MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO

Números

Prof.ª: Rita de Cássia Pavani LamasAluno: Jefferson Pereira Velasco

Objetivo

• Este trabalho consiste em analisar um livro do Ensino Médio neste caso, o livro de José Ruy Giovanni & José Roberto Bonjorno, elaborar uma aula sobre números e verificar se: As definições e conceitos estão bem apresentados no texto, os exemplos esclarecem o conteúdo apresentado, se são utilizados materiais didáticos para esclarecer ou introduzir os conteúdos, se os exercícios envolvem aplicações no cotidiano, leitura de tabelas, leitura de gráficos e resoluções de problemas.

Conjunto Numérico:

• São conjuntos cujos elementos são números que têm alguma característica comum. São eles: conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais.

• O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem objetos, ou outros conjuntos foram surgindo como ampliações daqueles anteriormente conhecidos.

O conjunto dos Números Naturais (N):

• Este conjunto é representado por: N = {0,1,2,3,4,...}• O conjunto N pode ser representado geometricamente por

meio de reta numerada, escolhemos o ponto de origem ao número zero, uma medida unitária e uma orientação geralmente para a direita.

-------l----------l------------->

0 1

• Marcamos sobre a reta outros números naturais, respeitando a medida da unidade:

-----------l----------l----------l----------l---------l---> 0 0 1 2 3 4

Subconjuntos importantes:

• Conjuntos dos números naturais não nulos:N* = {1,2,3,4,...} ; N* = N – {0} • Conjunto dos números naturais pares:Np = {0,2,4,6,...}  • Conjunto dos números naturais ímpares:Ni = {1,3,5,7,...} • Conjunto dos números primos:P = {2,3,5,7,11,13,...}

Observação:

• Vm, n Є N, m + n Є N e m . n Є N

• Portanto, podemos dizer que N é fechado em relação à adição e a multiplicação.

• O mesmo não ocorre com a subtração: embora, por exemplo, 5 – 2 = 3 Є N, não existe número natural x tal que x = 2 – 5; em outras palavras, o conjunto N não é fechado para a subtração. Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto N e surgiu o conjunto dos números inteiros.

Conjuntos dosNúmeros Inteiros (Z):

• Este conjunto é representado por: :

Z = {...,-2,-1,0,1,2,3,...}• Todo elemento de N pertence também a Z, podemos

dizer que N é subconjunto de Z : N C Z.• A representação geométrica do conjunto Z é feita a

partir da representação de N acrescentado os pontos correspondentes aos números negativos:

----l----l----l----l----l----l----l---->

-3 -2 -1 0 1 2 3

Subconjuntos importantes:

• Conjunto dos números inteiros não nulos:

Z* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...} ; Z* = Z – {0}

• Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0,1,2,3,...} ; Z+ = N

• Conjunto dos números inteiros positivos:

Z*+ = {1,2,3,4,...}

• Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z- = {...,-3,-2,-1,0}

• Conjunto dos números inteiros negativos:

Z*- = {...,-5,-4,-3,-2,-1}

Números opostos:

• Dois números são opostos quando apresentam soma zero, ou seja são equidistantes da origem, por exemplo:

-------------l--------l--------l-------------> -2 0 2

2 + (-2) = 0

Em particular zero é oposto de zero.

Módulo de um número inteiro:

• É a distância do número à origem. Dizemos por exemplo, que o módulo de -2 é 2 e de 2 também é 2 e representamos por I -2 l = 2 e l 2 l = 2.

Exercícios:1- Quais das proposições abaixo são verdadeiras:

a) 0 Є N c) -10 Є Z e) (2 – 3) Є Z

b) 0 Є Z d) N C Z f) N C Z

 

2- A) Quantas unidades devemos diminuir de 7 para chegarmos a -4?

B) Quantas unidades devemos diminuir de -3 para chegarmos a -9?

C) Quantas unidades devemos diminuir de 11 para chegarmos a 13?

3- Calcule o valor da expressão 3 – l 3 + l - 3 l + l 3 l l

Respostas:

1) a,b,c,d,e

2) A) 11 B) 6 C) -2

3) - 6

• Concluímos a partir destes dois tópicos estudados que o livro que estamos analisando o autor aborda o conceito de forma muito resumida, apenas apresenta o conjunto dos números naturais como sendo N = {0,1,2,3,4,...}. Não faz menção a todos os subconjuntos de N e das operações que são definidas. Em relação aos números inteiros o autor também traz a definição resumida, não aborda o conceito de número oposto e módulo de um número. Os exercícios são formais não explorando o cotidiano dos alunos.

Conjunto dos Números Racionais (Q):

• O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece em relação à divisão, por exemplo (-12) : 4 = -3 Є Z, mas não existe um número x para o qual se tenha x = 4 : (-12). Por esse motivo, foi necessário a ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais.

• O conjunto dos números racionais é representado por:

• Q = { 0, ±1, ±1/2, ±1/3,..., ±2, ±2/3, ±2/5,...,p/q,...}, com p e q inteiros e q ≠ 0.

• Quando q = 1, temos p/q = p/1 = p Є Z, concluímos então que Z é subconjunto de Q.

Diagrama:

Pelo diagrama temos: N C Z C Q. O conjunto Q é fechado para as operações de adição, multiplicação, subtração e divisão.

Q

ZN

Representação decimal:• Tomemos um número racional p\q, tal que p não é múltiplo de

q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.

