matematicabasica vf x

8/22/2019 MatematicaBasica Vf x

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Matematica Basica

Francisco Edson da Silva

Simone Batista


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Conteudo

1 Revisao Elementar: Introducao aos Conjuntos 1

1.1 Nocoes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Representacao dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Relacao de pertinencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Conjunto Universo - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Operacoes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Numero de elementos do conjunto uniao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 Modelagem de problemas usando teoria de conjuntos . . . . . . . . . . . . 18

1.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Revisao Elementar: Conjuntos Numericos e Operacoes Aritmeticas 24

2.1 Conjunto dos Numeros Naturais, IN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2 Operacoes com numeros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Conjunto dos Numeros Inteiros, Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Operacoes com numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3 Numeros opostos ou simetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.4 Modulo de um numero inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Conjunto dos Numeros Racionais, IQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2 Operacoes com fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.3 Representacao decimal das fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.4 Operacoes com numeros decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.5 Representacao fracionaria dos numeros decimais . . . . . . . . . . . 47

2.4 Conjunto dos Numeros Irracionais, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5 Conjunto dos Numeros Reais, IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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2.5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5.2 A ordem na reta e a notacao de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.3 Potenciacao com expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.4 Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5.5 Potenciacao com expoente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6 Trabalhando com Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.6.1 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.6.2 Arredondamento de numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.6.3 Notacao cientfica e notacao de engenharia . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Nocoes Iniciais de Funcoes 763.1 Funcao: Definicao e notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Domnio e contra-domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3 Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4 Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.5 Graficos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.6 Analise visual de graficos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.6.1 Continuidade de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.6.2 Funcoes crescentes, decrescentes e constantes . . . . . . . . . . . . . 98

3.6.3 Funcoes limitadas e extremos local e absoluto de funcoes . . . . . . 101

3.6.4 Simetria: funcao par e funcao mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4 Polinomios e Funcoes Polinomiais 117

4.1 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.1.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.1.2 Valor numerico de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.1.3 Polinomio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.1.4 Grau de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.1.5 Igualdade de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.2 Operacoes com polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3 Produtos notaveis e fatoracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.3.1 Produtos notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.3.2 Completar quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3.3 Fatoracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

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5 Funcoes polinomiais 129

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2 Funcoes pol i nomi ai s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.3 Funcao de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.3.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.3.2 Estudo de uma funcao de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.3.3 Modelando problemas com funcoes de 1o grau . . . . . . . . . . . . 137

5.4 Funcao de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.4.1 Definicao e grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.4.2 Zeros da funcao de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.4.3 Coordenadas do vertice do gra fi c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4

5.4.4 Imagem e estudo do sinal da funcao quadratica . . . . . . . . . . . 149

5.4.5 Graficos funcoes de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.4.6 Modelando problemas com funcoes de 2o grau . . . . . . . . . . . . 154

5.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6 Funcao Modular 162

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.2 A funca o m o d u l a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4

6.3 Domnio de funcoes modul ares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.4 Imagem de funcoes modul ares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.5 Grafico de funcoes modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.6 Equacoes modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.7 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7 Funcao Exponencial e Funcao Logartmica 183

7.1 A funcao ex ponenci al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.1.1 Introducao e definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.1.2 Propriedades da funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.1.3 Construcao do grafico da funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . 188

7.1.4 Equacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.2 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

7.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.2.2 Consequencias da definicao do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . 197

7.2.3 Sistemas de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7.2.4 Propriedades operatorias dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . 198

7.2.5 Mudanca de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.2.6 Equacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

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7.2.7 Equacoes logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.3 A funcao logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.4 Funcoes inversveis e funcoes i nv ersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.4.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.4.2 Grafico de funcoes i nv ersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

8 Operacoes com Funcoes e Funcao Composta 219

8.1 Operacoes com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.2 Funcao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

8.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9 Trigonometria e Funcoes Trigonometricas 226

9.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.2 Medidas de arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9.3 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9.4 Ciclo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.5 Funcoes periodicas e o ciclo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

9.6 Funcao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.7 Funcao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.8 Funcao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439.9 Funcoes cotangente, secante e cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

9.10 Relacoes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.11 Funcoes trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.11.1 A Funcao arcosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.11.2 A Funcao arcocosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

9.11.3 A Funcao arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

9.11.4 A Funcao arcocotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

9.11.5 A Funcao arcossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

9.11.6 A Funcao arcocossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

9.12 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

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Captulo 1

Revisao Elementar: Introducao aos

Conjuntos

Este livro tem por principal objetivo apresentar ao estudante um estudo previo das

principais e mais simples funcoes utilizadas nas areas de Matematica e Fsica (a saber

funcoes polinomiais de primeiro e segundo graus, funcao modular, funcao exponencial,

funcao logartmica e funcoes trigonometricas) sem fazer uso dos conceitos e ferramentas

do calculo diferencial e integral, mas aprendendo a operar com estas funcoes e construindo

seus graficos e os graficos de combinacoes das mesmas.

Antes de comecarmos o nosso estudo de funcoes, no entanto, faz-se necessaria uma

breve revisao de alguns conceitos de matematica elementar que sao aprendidos no ensino

fundamental e medio e que, em muitos casos, os alunos ja esqueceram ao chegar ao ensino

universitario ou nao viram de forma adequada em seu ensino fundamental e medio.

Para trabalhar adequadamente com as funcoes em geral precisamos conhecer os prin-

cipais conjuntos numericos e aprender a trabalhar e operar matematicamente com os

elementos deste conjuntos.

Antes, porem, iremos fazer uma breve introducao sobre conjuntos para relembrarmos

algumas nocoes sobre conjuntos e para nos acostumarmos com a notacao de conjuntos ecom as operacoes de uniao e interseccao de conjuntos que iremos utilizar bastante para,

por exemplo, determinarmos e escrevermos os domnios e imagens de funcoes nos captulos

a seguir.

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1.1 Nocoes iniciais

Os conjuntos numericos sao conjuntos cujos elementos sao numeros que guardam, entre

si, uma caracterstica comum e, por isto, possuem elementos perfeitamente caracterizados.

Ao estudarmos e trabalharmos em Matematica, Fsica e Engenharia, estamos fazendo

operacoes definidas dentro de um conjunto numerico. Por exemplo, ao fazermos uma

operacao entre dois elementos de um conjunto numerico e obtendo como resultado um

outro elemento desse mesmo conjunto numerico, dizemos que a operacao esta definida

dentro do conjunto numerico.

Assim, para contextualizar a revisao acerca dos conjuntos numericos, vamos apresentar

nesta secao uma breve revisao dos principais conceitos da teoria de conjuntos que precis-

aremos no decorrer do captulo e tambem do livro. Os primeiros conceitos que precisamosrelembrar/conhecer sao as definicoes relacionadas a conjuntos e a seus elementos.

Conjunto e uma colecao bem definida de objetos.

Os objetos de um conjunto sao chamados de membros ou elementos.

Classe, colecao e famlia sao sinonimos para conjuntos.

Para designar os conjuntos usamos, no geral, letras maiusculas.

Podemos tomar como exemplo os seguintes conjuntos:

1. A = {1, 3, 5, 7, . . . }.

2. B = {0, 2, 4, 6, . . . }.

3. IN = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }, conjunto dos numeros naturais.

4. W =

{amarelo, branco, preto

}.

5. V= {v |v e um segmento orientado, horizontal,orientado da esquerda para direita, de comprimento 2 }.

6. P = {x| x e aluno da Escola de Ciencias e Tecnologia}.

As definicoes e propriedades que vamos estudar nesta secao valem tambem para os

conjuntos numericos.

Os Conjunto Numericos, como ja foi dito, sao conjuntos cujos elementos sao

numeros que guardam entre si uma caracterstica comum. Tais conjuntos possuem ele-

mentos muito bem caracterizados.

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Os principais conjuntos numericos sao:

IN: conjunto dos numeros naturais;

Z: conjunto dos numeros inteiros;

IQ: conjunto dos numeros racionais;

II: conjunto dos numeros irracionais;

IR: conjunto dos numeros reais;

C: conjunto dos numeros complexos.

Estes conjuntos numericos, excetuando-se o conjunto C, serao revisados/estudados emnosso livro e, mais especificamente, neste captulo.

1.2 Representacao dos conjuntos

Nos exemplos de conjuntos que vimos, usamos duas maneiras distintas para especificar

os conjuntos.

a) Listando seus elementos separados por vrgulas e entre chaves.

1. A = {1, 3, 5, 7, . . . }.2. B = {0, 2, 4, 6, . . . }.3. IN = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }.4. W = {amarelo, branco, preto}.

b) Descrevendo as propriedades que caracterizam estes elementos.

5. V= {v |v e um segmento orientado, horizontal,orientado da esquerda para direita, de comprimento 2 }.

6. P = {x| x e aluno da Escola de Ciencias e Tecnologia}.

Um mesmo conjunto pode ser especificado por qualquer das duas maneiras. Assim,

por exemplo, podemos ter:

1. A ={

1, 3, 5, 7, . . .}A = {x| x e um numero mpar}

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2. B = {0, 2, 4, 6, 8, . . . }B = {x| x e um numero par}B = {x = 2k| x IN}

3. C = {1, 2, 3, 4, 5}C = {x| x IN; 1 x 5}

Observacoes importantes

1. A ordem na qual os elementos sao apresentados dentro do conjunto nao e importante.

Assim, os conjuntos D = {a,b,c,d} e C = {b,d,c,a} sao identicos.

2. O conjunto vazio e, em nosso livro e na maioria dos livros didaticos, representado

pelo smbolo .

