matemÁtica – 8o ano professor – volume i · – propõe uma reflexão sobre o conceito de...

MATEMÁTICA – 8o ANOPROFESSOR – VOLUME I

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Ciências:D. Geométrico:Espanhol:Geografia:História:Inglês:Matemática:Português:Redação:

Autores:

Alba AlencarThiago SantosVerônica LouroJoão Paulo PradoMichelle Trugilho Maria Izadora ZarroLucy CunhaLuiza MarçalCláudia Pires

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO FUNDAMENTAL 2016/2017

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2016/2017 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico inovador, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a passagem das informações. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas para favorecer a aprendizagem.

Veja algumas páginas:

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Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso “conversa” com o site galeracult.com.br, além de vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01: Apresentar um conteúdo em termos de ementa e nível de acordo com os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento, assim como do segmento subsequente (Ensino Médio).

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs, porém existe a possibilidade de reordenação, pois o material é constituído de cadernos independentes, que possibilitam a construção de acordo com a vontade da escola parceira. Para isso, basta a escola utilizar o nosso cronograma – que está apresentado a seguir – e escolher a nova ordem dos cadernos, inclusive trocando de séries, caso seja necessário. Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Após a contextualização, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria vista e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Sinais de Pontuação, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar para compreensão dos alunos dos erros de comunicação gerados por má emprego da pontuação, reconheçam e saibam empregar corretamente os sinais de pontuação.


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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, através do diálogo entre este e outros saberes,

não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Fundamental II é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Educação Financeira, Noções de Nutrição, Noções de Direito, Empreendedorismo, entre outros, são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto galeracult.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto por um personagem ficcional criado pelo time da Irium Educação. Esses personagens são jovens e possuem características e linguagem próprias da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento onde alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os educandos a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a música do Cazuza foi utilizada para exemplificar uma Oração Subordinada Adverbial e, com isso, acaba sendo conectada a história do próprio compositor, enriquecendo o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04: Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado

mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na capa de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) – entre a imagem principal e a seção “Objetivos” – propõe uma reflexão sobre o conceito de História. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende desconstruir o conceito vulgar de História. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma tirinha para exemplificar uma oração subordinada adverbial.


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Fundamento 05: Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de

sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno – na primeira impressão, - para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do leitor, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos tem dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06: Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor do

proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07: Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links

com sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão.

Descrição: O material possui também exercícios não ortodoxos. As questões “tradicionais” são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajuda-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade.

Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.


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Fundamento 08: Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do

conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentado uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO8º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I

1º bimestre

EF2MAT801: Como surgiu a linguagem algébrica da Matemática?• Definição e reconhecimento de monomios• Adição e subtração de monomios• Multiplicação, divisão, potenciação e raíz quadrada de monômios

EF2MAT802: Polinômios• Definição• Operações básicas• Divisão de polinômios

EF2MAT803: Produtos Notáveis

• Quadrado da soma de dois termos; quadrado da diferença de dois termos; produto da soma pela diferença de dois termos;• Cubo da soma ou da diferença de dois termos; quadrado da soma de três termos;• Exercícios de produtos notáveis.

2º bimestre

EF2MAT804: Fatoração• Fatoração da diferença de dois quadrados, do trinômio quadrado perfeito e do trinômio do 2º grau;• Exercícios de fatoração.

EF2MAT805: Frações algébricas• Simplificação de frações algébricas• Potência de expoente fracionário• MMC de monômios• Polinômios• Equações fracionárias


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3º bimestre

EF2MAT806: Equação do 2o grau• Definição• Equações completas e incompletas• Resolução de equações incompletas• Resolução de equações completas

EF2MAT807: Radiciação• Propriedades dos radicais• Adição e subtração de radicais• Multiplicação e divisão de radicais• Racionalização de denominadores

4º bimestre

EF2MAT808: Plano cartesiano• Plano cartesiano• Produto cartesiano

EF2MAT809: Noções de Função• Introdução ao conceito de função• Representação gráfica de uma função


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Fundamento 05: Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de

sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.



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Fundamento 06: Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor do

proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.








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Fundamento 08: Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do

conteúdo.


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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO8º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA II

1º bimestre

EF2MAT811: Ângulos e Teorema de Tales• Ângulos formados por retas paralelas e transversais• Lei angular de Tales• Relações de desigualdade entre lados e ângulos

EF2MAT812: Polígonos• Polígonos convexos e côncavos• Medidas dos ângulos internos• Número de diagonais de um polígono convexo• Somas das medidas externas de um polígono

EF2MAT814: Triângulos• Classificação• Semelhança entre triângulos

2º bimestre

EF2MAT813: Quadriláteros• Paralelogramos• Trapézios

EF2MAT815: Circunferência e círculo• Introdução• Posições relativas de uma reta e uma circunferência• Posições relativas entre duas circunferências

3º bimestre


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EF2MAT816: Medidas de arco e de ângulo• Medidas de arco e ângulo central• Ângulo inscrito• Medida do ângulo excêntrico interior e exterior• Relações métricas na circunferência• Comprimento da circunferência• Arco da circunferência

4º bimestre

EF2MAT817: Áreas• Áreas das principais figuras planas• Decomposição de figuras e áreas

EF2MAT818: Volume de sólidos


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Fundamento 05: Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de sensibilizá-

lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.



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Fundamento 06: Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor do proveito

desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.








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Fundamento 08: Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do conteúdo.


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ENSINO FUNDAMENTAL 2016/20178o ano

MATEMÁTICA

1o bimestre:

Aula 01Tópico EF2MAT801: Como surgiu a linguagem algébrica da Matemática?

Objetivos Compreender os conceitos básicos relacionados aos monomios; Aprender a realizar operações de adição e subtração de monomios.Subtópicos Expressões algébricas; Definicão de monômio; Grau de monômio; Monômios ou termos semelhantes; Adição de monômios; Subtração de monômios.Exercícios Praticando 1 ao 7Para casa Praticando 8 ao 13


Objetivos Aprender a realizar operações de multiplicação e divisão de monomios; Aprender a realizar operações de potenciação e radiciação de monomios.Subtópicos Multiplicação de monômios; Divisão de monômios; Exponenciação de monômios; Radiciação de monômios.Exercícios Praticando 14 ao 18Para casa Aprofundando e Desafiando.


Objetivos RevisãoSubtópicos XExercícios Aprofundando e DesafiandoPara casa Pesquisando.

Aula 04Tópico EF2MAT802: Polinômios

Objetivos Realizar as operações de adição e subtração com termos de uma expressão.Subtópicos Polinômios; Polinômios: operações básicas.Exercícios Praticando 1 ao 4Para casa Praticando 5 ao 9


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Objetivos Realizar as operações de multiplicação, divisão e potenciação com termos de uma expressão.Subtópicos Polinômios: operações básicas; MMC e MDC de polinômio.Exercícios Praticando 10 ao 31Para casa Praticando 32 ao 35; Aprofundando e Desafiando.


