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MATEMÁTICA

ENEM 200919 de setembro

PROF. MARCELO CÓSER

Essa apresentação pode ser “baixada” em http://www.marcelocoser.com.br.

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B(x) = 40 para x 50. E para x > 50?

01) (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações

locais é de R$ 1,50. Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A.

(50, 40) B(x). Logo, 40 = 1,5 · 50 +b.Assim, b = 40 - 75 = -35.

Para x > 50, a função B(x) tem sua lei na forma B(x) = ax + b.

1,5x - 35 = 0,25x + 501,25x = 85

x = 68 minutos.

(50; 40)

A(x) = 0,25x + 50

Do enunciado, aB = 1,5. Assim, B(x) = 1,5x + b.

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02) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar x bolsas. O valor de x é:

a) 300b) 350c) 400d) 450e) 500

C(x) = 25x + 5000 e R(x) = 45x.

Um lucro de R$ 4.000 implica R(x) - C(x) = 4000.

45x - (25x + 5000) = 400020x - 5000 = 4000

20x = 9000

450200009

.x

Lucro por bolsa

Lucro desejado

+Custofixo

CUIDADO! Raciocínios que envolvam “Regra de 3” só funcionam para problemas com variação constante/funções lineares. Do contrário, falham!

X

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Funções Quadráticas: geralmente associadas a problemas de Área.

f(x) = ax² + bx + c

vV

VV

xfy

RRxouabx

2221

a > 0

a < 0

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Toda parábola possui um foco e uma diretriz:

Uma propriedade particular das parábolas diz que raios perpendiculares à diretriz são refletidos e sempre passam pelo foco.

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03) (UFRN) O Sr. José dispõe de 180 metros de tela para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares aele. Para cercar a maior área possível, com a tela disponível, os valores de x e y são, em metros, respectivamente:

a) 45 e 45b) 30 e 90c) 36 e 72d) 40 e 60e) 20 e 120

3x + y = 180 → y = 180 - 3x

A(x, y) = x · y

A(x) = x · (180 - 3x)

1ª) A(x) = 180x - 3x²a < 0: voltada para baixoRaízes: 180x - 3x² = 00 e 60 são as raízes.

2ª) A(x) = x · (180 - 3x)a < 0: voltada para baixoRaízes: x = 0 ou 180 - 3x = 00 e 60 são as raízes

2270090303031803030

3032

180302600

mAA

xoux

MÁX

VV

....

X

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Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes.

6543210log2 x

6432168421x

Escalaem PG

Escalaem PA

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04) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A

sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal?

a) 3 vezesb) 10 vezesc) 30 vezesd) 1.000 vezese) mais de 1.000 vezes

A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30 decibéis = 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a intensidade do som aumenta 10 vezes, a intensidade do som da banda corresponde a 10 · 10 · 10 = 1.000 vezes a intensidade do som da conversação.

Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50% maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em questão não é linear, mas sim logarítmica.

X

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PROBABILIDADE

São duas as questões pertinentes na resolução de um problema envolvendo probabilidades. Primeiro, é preciso quantificar o conjunto de todos os resultados

possíveis, que será chamado de espaço amostral. Segundo, é preciso quantificar o conjunto de todos os resultados desejados, que será chamado de evento.

Com tais dados obtidos, pode-se definir a probabilidade de um determinado evento X ocorrer como sendo a razão entre as quantidades de elementos dos conjuntos acima. Assim,

ADIÇÃO DE PROBABILIDADESSendo A e B dois eventos independentes em um mesmo espaço amostral E, temos:

Se A e B são eventos mutuamente exclusivos:

Importante: O evento A ocorre ou o evento B ocorre.

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

Sendo A e B dois eventos independentes em um mesmo espaço amostral E, temos:

Importante: O evento A ocorre e o evento B ocorre.

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05) (ENEM) Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando

obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 200,00. A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a:

a) 0

b) 1/3

c) 1/4

d) 1/2

e) 1/6

Total de possibilidades = 3 · 2 · 1 = 6

Possibilidades que interessam: VET e ETV

P = 2/6 = 1/3

X

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06) (ENEM) A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$400,00 é igual a:

a) 0b) 1/3c) 1/2d) 2/3e) 1/6

R$ 400 equivalem a dois acertos.

Seria possível acertar as duas primeiras, as duas últimas ou a primeira e a terceira.

No entanto, é impossível: se errar a primeira, por exemplo (com “V” ou “E”), automaticamente outra estará errada também, pois uma das letras já foi usada; ainda, se acertar as duas primeiras, então a última estará certa também.

Logo, P = 0.

