enem 2010 - marcelocoser.com.br · é representada por e e a magnitude medida em grau richter é...
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PRÉ-ENEM
AB AC BCk
PQ PR QR
A A
B B
COMPRIMENTO VOLUME
COMPRIMENTO VOLUME
3
FIGURAS SEMELHANTES
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PRÉ-ENEM
01) Uma taça cônica está situada abaixo de uma torneira com seu vértice para baixo. A
torneira pinga de modo que após 30 minutos a água atinge metade da altura da taça. Quanto
tempo faltará para que a taça esteja completamente cheia?
h
2h
PEQUENOGRANDE
PEQUENO
GRANDE
PEQUENO
GRANDE
VV
V
V
V
V
h
h
8
8
23
Se o volume pequeno é
atingido em 30 min, a taça
ficará cheia em
8·30 min = 240 min = 4h.
Logo, faltará 3 h 30 min.
IMPORTANTE: as proporções entre
comprimento, área e volume são
sempre diferentes, mas nunca
desconexas: k, k², k³.
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
: : .
: .:
DECISÃO A x opções Decidir A e B x y possibilidades
Decidir A ou B x y possibilidadesDECISÃO B y opções
n elementos distintos n! sequências
!" "
! !" "
n elementosn
X repete a vezes sequênciasa b
Y repete b vezes
A ordem importa
Existe hierarquiaNão dividir
A ordem não importa
Não existe hierarquiaDividir!
/ARRANJO PERM
COMBINAÇÃO
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02) (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura
do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o
Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo
de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o
segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a
quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de,
respectivamente:
a) uma combinação e um arranjo.
b) um arranjo e uma combinação.
c) um arranjo e uma permutação.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
Compor o grupo A: 12 times para 4 vagas.
Não há distinção entre os times.
12 11 10 9
4!AG
Jogo de Abertura: 4 times para 2 vagas.
Há distinção no mando de campo.
4 3J
Dividir! Combinação
Não dividir Arranjo
x
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PROBABILIDADES
Número de
Resultados Desejados
Número de
Resultados Possíveis
EP
A e B A BP P P A ou B A BP P P
NÃO ESQUECER de multiplicar
pelos número de casos distintos
Cuidado com eventuais intersecções!
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03) (ENEM) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de
câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada
dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos
colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo
agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6,
8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se
um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos
efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse
paciente?
a) 3 doses.
b) 4 doses.
c) 6 doses.
d) 8 doses.
e) 10 doses.
Chance de não sofrer efeito colateral: 90% por dose.
Uma dose Um evento Três doses Três eventos consecutivos
3
4 3
9 9 9 72990% 90% 90% 72,9%
10 10 10 100
100% 72,9% 27,1%
729 9 656190% 65,61%
1000 10 10000
100% 65,61% 34,39%
EFEITO
EFEITO
P
P
P P
P
x
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04) (ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta
que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação
é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a
probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
a) 2 × (0,2%)4.
b) 4 × (0,2%)².
c) 6 × (0,2%)² × (99,8%)².
d) 4 × (0,2%).
e) 6 × (0,2%) × (99,8%).
ATENÇÃO: o problema não define ordem.
0,2%
99,8%
DEFEITO
BOM
P
P
4 celulares 4 eventos DDBB é um caso específico!
44! 24
2 ´ 62! 2! 2 2
2 ´
letras
DDBB D s casos
B s
20,2% 0,2% 99,8% 99,8% 6
2
defeituososP
bons
x
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05) Abaixo, as cinco primeiras das infinitas etapas da construção do fractal denominado Curva
de Koch. Se a curva na primeira etapa tem medida 1, calcule sua medida na décima etapa.
Um segmento de medida 1.
Comprimento = 1 x 1
4 segmentos de medida .
Comprimento =
1
314 ×
3
16 segmentos de medida .
Comprimento =
1
92
2
14 ×
3
64 segmentos de medida .
Comprimento =
1
273
3
14 ×
3
Generalizando, na etapa n teremos 4n-1
segmentos de comprimento .
Na etapa10 , terá comprimento .
n-1
1
3
9
9
9
1 44 =
33
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06) A média aritmética das idades de um grupo de 10 crianças é 8 anos. Duas crianças de
mesma idade deixaram o grupo, aumentando a média de idade do grupo de crianças restantes
para 9 anos. Calcule a idade das crianças que foram embora.
