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MATEMÁTICA – CADERNO DO ALUNO E.M. 3ª série VOLUME 3

PESQUISA INDIVIDUAL (página 3)

Função de 1o grau: y = ax + b, com a e b constantes, a ≠ 0.

Toda função do tipo f(x) = ax + b, com {a, b} e a ≠ 0, é denominada função

polinomial do 1o grau ou função afim.

Demonstra-se que o gráfico de uma função polinomial f qualquer do 1o grau é uma

reta. Esse gráfico é obtido representando-se dois pontos distintos de f e traçando-se

a reta que passa por eles.1

Função do 2o grau: y = ax2 + bx + c, com a, b e c constantes, a ≠ 0.

Demonstra-se que o gráfico de uma função do tipo f(x)= ax2 + bx + c, com a, b e c

constantes, a ≠ 0, é uma parábola. 1

Função y = k/x, com k constante, x ≠ 0.

A função é decrescente para x < 0 e x > 0.2

O gráfico é uma hipérbole.

Função exponencial: y= ax e função logarítmica: y = loga x

o Se a > 1 a função é crescente em todo seu domínio. 1

o Se 0 < a < 1 a função é decrescente em todo seu domínio.1

Funções trigonométricas: y = sen x, y = cos x, y = tg x

o São funções periódicas. (funções que repetem valores de y para um

determinado acréscimo no valor de x). 2

VOCÊ APRENDEU? (página 4)

1)

(I) O comprimento C de uma circunferência é uma função de seu raio x: C = 2πx.

A função C = 2πx é do primeiro grau, logo o gráfico é representado por uma reta.

Observe que

quando o raio x é

igual a 1 o

comprimento da

circunferência C é

igual a 2π. Esta

situação está

claramente

representada no

gráfico.

1 Manoel Paiva, Matemática 1ª série Ensino Médio.

2 Gelson Iezzi, outros, Matemática Ciência e Aplicações 1ª série Ensino Médio.

x

y


(II) A área A de um quadrado é uma função de seu lado x: A = x2

A função é do segundo grau. O gráfico é representado por uma parábola.

(III) A massa m de uma substância radioativa diminui com o tempo, ou seja, é uma função do tempo

de decomposição t: m = f(t). Para certa substância, tem-se m = mo2-0,1t

, onde mo é a massa

inicial e t o tempo de decomposição em horas.

A função m = mo2-0,1t

é exponencial.

(IV) Uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica.

Afastada da posição O de equilíbrio, a uma distância a, a bola oscila em torno da mola,

deslocando-se em uma superfície lisa, horizontal. A distância x da bola até o ponto O depende do

instante t considerado, ou seja, é uma função de t: x = f(t).

No caso, temos x = a.cos(kt), onde k é uma constante que depende da elasticidade da mola

e da massa da bola.

x

yy = x^2

x

y


A função é trigonométrica. A representação é dada em gráficos que representam as funções periódicas.

(V) Mantendo-se constante a temperatura, a pressão P de um gás no

interior de um recipiente de volume variável V é uma função de

V: P = f(V). No caso, temos P = k/v , onde k é uma constante. vk

O gráfico é representado por uma hipérbole.

2)

Dados: L = 40 m, f = 5m, hastes verticais igualmente espaçadas.

Da figura observamos: OB = 20 m (O está no centro do vão de 40 m)

A parábola é uma função do 2o grau: y = ax2 +bx + c

A parábola tem concavidade voltada para baixo, logo a < 0.

Para x=0 y=f=5m: f(0) = a(02) + b(0) + c 5 = c

O vértice da parábola tem coordenadas (0, 5). Lembrando que as coordenadas do vértice

da parábola é dado por

; então b = 0

Logo a equação dessa parábola é: y = ax2 + c

f(xB) = a(xB)2 + c

f(20) = a(202) + 5

0 = 400 a + 5

-5/400 = a

a = -1/80


Como as hastes estão igualmente espaçadas, da figura, temos:

x1 = 5m ; x2 = 10m ; x3 = 15 m

Calculando os comprimento das hastes:

3) Entre todos os retângulos de perímetro 24m, qual deles tem a maior área?

Perímetro: Rubrica: geometria.

linha que forma o contorno de uma figura traçada num plano ou numa superfície; soma de lados de uma figura.

