matemática para negócios e finanças

8/12/2019 Matemtica Para Negcios e Finanas

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Eduardo Arajo

Matemtica para

Negcios e Finanas


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Matemtica paraNegcios e Finanas

2010

Eduardo Arajo


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Resumo

Existem fundamentos de Matemtica que so imprescindveis nas diver-

sas formaes profissionais. Mdicos, arquitetos, engenheiros, adminis-

tradores, gestores e tantos outros profissionais utilizam a Matemtica

para resolver, diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula

tratar, dessa forma, dos principais conceitos de matemtica bsica que

so fundamentais para a sua formao.

Fundamentos da MatemticaEduardo Arajo*

Equao do 1. grauChamamos de equao do 1. grau na incgnita xtoda equao que pode ser escrita na formaax = b, sendo ae bnmeros racionais, com adiferente de zero.

Vamos entender a definio?

Equao: toda sentena composta por uma (ou mais) incgnita(s) e uma igualdade.

Incgnita: o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra).

Grau: dado pelo maior expoente da incgnita.

O valor da incgnita, que torna uma equao verdadeira, recebe o nome dezero ou raiz da equao.

Mestre em Ensino de Cincias e Matemtica pela Universidade Luterana do Brasil (Ulbra). Especialista em Educao a Distncia pelo Servio

Nacional de Aprendizagem Comercial (Senac). Graduado em Matemtica pela Ulbra.


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6 | Fundamentos da Matemtica

Em igualdades matemticas, podemos adicionar, multiplicar, subtrair ou dividir elementos iguaisaos dois membros dessa igualdade que a identidade se mantm. claro, se fizermos as mesmas opera-es, com os mesmos valores, o resultado tem de permanecer o mesmo. Dessa forma, para resolvermos

equaes do primeiro grau, utilizaremos operaes matemticas de ambos os lados da igualdade atque a incgnita fique isolada. Vamos ver um exemplo:

2x + 10 = 18

Para isolarmos o termo 2x, iniciaremos subtraindo 10 unidades de cada lado da igualdade. Veja:

2x + 10 10 = 18 10

2x + 0 = 8

2x = 8

Para eliminarmos o valor 2 que multiplica nossa incgnita, dividiremos ambos os lados da igual-

dade por 2, e ficamos com:

2

2x

2

8=

x = 4

Dessa forma, sempre que realizarmos as mesmas operaes em ambos os membros da igualda-de com os mesmos valores, a igualdade permanecer verdadeira.

Como nosso objetivo sempre isolara incgnita, podemos eliminar esses termos conforme nossanecessidade. Veja outro exemplo:

5y=

9023

5y = 90

y = 18

2y +3y

6=

906

3y

2y+ = 15

(Nesse caso fizemos o MMC entre 3 e 2.)

Uma maneira simplificada de resolver equaes dessa forma passando termos semelhantes de

um lado para o outro da igualdade, invertendo, sempre, a operao matemtica que est sendo reali-zada (lembre-se: adio o inverso de subtrao e multiplicao o inverso de diviso). Observe:

Se 3x + 4 =19, qual o valor de x que resolve essa equao?

Soluo:

3x = 19 4 (Enviando o elemento 4 e invertendo a operao de adio.)

3x = 15 (Resolvendo 19 4.)

x =15

3 (Enviando o elemento 3 e invertendo a operao de multiplicao.)

x = 5


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7|Fundamentos da Matemtica

Veja outros exemplos:

Ex.: 3x + 5 = 7

Soluo:

3x = 7 5

3x = 12

x = 123

x = +4

Testando a resposta encontrada:

3 . 4 + 5 = 7

12 + 5 = 7 7 = 7

Ok!

Ex.: 4 2k = 4k 8

Soluo:

2k 4k = 8 4

6k = 12

k=

12

6k = +2

Como voc pde perceber, resolver equaes do 1. grau bastante simples. O mtodo simpli-ficado permite apenas enviar elementos de um lado a outro da igualdade, invertendo a operao queestamos realizando, at que tenhamos nossa incgnita isolada.

RazoA palavra razo derivada do latim ratio e significa diviso. Ou seja, para obtermos a razo entredois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Imagine que, em um condomnio com 40 apar-tamentos, 12 sejam de 3 dormitrios, 18 sejam de 2 dormitrios e 10 de 1 dormitrio. Qual ser a razoentre o nmero de apartamentos de 3 e de 2 dormitrios?

Razo entre o nmero de apartamentos de 3 e de 2 dormitrios

= 212 : 618 : 6 3


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Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitrios, h 3 apartamentos de 2 dormi-trios.

Razo entre o nmero de apartamentos de 3 dormitrios e o total de apartamentos:

= 312 : 440 : 4 10

Portanto, essa razo ser: para cada 10 apartamentos do edifcio, 3 so de 3 dormitrios.

Esse conceito de razo, que nada mais do que a diviso entre dois elementos, ser fundamentalpara que possamos entender o conceito de proporo que veremos a seguir.

ProporoUma proporo uma igualdade entre duas razes. Podemos dizer que 1/2 e 2/4, por exemplo,

formam uma proporo, pois representam uma mesma quantidade. Ento, quando falamos que duascoisas so proporcionais, estamos dizendo que elas formam uma proporo entre si. Veja outro exem-plo:

2 e 38 12

representam a mesma quantidade, pois ambas se referem a 0,25 ou 1/4.

Propriedade:

Em toda proporo o produto dos extremos igual ao produto dos meios, ou seja:

Se a = cb d

(ou ainda, a b = c d), sempre ser verdadeiro que:

a = cb d

a . d = b . c

Vamos aplicar a propriedade acima nos exemplos anteriores?

Se2 e 38 12

formam uma proporo, ento 2 . 12 tem de ser igual a 8 . 3, e so, pois ambos

geram o mesmo resultado, que 24. Podemos, ainda, calcular o termo desconhecido em uma propor-o, veja:

Se x = 34 2

ento:

2x = 3 . 4

2x = 12

x =12 = 62

O conceito de razo foi importante para entendermos o de proporo. O conceito de proporo, que

agora estudamos, ser a base para compreendermos o conceito de regra de trs, nosso prximo tema.


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Invertendo uma das razes (j que a regra inversa):

60 = 15

x 2015x = 60 . 20

15x = 1 200

15

1 200= 80kmx =

Como voc pde perceber, realizar clculos com regra de trs bastante simples: basta identifi-carmos os elementos envolvidos, montarmos a tabela e verificarmos se a relao direta ou inversa. Nocaso da direta, tratamos como uma proporo; no caso da inversa, invertemos uma das razes e trata-

mos, novamente, como uma proporo normal.

Funo do 1. grauVeremos agora algumas noes de funo do 1. grau. Para tanto, partiremos da definio e, em

seguida, entenderemos cada um de seus elementos.

Chama-se funo polinomial do 1. grauqualquer funo f de IR em IR, dada por uma lei da forma

f(x) = ax + b, em que ae bso nmeros reais quaisquer e a 0.

Na funo f(x) = ax + b, a chamado de coeficiente de xe o b chamado termo constante.

Uma funo, dessa forma, pode ser entendida simplificadamente como uma relao entre doisvalores.

Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1. grau:

f(x) = 5x em que = 5 e b = 0

f(x) = 2x 7 em que = 2 e b = 7

As funes do primeiro grau so separadas em trs tipos: linear, afime constante. Veja qual a de-finio de cada uma delas:

Funo linear

um tipo de funo do 1. grau em que o termo b nulo (y = ax). Um exemplo de funo linear a primeira das duas anteriores, (f(x) = 5x).

Funo afim

um tipo de funo do 1. grau na qual o termo bno nulo (y = ax + b).

Um exemplo de funo afim a segunda das anteriores: f(x) = 2x 7.


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De uma maneira simplificada, podemos representar graficamente funes do 1. grau arbitrandovalores para a varivel x e calculando os correspondentes valores de y. Veja:

y = 3x 6

Construindo uma tabela e arbitrando valores para x:

x y = f(x)

2

1

0

1

2

A partir dos valores arbitrados para x (falamos em arbitrados porque podem ser quaisquer valo-res), podemos obter os valores de y. Veja:

x y = f(x)

2 y = 3 . (2) 6 = 6 6 = 12

1 y = 3 . (1) 6 = 3 6 = 9

0 y = 3 . (0) 6 = 0 6 = 6

1 y = 3 . (1) 6 = 3 6 = 3

2 y = 3 . (2) 6 = 6 6 = 0

A tabela fica com o seguinte formato:

x y = f(x)

2 12

1 9

0 6

1 3

2 0

E a representao grfica fica:


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Podemos, ainda, arbitrar o valor zero para x e calcular y, arbitrar zero para y e calcular x,unindo esses pontos em uma reta. Veja:

y = 3x 6

Quando x = 0, teremos: Quando y = 0, teremos:

y = 3 . 0 6 0 = 3x 6

y = 0 6 3x = 6

y = 6

x = 2

E, portanto, o ponto (0, 6) E, portanto, o ponto (2,0)

6

2

E, unindo esses pontos, teremos:

a mesma representao grfica anterior, uma vez que podemos prolongar infinitamente a retaem ambas as direes.


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Atividades1. Uma secretria precisa digitar 26 pginas de um arquivo. Se, em duas horas de servio ela digitou

oito pginas, quanto tempo dever levar para concluir sua tarefa?

2. Para se produzir 60kg de uma certa liga metlica so necessrios 16kg de cobre. Se voc tiverdisponvel 20kg de cobre, quantos kg dessa mesma liga conseguir produzir?

3. Para produzir 20 estribos, um certo ferreiro leva, em mdia, 16 minutos. Continuando nessemesmo ritmo, em 20 minutos, ele dever produzir quantos estribos?

4. Para construir uma ponte, 16 operrios trabalham durante 120 dias. Se o prazo de entrega fossede 80 dias, quantos operrios seriam necessrios?

5. Em um certo supermercado, o pacote de 2kg de acar custa R$3,24. Quanto dever custar, nomximo, o pacote de 5kg?

6. Em geral, uma famlia de trs pessoas consome, por dia, 300g de gs de cozinha. Considerandoum botijo com 13kg, podemos escrever: (obs.: 300g = 0,3kg):

Dias consumindo gs (x) Quantidade de gs no botijo (y)

0 dia 13kg

1 dia 12,7kg

2 dias 12,4kg

3 dias 12,1kg

4 dias 11,8kg

5 dias 11,5kg

Considerando x como a quantidade de dias consumindo gs e y a quantidade de gs no botijo,responda s questes que seguem:

a) A funo matemtica que explica essa situao :

b) No 12. dia de consumo, quantos kg de gs h no botijo?


