matemÁtica - fuvest 2014 e 2015 -...

MATEMÁ TICA - FUVEST – 2014 E 2015

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1. (Fuvest 2015) A grafite de um lápis tem quinze centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de átomos presentes nessa grafite é Nota: 1) Assuma que a grafite é um cilindro circular reto, feito de grafita pura. A espessura da grafite

é o diâmetro da base do cilindro. 2) Adote os valores aproximados de:

32,2g / cm para a densidade da grafita;

12g / mol para a massa molar do carbono;

23 16,0 10 mol para a constante de Avogadro

a) 235 10

b) 231 10

c) 225 10

d) 221 10

e) 215 10 2. (Fuvest 2015) Diz-se que dois pontos da superfície terrestre são antípodas quando o segmento de reta que os une passa pelo centro da Terra. Podem ser encontradas, em sites da internet, representações, como a reproduzida abaixo, em que as áreas escuras identificam os pontos da superfície terrestre que ficam, assim como os seus antípodas, sobre terra firme. Por exemplo, os pontos antípodas de parte do sul da América do Sul estão no leste da Ásia.

Se um ponto tem latitude x graus norte e longitude y graus leste, então seu antípoda tem

latitude e longitude, respectivamente, a) x graus sul e y graus oeste.

b) x graus sul e (180 y) graus oeste.

c) (90 x) graus sul e y graus oeste.

d) (90 x) graus sul e (180 y) graus oeste.

e) (90 x) graus sul e (90 y) graus oeste.


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3. (Fuvest 2015) Dadas as sequências 2na n 4n 4,

2nnb 2 , n n 1 nc a a e n 1

nn

bd ,

b

definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:

I. na é uma progressão geométrica;

II. nb é uma progressão geométrica;

III. nc é uma progressão aritmética;

IV. nd é uma progressão geométrica.

São verdadeiras apenas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV. 4. (Fuvest 2015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na

figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto

ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o

projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no

instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m.

Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?

a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 e) 180

5. (Fuvest 2015) No sistema linear

ax y 1

y z 1 ,

x z m

nas variáveis x, y e z, a e m são

constantes reais. É correto afirmar: a) No caso em que a 1, o sistema tem solução se, e somente se, m 2. b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. c) No caso em que m 2, o sistema tem solução se, e somente se, a 1. d) O sistema só tem solução se a m 1. e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.


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6. (Fuvest 2015) De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas:

duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas

cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas que

tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é:

a) 1

130

b) 1

420

c) 10

1771

d) 25

7117

e) 52

8117

7. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo

reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE 2cm,

AD 4cm e AB 5cm.

A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 4

3 do volume da

pirâmide SEFGH é

a) 2 cm

b) 4 cm

c) 6 cm

d) 8 cm

e) 10 cm

8. (Fuvest 2015) A equação 2 2x 2x y my n, em que m e n são constantes, representa

uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contém o centro da

circunferência e a intersecta no ponto ( 3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente,

a) 4 e 3 b) 4 e 5 c) 4 e 2 d) 2 e 4 e) 2 e 3


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9. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede

12cm e o cateto BC mede 6cm.

Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a

a) 2

7

b) 3

7

c) 2

7

d) 2 2

7

e) 2 3

7

10. (Fuvest 2015) Sabe-se que existem números reais A e 0x , sendo A 0, tais que

0senx 2 cosx A cos(x x )

para todo x real. O valor de A é igual a

a) 2

b) 3

c) 5

d) 2 2

e) 2 3


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11. (Fuvest 2015) Examine o gráfico.

Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar corretamente que a idade a) mediana das mães das crianças nascidas em 2009 foi maior que 27 anos. b) mediana das mães das crianças nascidas em 2009 foi menor que 23 anos. c) mediana das mães das crianças nascidas em 1999 foi maior que 25 anos. d) média das mães das crianças nascidas em 2004 foi maior que 22 anos. e) média das mães das crianças nascidas em 1999 foi menor que 21 anos. 12. (Fuvest 2015) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas

usando o bilhete único. A tarifa é de R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem)

e de R$ 4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar

seu bilhete único, que está com um saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qual

seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é a) R$ 0,85

b) R$ 1,15

c) R$ 1,45

d) R$ 2,50

e) R$ 2,80

13. (Fuvest 2014) O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é

a) 1

3

b) 5

12

c) 17

36

d) 1

2

e) 19

36


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14. (Fuvest 2014)

Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo μ e ,ρ respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas

em graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a Nota: Entende-se por “plano horizontal”, em um ponto da superfície terrestre, o plano perpendicular à reta que passa por esse ponto e pelo centro da Terra. a) ρ

b) μ c) 90 ρ

d) 90 μ e) 180 ρ

15. (Fuvest 2014) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é

a) 1

8

b) 1

6

c) 2

9

d) 1

4

e) 1

3


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16. (Fuvest 2014) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices

A (0, 0), B (3, 4) e C (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das

abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os

retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é

a) 16

4,5

b) 17

,34

c) 12

5,5

d) 11

,22

e) 8

6,5

17. (Fuvest 2014) Sobre a equação 2x 9 2(x 3)2 log | x x 1| 0,

é correto afirmar que

a) ela não possui raízes reais. b) sua única raiz real é 3. c) duas de suas raízes reais são 3 e 3. d) suas únicas raízes reais são 3 , 0 e 1. e) ela possui cinco raízes reais distintas. 18. (Fuvest 2014) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual

os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes

são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes afirmações: I. x é irracional.

II. 10

x3

III. 2.000.000x 10 é um inteiro par.

Então, a) nenhuma das três afirmações é verdadeira. b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. c) apenas a afirmação I é verdadeira. d) apenas a afirmação II é verdadeira. e) apenas a afirmação III é verdadeira. 19. (Fuvest 2014) Um apostador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu

investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo

menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo,

a) R$ 200.000,00

b) R$ 175.000,00

c) R$ 150.000,00

d) R$ 125.000,00

e) R$ 100.000,00


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20. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no

qual AB AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto,

igual a a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 21. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.

Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) 1.600 m2 b) 1.800 m2 c) 2.000 m2 d) 2.200 m2 e) 2.400 m2

22. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB, e ABCD é um quadrado.

Sendo θ a medida do ângulo ˆAOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a

área do triângulo se Dados os valores aproximados:

tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679

tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317

a) 14 28θ b) 15 60θ c) 20 90θ d) 25 120θ e) 30 150θ 23. (Fuvest 2014) Cada uma das cinco listas dadas é a relação de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana. a) 5, 5, 7, 8, 9,10

b) 4, 5, 6, 7, 8, 8

c) 4, 5, 6, 7, 8, 9

d) 5, 5, 5, 7, 7, 9

e) 5, 5,10,10,10,10


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Gabarito: Resposta da questão 1: [C] [Resposta do ponto de vista da disciplina de Química] Cálculo do volume da grafita:

3 1

1

cilindro

2cilindro

1 2cilindro

3cilindro

3grafita

3

diâmetro 2 mm de espessura 2 10 m 2 10 cm

raio 1mm de espessura 10 m

altura 15 cm

V (Área da base) (altura)

V r h

V (10 ) 15

V 0,471 cm

d 2,2 g / cm

1 cm

π

π

3

2,2 g

0,471 cm grafita

grafita

m

m 1,0362 g

12 g de grafita

236,0 10 átomos de carbono

1,0362 g de grafita

22

x

x 5,18 10 átomos de carbono

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] Tem-se que o volume de grafite é dado por

2 2

3

d 0,2h 3,14 15

2 2

0,47cm .

π

Daí, sabendo que a densidade da grafita é 32,2 g cm , vem que a massa de grafite é igual a

m 2,2 0,47 1,03 g.

Portanto, sendo n o número de átomos de carbono presentes nessa grafite, temos

22

23

12n 1,03 n 5 10 .

6 10

Resposta da questão 2: [B] [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]

O antípoda do ponto dado tem latitude x graus sul e longitude (180 y) graus oeste.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Geografia] Como a latitude é definida pela distancia à Linha do Equador, o antípoda do ponto com latitude x graus norte será de x graus sul. Já a longitude é definida pela distancia ao Meridiano de


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Greenwich num intervalo entre 180 leste e 180 oeste e, portanto, se a longitude do ponto é

de y graus leste, sua antípoda será 180 y a oeste.

Resposta da questão 3: [E]

[I] Falsa. Tem-se que 2n 1a (n 2) . Logo, como a razão

22

n 12

n

a (n 3) 11

a n 2(n 2)

não é constante, segue que na não é uma progressão geométrica.

[II] Falsa. De fato, a razão

2

2 2

2

(n 1)n 2n 1 n 2n 1n 1

nn

b 22 2

b2

não é constante. Daí, podemos concluir que nb não é uma progressão geométrica.

[III] Verdadeira. A diferença entre quaisquer dois termos consecutivos da sequência nc é

2 2

n 1 n

2 2

a a (n 1) 4(n 1) 4 (n 4n 4)

n 2n 1 4n 4 4 n 4n 4

2n 5.

Desse modo, nc é uma progressão aritmética de primeiro termo 7 e razão igual a 2.