Objetivos RevisãoSubtópicos XExercícios Aprofundando e DesafiandoPara casa Pesquisando

Aula 07Tópico EF2MAT803: Produtos Notáveis

Objetivos Compreender os productos notáveis, seu significado e suas representações.Subtópicos Potenciação de monômios; Produtos notáveis.Exercícios XPara casa Praticando 1 ao 11


Objetivos Reconhecer a forma fatorada de uma expressão.Subtópicos Cubo da soma de dois termos; Cubo da diferença de dois termos; Produtos da forma (x+a).(x+b).Exercícios Praticando 12 ao 19Para casa Aprofundando e Desafiando.



Aula 10Tópico Revisão

Objetivos Revisão para as provasSubtópicos XExercícios Coletânea dos exercícios do bimestrePara casa X

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MATEMÁTICA II

1o bimestre:

Aula 01Tópico EF2MAT811: Ângulos e Teorema de Tales

Objetivos Perceber a origem dos ángulos e sua importancia para os días atuais; Conhecer e aplicar as propiedades envolvendo ángulos internos e externos.Subtópicos Ângulos; Soma das medidas dos ângulos internos do triângulo; Propriedade do ângulo externo.Exercícios Praticando 1 ao 10Para casa Praticando 11 ao 30


Objetivos Aprender a Lei angular de Tales e suas aplicaçõesSubtopicos Lei angular de Tales; Relações de desigualdades entre lados e ângulosExercicios Praticando 31 ao 41Para casa Aprofundando e Desafiando



Aula 04Tópico EF2MAT812: Polígonos

Objetivos Compreender o conceito de polígono e identificar os seus elementos; Classificar os polígonos quanto ao número de lados; Saber calcular o número de diagonais de um polígono.Subtópicos Polígonos; Elementos de um polígono; Classificação dos polígonos; Diagonal de um polígono.Exercícios XPara casa Praticando 1 ao 10


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Objetivos Aplicar propiedades envolvendo a soma dos ángulos internos e externos; Reconhecer polígonos regulares.Subtópicos Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono; Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono; Polígonos regulares.Exercícios Aprofundando e DesafiandoPara casa Praticando 11 ao 19




Objetivos Medir e classificar os triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados; Encontrar pontos notáveis de um triângulo.Subtópicos Triângulos; Elementos de um triângulo; Classificação dos triângulos; Condição de existência de um triângulo; Teorema angular de Tales; Teorema do ângulo externo.Exercicios Praticando 1 ao 7Para casa Praticando 8 ao 14

Aula 08Tópico EF2MAT814: Triângulos

Objetivos Identificar e aplicar casos de congruência de triângulos.Subtópicos Pontos notáveis de um triângulo ou cevianas; Semelhança de triângulos.Exercícios Praticando 15 ao 33Para casa Praticando 34 ao 40; Aprofundando.

Aula 09Tópico EF2MAT814: Triângulos


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Aula 10Tópico Revisão

Objetivos Revisão para as provas bimestraisSubtópicos XExercícios Coletânea dos exercícios do bimestrePara casa X

EF2M

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01

COMO SURGIU A LINGUAGEM ALGÉBRICA DA MATEMÁTICA?

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ORIENTADOR METODOLÓGICO

Como surgiu a linguagem algébrica da matemática?

Praticando

1) A expressão que relaciona as duas escalas de temperatura é: C/5 = F-32/9a) a) Para F = 95o, temos: C/5 = 95-32/9 → C/5= 63/9 → c = 5x7 = 35º

2) De acordo com a definição de monômios, temos:São monômios: a); b); d); f) e g)

3) Monômio Coeficiente Parte Literal

Grau de monômio

- 8x -8 x 15x3 5 x3 3-y5 -1 y5 51/2ab 1

2ab 2

9x2t4 9 x2t4 6p2q 1 p2q 30,7 0,7 Não tem 018 xy4z3

-1/8 xy4z3 8

3x2y3 3 x2y3 5

4) Sendo T a idade da pessoa, temos:a) T + 20b) T – 2c) 65 – Td) T + T = 2Te) Somente a letra d

5) Como o monômio – 7ymxnt é do 5o grau, então:m + n + 1 = 9 => m + n = 8Gabarito: C

6) A área da figura será: 7x2za) 7b) x2z

7) 7) Os monômios semelhantes são:[7x, 3x e – 4x]; [- 3y, y e 9y]; [5y2, 7y2 e – y2]; [6x2, – 8x2 e 9x2]

8) a) 10a b) 7yc) -5m2

d) 0e) 5/6 xf) -5/2 abg) 7/4 x

9) Calculando os perímetros das respectivas figuras, temos:x + x + 2 + x + 3 = 3x + 5; 2.(x + 2x + 1) = 6x + 2x + 1 + 2x + 1 + 2x + x = 6x + 2; 2.(10 – x + x) = 20

10) a) 3m2qb) 3mq2

c) -2x4p2

d) 31 a2k7

e) (-24 p-2s3)f) -A(2/3)B–1

OBS: As expressões das letras C e F pode-riam ser retiradas, pois possuem proprieda-des referentes aos próximos assuntos.

11) De acordo com as figuras temos:a) A = x; B = 2x + 9 e C = x + 9b) A = 2; B = 4 – x e C = 6 – x

EF2M

AT8-

01COMO SURGIU A LINGUAGEM ALGÉBRICA DA MATEMÁTICA?

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12) 4x2y é semelhante ao monômio – 4x2y.Gabarito: D

13) De acordo com as operações envolven-do os monômios abaixo, temos:a) – 7 - ∆ = - 3 =>∆ = - 4b) Para a variável a: 8 - ∆ = 5 =>∆ = 3 e para a variável b: 3 + ∆ = - 3 =>∆ = - 6c) Para o monômio de parte literal x: - 1 - ∆ = 0 =>∆ = 1Para o monômio de parte literal x2: -1 - ∆ = 1 =>∆ = - 2d) Para o monômio de parte literal x: ∆ = - 3Para o monômio de parte literal x2: ∆ = 10

14) Multiplicando os respectivos monômios, temos:a) 5a3b3cb) 30x5y3m2

c) a8bcd) -6x3y7z2

e) 24x-2

15) Dividindo os respectivos monômios, temos:a) – 5 abb) -7xy–1zc) 7 mp-1q-1

d) -2ab/m-4

16) a) 125a6b6c9

b) -64x6y9h3

c) (x8 y20)/256d) a-6b-4c-3

17) Extraindo as respectivas raízes, temos que:a) 4ab) 0,6t2

c) 35

x5

d) 8ab3

18) Sendo A = 2xy2z3, B = - 3xy2z3 e C = - 4x2y4z6, temos:a) AxB = -6x2y4z6

b) A:B = -2/3c) B:A = -3/2d) (AxB) + C = (-6x2y4z6) + (-4x2y4z6) = -10x2y4z6

e) (C/A) – B = (-2xy2z3) – (-3xy2z3) = xy2z3

19) a) V = 6x2yzb) Para: x = 4, y = 2 e z = 5; temos que V = 6.42.2.5 = 960

Aprofundando 1) a) Coeficiente numérico / 25 / parte literal ab

b) Coeficiente numérico / 107 / parte literal xyz c) Coeficiente numérico / -81 / parte literal st2

d) Coeficiente numérico /-36/ parte literal x2y7k4

e) Coeficiente / 79

/ parte literal cd

2) De acordo com os conhecimentos sobre monômios, temos que:Afirmações verdadeiras: b); d); e)

3) Sendo: C/5 = F-32/9, a relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit, temos que:a) Para F = 107o → C/5 = 107-32/9 → C/5 = 75/9 → C = 125/3b) Para C = 0o => F = 32o e Para F = 10o => C = -110/9, logo: F = 10º< C = 0º

4) As expressões algébricas são:a) 10x + 5b) 100xc) 10y – 3d) 100z + 10se) Somente a letra b será monômio

5) Os termos semelhantes são:a); d); f); i)

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AT8-

01

COMO SURGIU A LINGUAGEM ALGÉBRICA DA MATEMÁTICA?

