.1.

01) O professor Piraldo tem dois relógios, ambos digitais de 24 horas. Nenhum dos dois funciona: um muda de horário com

o dobro da velocidade normal e o outro vai de trás para frente, na velocidade normal. Ambos mostram corretamente

13:00. Qual é a hora certa na próxima vem em que os dois relógios mostrarem o mesmo horário?

a) 05:00 b) 09:00 c) 13:00 d) 17:00 e) 21:00

02) Maria tem 90 cartões. Ela numerou os cartões de 10 a 99 numa das faces e, para cada número escrito, escreveu a soma

dos seus algarismos na outra face. Por exemplo, o cartão de número 43 tem o número 7 escrito no verso. Em quais

cartões um número de uma face é o dobro do número escrito na outra face?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

03) Numa fila para compra de ingressos para um jogo da seleção brasileira, havia 49 pessoas: 25 corintianos, 14 flamenguistas

e 10 gremistas. Sabendo que cada pessoa da fila torce para um único time, dois torcedores do mesmo time não estão

em posições consecutivas, podemos concluir que:

a) tal fila não existe.

b) algum dos torcedores das extremidades da fila é gremista.

c) algum dos torcedores das extremidades da fila é flamenguista.

d) algum flamenguista é vizinho de um gremista.

e) algum gremista é vizinho de dois corintianos.

04) A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois

números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5 + 13 ou, ainda, por 7 + 11. Considerando todas as

possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam?

a) 112 b) 100 c) 92 d) 88 e) 80

05) Considere o número inteiro positivo n tal que o número de divisores positivos do dobro de n é igual ao dobro do

número de divisores positivos de n. Podemos concluir que n é

a) um número primo d) um quadrado perfeito

b) um número par

c) um número ímpar e) potência inteira de 2

06) O número 200920092009... 2009 tem 2008 algarismos. Qual é a menor quantidade de algarismos que devem ser

apagados, de modo que a soma dos algarismos que restarem seja 2008?

a) 390 b) 391 c) 392 d) 393 e) 394

07) Determine o maior inteiro n menor que 10000 tal que 2n + n seja divisível por 5.

a) 9989 d) 9992

b) 9990

c) 9991 e) 9993

08) Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre

Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português também falam Inglês e 80% dos que falam Inglês também

falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas?

a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18

09) Quantos números inteiros positivos menores que 500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

10) Sara foi escrevendo nas casas de um tabuleiro 95 por 95 os múltiplos positivos de 4, em ordem crescente, conforme a

figura a seguir.

• FOLHA Nº 02 – EXERCÍCIOS•

.2.

4 8 12 16 20 ... 376 380

760 756 752 748 744 ... 388 384

764 —> —> —> —> ... —> —>

<— <— <— <— <— ... <— <—

:

U

O número que Sara escreveu onde se encontra a letra U é:

a) 35192 b) 35196 c) 36100 d) 36104 e) 36108

11) Quatro amigos, Vanderlei, Danilo, Márcio e Souto estão jogando cartas. São 20 cartas diferentes, cada carta tem uma

entre 4 cores (azul, amarelo, verde, vermelho) e um número de 1 a 5. Cada amigo recebe cinco cartas, de modo que

todas as cartas são distribuídas. Eles fazem as seguintes afirmações:

Vanderlei: “Eu tenho quatro cartas com o mesmo número.”

Danilo: “Eu tenho as cinco cartas vermelhas.”

Márcio: “As minhas cinco cartas são de cores que começam com a letra V.”

Souto: “Eu tenho três cartas de um número e duas cartas de outro número.”

Sabe-se que somente uma das afirmações é falsa. Quem fez essa afirmação?

a) Vanderlei c) Márcio e) Não é possível definir.

b) Danilo d) Souto

12) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos tais que x2 – y2 = 22010?

a) 1000 b) 1001 c) 1002 d) 1003 e) 1004

13) Para cada número natural n, seja Sn a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n. Por exemplo, S2 = 2 + 4 + 6

+ 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20. Quanto é S1 + S2 + S3 + ... +S10?

a) 2925 b) 3025 c) 3125 d) 3225 e) 3325

14) Observe que:

32 + 42 = 52,

32 + 42 + 122 = 132,

32 + 42+ 122 + 842 = 852.

Qual o menor valor possível da soma x + y com x, y inteiros positivos tais que 32 + 42 + 122 + 842 + x2 = y2?

a) 289 b) 250 c) 425 d) 795 e) 103

15) Ao efetuar a soma 131 + 132 + 133 + ... +132006 + 132007 obtemos um número inteiro. Qual é o algarismo das

unidades desse número?