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c) Aps quantos dias consumindo gs a quantidade no botijo ser de 7kg?

d) A partir da instalao do botijo, aproximadamente quantos dias o gs dever durar?

Ampliando conhecimentosOs conceitos vistos nesta aula so fundamentais para sua formao. Dessa forma, procure retomar

todos os conceitos estudados e s avanar aps dirimir todas as suas dvidas. importante entender,por exemplo, que o valor encontrado em uma equao do 1. grau significa o nico nmero real que, aoser substitudo na equao, torna a igualdade verdadeira e que, em uma regra de trs, se a relao fordireta, tratamos como uma proporo e se for inversa, precisa ter a proporo invertida.

Autoavaliao1. Caminhando a passos largos, uma pessoa leva, em mdia, 20 minutos para percorrer 2,5km.

Para percorrer 4km, quanto tempo dever levar?

2. Um automvel, andando a uma velocidade mdia de 80km/h, leva 12 minutos para percorrer umacerta distncia. Se ele andasse a 60km/h, quanto tempo levaria para percorrer a mesma distncia?

3. Um representante comercial vendeu 520 exemplares de seu produto e com isso lucrou R$546,00.Se, em uma nova venda do mesmo produto, ele lucrou R$420,00, quantos exemplares ele vendeu?

4. Um mdico leva, em mdia, 20 minutos para atender um paciente em sua clnica. Em um diainteiro de trabalho, esse mdico consegue atender, no mximo, 24 pessoas. Para aumentar suarenda, ele pretende atender 30 pessoas por dia. Dessa forma, ele precisa que suas consultasdurem quanto tempo?

5. Em um hemocentro foi constatado que, para coletar 200mL de sangue, uma mquina leva, emmdia, 24 minutos. Quanto tempo essa mesma mquina levar para coletar 150mL de sangue?


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6. Associe cada funo com sua possvel representao grfica:

a) y = 4x 4 b) y = 4x + 4 c) y = 4x 4 d) y = 4x + 4

e) y = 4x f ) y = 4x g) y = 4 h) y = 4( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

2

4

-2

-4

-6

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

2

-2

-4

-6

4


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7. Suponha que a quantidade mdia de gasolina (y) em um tanque cheio de combustvel em relao quantidade de quilmetros rodados (x) de um automvel popular seja dado pela equao:y = 35 0,0625x

a) Aps percorrer 200km, quanto haver de gasolina no tanque?

b) Estando com o tanque cheio, esse automvel conseguir percorrer 600km? Por qu?

c) Com qual quilometragem dever acabar o combustvel?

RefernciasARAJO, Eduardo Muller; BERLIKOWSK, Mrcia Elisa. Matemtica: 6. srie. Canoas: Ulbra, 2003.

_____. Matemtica: 8. srie. Canoas: Ulbra, 2003.

BIGODE, Antnio Jos Lopes. Matemtica Hoje Feita Assim. So Paulo: FTD, 1989.

DANTE, Luiz Roberto. Matemtica, Contexto e Aplicaes. Livro 1. So Paulo: tica, 1999.


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Gabarito

Atividades1. 6,5h ou 6h30.

2. 75kg.

3. 25 estribos.

4. 24 operrios.

5. R$8,10.

6. a) y = 13 0,3x

b) 9,4kg.

c) 20 dias.

d) 43 dias.

Autoavaliao1. 32 minutos.

2. 16 minutos.

3. 400 exemplares.

4. 16 minutos.

5. 18 minutos.

6. ( c ) ( e )


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( h ) ( a )

( b ) ( f )

( d ) ( g )

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

2

4

-2

-4

-6

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

2

-2

-4

-6

4

7. a) 22,5L.

b) No, pois ao substituirmos x pelo valor 600, chegaramos em uma quantidade negativa de gasolina, ou seja,

faltaria gasolina.

c) 560km, que quando o valor de y, gasolina, zero.


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Resumo

Em nosso cotidiano estamos cercados de situaes nas quais os clculos

com porcentagens so fundamentais. Todos os dias vemos em jornais,

revistas e na televiso taxas percentuais sendo utilizadas pelos mais di-

versos setores. A partir dessa realidade que ser desenvolvida esta aula.

Iniciaremos definindo e relembrando o que porcentagem e, em segui-

da, veremos situaes-problema em que esse conceito, to importantee que nos ser til ao longo de toda a disciplina, faz-se necessrio.

A porcentagem: consideraesbsicas e importantes

Definio e generalizaesComo o prprio nome diz, porcentagem vem de por cento, ou seja, uma razo em que o deno-

minador 100.Ex.: 20% =

20

100, ou seja, vinte partes em cem.

No importa o que temos, dividimos em cem partes e retiramos 20. Veja:


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20 | A porcentagem: consideraes bsicas e importantes

Aqui, como da forma anterior, mas com 75 partes pintadas.

75% =75

100

Calculando diretamentePara calcularmos o valor percentual de uma certa quantia, simplesmente multiplicamos o valor

em questo pela taxa percentual. Veja os exemplos:

a) 20% de 400 = 400 . 20% = 80

b) Um produto que custava R$400,00 teve um aumento de 12% e, em seguida, um desconto de12%. Qual o seu valor final?

Podemos efetuar esses clculos diretamente na calculadora.

Com o aumento de 12%:

400 + 12% =

400 + 48 =

448

Reduzindo 12%:

448 12% =

448 53,76 = 394,24

Como voc pde perceber, o valor final no foi R$400,00, pois o aumento de 12% incidiu sobre ovalor de R$400,00, enquanto o desconto de 12% incidiu em um valor maior, que foi o de R$448,00. Logo,o valor final foi diferente do inicial. Para facilitar essa visualizao, veja graficamente:

Aumenta 12%

sobre R$400,00

Diminui 12%

sobre R$448,00


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2. situao

Na compra de um terreno de R$52.000,00, foi solicitado que o comprador desse R$17.680,00

de entrada. Qual o percentual de entrada que essa empresa exige?Soluo:

A partir da definio que vimos, podemos facilmente calcular o que foi solicitado:

Valor percentual pago =17.680

52.000. 100 = 0,34 . 100 = 34

Ou seja, o valor de R$17.680,00 representa 34% dos R$52.000,00.

3. situao

Um bem teve um aumento de R$12.400,00 para R$14.198,00. Qual a taxa percentual de aumento?

Soluo:

Valor do aumento em moeda: R$1.798,00

Aumento percentual:1.798

12.400. 100 = 14,5%

O clculo de porcentagens est diretamente ligado ao nosso cotidiano, veja a reportagem que segue.

Crdito para habitao vai crescer(GAZETA DO POVO, jan. 2006)

O volume de crdito imobilirio liberado no ano passado pelos bancos privados atingiuR$4,8 bilhes, o maior desde o incio da dcada. O clculo da Associao Brasileira das Enti-dades de Crdito Imobilirio e Poupana (Abecip), que anuncia perspectivas ainda melhorespara 2006: o montante financiado pode crescer cerca de 50%, chegando a quase R$7 bilhes.Nas contas do Ministrio das Cidades, sero R$6,7 bilhes que, somados aos recursos da Cai-xa Econmica Federal, atingem R$17 bilhes, volume 21% superior ao total de R$14 bilhesliberados em 2005.

[...] Em 2004 e 2005, os emprstimos cresceram 36% e 57%, respectivamente.

H, ainda, outro estmulo para que os bancos se agilizem na aplicao de recursos em crdito

imobilirio: uma determinao do Banco Central os obriga a direcionar 65% de todo o dinheiro cap-tado em caderneta de poupana para o financiamento da casa prpria.

A partir dessa notcia podemos fazer as seguintes consideraes:

1. considerao

A previso de investimento para o ano de 2006 foi de R$17 bilhes. O valor investido foi deR$14 bilhes. Tambm foi dito que o aumento seria de 21%. Como calcularamos essa taxa percentual?


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23|A porcentagem: consideraes bsicas e importantes

Soluo:

Para responder a essa questo, primeiramente veremos de quanto (em reais) foi o aumento e, emseguida, veremos quanto isso representa em relao ao valor inicial (R$14 bilhes). Veja:

Aumento: R$3 bilhes

Valor inicial: R$14 bilhes

Taxa de aumento: 3

14100=21,4

2. considerao

No ano de 2005, o valor liberado foi de R$14 bilhes. Se houve um crescimento de 57% com relaoa 2004, como poderemos calcular o valor deste ano? E de 2003, que cresceu 36% com relao a 2004?

Para respondermos a questes como essas, elaboraremos uma regra prtica que nos auxiliar emclculos de aumento/desconto de valores:

Quando o valor que queremos:: teve um descontoe queremos calcular o valor original, bastadividirmoso valor em questo por (1 taxa centesimal de aumento).

Ex.: Um bem teve um desconto de 15% =15

100=0,15e passou a custar R$760,00.

Qual o valor original?

Soluo:

760

(1 0,15)=

760

0,85= 894,12

Quando o valor que queremos:: teve um aumentoe queremos calcular o valor original, bastadividirmoso valor em questo por (1 + taxa centesimal de aumento).

Ex.: Um bem teve um aumento de 15% e passou a custar R$760,00. Qual o valor original?

Soluo:

760

(1+ 0,15)=

760

1,15= 660,87

A partir das definies vistas, poderemos responder s questes anteriores.

Segundo o texto:

Ano de 2005 = 14 bilhes::

Crescimento relativo a 2004 = 57% =:: 57

100=0,57

E respondendo pergunta:

Valor original =::1 + 0,57

141,5714= = 8,92

Logo, no ano de 2004, o volume de crdito liberado foi de 8,92 bilhes de reais.::


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Agora vamos ao clculo do ano de 2003:

Ano de 2004 = R$8,92 bilhes (calculado anteriormente)::

Crescimento relativo a 2003 (segundo o texto) = 36%::Respondendo pergunta:

Valor original =:: = 8,92 = 6,56 bilhes8,921 + 0,36 1,36

.

Podemos, ento, representar graficamente os valores obtidos e, a partir deles, verificar uma gran-de tendncia de crescimento nos investimentos neste setor. Observe a curva:

Crdito imobilirio liberado pelos bancos no Brasil

0

2

4

6

8

10

12

14

16

2003 2003 2004 2004 2005 2005 2006

Ano

R$(em

bilhes

)

[...] A dvida imobiliria federal (em ttulos pblicos) fechou 2005 em R$979,7 bilhes. O esto-que teve um aumento de 2,1% entre novembro e dezembro. [...]