3. Usa-se, normalmente, o smbolo para representar o numero de elementos de um

conjunto.

4. Usamos retiscencias, apos indicar alguns elementos de um conjunto (como no con-

junto A = {1, 3, 5, 7, . . . }), para indicar que o conjunto e infinito. Por convencao,so colocamos as retiscencias quando ja esta subentendido quais sao os proximos

elementos do conjunto (no caso do conjunto A, ja se percebeu que os elementos aseguir sao 9, 11, 13 e os demais numeros mpares).

5. Conjuntos que nao tem elementos em comum sao ditos disjuntos.

Vamos ao exemplo a seguir para fixar melhor alguns destes conceitos.

Exemplo: Determine o numero de elementos dos conjuntos enunciados a seguir.

a) P ={

x|

x

IN; 0 < x < 1}Resposta: Nao ha nenhum numero natural que obedeca a condicao 0 < x < 1, ou

seja, P = = P = 0.

b) C = {amarelo, azul, vermelho, branco}Resposta: O numero de elementos de C e 4, ou seja, C = 4.

c) IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }Resposta: O conjunto dos numeros naturais tem infinitos elementos, ou seja, IN =

+.

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1.3 Relacao de pertinencia

A letra grega

da a relacao de pertinencia entre elementos e conjuntos. Por exemplo,

dado o conjunto A = {1, 3, 5, 7, . . . }, podemos escrever que: 1 A; e 2 / A.Vamos entender melhor o uso da relacao de pertinencia com o exemplo a seguir.

Exemplo: Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, . . . } e B = {0, 2, 4, 6, . . . }. Pode-mos escrever que:

a) 0 A?Resposta: Nao, pois o conjunto A e o conjunto dos numeros mpares e o zero

e par. Podemos escrever que 0 /

A.

b) 7 A?Resposta: Sim, pois o conjunto A e o conjunto dos numeros mpares e o

numero sete e mpar e, portanto, pertence ao conjunto A.

c) 1 B?Resposta: Nao, pois o conjunto B e o conjuntos dos numeros pares e o

numero um e mpar. Podemos escrever que 1 / B.d) 3 B?

Resposta: Nao, pois o conjunto B e o conjuntos dos numeros pares e onumero tres e mpar. Podemos escrever que 3 / B.

Devemos ressaltar que, de forma alguma, pode-se usar para relacionar um conjuntoa outro. Por exemplo, se A = {1, 3, 5, 7, . . . } e C = {1, 3, 5}, NAO podemos escreverque C A.

1.4 Subconjuntos

Consideremos dois conjuntos A e B. Esses conjuntos sao tais que todos os elementos

do conjunto A sao tambem elementos do conjunto B.

Dizemos que o conjunto A e subconjunto de B e escrevemos:

A B ou A BTambem podemos dizer que B contem A e escrever:

B A

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Se A B e existe pelo menos um elemento de B que nao pertence a A, dizemos queA e subconjunto proprio de B e escrevemos:

A B

Para que dois conjuntos sejam iguais devemos ter a seguinte condicao:

A = B A B; B A

Exemplo: Considere o conjunto dos numeros naturais IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}, oconjunto A = {1, 3, 5, 7, . . .} e o conjunto vazio . Podemos escrever que:

i) A IN?Resposta: Sim, pois todo elemento de A tambem e elemento de IN e em IN

ha elementos que nao pertencem a A.

ii) A?Resposta: Sim, pois todo elemento de tambem e elemento de A e haelementos de A que nao pertencem ao conjunto .

iii) A ?Resposta: Nao, nao e elemento do conjunto A.

iv) {} A ?Resposta: Nao, pois nao e elemento do conjunto A.

v) ?Resposta: Sim, pois todo elemento do conjunto pertence ao conjunto .

Importante: Sejam A, B e C tres conjuntos. Entao, e sempre verdade que:

1. A A.2. Se A B e B A, entao A = B.

3. Se A B e B C, entao A C.

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1.5 Conjunto Universo -

Uma teoria e desenvolvida, em geral, usando subconjuntos de um dado conjunto. O

conjunto de todos os subconjuntos usados na teoria e denominado conjunto universo.

Normalmente, usamos a letra grega (Omega maiuscula) para indicar este conjunto.

Exemplos:

1. Ao estudarmos populacoes ou ao fazermos contagem de elementos, o conjunto uni-

verso e o conjunto dos numeros naturais, ou seja,

= IN = {0, 1, 2, 3, 4,...}.

2. Em nosso livro o conjunto universo sera o conjunto dos numeros reais, = IR.

3. Na maioria dos componentes curriculares e textos da area de exatas, o conjunto

universo e o conjunto dos numeors reais (IR), mas em alguns poucos casos e o

conjunto dos numeros complexos (C).

1.6 Diagrama de VennO chamado diagrama de Venn e uma representacao grafica de um ou mais conjuntos.

Nela, os conjuntos sao representados por areas fechadas dentro de um plano.

Assim, o conjunto A = {a,b,c,d}, tem como diagrama de Venn qualquer uma dasrepresentacoes mostradas na figura 1.1:

Figura 1.1: Representacao do conjunto A = {a,b,c,d} emtermos de sue diagrama de Venn. As duas representacoes da

figura sao completamente equivalentes.

O conjunto universo e representado, no geral, pelo interior de um retangulo. Assim,

o conjunto A, subconjunto do conjunto universo e este proprio, tem como representacao

o diagrama de Venn mostrado na figura 1.2.

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Figura 1.2: Representacao em diagrama de Venn do con-

junto universo e de seu subconjunto A.

Vamos fazer o seguinte exemplo para nos ajudar a fixar melhor a representacao de

conjuntos em termos de diagramas de Venn.

Exemplo: Considere os conjuntos representados na figura 1.3.

Figura 1.3: Representacao, em (a), (b) e (c), do diagrama de Venn do conjunto universo e de seus subconjuntos A e B.

O que podemos afirmar sobre os conjuntos A e B nas situacoes representadas na

figura 1.3?

Resposta: Na figura 1.3.(a) temos que A B. Na figura 1.3.(b) os conjuntos Ae B tem alguns elementos em comum. E na figura 1.3.(c) os conjuntos A e B sao

disjuntos.

1.7 Operacoes com conjuntos

Agora que revisamos os principais conceitos e defini coes relacionados aos conjuntos

vamos estudar/relembrar duas das principais operacoes entre conjuntos, que sao a uniao

de conjuntos e a interseccao de conjuntos. As outras operacoes entre conjuntos

(subtracao, diferenca simetrica e complementacao) ficam a cargo do estudante pesquisar

e estudar em material complementar.

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Uniao

A primeira operacao que vamos estudar e a uniao entre conjuntos. Vamos a sua

definicao.

Dados dois conjuntos A e B indicaremos por A B a uniao dos conjuntos A e B, quee o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B. Ou seja:

A B = {x| x A ou x B}.A uniao de dois conjuntos A e B e representada, em termos de diagrama de Venn, na

figura 1.4.

Figura 1.4: Diagrama de Venn do conjunto A B.

Assim, o conjunto A B e representado, no diagrama de Venn, pela area de A e deB, incluindo a area comum a estes dois conjuntos.

A uniao de tres conjuntos sera indicada por: A B C.Generalizando, a uniao dos n conjuntos A1, A2, A3, . . . , An sera indicada por

nk=1

Ak.

Ou seja:

A1 A2 A3 An =n

k=1

Ak

Nos exemplos a seguir ilustramos a realizacao desta operacao entre conjuntos, de forma

que o estudante possa compreende-la e executa-la nos exerccios deste captulo.

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Exemplos:

1. Considere os conjuntos A =

{1, 3, 5, 7

}e B =

{0, 1, 2, 3, 4, 5

}. Determine o conjunto

C = A B e represente-o em termos de seu diagrama de Venn.Resposta: O conjunto C, dado pela uniao entre os conjuntos A e B e o conjunto

de todos os elementos que pertencem a A ou a B, incluindo os elementos comuns a

A e B. Assim:

C = A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}

Em termos do diagram de Venn. o conjunto C pode ser representado como na figura

1.5, que esta logo abaixo.


junto C = A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}.

2. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 2, 4, 6, 8} e C = {3, 5, 7}. De-termine cada conjunto pedido a seguir e represente-os em termos de seus diagramas

de Venn.

a) A BResposta: O conjunto A B e dado por:

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}E seu diagrama de Venn esta representado na figura 1.6.


junto A

B =

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

}.

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b) A CResposta: Neste caso temos que C A, portanto:

A C = A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}E o diagrama de Venn de A C esta representado na figura 1.7.


junto A C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} onde C A.

c) B CResposta: Neste caso temos que:

B C = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}Os conjuntos B e C sao disjuntos e, portanto, a representacao em diagrama de

Venn de B C e a representacao mostrada na figura 1.8.


junto B C = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} com B e C conjuntos dis-juntos.

3. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7,...}, B = {0, 2, 4, 6, 8,...} e IN = {0, 1, 2, 3, 4,...},determine:

a) A B.Resposta: O conjunto A B, que e o conjunto dos elementos que pertencema A ou a B e dado por:

A B = {0, 1, 2, 3, 4,...} = IN

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b) B IN.Resposta: Todos os elementos de B tambem sao elementos de IN, assim temos

que:

B IN = IN

4. Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9} e D ={7, 8, 9, 10}. Determine os conjuntos a seguir:

a) A B.Resposta: O conjunto A B e dado por:

A

B =

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 8

}b) B C.

Resposta: O conjunto B C e o conjunto:B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

c) A B D.Resposta: O conjunto A B D e o conjunto:

A B D = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

d) A B C D.Resposta: O conjunto A B C D e :

A B D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Interseccao

A interseccao de conjuntos e considerada a operacao inversa da uniao de conjuntos.

