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Curso de AdministraçãoCentro de Ciências Sociais AplicadasUniversidade Católica de Petrópolis

Matemática 1

Revisão - Conjuntos e Relaçõesv. 0.1

Baseado nas notas de aula de Matemática I

da prof. Eliane dos Santos de Souza Coutinho

Luís Rodrigo de O. Gonç[email protected]

Petrópolis, 1 de Agosto de 2016

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Content

ConjuntosDefiniçãoRelação de PertinênciaSubconjuntoTipos de ConjuntosNotação padrãoRepresentando os números geometricamenteProduto Cartesiamo

RelaçãoDefinição

Luís Rodrigo de O. Gonçalves | Matemática 1

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ConjuntosDefinição

Definição

I É um conceito primitivo, ou seja, não precisa ser definido apartir de outros conceitos matemáticos.

I Possui o sentido de coleção ou totalidade de elementosI Representamos os conjuntos por meio de letra maiúsculas:

A,B,C, etc.I Aos membros de um conjunto damos o nome de elementos.


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ConjuntosRepresentação

Representação

I Os conjuntos podem ser representados de duas formas:I Enumerando-se seus elementos; neste caso os elemento devem

ser separados por virgulasI Ou indicando um propriedade comum à todos os seus

elementos

I Seguem alguns exemplos:I V = a, e, i, o, uI V = vogais


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ConjuntosRepresentação

Representação

I Descreva cada um dos conjuntos listando seus elementos

1. {x |x é um número inteiro do intervalo 3 < x ≤ 7 }

2. {x |x é um mês com exatamente 30 dias }

3. {x |x é a capital do Brasil }


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ConjuntosRelação de Pertinência

Representação

I Para indicar que um elemento pertence, ou não, à um conjuntoutilizados:

1. ∈ : pertence2. /∈ : não pertence

I Vejamos alguns exemplos:1. a ∈ V : o elemento a pertence ao conjunto V2. b /∈ V : o elemento b pertence ao conjunto V


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ConjuntosSubconjunto

Definição

I Dados dois conjuntos A e B1. Dizemos que A é subconjunto de B quando,2. Todo elemento de A, também é elemento de B.

I Supondo:1. A = {2, 4, 6}2. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

I Podemos representar a relação de subconjunto :1. A ⊂ B : A está contido em B2. B ⊃ A : B contem A


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ConjuntosSubconjunto - Representação

I Supondo:1. A = {2, 4, 7}2. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

I Há um elemento de A que não pertence à B, logo A não podeser considerado um subconjunto de B

I Se no conjunto A houver pelo menos um elemento que nãopertence à B, o conjunto A não está contido em B

I Podemos representar esta relação da seguinte forma:1. A * B : A não está contido em B2. B + A: B não contem A


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ConjuntosTipos de Conjuntos

Tipos

I Conjunto Unitário : é aquele formado por apenas um elemento1. {x |x mês que começa com a letra f }

I Conjunto Vazio: é aquele que não possui nenhum elemento:1. Designado por ∅2. {x ∈ N : x < 0} = ∅3. O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer outro


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ConjuntosTipos de Conjuntos

Tipos

I Conjunto Universo : contem todos os elementos necessáriospara desenvolver um determinado assunto

1. Designado por U2. A solução de um problema será diferente conforme o conjunto

universo considerado.

I Supondo o conjunto A, como sendo os meses que começamcom a letra a.

1. A = { abril, agosto }, se U = { meses do ano }2. A = {∅}, se U = { meses do primeiro trimestre }


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ConjuntosNotação padrão

Designando alguns conjuntos especiais

I N : conjunto dos números inteiros não negativos (0 ∈ N)

I Z : conjunto dos números inteiros

I Q : conjunto dos números racionais1. Todo número inteiro é um racional2. Todo número decimal exato é um racional3. Toda dízima periódica é um número racional


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I I: conjunto dos números irracionais1. Não podem ser representados por meio de uma fração2. Obtidos pela raiz quadrada de um número3. Ou seja, números que possuem infinitas casas decimais e em

nenhuma delas obteremos um período de repetição.

I R : conjunto dos números reais1. Todos os números Racionais2. Todos os números Irracionais


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I C : conjunto dos números complexos1. Todos os números reais2. Todos os números resultantes da uma raiz negativa (

√−1)

3. Ou seja, contem todos os números que seguem a lei de formação:i2 = −1


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I Observe o gráfico:


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ConjuntosRepresentando os números geometricamente

I Os números reais (R), podem ser representadosgeometricamente por pontos de uma reta

1. Escolhemos 2 pontos distintos da reta2. Marcamos o primeiro como 0 (zero) e o segundo como 1 (um)3. Tomamos o segmento de extremidade 0 e 1 como a unidade de

medida4. Marcamos os demais números utilizando-se deste unidade

I Por exemplo:


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ConjuntosRepresentando os números geometricamente

I Sendo o ponto P representado por um número Real,I Dizemos que x é a coordenada (abscissa) de PI Tome a reta, abaixo, como exemplo:

I −2 é a coordenada de A;

I32

é a coordenada do ponto BI 3 é a coordenada do ponto C

I Quando P está à direita do 0 sua coordenada será um realpositivo

I Quando P está à esquerda do 0 sua coordenada será um realnegativo


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ConjuntosProduto Cartesiamo

Par Ordenado

I Dados os conjuntos A e BI O objeto (a,b), em que a ∈ A e b ∈ BI Recebe o nome de par ordenado de primeiro elemento a e

segundo elemento bI Os pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais somente quando:

1. a = c2. b = d


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Exemplo 01I Seja:

1. A = {0, 1}2. B = {3, 4}

I Calcule: A× B =

{(0,3), (0,4), (1,3), (1,4)}


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Exemplo 02I Seja:

1. A = {5}2. B = {0, 1, 2}

I Calcule: A× B =

{(5,0), (5,1), (5,2)}


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ConjuntosProduto Cartesiamo - Exercícios

I Determine o produto cartesiano de A× B, sendo:

1. A = {1, 5, 9} e B = {7, 3, 5}2. A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 5, 6}3. A = {7, 8, 9} e B = {3, 4, 6, 8, 9}


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RelaçãoDefinição

I Uma relação R é um subconjunto do produto cartesianoA× B;

I No qual, o elemento x , pertencente ao conjunto A, estárelacionado ao elemento y , pertencente ao conjunto B;

I O relacionamento entre os dois elementos é dado por umcritério de correspondência, de forma que:

R ⊂ A× B


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RelaçãoExemplo

I Represente graficamente a relação:

R = {(x , y) ∈ A× B|x < y}I Sendo :

1. A = {1, 2, 3}2. B = {2, 3}


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