(Disponvel em: .)

A partir da notcia anterior, podemos calcular quanto era a dvida imobiliria em novembro de2005:

Valor original = = 979,7 = 959,55979,7

1 + 0,021 1,021bilhes de reais

Regras de arredondamentoComo voc j deve ter percebido, muitas vezes precisamos dividir valores que no tm como

resultado uma diviso exata. Para tanto, utilizaremos a legislao vigente que regulamente a maneiracorreta de arredondar essas quantias.

De acordo com a Resoluo 886, de 26 de outubro de 1966, do Instituto Brasileiro de Geografia eEstatstica (IBGE), o arredondamento feito da seguinte maneira:

Quando o primeiro algarismo a ser arredondado o 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o ltimo::

algarismo a permanecer:


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Ex.: 43,24 passa a 43,2

Quando o primeiro algarismo a ser abandonado o 5, h duas solues:::

a) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidadeao algarismo a permanecer. Ex.:

4,757 = 4,76::

6,750008 = 6,8::

b) Se o 5 for o ltimo algarismo ou se ao 5 s seguirem zeros, o ltimo algarismo a serconservado s ser aumentado de uma unidade se for mpar. Ex.:

:: 14,75 = 14,8

:: 12,65 = 12,6

Porm, em geral, essa ltima regra no respeitada e, se o ltimo algarismo for igual a 5,mantm-se ou acrescenta-se um ao algarismo anterior.

Vamos simplificar o que diz a Resoluo? Para arredondarmos valores, utilizamos a seguinte regra:

Quando o valor do numeral aps a casa decimal que queremos arredondar for menor do que 5,::mantemos esse valor. Ex.: 3,762 = 3,76.

Quando for maior do que 5, aumentamos em uma unidade esse valor. Ex.: 3,762 = 3,8.::

Quando for igual a 5 e no for o ltimo valor, tambm aumentamos. Ex.: 3,76252 = 3,763.::

Quando for igual a 5 e for o ltimo valor, deixamos o 5 ou aumentamos. Ex.: 3,7625 = 3,7625::ou 3,763.

A porcentagem e a tabela do Imposto de RendaTodos os meses, os trabalhadores vinculados ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS) pagam

uma alquota para esse instituto proporcional ao seu salrio bruto. A tabela vlida para o ano de 2005 a que segue:

Tabela de contribuio dos segurados empregados, empregado domstico e trabalhador avulso, parapagamento de remunerao a partir de 1. de maio de 2005

Salrio de contribuio (R$) Alquota para fins de recolhimento ao INSS (%)

At R$800,45 7,65

De R$800,46 a R$900,00 8,65

De R$900,01 a R$1.334,07 9,00

De R$1.334,08 at R$2.668,15 11,00Portaria822,

11maio2005.

Para salrios acima de R$2.668,15, a contribuio fixada em R$293,50, que o chamado teto m-ximo para contribuio. A partir da tabela anterior, pode-se calcular o valor que qualquer trabalhadorvinculado ao INSS paga mensalmente. Veja os exemplos:

Salrio bruto de R$840,00 2. faixa salarial contribuio de 8,65%, logo:::


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840 . 8,65% = R$72,66

Salrio bruto de R$1.800,00 4. faixa salarial contribuio de 11%:::

1.800 . 11% = R$198,00Alm da contribuio paga ao INSS, mensalmente, todo trabalhador que recebe um salrio

bruto, descontada a contribuio paga ao INSS, acima de R$1.058,00 (vlido para o ano de 2005),contribui com o Imposto de Renda Pessoa Fsica (IRPF) segundo a tabela abaixo:

Rendimento Alquota Deduzir (R$)

At R$1.058,00 isento -

Acima de R$1.058,01 at R$2.115,00 15% 158,00

Acima de R$2.115,01 27,5% 423,08

A parcela a deduzir o valor que devemos descontar do valor a ser pago por meio da alquota.

Dessa forma, para o trabalhador do primeiro exemplo citado anteriormente, temos:

Salrio bruto = R$840,00::

Contribuio ao INSS = R$72,66::

Salrio lquido parcial = R$840,00 R$72,66 = R$767,34::

Contribuio ao IRPF = isento, j que seus rendimentos ficaram aqum de R$1.058,00::

Salrio lquido final = R$767,34, j que no contribui com o IRPF::

Para o segundo exemplo:

Salrio bruto = R$1.800,00::

Contribuio ao INSS = R$198,00::

Salrio lquido parcial = R$1.602,00::

Contribuio ao IRPF (segunda faixa 15% , pois est entre R$1.058,01 e R$2.115,00): 15% de::R$1.602,00 = R$240,30 menos a parcela a deduzir (R$158,00)

Contribuio: R$240,30 R$158,00 = R$82,30::

Salrio lquido final = R$1.602,00 R$82,30 = R$1.519,70::

A partir desse valor, podemos calcular a reduo percentual que este trabalhador teve em seu salrio:

Valor pago de impostos:::

INSS= R$198,00IRPF= R$82,30Total = R$198,00 + R$82,30 = R$280,30

Valor percentual pago sobre seu salrio inicial:::

= 280,30 = 0,1557 . 100 = 15,57%1,021


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Vamos, agora, calcular a perda percentual que tem em seu salrio um trabalhador que teve rendamensal bruta de R$2.600,00.

INSS = 11% de R$2.600,00 = R$286,00

Salrio lquido parcial = 2.600 286 = R$2.314,00

Contribuio ao IRPF = 3. faixa (27,5%) = 27,5% de R$2.314 = R$636,35 R$423,08 (parcelaa deduzir)

Valor a contribuir = R$213,27

Salrio lquido final = R$2.314,00 R$213,27 = R$2.100,73

Reduo percentual sobre o salrio bruto:

Total de impostos = R$286,00 + R$213,27 = R$499,27

Reduo percentual = 19,20%Dessa forma, um trabalhador que tem uma renda bruta de R$2.600,00 tem, de encargos governa-

mentais, diretamente em sua fonte de renda, 19,20% de seu salrio retido.

Como pde perceber, situaes em que conceitos de porcentagens esto presentes ocorrem no

nosso cotidiano e importante salientarmos e atentarmos para pequenos detalhes, pois, muitas vezes,

so eles que fazem uma grande diferena. Como vimos, se aumentarmos um certo valor percentual, e

diminuirmos esse mesmo percentual, chegaremos em valores iniciais diferentes. Dessa forma, de ex-

trema importncia que atentemos para os menores detalhes para que, em momento algum, possamos

gerenciar de forma inadequada nossos negcios ou finanas.

Atividades1. Uma companhia financiadora dava as seguintes instrues em seu carn de pagamentos de um

automvel:

Valor do documento: R$485,00

Aps o vencimento sero acrescidos ao valor do documento:multa fixa de R$9,71 mais juros de 0,4% do valor do documento por cada dia de atraso.::

Responda:

a) O valor da multa representa qual porcentagem do valor do documento?


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b) Se uma pessoa atrasar 15 dias da data de vencimento, quanto pagar?

c) Esse valor pago representa qual valor percentual acima do valor do documento?

2. Imagine que o preo da gasolina tenha oscilado bastante em alguns dias de um determinado ms:

Dia1. R$2,50 Dia15 R$2,94 Dia30 R$2,72

A partir dessas informaes, responda:

a) Qual foi o aumento percentual do dia 1. para o dia 15?

b) Qual foi a reduo percentual do dia 15 para o dia 30?

c) No dia 1. a gasolina estava que valor percentual a menos do que no dia 30?

3. Os gastos para o pagamento da Habite-se de um certo imvel custava, em um determinado ms,

R$140,00. No ms seguinte, a taxa passou para R$145,95. Qual foi o percentual de aumento?

4. Em uma pesquisa de opinio pblica no RS, foram entrevistadas 300 pessoas que responderam seguinte pergunta: Qual o time de futebol de sua preferncia?. As respostas foram tabuladasem um grfico tipo pizza conforme abaixo:

Time de preferncia

64%

24%

9% 3%Grmio

Inter

Juventude

Outros/nenhum


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A partir da representao anterior, calcule quantas pessoas votaram em cada um desses times equantas votaram em outros ou em nenhum time.

5. Um imvel teve um percentual de 12% de aumento e agora custa R$184.800,00. Qual era o seuvalor antes do aumento?

Ampliando conhecimentosVerifique se a tabela de Imposto de Renda atualmente utilizada permanece a mesma da que foi

apresentada nesta aula. Pegue seu contracheque, caso voc possua um, e verifique se os valores que lhe

descontam de INSS e de IRPF esto de acordo com as tabelas apresentadas. Verifique em jornais e re-vistas situaes envolvendo clculos de porcentagem. no nosso cotidiano que aprendemos o quantoessas situaes so importantes.

Autoavaliao1. O valor total pago pelos moradores de um certo condomnio no ms de dezembro foi de

R$12.600,00. O condmino, em sua planilha de custos, distribuiu a receita da seguinte forma:

Destino da Aplicao Valor Gasto

Jardinagem e limpeza R$2.340,00

Luz R$5.680,00

Manutenes R$1.260,00

Segurana R$1.620,00

Total de gastos R$10.900,00

Caixa do condomnio R$1.700,00

Total R$12.600,00

Fontehipottica.


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A partir dessa tabela, calcule o percentual gasto com cada uma das aplicaes.

Destino da Aplicao Gasto (%)

Jardinagem e limpezaLuz

Manutenes

Segurana

Caixa do condomnio

2. Nestes ltimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela abaixo mostra os valoresmdios praticados por um certo posto de gasolina.

Ms Valor cobrado (R$)

Janeiro 2,36

Fevereiro 2,44

Maro 2,53

Abril 2,59

Maio 2,67

Junho 2,59

Julho 2,59

Agosto 2,67

Setembro 2,72

Fontehipottica.

Com base nesses valores, calcule o percentual de variao da gasolina entre cada um dosmeses do ano.


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3. Calcule, utilizando os procedimentos de clculo vistos no decorrer desta aula, o salrio lquido e aperda percentual no salrio bruto de um trabalhador que recebe uma renda bruta de:

a) R$1.200,00;

b) R$2.000,00;

c) R$3.000,00;

d) R$5.400,00.

RefernciasFACCHINI, Walter. Matemtica. So Paulo: Saraiva, 1997.

GIOVANNI, Jos Ruy; BONJORNO, Jos Roberto. Matemtica. 2. Grau. So Paulo: FTD, 2002.

JASPER, Fernando. Crdito para habitao vai crescer 21%. Gazeta do Povo, Curitiba, 18 jan. 2006.

