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2.º CICLO DO ENSINO SECUNDÁRIO GERAL

P R O G R A M A D E

MATEMÁTICA10ª Classe

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ÁREA DE CIÊNCIAS HUMANAS

C6

Ficha Técnica

TítuloPrograma de Matemática - 10ª Classe(Área de Ciências Humanas)

EditoraEditora Moderna, S.A.

Pré-impressão, Impressão e AcabamentoGestGráfica, S.A.

Ano / Edição / Tiragem2014 / 2.ª Edição / 2.000 Ex.

E-mail: [email protected]

© 2014 EDITORA MODERNAReservados todos os direitos. É proibida a reprodução desta obra por qualquer meio (fotocópia, offset, fotografia, etc.) sem o consentimento escrito da editora, abrangendo esta proibição o texto, as ilustrações e o arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimento judicial, de acordo com o estipulado no código dos direitos de autor.

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ÍNDICE

Introdução Geral à Disciplina no Ciclo ---------------------------------------- 4

Objectivos Gerais do 2º Ciclo do Ensino Secundário de Matemática -------- 5

Objectivos Gerais da Matemática da 10ª Classepara a Área de Ciências Humanas --------------------------------------------- 6

Esquema Programático (10ª Classe) ------------------------------------------- 8

Temas / Conteúdos ------------------------------------------------------------- 9

Avaliação ----------------------------------------------------------------------- 26

Bibliografia --------------------------------------------------------------------- 27

10ª CLASSE

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INTRODUÇÃO GERAL À DIsCIpLINA NO CICLO

A disciplina de Matemática contribui para a realização dos objectivos gerais da geração jovem através da utilização de meios específicos da ciência matemática.

Sendo assim, a Lei de Bases do Sistema de Educação define o Sistema Educativo como um conjunto de estruturas e modalidades, através das quais se realiza a educação que proporciona a formação harmoniosa e integral da personalidade, com vista à consolidação de uma sociedade progressista e democrática.

Neste programa apresentam-se temas que proporcionam ao professor uma visão global e planificada. Assim, cada tema compreende uma lista de itens, a saber: pré-requisitos, objectivos, conteúdos, meios, sugestões metodológicas, gestão de tempo e instrumentos de avaliação.

Neste programa desenvolveu-se um subtema básico na planificação para cada tema, dando desta maneira ao professor uma ideia de como desenvolver a planificação da sua aula.

Das sugestões dadas, o professor escolherá as que lhe pareçam mais oportunas e adequadas.

PROGRAMA DE MATEMÁTICA

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ObjECTIvOs GERAIs DO 2º CICLO DO ENsINO sECUNDÁRIO DE mATEmÁTICA

O ensino da Matemática no 2.º ciclo, deverá desenvolver nos alunos, os seguintes objectivos:

1. Consolidar e alargar os conhecimentos e capacidades adquiridas no Ensino Primário e no 1º ciclo do Ensino Secundário.

2. Contribuir para a criação de condições científicas e intelectuais necessárias no Ensino Superior.

3. Introduzir intensamente os métodos de pensamento do trabalho científico.

4. Apreciar o contributo da Matemática na evolução científica.

5. Usar correctamente o vocabulário específico e a simbologia matemática.

6. Aperfeiçoar as capacidades de definir, demonstrar, reconhecer e sistematizar problemas matemáticos.

7. Estudar sensivelmente as dificuldades de julgar com base nas capacidades adquiridas.

8. Criar as bases para o hábito da pesquisa científica.

10ª CLASSE

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ObjECTIvOs GERAIs DA mATEmÁTICA DA 10ª CLAssE pARA A ÁREA DE CIÊNCIAs HUmANAs

› Dominar as propriedades das operações com radicais;

› Conhecer e aplicar os procedimentos para racionalizar denominadores;

› Conhecer as formas de definir um plano;

› Dominar as posições relativas de rectas no plano, de rectas e planos no espaço e de planos no espaço;

› Dominar as operações lógicas;

