(I) Áreas das Figuras Planas(II) Áreas de Polígonos Regulares

Capítulo 3

Páginas: 168 à 188

LIVRO 2

MATEMÁTICA

Áreas de Figuras Planas

toda área é uma medida de superfície

[u]

[u]

unidade padrão[u]²

I. ÁREA DOS QUADRILÁTEROS

RETÂNGULO

b

h S = b.h

QUADRADO

PARALELOGRAMO

b

h

S = b.h

TRAPÉZIO

B

h

b

h

(B+b).hS =

2

LOSANGO (ROMBO)

d D D.dS =

2

"O retângulo construído em torno do

losango tem área igual a D.d, e

contém em seu interior 8 triângulos

retângulos idênticos. O losango só

contém 4 desses triângulos então

sua área é a metade da área do

retângulo."

1 2

34

5 6

78

II. ÁREA DOS TRIÂNGULOS

FÓRMULA BÁSICA

b

b.hS =

2

hh

FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA

b

a

αααα

a.b.senS =

2αααα

h

αh

sen =a

αh = a.sen

ÁREA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO

60o

a.b.senS =

2αααα

b

a

S = p.(p - a).(p -b).(p - c)c

FÓRMULA DE HERÃO

a+b+cp =

2

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

INSCRITA

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

CIRCUNSCRITA

r

a

b

c

S = p.ra+b+c

p =2

a

b

c

R

a.b.cS =

4.R

resolução

[13. p172] (UNESP - SP)A figura representa um triângulo retângulo de

vértices A, B e C, onde o segmento de reta

DE é paralelo ao lado AB do triângulo.

Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a

área do trapézio ABED, em cm2, é

a) 84. b) 96. c) 120.

d) 150. e) 192.

12

x8

20 12=

15 x

x = 9 cm

(B+b).hS =

2(15+9).8

S =2

x = 9

→ S = 24.4

S = 96 cm²

�

�

Exercícios

resolução[19. p173] (FUVEST - SP)Considere o triângulo representado na malha

pontilhada com quadrados de lados iguais a 1

cm. A área do triângulo, em centímetros

quadrados, é:

a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

4

4�

s1

s2

s3

A

B C

A área do triângulo ABC será a soma das

áreas s1, s2 e s3.

1 2 3

4.4s +s +s =

2

1

4.1 4.2s + + = 8

2 2

1s +2+ 4 = 8

2

1s = 2 cm

resoluçãoEXTRA. (FGV - SP)Na figura plana abaixo, os triângulos ABC e

CDE são equiláteros.

Os lados medem 4 cm e 6 cm, respectiva-

mente.

Calcule a área do quadrilátero ABDE.

A

BD

EC

s1 s2

s34

4

4 6

6

6

60° 60°60°

2

1

4 . 3S =

41S = 4 3

2

2

6 . 3S =

41S = 9 3

o

3

4.6.sen60S =

23S = 6 3

ABDES = 4 3 +9 3 +6 3

2

ABDES =19 3 cm

resolução[33. p174] (UNICAMP - SP)A área S de um triângulo pode ser calculada

pela fórmula:

em que a, b, c são os comprimentos dos lados

e p é o semi-perímetro ,

a) Calcule a área do triângulo cujos lados

medem 21, 17 e 10 centímetros.

b) Calcule o comprimento da altura relativa ao

lado que mede 21 centímetros.

S = p.(p -a).(p -b).(p - c)a) S = p.(p -a).(p -b).(p - c)

a+b+cp =

2→

10+17+21p = = 24

2

S= 24.(24-10).(24-17).(24-21)

S= 24 . 14 . 7 . 33S= 2 .3 . 2.7 . 7 . 3 4 2 2= 2 . 3 . 7

2S=2 . 3 . 7

S= 84 cm²

b)

21

17h

10b . h

S=2

21 . h84=

2h=8 cm

resolução[42. p175] (FUVEST - SP)Aumentamos a altura de um triângulo em 10%

e diminuímos sua base em 10%. Então a área

do triângulo:

a) aumenta 1%.

b) aumenta 0,5%.

c) decresce 0,5%.

d) decresce 1%.

e) não se altera. b�

h⋅

i

b hS =

2

0,9b�

1,1h⋅

F

0,9b 1,1hS =

2⋅

F

0,99.b hS =

2

F iou seja, S =0,99.S

decresceu 1%.

1

1 11 11

[52. p176] (FUVEST - SP)A figura representa sete hexágonos regulares

de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices

coincidem com os centros de seis dos

hexágonos menores. Então a área do

pentágono hachurado é igual a

3 3 3a) 3 3 b) 2 3 c) d) 3 e) 2 2

resolução

PENT TS = 2.S

⋅l

PENT

². 3S = 2

4

⋅PENT

1². 3S = 2

4

PENT

3S =

2

III. ÁREA DAS FIGURAS CIRCULARES

CÍRCULO

2πS = .R

OR

COROA CIRCULAR

2 2πS = .(R -r )

O

rR

πC = 2. .R

Área do Círculo

Comprimento daCircunferência

SETOR CIRCULAR

R

O

R

αααα

2π.R

S =N

o

α

3 6 0N =

EXEMPLOS

R

OR

60°

2π.R

S =6

R

O R

90°

2π.R

S =4

R

O R

120°

2π.R

S =3

resolução

[86. p184] (FUVEST - SP)Na figura seguinte, estão representados um

quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e

uma semicircunferência de raio 2. Então a

área da região hachurada é

π

π

π

π

π

a) +2 2

b) +2

c) +3

d) +4

e) 2 +1

1

2.2S = = 2

2

ππ2

.2²S = =

4

1 2S = S +S πS = 2+

4

4

2 21S 2S2

22

Exercícios

resolução[71. p182] (MACKENZIE - SP)Na figura, o raio OA da circunferência mede 6

cm. Adotando-se π = 3, a área da região sombreada, em cm2, é igual a

a) 9(4- 3)

b) 9- 3

c) 4 3

d) 9 3

e) 4(9- 3)

6

630°

120°

120°

A área da região sombreada é a área do

setor circular de 120° e raio 6 menos a área

do triângulo isósceles de lado 6 e ângulo

120°.