PORTARIA 822, de 11 de maio de 2005. Disponvel em: . Acesso em: fev. 2006.


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Gabarito

Atividades

1.

a) Aprox. 2%.

b) R$523,81.

c) 7,41%.

2.

a) 17,6%.

b) 7,48%.

c) 8,09%.

3. 4,25%.

4. Grmio: 192 pessoas.

Inter: 72 pessoas.

Juventude: 27 pessoas.

Outros/nenhum: 9 pessoas.

5. R$165.000,00.

Autoavaliao

1. Jardinagem e limpeza 18,57%

Luz 45,08%

Manutenes 10%

Segurana 12,86%

Caixa do condomnio 13,5%


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2. Entre janeiro e fevereiro: 3,39%

Entre fevereiro e maro: 3,69%

Entre maro e abril: 2,37%

Entre abril e maio: 3,09%

Entre maio e junho: 3,09%

Entre junho e julho: 0%

Entre julho e agosto: 3,09%

Entre agosto e setembro: 1,87%

3.

a) Lquido: R$1.086,20; perda percentual: 9,48%

b) Lquido: R$1.671,00; perda percentual: 16,45%

c) Lquido: R$2.385,29; perda percentual: 20,49%

d) Lquido: R$4.125,29; perda percentual: 23,61%


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Estatstica I

A Estatstica a cincia que se preocupa com a coleta, a organizao, a anlise e a interpretaode dados, em geral, obtidos de pesquisas e medies. A Estatstica , basicamente, dividida em duasgrandes reas: a estatstica descritiva e a estatstica inferencial. A primeira, como seu prprio nomediz, estuda a descrio, a sntese e a organizao de dados, em geral dispostos em tabelas e grficos. Asegunda preocupa-se em retirar uma parte do todo e tirar concluses a partir desses dados, o que cha-mamos de fazer inferncias. o que mais ouvimos falar, por exemplo, em eleies para presidentes,governadores, prefeitos e demais situaes nas quais no podemos entrevistar toda a populao, massomente uma parte dela que represente esse todo.

A partir dessa realidade, definiremos alguns termos utilizados em Estatstica.

Populao: o conjunto de elementos que possui alguma caracterstica em comum. No nosso::exemplo das eleies presidenciais, ser brasileiro.

Amostra: uma parte da populao que representa o todo. Essa amostra deve ser o que a::Estatstica define como representativa, ou seja, deve poder representar o todo, sem que hajamaiores distores nos resultados. Para o exemplo das eleies presidenciais, podemos dizer

que uma amostra representativa deve ter homens e mulheres de diversos estados (preferen-cialmente todos), de diversas idades e de classes socioeconmicas distintas.

Amostragem: o processo de obteno da amostra.::

Parmetros: so medidas que caracterizam a populao. Por exemplo: raa, sexo, salrio, ida-::de, entre outros.

Variveis: a medida que se busca com a pesquisa. Por exemplo, qual o candidato a presiden-::te de sua preferncia?. Essas variveis podem ser classificadas como quantitativas, quandoexpressam uma quantidade, ou qualitativas, quando expressam uma qualidade.


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36 | Estatstica I

Distribuio de frequncias para dados no agrupadosComo j citamos, a estatstica descritiva se preocupa em organizar e tabular dados em grficos e

tabelas, com o objetivo de sintetizar as informaes e fornecer respostas claras e objetivas com relaoao estudo de interesse. Dessa forma, nesta aula, nos preocuparemos em organizar os dados em umatabela chamada tabela de frequnciase, para tanto, definiremos os tipos de frequncia utilizados emestatstica:

Frequncia absoluta (f): o nmero de observaes que ocorreram em cada classe.::

Frequncia absoluta acumulada (F): o somatrio das frequncias ocorridas at a classe em::que estamos.

Frequncia relativa (f::r): o quociente (resultado da diviso) entre a frequncia absoluta e o

total de elementos.

Frequncia relativa acumulada (F::r): o somatrio das frequncias relativas ocorridas at a

classe em que estamos.

Para a elaborao da tabela, deve-se obedecer Resoluo 886, de 26 de outubro de 1966, doInstituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE), que determina que toda tabela deve ter:

Ttulo: conjunto de informaes que precisa responder, de forma sucinta, o que se busca na::pesquisa.

Cabealho: parte superior da tabela que d nome s colunas.::

Corpo: conjunto de linhas e colunas que contm as informaes sobre a pesquisa.::

Rodap: o local ond:: e se coloca a fonte e possveis notas.

Veja um exemplo de tabela:

Tabela Populao residente, por sexo e situao do domiclio nosmunicpios do estado do Rio Grande do Sul

Fonte: Censo Demogrfico 2000 IBGE. Adaptado.

Estado/MunicpiosPopulao residente

Homens Mulheres

Rio Grande do Sul 4 994 719 5 193 079

Canoas 148 860 157 233

Carlos Gomes 985 927Caxias do Sul 176 959 183 460

Porto Alegre 635 820 724 770

Presidente Lucena 1 087 982

Protsio Alves 1 132 980


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37|Estatstica I

Veja outro exemplo onde podemos aplicar as definies de frequncia citadas.

Em uma universidade pesquisou-se o nmero mdio de horas que os acadmicos estudavam,sem considerar os momentos em sala de aula. Para tanto, 80 estudantes de diversos cursos foram entre-vistados. Os resultados esto dispostos na tabela a seguir:

Tabela nmero de horas de dedicao semanal para estudo extraclasse

Fonte hipottica.

Nmero mdio de horas Nmero de estudantes

At 1 hora 2

Em torno de 2 horas 8




Mais de 5 horas 24

A partir da tabela anterior, podemos distribuir os dados em uma tabela de frequncias. Veja:

Tabela nmero de horas de dedicao semanal para estudo extraclasse

Fonte hipottica.

H fi

fri

Fi

Fri

At 1 hora 2 2 80 = 0,025 = 2,5% 2 0,025 = 2,5%

Em torno de 2 horas 8 8 80 = 0,1 = 10% 10 0,125 = 12,5%

Em torno de 3 horas 16 16 80 = 0,2 = 20% 26 0,325 = 32,5%

Em torno de 4 horas 10 10 80 = 0,125 = 12,5% 36 0,45 = 45%

Em torno de 5 horas 20 20 80 = 0,25 = 25% 56 0,7 = 70%

Mais de 5 horas 24 24 80 = 0,3 = 30% 80 1 = 100%

DicaNa tabela anterior, podemos destacar alguns pontos importantes.

No clculo da frequncia relativa (f::r), dividimos a frequncia da classe pelo total de elemen-

tos em questo; para expressarmos em taxa percentual, multiplicamos esse resultado por100;

O elemento da ltima classe relativo frequncia acumulada (F::i) sempre tem valor igual ao

total de elementos (no nosso caso, 80 pessoas);

O elemento da ltima classe relativo frequncia relativa acumulada (F::ri) sempre tem valor

igual a um ou, em taxa percentual, 100%.


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38 | Estatstica I

A partir da tabela anterior, podemos explorar algumas importantes questes:

Entre os entrevistados, quantas pessoas estudam em torno de quatro horas?::

Dez pessoas, j que a frequncia absoluta em quatro horas.Entre os entrevistados, quantas pessoas estudam at quatro horas?::

a frequncia acumulada em quatro horas, que de 36 pessoas.

Entre os entrevistados, qual o percentual de pessoas que estudam, em mdia, trs horas?::

a frequncia relativa em trs horas = 20%.

Entre os entrevistados, qual o percentual de pessoas que estudam at trs horas?::

a frequncia relativa acumulada em trs horas = 32,5%.

Representao grfica de dados no agrupadosRepresentarmos dados graficamente nos permite uma fcil e direta visualizao do assunto que

estamos estudando. Neste momento veremos os tipos mais utilizados de grficos, utilizando a situaoestudada anteriormente: nmero de horas de estudo semanal.

Grfico de colunasEsse tipo de grfico representa os dados atravs de uma srie de colunas que variam de altura de

acordo com a frequncia com que os valores se repetem em cada categoria.


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39|Estatstica I

Grfico de setoresNesse tipo de grfico, o conjunto de dados representado por um crculo em que cada categoria

representa uma parte dos 360, que o total dos dados. Em geral, para que no haja poluio visual,esse tipo de grfico muito utilizado para um nmero pequeno de categorias. Essa representao bastante til e muito usada por apresentar, visualmente, o quanto cada classe ocupa em relao ao todoe s demais classes. Na maioria das vezes so utilizadas porcentagens.

Grfico de barras bastante parecido com o grfico de colunas, porm as barras ficam com suas variaes no

eixo horizontal.


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40 | Estatstica I

Grfico de linhasEsse tipo de representao grfica muito utilizado quando o objetivo avaliar a variao de

tendncia de um ponto para outro, ou estimar valores entre dois pontos quaisquer.

Como podemos perceber, as tabulaes um dos objetos de estudo da Estatstica so degrande valia para organizarmos dados e para que tenhamos, alm de uma melhor visualizao, umafcil busca de informaes. Associados a elas, o uso de grficos de extrema importncia para quese tenha uma proporo e uma boa comparao entre as variveis em estudo. Eles auxiliam, assim,tanto para podermos comparar informaes quanto para verificarmos tendncias de uma determi-nada situao.

Atividades1. Pesquise em sua sala de aula o nmero de dormitrios das residncias de cada um de seus

colegas (de zero a n), incluindo voc. Faa uma planilha de dados no agrupados com essasinformaes, contendo frequncia absoluta, absoluta relativa, acumulada e acumulada relativa.Veja o exemplo:

n. de filhos f i

fri

Fi

Fri

0

1

2

3

4

...


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41|Estatstica I

2. Represente em um grfico de colunas e em um de pizza as informaes coletadas. No de pizza importante que aparea o percentual de cada uma das partes.

Ampliando conhecimentos importante que voc tenha prtica no uso da planilha Excel, pois ela uma poderosa ferramen-

ta na gerao e formatao de grficos como os que estudamos. V ao boto assistente de grfico doprograma Excel e gere seus prprios grficos. uma opo de muito fcil uso e que, com certeza, lheauxiliar em muitas situaes.

Autoavaliao1. A tabela abaixo refere-se a uma pesquisa feita sobre salrio (em milhares de reais) de gestores

de 20 grandes empresas de uma determinada capital brasileira. A primeira linha refere-se aosprimeiros dez entrevistados e a segunda, aos ltimos dez.

5 4 5 5,5 5 4,5 6 6 4 5

4,5 4,5 5 4 5 4,5 5 5,5 5 4,5

a) A partir desses dados, construa uma tabela de frequncias.