› Conhecer as propriedades das operações lógicas;

› Compreender a intersecção, reunião, conjunção e disjunção de conjuntos;

› Compreender as propriedades de negação e as primeiras leis de Morgan;

› Determinar a distância entre dois pontos no plano;

› Conhecer o processo de determinar o centro e o raio de uma circunferência;

› Conhecer o processo de representar conjuntos de pontos definidos por condições envolvendo circunferências e círculos;

› Saber determinar a soma e o produto de vectores;

› Reconhecer a equação vectorial na recta, no plano e no espaço;

› Conhecer os componentes e coordenadas de um vector num referencial ortonormado do espaço e do plano;

› Compreender a aplicação do conceito de potências de expoente racional e dominar as propriedades destas potências;

› Conhecer os gráficos das famílias das funções potenciais, as suas inter-relações e, a partir destas, fazer o reconhecimento das suas propriedades;

› Dominar as propriedades da função y = x e a sua representação gráfica;


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› Dominar as propriedades e a representação gráfica das funções y = 1x

e

y = 1x2

;

› Representar graficamente uma função módulo;

› Dominar o conceito de função quadrática, analisar as suas propriedades e fazer a sua representação gráfica;

› Conhecer o conceito discriminante e a relação deste com as propriedades da função quadrática e a sua representação gráfica;

› Aplicar as propriedades e representação gráfica das funções quadráticas na resolução de problemas práticos;

› Reconhecer a secção cónica como secção plana de um cone circular recto;

› Aprender a equação de secção cónica referida ao centro, ao vértice e desenvolver capacidades na interpretação desta equação.

10ª CLASSE

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EsQUEmA pROGRAmÁTICO (10ª CLAssE)Área de Ciências Humanas

30 Semanas / Ano Escolar3 Aulas / Semana

Total 90 aulas / Ano

1º TRIMESTRE

Tema 1 - Radicais ...................................................................... 10 aulas

Tema 2 - Referência no plano. Conjunto de pontos e condições. ............................... 10 aulas

Tema 3 - Distância entre dois pontos ..................................... 10 aulas

2º TRIMESTRE

Tema 4 - Vectores no plano e no espaço. Operações com vectores. Equação vectorial da recta no plano e no espaço.Equação reduzida da recta no plano ....................... 20 aulas

Tema 5 - Potências an e funções y= xn ................................... 10 aulas

3º TRIMESTRE

Tema 6 - Funções e gráficos. Função módulo ........................ 20 aulas

Tema 7 - Função quadrática e parábola ................................. 10 aulas


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TEmAs / CONTEÚDOs

Tema 1 - Radicais.

1.1. Introdução.

1.2. Radicais quadráticos.

1.3. Raiz índice n de a.

1.4. Radicais com potências de expoente fraccionário.

1.5. Radicais equivalentes.

1.6. Multiplicação e divisão de radicais.1.6.1. Multiplicação.1.6.2. Divisão.

1.7. Adição de expressões com radicais.

1.8. Passagem de um factor para fora do radical.

1.9. Potência de um radical.

1.10. Radical de um radical.1.10.1. Propriedades dos radicais.1.10.2. Radicais de índice par.1.10.3. Radicais de índice ímpar.

Tempo ................................................................................ 10 aulas

Sugestões metodológicas:O professor pode levar o aluno a aprender a utilizar as igualdades em ambos

os casos e considerar as propriedades da radiciação como casos particulares das propriedades da potenciação.

O aluno deve ser levado a aprender a ler e a utilizar as igualdades em ambos os sentidos, como por exemplo: a. b = a.b e a.b = a. b .

10ª CLASSE

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O professor deve exemplificar a racionalização de denominadores com termos simples em que o denominador é um monómio.

Os exercícios a propor aos alunos não devem ser complicados.