O perímetro do retângulo da figura será igual a: x + x + y + y = 2x + 2y. No caso particular do perímetro ser igual a 24m, temos: 2x + 2y = 24m x + y = 12m A área de um retângulo qualquer é dada por:

lado x lado. No caso da figura: A = x.y. De x + y = 12 metros y = 12m - x

Substituindo: A = x (12 – x) A = 12x – x2 A = f(x) = -x2 + 12x . Essa função é do

segundo grau com a = -1, b =12 e c=0. Seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada

para baixo. Essa função possui ponto de máximo no vértice da parábola de coordenadas

(xv , yv) , isto é, (

) (

( )

)

√


A área máxima do nosso

retângulo deve ser 36 m2 e,

portanto, lado igual a 6m, isto

é, um quadrado.

Retângulo:

adjetivo1 que tem ângulo(s) reto(s) substantivo masculino

Rubrica: geometria.

2 quadrilátero cujos ângulos são retos; quadrilátero equiângulo.

Observe que todo quadrado é um

retângulo e nem todo retângulo é um quadrado.

Quadrado: adjetivo1 que tem os lados e os ângulos iguais (diz-se de quadrilátero) 2 que tem a forma desse quadrilátero (diz-se de objeto)

x

y

p = 24 m

A = 36 m2


4. a) Gráfico de N (população do município) como função de t (tempo

em anos). Sendo N = 3000 . 100,1.t

(Sugestão: atribuir para t valores múltiplos de 10)

Valor

de t

N = 3000. 100,1t

0 N = 3000. 100,1 . 0 N = 3000. 100 N = 3000 . 1 N = 3000

1 N = 3000 . 100,1 . 1 N = 3000 .1,2589 N = 3776,7762

10 N = 3000 . 100,1 . 10 N = 3000 . 10 N = 30.000 N = 3 . 104

100 N = 3000 . 100,1 . 100 N = 3000 . 1010 N = 3 . 1013

1000 N = 3000 . 100,1 . 1000 N = 3000 . 10100 N = 3 . 10103

4. b) Valor da população N, 15 anos após a fundação do município.

N = 3000 . 100,1.t N = 3000 . 100,1.15 N = 3000 . 101,5 3000 . 31,62277 N ≈ 94 868

c) Depois de quanto tempo, após a fundação, o valor de N atingiu 216 000 habitantes?


N = 3000 . 100,1.t 216.000 = 3000 . 100,1.t

5) a) construção do gráfico de m como função de t;

Dados do problema: a massa m reduz-se à metade do valor inicial a cada 4 horas.

m = mo . 2-0,25t (sendo mo o valor inicial da massa (t em horas)

Construir o gráfico a partir de 60g da substância.

x

y


b) a massa m restante após 8horas

m = 60 . 2-0,25*8 m = 60. 2-2

c) a expressão de t como função de m

m = mo . 2-0,25t

(

) (

)

considerando log2 ≈ 0,3010, temos: (

)

(

)

(

)

d) após quanto tempo a massa restante será igual a 12g?

do item c) temos: (

),

substituindo m=12g na função, temos:

(

)


6. a) determinar o valor de k;

Dados do enunciado:

mola no comprimento normal: a bolinha fica em

equilíbrio, parada.

a mola fica esticada afastando-se a bolinha

10cm da posição de equilíbrio. Abandonando-se

a bolinha passa a oscilar em torno da posição

inicial, realizando um movimento de vai e vem.

x = 10.cos(kt) ; x em cm e t em segundos.

A bolinha retorna à posição em que foi

abandonada (x = 10cm) a cada 4 segundos.

Determinando o valor de k:

No instante t = 0 seg x = 10 cm (I) No instante t = 4 seg x = 10 cm (II) No instante t = 8 seg x = 10 cm (III) No instante t = 12 seg x = 10 cm, (IV) ... e assim a cada 4 segundos a mola está na posição x = 10cm.

(I) x = 10.cos(kt) 10 = 10.cos(k.0) (II) x = 10.cos(kt) 10 = 10.cos(k.4) cos(4k) = 10/10 cos(4k) = 1 Sabemos que o ângulo cujo cosseno é igual 1 é o ângulo de 0o ; 360o ou, em

radianos, 2π. Temos: 4k = 2π k = 2π/4 k = π/2

b) calcule o valor de x para t=1s, t= 2s, t = 3s e t = 10/3 s;

t = 1 s (

) (

)

t = 2 s (

)

t = 3 s (

) (

)

(

) (

) (

)


c) construção do gráfico de x como função de t.