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6) Os monômios são:a) 3,20xb) y – 0,20y = 0,80

7) Os monômios podem ser:a) 7xye - 7xyb) 2ab e (1/2)abc) 7ax2 e – 2ax2

d) 5az

8) Neste monômio, o coeficiente é -3/7Gabarito: E

9) 5xyz é do 3º grauGabarito: C

10) – 3x2.y.zk é do 7o grau, logo: 2 + 1 + k = 7 => k = 7 – 3 => k = 4Gabarito: D

11) 17x2yz3 em relação a y, é do 1o grauGabarito: A

12) Como cada ingresso de adulto custa 20,00 e cada ingresso de criança custa 10,00 e sabendo que temos x adultos e y crianças, então:a) 20x + 10y será o valor arrecadadob) Para x = 105 e y = 240, temos que o valor arrecadado será: 20.105 + 10.240 = 2100 + 2400 = 4500

13) De acordo com os monômios e as res-pectivas figuras, temos que:a) A = 3xy + 2,25xy = 5,25xyb) A = 6,2xy + 3xy + 2,25xy = 11,45xyc) A = 6,2xy + 3,1xy = 9,3xyd) A = 6,2xy + 2,25xy = 8,45xye) A = 6,2xy + 3xy = 9,2xyf) A = 2,25xy + 3,1xy + 3xy = 8,35xy

14) Reduzindo os monômios semelhantes, temos que:a) – 4y

b) 0c) (5/2)a2b2

d) (15/15)x2 = x2

e) 1abc = abcf) (-10/10)x3y = -x3y

15) Indicando cada um dos perímetros pelo monômio correspondente, temos:a) 4xb) 3xc) 6x

16) De acordo com o exercício anterior, te-mos:a) Para x = 2,5, logo: 4x = 4.2,5 = 10; 3x = 3.2,5 = 7,5; 6x = 6.2,5 = 15b) 4x = 16,8 => x = 16,8/4 => x = 4,2c) Para x = 1,5 => 3x = 3.1,5 = 4,5

17) Calculando as expressões, temos:a) 9x + y – 5b) – 4x + 6c) 0x2 + 0,8x + 8 = 0,8x + 8d) 2x – 4y + 5

18) Sendo M, o monômio a ser encontrado, temos:M = 0,25x = x/2 => M = 0,5x – 0,25x => M = 0,25xGabarito: A

19) Sendo V, o monômio que irá representar o volume de cada um dos cubos, temos:a) V = (2x2)3 = 8x6

b) V = (3a)3 = 27a3

c) V = (5xy)3 = 125x3y3

d) V = (0,8m3n)3 = 0,512m9n3

20) O resultado de cada multiplicação será:

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01COMO SURGIU A LINGUAGEM ALGÉBRICA DA MATEMÁTICA?

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a) 6xyb) 15x3yc) 10ab2cd) 28a2

20) a) 6xyb) 15x3yc) 10ab2cd) 28a2

21) a) 16a2b4cb) -8x6y9h3

c) 33/2 m3/2 g3p6

d) a8b12c6

22) Extraindo as raízes das expressões, ob-temos:a) 6a2bc3

b) -4ab 4/3 c2

c) 2ab2c3

d) a3/2 b3c-9/2

23) Sendo M, o monômio que estamos pro-curando, temos que:M.(-2xy) = (3/4)x2y3

M = (3/4)x2y3 : (-2xy) => M- 38

xy2

24) Sendo: A = 2x2y3; B = -4xy e C = -14x3y4

A.B = C + D => D = A.B – C => D = (2x2y3).(-4xy) - (-14x3y4) => D = (-8x3y4) + (14x3y4) = 6x3y4

25) De acordo com a expressão, temos:M2 = (125x21y35z30) : (3125x15y35z20) =>M2 = (1/25)x6z10 =>M = x3z5

5

26) O resultado desta divisão de monômios será: (1024x30y50) : (1024x10y15) = x20y35

Gabarito: E

Desafiando1) O valor da expressão:(x – a).(x – b).(x – c).(x – d)...(x – x).(x – y).(x – z) = (x – a).(x – b).(x – c).(x – d)...0.(x – y).(x – z) = 0

2) De acordo com o problema, Matthew nada 34 km em 21h e 45 min, ou seja, nada 34 km em 21.60 + 45 = 1305 minutos. Então, ele nada 1 km em:1305/34 = 38,5 minutos (aproximadamente)

3) Sendo S = (5p + 28)/4 e neste caso, sendo p = 28 cm, então:S = (5.28 + 28)/4 = (6.28)/4 = 6.7 = 42

4) De acordo com as informações do proble-ma, a expressão que define o valor recebido por Mário em um fim de semana, será:Y = 5x + 15. E neste caso, sendo y = 115,00, então:115 = 5x + 15 => 5x = 115 – 15 => 5x = 100 = > x = 100/5 => x = 20. Ou seja, Mário lavou 20 carros neste fim de semana.

5) Sendo: a = 5, x = 3 e n = 2, então: (a – 1)n + 1 – axn + (a + 1)xn – 1 => 43 – 5.32 + 6.31 => 64 – 5.9 + 18 = 64 – 45 + 18 = 37

6) De acordo com as informações do proble-ma, o valor pago por Lucy e suas amigas será determinado pela expressão:Y = 2,30.2 + 0,100.x + 0,185.x + 0,200.x =>Y = 4,60 + 0,485.x

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02

ORIENTADOR METODOLÓGICO: POLINÔMIOS

5


Polinômios

Objetivos de aprendizagem:• Identificar os termos semelhantes em uma expressão;• Realizar as operações de adição e subtração com os termos de uma expressão;• Realizar as operações de multiplicação, divisão e potenciação com os termos de uma

expressão.