Sugerimos ao professor ensinar o facto de que, em alguns casos que não conduzem a quadrados perfeitos no radicando, é possível simplificar e aumentar a exactidão do resultado, como no exemplo seguinte:

8. 50 = 8.50 = 400 = 203. 11 = 3.11 = 33 ≈ 5,74

Esta via de cálculo é mais fácil e exacta do que:

3 ≈1,73; 11 ≈ 3,31; 3. 11 ≈1,73 . 3,31≈ 5,74


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Tema 1 - Radicais.Subtema: Radicais como potências de expoente fraccionário.

Objectivo(s) geral(ais): › Dominar as propriedades das operações com radicais.

Pré-requisitos: › Conhecer as potências e fazer operações respectivas.

Objectivos Específicos Conteúdos

- Transformar um radical numa potência de expoente fraccionário.

•Radicais com potências de expoente fraccionário.

Meios: › Giz, lápis, apagador.

Sugestões metodológicas: › Escolher, de entre as sugestões do tema, as mais adequadas.

Instrumentos de avaliação: › Trabalho individual e em grupo, exercícios, chamadas orais e escritas.

10ª CLASSE

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Tema 2 - Referências no plano. Conjunto de pontos e condições.

2.1. Referências no plano.

2.2. As condições como expressões matemáticas.

2.3. Proposições elementares. Operações lógicas.2.3.1 Negação.2.3.2. Conjunção.2.3.3. Disjunção.

2.4. Propriedades das operações lógicas.2.4.1. Propriedades da conjunção, disjunção e de ligação.2.4.2. Propriedades da negação. Primeiras leis de Morgan.

2.5. Operações com condições e com conjuntos.

2.6. Conjunção de condições e intersecção de conjuntos.

2.7. Disjunção de condições e reunião de conjuntos.

2.8. Negação e complementação.

2.9. Condições incompatíveis e conjuntos disjuntos.

2.10. Leis de Morgan.

2.11. Conjuntos numéricos.

2.12. Conjuntos e condições no plano.

2.13. Disjunção e conjunção de condições em R2.

Tempo ................................................................................ 10 aulas


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Sugestões metodológicas:O ensino da geometria reveste-se da maior importância, devendo desenvolver

no aluno uma intuição geométrica e um raciocínio especial, bem como capacidades para explorar. Com isto, sugerimos ao professor que proponha aos alunos actividades que os levem a sentir a necessidade do uso de um referencial, quer no plano quer no espaço.

O professor pode fornecer figuras e/ou um referencial numa grelha e pedir a colocação da figura ou do referencial.

10ª CLASSE

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Tema 2 - Referenciais no plano. Conjunto de pontos e condiçõesSubtema: Complementar de um conjunto em relação ao outro

Pré-requisitos: › Conhecer a reunião, intersecção e diferença de conjuntos.


- Determinar o complementar de um conjunto em relação ao outro.

•Complementar de um conjunto em relação ao outro.

Meios: › Giz, quadro, apagador, caderno, lápis.


Instrumentos de avaliação: › Participação na aula, chamadas escritas.


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Tema 3 - Distância entre dois pontos.

3.1. Distância entre dois pontos do plano.

3.2. Mediatriz de um segmento de recta.

3.3. Circunferência e círculo.3.3.1. Equação de uma circunferência.3.3.4. O círculo.

3.4. Distância entre dois pontos no espaço. Plano mediador.3.4.1. Distância entre dois pontos no espaço.3.4.2. Plano mediador.

Tempo ................................................................................ 10 aulas

Sugestões metodológicas:No início do ano lectivo, sugerimos que o professor apresente actividades que

permitam recordar os conhecimentos adquiridos em anos anteriores, de modo a alcançar com êxito os seus objectivos.

Propomos que a circunferência seja tratada essencialmente como as outras figuras geométricas, sem a preocupação de fazer múltiplos exercícios que envolvam apenas as suas equações. O mesmo é válido para a mediatriz e para o plano mediador.

Para desenvolver a capacidade de representação do aluno, o professor deve incentivá-lo a fazer uma figura geométrica em todas as situações.