Vamos a sua definicao.Dados dois conjuntos A e B, indicaremos por A B a interseccao entre os conjuntos

A e B, que e o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Ou

seja:

A B = {x| x A e x B}.Em termos dos diagramas de Venn, a interseccao de dois conjuntos A e B e represen-

tada pela area que pertence tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. A representacao

da interseccao dos conjuntos A e B no diagrama de Venn e mostrada na figura 1.9.

A interseccao de tres conjuntos sera indicada por: A B C.

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junto A B. Somente a area comum a A e a B pertence aoconjunto A B.

Generalizando, a interseccao dos n conjuntos A1, A2, A3, . . . , An sera indicada por:n

k=1

Ak. Ou seja,

A1 A2 A3 An =n

k=1

Ak.

Como ja foi dito antes, dois conjuntos sao disjuntos se nao possuem elementos em

comum. Assim, a interseccao de dois conjuntos disjuntos e vazia. Ou seja, dados os

conjuntos A e B, se A B = dizemos que A e B sao disjuntos.Vamos aos exemplos a seguir para entendermos melhor a interseccao de conjuntos.

Exemplos

1. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 2, 4, 6, 8} e C = {3, 5, 7}. De-termine cada conjunto pedido a seguir e represente-os em termos de seus diagramas

de Venn.

a) A BResposta: O conjunto A B e o conjunto que contem todos os elementosque pertencem, simultaneamente, ao conjunto A e ao conjunto B. Assim, o

conjunto A B pode ser escrito como:A B = {2, 4, 6}

Sua representacao em diagrama de Venn esta mostrada na figura 1.10, onde

vemos que o conjunto A B e representado apenas pela area comum a A e aB.

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junto A B = {2, 4, 6}.

b) A CResposta: Neste caso temos que todos os elementos do conjunto C tambem

sao elementos do conjunto A, ou seja C A. Assim:

A C = C = {3, 5, 7}

O diagrama de Venn de A C esta representado na figura 1.11.


junto A C = C = {3, 5, 7}, pois C A.

c) B CResposta: Neste caso, os conjuntos B e C nao tem elementos em comum (sao

disjuntos). Portanto:

B C = Por ser um conjunto sem elementos, o conjunto vazio nao tem uma repre-

sentacao propria no diagrama de Venn, onde ele seria um crculo vazio.

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2. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7,...}, B = {0, 2, 4, 6, 8,...} e IN = {0, 1, 2, 3, 4,...},determine:

a) A B.Resposta: O conjunto A B e o conjunto dos elementos que pertencem aA e, ao mesmo tempo, pertencem a B. Como os conjuntos A e B nao tem

elementos em comum (A e B sao disjuntos), temos que:

A B =

b) B IN.Resposta: Todos os elementos de B tambem sao elementos de IN (B e sub-

conjunto de IN). Desta forma temos que:

B IN = B B IN

Ha outras operacoes entre conjuntos (subtracao, diferenca simetrica e comple-

mentacao) mas nao vamos relembra-las e nem estuda-las aqui, pois estamos interessa-

dos em estudar, especificamente, os conjuntos numericos e as operacoes entre elementos

destes conjuntos e nao entre os conjuntos. Sendo que as operacoes de uniao e interseccao

de conjuntos foram relembradas pois serao extremamente uteis e necessarias quando es-

tivermos estudando os domnios e imagens de funcoes em geral e, mesmo antes disso,

elas serao necessarias para podermos expressar alguns intervalos de numeros reais em

termos da notacao de conjuntos. Ou seja, foi imprescindvel, no contexto deste livro, ter-

mos revisado as operacoes de uniao e interseccao de conjuntos e, embora existam outras

operacoes envolvendo conjunto, nao precisamos relembra-las em nosso livro.

1.8 Numero de elementos do conjunto uniao

Dada a uniao entre dois ou mais conjuntos finitos, muitas vezes, mesmo sem conhecer-

mos os elementos de cada conjunto, precisamos saber o numero de elementos do conjunto

uniao.

Para tanto, precisamos definir uma expressao matematica para calcular o numero de

elelemtos do conjunto uniao em termos do numero de elementos de cada um dos conjuntos

individuais e do numero de elementos das interseccoes entre eles.

Vamos primeiro considerar a uniao entre os conjuntos A e B finitos, de forma que A

seja o numero de elementos do conjunto A, B o numero de elementos de B e (A

B) o

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numero de elementos do conjunto A B. Desta forma, o numero de elelemtos de A Bsera dado por:

(A B) = A + B (A B)onde foi subtrado o (A B) pois, por serem os elementos comuns aos conjuntos A e Bsao somados duas vezes quando contamos os elementos de A e depois os elementos de B.

Analogamente, podemos obter o numero de elementos do conjunto A B C, ondeA, B e C sao conjuntos finitos, como:

(A B C) = A + B + C (A B) (A C) (B C) + (A B C)

Vamos ao exemplo a seguir para fixarmos melhor em nossa mente o conceito acima.

Exemplos

1. Se A, B e A B sao conjuntos com 50, 34 e 12 elementos, respectivamente. Qual onumero de elementos do conjunto A B?Resolucao: Podemos resolver este problema diretamente da expressao para o

numero de elementos do conjunto uniao:

(A B) = A + B (A B) = 50 + 34 12 = 72

Portanto, o conjunto A B tem 72 elementos.Tambem poderamos ter resolvido este problema a partir de sua representacao no

diagrama de Venn. Para ilustrar, vamos resolve-lo tambem desta maneira.

O diagrama de Venn dos conjuntos A e B que possuem elementos em comum pode

ser representado como na figura 1.12.(a). Para preencher o diagrama vamos: (i)

comecar com o numero de elementos da interseccao entre os dois conjuntos, que e

(A B) = 12; (ii) em seguida preenchemos o numero de elementos restantes doconjunto A que e A

(A

B) = 50

12 = 38; e, por ultimo, (iii) preenchemos o

numero de elementos restantes do conjunto B, que e B (A B) = 34 12 = 22.O diagrama de Venn dos conjuntos A e B e os numeros de seus respectivos elementos

e de sua interseccao, e mostrado na figura 1.12.(b), onde, somando-se os numeros de

elementos qeu aparecem no diagrama temos que (AB) = 38+12+22 = 72. Assim,pelo diagrama de Venn temos tambem que o conjunto A B tem 72 elementos.

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junto A B. Na figura (a) temos a forma do diagrama deVenn dos conjuntos A e B que possuem elementos em co-

mum. E na figura (b) temos o mesmo diagrama, onde foram

preenchidos o numero de elementos que pertencem somente a

A, o numero de elementos que pertencem a AB e o numero

de elementos que pertence somente a B.

2. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O numero de elementos de A B e 30, o numerode elementos de A C e 20 e o numero de elementos de A B C e 15. Determineo numero de elementos de A (B C).Resolucao: O diagrama de Venn dos conjuntos A, B e C tem a forma repre-

sentada na figura 1.13.(a). Na figura 1.13.(b) destacamos a regiao do diagrama

correspondente ao conjunto A (B C), que e a regiao hachurada no diagrama deVenn. Na figura 1.13.(c) temos o mesmo diagrama de Venn preenchido com as in-formacoes do enunciado, sendo que, para preenche-lo, seguimos os seguintes passos:

(i) comecamos com o numero de elementos da interseccao mutua entre os tres con-

juntos, que e (AB C) = 15; (ii) em seguida preenchemos o numero de elementosda interseccao exclusiva entre A e B que e (A B) (A B C) = 30 15 = 15;e (iii) preenchemos o numero de elementos da interseccao exclusiva entre A e C que

e (A C) (A B C) = 20 15 = 5.Somando, a partir da figura 1.13.(c), o numero de elementos da regiao do diagrama

que esta hachurada em 1.13.(b), temos que [A (B C)] = 35.

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junto A B C. Na figura (a) temos a forma do diagramade Venn dos conjuntos A, B e C que possuem elementos em

comum. Na figura (b) temos o mesmo diagrama o mesmo

diagrama de Venn onde a regiao hachurada corresponde ao

conjunto A (B C). E na figura (c) foram preenchidos osnumeros de elementos em algumas regioes do diagrama de

acordo com os dados do enunciado.

1.9 Modelagem de problemas usando teoria de con-

juntos

Alguns problemas simples de nosso cotidiano podem ser modelados e representados em

termos da teoria de conjuntos. Mais especificamente, podemos modelar e resolver alguns

problemas usando a representacao em diagram de Venn dos conjuntos, as operacoes de

uniao e interseccao de conjuntos e o numero de elementos em um conjunto que e uniao

de outros conjuntos.

Vamos resolver o exemplo a seguir para ilustrar o procedimento e, ao entender este

exemplo, o aluno devera estar apto a resolver os problemas contidos na lista de exerccios

deste captulo.

Exemplo: A lanchonete da Escola de Ciencias e Tecnologia fez uma pesquisa com

seus consumidores sobre o sabor do suco que eles preferem tomar. Na pesquisa foi

constatado que, dos consumidores entrevistados, 582 tomam suco de laranja, 498

tomam suco de manga e 452 tomam suco de caja. Constatou-se tambem que 1102

preferem nao tomar suco, que 135 tomam os sucos de laranja e de manga, que 123

tomam suco de laranja e de caja, que 201 tomam suco de manga e de caja e que

48 entrevistados tomam os tres sabores de suco. Considerando os resultados da

pesquisa, determine:

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a) o diagrama de Venn que representa o conjunto de consumidores entrevistados

pela pesquisa e suas preferencias;

Resolucao: O diagrama de Venn que representa os conjuntos L, M e C doexemplo tem a forma mostrada na figura 1.14.(a), onde L e o conjunto dos

entrevistados que tomam suco de laranja, M e o conjunto dos entrevistados

que tomam suco de manga e C e o conjunto dos entrevistados que tomam suco

de caja.

