1 FATORAÇÃO DOS POLINÔMIOS
Por Honilton Medeiros Belém-Pa.
96. Fatoração pelos divisores binômios. — A teoria da divisão por ax
permite instituir um processo regular para a decomposição, em fatores primos, de um polinômio racional inteiro em x .
Seja o polinômio
nnn AxAxAxF ...)( 1
10
Os divisores do primeiro grau que ele pode admitir são da forma
abx
Onde a
e b são números inteiros. Em virtude das condições de visibilidade de polinômios, a
deve dividir nA e b deve dividir 0A .
Supondo que os divisores de nA sejam 1, A
e nA e os de 0A sejam 1 e 0A , os
valores de a e b são
,1a ,Aa ;nAa ,1b 0Ab
Portanto os divisores binômios prováveis são
1x , Ax , nAx
10A , AA0 , nAA0
Onde A
e nA devem ser primos com 0A , sem o que, pondo em evidência o fator
comum, o binômio ficará reduzido a um dos binômios anteriores. Experimentam-se os divisores prováveis, na ordem dos valores crescentes de a
e de b , portanto devemos começar por 1x , passando a 1x , Ax , Ax , e assim sucessivamente. A experimentação consiste em calcular o resto da divisão do polinômio e dos quocientes sucessivos pelo divisor provável.
Calcula-se )1(F ; sendo 0)1(F , passa-se ao divisor seguinte; 0)1(F , determina-se o quociente da divisão de )(xF por 1x , obtendo-se
)()1()( 1 xQxxF
Calcula-se )1(1Q ; sendo 0)1(1Q , passa-se ao divisor seguinte, que deverá
ser experimentado )(1 xQ ; sendo 0)1(1Q , determina-se o quociente da divisão de
)(1 xQ por 1x , obtendo-se
)()1()( 21 xQxxQ
Calcula-se )1(2Q ; sendo 0)1(2Q , passa-se ao divisor provável seguinte,
que deverá ser experimentado em )(2 xQ ; sendo 0)1(2Q , determina-se o quociente
da divisão de )(2 xQ por 1x , obtendo-se
2 CURSO DE ÁGEBRA
Por Honilton Medeiros Belém-Pa.
)()1()( 32 xQxxQ
Assim se continua até obter um quociente que não se anule para 1x . Passa-se
ao divisor provável seguinte, com o qual se procede do mesmo modo, partindo do último quociente obtido. De igual modo procede-se com os demais divisores prováveis, até obter um quociente do primeiro grau ou de grau superior ao primeiro que não seja divisível por seus divisores prováveis.
No decorrer da operação, o ultimo termo do quociente pode ser inferior ao ultimo termo do polinômio; daí em diante, devem ser excluídos os divisores prováveis do polinômio que não são do quociente. Encontrando-se os divisores prováveis da forma abx , ficando somente os da forma abx .
O produto dos fatores primos é formado pelos binômios que serviram de divisores e pelo ultimo quociente.
Na decomposição dos polinômios, empregamos um dispositivo de cálculo semelhante ao da decomposição em fatores primos. Alguns autores usam um dispositivo puramente numérico, que embora seja prático, não dá a idéia clara das operações, não me parecendo muito conveniente o seu emprego na prova de exame.
1.º EXEMPLO. — Decompor .12439111732 23456 xxxxxx Os divisores de 2, coeficiente do primeiro termo do polinômio, são 1 e 2; os de
12, ultimo termo do polinômio, são 1, 2, 3, 4, 6 e 12; então, os divisores prováveis são
1x , 2x , 3x , 4x , 6x , 12x 12x , 32x .
Não consideramos 22x , 42x , 62x , 122x , porque pondo 2 em evidência, obtemos
)1(2 x , )2(2 x , )3(2 x , )6(2 x
E os binômios 1x , 2x , 3x , 6x , já figuram na primeira linha de divisores prováveis.
O dispositivo de cálculo que empregamos é o seguinte:
12439111732:)( 23456 xxxxxxxF 1(1x 01F
,1216231252:)( 23451 xxxxxxQ 0 1(1x 011Q
,1228572:)( 2342 xxxxxQ 0 2(2x 3612Q
617112:)( 233 xxxxQ , 0 2(2x 612Q
372:)( 24 xxxQ , 0 3(3x 022Q
12:)(5 xxQ , 0 12x 023Q
034Q
3 FATORAÇÃO DOS POLINÔMIOS
Por Honilton Medeiros Belém-Pa.
