matemática - artigo decomposição fatores primos e polinômios

1 FATORAÇÃO DOS POLINÔMIOS

Por Honilton Medeiros Belém-Pa.

96. Fatoração pelos divisores binômios. — A teoria da divisão por ax

permite instituir um processo regular para a decomposição, em fatores primos, de um polinômio racional inteiro em x .

Seja o polinômio

nnn AxAxAxF ...)( 1

10

Os divisores do primeiro grau que ele pode admitir são da forma

abx

Onde a

e b são números inteiros. Em virtude das condições de visibilidade de polinômios, a

deve dividir nA e b deve dividir 0A .

Supondo que os divisores de nA sejam 1, A

e nA e os de 0A sejam 1 e 0A , os

valores de a e b são

,1a ,Aa ;nAa ,1b 0Ab

Portanto os divisores binômios prováveis são

1x , Ax , nAx

10A , AA0 , nAA0

Onde A

e nA devem ser primos com 0A , sem o que, pondo em evidência o fator

comum, o binômio ficará reduzido a um dos binômios anteriores. Experimentam-se os divisores prováveis, na ordem dos valores crescentes de a

e de b , portanto devemos começar por 1x , passando a 1x , Ax , Ax , e assim sucessivamente. A experimentação consiste em calcular o resto da divisão do polinômio e dos quocientes sucessivos pelo divisor provável.

Calcula-se )1(F ; sendo 0)1(F , passa-se ao divisor seguinte; 0)1(F , determina-se o quociente da divisão de )(xF por 1x , obtendo-se

)()1()( 1 xQxxF

Calcula-se )1(1Q ; sendo 0)1(1Q , passa-se ao divisor seguinte, que deverá

ser experimentado )(1 xQ ; sendo 0)1(1Q , determina-se o quociente da divisão de

)(1 xQ por 1x , obtendo-se

)()1()( 21 xQxxQ

Calcula-se )1(2Q ; sendo 0)1(2Q , passa-se ao divisor provável seguinte,

que deverá ser experimentado em )(2 xQ ; sendo 0)1(2Q , determina-se o quociente

da divisão de )(2 xQ por 1x , obtendo-se

2 CURSO DE ÁGEBRA


)()1()( 32 xQxxQ

Assim se continua até obter um quociente que não se anule para 1x . Passa-se

ao divisor provável seguinte, com o qual se procede do mesmo modo, partindo do último quociente obtido. De igual modo procede-se com os demais divisores prováveis, até obter um quociente do primeiro grau ou de grau superior ao primeiro que não seja divisível por seus divisores prováveis.

No decorrer da operação, o ultimo termo do quociente pode ser inferior ao ultimo termo do polinômio; daí em diante, devem ser excluídos os divisores prováveis do polinômio que não são do quociente. Encontrando-se os divisores prováveis da forma abx , ficando somente os da forma abx .

O produto dos fatores primos é formado pelos binômios que serviram de divisores e pelo ultimo quociente.

Na decomposição dos polinômios, empregamos um dispositivo de cálculo semelhante ao da decomposição em fatores primos. Alguns autores usam um dispositivo puramente numérico, que embora seja prático, não dá a idéia clara das operações, não me parecendo muito conveniente o seu emprego na prova de exame.

1.º EXEMPLO. — Decompor .12439111732 23456 xxxxxx Os divisores de 2, coeficiente do primeiro termo do polinômio, são 1 e 2; os de

12, ultimo termo do polinômio, são 1, 2, 3, 4, 6 e 12; então, os divisores prováveis são

1x , 2x , 3x , 4x , 6x , 12x 12x , 32x .

Não consideramos 22x , 42x , 62x , 122x , porque pondo 2 em evidência, obtemos

)1(2 x , )2(2 x , )3(2 x , )6(2 x

E os binômios 1x , 2x , 3x , 6x , já figuram na primeira linha de divisores prováveis.