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42 | Estatstica I

A partir da tabela construda, responda s questes:

b) Entre os 20 gestores entrevistados, quantos tinham salrio menor do que R$5 mil?

c) Quantos tinham salrio menor ou igual a R$5 mil?

d) Qual o percentual de entrevistados com o salrio menor ou igual a R$5 mil?

e) Qual o percentual de entrevistados com o salrio igual a R$5,5 mil?

2. Abaixo segue uma tabela de frequncia que nos traz a distribuio de salrios em uma deter-minada empresa:

Salrios-mnimos Nmero de funcionrios

2 30

3 20

4 12

5 6

6 4

7 48 2

A partir dos dados anteriores, construa uma tabela de frequncias completa (com frequnciasacumuladas e relativas) e responda s questes que seguem:

a) Quantos funcionrios recebem at sete salrios-mnimos?

b) Quantos funcionrios recebem sete salrios-mnimos?


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43|Estatstica I

c) Qual o percentual de funcionrios que recebem at cinco salrios-mnimos?

d) Qual o percentual de funcionrios que recebem cinco salrios-mnimos?

e) Qual o percentual de funcionrios que recebem dois salrios-mnimos?

3. Nestes ltimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela abaixo mostra os valoresmdios praticados por um certo posto de gasolina.

Ms Valor cobrado (R$)

Janeiro 2,36Fevereiro 2,44

Maro 2,53

Abril 2,59

Maio 2,67

Junho 2,59

Julho 2,59

Agosto 2,67

Setembro 2,72a) Utilizando uma planilha eletrnica, represente em um grfico de barras e em um grfico de

linhas os dados apresentados nessa tabela.

b) Elabore uma planilha de frequncias para dados no agrupados.

4. O grfico abaixo representa o grau de satisfao dos clientes de uma determinada empresa comrelao a um certo produto. Foram entrevistados 435 clientes e os resultados esto expressos nogrfico de setores abaixo.


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44 | Estatstica I

A partir da representao grfica dada, responda s questes que seguem:

a) Quantos clientes disseram estar muito satisfeitos com esse produto?

b) Quantos disseram estar pouco satisfeitos ou insatisfeitos?

c) Com as informaes contidas nesse grfico, elabore, em uma planilha eletrnica, um grfico decolunas com o eixo horizontal contendo o grau de satisfao dos clientes e, na coluna vertical,quantas pessoas responderam a cada nvel de satisfao.

RefernciasSMAILES, Joanne. Estatstica Aplicada Administrao com Excel. So Paulo: Atlas, 2002.

STEVENSON, William J. Estatstica Aplicada Administrao. So Paulo: Harbra, 1981.


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45|Estatstica I

Gabarito

Atividades

Respostas abertas, mas podem ser comparadas entre a turma, pois elas devem ser iguais.

Autoavaliao

1.

a)

Salrio (R$ ) f i

fri

Fi

Fri

4.000 3 15% 3 15%

4.500 5 25% 8 40%

5.000 8 40% 16 80%

5.500 2 10% 18 90%

6.000 2 10% 20 100%

Total 20 100%

b) 8 pessoas.

c) 16 pessoas.

d) 80%.

e) 10%.

2.

Salrios f i

fri

Fi

Fri

2 30 38,46% 30 38,46%

3 20 25,64% 50 64,10%

4 12 15,38% 62 79,49%5 6 7,69% 68 87,18%

6 4 5,13% 72 92,31%

7 4 5,13% 76 97,44%

8 2 2,56% 78 100%

Total 78

a) 76 funcionrios.

b) 4 funcionrios.

c) 87,18%.

d) 7,69%.e) 38,46%.


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46 | Estatstica I

3. a)

b)

4. a)261 clientes.

b) 87 clientes.

c)


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Resumo

Medidas de tendncia central e variabilidade so valores que caracte-

rizam os dados que estamos estudando, em geral, para que se saibam

valores mdios e disperses em torno desses valores. Os mais importan-

tes so a mdia aritmtica, a mdia ponderada, a moda, a mediana, a

varincia e o desvio padro. Nesta aula, faremos um importante estudo

das medidas de tendncia central.

Estatstica II

A mdia aritmtica para dados no agrupadosA mdia aritmtica , com certeza, a medida de tendncia central mais utilizada no nosso coti-

diano. calculada pela soma dos elementos dividido pela quantidade de elementos. Os smbolos queutilizamos para a mdia so:

Para a populao: a letra grega

Para a amostra: x

Veja um simples exemplo:


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48 | Estatstica II

Em uma sala de aula (sala x) com 15 alunos, as notas na primeira avaliao de Matemtica foramas seguintes:

Nome do aluno Nota na avaliao 1Afrnio 3,0

Alfredo 5,0

Carla 7,0

Cristiane 6,0

Denise 9,0

Eduardo 10,0

verton 7,0

Fabrcio 4,0

Felipe 8,0Gabriel 9,0

Natlia 7,0

Pedro 2,0

Rafaela 6,0

Sandro 7,0

Slvia 3,0

Fontehipottica.

A partir dessas informaes, podemos calcular a mdia obtida por essa turma:

= 3 + 5 + 7 + 6 + 9 + 10 + 7 + 4 + 8 + 9 + 7 + 2 + 6 + 7 + 315

= 9315

= 16,2

Como voc pde perceber, para calcularmos a mdia aritmtica dessa turma apenas somamostodas as notas e dividimos pelo nmero de alunos que, para essa situao, igual a 15.

A moda para dados no agrupados (Mo)A moda o valor que mais aparece em um conjunto de dados.

No exemplo anterior, ela a nota 7,0, pois a que mais aparece, num total de quatro vezes. Emum evento em que temos dois valores que aparecem em uma mesma quantidade e so os que maisaparecem, dizemos que ele bimodal.

Ex.: No conjunto {1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 10} os valores 2 e 3 aparecem, ambos, 3 vezes. Di-zemos, dessa forma, que esse conjunto bimodal.


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49|Estatstica II

A mediana para dados no agrupados (Md)A mediana a medida de tendncia central que divide os dados ordenados em duas partes de

mesma frequncia. Para obtermos a mediana, ordenamos os dados em ordem crescente e tomamos o

termo central. A posio dessa medida tambm pode ser obtida pela expresso P = n + 12

, em que Prepresenta a posio do elemento da mediana e n o nmero de elementos.

Veja como fica a mediana no exemplo das notas utilizado anteriormente:

Notas dos 15 alunos: 3; 5; 7; 6; 9; 10; 7; 4; 8; 9; 7; 2; 6; 7; 3.

Ordenando as notas em ordem crescente: 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 10.

Como voc pde notar, para essa situao temos 15 elementos, logo o elemento central (me-

diana) ocupar a posio 8, ou ainda, pela expresso P = n + 1

2

, temos P = 15 + 1

2

= 16

2

= 8, ou seja, 8.

posio, veja:

2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 10

7 elementos antes 7 elementos depois

Esse o elemento que ocupa

a 8. posio.

Para esse exemplo, a mediana, ento, igual a 7.

Observao importanteCaso tenhamos um nmero par de elementos, dizemos que a mediana se encontra entre os

dois valores.

Veja:

Para a sequncia 1; 1; 2; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 6; 7; 7 qual o valor da mediana?

Aplicando a expresso P = n + 12

, temos que P = 12 + 12

= 132

= 6,5, ou seja, a mediana se encontra

entre o 6. e o 7. elemento, logo, entre os valores 4 e 5 e, para calcul-la, fazemos a mdia entre essesdois valores.


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50 | Estatstica II

A mdia ponderada para dados no agrupados ( Xw )Mdia ponderada uma medida utilizada quando se fazem necessrias diferentes importncias

para determinados elementos. uma medida muito usada quando temos pesos diferentes para dife-rentes valores. Para calcularmos a mdia ponderada, multiplicamos cada valor pelo seu peso, soma-mos esses valores e dividimos pela soma dos pesos. Assim, a expresso fica:

=

W1. X

1+ W

2. X

2+ W

3. X

3+ ... W

n. X

nX

W1+ W

2+ W

3+ ... + W

nw

Um exemplo muito comum o de notas em avaliaes e trabalhos na vida escolar. Veja:

Em uma determinada disciplina, o professor trabalha com uma avaliao individual, um trabalhode apresentao em grupo e um trabalho individual escrito. Para tanto, ele aplica peso 4 para a avalia-

o individual, peso 3 para a apresentao em grupo e peso 2 para o trabalho escrito.

Aluno xNotas obtidas:

Avaliao individual: 9,0

Apresentao do trabalho: 5,0

Trabalho escrito: 6,0

Clculo da mdia final desse aluno:

=

4 . 9 + 3 . 5 + 2 . 6=

36 + 15 + 12=

63= 7,0

4 + 3 + 2 9 9X

w

Logo, a nota final desse aluno ser 7,0.

Suponha que outro colega tenha tambm tirado 9,0; 5,0 e 6,0, mas no nas mesmas tarefas.Veja:

Aluno z

Notas obtidas: Avaliao individual: 5,0

Apresentao do trabalho: 6,0

Trabalho escrito: 9,0

Clculo da mdia final desse aluno:

=

4 . 5 + 3 . 6 + 2 . 9=

20 + 18 + 18=

56= 6,2

4 + 3 + 2 9 9X

w

Logo, a nota final desse aluno ser 6,2.


52/202

51|Estatstica II

Como voc pde perceber, de acordo com os pesos arbitrados aos diferentes valores, temos umavariao nos resultados obtidos. Dessa forma, a mdia ponderada bastante til quando queremosdistinguir graus de importncia a certos dados.

Agrupando os conhecimentosAbaixo seguem cinco salrios dos maiores gestores das cinco maiores empresas do ramo cala-

dista de uma determinada cidade.

Empresa Salrio (R$)

A 8.000,00

B 10.000,00C 12.000,00

D 15.000,00

E 40.000,00

Fontehipottica.

A partir desses dados, podemos verificar qual medida de tendncia central nos d uma melhornoo da realidade salarial dessas empresas.

Moda: no h valor modal distinto.

Mediana: R$2.000,00.

Mdia: 6.000 + 8.000 + 10.000 + 12.000 + 40.000 = 76.000 = R$15.200,005 5

Como podemos facilmente perceber, o valor atpico de R$40.000,00 levou a mdia para cima e,analisando apenas essa medida, poderamos pensar que o salrio usual giraria perto dessa quantida-de, o que no verdade. Nesse caso, o valor mais representativo seria a mediana de R$12.000,00.