Figura 1.14: Representacao em diagrama de Venn dos con-

juntos L, M e C. Em (a) temos os conjuntos e suas partes

dentro do quadrado que representa o conjunto universo do

problema; e em (b) temos o mesmo diagrama de Venn mas

com o numero de elementos em cada parte do diagrama ja

preenchido.

Para preencher o diagrama da figura 1.14.(a) e obtermos o diagrama de Venn da

figura 1.14.(b) vamos: (i) comecar com o numero de elementos da interseccao

mutua entre os tres conjuntos, que e (L M C) = 48; (ii) em seguidapreenchemos o numero de elementos da interseccao exclusiva entre o conjunto

L e o conjunto M, que e (L M) (L M C) = 135 48 = 87; (iii)preenchemos o numero de elementos da interseccao exclusiva entre o conjunto

L e o conjunto C, que e (L C) (L M C) = 123 48 = 75; (iv)preenchemos o numero de elementos da interseccao exclusiva entre o conjuntoM e o conjunto C, que e (M C) (L M C) = 201 48 = 153; (v)preenchemos o numero de elementos da area restante do conjunto L, que que

e o numero de consumidores que so toma suco de laranja e vale o numero total

de consumidores que toma suco de laranja menos os consumidores que tomam,

tambem, algum outro suco (582 48 87 75 = 372); e (vi) preenchemos, demaneira analoga, o numero de elementos da area restante de M e de C.

Assim, na figura 1.14.(b) temos o diagrama de Venn do problema totalmente

preenchido a partir dos dados da pesquisa. E, a partir dele, podemos responder

as perguntas dos proximos itens de nosso exemplo.

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b) o numero de consumidores consultados na pesquisa;

Resolucao: O numero de consumidores consultados, que e o numero de ele-

mentos do conjunto universo mostrado na figura 1.14.(b) e a soma dos ele-mentos de todas as regioes do diagrama de Venn. Ou seja, na pesquisa foram

consultados 2223 consumidores.

c) o numero de consumidores que tomam suco;

Resolucao: O numero de consumidores que tomam suco e o numero total

de consumidores menos o numero de pessoas que nao tomam suco. Assim:

Ns = 2223 1102 = 1121 consumidores.d) o numero de consumidores que tomam suco ou so de caja ou so de manga;

Resolucao: Pelo diagrama de Venn, vemos que o numero de consumidores quetomam suco somente de caja e 176 e o numero de consumidores que tomam

suco somente de manga e igual a 210, portanto, o numero de consumidores

quetomam suco ou so de caja ou so de manga e igual a 386.

Para que o estudante possa verificar e relembrar o seu aprendizado referente a essas

nocoes iniciais de conjuntos, ele deve refazer todos os exemplos do captulo que acabamos

de finalizar e, em seguida, fazer os exerccios da lista a seguir.

1.10 Exerccios

1. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentecas a seguir:

a) ( ) {1} {1}b) ( ) {1} {1}c) ( ) 1 {1}d) ( ) {1}e) ( ) {1}

2. Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 2, 3} e C = {0, 1, 2, 3}, classifique emverdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmacao abaixo.

a) ( ) A Bb) ( ) {1} A

c) ( ) A C

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d) ( ) B Ce) ( ) B Cf) ( ) {0, 2} B

3. Se A B C e x / B, entao, necessariamente:

a) ( ) x / Cb) ( ) x Ac) ( ) x Cd) ( ) x / Ae) ( ) x A ou x C

4. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e C ={0, 5, 10, 15, 20}, determine:

a) A Bb) A Bc) A C

d) A Ce) B Cf) A B Cg) A B Ch) A (B C)i) (A B) (B C)

5. Dados os conjuntos abaixo: A =

{1, 3, 4, 7, 8, 9

}, B =

{1, 2, 3, 4, 5

}e C =

{1, 3

},

podemos fazer as seguintes afirmacoes sobre eles: i) C A; ii) C B; iii) B A;e iv) A B. Usando as nocoes de subconjuntos, podemos fazer outras afirmacoessobre os conjuntos A, B e C? Quais?

6. Se A, B e A B sao conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, qual onumero de elementos do conjunto A B?

7. Sabendo-se que {a,b,c,d}X = {a,b,c,d,e}, {c, d}X = {a,c,d,e} e {b,c,d}X ={c}, determine o conjunto X?

8. Sejam A = 2, B = 3 e C = 4, entao e verdadeiro que:

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a) (A B) 1b) (A

C)

5

c) ((A B) C) 2d) ((A C) C) 2e) (A ) 2

9. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O numero de elementos de B C e 45; o numerode elementos de A C e 40 e o numero de elementos de A B C e 25. Determinaro numero de C (A B).

10. Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que se respon-dessem sim ou nao: voce gosta de dancar? voce pratica algum esporte? Respon-

deram sim a primeira pergunta 136 jovens; 92 responderam sim a segunda pergunta;

48 responderam sim a ambas; e 30 nao a ambas. Qual o total de jovens entrevista-

dos?

11. Em uma academia que tem 380 alunos, 212 praticam corrida, 170 praticam spin-

ning e 76 praticam ambos. Quantos alunos praticam spinning ou corrida? Quantos

alunos nao praticam nenhuma das duas?

12. Fez-se uma pesquisa com os frequentadores de um cinema sobre os estilos de filmes

favoritos entre acao, comedia e romance. Na tabela abaixo sao mostrados os resul-

tados da pesquisa em relacao ao publico consultado.

Estilos No frequentadores

Acao 1120

Comedia 1708

Romance 1480

Acao e Comedia 386Acao e Romance 272

Comedia e Romance 450

Acao, Comedia e Romance 112

Nenhum 58

Determine o numero de pessoas:

a) consultadas;

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b) que nao preferem acao ou romance;

c) que tem preferencia por pelo menos dois estilos;

d) que tem preferencia por acao e comedia mas nao por romance;

e) que tem preferencia apenas por romance.

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Captulo 2

Revisao Elementar: Conjuntos

Numericos e Operacoes Aritmeticas

E imprescindvel ao estudante da area de exatas saber realizar as seis operacoes ar-

itmeticas basicas (adicao, subtracao, multiplicacao, divisao, potenciacao e radiciacao) com

numeros reais sem fazer uso de calculadoras. Mesmo que, ao trabalhar com numeros reais

com muitos algarismos significativos, o estudante necessite fazer uso de calculadoras, e

necessario que ele saiba realizar as operacoes sem esta. A habilidade e competencia que

se adquire operando manualmente com numeros reais faz parte das habilidades a serem

desenvolvidas pelo estudante da area de exatas.

Levando-se em consideracao que muitos estudantes, ao entrarem no ensino superior,

ainda apresentam alguma dificuldade para operar com numeros reais ou nao tem seguranca

ao realizar operacoes como a potenciacao e a radiciacao, setimos a necessidade de fazer

uma breve revisao dos conjuntos numericos e das operacoes aritmeticas definidas nestes

conjuntos.

Por isto, neste segundo captulo de nosso livro iremos revisar as operacoes aritmeticas

fundamentais no contexto dos conjuntos numericos. Para tanto, vamos estudar/revisar

os principais conjuntos numericos, desde o conjunto dos numeros naturais ate o conjuntodos numeros reais, e as operacoes aritmeticas que estao definidas dentro desses conjuntos,

que sao a adicao, a subtracao, a multiplicacao, a divisao, a potenciacao e a radiciacao.

Vale ressaltar que o conhecimento acerca deste captulo e imprescindvel para o estudo

e entendimento do restante do livro, mas se o estudante se sente completamente seguro e

ciente do conteudo deste captulo, ele pode passar ao estudo do captulo seguinte do livro.

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2.1 Conjunto dos Numeros Naturais, IN

2.1.1 IntroducaoO conjunto IN, que ja foi utilizado em alguns exemplos do captulo anterior, e o

conjunto dos numeros naturais.

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }O conjunto IN e um conjunto infinito e surgiu da necessidade natural de se contar

objetos (dedos, ovelhas do rebanho, filhos, dias, etc.). Os outros conjuntos numericos sao

ampliacoes do conjunto dos numeros naturais.

O conjunto N pode ser representado geometricamente por uma reta numerada. Na

figura 2.1 temos a representacao do conjunto IN na reta numerada e nesta reta cadaelemento marcado e um elemento do conjunto IN.

Figura 2.1: Reta numerada representado o conjunto dos

numeros naturais, conjunto IN. Cada elemento marcado na

reta acima corresponde a um elemento de IN.

O conjunto IN possui alguns subconjuntos importantes:

1. O conjunto dos numeros naturais nao nulos.

IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } IN = IN {0}

Atualmente alguns autores usam como convencao que IN e conjunto dos numeros

naturais. Neste caso, o conjunto IN = IN {0}, chamado de conjunto dos numerosnaturais estendidos, corresponde ao nosso conjunto dos numeros naturais. Nao

usaremos esta convencao em nosso livro!

2. O conjunto dos numeros naturais pares.

INp = {0, 2, 4, 6, . . . } INp = {n = 2k| k IN}

3. O conjunto dos numeros naturais mpares.

INi = {1, 3, 5, 7, . . . } INi = {n = 2k + 1| k IN}

4. O conjunto dos numeros primos:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }

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2.1.2 Operacoes com numeros naturais

No conjunto IN estao definidas duas operacoes aritmeticas: adicao e multiplicacao.