[IV] Verdadeira. De (II), temos 2n 1nd 2 , que é uma progressão geométrica de primeiro termo

8 e razão igual a 4.

Resposta da questão 4: [D] Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, considere a figura.

Sejam A o ponto de lançamento do projétil e a função quadrática f : [ 20, 20] , dada na

forma canônica por 2f(x) a (x m) k, com a, m, k e a 0. É imediato que m 0 e


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k 200. Logo, sabendo que f(20) 0, vem

2 10 a 20 200 a .

2

Portanto, temos 2x

f(x) 2002

e, desse modo, segue que o resultado pedido é

2( 10)

f( 10) 200 150 m.2

Resposta da questão 5: [A] O determinante da matriz dos coeficientes é igual a

a 1 0

0 1 1 a 1.

1 0 1

Logo, se a 1 o sistema possui solução única. Por outro lado, se a 1, devemos tomar a

matriz ampliada do sistema para continuar a discussão. Com efeito, escalonando a matriz ampliada, vem

3 1 3

2 2 3

1 1 0 1 1 1 0 1

0 1 1 1 0 1 1 1

1 0 1 m 0 1 1 m 1

L ' ( 1) L L

1 1 0 1

0 1 1 1 .

0 0 0 m 2

L '' ( 1) L ' L '

Portanto, o sistema possui solução única para a 1 e m ; possui infinitas soluções se a 1

e m 2; e não possui solução se a 1 e m 2.

Resposta da questão 6: [C]

Luís pode receber 3 cartas de ouros de 5 5!

103 3! 2!

maneiras e 5 cartas quaisquer de

23 23!1771

3 3! 20!

modos. Portanto, segue que a probabilidade pedida é igual a

10.

1771


Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF AB e EH AD. Portanto, segue

que o resultado pedido é dado por


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4 1 4 1[SABCD] [ABCDHEFG] [SEFGH] SA AE (AE SA)

3 3 3 3

3 SA 9 2 4 (2 SA)

SA 10cm.

Resposta da questão 8: [A] Completando os quadrados, vem

2 22 2 2 m m

x 2x y my n (x 1) y n 1.2 4

Logo, como o centro m

C 1,2

pertence à reta y x 1, segue que

m( 1) 1 m 4.

2

Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferência em ( 3, 4), obtemos

2 2

2 2

n x 2x y my

( 3) 2 ( 3) 4 ( 4) 4

3.

Resposta da questão 9: [B]

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem

2 2 2 2 2 2AC AB BC AB 12 6

AB 108

AB 6 3 cm.

Do triângulo ABM encontramos

BM 3 3tgBAM tgBAM .

6AB 6 3

É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM. Logo, obtemos


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2

2

tgMAC tg(BAC BAM)

2 tgBAM tgBAM

1 2 tgBAM tgBAM

tgBAM

1 2 tg BAM

3

6

31 2

6

3 6

6 7

3.

7


Tomando arbitrariamente x 0, obtemos

0 02

sen0 2cos0 A cos(0 x ) cos x .A

Por outro lado, fazendo x ,2

π vem

0 01

sen 2cos Acos x senx .2 2 2 A

π π π

Por conseguinte, sabendo que A 0 e 2 20 0sen x cos x 1, encontramos

2 2

1 21 A 5.

A A

Resposta da questão 11: [D] Para as crianças nascidas em 2004, considere a tabela abaixo.

Idades ix if i ix f

[15,19] 17 0,199 3,38

[20, 24] 22 0,307 6,75

[25, 29] 27 0,237 6,40

[30, 34] 32 0,148 4,74

[35, 39] 37 0,073 2,70

5

i i

i 1

x f 23,97

Desse modo, podemos concluir que a idade média das mães das crianças nascidas em 2004

foi maior do que 23,97 22 anos.


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Sejam t, m e n, respectivamente, o total gasto, o número de viagens simples e o número de

viagens de integração. Logo, devemos calcular o valor mínimo de t que satisfaça

t 3 m 4,65 n e t 12,5.

Observando que 4,65 3 12,5, basta tomarmos n 3 e um valor conveniente de m para

obtermos o resultado desejado. Com efeito, vejamos:

se n 3 e m 0, temos t 3 4,65 13,95;

se n 2 e m 2, temos t 3 2 4,65 2 15,30;

se n 1 e m 3, temos t 3 3 4,65 1 13,65;

se n 0 e m 5, temos t 3 5 15,00.

Portanto, segue que o menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do

bilhete após algumas utilizações é 13,65 12,5 R$ 1,15.


Existem 6 6 36 resultados possíveis, e os casos favoráveis são

(2, 2), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4),

(5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) e (6, 6).