10 crianças
Média de idade 8 anos
8 8010
TT
Duas crianças com x anos saíram
Ficaram 8 crianças
Média de idade 9 anos
29 2 72
8
80 2 72 4
T xT x
x x anos
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07) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento
populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da
população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se
que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o
número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente .
De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que:
( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe.
( ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe.
( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas.
( ) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.
0,5.2
1
20
1 19.10
20
1 19.10
20 206,89
1 1,9 2,9
N
N
N
0,5
20
1 19.10 tN
t = 0
0,5.0
20
1 19.10
20
1 19.1
201
20
N
N
N
0,5.4
2
20
1 19.10
20
1 19.10
20 2016,8
1 0,19 1,19
N
N
N
F
t = 2
F
t = 4
VF
N = 20
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2020
1 19.10
11
1 19.10
1 19.10 1
19.10 0
10 0
t
t
t
t
t
Um número positivo elevado a qualquer
expoente real é sempre positivo.
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08) (UFRN) Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala
de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a
energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento
é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação
que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica:
log E = 1,44 + 1,5 · M
Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.5 na
escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu
7.8, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente
______ vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
a) 10
b) 15
c) 21
d) 31
Substituindo os valores 9,5 e 7,8 em M, obtemos:
14,13
69,15
1014,137,1144,18,7.5,144,1log
1069,1525,1444,15,9.5,144,1log
SF
CHILE
EE
EE
SFCHILE
CHILE
EE
E
.31
10.10.101010 14,135,0114,1369,15
X
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09) (ENEM) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de
pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa
possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses,
houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos
por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico abaixo.
De acordo com as informações do gráfico,
a) o consumo diário de cigarros e o número de casos
de câncer de pulmão são grandezas inversamente
proporcionais.
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos
de câncer de pulmão são grandezas que não se
relacionam.
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de
câncer de pulmão são grandezas diretamente
proporcionais.
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será
diagnosticada com câncer de pulmão.
e) o consumo diário de cigarros e o número de casos
de câncer de pulmão são grandezas que estão
relacionadas, mas sem proporcionalidade.
x
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10) (UFRN) Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou
observando o nível da água subir. Deixou-a encher parcialmente para não desperdiçar água.
Fechou a torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira. O gráfico que mais se
aproxima da representação do nível (N) da água na banheira em função do tempo (t) é:
a) b) c) d)x
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11) (UFRRJ) O matemático Mathias levou seu filho a um parque de diversões. Enquanto o
menino se divertia nos brinquedos, Mathias passava o tempo fazendo tentativas de representar
graficamente os movimentos de seu filho em função do tempo:
I. a altura de seu filho na roda gigante,
II. a velocidade de seu filho no escorrega,
III. a velocidade de seu filho na gangorra,
IV. a distância de seu filho até o centro do carrossel.
O matemático Mathias fez os seguintes gráficos:
O conjunto que melhor representa as relações entre movimentos e gráficos é:
a) R = {(I, 2), (II, 1), (III, 4), (IV, 6)}.
b) R = {(I, 1), (II, 2), (III, 3), (IV, 4)}.
c) R = {(I, 3), (II, 5), (III, 2), (IV, 1)}.
d) R = {(I, 2), (II, 3), (III, 5), (IV, 6)}.
e) R = {(I, 3), (II, 4), (III, 5), (IV, 6)}.x
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FUNÇÕES LINEARESProblemas com variação constante
f(x) = ax + b
VARIAÇÃO
CONSTANTE
VALOR
INICIAL
a > 0 a < 0
x
ya
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12) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa
fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal
de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar x bolsas. O valor de x é:
a) 300
b) 350
c) 400
d) 450
e) 500
C(x) = 25x + 5000 e R(x) = 45x.
Um lucro de R$ 4.000 implica R(x) - C(x) = 4000.
45x - (25x + 5000) = 4000
20x - 5000 = 4000
20x = 9000
45020
0009
.x
Lucro por bolsa
Lucro
desejado
+
Custo
fixo
CUIDADO! Raciocínios que envolvam “Regra de 3” só funcionam para
problemas com variação constante/funções lineares. Do contrário, falham!
X