Isto quer dizer que: i) adicionando-se dois elementos quaisquer de IN, a soma e elemento

de IN; ii) multiplicando-se dois elementos quaisquer de IN, o produto e elemento de IN.

Ou seja:

m, n IN

m + n INm n IN

onde m, n IR significa para todo m e n pertencentes aos numeros naturais.Podemos dizer, equivalentemente, que:

O conjunto IN e fechado em relacao

a adicao e a multiplicacao.

Efetuar as operacoes de soma e multiplicacao dentro do conjunto dos numeros naturais

e bem simples, mas devemos efetua-las com cuidado para evitar erros e enganos.

Vamos resolver algumas expressoes algebricas simples dentro do conjunto IN para

treinar.

Exemplo: Obtenha os resultados das expressoes numericas a seguir.

a) x = 1 + 2 + 3 + 4Resolucao: Neste caso, somamos os numeros diretamente e obtemos:

x = 1 + 2 + 3 + 4

x = 10

b) x = 2 + 3 5.Resolucao: Neste caso, efetuamos a multiplicacao antes da soma. Assim:

x = 2 + 3 5x = 2 + 15

x = 17

c) x = 2 + 2 7 + 3 + 4 1.Resolucao: Neste caso, temos:

x = 2 + 2 7 + 3 + 4 1x = 2 + 14 + 3 + 4

x = 23

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Ao trabalharmos com expressoes numericas e expressoes algebricas, devemos lembrar

sempre que:

A multiplicacao precede a soma!!!

No caso de algumas operacoes virem entre parenteses (ou colchetes ou chaves), efe-

tuamos primeiro as operacoes entre parenteses para elimina-los. Vejamos o exemplo a

seguir.

Exemplo: Obtenha os resultados das seguintes expressoes numericas.

a) x = 2 + 3

5 + 6

Resolucao:

x = 2 + 3 5 + 6x = 2 + 15 + 6

x = 23

b) x = (2 + 3) 4Resolucao:

x = (2 + 3) 4x = 5 4x = 20

c) x = (5 + 3) (3 + 2) + 3.Resolucao:

x = (5 + 3)

(3 + 2) + 3

x = 15 6 + 3x = 90 + 3

x = 93

O conjunto IN e fechado em relacao a adicao e a multiplicacao, mas o mesmo nao

ocorre para a subtracao. Isto e, o conjunto IN nao e fechado em relacao a subtracao. Por

exemplo, se tenho duas ovelhas e prometi duas para minha esposa e tres para meu filho,

nao poderei quitar minhas promessas.

x = 2 5 = 3 x / IN

27


33/261

Assim, teve-se a necessidade de ampliar o conjunto N e surgiu o conjunto dos numerosinteiros Z que estudaremos na proxima seccao.

Embora conjunto IN nao seja fechado em relacao a subtracao, podemos realizar estaoperacao entre numeros naturais e, em muitos caso, obter resultados dentro do conjunto

dos numeros naturais.

Do estudo/revisao deste conjunto dos numeros naturais, alem da breve revisao das

operacoes aritmeticas de adicao e multiplicacao, ficam as regras que sao validas para

quaisquer expressoes algebricas e numericas:

1. Ao efetuar as operacoes de adicao e multiplicacao, a multiplicacao e feita

antes da adicao.

2. Os parenteses, colchetes e chaves sao usados para separar operacoes ar-

itmeticas. As operacoes entre parenteses sao feitas antes das operacoes

entre colchetes, que sao feitas antes das operacoes entre chaves, que sao

feitas antes das operacoes fora dos parenteses, colchetes e chaves.

Em expressoes numericas e algebricas, e muito importante colocar parenteses, colchetes

e chaves para separar as operacoes e indicar a ordem certa de se efetua-las.

O uso de parenteses ou o seu nao uso em expressoes algebricas e numericas pode alterar

dastricamente o resultado da expressao. Podemos verificar este fato no exemplo a seguir.

Exemplo: Obtenha o valor de x nas seguintes expressoes numericas.

a) x = 18 + 2 7 4 8Resolucao:

x = 18 + 2 7 4 8x = 18 + 14 32x = 0

b) x = 18 + 2 (7 4) 8.Resolucao:

x = 18 + 2 (7 4) 8x = 18 + 2 3 8x = 18 + 48

x = 66

28


34/261

c) x = (18 + 2) (7 4) 8.Resolucao:

x = (18 + 2) (7 4) 8x = 20 3 8x = 480

2.2 Conjunto dos Numeros Inteiros, Z

2.2.1 Introducao

A primeira extensao do conjunto dos numeros naturais e o conjunto dos numeros

inteiros ou conjunto Z, que esta explicitado a seguir:

Z = {. . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }Da representacao acima vemos que todos os elementos de IN pertencem tambem a Z.

Ou seja:

IN Z

A representacao geometrica de Z e feita a partir da representacao de IN. Basta acres-

centarmos os pontos correspondentes aos numeros negativos. Na figura 2.2 temos a re-presentacao geometrica de Z.

Figura 2.2: Representacao geometrica do conjunto dos

numeros inteiros, conjunto Z. Cada elemento marcado na

reta e elemento de Z. Os elementos de Z que tambem per-

tencem a IN estao em preto e os que pertencem a Z mas nao

pertencem a IN estao em vermelho.

O conjunto Z possui alguns subconjuntos notaveis:

1. O conjunto dos numeros inteiros nao nulos.

Z = {. . . , 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }

Z = Z {0}

29


35/261

2. O conjuntos dos numeros inteiros nao negativos:

Z+ ={

0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

} Z+ = IN

3. O conjunto dos numeros inteiros positivos:

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } Z+ = IN

4. O conjunto dos numeros inteiros nao positivos:

Z = {. . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0}

5. O conjunto dos numeros inteiros negativos:

Z = {. . . , 5, 4, 3, 2, 1}

2.2.2 Operacoes com numeros inteiros

No conjunto Z estao definidas tres operacoes: adicao, multiplicacao e subtracao.Assim, fazendo-se a adicao, multiplicacao ou subtracao entre dois elementos quaisquer de

Z, o resultado e elemento de Z. Ou seja:

m, n Z m + n Zm n Z

m n ZOu podemos dizer, equivalentemente, que:

O conjunto Z e fechado em relacaoa adicao, a multiplicacao e a subtracao.

No conjunto Z podemos e devemos estar habilitados a fazer as operacoes de adicao,multiplicacao e subtracao entre seus elementos.

Ao efetuar estas operacoes em expressoes numericas devemos lembrar que:

1. A multiplicacao e feita antes da adicao e da subtracao.

2. A adicao e a subtracao sao efetuadas ao mesmo tempo.

3. As operacoes entre parenteses sao feitas antes das operacoes entre

colchetes, que sao feitas antes das operacoes entre chaves e que sao feitas

antes das operacoes que estao fora destes.

Vamos treinar um pouco resolvendo o exemplo a seguir.

30


36/261

Exemplo: Obtenha os resultados das seguintes expressoes numericas.

a) x = 3

(4

1) + 4

Resolucao:

x = 3 (4 1) + 4x = 3 3 + 4x = 9 + 4

x = 13

b) x =

2

[(5

3) + (3

8)

(6

9)] + 3.

Resolucao:

x = 2 [(5 3) + (3 8) (6 9)] + 3x = 2 [2 + (5) (3)] + 3x = 2 [2 + 15] + 3x = 2 [17] + 3x = 34 + 3

x = 31No exemplo acima usamos, implicitamente, a regra dos sinais para a soma/subtracao

e tambem a regra dos sinais para a multiplicacao/divisao. Estas regras valem sempre e

podem ser enunciadas da seguinte maneira:

1. Regra dos sinais para a soma/subtracao:

a) para dois numeros com sinais iguais, somamos os coeficientes e mantemos o

sinal;

b) para dois numeros com sinais diferentes, subtraimos os coeficientes e man-

temos o sinal do maior.

2. Regra dos sinais para a multiplicacao/divisao (e eliminacao de

parenteses):

a) para dois numeros com sinais iguais, o resultado e sempre positivo;

b) para dois numeros com sinais diferentes, o resultado e sempre negativo.

31


37/261

O conjunto Z e fechado em relacao a adicao, a multiplicacao e a subttracao, mas omesmo nao ocorre em relacao a divisao, ou seja, o conjunto Z nao e fechado em relacao

a divisao.Por exemplo, se dividimos (-5) por 10, nao existe numero inteiro que seja resultado

desta operacao, ou seja,

x =(5)

10= 1

2

x / ZAssim, teve-se uma necessidade de ampliar o conjunto Z e surgiu o conjunto dos

numeros racionais, IQ, que sera estudado na proxima secao. Por hora, vamos fazer o

exemplo abaixo para fixarmos melhor as ideias e conhecimentos acerca dos conjuntos IN

e Z.

Exemplo: Classifique as sentencas como verdadeiras ou falsa, para m,n,p IN

a) [(m + n) p] INResposta: Como o conjunto IN e fechado em relacao a adicao e a multi-

plicacao, temos que (m + n) IN e, por conseguinte, [(m + n) p] IN, o quetorna a sentenca VERDADEIRA.

b) [m

(n

p)] ZResposta: Como o conjunto Z e fechado em relacao a adicao, a multiplicacao

e a subtracao, e como todo elemento de IN tambem pertence a Z, temos que(n p) Z e, por conseguinte, [m (n p)] Z, o que torna a sentencaVERDADEIRA.

c) [(m + n) (n + p)] > 0Resposta: Como m,n,p IN, as adicoes (m + n) e (n +p) podem ser maioresque zero ou mesmo iguais a zero, desta forma sua multiplicacao pode ser pos-

itiva ou igual a zero, o que torna a senten ca FALSA. Tome, por exemplo,

m = 0, n = 0 e p = 1, neste caso temos que o resultado da sentenca e

[(m + n) (n + p)] = [(0 + 0) (0 + 1)] = 0.d) (mp m) IN

Resposta: Temos que mp m = m(p 1), como m, p IN, temos quem(p 1) IN p 1, mas como o p tambem pode ser igual a zero, temosque a expressao e FALSA.