Praticando:1) Determinando o grau dos polinômios a seguir, temos:a) 6º grau b) 3º grauc) 9º graud)7º graue) 5º grau

2) Determinando o grau em relação as variáveis, temos:a) X => 2º grau; Y => 3º graub) X => 5º grau; Y => 4º grauc) X => 3º grau; Y => 2º graud) X => 2º grau; Y => 3º graue) X => 2º grau; Y => 4º grauf) X => 3º grau; Y => 2º grau

3) Classificando um polinômio:a) Binômiob) Monômioc) Trinômiod) Monômioe) Trinômio

4) De acordo com o conceito de polinômios, temos:Gabarito: A

5) A expressão que define o valor pago por Gustavo foi:Valor pago: 3,80.X + 1,50.Y + 3,00.T

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02ORIENTADOR METODOLÓGICO: POLINÔMIOS

6

6) Para Bruna, temos: h(x) = x e para Pedro: h(x) = x + 0,58

7) 7) Sendo x carros e y motos, temos que:a) A quantidade total de veículos será: x + yb) Cada carro possui 4 rodas e cada moto possui 2 rodas, logo, o total de rodas neste estacionamento seria: 4x + 2y

8) P(x) = 3,7x – 0,02x2

a) Para x = 15, temos: P(15) = 3,7.15 – 0,02.(15)2 = 55,5 – 4,5 = 51b) Para x = 50, temos: P(50) = 3,7.50 – 0,02.(50)2 = 185 – 50 = 135

9) 9) Lembrando que perímetro é defini-do como sendo a soma de todos os lados, temos:P(x) = (3x + 4) + (7x + 2) + (3x – 1) + 5 + (7x + 2) = 20x + 12Gabarito: D

10) Somando os polinômios a seguir, temos:a) 5x2 - 2x + 1b) 3x2 + 8x - 10c) 7x - 4yd) -10x - 2y - 11

11) Somando os termos correspondentes, com a mesma variável, temos:8m + 6p + 10b

12) Efetuando as adições, temos:a) 5 x2 + 9 x – 2 b) 17 x2 - 4 p x + 1 c) 2 x2 + 7 xp – 5

13) Efetuando as subtrações, temos:a) 2x2 – 11x + 8b) 3x2 – 14x + 11c) 5x – 2y – 3d) 4x – 13

14) Efetuando as devidas operações com os polinômios, temos:a) 3x + 2y – 2z + 6b) 7xy – 2x – 10y + 8z – 12c) (5/6)x + 5y – 4z2

d) – xy – 8a2 – 33/5e) (-71/5)u3 + 13y2 + 7x – 15

15) Resolvendo as equações, temos:a) Como A + B = A => B = 0 (polinômio nulo)b) Sendo B = 5xy + 3x2 – 7, então, sendo P + B = 0 => P = - B→ P = -5xy – 3x2 + 7c) A = 3x2 – 9x + 14, sendo: A + B = - 2x2 + 8x – 10, temos que: → B = (- 2x2 + 8x – 10) – (3x2 – 9x + 14) = - 5x2 + 17x – 24

16) Sendo: A = 2x2 + 5x + 3; B = 4x2 – 2x + 1 e C = - 3x2 – x + 3a) A + B = 6x2 + 3x + 4b) A – B = - 2x2 + 7x + 2c) A + C = - x2 + 4x + 6d) C – A = - 5x2 – 6x e) B + C = x2 – 3x + 4f) B – C = 7x2 – x – 2g) B – A = 2x2 – 7x – 2h) C – B = - 7x2 + x + 2

17) a) 3x + 3yb) 3x2 - 6xyc) 4ax + 4bxd) x5 + x6

e)a2m + a5

f) 4x3 + 5xg) 6x2 - 18xh) 2x3 - 4x2 + 10x

18) Sendo: A = x – 2; B = x – 3; C = x + 1 e D = x + 5, temos:

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02


7

a) A.B = (x – 2).(x – 3) = x2 – 5x + 6b) B.C = (x – 3).(x + 1) = x2 – 2x – 3c) A.B.C = (x – 2).(x – 3).(x + 1) = x3 – 4x2 + x + 6d) B.C.D = (x – 3).(x + 1).(x + 5) = x3 + 3x2 – 13x – 15

19) De acordo com as informações no retân-gulo, temos que:a) Perímetro = 2.(x – y) + 2.(3x – 9y) = 8x – 20yb) Área = (x – y).(3x – 9y) = 3x2 – 12xy + 9y2

20) A

21) V = 3; C = 5 e B = 0 (dia do nascimento de Beatriz)a) Sendo B = x, então: V = x + 3 e C = x + 5, logo:B.V.C = x.(x + 3).(x + 5) = x3 + 8x2 + 15xb) Se C = 24 => x + 5 = 24 => x = 24 – 5 = 19, logo: V = x + 3 = 19 + 3 = 22 e B = x = 19.

22) Calculando os quocientes das divisões dos polinômios a seguir, temos:a) (x2 + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3b) (x2 – 7x + 10) : (x – 2) = x – 5c) (2x2 + 12x + 8) : (x + 1) = 2x + 10d) (4x4 – 14x3 + 15x2 – 17x + 5) : (x2 – 3x + 1) = 4x2 – 2x + 5

23) Neste caso, temos: x2 – 3x – 70 = d.(x – 10) => d = (x2 – 3x – 70) : (x – 10) => d = x + 7Gabarito: A

24) D = d.q + r, ou seja: grau(D) = grau(d) + grau(q) => grau(d) = grau(D) – grau(q) = p – q e como o grau(r) < grau(d) => grau(r) = p – q – 1Gabarito: E

25) Errata! Faltando a medida de um dos lados.

26) 26) Respondendo de forma correta, te-mos:a) D = d.q + r = (x + 3).(x – 3) – 1 = x2 – 9 – 1 = x2 – 10

b) D = d.q + r = (x2 – 3).(x2 – 3) + 0 = x4 – 6x2 + 9

27) 27) Como o resto da divisão de (x4 – 2x3 + 2x2 – x + 1) por (x + 1) é igual a 7Gabarito: C

28) Lembrando que a área de um triângulo é igual a: (B.h)/2, então: a) X2 – 10x + 16 = [(x – 8).h]/2 => h = (2x2 – 20x + 32) : (x – 8) => h = 2x - 4b) Para x = 10 cm, temos que h = 2.10 – 4 = 20 – 4 = 16 cm

29) Dividindo (20x3 – 8x) por (- 4x), obtemos: - 5x2 + 2Gabarito: B

30) Efetuando os cálculos de forma correta, obtemos: OBS: A expressão correta seria: 1\5(15x – 35y – 10) – 1\3(45 – 12y – 6x).(3x – 7y – 2) – (15 – 4y – 2x) = 5x- 3y –17Gabarito: B

31) O valor de cada prestação será igual a: (6x4 - 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5) = 3x2 + x – 1

32) Determinando o mmc entre os respecti-vos polinômios, temos:a) Mmc(3x; 4x2) = 12x2

b) Mmc(2a; 6b2; 4a3b) = 12a3b2

c) Mmc(x + y; x – y) = x2 – y2

d) Mmc(5p – p2; 25 – p2) = (5 – p).(5 + p).p = 25p – p3

e) Mmc(3a + 3; a2 – 1) = 3.(a + 1).(a – 1) = 3a2 – 3f) Mmc(6xy – 2y; 9x2 – 1) = 2y.(3x – 1).(3x + 1) = 18x2y – 2y

33) Resolvendo o mmcdas polinômios a seguir, obtemos:

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8

a) Mmc(xy – x; y2 – 1) = x.(y – 1).(y + 1) = xy2 – x. Para x = 3 e y = 2, temos: 3.22 – 3 = 12 – 3 = 9

b) Mmc(x4y – x3y2; x2 – 2xy + y2; x2 - y2) = x3y.(x + y). (x – y)2. Para x = 2 e y = 1, temos:23.1.(2 + 1).(2 - 1)2 = 8.1.3.1 = 24

34) Mmc(3x; 2x; x) = 6x. Como o problema diz que o mmc entre as três idades é igual a 90, então: 6x = 90 => x = 90/6 => x = 15. Logo: Til tem 15 anos, Dani tem 30 anos e Júlio tem 45 anos.