Ex: 2/5 = 0,4 1/3 = 0,333....

• O primeiros exemplo e chamado de decimal exato e o segundo de dízima periódica.

• Para acharmos a fração de uma dízima periódica procedemos da seguinte maneira:

Ex: 0,555... x = 0,555.... , multiplicando os dois lados da igualdade por 10, temos: 10.x = 5,555..., subtraindo a primeira igualdade da segunda, temos: 10.x – x = 5,555... – 0,555... => 9.x = 5 => x = 5 / 9.

Portanto: 0,555... = 5 / 9.

• Representação geométrica:

-------l---l-----l-----l-----l-------->

-4/3 -1 -1/2 0 1/2

Exercícios:

1- Assinale V ou F:

a) 3/4 Є Q c) 17/9 Є Q – Z e) 62/31 Є Q - Z

b) 1 – 5/6 Є Q d) 62 Є Q

 

2- Encontre a fração geratriz de:

 

0,666...

 

Respostas:

1) a) V b) V c) V d) V e) F

2) 2/3

• O livro analisado traz o conceito de números racionais também resumido não explicando ao aluno a necessidade de inserir este conjunto, não ensina transformar dízima periódica em fração. Não faz uma relação entre os números naturais, inteiros e racionais. Traz poucos exercícios sobre o assunto.

Conjunto dos Números Irracionais (I):

• Há alguns números que não existe representação, são os números decimais não exatos que possuem representação infinita não periódica. Por exemplo: 0,212112111..., não é dízima periódica pois os algarismos após a vírgula não se repetem.

• Outros exemplos: √2 = 1,4142136... e π = 3,141592...

• Um número cuja representação decimal infinita não é periódica é chamado número irracional.

Conjunto dos Números Reais (R):

• O conjunto formado pelos números racionais e pelos números irracionais é chamado conjunto dos números r eais.

R = Q U I

Q I

1\2 √3 -0,76 √2 -3 π

R

Lembrando que N C Z C Q, construímos o

seguinte diagrama:

Q I

Z N

R

Subconjuntos importantes:

1- Conjuntos dos números reais não nulos:

R* = {x Є R / x ≠ 0 }

2- Conjuntos dos números reais não negativos:

R+ = { x Є R / x ≥ 0 }

3- Conjuntos dos números reais positivos:

R*+ = { x Є R / x > 0 } 

4- Conjuntos dos números reais não positivos:

R- = { x Є R / x ≤ 0 }

5- Conjuntos dos números reais negativos:

R*- = { x Є R / x < 0 }

Representação geométrica:

----l----l-------l------l----l-------l-------l-------->

-π -3 -9/4 -2 -√3 -√2 - 4/3

 

Também usamos os conceitos de número oposto e módulo de um número para os números reais.

Relacionando os conjuntos temos: N C Z C Q C R.

Exercícios:

1- Qual das proposições abaixo são falsas:

a) N C Z C Q c) Q C Z e) Q*+ ∩ Z = N

b) Z ∩ I = ǿ d) {0} C Q f ) Q ∩ R = Q

2-Represente sobre uma reta orientada os números -1, -10/3, 1/10, -3/10, 5/2, 2/5, √6 e

-0,333...

Respostas:

1- c,e

2- ----l-------l----l-----l----l---------l-----l------l------>

-10/3 -1 - 0,3...0 1/10 2/5 √6 5/2

• No livro analisado o autor traz de forma clara e objetiva o conceito de números reais, mostra a relação entre os conjuntos através de diagramas, porém traz poucos exercícios.

Conclusão

• Concluímos neste trabalho que o livro analisado bem como a maioria dos livros adotados no Ensino Médio possui falhas e conceitos mal elaborados, cabe ao professor adequar os conceitos do autor com os conceitos dele para garantir uma aula de boa qualidade.

Exercícios Propostos: 

1- Considere os conjuntos A = { x Є N / x é primo e x < 20 } e B = { x . y / x Є A, y Є A e x ≠ y }. O número de elementos de B é: 

a) 14 b) 28 c) 36 d) 56 e) 72 

2- O valor de 2/0,666... é:

a) 0,333... b) 1,333... c) 3,333... d) 3 e) 12 

3- O número 5120,555... é: 

a) 32 b) 16√2 c) 2 d) √2 e) 5√2

4- Classifique em verdadeiro ou falso e justifique:

a) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.

b) O produto de dois números irracionais pode ser racional.

5- Determine A ∩ B e A U B, sendo A = { x Є N / 3 ≤ x ≤ 7 } e B = { x Є N / x ≤ 6 }.

 

Respostas:

1- B

2- D

3- A

4- a) F; basta tomar dos números irracionais opostos

b) V; √3 Є I e √12 Є I, mas √3 . √12 = √3 . 12 = √36 = 6 Є Q

5- A ∩ B = { x Є N / 3 ≤ x ≤ 6 } e A U B = { x Є N / x ≤ 7 }

Referência Bibliográficas:

• Iezzi, G.; Dolce, O.; Degenszajn, D. M. e Périgo, R. Matemática. Volume único. Atual Editora

• Lima, E. L.; Carvalho, P. C. P.; Wagner, E. e Morgado, A. C. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Quinta edição. 2001.

• Giovanni, J. R. e Bonjorno, J. R. Matemática.

FIM