matemática 7 s_8a_ef_volume_4

7a SÉRIE 8oANOENSINO FUNDAMENTAL IICaderno do ProfessorVolume 4

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3 03/06/13 11:4003/06/13 11:4003/06/13 11:4003/06/13 11:40

ENSINO MÉDIO – 1a SÉRIE

CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

1a edição revista

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

São Paulo, 2013

CADERNO DO PROFESSOR

MATEMÁTICAVOLUME 4

MATERIAL DE APOIO AO

ENSINO FUNDAMENTAL – 7a SÉRIE/8o ANO

MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 1 30/07/13 09:57

Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretário-Adjunto

João Cardoso Palma Filho

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão da Educação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenador de Gestão de Recursos Humanos

Jorge Sagae

Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação

Educacional

Maria Lucia Guardia

Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares

Ana Leonor Sala Alonso

Coordenadora de Orçamento e Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno, Pio de Sousa Santana e Roseli Ventrela.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosangela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci e Maria Margarete dos Santos.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida, Sérgio Roberto Cardoso e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz, Thiago Candido Biselli Farias e Welker José Mahler.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bomfim, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Claudia Segantini Leme, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Sofia Valeriano Silva Ratz.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghelfi Rufino, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Aparecido Antônio de Almeida, Jean Paulo de Araújo Miranda, Neide de Lima Moura e Tânia Fetchir.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Ana C. S. Pelegrini, Cíntia Leitão, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Mariana Góis, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita e Tatiana F. Souza.

Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Maria Aparecida Acunzo Forli e Maria Magalhães de Alencastro.


COORDENAÇÃO TÉCNICA Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini (coordenadora) Ruy Berger (em memória)

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

EQUIPE DE PRODUÇÃO Coordenação executiva: Beatriz Scavazza. Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti.

EQUIPE EDITORIAL Coordenação executiva: Angela Sprenger. Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa. Projeto editorial: Zuleika de Felice Murrie.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico).

APOIO Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica S.A.

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº- 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.* As fotografias da agência Abblestock/Jupiter publicadas no material são de propriedade da Getty Images.* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

Senhoras e senhores docentes,

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-

radores na reedição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que per-

mitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula de

todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com os

professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-

dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação

— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste

programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização

dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações

de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca

por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso

do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.

Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-

tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São

Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades

ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,

dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade

da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas

aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam

a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-

ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a

diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.

Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu

trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar

e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.

Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.

Bom trabalho!

Herman VoorwaldSecretário da Educação do Estado de São Paulo

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.

Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7a série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. São Paulo: SEE, 2013.

ISBN 978-85-7849-438-4

1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.

CDU: 373.5:51

S239c


COORDENAÇÃO TÉCNICA Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini (coordenadora) Ruy Berger (em memória)

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

EQUIPE DE PRODUÇÃO Coordenação executiva: Beatriz Scavazza. Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti.

EQUIPE EDITORIAL Coordenação executiva: Angela Sprenger. Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa. Projeto editorial: Zuleika de Felice Murrie.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico).

APOIO Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica S.A.

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº- 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.* As fotografias da agência Abblestock/Jupiter publicadas no material são de propriedade da Getty Images.* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

Senhoras e senhores docentes,

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-

radores na reedição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que per-

mitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula de

todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com os

professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-

dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação

— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste

programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização

dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações

de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca

por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso

do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.

Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-

tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São

Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades

ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,

dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade

da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas

aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam

a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-

ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a

diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.

Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu

trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar

e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.

Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.

Bom trabalho!

Herman VoorwaldSecretário da Educação do Estado de São Paulo


SUMÁRIO

Ficha do Caderno 7

Orientação geral sobre os Cadernos 8

Situações de Aprendizagem 12

Situação de Aprendizagem 1 – Áreas de figuras planas 12

Situação de Aprendizagem 2 – Teorema de Tales: a proporcionalidade na Geometria 25

Situação de Aprendizagem 3 – O teorema de Pitágoras: padrões numéricos e geométricos 39

Situação de Aprendizagem 4 – Prismas 57

Orientações para Recuperação 62

Conteúdos de Matemática por série/volume do Ensino Fundamental 63


7

FICHA DO CADERNO

Áreas, Tales, Pitágoras e volumes

Nome da disciplina: Matemática

Área: Matemática

Etapa da educação básica: Ensino Fundamental

Série/Ano: 7a/8o

Volume: 4

Temas e conteúdos: Áreas de figuras planas

Teorema de Tales: a proporcionalidade

na Geometria

Teorema de Pitágoras

Prismas: área e volume


8

ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS

Os temas escolhidos para compor o conteú-

do disciplinar de cada volume não se afastam,

de maneira geral, do que é usualmente ensi-

nado nas escolas, ou do que é apresentado

pelos livros didáticos. As inovações preten-

didas referem-se à forma de abordagem dos

mesmos, sugerida ao longo de cada Caderno.