Explicação. — À esquerda do primeiro traço escrevemos o polinômio a
decompor, que designamos por xF , e os quocientes sucessivamente obtidos pela regra de Ruffini, sendo feitos mentalmente os cálculos dos coeficientes. Ao terminar cada quociente, calculamos o resto, a título de verificação, e o escrevemos embaixo do último do polinômio que serviu de dividendo. Os restos que estão à direita do segundo traço, são calculados pela primeira lei e não escrevemos o desenvolvimento completo de seus cálculos por conveniência da composição. Não calculamos 23Q porque xQ3 tem
todos os termos positivos e 24Q porque o último termo de xQ4 é 3. Entre os dois traços colocamos os divisores os divisores que dão resto zero e a direita de cada um escrevemos seu segundo termo com sinal trocado, para ser utilizado no cálculo dos coeficientes do quociente.
Os fatores primos do polinômio são os que se acham entre os dois traços, portanto
123221 2 xxxxxxF
O tipo de cálculo numérico, baseado no dispositivo prático de Briot, para o cálculo dos coeficientes do quociente é o seguinte, para o mesmo polinômio
12439111732
+1 1x 1216231252 ; 0 +1 1x
1228572 ; 0 +1 24492 ; 36 1
181052 ; +6 +2 2x 617112 ; 0 2 2x
372 ; 0 3 3x 12 ; 0
Explicação. — Na primeira linha, à esquerda do primeiro traço, estão os coeficientes do polinômio a decompor, na segunda os coeficientes do quociente da divisão por 1x , e assim sucessivamente. Debaixo do último coeficiente de cada linha está o resto da divisão. Na primeira coluna à direita do primeiro traço estão os segundos termos dos divisores com sinal trocado. Quando o resto é zero, escreve-se o divisor à direita do segundo traço; quando é diferente de zero, passa-se ao divisor provável seguinte, retornando aos coeficientes da última linha que deu resto zero para prosseguir os cálculos. Os restos são calculados pela segunda lei de formação.
Os fatores primos são os que estão à direita do segundo traço e o binômio cujos coeficientes estão na última linha, portanto, designando o polinômio por xF , temos
123221 2 xxxxxxF
2.º EXEMPLO. — Decompor .81234983 2345 xxxxx Os divisores prováveis são
1x , 2x , 4x , 8x
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Por Honilton Medeiros Belém-Pa.
13x , 23x , 43x , 83x
Aplicando o dispositivo de cálculo habitual, temos
81234983: 2345 xxxxxxF 11x 361F
8201453: 2341 xxxxxQ , 0 22x 01F
48113: 232 xxxxQ , 0 22x 1211Q
253: 23 xxxQ , 0 22x 021Q
13:4 xxQ , 0 13x 8022Q
022Q
023Q
Então, 13221 2 xxxxxF
3.° EXEMPLO. — Decompor .12832 235 xxxx Os divisores prováveis do 1.º grau, são
1x , 2x , 3x , 4x , 6x , 12x
Empregando o dispositivo de cálculo habitual, temos
128320: 2345 xxxxxxF 11x 181F
124: 2341 xxxxxQ , 0 22x 01F
6: 232 xxxxQ , 0 22x 1511Q
3: 23 xxxQ , 0 32 xx 021Q
022Q
933Q
1533Q
Não calculamos 22Q porque xQ2 tem todos os termos positivos, nem
23Q porque o último termo de xQ3 é 3. Pela mesma razão não experimentamos os
demais divisores prováveis do polinômio. Como 32 xx não é divisível por nenhum de seus divisores prováveis, concluímos que não é possível decompô-lo, portanto
3221 2 xxxxxxF
EXERCÍCIO
1. Fazer as seguintes decomposições pelo processo dos divisores binômios:
1.1) 30219 234 xxxx 5321:Re xxxxsposta
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1.2) 616112 234 xxxx 12321:Re xxxxsposta
1.3) 24121833 234 xxxx 22213:Re xxxsposta
1.4) 4123103 234 xxxx
1321:Re 2 xxxsposta
1.5) 8201453 234 xxxx
1322:Re 2 xxxsposta
1.6) 124 24 xxx 12121:Re 2 xxxxsposta
1.7) 12417652 2345 xxxxx
32211:Re 2 xxxxsposta
1.8) 84181343 2345 xxxxx
23221:Re 2 xxxxsposta
1.9) 24434511 23456 xxxxxx
32211:Re 2 xxxxxsposta
1.20) 32112962454972 234567 xxxxxxx
12221:Re 32 xxxxsposta
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