3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 1 1

Matemática 1 aula 13 COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. A equação reduzida de uma circunferência com centro C(x0; y0) e raio R é dada por (x – x0)

2 + (y – y0)2 = R2

Temos que C(2; –3) e raio igual a 5. Assim a equação é (x – x0)

2

+ (y – y0)2 = R2 → (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 →

→ x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 – 25 = 0 → → x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0

Resposta correta: E

2.

a) (x – 3)2 + (y + 5)2 = 16 → C(3; –5), R = 4 b) (x + 7)2 + (y + 1)2 = 9 → C(–7; –1), R = 3 c) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 25 → C(2; 4), R = 5 d) (x – 3)2 + (y + 5)2 = 16 → C(3; –5), R = 4 e) x2 + y2 = 100 → C(0; 0), R = 10

3. Temos a equação λ: (x – 4)2 + (y + 6)2 = 25, C(4; –6) e

R = 5 I. Diâmetro = 2R → Diâmetro = 10

II. Perímetro = 2πR → Perímetro = 10π

III. Área = πR2 → Área = π . 52 → Área = 25π

Resposta correta: A

4. Temos a circunferência λ: x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0. Assim λ = x2 – 6x + 9 + y2 + 4 y +4 = 3 +9 + 4 →

→ λ: (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16; C(3; –2), R 4= Resposta correta: C

5. λ: x2 + y2 + 4x – 3y – 50 = 0 →

→ λ: x2 + 4x + 4 + y2 – 3y + 94

= 50 + 4 + 94

→

→ λ: (x + 2)2 + (y – 32

)2 = 225

4; C(–2;

32

)

Resposta correta: B

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. Temos a equação λ: x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0, assim

completando quadrados, temos: λ: x2 + 6x +9 + y2 – 8y +16 = 11 +9 +16 → → λ: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36; C(–3; 4), R = 6 Como R = 6, então o diâmetro = 12. Resposta correta: A

2. Observe a figura:

A BC C C

A BC C C 3

x x 3 1x x x 1

2 1y y 4 2

y y y2 2 =

+ −= → = → =

+ += → = →

O raio é numericamente igual à distância entre os pon-

tos C e B ou A e C. Assim:

( ) ( )2 2BCd R 1 1 2 3 R 4 1 R 5= − − + − → = + → =

Temos que o centro C(1; 3) e o raio igual a 5 , assim sua equação é:

(x – 1)2 + (y – 3)2 = ( )25 → λ: (x – 1)2 + (y – 3)2 = 5

Resposta correra: A

3. O comprimento de uma circunferência é 2πr. Assim,

temos 2πr = 12π → r = 6. Assim a equação reduzida é: (x + 2)2 + (y + 1)2 = 62 → λ : (x + 2)2 + (y + 1)2 = 36 Resposta correta: E

4. Observe a figura:

(x + 2)2 + (y + 2)2 = 4 x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4 x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0 Resposta correta: A

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5. I. Como (x; – 2) e (1; y) são extremos do diâmetro de centro (1; 0) e o centro é ponto médio temos:

xC = x 1

2+

→ 1 = x 1

2+

→ x + 1 = 2 → x = 1

yC = 2 y2

− + → 0 =

y 22−

→ y – 2 = 0 → y = 2

II A distância do centro aos pontos dados é o raio.

r = dC, A = 2 2(1 x) (0 2)− + + → r = 2(1 1) 4− + → r = 2

III λ : (x – 1)2 + (y – 0)2 = 4 → λ : (x – 1)2 + y2 = 4 →

x2 – 2x + 1 + y2 = 4 → λ : x2 + y2 – 2x – 3 = 0

Resposta correta: E 6. Determinaremos, inicialmente, o centro e o raio da cir-

cunferência λ: x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. Veja: λ: x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 4 + 4 + 1 → λ: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9, C(2; 1) e R = 3 Observe a circunferência no plano:

Resposta correta: A 7. λ : x2 + y2 + 6x – 2y – 6 = 0 → x2 + 6x + y2 – 2y = 6 →

x2 + 6x + 9 + y2 – 2y + 1 = 6 + 9 +1 →

(x + 3)2 + (y – 1)2 = 16 Assim, C (– 3; 1) e r = 4

Resposta correta: A

8. Como temos o centro C(–2; 4) e o raio R 2 5= de uma circunferência, então sua equação é:

(x – (–2))2 + (y – 4)2 = R2 → (x + 2)2 + (y – 4)2 = ( )22 5 →

→ λ: (x + 2)2 + (y – 4)2 = 20 Desenvolvendo a expressão temos:

2x 4x 4+ + 2y 8y 16+ − + 20=2 2: x y 4x 8y 0

→

→ λ + + − =

Resposta correta: A

9. Como C(0; 0) e o raio R = 5, temos a equação:

λ: (x – 0)2 + (y – 0)2 = 52 → x2 + y2 = 25 → x2 + y2 – 25 = 0

Resposta correta: D

10. Como a circunferência tem centro C(1; –2) e é tangente

à reta r: 3x – 4y – 1 = 0, então dr, c = R.

( ) ( )0 0r,C 2 2 2 2

3. 1 4 2 1Ax By CR d

A B 3 43 8 1 10

R R R 2525

− − −+ += = → →

+ ++ −

= → = → =

Como C(1; –2) e R = 2, temos (x – 1)2 + (y + 2)2 = 22 → → λ: (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4 Resposta correta: E