10ª CLASSE

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Tema 3 - Distância entre dois pontos.Subtema: Escrever a equação de uma circunferência.

Objectivo(s) geral(ais): › Determinar a distância entre dois pontos.

Pré-requisitos: › Conhecer raio, diâmetro, corda, circunferência.


- Escrever a equação de uma circunferência.

•Circunferência e círculo.

Meios: › Giz, quadro, compasso, apagador.


Instrumentos de avaliação: › Chamadas orais e escritas, provas, revisão dos cadernos.


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Tema 4 - Vectores no plano e no espaço. Operações com vectores. Equação vectorial da recta no plano e no espaço. Equação reduzidada recta no plano.

4.1. Vectores no plano e no espaço. 4.1.1. Revisão da noção de vector livre no plano.4.1.2. Coordenadas de um vector no plano.4.1.3. Representações de um vector no plano. Igualdade de dois vectores.4.1.4. Vector como diferença de dois pontos do plano. Soma de um ponto com um vector do plano.4.1.5. Coordenadas do vector soma de dois vectores do plano.4.1.6. Produto de um número real por um vector e suas propriedades.4.1.7. Vectores do espaço.4.1.8. Norma de um vector do plano e do espaço.4.1.9. Vectores colineares.4.1.10. Ponto médio.

4.2. Equações vectoriais.4.2.1. Equação vectorial da recta.4.2.2. Equação vectorial da recta no espaço.4.2.3. Equação reduzida da recta no plano.4.2.4. Declive de uma recta.4.2.5. Equação de uma recta, dados um ponto e um declive.4.2.6. Intersecção de rectas.

Tempo ................................................................................ 20 aulas

Sugestões metodológicas:Sugerimos ao professor que leve os alunos a reconhecerem que, quando uma

figura do espaço está contida num plano, se podem utilizar todas as propriedades da geometria plana.

Pretende-se que o aluno deduza as propriedades de figuras geométricas usando vectores e explore a ligação do cálculo vectorial com a Física. O professor deve motivar o aluno a trabalhar de forma a desenvolver as suas capacidades de raciocínio, não deixando que se limite só à utilização de fórmulas.

Além disso, o professor deve pedir aos alunos que descrevam com algum detalhe o processo utilizado.

10ª CLASSE

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Tema 4 - Vectores no plano e no espaço. Operações com vectores. Equação vectorial.

Subtema: Vector soma de dois vectores no plano.

Objectivo(s) geral(ais): Determinar a adição e multiplicação de vectores.

Pré-requisitos: › Noção de vectores livres no plano e no espaço.


- Aprender a somar vectores. •Vector soma de dois vectores no plano.

Meios: › Giz, quadro, régua, lápis, caderno.


Instrumentos de avaliação: › Chamadas orais e escritas, participação, exercícios.


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Tema 5 - Potências an e funções y = xn.

5.1. Revisão e sistematização da potenciação de expoente inteiro.

5.2. Potenciação com expoente racional.5.2.1. Definição da raiz n-ésima de um número positivo.5.2.2. Ampliação do conceito mediante a definição

amn = amn (a∈R, a ≠ 0; m∈Z, m ≥ 0)

5.2.3 Generalização das propriedades da potenciação no caso de expoentenatural.

5.3. Funções potenciais.5.3.1. Revisão do conceito de função.5.3.2. Funções potenciais com equações da forma y = xn.5.3.3. Gráfico de uma função.5.3.4. Exemplos de funções racionais.

Tempo ................................................................................ 10 aulas

Sugestões metodológicas:O professor deve começar por uma revisão do conceito de potência, tratando das

operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão.

O professor pode introduzir as propriedades da potenciação utilizando a definição da potência e as leis comutativa e associativa da multiplicação. Para isto, deve começar com exemplos simples e depois enunciar as propriedades utilizando variáveis. É importante diferenciar entre função e equação de uma função.

Pretende-se que os alunos aprendam que as regras para formar o conjunto de pares ordenados de uma função podem ser dadas de maneiras diferentes.