CuriosidadePara clculo do ndice Geral de Preos (IGP-DI), assim como o clculo de

diversos outros ndices, utiliza-se mdia ponderada.

O ndice Geral de Preos, to comentado atualmente e usado emcontratos com prazos relativamente longos, como o aluguel de im-veis, calculado pela Fundao Getulio Vargas (FGV) por meio deuma mdia ponderada entre o ndice de Preos no Atacado (IPA), quetem peso 6; o ndice de Preos ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiroe em So Paulo, com peso 3; e o ndice de Custo da Construo Civil

(INCC), com peso 1. Assim, o clculo desse ndice :

IGP = 6 . IPA + 3 . IPC + 1 . INCC = 6 . IPA + 3 . IPC + 1 . INCC6 + 3 + 1 10


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52 | Estatstica II

Atividades1. Em uma empresa hipottica, com 13 funcionrios, so aplicados os seguintes nveis salariais:

Cargo Nmero de funcionrios Salrio (R$)

Gerente 1 2.300,00

Coordenador 2 1.500,00

Caixas 4 530,00

Atendentes 6 420,00

Fontehipottica.

Com relao a essa situao, responda s questes que seguem:

a) Qual o salrio mdio nessa empresa?

b) Qual o salrio modal?

c) Qual o salrio mediano?

d) Suponha que a empresa opte por demitir um dos coordenadores e contratar mais um

atendente. Quanto ficar o salrio mdio?


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53|Estatstica II

2. Nesses ltimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela a seguir mostra os valores

mdios praticados por determinado posto de gasolina.

Ms Valor cobrado (R$)Janeiro 2,36

Fevereiro 2,44

Maro 2,53

Abril 2,59

Maio 2,67

Junho 2,59

Julho 2,59

Agosto 2,67

Setembro 2,72

Com base nesses dados, elabore uma planilha de frequncia para dados no agrupados e calcule

a mdia, a moda e a mediana dessa situao.

3. A tabela a seguir mostra os valores dos aluguis para locao em uma imobiliria, com valores

entre R$1.200,00 e R$1.500,00 das casas disponveis com trs dormitrios, garagem para um

automvel, em um determinado bairro.

Endereo Valor do aluguelAv. Independncia, 234 R$1.500,00

Av. Independncia, 1250 R$1.300,00

Av. Naes Unidas, 111 R$1.500,00

Rua Alvar, 234 R$1.200,00

Rua Mossor, 30 R$1.400,00

Rua Mossor, 1246 R$1.350,00

Rua Par, 324 R$1.250,00

Rua Pilo, 36 R$1.300,00

Rua Pitan, 450 R$1.250,00Rua Tuiuti, 36 R$1.250,00

Fontehipot

tica.

A partir dessa tabela, obtenha:

a) o valor mdio dos aluguis apresentados;

b) o valor modal;

c) o valor mediano.


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54 | Estatstica II

4. Calcule a idade mdia, a idade mediana e a idade modal das pessoas, incluindo voc, quecompem a sua turma.

5. O ndice Geral de Preos (IGP-M) calculado pela Fundao Getulio Vargas (FGV) por meio deuma mdia ponderada entre o ndice de Preos no Atacado (IPA), que tem peso 6; o ndice dePreos ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiro e em So Paulo, com peso 3; e o ndice de Custoda Construo Civil (INCC), com peso 1. Imagine que, em um determinado ms, o valor do IGP-Mtenha sido de alta de 0,992%, do IPA tenha sido de alta de 1,2%, do INCC, alta de 0,32%. Qual sera alta registrada para o IPC?

Dica: escreva a expresso para a mdia ponderada do IGP-M e substitua os valores nessa expresso.

6. Imagine que, em uma pesquisa de 11 madeireiras, os valores do saco de cimento de 50kg tenhamsido os seguintes:

R$15,00 R$18,00 R$16,50 R$17,00 R$18,00 R$15,00

R$16,50 R$17,00 R$18,00 R$15,50 R$17,50

A partir desses dados, obtenha:

a) O valor mdio.

b) O valor modal.

c) O valor mediano.

Ampliando conhecimentosLivros de estatstica bsica sempre apresentam esses conceitos. Caso tenha dvidas, procure um

livro em alguma biblioteca perto de sua residncia ou cidade. O site , que de uso gratuito, oferece vrias dicas sobre esses conceitos, alm de downloads.


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55|Estatstica II

Autoavaliao

Prefeitura divulga balano do Carnaval 2005(RIOTUR, 2005. Adaptado.)

A Prefeitura do Rio fez um balano positivo do Carnaval 2005, consagrado como o melhor even-to popular do mundo. Para os cariocas e os visitantes, a Prefeitura investiu R$27 milhes no CarnavalCarioca, promovendo, alm do espetculo no Sambdromo, eventos como os Bailes Populares [...]

[...] uma pesquisa para conhecer a origem e avaliar a satisfao do pblico com o evento. Foramentrevistadas 1 603 pessoas [...]

Para tanto foi calculada uma mdia ponderada da avaliao de servios da cidade: limpeza pbli-ca, segurana pblica, informaes tursticas, diverso noturna, restaurantes e transporte urbano.

Escala usada:

timo = 5 bom = 4 regular = 3

ruim = 2 pssimo = 1

A partir da curiosidade acima, responda s questes 1, 2 e 3.

1. Suponha que, das 1 603 pessoas entrevistadas, com relao ao item limpeza pblica, 812 tenham

respondido timo, 545 bom, 172 regular, 66 ruim e 8 pssimo. Qual seria a nota para esse ndice?

2. Se as respostas estivessem em outra ordem, ou seja, 8 timo, 66 bom, 172 regular, 545 ruim e 812pssimo, como ficaria a situao anterior? Ser que esse ndice seria to bom assim?


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56 | Estatstica II

3. Os ndices divulgados pela empresa, com relao a essa pesquisa, para turistas estrangeiros, foramos seguintes (RIOTUR, 2005):

Limpeza pblica 3,9 Segurana pblica 3,8

Informaes tursticas 4,1 Diverso noturna 4,4

Restaurantes 4,4 Transporte urbano 4,1

Com base nessas informaes, reflita:

a) O que significa a nota para segurana pblica ter ficado em 3,8?

b) O que significa a nota para diverso noturna ter ficado em 4,4?

RefernciasRIOTUR. Prefeitura divulga balano do Carnaval 2005. Disponvel em: . Acesso em: 6 mar. 2006.

SMAILES, Joanne. Estatstica Aplicada Administrao com Excel. So Paulo: Atlas, 2002.

SPIEGEL, Murray R. Estatstica. So Paulo: Makron, 1993.

VERAS, Lilia Ladeira. Matemtica Aplicada Economia. So Paulo: Atlas, 2001.


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57|Estatstica II

Gabarito

Atividades

1.

a) R$764,62.

b) R$420,00.

c) R$530,00.

d) R$681,54.

2.

Valor f F f r

Fr

2,36 1 1 11% 11%

2,44 1 2 11% 22%

2,53 1 3 11% 33%

2,59 3 6 33% 66%

2,67 2 8 22% 88%

2,72 1 9 11% 99%Total 0,0899 0,1007

Mdia: 23,16 9 = 2,57

Moda: 2,59

Mediana: 2,59

3.

a) R$1.330,00.

b) R$1.250,00.c) R$1.300,00.

4. Questo aberta.

5. 0,8%.


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58 | Estatstica II

6.

a) R$16,73.

b) R$18,00.c) R$17,00.

Autoavaliao

1. 4,3, que significa um valor entre bom e timo, mais voltado para bom.

2. 1,69, que significa um valor entre pssimo e ruim, mais voltado para ruim.

3.

a) Significa que o grau de satisfao ficou entre regular e bom, mais prximo de bom.

b) Significa que o grau de satisfao ficou entre bom e timo, praticamente no meio desseintervalo.


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Resumo

As medidas de tendncia central como mdia, moda e mediana nos for-

necem bons resultados quando os valores estudados no tm grandes

variaes entre si; porm, muitas vezes, elas podem no representar

bem a amostra que temos.

Medidas de variabilidade

para dados no agrupados

Simplificando a definioPara simplificar a definio e justificar a necessidade das medidas de variabilidade, partiremos de

uma situao bem simples. Veja:

Suponha que nos cinco primeiros dias de um certo ms o dlar comercial teve imensas variaese assumiu cinco distintos valores, conforme tabela abaixo:

DiaValor do dlar

em R$

1. R$1,93

2. R$1,98

3. R$2,65

4. R$2,74

5. R$2,00

Fontehipottica.


61/202

60 | Medidas de variabilidade para dados no agrupados

Qual o valor mdio do dlar nesses cinco dias?

=

1,93 + 1,98 + 2,65 + 2,74 + 2,00=

11,3 =2,26

15 5Suponha, agora, outra situao:

No ms seguinte ao que citamos anteriormente, imagine que o dlar tenha assumido os se-guintes valores:

DiaValor do dlar

em R$

1. R$2,24

2. R$2,25

3. R$2,27

4. R$2,28

5. R$2,26

Fontehipottica.

Qual o valor mdio do dlar nesses cinco dias?

=

2,24 + 2,25 + 2,27 + 2,28 + 2,26=

11,3 =2,2615 5

Como voc pde perceber, em ambos os casos o dlar, nos cinco primeiros dias, teve o mesmovalor mdio. Ser que esses valores foram constantes nesse perodo? Para diferenciar situaes comoessas e tantas outras que, em Estatstica, utilizamos as medidas de variabilidade. So elas que, asso-

ciadas aos valores das medidas de tendncia central, do-nos uma noo da variabilidade da situaoque estamos estudando.

A varincia (2), o desvio padro ()e a amplitude (A) para dados no agrupados (X

w)

A amplitude a medida de variabilidade que nos diz em quanto os valores variaram; logo, dadapela diferena entre o maior e o menor dos dados, assim:

A = Lmx

Lmn

A varincia(2) uma medida de variabilidade que serve para calcularmos a mdia dos quadra-dos dos valores afastados da mdia, ou seja, para uma populao:

2= (X

i X )2

n

O smbolo significa somatrio, ou seja, soma dos termos.


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61|Medidas de variabilidade para dados no agrupados

ImportanteQuando o que temos no uma populao, mas apenas uma amostra (ou seja, uma parte

da populao), devemos utilizar um fator de correo, multiplicando o resultado da varincia por

um fatorn

n 1.