35) Sendo: A = x2 – 10x + 25; B = x2 – 25 e C = (x – 5).(2x + 1)a) Mmc(A; B) = Mmc(x2 – 10x + 25; x2 – 25) = (x – 5)2.(x + 5)b) Mmc(A; C) = Mmc(x2 – 10x + 25; (x – 5).(2x + 1)) = (2x + 1).(x – 5)2

Aprofundando:1) São polinômios: a); c); e); f) 2) G galinhas e P porcos, logo:a) Quantidade de animais = G + Pb) Como cada galinha possui duas patas e cada porco quatro patas, então: quantidade de patas = 2G + 4P

3) Determinando o grau de cada polinômio, temos:a) 4º graub) 7º grauc) Zero graud) 6º graue) Zero grau

4) Temos:a) Monômio

b) Binômioc) Trinômiod) Monômioe) Trinômiof) Binômio

5) X caixas de laranja e y caixas de maçãs. Como cada caixa de laranja tem 42 unidades e cada caixa de maçã possui 150 unidades, então: quantidade de frutas = 42x + 150y

6) De acordo com cada figura, temos que:a) 2p = 11a + 2bb) 2p = 2.(4 + a) + 2.(a + 10) = 28 + 4a

7) De acordo com a figura, temos:a) 2p = 8x + 2yb) 2p = 2(4x + y)c) Um binômiod) Para x = 2 e y = 1,5: 2p = 2.(4.2 + 1,5) = 2. 9,5 = 19 cm

8) 12x2 + 8y – 4a) Para: x = 2 e y = 2 => 12.22 +8.2 – 4 = 48 + 16 – 4 = 60b) Para: x = 2 e y = 0 => 12.22 + 8.0 – 4 = 48 + 0 – 4 = 44c) Para: x = 3 e y = - 1 => 12.32 + 8.(-1) -4 = 108 – 8 – 4 = 96

9) Sendo x a idade do pai de Fabiano, então:Idade do Fabiano = (x/2) – 5

10) a) (X3 – 3x + 4) + P(x) = 5x3 + x2 + 10 => P(x) = (5x3 + x2 + 10) – (x3 – 3x + 4) = 4x3 + x2 + 3x + 6b) (2x2 – x + 1) – P(x) = - x – 3 => P(x) = (2x2 – x + 1) – (- x – 3) => P(x) = 2x2 + 4

EF2M

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02


9

11) De acordo com as informações, temos que: P(x) = 4x + 50

12) a) VA(x) = x.x.x = x3 b) VB(x) = x.x.(x + 1) = x3 + xc) VA + VB = 2x3 + x

13) D - Sendo 6 pratos do sai e 5 sobremesas, temos:P(x) = 6.x + 5.(x – 3) = 11x – 15

14) A = x2 + 2xy + y2; B = 3x2 – 2xy + 4y2 e C = 3x2 – y2

a) A – B = - 2x2+ 4xy – 3y2

b) A – C = - 2x2 + 2xy + 2y2

c) A + B – C = x2 + 6y2

d) A – (B – C) = x2 + 4xy – 4y2

e) B + [A – (B – C)] = 4x2 + 2xy

15) São polinômios: a); b); e)

16) a) [3x.(x + 4)]2 = 9x2.(x+ 4)2 = 9x2.(x2 + 8x + 16) = 9x4 + 72x3 + 144x2

b) (x – 2).(x – 2).(x – 2) = (x2 – 4x + 4).(x – 2) = x3– 6x2 + 12x – 8

17) Resolvendo, temos:a) Valor pago por 15 dias = 25 + 14.20 = 25 + 280 = 305,00b) P(x) = 25 + 20.x

18) De acordo com as informações do pro-blema, temos que:Total = 5.V + 8.B + 10.A, onde: B = 5.A e B = V/2 => V = 2.B => V = 10.A, logo:Total = 5.10.A + 8.5.A + 10.A = 50.A + 40.A + 10.A = 100.A. Como A = 1,00 =>Total = 100.1 = 100,00Gabarito: C

19) 12.(x/3 + x/4 – x/2) = 4x + 3x – 6x = 7x – 6x = xGabarito: A

20) Calculando os quocientes, temos:a) (x3 – 6x2 + 11x – 6) : (x – 3) = x2 – 3x + 2b) (7x3 + 27x2 – 3x + 4) : (x + 4) = 7x2 – x + 1c) (2x2 + 6x + 4) : (x + 1) = 2x + 4d) (2x4 – 3x – 1) : (x2 + 2x – 3) = 2x2 – 4x + 14

21) Sendo: P1 = 3x3 + 4x2 – 3x; P2 = x3 – 3; P3 = x + 1; P4 = x2 + 2xy + y2; P5 = x + y(P1 + P2) : P3 – P4 : P5 = (4x3 + 4x2 – 3x – 3) : (x + 1) – (x2 + 2xy + y2) : (x + y) =>(4x2 – 3) – (x + y) = 4x2 – x – y – 3OBS: P1 = 3x3 + 4x2 - 3x

22) De acordo com as informações do pro-blema, temos:P(y) = y – (1/2)yGabarito: C

23) 23) Efetuando as divisões de forma cor-reta, temos:a) (- 4x3y4) : (6xy3) = (- 2\3)x2yb) (- 2x2y3/5) : (- 3xy4/8) = 16x/15yc) (3x3 + x2 – 3x - 1) : (x2 – 1) = 3x – 1OBS: (3x3 + x2 – 3x - 1) (modificar para esta expressão)

24) De acordo com as informações, temos:P : (x – 2) = (2x + 3) => P(x) = (2x + 3).(x – 2) = 2x2 – x – 6 Gabarito: C

25) Efetuando as divisões nos polinômios abaixo, temos:a) Q(x) = x + 9 e resto = 162b) Q(x) = y – 7 e resto = 0c) Q(x) = 2x + 1 e resto = 0d) Q(x) = 4x + 9 e resto = 23e) Q(x) = 2x – 3 e resto = 22x – 5f) Q(x) = 4x – 3 e resto = 0g) Q(x) = 4x – 5 e resto = 26

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Desafiando:1) De acordo com as informações do proble-ma, temos que: OBS: Lembrando que um jogo de dominó possui 28 peças.O volume de cada peça de dominó será: (28x2y + 112)/28 = x2y + 4

2) De acordo com os polinômios, temos:P1(x) = 2(x – 1)3.(x + 2); P2(x) = 5(x – 1).(x + 2)3; P3(x) = 20(x – 1)2.(x+ 2 )4

Logo:MMC(P1(x); P2(x); P3(x)) = 20.(x – 1)3.(x + 2)4

MDC(P1(x); P2(x); P3(x)) = 1.(x – 1).(x + 2) = x2 - 4

3) Sendo: P1(x) = x2 + 2x – 3; P2(x) = xy – y; P3(x) = 2x – 2 e P4(x) = (x2 – 1).(x2 + 10x + 25), temos que:MMC(P1(x); P2(x); P3(x); P4(x)) = 2.y.(x - 1).(x + 1).(x + 3).(x + 5)2

MDC(P1(x); P2(x); P3(x); P4(x)) = x – 1Logo: MMC : MDC = 2.y.(x + 1).(x + 3).(x + 5)2

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03

PRODUTOS NOTÁVEIS

9


Produtos notáveis

Objetivos• Compreenderosprodutosnotáveis,seusignificadoesuasrepresentações;• Utilizaralinguagemalgébricapararepresentaraáreaeoperímetrodeumafigura;• Reconheceraformafatoradadeumaexpressão.