X

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07) (ENEM) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagens um cartão de apostas conforme a figura. Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero. Em

determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é:

a) 1/27b) 1/36c) 1/54d) 1/72e) 1/108

Como são 7 bolas e quatro estarão nas linhas 4 e 5, restarão uma bola por cada uma das três primeiras linhas. Logo,

541

22

32

31

41

31

P

X

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08) (ENEM) Num determinado bairro há duas empresas de ônibus, ANDABEM e BOMPASSEIO, que fazem o trajeto levando e trazendo passageiros do subúrbio ao centro da cidade. Um ônibus de cada uma dessas empresas parte do terminal a cada 30 minutos, nos horários indicados na tabela. Carlos mora próximo ao

terminal de ônibus e trabalha na cidade. Como não tem hora certa para chegar ao trabalho e nem preferência por qualquer das empresas, toma sempre o primeiro ônibus que sai do terminal. Nessa situação, pode-se afirmar que a probabilidade de Carlos viajar num ônibus da empresa ANDABEM é:

a) um quarto da probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO. b) um terço da probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO. c) metade da probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO. d) duas vezes maior do que a probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO. e) três vezes maior do que a probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.

A cada 30 minutos, ele fica 10 minutos esperando por um ônibus da BOMPASSEIO e 20 minutos por um da ANDABEM. Para ilustrar, se ele chegar entre 6h e 6h10min, o próximo ônibus será da BOMPASSEIO, enquanto entre 6h10min e 6h30min o próximo será da ANDABEM.

Dessa forma, a probabilidade de viajar num ônibus da ANDABEM é duas vezes maior do que em um ônibus da BOMPASSEIO.

X

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09) (ENEM) Um time de futebol amador ganhou uma taça ao vencer um campeonato. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar a taça em suas casas. Na discussão para se decidir com quem ficaria o troféu, travou-se o seguinte diálogo:

Pedro, camisa 6: — Tive uma idéia. Nós somos 11 jogadores e nossas camisas estão numeradas de 2 a 12. Tenho dois dados com as faces numeradas de 1 a 6. Se eu jogar os dois dados, a soma dos números das faces que ficarem para cima pode variar de 2 (1 + 1) até 12 (6 + 6). Vamos jogar os dados, e quem tiver a camisa com o número do resultado vai guardar a taça. Tadeu, camisa 2: — Não sei não... Pedro sempre foi muito esperto... Acho que ele estálevando alguma vantagem nessa proposta... Ricardo, camisa 12: — Pensando bem... Você pode estar certo, pois, conhecendo o Pedro, é capaz que ele tenha mais chances de ganhar que nós dois juntos...

Desse diálogo conclui-se que

a) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a probabilidade de ganhar a guarda da taça era a mesma para todos. b) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham mais chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro. c) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham a mesma chance que Pedro de ganhar a guarda da taça. d) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro. e) não é possível saber qual dos jogadores tinha razão, por se tratar de um resultado probabilístico, que depende exclusivamente da sorte.

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A soma mais provável é aquela que não depende do resultado do primeiro dado. Assim, o camisa 7 tem mais chances, pois qualquer resultado do primeiro dado não inviabiliza que se obtenha soma 7. Por exemplo, se D1 = “5”, D2 deve ser “2”.

61

61

66

7 SOMAP

A mesma lógica afirma que as somas 2 e 12 são as mais improváveis, já que dependem de um único resultado no primeiro dado (no caso, 1 e 6). Por fim, a soma 6 depende de 5 resultados no primeiro dado: “1” (seguido de “5”), “2” (seguido de “4”), “3” (seguido de “3”), “4” (seguido de “2”) e “5” (seguido de “1”).

2 12

6

1 1 16 6 36

5 1 56 6 36

SOMA SOMA

SOMA

P P

P

Logo, (d) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro.

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PRÍNCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Considere um problema onde n decisões independentes devem ser tomadas. Para

cada uma dessas decisões existem d1, d2, d3, ..., dn opções de escolha. Tendo em

mente a ramificação das escolhas (ou árvore de possibilidades), sabe-se que a 1ª

escolha possui d1 possibilidades, que se ramificam em d2 opções para a 2ª, que por

sua vez se ramificam em d3 para a 3ª, e assim sucessivamente, até se ramificar em

possibilidades para a n-ésima e última escolha.

Assim, n decisões independentes com opções de escolha cada geram um total de

fgfgfjgfjgjgfjgjgjgjggfjgfjgfjgfjgggffseqüências. 1 2 3 n-1 nd d d d d

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10) (ENEM) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra

escura, no número 1. Observe abaixo um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras. Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001. Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 10001101011101011010. No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual á da direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima.

Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual a da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é:

a) 14b) 12c) 8d) 6e) 4

6811222tan

12

escurastodaseclarastodas

doDescon

BB

Escura

Clara

Escura

Clara

Escura

Clara

X

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11) (ENEM) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Ao lado, a representação da letra A. O número total de caracteres que podem ser representados é:

a) 12b) 31c) 36d) 63e) 720

2 2 2 2 2 2 64Grande Grande Grande Grande Grande Grande

Pequena Pequena Pequena Pequena Pequena Pequena

64 - 2 = 62

Todas grandes ou todas pequenas

=

Contam como um caractere! 62 + 1 = 63

X

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