matemÁtica e.m

8/14/2019 MATEMÁTICA E.M

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CES SENAI PACIÊNCIA

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO

MÓDULO 4



SUMÁRIO

ASSUNTO PÁGINAProgressões 3Progressões Aritméticas 4Fórmula do Termo Geral da P.A. 5Fórmula da Soma dos Termos da P.A 6Progressões Geométricas 7Fórmula do Termo Geral da P.G. 8Fórmula da Soma dos Termos da P.G. finita 9Chave de Correção 10

PROGRESSÕES NOÇÕES PRELIMINARES

Considere os seguintes conjuntos:

A= Conjunto dos planetas do Sistema Solar

TERRAPLUTÃO NETUNOJÚPITER VÊNUS

2



URANO MARTE SATURNOMERCÚRIO

B = Conjunto das letras do nosso alfabeto

a b c d e

f g h i j l mn o p q r s tu v x z

C = Conjunto dos números naturais ímpares maiores que 1

5 3

15 7 13

9 11

Podemos representar esses conjuntos ordenando seus elementos:A = (Mercúrio ,Vênus, Terra, ..., Plutão)B = (a,b,c,d,,...m,n,...v,...,z)C = (3,5,7,9,11,13,15,...)

Esses conjuntos ordenados, chamamos de sucessões ou seqüências.É importante notar que, numa seqüência, a ordem de cada elemento indica a posição que

ele ocupa.

Na seqüência B (letras do nosso alfabeto), o a é o primeiro termo, o b é o segundo termo,o j é o décimo termo, e assim por diante.Uma seqüência pode ser finita (seqüências A e B) ou infinita (seqüência C).De uma maneira genérica, representamos uma seqüência assim:

(a1,a2,a3,a4,...an)

Assim, na seqüência (3,6,9,12,15,...) temos:a1 = 3 a2 = 6 a3 = 9 a4 = 12

Na matemática interessam-nos com maior freqüência as seqüências onde os termos sãonúmeros reais e obedecem à uma certa lei de formação, isto é, um critério que permita determinar de modo inequívoco os termos dessa seqüência.

Exemplos:

1- A seqüência dos números pares maiores que 4:(6,8,10,12,14,16,...)

2- A seqüência dos números reais que obedecem à expressão na = 2 +3n,. com n∈ N*, é obtida fazendo-se:

3

a1 - primeiro termoa2 - segundo termoa3 - terceiro termo. .. .

. .an um termo qualquer



Para n = 1 ⇒ a1 = 2+3•1 ⇒a1 = 5Para n = 2 ⇒ a2 = 2+3•2 ⇒a2 = 8Para n = 3 ⇒ a3 = 2+3•3 ⇒a3 = 11Assim, essa seqüência pode ser representada por: (5,8,11,...)

EXERCÍCIOS1- Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência nos seguintes casos, sendon ∈ N*:a) an = 1 + n

b) an = 3n - 2c) an = __n__

n + 1d) an = n + 3

2ne)an = a2

2f) an = 1 - 2ng) an = 3nh) an = 2n

n

PROGRESSÕES ARITMÉTICASProgressão aritmética (P.A.) é uma seqüência de números reais onde cada termo, a

partir do segundo é igual ao anterior mais uma constante (chamada razão).Exemplos:

1- Sendo a1 = 1 e a razão r = 2, então:a2 = a1 + r ⇒a2 = 1+2 = 3a3 = a3 + r ⇒ a3 = 3+2 =5a4 = a4 + r ⇒a4 = 5 +2 = 7Assim, a P.A. será (1,3,5,7).

2- Sendo a1 = 7 e r = -4, então:a2 = a1 + r ⇒a2 = 7-4 = 3a3 = a2 + r ⇒a3 = 3-4 = -1a4 = a3 + r ⇒a4 = -1-4 = -5

Assim, a P.A. será (7,3,-1,-5).É importante notar que, dados os termos de uma P.A., determinamos a razão dessa

P.A. efetuando a diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o seu termoanterior).

Exemplos:1- Na P.A. (1,4,7,10,13):

r = 4-1 = 3 ou r = 7 - 4 = 3

2- Na P.A.(8,5,2,-1,-4):

r = 5-8 = 3 ou r = -4 -(-1) = -3

3- Na P.A. ( 1, 4, 5 ):3 3

r = 4 - 1 = 1 ou r = 5 - 4 = 1

4



3 3 3 3 3

EXERCÍCIOS2-Determine os 4 primeiros termos de uma P.A. de razão 3 e primeiro termo igual a 4.