Com as funções potência, o professor ensina aos alunos uma nova classe de funções. Assim, sugerimos ao professor começar com uma revisão do conceito de função.

Mediante a representação gráfica das funções y = xn(n∈Q), o aluno fica familiarizado com as suas propriedades mais importantes.

Para representar o domínio, o conjunto de chegada e os intervalos também se devem utilizar as inequações.

10ª CLASSE

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Tema 5 - Potências an e funções y = xn.

Subtema: Funções potenciais.

Objectivo(s) geral(ais): Dominar as propriedades das funções e a sua representação gráfica.

Pré-requisitos: › Conhecer as funções.


- Representar graficamente uma função. • Gráfico de uma função.

Meios: › Giz, régua, compasso.


Instrumentos de avaliação: › Provas orais e escritas, chamadas no quadro, participação na aula.


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Tema 6 - Funções e gráficos. Função módulo.

6.1. Revisão da noção da função como correspondência unívoca.

6.2. Gráficos das funções afim, linear e constante.

6.3. Estudo das características de uma função por observação do gráfico.

6.4. Definições.7.4.1. Zero de uma função.7.4.2. Funções crescentes e funções decrescentes.7.4.3. Funções monótonas.7.4.4. Tabela de variação.7.4.5. Injectividade.7.4.5.1. Função injectiva e função não injectiva.

6.5. Extremos de uma função.

6.6. Transformações de funções.7.6.1. Deslocação do gráfico de uma função.7.6.1.1. Deslocação vertical.7.6.1.2. Deslocação horizontal.7.6.2. Deslocações do gráfico de uma função. Generalização.7.6.3. Simetrias do gráfico de uma função7.6.3.1. Simetria relativamente ao eixo dos yy. Função par. Função módulo:

• Gráfico da função módulo;• Gráfico de funções |f(x)| e f(|x|);• Resolução de equações com módulos;• Inequações com módulos;• Comparação de funções com módulos;• Equivalência e implicação de condições;• Igualdade e inclusão de conjuntos.

Tempo ................................................................................ 20 aulas

Sugestões metodológicas:O estudo das funções é muito importante para a compreensão do mundo em

que vivemos. Assim, sugerimos ao professor que, no início da unidade, parta de exemplos de situações concretas.

10ª CLASSE

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Deverá ser dada particular importância às situações problemáticas, às situa-ções passíveis de modelação matemática e a exemplos ligados ao trabalho da Área Escola e da geometria. Devem retomar-se alguns exemplos já estudados.

Os alunos devem reconhecer que o mesmo tipo de função pode constituir um modelo de diferentes tipos de situações problemáticas.

O professor pode introduzir os conceitos de “condição” e “proposição” e ao longo da unidade referir as propriedades da conjunção, disjunção, negação e im-plicação, com vista a facilitar o uso de linguagem rigorosa.


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Tema 6 - Funções e gráficos. Função módulo.

Subtema: Gráfico e representação gráfica de uma função.

Objectivo(s) geral(ais): Dominar as propriedades da função y = x e sua representação gráfica.

Pré-requisitos: › Saber definir uma função.


- Representar graficamente uma função. • Gráfico e representação gráfica de uma função.

Meios: › Giz, régua, esquadro, lápis e caderno.


Instrumentos de avaliação: › Participação, chamadas orais e exercícios.

10ª CLASSE

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Tema 7 - Função quadrática e Parábola.

7.1. Introdução da função quadrática.

7.2. Gráfico de uma função quadrática.8.2.1. Concavidade.

7.3. Eixo de simetria e vértice do gráfico.

7.4. Zeros da função quadrática. Equações do 2º grau.

7.5. Sinal da função quadrática.

7.6. Inequações do 2º grau.

7.7. Parábola.7.7.1. Introdução.7.7.2. Característica da parábola.7.7.3. Equação da parábola.7.7.4. Equações de outras parábolas.