Para diferenciar o smbolo 2, que significa varincia da populao, utilizaremos o smbolo s2paravarincia da amostra. Assim ficamos com:

Varincia para uma populao:2= (X

i X )2

n

Varincia para uma amostra da populao: s2=n

n 1. 2

Porm, essa no uma medida de variabilidade muito utilizada. Em geral, a medida usada odesvio padro () que significa o quanto, em mdia, os valores esto afastados do valor mdio e, comopodemos perceber, o desvio padro (), por no ter o termo ao quadrado (2), dado pela raiz quadradada varincia, ou seja:

Desvio padro para uma populao (ou seja, para todos os elementos envolvidos):

= (xi x )2

n

Da mesma forma que na varincia, o desvio padro, para a amostra, dever ser corrigido.

Para simplificarmos todas essas definies, calcularemos o desvio padro para as duas situaes

trazidas no incio desta aula (variao do dlar).

DiaValor do dlar

em R$

1. R$1,93

2. R$1,98

3. R$2,65

4. R$2,74

5. R$2,00

Para tanto, constri-se uma tabela na qual colocaremos, em cada coluna, os valores que precisa-mosat chegarmos expresso (xi x )

2

n:

Para a primeira situao:

xi

xi x= x

i 2,26 (x

i x )2

R$1,93 0,33 0,1089

R$1,98 0,28 0,0784

R$2,65 0,39 0,1521

R$2,74 0,48 0,2304

R$2,00 0,26 0,0676

Somatrio () 0,6374


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Dessa forma, podemos calcular a varincia e, consequentemente, o desvio padro para essa situao:

2= (X

i X )2

n

2=0,6374

5= 0,12748

= 0,12748

Ou seja, em mdia, os valores dos cinco primeiros dias deste ms ficaram afastados da mdia(R$2,26) em 36 centavos (R$0,36), o que, como j era de se esperar, a partir dos valores assumidos noscinco primeiros dias, uma grande variao. Nota-se que o valor da varincia no precisou ser corrigido,porque pegamos todos os valores dos cinco primeiros dias e calculamos a variao nesses dias; logo, anossa populao eram os dias 1. a 5 do ms em questo.

E a amplitude, para esse caso, fica:

A = 2,74 1,93

A = 0,81

Para a segunda situao:

xi

xi x= x

i 2,26 (x

i x )2

R$2,24 0,02 0,0004

R$2,25 0,01 0,0001

R$2,27 0,01 0,0001

R$2,28 0,02 0,0004

R$2,26 0 0

Somatrio () 0,001

Dessa forma, podemos calcular a varincia e, consequentemente, o desvio padro para essa situao:

2

= (Xi X )

2

n

2=0,001 =0,0002

5

= 0,0002 = 0,014 0,01

Ou seja, em mdia, os valores dos cinco primeiros dias deste ms ficaram afastados da mdia(R$2,26) em pouco mais de um centavo (R$0,014), o que, como j era de se esperar, a partir dos valo-res assumidos nos cinco primeiros dias, uma baixssima variao.

Tambm aqui, o que temos uma populao e no uma amostra, logo, desnecessrio o fatorde correo.

2= (Xi- X )2

n


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E a amplitude fica:

A = 2,28 2,24

A = 0,04

Agrupando os conhecimentosA tabela a seguir representa o ranking, por estado, dos maiores preos do litro da gasolina na

segunda semana de janeiro de 2006.

Fonte:ANP.

EstadoValor mdio

do litro da gasolina

Mato Grosso R$2,866

Roraima R$2,866Acre R$2,847

Alagoas R$2,740

Mato Grosso do Sul R$2,691

Tocantins R$2,687

Rio Grande do Sul R$2,668

Podemos calcular:

O valor mdioda gasolina nesses sete estados:

2,866 + 2,866 + 2,847 + 2,740 + 2,691 + 2,687 + 2,668

7=

19,365

7= 2,766

O valor modal: 2,866, pois o que aparece mais vezes.

O valor mediano: 2,74, pois o que divide, em duas partes iguais e em ordem crescente, os ele-mentos da amostra.

A amplitude: A = 2,866 2,668 = R$0,198, ou seja, em todo o pas, entre o maior e o menor preo,a gasolina, para essa pesquisa, varia em aproximadamente 20 centavos.

A varinciae o desvio padro, completando a tabela:

EstadoValor mdio

do litro da gasolina (xi) (xi

x ) (xi x )2

Mato Grosso R$2,866 0,1 0,01

Roraima R$2,866 0,1 0,01

Acre R$2,847 0,081 0,006561

Alagoas R$2,740 0,026 0,000676

Mato Grosso do Sul R$2,691 0,075 0,005625

Tocantins R$2,687 0,079 0,006241

Rio Grande do Sul R$2,668 0,098 0,009604

0,048707


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Varincia:

=0,048707

7

= 0,0069582= (X

i X )2

nDesvio padro: = varincia = 0,006958 = 0,0841 , ou seja, em mdia, o valor da gasolina,

nos estados, est afastado da mdia (R$2,766) em 8,3 centavos, para mais ou para menos.

Concluindo e comparandoA partir das situaes desenvolvidas anteriormente, podemos, ao compar-las, concluir algumas

coisas.

Conforme estudamos, a mdia, sozinha, no consegue nos dar uma noo da variabilidade::dos dados que estamos estudando. Por isso, o ideal que ela venha acompanhada de algumamedida de tendncia central, e a mais usada o desvio padro.

O desvio padro nada mais do que a mdia de quanto os valores que geraram a mdia esto::afastados dela.

A amplitude tambm uma medida de variabilidade importante, j que nos mostra em quan-::to os valores variaram.

Comparando os dados obtidos a partir das duas tabelas, facilmente percebe-se que quanto::

menor a amplitude, menor o desvio padro, uma vez que ambos esto ligados variabili-dade da situao em estudo.

DicaA planilha Excel tambm calcula o desvio padro atravs do comando = DESVPADPA (CLULA

INICIAL:CLULA FINAL), ou seja, digitamos em alguma clula o comando: DESVPADPA e, entre pa-rnteses, separadas por dois pontos, as clulas onde iniciam e onde terminam os valores dos quaisqueremos calcular o desvio padro.

Como exemplo didtico, utilizaremos outra situao para melhor entendermos a necessidade

do coeficiente de variao desvio padro, associado medida de tendncia central mdia.Em duas classes distintas de Estatstica, o professor, ao entregar as avaliaes, comentou

que as mdias, em ambas as turmas, ficou em 7. Suponha que, nessas turmas, as notas tenhamsido as seguintes:

7 7 6 8 6,5 7,5 8 6 7 7

7 6,5 8 7 7 6 8 6 7 7,5

Turma 0011 Notas dos alunos na avaliao de Estatstica


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Qual a mdia dessa turma?

X =7 + 7 + 6 + 8 + 6,5 + 7,5 + 8 + 6 + 7 + 7 + 7 + 6,5 + 8 + 7 + 7 + 6 + 8 + 6 + 7 + 7,5

20

X =140

= 720

Logo, a mdia, para essa turma, 7.

2 9 10 3 4,5 5,5 9 9,5 8,5 9

7 1,5 2,5 10 10 5 9 10 9,5 5,5

Turma 0012 Notas dos alunos na avaliao de Estatstica

Qual a mdia dessa turma?

Soluo (boto):

X =2 + 9 + 10 + 3 + 4,5 + 5,5 + 9 + 9,5 + 8,5 + 9 + 7 + 1,5 + 2,5 + 10 + 10 + 5 + 9 + 10 + 9,5 + 5,5

20

X =140

= 720

Logo, a mdia, para essa turma, tambm 7.

Como voc pde perceber, ambas as turmas tiveram mdias iguais a 7, porm, na primeira,todos os alunos tiveram suas notas prximas de sete e, na segunda, houve uma grande variabilida-

de nas notas obtidas. O que diferenciar uma situao da outra ser o desvio padro. Veja como simples realizar esse clculo em uma planilha eletrnica. Aqui utilizaremos a Excel, por ser a de usomais comum.

Para facilitar os procedimentos aqui utilizados, usaremos a primeira coluna da planilha como incio.

Primeiro passo: digita-se, na primeira coluna, todas as notas dos alunos.

Segundo passo: digita-se, na primeira clula da segunda coluna (b1), o smbolo de igualdade( = ) que o que avisa ao Excel que est se inserindo uma frmula, seguido da expresso 7-a1 (semas aspas), que quer dizer que queremos diminuir o valor sete (que a mdia) do primeiro elementodigitado (a1).

Terceiro passo: clica-se nessa clula (aparecer o resultado dessa operao) e, pelo canto inferiordireito da clula b1, puxam-se as clulas at a ltima linha digitada (nesse exemplo, a linha a20). Essesso os valores calculados da operao (X

i X )2.

Quarto passo: na terceira coluna (clula c1), elevam-se os elementos da coluna b ao qua-drado, ou seja, na clula c1 digitamos =b1^2 (sem as aspas). Para a planilha Excel, o smbolo ^quer dizer potncia e, portanto, ^2 quer dizer elevado segunda potncia. Puxa-se, pelo cantoinferior direito da clula c1, at a ltima linha digitada (clula c20). Esses so os valores calculadosda operao (X

i X )2.


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Quinto passo: clica-se abaixo da ltima clula digitada, nesse caso, a clula c21 e, na parte cen-tral superior do Excel, no smbolo . Ele far a soma de todos os elementos, na mesma coluna, acimadessa clula. Veja:

Ok! Esse o valor de (Xi X )2. Agora, para calcularmos o desvio padro, basta dividirmos esse

valor por 20 e tirarmos a raiz quadrada. Assim:

2= (X

i X )2

n

2=9 =0,45

20

= 0,45 = 0,67

O que quer dizer que, em mdia, as notas dessa turma esto afastadas da mdia em aproximada-mente 0,7 (sete dcimos), que uma baixa variao.

Atividades1. Os valores abaixo indicam o nmero de imveis vendidos por um corretor nos ltimos cinco

meses de um determinado ano.

Agosto: 8 imveis Setembro: 6 imveis

Outubro: 12 imveis Novembro: 10 imveis

Dezembro: 8 imveis


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2. Em um rgido controle de qualidade, desejava-se saber a variabilidade do dimetro de certosgros de ervilha. Para tanto, com um paqumetro de preciso, mediram-se, aleatoriamente, 20gros. Os resultados obtidos seguem na tabela abaixo:

5 4 5 5,5 5 4,5 6 6 4 5

4,5 4,5 5 4 5 4,5 5 5,5 5 4,5

A partir dos dados anteriores, obtenha:

a) a amplitude;

b) a varincia;

c) o desvio padro.