3-Calcule os 6 primeiros termos de uma P.A., dados a1 = 8 e r = -44-Determine a razão das seguintes P.A.:

a) (0,4,8,12,16) d) (-3,0,3,6)b) (5,3,1,-1,-3) e) (15,10,5)c) (-3,-2,-1,0,1,2,3) f) ( 1, 1, 3 , 2 , 5, ...)

2 2 2

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A.

Pela definição de P.A., temos:a2 = a1+ r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 +2r a4 = a3 + r = (a1+2r) + r = a1 +3r a5 = a4 + r = (a1 +3r) + r = a1 + 4r a6 = a1 + 5r a7 = a1 + 6r

e, de um modo genérico:

an = a1 + (n-1) • r

onde n é o número de termos da P.A.

Exemplos:1- Calcule o décimo termo da P.A.(3,7,11...)

Sendo a1 = 3, r = 4 e n = 10 (pois, como queremos a1, então an = a10) e aplicando afórmula an = a1 + (n-1) • r, temos:a10 = 3+ (10-1) • 3a10 = 3 +36a10 = 39

Determine o primeiro termo de uma P.A. em que a8 = 35 e r = 3Sendo a8 = an e aplicando a fórmula an = a1 + (n-1) • r:35 = a1 + (8-1) • 335 = a1 + 21a1 = 14

2 - Numa P.A., o primeiro e o último termo são, respectivamente, 15 e 223 e a razão éigual a 8. Quantos termos tem essa P.A.?

Sendo a1 = 15, an = 223 e r = 8 e aplicando a fórmula an = a1 + ( n-1) •r 223 = 15 + (n-1) • 8223 = 15 + 8n - 8

8n = 223 - 15 + 88n = 216 N = 27

5



EXERCÍCIOS5-Calcule o sétimo termo da P.A.(1,6,11)6- Determine a a15 da P.A. (-3,-1,1,3,...)7- Numa P.A. de 20 termos, o primeiro termo é 5 e a razão é 4. Determine o último termodessa P.A.8-Na P.A. em que a30 = 24 e r = 6, calcule o primeiro termo

9-Na P.A. em que a9 =50 e r = -2, calcule a1 e a18.10-Calcule o número de termos de uma P.A., sabendo-se que a1 = -14, an = 19 e r = 3.

FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DA P.A.Seja a P.A. finita:

(a1,a2,a3,...,an-2, an-1, an)

Sendo Sn, a soma desses n termos, temos:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1+ an ou

Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a3+a2+a1Somando membro a membro, temos:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 +an-2) + ... + (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1)

Pela propriedade P2, todos os parênteses são iguais a (a1 + an).

Logo: 25n = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an)

⇓N fatores iguais a (a1 + an)

Assim: 25n = n • (a1 + an) ou Sn = (a1 + an) • n2

3- Calcule a soma dos 12 primeiros termos da P.A. (2,5,8,...)S12 = (a1 + a12) • n

2

a1 = 2 a12 = 2 + (12-1) • 3r = 3 a12 = 2 + 33

n = 12 a12= 35a12 = ?

Assim: S12 = ( 2+ 35) • 12 ⇒ S12 = 2222

EXERCÍCIOS11-Calcule a soma dos 15 primeiros termos da P.A. (8,12,16)12-Sendo a1 =0 e r =2, calcule a soma dos 16 primeiros termos dessa P.A.13-Qual é a soma dos 30 primeiros números naturais ímpares?

14-Determine a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 8 e 198.15-Calcule a soma dos múltiplos positivos de 4 formados por 2 algarismos.

6



PROGRESSÕES GEOMÉTRICASProgressão Geométrica (P.G.) é uma seqüência de números reais onde cada termo, a

partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão.

Exemplos:1- Sendo a1 = -3 e a razão q = 2, então:

a2 = a1 • q ⇒a2 = 3 • 2 = 6

a3 = a2 • q ⇒a3 = 6 • 2 = 12a4 = a3 • q ⇒a4 = 12 • 2 = 24a5 = a4 • q ⇒a5 = 24 • 2 = 48

Assim, a P.G. será (3,6,12,24,48,...)

2- Sendo a1 = 54 e q = 1, então:3

a2 = a1 • q ⇒a2 = 54 • 1 = 183

a3 = a2 • q ⇒a3 = 18 • 1 = 63a4 = a3 • q ⇒a4 = 6 • 1 = 2

3...an = an-1 • q ( Um termo qualquer é igual ao anterior multiplicado pela razão)

Assim, a P.G., será (54, 16,6,2,...)

É importante notar que, dados os termos de uma P.G., determinamos a razão dessaP.G., dividindo um termo qualquer (a partir do segundo) pelo seu termo anterior.

