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Matemática Ensino Médio, 2º Ano

Matriz Inversa

Matemática, 2º AnoMatriz Inversa

Noções iniciais

• No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição:

a.b = b.a =1

• É bastante comum indicarmos o inverso de a por ou a -1.

Exemplo:

a

1

155

1

5

15


Definição

• Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se invertível se, e somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:

Em que In é a matriz identidade de ordem n e B é denominada inversa de A e

indicada por A-1 .

nIABBA


Exemplo 1:

• Verifique que a matriz é a inversa da matriz .

411

13B

311

14A

10

01

411

13

311

14BA

10

01

311

14

411

13AB

Como A · B = B · A = I2 , a matriz B é a inversa de A, isto é, B = A-1.


• Para verificar se uma matriz quadrada é ou não invertível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa, apresentaremos, a seguir, um processo baseado na definição de matriz inversa e na resolução de sistemas lineares.

• Quando uma matriz é invertível, dizemos que ela é uma matriz não singular, caso contrário, será uma matriz singular.

Observações:


Exemplo 2:

• Vamos encontrar, se existir, a inversa de .

Devemos verificar se existe , tal que A . A-1 = In.

45

23A

dc

baA 1

Logo:

10

01

4545

2323

10

01

45

23

dbca

dbca

dc

ba


Exemplo 2 (continuação):

Do conceito de igualdade, seguem os sistemas:

045

123

045

123

db

db

ca

ca, cuja solução é a = 2 e c = -5/2

, cuja solução é b = -1 e c = 3/2

Então,

2

3

2

512

1A

É fácil ver que A-1 . A = In também está satisfeita.


Exemplo 3:

• Vamos encontrar, se existir, a inversa de .

12

24A

Fazendo A.A-1 = In , temos:

10

01

22

2424

10

01.

12

24

dbca

dbca

dc

ba

Logo:

12

024

02

124

db

dbe

ca

ca


Exemplo 4:

Com o primeiro sistema não admitindo solução, já seria possível concluir que não existe a inversa de A (O segundo sistema também não admitiu solução). .

12

024

02

124

db

db

ca

ca

.(-2) .(-2)

224

024

024

124

db

db

ca

ca

Resolvendo os sistemas pelo método da adição, temos:

10 20 (Impossível) (Impossível)


• O processo apresentado nos exemplos anteriores, apesar do grande nível de complexidade, pode ser usado para o cálculo de inversas de matrizes quadradas de ordem n, com n ≥ 2.

• Estudar métodos para solução de sistemas lineares será bastante eficaz para o cálculo de matrizes inversas de ordem n, com n ≥ 3.

Observações:


Exercícios

01. Obter a matriz inversa da matriz .

11

12A

Resolução:

Sendo , temos:

cc

baA 1

10

0122

10

01.

11

12

dbca

dbca

dc

ba

0

12

0

12

db

db

ca

ca, cuja solução é a = 1 e c = -1

, cuja solução é b = -1 e c = 2

21

111A


Exercícios

02. Verifique se é a inversa de .

31

52

21

53

Resposta: SIM

03. Determine, se existir, a inversa da matriz .

01

21

Resposta:

2

1

2

110


Exercícios

04. Verifique se a inversa de é a matriz .

Resposta: SIM

301

020

001

3

10

3

1

02

10

001

05. A inversa de é a matriz . Determine x e y.

x

y

2

3

Resposta: x = 7 e y = 1

15

4

x

xx


Propriedades

• Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e invertíveis, temos as seguintes propriedades:

• Dada A, se existir A-1, então ela é única;

• (A-1)-1 = A;

• (A . B)-1 = B-1 . A-1;

• (A-1)t = (At)-1.


Propriedades• Se uma matriz A é invertível, então esta inversa é única.

• Demonstração:

De fato, vamos supor que A seja invertível de ordem n, que B e C

sejam suas inversas e ainda que B ≠ C. Dessa forma, AB = BA = In e

AC = CA = In. Tomando a primeira equação e multiplicando

ambos os lados da equação, à esquerda, por C, temos C (AB) = CIn,

ou seja, (CA)B= CIn, como CA = In. Logo: B = C.