O dispositivo de cálculo que empregamos é o seguinte:

12439111732:)( 23456 xxxxxxxF 1(1x 01F

,1216231252:)( 23451 xxxxxxQ 0 1(1x 011Q

,1228572:)( 2342 xxxxxQ 0 2(2x 3612Q

617112:)( 233 xxxxQ , 0 2(2x 612Q

372:)( 24 xxxQ , 0 3(3x 022Q

12:)(5 xxQ , 0 12x 023Q

034Q



Explicação. — À esquerda do primeiro traço escrevemos o polinômio a

decompor, que designamos por xF , e os quocientes sucessivamente obtidos pela regra de Ruffini, sendo feitos mentalmente os cálculos dos coeficientes. Ao terminar cada quociente, calculamos o resto, a título de verificação, e o escrevemos embaixo do último do polinômio que serviu de dividendo. Os restos que estão à direita do segundo traço, são calculados pela primeira lei e não escrevemos o desenvolvimento completo de seus cálculos por conveniência da composição. Não calculamos 23Q porque xQ3 tem

todos os termos positivos e 24Q porque o último termo de xQ4 é 3. Entre os dois traços colocamos os divisores os divisores que dão resto zero e a direita de cada um escrevemos seu segundo termo com sinal trocado, para ser utilizado no cálculo dos coeficientes do quociente.

Os fatores primos do polinômio são os que se acham entre os dois traços, portanto

123221 2 xxxxxxF

O tipo de cálculo numérico, baseado no dispositivo prático de Briot, para o cálculo dos coeficientes do quociente é o seguinte, para o mesmo polinômio

12439111732

+1 1x 1216231252 ; 0 +1 1x

1228572 ; 0 +1 24492 ; 36 1

181052 ; +6 +2 2x 617112 ; 0 2 2x

372 ; 0 3 3x 12 ; 0

Explicação. — Na primeira linha, à esquerda do primeiro traço, estão os coeficientes do polinômio a decompor, na segunda os coeficientes do quociente da divisão por 1x , e assim sucessivamente. Debaixo do último coeficiente de cada linha está o resto da divisão. Na primeira coluna à direita do primeiro traço estão os segundos termos dos divisores com sinal trocado. Quando o resto é zero, escreve-se o divisor à direita do segundo traço; quando é diferente de zero, passa-se ao divisor provável seguinte, retornando aos coeficientes da última linha que deu resto zero para prosseguir os cálculos. Os restos são calculados pela segunda lei de formação.

Os fatores primos são os que estão à direita do segundo traço e o binômio cujos coeficientes estão na última linha, portanto, designando o polinômio por xF , temos

123221 2 xxxxxxF

2.º EXEMPLO. — Decompor .81234983 2345 xxxxx Os divisores prováveis são

1x , 2x , 4x , 8x

4 CURSO DE ÁGEBRA


13x , 23x , 43x , 83x

Aplicando o dispositivo de cálculo habitual, temos

81234983: 2345 xxxxxxF 11x 361F

8201453: 2341 xxxxxQ , 0 22x 01F

48113: 232 xxxxQ , 0 22x 1211Q

253: 23 xxxQ , 0 22x 021Q

13:4 xxQ , 0 13x 8022Q

022Q

023Q

Então, 13221 2 xxxxxF

3.° EXEMPLO. — Decompor .12832 235 xxxx Os divisores prováveis do 1.º grau, são

1x , 2x , 3x , 4x , 6x , 12x

Empregando o dispositivo de cálculo habitual, temos

128320: 2345 xxxxxxF 11x 181F

124: 2341 xxxxxQ , 0 22x 01F

6: 232 xxxxQ , 0 22x 1511Q

3: 23 xxxQ , 0 32 xx 021Q

022Q

933Q

1533Q

Não calculamos 22Q porque xQ2 tem todos os termos positivos, nem

23Q porque o último termo de xQ3 é 3. Pela mesma razão não experimentamos os

demais divisores prováveis do polinômio. Como 32 xx não é divisível por nenhum de seus divisores prováveis, concluímos que não é possível decompô-lo, portanto

3221 2 xxxxxxF

EXERCÍCIO

1. Fazer as seguintes decomposições pelo processo dos divisores binômios:

1.1) 30219 234 xxxx 5321:Re xxxxsposta



1.2) 616112 234 xxxx 12321:Re xxxxsposta

1.3) 24121833 234 xxxx 22213:Re xxxsposta

1.4) 4123103 234 xxxx

1321:Re 2 xxxsposta

1.5) 8201453 234 xxxx

1322:Re 2 xxxsposta

1.6) 124 24 xxx 12121:Re 2 xxxxsposta

1.7) 12417652 2345 xxxxx

32211:Re 2 xxxxsposta

1.8) 84181343 2345 xxxxx


1.9) 24434511 23456 xxxxxx

32211:Re 2 xxxxxsposta

1.20) 32112962454972 234567 xxxxxxx


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