LIÇÃO DE CASA (PG 9) : LEITURA E ANÁLISE DE TEXTO.

(antes de resolver o próximo exercício é importante a leitura e compreensão do

texto proposto)

x

yx (cm)

t(s)


1. Esboce o gráfico da função polinomial f(x) = x.(x+1).(x-2).(x-3) (pg. 11)

A função é de grau 4. As raízes, isto é, os pontos em que o gráfico corta o eixo

das abscissas (x) são os que o eixo das ordenadas é nulo, f(x) = 0

f(0) = 0.(0+1).(0-2).(0-3) = 0

f(-1) = -1.(-1+1)(-1-2)(-1-3) = -1(0)(-3)(-4) =0

f(2) = 0

f(3) = 0

x

y


(pg. 14) Você aprendeu?

1. Esboce os gráficos das funções seguintes. Use o mesmo sistema de

coordenadas.

a) f(x) = x2 + 9 c) h(x) = 9 – x2

b) g(x) = x2 – 9 d) m(x) = -9 – x2

2. Esboce os gráficos das funções

a) f(x) = cosx b) g(x) = 5 + cosx c) h(x) = -3 +cosx


3. Construção do gráfico f(x) = (x-3)2 e f(x) = x2

4. Gráficos de g(x) = 3(x+2) e f(x) = 3x


5. Gráficos das funções: f(x) = log2(x) ; g(x) = log2(x-5) e h(x) = 4+log2(x-5)

6. Construção do gráfico seguindo os passos:

y = x2

y = x2 + 1

y = 1/(x2 + 1)


7. Fazer o esboço do gráfico y = 1/x seguindo os passos descritos no exercício:

Lição de casa páginas 18 e 19:

1. g(x) = 3senx e f(x)= senx


2. Construção dos gráficos:

a) f(x) = 3x

b) g(x) = 3(x-1)

c) h(x) = 3(x+1)

d) m(x) = 3(-x)

e) n(x) = 3(-x+1)

Situação de aprendizagem 3: (páginas 21,22,23)

A forma padrão de crescimento ou decrescimento: f(x) = ax + b

Desafio!

a) No país A. ; b) No país B. ; c) No país D. ; d) No país C.

e) No país F. ; f) No país E. ; g) No país J. ; h) No país G.

i) No país H. ; j) No país I.

Antes de resolver as questões da página 27 realizar a leitura e análise de texto (páginas 24;

25 e 26)


1) Com base nos conhecimentos na seção Leitura e Análise de Texto, retome o

Desafio! e corrija suas respostas, se necessário.

2)

a) Temos f(x) > 0 para x entre x2 e x7 e para x entre x10 e x12.

b) Temos f(x) < 0 para x entre x1 e x2 e para x entre x7 e x10.

c) A função f(x) é constante para valores de x entre x4 e x5 e para x entre x8 e x9.

d) A função f(x) é crescente para x entre x1 e x4, e para x entre x9 e x12.

e) A função f(x) é decrescente para x entre x5 e x8.

f) A função f(x) cresce a uma taxa constante nos intervalos em que o gráfico é um segmento

de reta ascendente, ou seja, para x entre x1 e x3 e para x entre x10 e x11.

g) A função f(x) decresce a uma taxa constante no intervalo em que o gráfico é um segmento

de reta descendente, ou seja, para x entre x6 e x7.

h) A função f(x) cresce a taxas crescentes no intervalo em que é crescente e o gráfico é

encurvado para cima, ou seja, para x entre x9 e x10.

i) A função f(x) cresce a taxas decrescentes nos intervalos em que é crescente e o gráfico está

encurvado para baixo, ou seja, para x entre x3 e x4 e para x entre x11 e x12.

j) A função f(x) decresce a taxas crescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico é

encurvado para baixo, ou seja, para x entre x5 e x6.


k) A função f(x) decresce a taxas decrescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico

é encurvado para cima, ou seja, para x entre x7 e x8.

