorema
Teorema 2.2: Se f é uma função de x e y com primeiras derivadas parciais
contínuas, então a derivada direcional de f na direção do vetor unitário u é
uu ),( y x f f D .
Exemplo 2.3: Vamos encontrar a derivada direcional de 2233),( y x y x f em
0,4
3 na direção do ponto
0,4
3 P a )1,0(Q . Como as derivadas parciais
são contínuas, podemos aplicar o teorema 2.1. Um vetor na direção especificada
é ji ji
4
3)01(
4
30 PQ e um vetor unitário nesta direção é
jiu5
4
5
3
PQ
PQ.
Veja que
ji ji y y x y x f y x f y x f x 46),(),(),(
e o gradiente em
0,
4
3 é
ji 02
90,
4
3
f .
Assim, a derivada direcional em
0,4
3 é
10
27
5
4
5
30
2
90,
4
30,
4
3
ji jiuu f f D .
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 13/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
Figura 2.5: Ilustração da derivada direcional do exemplo 2.3
2.2 Aplicações do gradiente
Já vimos que existem muitas (infinitas) derivadas direcionais no ponto ),( y x
sobre uma superfície. Em muitas aplicações, poderíamos querer conhecer em
que direção a função ),( y x f cresce mais rapidamente. Esta direção chama-se
direção da maior subida e está dada pelo gradiente, como se afirma no
teorema a seguir
Teorema 2.3: (Propriedades do gradiente)
Seja f com primeiras derivadas parciais contínuas no ponto ),( y x .
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 14/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
a.
Se 0 ),( y x f , então 0, y x f Du para qualquer u .
b. A direção de máximo incremento de f no ponto ),( y x está dado por
),( y x f , sendo que o valor máximo de y x f D ,u é ),( y x f .
c. A direção de mínimo incremento de f no ponto ),( y x está dado por
),( y x f , sendo que o valor mínimo de y x f D ,u é ),( y x f .
Para visualizar uma das propriedades do gradiente, imagine um esquiador
descendo uma montanha. Se ),( y x f denota a altitude do esquiador, então
),( y x f indica da direção que o esquiador deve tomar para esquiar na
trajetória de máxima descida. (Lembre que o gradiente indica a direção no plano
xy ).
Exemplo 2.4: A temperatura em graus Celsius sobre a superfície de uma placa
de metal é 22420),( y x y xT , onde x e y são medidos em cm. Qual é a
direção desde )3,2( que faz com que a temperatura aumente mais
rapidamente? E qual é a taxa de incremento? O gradiente é
ji
ji y
y x
y xT y xT y xT x
28
),(),(),(
Segue que a direção de máximo incremento está dada por ji 616)3,2( T e a
taxa de incremento é 09,1729236256)3,2( T graus Celsius por cm.
Vamos enunciar os resultados para funções de três variáveis:
Se ),,( z y x f tem primeiras derivadas parciais contínuas, a derivada direcional
de f na direção do vetor unitário k jiu cba está dada por
),,(),,(),,(),,( z y x f c z y x f b z y x f a z y x f D z y x u .
7/21/2019 Material Base - Parte 1
http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 15/15
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância
O gradiente de f está definido como
k ji ),,(),,(),,(),,( z y x f z y x f z y x f z y x f z y x
As propriedades do gradiente são como segue:
a. uu ),,(),,( z y x f z y x f D .
b. Se 0 ),,( z y x f então 0),,( z y x f Du para qualquer u .
c.
A direção do máximo incremento de f está dado por ),,( z y x f . O valor
máximo de ),,( z y x f Du é ),,( z y x f .
d. A direção do mínimo incremento de f está dado por ),,( z y x f . O valor
mínimo de ),,( z y x f Du é ),,( z y x f .
Exemplo 2.5: Vamos encontrar ),,( z y x f para a função z y x z y x f 4),,( 22 e
calcular a direção de máximo incremento de f no ponto )1,1,2( . Facilmente,
vemos que k jik ji 422),,(),,(),,(),,( y x z y x f z y x f z y x f z y x f z y x . Assim,
a direção do máximo incremento em )1,1,2( é k ji 424)1,1,2( f .
REFERÊNCIAS:
ANTON, H. Cálculo Vol II. Editora Bookman, 2007.
LARSON, R. Cálculo, 10. edição, BrooksCole, 2013.
STEWART, J. Cálculo, 7. edição. BrooksCole, 2008.