π 2 o

S.6 6.6.sen120S = -3 2

⋅ ⋅S

3S =12 3-182

⋅S

3S =36-9

2S

3S =9(4- ) cm

resolução[82. p184] (FUVEST - SP)Numa circunferência de raio 1 está inscrito um

quadrado. A área da região interna à

circunferência e externa ao quadrado é:

π

π

π

2

a) maior que 2

b) igual à área do quadrado

c) igual a -2

d) igual a -2

e) igual a 4

1

1

O raio da circunferência é 1, então:

π 2C

S = rπ 2

CS = 1 π

CS =

A diagonal do quadrado é 2, então:

2d=L 2Q

S =L

22=L2

2L= → 2L=

2

Q2S =

QS =2

C Q-S=S S

π-S= 2

[88. p184] (FUVEST - SP)Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1,

DEB e CEA são arcos de circunferências de

raio 1. Logo, a área da região hachurada é:

π

π

π

π

π

3a) 1- +46

3b) 1- +3 2

3c) 1- -46

3d) 1+ -3 2

3e) 1- -43

1

1

1

1

60°

30°

Q SC TS = S - 2.S -S

π⋅

.R² L². 3S =L² - 2 -

12 4π

⋅.1² 1². 3

S =1² - 2 -12 4

π 3S =1- -

6 4

resolução

S

setorcircular

setor

circular

triânguloequilátero

APÓTEMA

“ apótema é definido como a distância entre o centro de um polígono regular e o ponto médio de qualquer lado, ou seja, é o raio da

circunferência inscrita ”

PRINCIPAIS APÓTEMAS:

TRIÂNGULO EQUILÁTERO QUADRADO HEXÁGONO REGULAR

O

M

aO

M

a

O

M

3a=h2a

��

a�

O apótema é

a altura do

triângulo

equilátero!

�

a

a=h

3

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES

S = p . a“ a área de qualquer polígono regular pode ser calculada multiplicando-se o semiperímetro desse

polígono pelo seu respectivo apótema ”

Exemplos

Triângulo Equilátero Hexágono Regular

Extra: Demonstração da área do círculo

Observa-se que quanto maior o no de

lados de um polígono regular menor o

tamanho de cada lado…

Projetando-se essa idéia até o infinito,

pode-se imaginar o círculo como sen-

do um polígono regular com infinitos

lados de tamanho infinitesimal…

O

R = a

�

S = p . a

⋅2 R

S = R2ππππ

2πS = .R

resolução

[101. p186] (PUCCAMP - SP)Considere-se o hexágono regular inscrito

numa circunferência cujo raio mede 12 cm. A

medida do apótema desse hexágono, em

centímetros, é:

a) 6 3

b) 5 3

c) 4 3

d) 3 3

e) 2 3

O

M

a�

O apótema do hexágono regular é a

altura do triângulo equilátero!

1212

12

12 3a=2

a=6 3 cm

Exercícios

resolução[EXTRA] (FUVEST - 2014 - SP)Uma das piscinas do Centro de Práticas

Esportivas da USP tem o formato de três

hexágonos regulares congruentes, justa-

postos, de modo que cada par de hexágonos

tem um lado em comum, conforme

representado na figura abaixo. A distância

entre lados paralelos de cada hexágono é de

25 metros.

Assinale a alternativa que mais se aproxima

da área da piscina.

a) 1600 m2.

b) 1800 m2.

c) 2000 m2.

d) 2200 m2.

e) 2400 m2.

2h=25 m

�

�

h

h

A área da piscina é igual a área de 18

triângulos equiláteros como o destacado na

figura.

25h= m

2

V. Relação entre as Áreas de Figuras Semelhantes

B

ACb

ca

N

MPk.b

k.ck.a

�

�

h

k.h

ABCb . hS =

2

MNPK.b . K.hS =

2⋅MNPb . hS =K²

2

⋅MNP ABCS =K² S

MNP

ABC

S =K² S

K é a constante de

proporcionalidade, ou

seja, é a relação entre 2

lados homólogos de

dois polígonos

semelhantes

resolução

[117. p187] (FUVEST - SP)No papel quadriculado da figura abaixo, adota-

se como unidade de comprimento o lado do

quadrado hachurado. DE é paralelo a BC.

Para que a área do triângulo ADE seja a

metade da área do triângulo ABC, a medida

de AD, na unidade adotada, é

a) 4 2

b) 4

c) 3 3

8 3d) 3

7 3e) 2

x

8

2

ADE

ABC

Sx=

8 S

2x 1

=8 2

→2 64

x =2

x = 32

x = 4 2

Exercícios