RefernciasPEREIRA, Wilson; TANAKA, Oswaldo K. Estatstica: conceitos bsicos. So Paulo: McGraw-Hill, 1990.

SMAILES, Joane; McGRANE, ngela. Estatstica Aplicada Administrao. So Paulo: Atlas, 2002.

SPIEGEL, Murray R. Estatstica. So Paulo: Makron, 1993.

VERAS, Lilia Ladeira. Matemtica Aplicada Economia. So Paulo: Atlas, 2001.


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Gabarito

Atividades

1. a) 8,8.

b) 8.

c) 4,16.

d) 2,04.

e) Em geral, a quantidade mdia de vendas ficou afastada da mdia em aproximadamente 2

imveis.

f ) 6 imveis.

g) A diferena entre o maior e o menor valor de imveis vendidos foi de 6 imveis.

Autoavaliao1. a) A = R$5,00.

b) s2= 5,2.

c) s = 2,28.

2. a) A = R$2,00.

b) s2= 0,34.

c) s = 0,58.


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Resumo

Quando temos um volume muito grande de dados ou uma variabilidade

excessiva entre eles, em geral agrupamos esses valores em uma tabelade frequncias chamada distribuio de frequncias para dados agrupa-

dos oudistribuio de frequncias por intervalo.

Trabalhando com

dados agrupados

Construindo a tabela de frequnciaPara construirmos a tabela, definiremos algumas novas variveis:

Limite inferior da distribuio de frequncias (Li): o menor valor da nossa populao ou amostra.::

Limite superior da distribuio de frequncias (Ls): o maior valor da nossa populao ou amostra.::

Amplitude total da distribuio de frequncias (H): a diferena entre os limites superior e::inferior: Ls Li

Nmero de classes:::

k = n, em que n = nmero de elementos da amostra

5 k 20


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72 | Trabalhando com dados agrupados

Como o valor de k, na maioria das vezes, no um valor inteiro, na construo da tabela, decidi-mos se o valor menor ou o maior o que mais se adapta.

Observao importante:: :

Na construo da tabela de frequncias para dados agrupados, em cada classe, os valores in-cluem o valor inferior e no o superior e o intervalo separado pelo smbolo | . Assim, quandofalamos, por exemplo, no intervalo 140 | 150, significa que estamos nos referindo a valores entre 140e 150, incluindo valores maiores ou iguais a 140, mas menores do que 150.

Na ltima classe, se o elemento do limite superior coincidir com um elemento que exista na clas-se, utilizamos o smbolo ||.

Para simplificar e tornar essas definies mais simples, representaremos em uma tabela de fre-quncias para dados agrupados a situao que segue:

Os dados abaixo representam o valor dos aluguis de uma amostra de 30 casas de um bairro declasse mdia de uma determinada cidade.

420 500 480 490 500 400 480 500 400 660

460 600 400 520 470 610 540 400 620 400

570 600 480 400 500 560 440 590 500 670

Como so muitos valores, e com uma grande variabilidade, ficaria bastante complicado fazermosa distribuio em um tabela de frequncias padro. Dessa forma, faremos, passo a passo, a construode uma tabela de frequncias para dados agrupados.

1. passo) Determinamos o nmero de classes, que ser o nmero de linhas que nossa tabela

ter.

k = 30 5,47 5

Portanto, teremos 5 classes. Para essa situao, tambm poderamos ter usado 6 classes, j que ovalor ficou praticamente entre 5 e 6.

2. passo) Amplitude total: a variao total dos dados da nossa amostra.

H = Ls Li

H = 670 4

H = 270

3. passo) Amplitude da classe: o intervalo de variao dentro de cada uma das classes.

h =H

k

h =270

= 545

Dessa forma, nossos valores, em cada classe, variaro a cada 54 unidades.

4. passo) Ponto mdio da classe: o valor que representa a classe, que dado pela mdia entre olimite inferior e superior de cada classe:

Xi= Li

i + Ls

i

2


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5. passo) Frequncias e frequncias acumuladas.

So obtidas da mesma forma que na distribuio de frequncias.

Veja como fica a tabela:

Aluguel (R$) Ponto mdioFrequncia

absoluta

Frequnciaabsoluta

acumulada

Frequnciarelativa

Frequnciarelativa

acumulada

400 |- 454 427 8 88 = 0,2730

8 = 0,2730

454 |- 508 481 11 1911 = 0,3730

19 = 0,6330

508 |- 562 535 3 223 = 0,10

30

22 = 0,73

30

562 |- 616 589 5 275 = 0,1730

27 = 0,9030

616 |-| 670 643 3 30 3 = 0,1030

30 = 130

Dessa forma, em uma tabela como essa, podemos facilmente visualizar informaes por interva-los. Por exemplo, podemos dizer que existem 11 casas com aluguis entre R$454,00 e R$508,00, ou aindaque 17% dos aluguis variam entre R$562,00 e R$616,00.

Medidas de tendncia central para dados agrupados:a mdia, a moda e a mediana

A mdia aritmtica para dados agrupados (X)Para calcularmos a mdia aritmtica para dados agrupados, multiplicamos o valor mdio de cada

classe pela frequncia da classe, somamos esses valores e dividimos pelo nmero de elementos daamostra, ou seja:

=X

i .

fix

(mdia da amostra)

=

fi. x

i

N(mdia da populao)


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Veja o clculo da mdia para a situao anterior:

Aluguel (R$) Ponto mdio (xi) Frequncia absoluta (f

i) f

i. x

i

400 | 454 427 8 3.416

454 | 508 481 11 5.291

508 | 562 535 3 1.605

562 | 616 589 5 2.945

616 || 670 643 3 1.929

30 15.186

=X

i. f

i=

15.186= R$506,20

fi 30x

Esse valor (R$506,20), como calculado a partir da mdia de cada classe, no oferece o valorexato da mdia, mas, para dados agrupados, uma excelente estimativa.

A modapara dados agrupados (Mo)Quando temos valores agrupados, no conseguimos dizer qual o valor modal, mas sim a que

classe ele pertence (chamamos de grupo modal), pois se verifica qual a classe em que est concentradaa maior quantidade de elementos. Para a situao anterior, podemos dizer que o grupo modal a se-

gunda classe, ou seja, est entre R$454,00 e R$508,00, pois essa a classe que tem o maior nmero deelementos.

A mediana para dados agrupados (Md)De uma maneira geral, para dados agrupados, no se obtm o valor da mediana, mas sim a classe

em que ela se encontra. Como se sabe, a mediana nada mais do que o elemento que divide, em ordemcrescente, a amostra em duas partes iguais. Assim, para calcularmos a posio da mediana, somamos 1ao nmero de elementos e dividimos o resultado por 2, ou seja:

Posio da mediana =fi+12

Para a situao que estamos estudando (aluguis):

Posio da mediana =30 +1

= 152

ou seja, a mediana se encontra entre o 15. e o 16. elemento,

que est na segunda classe, pois na primeira tm-se os oito primeiros e na segunda, do 9. ao 19..


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Medidas de variabilidade para dados agrupados:

a varincia, o desvio padro e a amplitude total

A varincia (2) e o desvio padro() para dados agrupadosA expresso matemtica para o clculo da varincia de uma populao para dados agrupados :

2=f

i.(X

i)2

fi.X

i

2

n n(varincia para a populao)

E, da mesma forma que para os dados no agrupados, a varincia para a amostra fica:

s =n

. 2n 1

Ou ainda:

2=f

i.(X

i)2 . n

n 1f

i.X

i

2

n n(varincia para a amostra)

Dessa forma, vamos calcular a varincia e o desvio padro da tabela anterior, apenas acrescentadoa ltima coluna j que f

i. x

i2 o mesmo que multiplicar a coluna f

i. x

ipor x

i.

Aluguel (R$) Ponto mdio (xi)Frequncia

absoluta (fi)fi . xi

fi. x

i. x

i=

fi. x

i2

400 | 454 427 8 3.416 1 458 632

454 | 508 481 11 5.291 2 544 971

508 | 562 535 3 1.605 858 675

562 | 616 589 5 2.945 1 734 605

616 || 670 643 3 1.929 1 240 347

30 15.186 7 837 230

Assim:

2=f

i.(X

i)2

=7 837 230

n 1

fi.X

i

2

n n

15 186

2

30 = 261 241 256 238,44 = 5 002, 56

Como temos uma amostra, utilizaremos o fator de correo:

s2=n

n 1.2=

30

30 1.5 002, 56 = 1,03448 . 5 002,56 = 5 175, 06


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O desvio padro fica:

s = 5 175,06 = 71,94

A amplitude ser dada pela diferena entre o maior e o menor valor dos nossos dados tabulados.Para a situao estudada:

A = 670 400 = 270

Vamos analisar outra situao.

O quadro abaixo representa a distribuio dos salrios dos empregados de uma determinadaempresa:

Salrio (R$) Nmero de empregados

600 | 900 20900 | 1.200 25

1.200 | 1.500 15

1.500 | 1.800 12

1.800 | 2.100 6

Apartir da tabela anterior, vamos analisar algumas questes.

A amplitude de cada classe igual a 300, pois os valores por classe variam de 300 em 300.::

A amplitude total de 1.500, pois a diferena entre o maior e o menor salrio.::

A posio da mediana ser dada por N =:: n + 1 = 78 + 1 = 39,52 2 , ou seja, entre o 39. e o 40.elementos, que esto, ambos, na segunda classe.

Como exemplo de tabelas que simplificam uma rpida anlise, podemos dizer facilmente::que 25 empregados recebem salrios entre R$1.200,00 e R$1.500,00, mas 45 deles recebemat R$1.200,00, que o limite superior da segunda classe.

Como voc pde perceber, em geral, utilizamos tabelas para simplificar e melhor demonstrardeterminados dados e informaes. A Estatstica, dessa forma, tambm se preocupa em como distribuire organizar melhor essas informaes.


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Atividades Os dados a seguir referem-se aos valores, em R$, cobrados por m2, de 20 terrenos de uma

determinada rua.

151 160 161 143 165 130 145 152 170 168

165 153 144 158 140 145 144 160 155 147

Apartir desses dados, obtenha:

1. Uma planilha de dados agrupados.

2. A partir da tabela construda, a mdia, a varincia e o desvio padro dessa populao.

Ampliando conhecimentosProcure construir com cuidado as tabelas de frequncia e analisar os valores encontrados para as

medidas de variabilidade de maneira crtica. Eles devem ser coerentes com os valores da populao ouda amostra. Caso tenha dvidas, praticamente todos os livros de Estatstica, principalmente os que soaplicados administrao de empresas, trazem esses concei

matemática para negócios e finanças

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