Portanto, a probabilidade pedida é 17

.36


Considere a figura, em que O é o centro da Terra, BOC μ é a latitude do ponto C e CD é a

linha inclinada do relógio solar.


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Como AOB ACO 90 , segue-se que AOC 90 μ e, portanto, OAC .μ Agora, sabendo

que CD OA, tem-se ACD ,μ que é o resultado pedido.


Seja a medida da aresta do cubo. Logo, seu volume é igual a 3. Por outro lado, o volume

do tetraedro descrito é dado por 31

.3 2 6

Portanto, a razão pedida é igual a

1.

6

Resposta da questão 16: [D] Considere a figura.

A equação da reta AB é dada por

B

B

y 4y x y x.

x 3

Logo, tem-se 3y

Q , y4

e 3y

M ,, 04

com 0 y 4.

Além disso, a equação da reta BC é

B CC C

B C

y y 4 0y y (x x ) y 0 (x 8)

x x 3 8

4 32y x .

5 5

Daí, 32 5y

P , y4

e 32 5y

N , 0 ,4

com 0 y 4.

A área do retângulo MNPQ é dada por

2

2

2

(MNPQ) MN PN

32 5y 3y(y 0)

4 4

2y 8y

2 [(y 2) 4)]

8 2 (y 2) .


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Portanto, o retângulo MNPQ tem área máxima quando y 2, ou seja, quando 11

P , 2 .2


Como 2x 92 0 para todo x real, vem

2x 9 2 2

2

2 2

(x 3)2 log | x x 1| 0 (x 3)log | x x 1| 0

x 3 0

ou

| x x 1| 1

x 3

ou

x x 1 1 ou x x 1 1

x 3

. ou

(x 1 ou x 2) ou (x 0 ou x 1)

Portanto, a equação dada possui 5 raízes reais distintas. Resposta da questão 18: [E] [I] Falsa. Como

1000001 1000001999999 999999

x 3,33 3 22 2 000 3,33 3 22 2

segue-se que x possui uma expressão decimal finita e, portanto, é um número racional.

[II] Falsa. Tem-se que

10000012000000 999999

103, 33 3 333 33 3 22 2 000 x.

3

[III] Verdadeira. De (I), sabemos que

1000001999999

3,33 3 22 2 . Logo,

2000000 2000000

1000001999999

10000011000000

x 10 3,33 3 22 2 10

33 3 22 2 ,

Resposta da questão 19: [A] Seja x a parte do capital a ser investida na poupança. Logo,


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0,06 x (1000000 x) 0,075 72000 0,015 x 75000 72000

3000x

0,015

x 200000,

ou seja, a parte do capital a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo,

R$ 200.000,00.


Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre BC, e D é o ponto

em que o lado AC tangencia a circunferência de centro em O.

Como OH OD 3cm e AH 8cm, segue que AO 5cm. Logo, AD 4cm. Além disso, os

triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA e, assim,

AD DO 4 3

8AH HC HC

HC 6cm.

Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se que BC 12cm.

Resposta da questão 21: [A] Seja a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina. Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do hexágono, obtemos

25 325 tg30 m.

3

Desse modo, a área da piscina é dada por

22

2

3 3 9 25 33 3

2 2 3

18753

2

1.623,8 m


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e, portanto, 21.600 m é o valor que mais se aproxima da área da piscina.


Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB.

Do triângulo retângulo OMB, obtemos

BM ABtgMOB MO .

MO 2tg2

θ

Sem perda de generalidade, suponhamos que AB 1. Assim,

AB MO 1(AOB) .

24 tg

2

θ

A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se

2 1(ABCD) (AOB) 1

4 tg2

1tg 0,25.

2 4

θ

θ

Logo, como tg15 0,2679 0,25 e 0 180 ,θ vem que 30 180 .θ Note que

]30 ,150 [ ]30 ,180 [.

Resposta da questão 23: [D] Na alternativa [A] tem-se

11 d

5 5 7 8 9 10 7 8x 7,3 7,5 M ;

6 2

na alternativa [B],

22 d

4 5 6 7 8 8 6 7x 6,3 6,5 M ;

6 2


Página 19 de 19

na alternativa [C],

33 d

4 5 6 7 8 9 6 7x 6,5 M .

6 2

na alternativa [D],

44 d

5 5 5 7 7 9 5 7x 6,3 6 M ;

6 2

e na alternativa [E],

55 d

5 5 10 10 10 10 10 10x 8,3 10 M .

6 2

Portanto, a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana é a que aparece na alternativa [D].

matemÁtica - fuvest 2014 e 2015 -...

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