32


38/261

Antes de estudarmos o conjunto dos numeros racionais, vamos estudar dois impor-

tantes conceitos que surgem ao estudarmos o conjunto Z e que, por serem conceitos gerais,

tambem serao validos para os outros conjuntos numericos estudados neste captulo. Estesconceitos sao: a nocao de numeros opostos ou simetricos; e o conceito de modulo de um

numero.

2.2.3 Numeros opostos ou simetricos

Dois numeros inteiros sao ditos opostos ou simetricos quando apresentam soma igual

a zero ou estao igualmente distantes da origem.

Como exemplo podemos visualizar dois numeros opostos (5 e 5) na figura 2.3.

Figura 2.3: Representacao, na reta dos numeros inteiros, de

dois numeros opostos: 5 e 5. Da figura podemos perceberque a soma de dois numeros opostos e zero e, portanto, suas

distancias ate a origem da reta sao iguais.

Da definicao de numero oposto, temos que o oposto de m e m, e vice-versa. Devemosressaltar que o oposto de zero e o proprio zero.

Para fixarmos melhor este conceito vamos ao exemplo a seguir.

Exemplo: Determine quantas unidades devemos diminuir de:

a) 5 para chegar a 9;Resposta: So temos que resolver a equacao 5

x =

9

x = 14. Portanto,

temos que diminuir 14 unidades de 5 para chegar a 9.b) 2 para chegar a 8;

Resposta: Neste caso, temos que resolver a equacao 2 x = 8 x = 6.Portanto, temos que diminuir 6 unidades de 2 para chegar a 8.

c) 5 para chegar a 12.

Resposta: Pela equacao, 5 x = 12 x = 7, portanto para sairmos de 5e chegar a 12 temos que somar (e nao diminuir) 7 unidades.

33


39/261

2.2.4 Modulo de um numero inteiro

O modulo ou o valor absoluto de um numero inteiro e a distancia da origem ao

ponto que o representa na reta. Assim, dizemos que o modulo de -5 e 5. E o modulo de

5 e 5.

Indicamos o modulo de um numero inteiro, pelo numero inteiro entre barras verticas.

Ou seja, o modulo de m e dado por:| m| = m m IN

e o modulo de m e dado por:

|m| = m; m IN

Em alguns textos o modulo de um numero e representado pelo numero entre barrasverticais duplas, ou seja, nesses textos tem-se que |m| = ||m||. Nao vamos usar a notacaode modulo com barras duplas em nosso livro.

Vamos ao exemplo a seguir para nos ajudar a fixar em mente o conceito de modulo.

Exemplos: Calcule:

a) x = |10 7|;Resolucao: Resolvendo a expressao, temos:

x = |10 7| = |3| = 3

b) x =10 |5 + 7|;

Resolucao:

x =10 |5 + 7|

=10 |12|

=10 12

= | 2| = 2

c) x = 5 5 + | 5| + |5|;Resolucao:x =

5 + | 5| + |5| = 5 5 + 5 + 5 = 5 |15| = 5 15 = 10d) x =

|7 5| 2 + | 8| + |2| 1.Resolucao:

x =

|7 5| 2 + | 8| + |2|

1 =

|2| 2 + 8 + 2

1 = |10| 1 = 10 1 = 9

34


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2.3 Conjunto dos Numeros Racionais, IQ

2.3.1 IntroducaoA extensao do conjunto dos numeros inteiros e o conjunto dos numeros racionais

ou conjunto dos numeros fracionarios ou conjunto IQ.

IQ =

0, . . . , 1

3, . . . , 1

2, . . . , 1, . . .

Ou seja:

IQ =

p

q

p Z e q Z

Assim, vemos que todos os elementos de Z pertencem tambem a IQ. Ou seja:

Z IQ

A representacao de IQ na reta numerada e feita a partir da representacao de Z, comomostrado na figura 2.4, onde marcamos os numeros inteiros mais proximos a origem e

alguns dos racionais entre esses. Devemos ressaltar que entre cada elemento de Z marcadona reta ha infinitos elementos de IQ e que entre cada elemento de IQ marcado na reta ha

outros infinitos elementos de IQ.

Figura 2.4: Representacao do conjunto dos numeros

racionais, conjunto IQ, na reta numerada. Entre cada ele-

mento de Z marcado na reta ha infinitos elementos de IQ.

O conjunto numerico IQ possui alguns subconjuntos notaveis:

1. IQ: O conjunto dos numeros racionais nao nulos;

2. IQ+: O conjuntos dos numeros racionais nao negativos;

3. IQ+: O conjunto dos numeros racionais positivos;

4. IQ: O conjunto dos numeros racionais nao positivos;

5. IQ: O conjunto dos numeros racionais negativos.

Em relacao aos conjuntos numericos apresentados ate o momento, podemos escrever

que IN Z IQ. Desta forma, podemos montar o diagrama de Venn da figura 2.5.

35


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Figura 2.5: Diagrama de Venn representando o conjunto IQ e

seus principais subconjuntos, onde reiteramos que IN Z

IQ.

2.3.2 Operacoes com fracoes

Ao estudarmos o conjunto dos numeros fracionarios, IQ, vemos a necessidade de relem-

brar os principais conceitos e definicoes e as operacoes aritmeticas relacionadas as fracoes.

Esta necessidade vem do fato de que muitos estudantes, ao iniciarem um curso superior

na area de exatas, encontram certa dificuldade ao operar com fracoes devido ao tempo

decorrido desde que estudaram tais operacoes aritmeticas em sua vida academica. Para

sanarmos estas dificuldades e propiciarmos ao aluno uma rapida revisao sobre o assunto,vamos apresentar os conceitos, definicoes e operacoes relacionados as fracoes de forma

pratica e suscinta nesta secao.

Para alguns alunos esta secao pode parecer trivial, mas em muitas provas e teste feitos

por alunos universitarios nos primeiros componentes curriculares da area de Matematica

aparecem erros de alunos que se equivocam ao realizar as operacoes aritmeticas basicas

com fracoes e tambem com numeros decimais. Em alguns casos os alunos realmente

apresentam dificuldades em trabalhar com os numeros em sua forma decimal ou fracionaria

sem o uso de calculadora e em outros casos isto ocorre devido ao nervosismo de se estar

fazendo uma prova ou teste. Em qualquer destes dois casos, e importante que o aluno

faca esta revisao, quer seja para relembrar o que esta guardado no fundo de sua mente

ou para treinar um pouco e, desta forma, diminuir o possvel nervosismo na hora de fazer

testes e provas.

Voltando a nossa revisao das operacoes aritmeticas envolvendo fracoes vamos, antes,

relembrar algumas definicoes e conceito acerca de fracoes.

1. Uma fracao e uma forma pictorica usada para representar uma divisao entre dois

numeros. Assim, por exemplo, a divisao entre os numeros 22 e 7 pode ser represen-

tada como a fracao 227

, que tambem pode ser denotada por 22/7.

36


42/261

2. Numa fracao a/b temos que o numero a, que e o dividendo da fracao, e chamado de

numerador e o numero b, que e o divisor da fracao, e chamado de denominador.

3. Uma fracao e, normalmente, usada para representar o numero de partes tomadas

de um objeto ou de um segmento (uma pizza ou uma regua, por exemplo) que

foi dividido em partes iguais. Numa fracao temos que o denominador da fracao

representa o numero de partes iguais em que o segmento foi dividido e o numerador

da fracao representa o numero de partes deste segmento que foram destacadas.

Assim, a fracao 3/4 nos diz que o nosso objeto ou segmento foi dividido em 4 partes

iguais e que dele foram destacadas 3 partes.

4. As fracoes podem ser classificadas como proprias ou improprias.

4.1. Numa fracao propria o numerador e menor que o denominador (3/5, 4/9 e 1/2,

por exemplo).

4.2. Numa fracao impropria o numerador e maior que o denominador (5/2, 22/7 e

4/3, por exemplo).

5. Todos os numeros inteiros sao tambem numeros fracionarios. Um numero inteiro e,

na verdade, uma fracao com denominador igual a 1. Ou seja, 3 = 3/1 e 4 = 4/1,

por exemplo.

6. Ao estudarmos fracoes costumamos falar de fracao inversa ou inverso de uma

fracao. Dada uma fracao a/b, a sua fracao inversa e a fracao b/a.

Apos relembrarmos estes conceitos e definicoes, podemos passar a nossa revisao das

operacoes aritmeticas envolvendo fracoes e a forma como estas operacoes devem ser rea-

lizadas sem o auxlio de calculadoras.

As operacoes aritmeticas envolvendo fracoes estao listadas e explicadas a seguir.

a) Simplificacao

As vezes, duas fracoes aparentemente diferentes representam o mesmo numero. Por

exemplo, as fracoes 8/12 e 6/9 representam o mesmo numero e sao ditas equivalentes.

Assim, cabe a pergunta: quando duas fracoes sao equivalentes?

Podemos dar a seguinte resposta a pergunta acima: duas fracoes sao equivalentes

quando podem ser simplificadas em uma mesma fracao reduzida.

A resposta acima pode ter gerado outras duas perguntas: i) como simplificar uma

fracao? ii) o que e uma fracao reduzida?