Tempo ................................................................................ 10 aulas

Sugestões metodológicas:Com o tema funções quadráticas estende-se o estudo das funções. Assim, sug-

erimos que o professor promova o tratamento das funções quadráticas do ponto de vista do conteúdo matemático e das necessidades da prática, da técnica e das ciências. Posteriormente, deve deixar que o aluno encontre exemplos, tais como a trajectória descrita por uma bola lançada ao ar, o lançamento de pirotecnia e outros. Isto permitirá avaliar em que medida os alunos compreendem o objectivo desta unidade. O professor poderá partir da forma geral da equação de uma fun-ção quadrática completa: f(x) = ax2+ bx + c (a,b,c ∈ R e a ≠ 0) .

Ao introduzir a noção “parábola”, sugerimos que o professor faça uma revisão das propriedades das funções.


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Tema 7 - Função quadrática. Parábola.

Subtema: Sinal de uma função quadrática.

Objectivo(s) geral(ais): Dominar o conceito de função quadrática. Analisar as suas propriedades e a sua representação gráfica.

Pré-requisitos: › Conhecer o conceito de função quadrática. › Saber determinar os zeros de uma função quadrática.


- Determinar os sinais de uma função quadrática.

• Determinar os sinais de uma função quadrática.

Meios: › Giz, quadro, apagador.


Instrumentos de avaliação: › Exercícios, chamadas e provas.

10ª CLASSE

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AvALIAÇÃO

No ensino, a avaliação assume carácter eminentemente formativo, devendo favorecer a progressão pessoal e a autonomia como parte integrante do processo ensino e aprendizagem, permitindo ao aluno implicar-se no próprio processo e ao professor controlar melhor a sua prática lectiva.

A avaliação do processo do aluno deverá ser sistemática e contínua, quer em relação aos processos utilizados, quer em relação aos resultados obtidos. A avaliação a realizar ao longo de cada ano não deve ser prescritiva nem assumir um carácter definitivo que descrimine desde logo o aluno, impedindo-o de alcançar sucesso no imediato e, porventura, no médio prazo.

Cabe ao professor gerir, de acordo com as experiências de aprendizagem desenvolvidas, os parâmetros enunciados.

Uma avaliação que complete todos os domínios de aprendizagem e respeite o ritmo dos alunos implica uma escolha adequada de formas e instrumentos de avaliação. Assim, podem constituir formas de avaliação os trabalhos individuais ou de grupo, as discussões e os debates, as exposições, as entrevistas, os trabalhos de casa, assim como a própria estrutura do caderno diário.

Para avaliar a capacidade de resolução de problemas, o professor deverá recolher informações sobre os progressos verificados nas diferentes fases a considerar durante o processo. Poderá ser pedido aos alunos que entreguem pequenos relatórios onde descrevam não só a sua resolução do problema como igualmente a descrição de todo o processo percorrido (primeira abordagem seguida, dificuldades, avanços, recuos, razões justificativas das opções tomadas, etc…).

A avaliação da capacidade de comunicação em Matemática faz-se observando o modo como o aluno descreve processos, enuncia propriedades, expressa conceitos, formula problemas e compreende e avalia ideias expressas em Matemática, devendo o professor estar particularmente atento ao desenvolvimento da clareza, precisão e adequação da linguagem utilizada. Devem ser pedidas frequentemente ao longo do ano argumentações e descrições escritas e orais, relativas a processos matemáticos seguidos pelos alunos. Os trabalhos desenvolvidos em grupo deverão ser igualmente considerados para a avaliação. Esta poderá ter em conta produções realizadas em grupo e trabalhos complementares individuais.


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bIbLIOGRAFIA

NEVES, M.A. FERREIRA; Geometria 10º ano, Parte 1. Porto Editora, Portugal 1998.

NEVES, M.A. FERREIRA; Funções 10º ano, Parte 2. Porto Editora, Portugal 1998.

INIDE, MINISTéRIO DA EDuCAçãO; Programa de Matemática PUNIV, 1º ano. Luanda 1996.

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