Propriedades• Se uma matriz A é invertível, então a inversa A-1 é invertível e

(A-1)-1 = A .

• Demonstração:

Sabemos que uma matriz B é inversa de A se, e somente se,

A.B=B.A = In.

Como A-1 é a inversa e A, então AA-1 = A-1A =In.

Pela demonstração anterior, temos que a inversa é única, então B = A é

a inversa e A-1 , ou seja, (A-1)-1= A.


Exemplo 5:• Vamos encontrar a inversa de . .

Fazendo A . A-1 = In:

45

23A

10

01

4545

2323

10

01

45

23

dbca

dbca

dc

ba

Então

2

3

2

512

1A

Calculando (A-1)-1

10

01

2

3

2

5

2

3

2

522

10

01

2

3

2

512

wyzx

wyzx

wz

yx

AA

45

2311


Propriedades• Se A e B são invertíveis, então AB também é e (AB)-1 = B-1A-1.

• Demonstração:

Para verificarmos esta propriedade, devemos mostrar que

(AB)B-1A-1=In e B-1A-1(AB) = In .

(AB)B-1A-1=A(BB-1)A-1 =AInA-1 =AA-1 = In .

A segunda identidade é inteiramente análoga.


Exemplo 6:• Encontrando as inversas e o produto de e .

45

23A

Calculando (AB)-1 e B-1A-1 , podemos confirmar a igualdade:

2

3

2

512

1A

11

12B

21

111B

914

58AB

87

52

91AB

87

52

911AB


Propriedades• Se A é invertível, então At também é e (At)-1 = (A-1)t.

• Demonstração:

Com efeito, fazendo uso da propriedade anterior, temos:

n

tn

ttt

ntn

ttt

IIAAAA

IIAAAA

11

11


Exemplo 6:• Vamos verificar a propriedade (At)-1 = (A-1)t para a matriz

12

13A

Calculando At e A-1 , teremos respectivamente:

11

23tA

32

111A

Fazendo uso dos recursos expostos anteriormente, temos:

tt AA 11

31

21


Aplicação prática:

1. As senhas numéricas de quatro dígitos dos clientes de um determinado

banco são representadas como uma matriz S2 x 2, em que os dois primeiros

são a 1ª linha e os dois últimos, a 2ª linha. O banco usa uma matriz invertível

denominada matriz chave, para

manter o sigilo das senhas de seus clientes. E, por questões de segurança, o

banco gera uma nova matriz T = S.X , denominada matriz transmitida.

a) Como ‘recuperar’ a senha de um cliente, se só conhecemos a matriz chave

e a matriz transmitida?

b) Sabendo que a matriz transmitida de um determinado cliente é ,

qual sua senha?

24

13X

1836

1226T

Resposta:

a) (SX)X-1=S(XX-1)= SI2 =S b) 2509


Exercícios de fixação

01. Encontre a inversa de cada matriz dada, se possível:

cos

cos)

222

22

2)

3

2

6

55

3

4

3

)

sen

senCc

Bb

Aa

Resp: é singular

Resp:

Resp: cosɵ senɵ-senɵ cosɵ

1/5 √2 1/5 √2

-2/5 √2 1/10 √2


Exercício de Fixação

02. Dadas as matrizes ,calcule: .14

02

11

32

BeA

a) (AB)-1 b) (AB)t c) AA-1 – I d) (2B)-1

1/2 3/2

-3 -8Resp: a) b) c) 0 d)

-16 6

-3 1

1/4 0

-1 1/2


03. São dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem n e invertíveis. A solução da equação (BAX)t = B, em que (BAX)t é a transposta da matriz (BAX), é a matriz X tal que:

Exercício de Fixação

tBABX 1

tBBAX 1

1 ABBX t

1 BABX t

a)

b)

c)

d)

Resposta: B

10

11A

11

10B

01

12X

Exercícios de fixação

04. Se e , determine a matriz X2x2 tal que

(A-1.X)-1 = B.

Resposta:

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