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

16) Se N é o quadrado do quadrado de um número inteiro e tem 12 como fator, o menor valor para N12

é:

a) 3 b) 12 c) 36 d) 54 e) 108

17) Sejam a, b, c e k números reais diferentes de zero satisfazendo as relações a b c

k = = =b + c c + a a + b

. Qual é o

número de possíveis valores que k pode assumir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

18) O conjunto dos valores de c para os quais a equação x x c= + possui solução real está contido em:

a) [ [–1;¥ b) ] ]– ;1¥ c) [ ]– 3; 2 d) [ [– 2; 3 e) Z

.3.

19) O número de pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação x8 + 3y4 = 4x2y3, com 1 y 2007£ £ , é igual a:

a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44

20) Samuel possui três irmãos a mais do que irmãs. O número de irmãos de Samila, irmã de Samuel, é igual ao dobro do

número de suas irmãs. O número de filhos (homens e mulheres) que possui o pai de Samuel e Samila é:

a) 10 b) 13 c) 16 d) 17 e) 20

21) Na figura, BC = 2BH. Determine o valor do ângulo x.

a) 10° b) 15° c) 16° d) 20° e) 25°

22) No triângulo ABC, m(BÂC) = 140°. Sendo M o ponto médio de BC, N o ponto médio de AB e P o ponto sobre o lado

AC tal que MP é perpendicular a AC, qual é a medida do ângulo µNMP ?

a) 40° b) 50° c) 70° d) 90° e) 100°

23) Uma mesa de bilhar tem o formato de um quadrado ABCD. SuperPablo tem uma missão especial: ele deve dar uma

tacada em uma bola de bilhar, inicialmente colocada no vértice A, de modo que, após bater exatamente 2010 vezes nos

lados do quadrado, a bola chegue, pela primeira vez, a um vértice do quadrado.

Quantos são os possíveis valores do ângulo formado pelo lado AB com a trajetória inicial da bola?

Observação: ao bater nos lados do quadrado, a bola sofre reflexão perfeita, ou seja, o ângulo de incidência é igual ao

ângulo de reflexão. Suponha também que a bola seja um ponto.

a) 1001

b) 1002

c) 1003

d) 1004

e) 1005

24) Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n – 1 ângulos (internos) do polígono é 2004°, então

o número n de lados do polígono é:

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

25) No triângulo ABC, temos Ð A = 120° e BC = 12 cm. A circunferência inscrita em ABC tangencia os lados AB e AC,respectivamente, nos pontos D e E. Sejam K e L os pontos onde a reta DE intersecta a circunferência de diâmetro BC.

Determine a distância entre os pontos médios dos segmentos BC e KL.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

26) Em um triângulo ABC, ÐA = 20° e ÐB = 110°. Se I é o incentro (centro da circunferência inscrita) e O o circuncentro

(centro da circunferência circunscrita) do triângulo ABC, qual a medida do ângulo Ð IAO ?a) 20° b) 25° c) 30° d) 40° e) 35°

27) No triângulo PQR isósceles, com PQ = PR = 3 e QR = 2, a tangente à sua circunferência circunscrita no ponto Q

encontra o prolongamento do lado PR em X. O valor de RX é:

a) 165

b) 125

c) 83

d) 92

e) 94

28) Dado um triângulo ABC de lados AB = 3, BC = 4 e AC = 5. Sejam R1 e R2, respectivamente, os raios da circunferência

inscrita e da circunferência com centro sobre o lado BC que passa por B e é tangente ao lado AC. A razão 1

2

RR

vale:

a) 34

b) 23

c) 32

d) 89

e) 45

a a

.4.

29) Um trapézio ABCD, com lados paralelos AB e CD, está inscrito em uma circunferência de raio 25. Sabe-se que CD é um

diâmetro e a altura desse trapézio é 24. Seja E um ponto no arco menor determinado por A e B e sejam F e G os pontos

de interseção de ED e EC com AB, respectivamente. Calcule AF · BGFG

.

a) 16 c) 18 e) 20

b) 17 d) 19

30) O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da circunferência inscrita em ABC e O o ponto médio do lado AC.

Se Ð AOI = 45°, quanto mede, em graus, o ângulo Ð ACB?

a) 30° c) 20° e) 60°

b) 25° d) 15°