Em tal abordagem, busca-se evidenciar os

princípios norteadores do presente currí-

culo, destacando-se a contextualização dos

conteúdos, as competências pessoais envol-

vidas – especialmente as relacionadas com a

leitura e a escrita matemática –, bem como

os elementos culturais internos e externos

à Matemática.

Em todos os Cadernos, os conteúdos estão

organizados em oito unidades aproximadamen-

te de mesma extensão, que podem corresponder

a oito semanas de trabalho letivo. De acordo

com o número de aulas disponíveis por semana,

o professor explorará cada assunto com maior

ou menor aprofundamento, ou seja, escolhe-

rá uma escala adequada para o tratamento do

mesmo. A critério do professor, em cada situa-

ção específica, o tema correspondente a uma das

unidades pode ser estendido para mais de uma

semana, enquanto o de outra unidade pode ser

tratado de modo mais simplificado.

É desejável que o professor tente contem-

plar todas as oito unidades, uma vez que,

juntas, compõem um panorama do conteúdo

de cada volume e, muitas vezes, uma das uni-

dades contribui para a compreensão das

outras. Insistimos, no entanto, no fato de que

somente o professor, em sua circunstância

particular e levando em consideração seu in-

teresse e o dos alunos pelos temas apresenta-

dos, pode determinar adequadamente quanto

tempo dedicar a cada uma das unidades.

Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,

além de uma visão panorâmica de seu conteú-

do, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3

e 4), que pretendem ilustrar a forma de abor-

dagem sugerida, instrumentando o professor

para sua ação em sala de aula. As atividades

são independentes e podem ser exploradas

com mais ou menos intensidade, segundo seu

interesse e de sua classe. Em razão das limita-

ções no espaço dos Cadernos, nem todas as

unidades foram contempladas com Situações

de Aprendizagem. Por isso, priorizou-se ex-

plicitar a forma de abordagem dos temas nas

atividades oferecidas.

Em cada Caderno, sempre que possível são

apresentados materiais disponíveis (textos,

softwares, sites, vídeos, entre outros) em sin-

tonia com a forma de abordagem proposta,

que podem ser utilizados pelo professor para

o enriquecimento de suas aulas.

Compõem o Caderno, ainda, algumas con-

siderações sobre a avaliação a ser realizada,

bem como o conteúdo considerado indispen-

sável ao desenvolvimento das competências

enunciadas para este volume, em cada Situa-

ção de Aprendizagem apresentada.


9

Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4

Conteúdos básicos do volume

No volume 4 da 7a série/8o ano, o foco da

aprendizagem será a Geometria. Abordare-

mos temas importantes, como o cálculo de

áreas, os teoremas de Tales e de Pitágoras e

os prismas. Os conteúdos que foram objeto

de estudo do volume 2, como os processos

que envolvem estimativas, o trabalho com as

operações algébricas e os produtos notáveis,

podem ser agora, no volume 4, utilizados

nas deduções das fórmulas das áreas das fi-

guras mais comuns como o paralelogramo, o

losango, o trapézio e o triângulo. Para esse tra-

balho, nos apoiamos na expressão da área do

retângulo (produto da medida da base pela

medida da altura) e no conceito de equiva-

lência de figuras planas, isto é, figuras que,

mesmo diferentes, possuem a mesma área.

O uso das fórmulas como recurso de síntese

de ideias é apresentado ao aluno como um

modo de orientar sua leitura do enunciado

e das figuras, permitindo a identificação dos

termos necessários à resolução do problema.

Nesse sentido, ante uma situação que envol-

va a determinação da área de um trapézio,

por exemplo, a fórmula pode chamar a aten-

ção do aluno a observar os lados paralelos,

que são as bases, e a distância entre eles, a

altura. Em algumas situações, esses valores

não são fornecidos explicitamente, e é neces-

sária uma análise mais detalhada da figura,

com necessidade de prolongar um lado, traçar

uma altura ou uma diagonal, por exemplo.

Situações como essas reforçam a ideia de que

a compreensão do problema e a aplicação da

fórmula são etapas para resolvê-lo.