Exemplos:1-Na P.G. (1,3,9,27):

q = 3 = 3 ou q = 27 = 31 9

2-Na P.G. (100,50,25,...):

q = 50 = 1 ou q = 25 = 1100 2 50 2

3-Na P.G. (2,-8,32, -128):q = -8 = -4 ou q = 32 = -4

2 -8

EXERCÍCIOS16- Determine os 4 primeiros termos de uma P.G. de razão 4 e primeiro termo igual a 2.17-Calcule os 5 primeiros termos de uma P.G., dados a1 = -5 e q= -2.18-Determine a razão das seguintes P.G.:

a) (3,9,27,81) d) (3,3,3,3,...)b) (2, -6,18,-54,...) e) (-4, -20,-100,...)c) (20, 10, 5, 5,...) f) (-1,5,-25,125,-625)

2

7



FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G.Pela definição de P.G., temos:

a2 = a1 • qa3= a2 • q = (a1 • q) • = a1 • q2

a4= a3 • q = (a1 • q2

) • = a1 • q2

a5= a4 • q = (a1 • q3) • = a1 • q2

a6 = a1 • q5

a7 = a1 • q6

e, de um modo genérico: an = a1 • qn-1 onde n é o número de termos da P.G.

EXEMPLOS:1- Calcule o sexto termo da P.G. (3,6,12,...).

Sendo a1 = 3, q= 2 e n = 6 e aplicando a fórmula an = a1 • qn-1, temos:a6 = 3 • 26-1

a6 = 3 • 25

a6 = 3 • 32a6 = 96

2- Determine o primeiro termo numa P.G. em que a6 = 160 e q = 2Sendo a6 = 160, q = 2 e n = 6 , temos:

a6 = a1 • q6-1

160= a1 • 25

a1 = 160 = 52

3- Numa P.G., temos a5 = 64 e a1 = 4. Determine a razão e escreva a P.G.

a5 = a1 • q5-1 ⇒64 = 4 • q5-1 ⇒q4 = 644

q4 = 16 ⇒ q4 = 24 ⇒q = 1 42

4 ⇒ q = ± 2

q = 2 ⇒ (4,8,16,32,64,...)q = -2 ⇒ (4, -8, 16, -32, 64,...)

EXERCÍCIO19-Calcule o sétimo termo da P.G. (5,10,20)20-Numa P.G. de 4 termos, o primeiro é -4 e a razão é 3.Determine o último termo.21-Qual o sexto termo de uma P.G. de razão igual a 1 e primeiro termo igual a 4?

222- Numa P.G. temos, a5 = 162 e q= -3. Calcule a1 e a7.

23-Calcule a razão de uma P.G., sabendo-se que a5 = 405 e a1 = 524- Qual a razão de uma P.G., sabendo-se que a1 = 2 e a4 = 250?25-Determine o oitavo termo na P.G. ( 1 , 1 , 1 , 1,...)

64 32 16 826-Calcule o primeiro termo e o terceiro termo de uma P.G. onde a6 = 1 e q = 1

8



9 3

FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DA P.G. FINITASeja a P.G. finita: (a1, a2,a3,...,na-a,an)Sendo Sn a soma desses n termos, temos: Sn = a1 + a2 +a3 +a4 +...+ an-1+na

Vamos considerar dois casos de Sn:1º CASO: Se q ≠ , demonstra-se que:

Sn = an • q - a1

q- 1

2º CASO: Se q = 1 , então a1 = a2 = a3 = ... = aneSn = a1 + a1 + a1+ ... + a1, ou simplesmente:

Sn = n • a1

EXEMPLOS:1- Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (2,6,18,...).

Sendo q ≠ 1, então: Sn = an • q - a1

q -1

a1 = 2 a6 = a1 • q6-1

q = 3 a6 = 2 • 35a6 = ? a6 = 2 • 243 ⇒a6 = 486

Assim: S6 + 486 • 3 -2 ⇒S6 = 7282- Numa P.G., a1 = - 12 e q = 1. Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa P.G.

Sendo q = 1, então Sn = n • a1

S20 = 20 • (- 12)S20 = -240

EXERCÍCIOS:27- Calcule a soma dos 15 primeiros termos da P.G. ( 1 , 1, 1,...)

5 5 5

28- Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P.G. ( 3,6,12,...)29-Calcule a soma dos termos de uma P.G., sabendo-se que a1 = 5 , na = 320 e q = 4.30- O primeiro e o último termos de uma P.G., são respectivamente, 1 e 8

16Calcule a soma dos termos dessa P.G., sabendo-se que a razão é 2.