3) Enunciado no caderno a) Gráfico de v como função de t Da função v = 40 – 10t, temos:

t(s) v(m/s)

0 40

1 30

2 20

3 10

4 0

b) Gráfico de h como função de t


c) valor máximo de h(t) h= 45+ 40t – 5t2 (a= -5; b=40 e c=45)

O vértice da parábola é dado por (

) (

)

(

)

A altura máxima é 125m. d) determinar o valor de t quando a pedra voltar a passar pela posição inicial. h= 45 + 40t - 5t2 ( a pedra passa pela posição inicial em h= 45m) 45 = 45 + 40t – 5t2 45 – 45 = 40t – 5t2 0 = 40t – 5t2 0 = t(40 – 5t) t = 0 s e t = -40/-5 t = 8s, isto é, a pedra partiu do instante 0s da altura h=45m

e passou novamente pela posição de partida no instante 8 segundos.

e) Calcular depois de quanto tempo a pedra atinge o solo: 0 = 45 + 40t – 5t2

√

√

√

Obs.: consideramos apenas o tempo positivo. f) Observando os gráficos h(t) e v(t) assinalar V ou F nas frases:

“A velocidade decresce à taxa constante.” (V) (o gráfico v como função de t

mostra que a frase é verdadeira). “A altura h cresce cada vez mais lentamente até atingir o valor máximo depois

decresce cada vez mais rapidamente.” (V) (a altura decresce mais lentamente


pois está sob ação da gravidade e na descida mais rapidamente pois tem a gravidade a seu favor ). “ A altura cresce a taxas decrescentes até o valor máximo; depois decresce a

taxas crescentes.” (V) (mesmos motivos da frase anterior).

Lição de casa página 31 1) Gráfico no caderno

a) intervalos em que f(x) > 0 e os intervalos em que f(x) < 0 f(x) > 0 para x > 5 e para x < -1 f(x) < 0 entre -1 e 5 . b) intervalos em que f(x) é crescente e os intervalos em que é decrescente f(x) crescente para x > 2 f(x) decrescente para x < 2 c) Qualificar o crescimento

para x > 2, f(x) cresce a taxas crescentes e para x < 2 a taxas decrescentes. 2) Construir os gráficos das funções:


a) f(x) = 3x ; b) g(x) = 3-x ; c) h(x) = log3 x ; d) m(x) = log1/3 x

a) f(x) cresce a taxas crescentes; b) g(x) decresce a taxas decrescentes;

c) h(x) cresce a taxas decrescentes; d) m(x) decresce a taxas decrescentes. Você aprendeu? página 33 1) Construir, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções f(x) = sen x e g(x) = cos x entre x = 0 e x = 2π

a) f(x) é crescente (considerando-se entre x = 0 a x = 2π) entre x = 0 a x = π/2


f(x) é decrescente entre x = π/2 e x = 3π/2.

g(x) é crescente entre π e 2π

g(x) é decrescente entre 0 e π.

b) Notamos que o valor máximo de f(x) ocorre no ponto x = π/2 e o valor mínimo ocorre no ponto x = 3π/2 ; nesses pontos, temos g(x) = 0. Analogamente, o valor máximo de g(x) ocorre nos pontos x = 0 e x = 2π, e o valor mínimo, no ponto x = π; nesses pontos, temos f(x) = 0.

c) Notamos que o gráfico de f(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima no ponto

x = π, em que g(x) assume o valor mínimo. Analogamente, o gráfico de g(x) passa de

voltado para baixo a voltado para cima no ponto x = π/2, máximo para f(x), e volta a se

tornar voltado para baixo no ponto x = 3π/2, mínimo de f(x).

(pg. 36) Você aprendeu?

1. Completar a tabela

x 3x

f(x+1) – f(x)

0 1 3-1=2

1 3 9-3=6

2 9 27-9=18

3 27 81-27=54

4 81 243-81=162

5 243 729-243=486

Observamos pela tabela que a taxa de variação unitária de f(x) = 3x é igual a 2f(x).

2. Po = 1000; P = f(t) = 1000.2

t (t em horas)

a) Calcular a taxa de variação unitária nos instantes t = 1 hora e t = 2 horas

para t =1 hora , temos P = 1000. 21 P = 2000 bactérias

para t = 2 horas, temos P = 1000. 22 P = 4000 bactérias.

b) Mostrar que o aumento de P entre os instantes t = 6 horas e t = 7 horas é igual ao valor

da população para t = 6 horas.


O aumento de P entre t =6 h e t=7h é: f(7) – f(6) = 1000.27 – 1000.2

6 = 1000(2

7 – 2

6) =

1000.26 (2

1 – 2

0) = 1000 .2

6 (2-1) = 1000. 26 = f(6) = população para t = 6 horas.