Em seguida, será apresentada a propor-

cionalidade que o teorema de Tales estabelece

entre os segmentos determinados por retas pa-

ralelas traçadas sobre transversais, fortalecen-

do o vínculo entre a abordagem geométrica e a

numérica. A partir de situações que exploram

essa proporcionalidade de forma intuitiva, é

sugerida uma demonstração desse teorema

com o objetivo de validar as ideias adquiridas

de maneira informal. Para contornar o pro-

blema de segmentos incomensuráveis que a

demonstração formal exige, e que é tema do

volume 1 da 8a série/9o ano, os argumentos

da demonstração encontram-se apoiados em

cálculos de áreas de triângulos, o que permite

aprofundar o estudo de áreas, tratado na

Situa ção de Aprendizagem anterior.

Os teoremas de Tales e de Pitágoras apre-

sentam-se como excelentes situações para o

professor abordar a Matemática a partir de

uma perspectiva histórica, o que entende-

mos ser uma fonte de motivação e de criação

de significados.

Em relação ao teorema de Pitágoras, o

desafio proposto foi criar, a partir de um con-

junto de situações-problema, uma síntese de

ideias que induzisse à equivalência entre a área

do quadrado construído sobre a hipotenusa e

a soma das áreas dos quadrados construídos

sobre os catetos de um triângulo retângulo.

Com o teorema de Pitágoras, os problemas

geométricos ganham uma qualidade dife-

rente. A relação entre os lados do triângulo

retângulo permite explorar as figuras geomé-

tricas de novas maneiras. Vários conceitos


10

associados a polígonos, como a determinação

das medidas da altura e das diagonais, podem

ser explorados de forma mais significativa.

Nos volumes 3 e 4 da 8a série/9o ano, as noções

sobre o teorema de Pitágoras são ampliadas,

particularmente quando são apresentadas as

relações métricas no triângulo retângulo e as

razões trigonométricas. Com a compreensão

do número π (pi) e o cálculo de área de círculos,

proporemos uma generalização do padrão pita-

górico para outras figuras, além do quadrado,

sobre os lados do triângulo retângulo.

Nós, professores, sabemos a importância

dos teoremas de Tales e de Pitágoras tanto no

estudo da Geometria no Ensino Fundamen-

tal como na compreensão de vários fatos que

serão apresentados aos alunos no decorrer de

sua escolaridade básica. O teorema de Tales

é uma ideia essencial aplicada nos estudos de

semelhança e de razões trigonométricas, temas

do volume 3 da 8a série/9o ano, nos estudos de

colinearidade de pontos e de seções planas

nos sólidos geométricos, objeto de estudo do

Ensino Médio. A aplicação do teorema de

Pitágoras é muito abrangente, podendo ser

identificada na trigonometria, na geometria

analítica, quando são estudadas a distân-

cia entre pontos e as equações das cônicas, e

na geometria espacial métrica.

Na sequência, dando continuidade ao tra-

balho iniciado na 6a série/7o ano, quando foram

apresentadas as formas espaciais, o foco agora

será o estudo particularizado do prisma.

Algumas relações métricas e o cálculo da

área da superfície e do volume tornaram o tra-

balho com os prismas uma síntese de toda a

Geometria discutida no volume, constituindo

uma oportunidade para o professor discutir

as conexões entre as duas geometrias: plana

e espacial.

Na Situação de Aprendizagem 1, o trabalho

com áreas de figuras planas é iniciado com o

estudo sobre equivalência de polígonos, isto é,

polígonos que possuem a mesma área, embora

sejam de formatos diferentes. Em seguida, pro-

pomos alguns procedimentos de estimativa com

o auxílio de malhas. Para o cálculo da área de

polígonos, exploramos a necessidade do uso e

da demonstração de fórmulas, apoiando-nos

na decomposição de figuras e no cálculo

da área de retângulos, procedimento que con-

sideramos conhecido pelos alunos. Na etapa

seguinte, os exercícios propostos como exem-

plos visaram explorar situações de análise de

informações contidas no enunciado ou na figu-

ra, para a aplicação de fórmulas. Vale ressaltar

que os cálculos de áreas de polígonos estarão

presentes em várias situações do volume, não

se esgotando, portanto, nesse momento.

Na Situação de Aprendizagem 2, apresenta-

mos o teorema de Tales e suas aplicações em

situações contextualizadas. Como ponto de

partida, propusemos algumas situações que

exploram, de forma intuitiva, a proprieda-

de que o teorema estabelece. A demonstração

do teorema de Tales, além de dar continuidade


11


aos processos de demonstração iniciados com

as deduções das fórmulas das áreas dos polígo-

nos, permite explorar uma habilidade frequen-

temente aplicada na Matemática: a capacidade

de generalização e validação de fatos apoiados

em situações intuitivas.