CHAVE DE CORREÇÃO

1- a) a1 = 1 + 1 = 2 a3 = 1 + 3 = 4a2 = 1 + 2 = 3 a4 = 1 + 4 = 5 ⇒ (2,3,4,5)

b) (1,4,7,10) c) 1 , 2 ,3 ,4 d) 2 , 5 , 1, 72 3 4 5 4 8

e) 1 , 2 , 9 , 8 f) ( -1 , -3 , -5 , -7 ) g) (3,9,27,81) h) 2,2 , 8 ,42 2 3

9



2- π = 3 , a1 =4 a3 = 7+3 =10a2 = 4+3=7 a4 = 10+3=13 ⇒ (4,7,10,13)

3- π = 4 a1 = 8 a4 = 0 -4 = -4a2 = 8 -4 = 4 a5 = -4-4 = -8 ⇒ (8,4,0,-4,-8,-12)

a3 = 4 -4 = 0 a6 = -8-4 = -12

4- a) π = 4-0 b) π = 3-5 = -2 c) π = -2d) π = 0 - (-3) = 3 e) π = 10 -15 = -5 f) π = 1 - 1 = 1

2 25- a1 = 1, π =5, a7 = a1 + (7-1) •5 = 31

6- a1 = -3 , π = 2, a15 = a1 + (15-1) • 2 = 25

7- a1 = 5 , π = 4 , a20 = a1 + (20-1) • 4 = 81

8-a30 = a1 + (30-1) • 6 ⇒24 = a1 + 174 ⇒a1 = -150

9- a9 = a1 + (9-1) • π ⇒50 = a1 + 8 • (-2) ⇒a1 = 66a18 = a1 + (18-1) • π ⇒a18 = 66 + 17 • (-2) = 32

10-an = a1 + (n-1) • π ⇒19 = -14 + 3n -3 ⇒n =12

11-a1 = 8, 1 = 4 , a15 = a1 + (15-1)• π = 8 + 14 • 4 = 64S15 = (a1 + a16) • 16 = (0 + 15) • 15 = 540

2 2

12- a1 = 0 , 1 = 2 , a16 = a1 (16-1) • π = 0 + 15 • 2 = 30S16 = (a1 + a16) • 16 = (0 + 30) • 16 = 240

2 2

13- (1,3,5,7,...) a1 = 1 , π = 2a30 = a1 + (30 -1) • π = 1 + 29 • 2 = 59S30 = (a1 + a30) • 30 = (1 + 59) • 30 = 900

2 2

14- 8,9,10, ...195,196,197,198 π = Sa1 anan = a1 + ( n-1) • π ⇒195 = 10 + 5n -5 ⇒n = 38S38 = (a1 + 138) • 38 = (10 + 195) • 38 = 3895

2 2

15 – 10,11,12,...,96,97,98,99 π = 496 = 12 + 4n-4 ⇒n = 22S22 = (a1 + a22) • 22 = (12 + 96) • 22 = 1188

2 2

16- q = 41 a1 = 2 a3 = 8 • 4 =32a2 = 2 • 4 = 8 a4 = 32 • 4 = 128 ⇒ (2,8,32,128)

17-q = 21 a1 = -5 a4 = -20 ( -2) = 40a2 = -5 (-2) = 10 a5 = 40 • (-2) = -80

10



a3 = 10 • (-2) = -20 ⇒(-5, 10, -20, 40 , -80)

18-a) q = 9 = 3 b) q = -6 = -3 c) q = 10 = 13 2 20 2

d) q = 3 = 1 e) q = 20 = 5 f) q = 5 = -53 -4 -1

19-a7 = a1 q7-1 = 5 • 26 = 320

20- a1 = -4, q = 3 a4 = a1 • q4-1 = -4 • 33 = - 108

21- a1 = 4 , q = 1 a6 = a1 • q6-1 = 4 • 1 2 = 12 2 8

22- a5 = a1 •q5-1 a7 = a1 • q7-1 = 2 • (-3)6

162 = a1 (-3)4 ⇒a1 = 2 ⇒a7 = 1458

23- a5 = a1 • q5-1 ⇒ 405 = 5 • q4 ⇒q4 = 81 ⇒q = 3

24- a4 = a1 • q4-1 ⇒250 = 2 •q3 ⇒q3 = 125 ⇒q = 5

25- a1 = 1 , q = 2 ⇒a8 = a1• q8-1 = 1 • 27 = 264 64

26- a6 = a1 • q6-1 a3 = a1 • q3-1 = 27 • 1 2

3

1 = a1 • 15

⇒a1 = 27 ⇒a3 = 39 3

27- g = 1 ⇒S15 = 15 • a1 = 15 • 1 = 35

28- a8 = a1 • q 8-1 = 3 • 27 = 384a8 = a1 • q-a1 = 384 • 2 -3 = 765

q -1 2-1

29- Sn = 320 • 4 -5 = 4254-1

30- Sn = 8 • 2 - 1/16 = 2552-1 16

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