(pg 37) Lição de casa

1) N = 600.10t , sendo t em décadas.

a) Cálculo da taxa de variação unitária para t =2 décadas.

f(2) = f(2+1) – f(2) = 600.103 – 600.10

2 = 600.10

2 (10

1 -10

0) = 60.000 x 9 =

540.000

b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t =7 e t =8 é igual a 9 vezes o

valor da população para t = 7

f(8) – f(7) = 600. 108 – 600 . 107 = 600. 107( 101 – 100) = 600 . 107(9) = 9.f(7), isto é, a

taxa de variação unitária para t =7 é 9 vezes o valor de f(7)

(pg. 44)

1) Um investidor aplica uma quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros de 12%

ao ano. Calcule o valor do capital investido ao final do primeiro ano, supondo

que:

a) os juros sejam incorporados ao capital apenas no final de cada ano (juros

simples);

J = C.i%.n J = 1.000,00 . 0,12 .1 J = 120,00 M = 1.000,00 + 120,00 M

=1.120,00.

b) os juros sejam distribuídos uniformemente, sendo incorporados ao capital ao

final de cada mês;

i = 12% a.a. = 1% a.m.

FV= PV(1+i%)n FV = 1.000,00 (1,01)12 FV = 1.000,00 . 1,12682 FV

1.126,82.


c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos) ao

longo do ano. (Dado: e0,12 = 1,1275)

Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos: C = 1 000 . ℮0,12t.

Ao final do primeiro ano, ou seja, para t = 1, temos C1 = 1 000. ℮0,12, ou seja,

C1 = 1,1275 . 1000 = R$ 1 127,50.

2) Um investidor aplica uma quantia Co a uma taxa de juros de 12% ao ano.

Calcule depois de quanto tempo o capital investido dobrará de valor, supondo

que:

a) os juros sejam incorporados ao capital apenas ao final de cada ano;

C(t) = Co . (1,12)t, com t em anos.

Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2 Co = Co (1,12)t.

2Co = Co(1,12)t 2Co/Co = (1,12)

t 2 = (1,12)

t log 2 = log (1,12)

t

log 2 = t. log(1,12)

Como o juros só é incorporado ao final de cada ano, o capital só poderá ser resgatado

após o sétimo ano.

b) os juros sejam incorporados ao capital ao final de cada mês;

2Co = Co(1,01)t 2Co/Co = (1,01)

t 2 = (1,01)

t log 2 = log (1,01)

t

log 2 = t. log(1,01)

ou aproximadamente 5 anos e 10

meses.

c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos)

Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos:C(t) = Co. ℮0,12t, com t

em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter 2Co = Co. ℮0,12t

.

Daí, segue que 2 = ℮0,12t

, ou seja, 0,12 . t = ln 2, de onde obtemos t ≈ 5,78 anos.

(pg. 45- 46) Lição de casa

1. mo = 60 g reduz-se à metade a cada 4 horas, determinar a expressão de sua massa m

em função do tempo t em horas:

a) supondo que m(t) = mo . 2bt , determinar o valor de b

do enunciado sabemos que mo = 60g e que m = 30g após 4 horas, temos:

m(t) = mo . 2b.t m(4) = mo . 2

b.4 30 = 60.24b


(

)

(

)

b) Supondo que m(t) = mo . eat , determinar o valor de a;

m(4) = mo .ea4 30 = 60. e4a ½ = e4a ln(1/2) = ln(e4a)

ln(1/2) = 4.a ln e -0,6931 = 4.a a ≈ -0,17329

c) mostrar que as expressões obtidas nos itens a e b são equivalentes:

em a) temos: m(4) = 60.24(-0,25) m = 60.2-1 m = 30g

em b) temos: m(4) = 60.e4(-0,17329) m = 60.e -0,69316 m = 30g

de forma geral 2(-0,25) = e(-0,17329) = 0,840896

d) calcule a massa restante após 8 horas:

Como demonstramos que as expressões dos itens a e b são equivalentes,

podemos utilizar uma delas para o cálculo da massa restante após 8 horas.


m(8) = 60.28(-0,25) m(8) = 60. 2-2 m(8) = 60/4 m(8) = 15 g

e) após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g?

m(t) = 60. 2(-0,25t) 12 = 60.2(-0,25t) 12/60 = 2(-0,25t) 0,5 = 2(-0,25t)

ln (0,2) = -0,25t . ln2 -1,609437= -0,25t . 0,69314

aproximadamente 9horas e 17 minutos. (cuidado! a parte decimal de

t= 9,28771 não corresponde a 28 minutos e sim 0,28771 x 60 ~17 minutos)

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