Na Situação de Aprendizagem 3, o teorema

de Pitágoras é foco da aprendizagem. Nela,

apresentamos uma sequência de atividades que

explora, em uma perspectiva histórica, a análi-

se de fatos relacionados a padrões numéricos e

geométricos que, por sua vez, tornam-se argu-

mentos na demonstração desse teorema. Esta

Situação de Aprendizagem também apresenta

um conjunto de exercícios exemplares que per-

mite a identificação e a aplicação do teorema

de Pitágoras em situações contextualizadas.

Vale ressaltar que neste momento privilegiamos

os cálculos que envolvem raízes de quadra dos

perfeitos, uma vez que os números irracionais

são objeto de estudo do volume 1 da 8a série/

9o ano. Caso o professor ache conveniente traba-

lhar com esses números no contexto do teorema

de Pitágoras, pode apoiar-se em aproximações

ou mesmo no uso da calculadora.

Dando continuidade ao estudo iniciado na

6a série/7o ano, quando foram trabalhados os

poliedros e a relação de Euler, a Situação de Aprendizagem 4 trata dos prismas e dos cálcu-

los métricos relacionados a eles, como a medida

de diagonais, a área da superfície e o volume. O

trabalho com os prismas também visa construir

um padrão de formalização de conceitos relati-

vos a objetos espaciais, que serão explorados na

8a série/9o ano, com os estudos do cilindro.

Mais uma vez, vale lembrar que as situa-

ções-problema propostas aqui têm por objeti-

vo auxiliar a prática educativa. São exercícios

exemplares que devem ser combinados àqueles

que o professor acumulou em seus anos de do-

cência. Fica a critério do professor a escolha e

a exploração mais detalhadas das Situações de

Aprendizagem propostas.

Quadro geral de conteúdos do volume 4 da 7a série/8o ano do Ensino Fundamental

Unidade 1 – Apresentação do teorema de Tales.

Unidade 2 – Reconhecimento e aplica-ção do teorema de Tales em situações de contexto.

Unidade 3 – Apresentação do teorema de Pitágoras.

Unidade 4 – Reconhecimento e aplicação do teorema de Pitágoras em situações de contexto.

Unidade 5 – Apresentação do cálculo de áreas de figuras planas.

Unidade 6 – Áreas de figuras planas.

Unidade 7 – Prismas.

Unidade 8 – Problemas métricos envol-vendo área e volume de prismas.


12

SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

Nesta Situação de Aprendizagem, o foco do

estudo da Geometria está no cálculo da área de fi-

guras planas. Esse estudo teve início no volume 3

da 5a série/6o ano, quando o uso das malhas se

combinou com a decomposição das figuras. Na

6a série/7o ano, volume 2, o trabalho de “ladrilhar

o plano” possibilitou a apresentação dos polígo-

nos regulares e algumas de suas propriedades. No

volume 1 da 7a série/8o ano, aplicamos noções

de área de retângulos para o desenvolvimento

das expressões algébricas e dos produtos notá-

veis. Dessa forma, fomos construindo a noção

de que medir ou avaliar uma superfície é deter-

minar quantas vezes ela contém outra superfície

tomada por unidade. Ao mesmo tempo, foram

deduzidas fórmulas para o cálculo da área de

algumas figuras específicas, como o retângulo

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Tempo previsto: 10 aulas.

Conteúdos e temas: áreas de figuras planas representadas em malhas, áreas de triângulos e quadriláteros.

Competências e habilidades: estimar áreas de figuras regulares e irregulares; compreender di-ferentes processos de cálculos de áreas; aplicar fórmulas para cálculo de áreas de polígonos; identificar os termos necessários ao cálculo da área de um polígono.

Estratégias: compor e decompor figuras planas, resolução de situações-problema.

e o quadrado. O trabalho que propomos nesta

Situação de Aprendizagem tem por objetivo

explorar e ampliar as ideias e os processos apren-

didos para o cálculo da área de figuras, refinando

o olhar do aluno sobre a identificação dos termos

essenciais para esse cálculo (medidas da base, da

altura e das diagonais).