37


43/261

Vamos responder a estas perguntas aprendendo/relembrando a simplificacao de

fracoes.

Para simplificarmos uma fracao devemos verificar se numerador e denominador dafracao possuem divisores em comum, ou seja, devemos decompor o numerador e o deno-

minador da fracao em seus fatores primos e simplificarmos os que forem comuns.

Ha tres maneiras simples e completamente equivalentes para se simplificar uma fracao.

Vamos a elas no exemplo a seguir.

Exemplo: Simplifique a fracao x = 8/12.

Resolucao 1: Decompondo os numeros 8 e 12 em seus fatores primos podemos

reescrever esta fracao como:

x = 812

= 2 2 22 2 3

Simplificando os termos em comum nos numerador e denominador, ou seja, cortando

no numerador e denominador os termos que sao comuns a ambos, ficamos com:

x =8

12=

2

3

Resolucao 2: Uma forma completamente equivalente de simplificarmos uma fracao

e dividindo numerador e denominador, pelo maior divisor comum entre eles. Ou seja,

o exemplo acima pode ser refeito da seguinte maneira:

Vendo que o maior divisor comum entre 8 e 12 e o numero 4, podemos fazer:

x =8

12=

8 : 4

12 : 4=

2

3

Resolucao 3: Tambem pode-se simplificar a fracao dividindo-se, simultaneamente,

numerador e denominador por divisores que sejam comum aos dois. Este proce-

dimento deve ser realizado ate que nao hajam mais divisores comuns. Ou seja, o

exemplo acima pode ainda ser refeito como a seguir.

Podemos simplificar esta fracao fazendo:

x =8

12=

8 : 2

12 : 2=

4

6=

4 : 2

6 : 2=

2

3

38


44/261

A fracao 2/3 obtida nas tres versoes do exemplo acima e chamada de fracao re-

duzida ou de fracao irredutvel, pois ela nao pode mais ser simplificada. Como

pode ser facilmente verificado, a fracao 6/9 tambem tem como fracao reduzida afracao 2/3, por isto dizemos que ela e equivalente ou igual a fracao 8/12 e tambem

a fracao 2/3.

b) Adicao

Para adicionarmos fracoes devemos seguir uma regra simples e pratica que vamos

explicar fazendo o exemplo a seguir.

Exemplo: Determine a soma entre as fracoes 8/12 e 5/4.

Resolucao: Para fazermos esta soma:

x =8

12+

5

4=?

Devemos tirar o MMC (mnimo multiplo comum) entre os denominadores das

fracoes. Ou seja, tirar o MMC entre 12 e 4 que, neste caso, e 12. Este sera o

denominador da fracao que e a soma das anteriores.

x =

8

12 +

5

4 =

?

12

Para obtermos o numerador, dividimos o novo denominador pelo denominador de

cada fracao e multiplicamos pelo numerador correspondente e somamos os valores

encontrados. Ou seja, temos que 12 dividido por 12 e igual a 1 que multiplicado por

8 da 8; e 12 dividido por 4 e 3 que multiplicado por 5 vale 15. Assim:

x =8

12+

5

4=

8 + 15

12=

23

12

Quando for possvel, devemos simplificar a fracao obtida como soma de outras

fracoes.

A regra usada para somar duas fracoes e a mesma usada para somar tres ou mais

fracoes.

Exemplo: Determine as somas a seguir:

a) x =1

3+

2

5+

4

6Resolucao: Somando estas fracoes:

x =1

3 +2

5 +4

6 =10 + 12 + 20

30 =42

30 =42 : 6

30 : 6 =7

5

39


45/261

b) x =7

4+

1

5+ 3

Resolucao: Somando estas fracoes, temos:

x =74

+15

+ 3 =35 + 4 + 60

20=

9920

c) Subtracao

O procedimento usado na adicao de fracoes e o mesmo usado na subtracao de fracoes.

Vamos aos exemplos:

Exemplo: Determine as fracoes reduzidas resultantes das subtracoes ou somas aseguir:

a) x =1

3 2

5Resolucao: Fazendo a subtracao:

x =1

3 2

5=

5 615

=115

= 115

b) x =2

3 5

6+

1

4

Resolucao: Determinando a fracao resultante:

x =2

3 5

6+

1

4=

8 10 + 312

=1

12

d) Multiplicacao

Realizar a multiplicacao entre duas ou mais fracoes e bastante simples.

Suponha dadas duas ou mais fracoes e que queiramos obter a fracao que e resultante de

sua multiplicacao. A fracao resultante tem como numerador o produto dos numeradoresdas fracoes que sao os fatores desta multiplicacao e o denominador da fracao resultante

e igual ao produto dos denominadores das fracoes fatores. Quando possvel devemos

simplificar a fracao resultante.

Vejamos alguns exemplos.

40


46/261

Exemplo: Determine as fracoes reduzidas resultantes das multiplicacoes abaixo:

a) x =

1

3 2

5Resolucao: Fazendo a multiplicacao:

x =1

3 2

5=

1 23 5 =

2

15

b) x =2

3

56

14


x =2

3

56

14

=

2 (5) (1)3 6 4 =

10

72=

10 : 2

72 : 2=

5

36

c) x =1

3 7

5

4


x =1

3 7

5

4

=

1 7 (5)3 1 4 =

3512

= 3512

e) Divisao

A divisao entre duas fracoes tambem pode ser feita com uma regra bastante simples.

Para fazermos a divisao entre duas fracoes multiplicamos a primeira fracao pelo in-

verso da segunda fracao, ou seja, a fracao resultante tem como numerador o produto do

numerador da primeira pelo denominador da segunda fracao e o denominador da fracao

resultante e o produto do denominador da primeira pelo numerador da segunda fracao.

Vamos a alguns exemplos para ilustrar a divisao entre fracoes.

Exemplo: Determine as fracoes reduzidas resultantes das divisoes abaixo:

a) x = 13

: 25

Resolucao: Multiplicando a primeira fracao pelo inverso da segunda temos:

x =1

3:

2

5=

1

3 5

2=

1 53 2 =

5

6

b) x =2

3:

5

6


x =

2

3 : 56 = 23 65 = 2 (6)3 5 = 1215 = 1215 = 12 : 315 : 3 = 4541


47/261

c) x =3457

Resolucao: Note que, como uma fracao representa a divisao entre doisnumeros, uma divisao entre fracoes pode ser escrita como uma fracao onde

o numerador e o denominador sao fracoes. Assim, realizando a divisao:

x =3457

=3

4:

5

7=

3

4 7

5=

3 74 5 =

21

20

Entre os exerccios deste captulo ha alguns para ajudar o estudante a refamiliarizar-se

com as operacoes com fracoes. E essencial para um bom aprendizado de todo o conteudo

deste livro que o estudante esteja bem treinado na rapida execucao deste tipo de operacao

sem fazer uso de calculadora.

2.3.3 Representacao decimal das fracoes

Tomemos um numero racional do tipo

x =

p

q

p Z; q Z;p = m q | m IN

Podemos escreve-lo na forma decimal efetuando a divisao do numerador pelo denomi-

nador. Nesta divisao podem ocorrer dois casos.

1o caso: O numeral decimal encontrado possui, apos a vrgula, um numero finito de

algarismos nao nulos.

Exs.:

1

5= 0, 2;

8

50= 0, 16;

30

4= 7, 5; etc.

Tais racionais sao chamados de decimais exatos.

2o caso: O numeral decimal encontrado possui, apos a vrgula, infinitos algarismos

(nem todos nulos), que se repetem periodicamente:

Exs.:

1

3= 0, 333 = 0, 3; 7

9= 0, 777 = 0, 7;

1

22= 0, 0454545 = 0, 045; etc.

Tais racionais sao chamados de decimais periodicos ou dzimas periodicas. Os

numeros que se repetem sao chamados de perodo da dzima.

42


48/261

As dzimas periodicas, como pode ser observado nos exemplos acima, podem ser re-

presentadas na forma decimal escrevendo-se o numero e colocando-se retiscencias para se

indicar que os algarismos apos a vrgula continuam indefinidamente ou com uma barrasobre o perodo da dzima, indicando que e esta parte do numero que esta se repetindo.

A fracao que e equivalente a uma dzima periodica e chamada de fracao geratriz.

Para sabermos se uma fracao irredutvel e equivalente a um decimal exato ou a uma

dzima periodica sem efetuar a divisao basta decompormos o denominador em fatores

primos. Ela sera:

1. Decimal exato: se o denominador contiver apenas os fatores 2 ou 5

Exemplo: As fracoes 7/50, 3/4 e 11/160, sao decimais exatos, pois seus denomi-

nadores (50 = 2 5 5; 4 = 2 2; 160 = 2 2 2 2 2 5) possuem apenas os fatoresprimos 2 e 5.

2. Dzima periodica: se o denominador contiver outros fatores primos diferentes de

2 ou 5.

Exemplo: As fracoes 4/9, 13/42 e 25/48, sao dzimas periodicas pois seus denomi-

nadores (9 = 3

3; 42 = 2

3

7; 48 = 2

2

2

3) possuem fatores primos diferentes

de 2 e 5.

2.3.4 Operacoes com numeros decimais

Ao trabalharmos ou fazermos operacoes com numeros, muitas vezes e mais conveniente

trabalhar com os numeros em sua forma decimal no lugar de os mantermos em sua forma

fracionaria.