Praticando1)a)(x+2)2=x2+4x+4

b)(2a+x)2=4a2+4ax+x2

c)(x+y)2=x2+2xy+y2

d)(-3x+5)2=9x2-30x+25e)(2x3+3y2)2=4x6+12x3y2+9y4

f)(xy+z3)2=x2y2+2xyz3+z6

g)(-5+n)2=25–10n+n2

h)( x2+ y

2)2=x

2

4+xy

2+y

2

4

2)Realizandooproduto,temos:a)21.19=(20+1).(20–1)=202–1=400–1=399b)52.48=(50+2).(50–2)=502–22=2500–4=2496c)45.55=(50–5).(50+5)=502–52=2500–25=2475

3)(x+3y)2=x2+2.3xy+y2

4)Sendo:a2+b2=34e(a+b)2=64=>a2+2ab+b2=64=>a2+b2+2ab=64→34+2ab=64=>2ab=64–34=>2ab=30,logo:6ab=30.3=90Gabarito:6ab=90

5)(x+1).(x+2)–2.(x+3)2+(x+2).(x+3)=x2+3x+2–2.(x2+6x+9)+x2+5x+6=(x2–2x2+x2)+(3x–12x+5x)+(2–18+6)=-4x–10

6)a2+6a2b2–12a2b+P=(2a–3ab)2=>P=(4a2–12a2b+9a2b2)–(a2+6a2b2–12a2b)=>P=(4a2–a2)+(-12a2b+12a2b)+(9a2b2–6a2b2)=>P=3a2+3a2b2

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03PRODUTOS NOTÁVEIS

10

7)Sendo:x–y=7exy=60=>(x–y)2=72=>x2–2xy+y2=49=>X2+y2-2.60=49=>x2+y2=120+49=>x2+y2=169Gabarito:C

8)Calculandoosquadrados,temos:a)(x–3)2=x2–6x+9b)(5a2–1)2=25a4–10a2+1c)(xy–z)2=x2y2–2xyz+z2

d)(-3x–5)2=9x2-30x+25e)(2x3+3y2)2=4x6+12x3y2+9y4

f)(xy-z3)2=x2y2-2xyz3+z6

g)(x3–½)2=x6–x3+¼h)(x/2–y/3)2=x2/4–xy/3+y2/9

9) Calculando o quadrado da diferença, te-mos:a)(8–5)2=82-2.8.5+52=64–80+25=9b)(12–2)2=122-2.12.2+22=144–48+4=100c)(20–10)2=202–2.20.10+102=400–400+100=100d)(12–8)2=122–2.12.8+82=144–192+64=16

10)10)Se1/x+x=10=>(x+1/x)2=102=>x2+2.x.1/x+1/x2=100=>x2+1/x2=100–2→X2+1/x2=98Gabarito:A

11)11)(6x5–1/3)2=36x10–2.6x5.1/3+1/9=36x10–4x5+1/9Gabarito:C

12)(2–m)3=23–3.22.m+3.2.m2–m3=8–12m+6m2–m3

Gabarito:D

13)(2x–1)3+(x–1)2=(8x3–12x2+6x–1)+(x2–2x+1)=8x3–11x2+4xGabarito:D

14)Calculandoocubodasoma,temos:a)(x+2)3=x3+6x2+12x+8

b)(a+1/3)2=a3+3.a2.1/3+3.a.1/9+1/27a3

+a2+a3+127

c)(z2+1/3b)3=z6+z4b+z2b2

3 + 127b

3

d)(3x2+2y)3=27x6+54x4y+36x2y2+8y3

15)(2x2+3x–5)=>polinômiodo2ºgrau(x2–2)5=>polinômiodo10ºgrau(x2–3x)3=>6ºgrauLogo:(2x2+3x–5).(x2–2)5.(x2–3x)3=>(2+10+6)=18ºgrauGabarito:C

16)(x+y)2+5Gabarito:C

17)(2a+b)2–(a–b)2=[(2a+b)+(a–b)].[(2a+b)–(a–b)]=(3a).(a+2b)=3a2+6ab

18)Simplificandoasexpressõesaseguir,temos:a)(a–b+c)2–(a+b)2–(a–c)2=(a–b+c)2–[(a+b)+(a–c)].[(a+b)–(a–c)]=>(a–b+c)2–[(2a+b+c).(b+c)]=[(a–b)2+2(a–b).c+c2]–(2ab+2ac+2bc+b2+c2)=>(a2+b2+c2–2ab–2bc+2ac)–(b2+c2+2ab+2ac+2bc)=a2–4ab–4bc

b)(a+b+c)2–(a+b–c)2+(c–2a)2–(c+2b)2–4(a+b).(a–b)=[(a+b+c)+(a+b–c)].[(a+b+c)–(a+b–c)]+[(c–2a)+(c+2b)].[(c–2a)–(c+2b)]–4.(a+b).(a–b)=(2a+2b).2c+(2c+2b–2a).(-2a–2b)–4.(a+b).(a–b)=

EF2M

AT8-

03

PRODUTOS NOTÁVEIS

11

c)(m+n).(m2–m.n+n2)–(m–n).(m2+m.n+n2)=(m3+n3)–(m3–n3)=2n3

19)(4+3)2+(4–3)2=(42+2.4.3+32)+(42–2.3.4+32)=2.42+2.32=2.(42+32)=>72+1=2.(16+9)=>49+1=2.25=>50=50Logo:(a+b)2+(a–b)2=(a2+2ab+b2)+(a2–2ab+b2)=2.a2+2.b2=2.(a2+b2)

Aprofundando 1)Associando,temos:a)(x+1)2=x2+2x+1(II)b)(x+2)2=x2+4x+4(III)c)(3+x).(3+x)=9+6x+x2(I)

2)Calculandoosquadradosaseguir,temos:a)(x+2y)2=x2+4xy+4y2

b)(1+pq)2=1+2pq+p2q2

c)(10p+3q)2=100p2+60pq+9q2

d)(7a+1)2=49a2+14a+1e)(2m3+n)2=4m6+4m3n+n2

f)(8x–7a)2=64x2–116ax+49a2

g)(2n–1)2=4n2–4n+1h)(3x–1/6)2=9x2–x+1/36

3)E=2x+3=>E2=(2x+3)2=4x2+12x+9Gabarito:D

4)(1+xyz)2=1+2xyz+x2y2z2Gabarito:D

5)X+y=8exy=15=>(x+y)2=82=>x2+2xy+y2=64=>x2+y2=64–30=34Logo:x2+6xy+y2=34+6.15=34+90=124Gabarito:B