Tomemos como exemplo o caso de um atleta em preparacao para uma prova de ve-

locidade que quer calcular sua velocidade media em certo percurso sabendo a distancia

percorrida e o tempo usado para percorrer esta distancia. Este atleta esta percorrendo

um percurso de 400 metros em exatos 42 segundos. Sabendo que a velocidade media e

definida como sendo a razao entre a distancia percorrida e o tempo usado para percorre-la,

o atleta calcula sua velocidade media como:

vm =s

t=

400

42m/s = 9, 523809 m/s = 9, 52 m/s

O atleta nao diz que percorre 400/42 m/s ou mesmo 200/21 m/s, ele dira que sua

velocidade media e, aproximadamente, igual a 9,52 m/s. Neste e em varios outros casos e

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mais conveniente trabalhar com os numeros em sua forma decimal do que com os numeros

em sua forma fracionaria.

Nesta secao revisaremos as operacoes com numeros decimais exatos, pois precisamossaber como realizar as diferentes operacoes aritmeticas com numeros decimais sem precisar

reescreve-los antes em sua forma fracionaria e sem fazer uso de calculadoras.

a) Adicao

Vamos comecar relembrando a regra pratica para se somar numeros decimais (sem o

uso de calculadoras).

Suponha que voce queira somar os numeros 8,45 e 27,5. Como proceder?No caso da adicao, igualamos o numero de casas decimais e armamos a operacao de

soma colocando a vrgula de um numero embaixo da vrgula do outro e fazemos a soma

dos numeros igual fazamos, no ensino fundamental, a soma de numeros inteiros.

Desta forma, temos que:

8, 45

+27, 50

35, 95

Assim, temos como resposta para esta soma o valor 35,95.

Este e o procedimento para se somar qualquer numero de parcelas.

Exemplo: Quanto vale a soma x = 0, 27 + 11, 3 + 15, 075 ?

Resolucao: Igualando o numero de casas decimais e armando a conta temos que:

0, 270

11, 300

+15, 075

26, 645

b) Subtracao

A regra para realizar uma subtracao entre numeros decimais e a mesma que para a

adicao, com a diferenca que, no caso da subtracao, so podemos subtrair (manualmente)

um numero de outro. Por isto, quando ha varias parcelas devemos, primeiro, somar

as parcelas de mesmo sinal antes de fazermos a subtracao entre as parcelas de sinais

diferentes. Vamos aos exemplos para ilustrar melhor o que estamos falando.

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Exemplo: Calcule o resultado de cada conta a seguir:

a) x = 32, 5

7, 753

Resolucao: Igualando o numero de casas decimais e armando a conta temos

que:

32, 500

7, 75324, 747

b) x = 23, 54 47, 3Resolucao: Como o numero negativo tem maior modulo, vamos igualar o

numero de cassas decimais e subtrair o menor numero do maior e manter o

sinal (negativo, no caso) do numero de maior valor absoluto. Assim:

47, 30+ 23, 54

23, 76c) x = 23, 541 47, 3 + 12, 54 + 45 2, 755

Resolucao: Neste caso somamos, separadamente, as parcelas positivas e as

negativas:

47, 300 + 23, 541

2, 755 + 12, 540 50, 055 + 45, 000

+ 81, 081

E, entao, subtraimos a parcela negativa da positiva:

+ 81, 081

50, 055+ 31, 026

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c) Multiplicacao

No caso da multiplicacao, fazemos a conta como se os numeros nao fossem decimais

e, apos, contamos o numero total de casas decimais dos fatores e colocamos este mesmo

numero de casas decimais no produto. Vejamos o exemplo:

Exemplo: Determine o valor de x = 5, 86 1, 2.

Resolucao: O fator 5,86 tem duas casas decimais e o fator 1,2 tem uma casa

decimal, logo o produto tera tres casas decimais. Fazendo a multiplicacao como se

fossem numeros inteiros temos:

5, 8 6

1, 21 1 7 2

5 8 6

7, 0 3 2

Onde o resultado ja foi expresso com o numero correto de casas decimais (tres casas

decimais).

d) Divisao

No caso da divisao envolvendo numeros decimais, temos tres passos a seguir: i)

igualamos o numero de casas decimais do dividendo e do divisor; ii) retiramos a vrgula

de ambos os numeros; iii) fazemos a divisao dos numeros inteiros que apareceram.

Vamos ao exemplo para ilustrar este procedimento.

Exemplo: Determine o valor de x = 15 1, 2.Resolucao: Igualando o numero de casas decimais temos que a nossa divisao pode

ser escrita como: x = 15, 0 1, 2.Retirando a vrgula de ambos, dividendo e divisor, temos que a nossa divisao e a

mesma que: x = 150 12. E esta conta que devemos fazer.Armando e fazendo a conta temos que:

150 | 1230 12, 5

60

0

Ou seja, x = 15 1, 2 = 12, 5.

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Devemos lembrar que operacoes aritmeticas envolvendo fracoes e numeros decimais

aparecem em diversos exemplos e exerccios de nosso livro. Tais contas podem, no dia-

a-dia, ser feitas com o uso de calculadoras, mas e importante para o estudante ter ahabilidade e traquejo para conseguir reproduzir boa parte destas contas sem a ajuda de

calculadoras. Estes calculos, no geral, ficam em nossos rascunhos e nao aparecem na

resolucao dos exemplos e exerccios mas e muito importante que saibamos faze-los de

forma praticamente automatica.

2.3.5 Representacao fracionaria dos numeros decimais

Fazer a representacao fracionaria dos numeros decimais e o problema inverso do dis-cutido em secao anterior. Estando o numero racional escrito na forma decimal, vamos

escreve-lo na forma de fracao por conveniencia ou mesmo necessidade.

Temos dois casos:

1o caso: O numero e decimal exato.

Assim transformamos o numero em uma fracao cujo numerador e o numero decimal

sem a vrgula. E o denominador e o numeral 1 seguido de tantos zeros quantas

forem as casas decimais do numero original. A fracao resultante, em alguns casos,

pode ainda ser simplificada.

Exemplo: Escreva na forma de fracao os numeros decimais a seguir.

1. x = 0, 7.

Resposta: Este numero decimal pode ser escrito como:

x = 0, 7 =7

10

2. x = 2, 35.

Resposta: Este numero decimal pode ser escrito como:

x = 2, 35 =235

100=

47

20

47


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2o caso: O numero e uma dzima periodica.

Neste caso, devemos achar a fracao geratriz da dzima. Vamos explicar o procedi-

mento com dois exemplos.

Exemplos:

1. Seja a dzima periodica 0, 3 = 0, 333 . . . , qual a sua fracao geratriz?

Resolucao: Facamos x = 0, 333 . . . .

Multipliquemos os dois lados da equacao por 10, de forma que 10x = 3, 333 . . . .

Subtraindo, membro a membro a primeira igualdade da segunda:

10x

x = 3, 333

0, 333

9x = 3

x =

3

9

=1

3Assim, a fracao geratriz de 0, 3 = 1/3.

2. Seja a dzima periodica 0, 4231 . . . , qual a sua fracao geratriz?

Resolucao: Facamos x = 0, 423131 . . .

Multipliquemos os dois lados da equacao por 100, de forma que 100x =

42, 3131 . . .

Multipliquemos, novamente, os dois lados da equacao por 100, de forma que

10000x = 4231, 3131 . . .

Subtraindo, membro a membro a segunda igualdade da terceira:

10000x 100x = 4231, 3131 42, 3131 . . .

9900x = 4189 x = 41899900

O estudante deve ter percebido nos exemplos acima que subtraimos a dzima com

somente perodo apos a vrgula de uma dzima com exatamente um perodo antes da

vrgula, de forma a obter um numero inteiro em cada lado da equacao.

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2.4 Conjunto dos Numeros Irracionais, II

Assim como existem numeros decimais que podem ser escritos como fracoes de numeros

inteiros (numeros racionais), existem os decimais que nao admitem tal representacao.

Eles sao numeros decimais nao exatos que possuem representacao infinita nao

periodica.

Vejamos alguns exemplos:

x = 0, 12122122212222 . . . ; x = 1, 102030 . . .

x =

2 = 1, 4142136 . . . ; = 3, 141592 . . . ; etc.

O numero cuja representacao decimal infinita nao e periodica e chamado numero

irracional.Seu conjunto e representado por II.

O conjunto II e um conjunto a parte dos numeros racionais. Para os conjuntos IQ e II

vale que; IQ II = .O conjunto formado pelos numeros racionais e pelos numeros irracionais e chamado

conjunto dos numeros reais que estudaremos logo a seguir.

2.5 Conjunto dos Numeros Reais, IR

2.5.1 Introducao

O conjunto formado pelos numeros racionais e pelos numeros irracionais e chamado

conjunto dos numeros reais que e representado por IR. Onde, temos que:

IR = IQ IIEm termos da reta numerada podemos representar o conjunto IR como na figura 2.6.

Figura 2.6: Representacao dos numeros reais na reta numer-

ada. Entre cada elemento de IR marcado na reta ha outros

infinitos elementos de IR.

O diagrama de Venn do conjunto dos numeros reais esta representado na figura 2.7

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Figura 2.7: Diagrama de Venn do conjunto dos numeros

reais, conjunto IR, e seus principais subconjuntos.

Para os numeros reais, assim como para os inteiros, racionais e irracionais, continuam

valendo os conceitos de numeros opostos e de modulo.

2.5.2 A ordem na reta e a notacao de intervalo

O conjunto dos numeros reais e ordenado.

Podemos fazer a comparacao entre quaisquer dois numeros reais que nao sao iguaisusando desigualdades.

Sejam a e b dois numeros reais quaisquer, se:

a > b a b > 0a < b a b < 0a b a b 0a b a b 0

Podemos comparar dois numeros reais devido a chamada lei da tricotomia.

Lei da Tricotomia: Sejam a e b dois numeros

matematicabasica vf x

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