6)Desenvolvendoasexpressões,temos:I)(a–b)2=a2–2ab+b2≠a2–b2(F)II)a2+b2=(a+b)2–2ab(V)

III)(a+b)2–(a–b)2=[(a+b)+(a–b)].[(a+b)–(a–b)]=2a.2b=4ab(V)

Gabarito:C

7)P2+6pq+X=(p+3q)2=>X=(p2+6pq+9q2)–(p2+6pq)=9q2

Gabarito:C

8)A=(x+1)2+(x–1).(x+1)eB=2x.(x+1)=>A=(x+1).[(x+1)+(x–1)]=2x.(x+1)A+B=2.2x.(x+1)=4x.(x+1)=4x2+4x

9)Deacordocomafigura,temos:A(x)=(x+75).(x–75)=x2–752=x2–5625

10)Completandoatabela,temos:

a b (a-b)2 a2-b25 3 (5–3)2=4 52–32=166 0 (6–0)2=36 62–02=363 -1 (3+1)2=16 32–(-1)2=8-1 4 (-1–4)2=25 (-1)2–42=-15

Quasesempre(a-b)2≠a2-b2

11)11)Deacordocomafigura,temos:A(a)=(a–1)2+a2=2a2–2a+1Gabarito:A

12)Desenvolvendoasdiferençasdequadra-dos,temos:a)X2–32=x2–9b)a2–12=a2–1c)(3x)2–22=9x2–4d)(5a)2–b2=25a2–b2

e)(2x)2–(3y)2=4x2–9y2

f)12–y2=1–y2

g)52–(a3)2=25–a6

h)(a2)2–52=a4–25i)(3/4)2.x2–y2=(9/16).x2–y2

j)a2–(bc)2=a2–b2c2

k)(1/2)2.a2–(1/3)2.b2=(1/4).a2–(1/9).b2

EF2M

AT8-


12

13)(x–y)2–(x+y)2=[(x–y)+(x+y)].[(x–y)–(x+y)]=2x.(-2y)=-4xyGabarito:D

14)14)(-c–d)3=-c3–3c2d–3cd2–d3

Gabarito:D

15)M+n+p=6;m.n.p=2emn+mp+np=11,logo:(m+n+p)2=62=36=>m2+n2+p2+2.(mn+mp+np)=36=>m2+n2+p2=36–2.11=36–22=14Então:(m2+n2+p2)/m.n.p=14/2=7Gabarito:B

16) Calculando os produtos notáveis a se-guir,temos:a)(3a–1)2=9a2–6a+1b)(ax2–y2)3=a3x6–3a2x4y2+3ax2y4–y6

c)OBS:Faltaoexpoentedaexpressão: (a–b/2)

17)Efetuandoasoperações,temos:a)(x2–½)3–(x2+½)3=(x6–(3/2).x4+(3/4).x2–1/8)–(x6+(3/2).x4+(3/4).x2+1/8)=-3x4–¼b)(3+4y)3+(5–2y)3=(27+108y+144y2+y3)+(125–150y+60y2–y3)=152–42y+204y2

18)(x2+1)3=x6+3x4+3x2+1Gabarito:C

19)X3–(x–1)3=x3–(x3–3x2+3x–1)=3x2–3x+1Gabarito:C

20)(x–1)3=x3–3x2+3x–1Gabarito:C

21)(x+2y–2)2=x2+4y2+2+4xy–4x–8yGabarito:C

22)(x+2y–5)2=x2+4y2+25+4xy–10x–20yGabarito:D

23)(2x2+5y2–3)2=4x4+25y4+9+20x2y2–12x2–30y2

Gabarito:D

24)Simplificandoasexpressões,temos:a)(x+1)2+(x+2)2=(x2+2x+1)+(x2+4x+4)=2x2+6x+5b)5x–(2x+3)2=5x–(4x2+12x+9)=-4x2–7x–9c)(2x+1)2+(3x+2)2=(4x2+4x+1)+(9x2+12x+4)=13x2+16x+5d)(x+5)2–x.(x+3)=(x2+10x+25)–(x2+3x)=7x+25

25)X2+6x+9=(x+3)2=(x+3).(x+3)

26)26)Efetuandoasmultiplicações,temos:a)a2+3a+2b)r2+2r–15c)4x3+4x2–3x–3d)(3a)2–b2=9a2–b2

e)3a2+16a–12f)Y2+3y–4g)Y2+4y+4

27)X+y=8exy=15=>(x+y)2=64=>x2+y2+2xy=64=>x2+y2=64–30=>x2+y2=34,logo:x2+6xy+y2=34+6.15=34+90=124Gabarito:B28)P2+6pq+X=(p+3q)2=>X=(p2+6pq+9q2)–(p2+6pq)=9q2

Gabarito:C

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03

PRODUTOS NOTÁVEIS

13

29)Asexpressõessãoequivalentesem:(x+3).(x–4)=x2–x–12=x2–(x+12)(b)Gabarito:B

30)(x+1).(x+2)–2.(x+3)2+(x+2).(x+3)=(x+2).[(x+1)+(x+3)]–2.(x2+6x+9)=(x+2).(2x+4)–(2x2+12x+18)=(2x2+8x+8)–(2x2+12x+18)=-4x–10

Desafiando1)Classificandoasexpressões,temos:a)(x+y)2=x2+2xy+y2(F)b)2x2+2y2=2.(x2+y2)(F)c)(x+y)2=x2+2xy+y2(V)d)(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4(F)e)(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4(F)f)(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4(V)

2)Deacordocomafiguraecomasinforma-çõesdoproblema,temos:m2+n2=80em2+n2+2.m.n=144=>2.m.n=144–80=64=>m.n=32(m+n)2=144=>m+n=12,logo:m=8cmen=4cm

3)X2–4x+22=x2–2.2.x+22=(x–2)2=>P(x)=x–2

4)X=2a–3ey=3a–2a)X2+y2=(2a–3)2+(3a–2)2=13a2–24a+13b)(x+y)2=(5a–5)2=25a2–50a+25c)Y2–(4a–3)=(9a2–12a+4)–(4a–3)=9a2–16a+7

5)Desenvolvendoasexpressões,temos:a)(3x)2–12=9x2–1b)(m)2–(1/m)2=m2–1/m2=(m4–1)/m2

c)(x2)2–(y2)2=x4–y4

6) (√2+1).(√2–1)= (√2 )2–12=2–1=1.Palomanasceunodia1ºdejaneirode2005.

7)Determine:a)x+y=19 2x=24=>x=12,logo:y=7x–y=5

Comisso,temos:x2–y2=(x+y).(x–y)=(12+7).(12–7)=19.5=95

b)X+y=40ex2–y2=240=>(x+y).(x–y)=240=>40.(x–y)=240=>x–y=240/40=>x–y=6

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14

EF2M

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11

ORIENTADOR METODOLÓGICO: ÂNGULOS E TEOREMA DE TALES

1


Ângulos e teorema de tales

Objetivos:• Perceberaorigemdosângulosesuaimportânciaparaosdiasatuais;• Conhecerângulosreto,agudoeobtuso,atravésdeobjetosqueestãoaonosso

redor;• Conhecereaplicaraspropriedadesenvolvendoângulosinternoseexternos;• AprenderaLeiAngulardeTalesesuasaplicações.

Praticando:1)C

2)30º

3)B

4)A

5)D

6)a)Vb)Vc)Fd)V

7)a)xeb;yedb)xea;aeb;yec;ced

8)a)x=56ºb)x=40º

9)21º

10)x=30ºey=60º

EF2M

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11ORIENTADOR METODOLÓGICO: ÂNGULOS E TEOREMA DE TALES

2

11)a)x=87ºey=96ºb)x=138ºey=138ºez=126ºc)x=30ºey=30ºd)x=142º

12)a)med(â)=122°,med(b^)=58°,med(c^)=122°emed(d^)=58b)med(â)=102°,med(b^)=102°,med(c^)=78°emed(d^)=78°c)med(â)=43°,med(b^)=137°,med(c^)=43°emed(d^)=137°

13)a=c=e=g=42°;b=d=f=h=138°

14)a)90º-xb)2.(90º-x)c).x=20º

15)47°30’

16)A

17)a)27ºb)20°c)20ºd)38º

18)110º

19)x=60º,a=50ºeb=70º

20)Xew=87º,yew=93º

21)C

22)a)30ºb)30º

23)a)z=20º,y=100ºex=80ºb)y=60167ex=45º

24)B25)110ºe70º

26)156º

27)C

28)C

29)a)x=70ºb)x=75ºey=150º

30)Aprimeiraorelhaagudo, rostoretoeasegundaorelhaobtuso.

31)a)x=15,5b)x=6c)x=15d)x=7

32)C

33)80m,60me40m

34)A

35)x=c–a–b

36)D

37)C

38)60º+45º=105º

39)C

EF2M

AT8-

11

ORIENTADOR METODOLÓGICO: ÂNGULOS E TEOREMA DE TALES

3

40)2x=120º.x=60º

41)A=80º,C=70º

Aprofundando:1)a)65°56’41’’b)100°c)20°54’49’’d)220°26’18’’e)132°54’50”f)251°52’44’’g)20°55’27”

2)a+B=75°

3)160°

4)330°

5)10°e250°

6)250°

7)238°38’41”

8)a)150°b)45°c)170°

9)a)e^eg^;f^eh^

b)Sim,poissãoAng.Op.Vc)Diminuieaumentad)Aumentaediminiui

10)A

11)a)90°e270°b)45°e315°c)135°e225°

12)15cm,18cme27cm13)A

14)D

15)A

16)C

17)y=22°+15°=37°

18)C

19)a)Maiorlado:BCMenorlado:ACb)Maiorlado:PQMenorlado:PR

20)a)Maiorângulo:CMenorângulo:Bb)Maiorângulo:RMenorângulo:P

21)a)x=97°b)x=54°c)x=35°d)x=50°

22)6°,66°e108°

23)75°

24)A=18°,B=54°eC=108°

25)15°,15°

EF2M

AT8-

11ORIENTADOR METODOLÓGICO: ÂNGULOS E TEOREMA DE TALES

4

26)40°

27)70°

28)90°,60°e30°29)B

30)a)Vb)Vc)V

Desafiando:1)X+x/4=1805x14=180x=144°

b^

EF2M

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12

ORIENTADOR METODOLÓGICO: EQUAÇÃO DO 2o GRAU

5


Polígonos

Praticando

1) Quadriláteros, pentágonos, hexágonos e etc.

2) Triângulo: 0;quadrilátero: 2;octágono: 20.

3) a) 6b) 11c) 15d) 9

4) D

5) B

6) C

7) C

8) D

9) D

10) 30º

11) x = 7

12) Quadrado, retângulo, octógono e hexá-gono

13) Quadrilátero Número de lados Número de dia-gonais

Pentágono 4 2

Hexágono 5 5

Heptágono 6 9

7 14

14) a) 90º

b) 120º

15) B

16) 7,5 cm

17) B

18) B

19) a) x = 60ºb) x = 80º

Aprofundando 1) B

2) a; c; d

3) 15 lados

4) a) ai = 60º e ae = 120ºb) ai = 90º e ae = 90ºc) ai = 120º e ae = 60ºd) ai = 150º e ae = 30º

5) 36º

6) 720º

7) A

8) Octógono

9) C

10) 13

11) D

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12ORIENTADOR METODOLÓGICO: EQUAÇÃO DO 2o GRAU

6

12) a) x = 165ºb) 110º

13) x = 130º e y = 100º

14) α + β = 225º

15) C

16) B

17) 72º

18) C

19) C

20) a) 62º; b) 115º

21) 140º

Desafiando1) B

EF2M

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14

TRIÂNGULOS

1


Triângulos

Objetivos:• Medireclassificarostriângulosquantoaosângulosequantoaoslados;• EncontrarpontosnotáveisdeumtriânguloABC,oOrtocentro,oBaricentro,oIncen-

troeoutraspropriedades;• Identificareaplicaroscasosdecongruênciadetriângulos;• Aplicaraspropriedadesdotriânguloisósceleseaspropriedadesdotriânguloequilátero.

Praticando:1)E

2)A,B,D

3)39

4)–1<x<15

5)a)Escalenoeacutângulob)Escalenoeretânguloc)Isósceleseobtusângulod)Equiláteroeacutânguloe)Isósceleseretângulof)Isósceleseacutângulo

6)B

7)a)Cb)A

8)x=70o

9)x=110o

10)x=6y=9

11)40o

12)B

13)20o

14)10o

15)D

16)B

17)a)Fb)Fc)Fd)Fe)V

18)B

19)A

20)C

EF2M

AT8-

14TRIÂNGULOS

2

21)aeb=45o,ced=25o,êef=20o,g=135o,h=110ºeé=115º

22)a)BMb)CDc) AEd)r

23)15cm

24)20o

25)C

26)a)15,6cmb)19cm

27)7,5cm

28)28cm

29)D

30)C

31)Embalagemdeformatotriânguloequiláterocircunscritoàcircunferência.

32)a)Fb)Fc)Fd)Fe)V

33)Não,porque18émenorque8+7.

34)xy=5

6

35)6,40m

EF2M

AT8-

14

TRIÂNGULOS

3

36)D

37)2p=24cm

38)B

39)AN=18

40)x=4

Aprofundando:1)Escalenoeobtusângulo2)A

3)A

4)B

5)130o

6)60o,40oe80o

7)C

8)

9)a)acutângulob)retânguloc)obtusângulo

10)a-IV;b-III;c-I;d-III

11)C

12)AB=15o,AC=19oeBC=22o

EF2M

AT8-

14TRIÂNGULOS

4

13)x=20o

14)x=60o,y=30oez=60o

15)E

16)E

17)E

18)a)50o

b)39o

19)a)30o

b)x=30oey=30o

20)75o

21)l=2,4

22)x=4

23)FH=24MP=40GH=30

24)420

25)8cm

Desafiando:1)4x+10=2x+40por40dias2)x=15ângulodabase=70o.Logooângulodovérticeé40o.

matemÁtica – 8o ano professor – volume i · – propõe uma reflexão sobre o conceito de...

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