Para o desenvolvimento desse tema, a no-

ção intuitiva da equivalência de polígonos

apresenta-se como central, servindo de apoio

às deduções das fórmulas para o cálculo das

áreas do paralelogramo, do losango, do tra-

pézio e do triângulo. Em seguida, apresenta-

mos alguns procedimentos para o cálculo de

área de figuras desenhadas sobre malhas qua-

driculadas. Nesta Situação de Aprendizagem,

procuramos também explorar as diferenças

entre os conceitos de área e perímetro e a apli-

cação de conceitos algébricos na resolução de


13


problemas que envolvem o cálculo de áreas.

Cabe ressaltar que nas demais Situações de

Aprendizagem o cálculo da área de polígonos

continuará sendo explorado.

Equivalência de figuras planas

Dois polígonos iguais têm, evidentemen-

te, a mesma área. Dois polígonos diferentes,

entretanto, podem ter a mesma área. Quando

dois polígonos têm a mesma área, dizemos que

eles são equivalentes. A noção de equivalência

pode ser associada à equidecomposição de po-

lígonos. Naturalmente, se dois polígonos são

formados pelas mesmas partes, ou seja, se

são equicompostos, eles têm a mesma área.

Embora menos evidente, a recíproca desse teo-

rema, isto é, que dois polígonos com a mesma

área são equidecomponíveis, foi demonstrada

por dois matemáticos, o húngaro F. Bolyai e o

alemão P. Gerwien, e recebeu o nome de teo-

rema de Bolyai-Gerwien.

O importante, neste momento, é apresentar

ao aluno, de forma intuitiva, as propriedades

relativas a esses teoremas. Duas situações refe-

rentes à forma e às dimensões dos polígonos

devem ser consideradas: na primeira, a equiva-

lência é facilmente percebida na forma, e por

isso aplica-se à decomposição do polígono

(um quadrado formando um retângulo a

partir de um corte feito pela metade de seus

lados); na segunda, ela é percebida pelas

dimensões dos polígonos (o quadrado e o

retângulo têm áreas iguais):

4 m

4 m 8 m

2 m

Consideramos que a primeira forma é mais

conveniente para introduzir esse tema por ser

mais intuitiva e não exigir o uso de fórmulas ou

cálculos.

Pode-se iniciar a discussão apresentando a si-

tuação de equidecomposição a seguir. Tomando

um cartão no formato de um retângulo ABCD,

com um corte em sua diagonal AC, pode-se di-

vidi-lo em dois triângulos (1) e (2). Promovendo

um movimento no triângulo (2), de modo que

o lado BC coincida com o lado AD, obtém-se

uma nova figura: o triângulo EFG.

D

A B

C D

A B

(2)

(1)

C

G

E

F

(2) (1)


14

Embora as figuras sejam diferentes, pode-

mos dizer que o triângulo formado com as pe-

ças do retângulo possui algo em comum com

o retângulo: eles ocupam a mesma porção do

plano, eles têm a mesma área. Neste momento

o professor pode enunciar que “quando duas

figuras planas possuem áreas iguais, dizemos

que elas são equivalentes”.

Atividade 1

Considere o hexágono regular ABCDEF.

Com apenas um corte, construa um paralelo-

gramo que seja equivalente a ele. Se desejar,

com o auxílio de régua e compasso, construa

um hexágono regular de papel e encontre um

corte que o transforme em um paralelogramo.

C

A B

DE

F

Cortando o hexágono pela diagonal CF, obtemos

dois trapézios isósceles. Coincidindo os lados

CD com AF, obtemos um paralelogramo. Para

provar que não há excessos nem espaços vazios

nesse encaixe, podemos argumentar que os dois

trapézios têm a mesma altura e que os ângu-

l os formados no encaixe são suplementares.

C

A B

DE

F

Como dissemos, um segundo caso que

deve ser abordado na equivalência de figuras é

aquele que envolve o cálculo de suas áreas com

o uso das fórmulas, isto é, sem a ne cessidade

da decomposição. Por exemplo, estes retângu-

los são equivalentes porque possuem a mesma

área: A = 72 cm2.

12 cm

6 cm

4 cm

18 cm

Vale observar que, nessa perspectiva, o professor pode explorar o fato de que figu-ras equivalentes (mesma área) podem pos-suir perímetros diferentes. No caso, o pri-meiro retângulo possui 36 cm de perímetro, enquanto o segundo possui 44 cm. A aborda-gem de situações que envolvem cálculos de áreas e perímetros possibilita fixar melhor ambos os conceitos e preparar o aluno para estudar posteriormente a geometria espacial, quando observamos que prismas equivalentes, isto é, com mesmo volume, podem possuir áreas das faces diferentes. Esse fato permite um tipo muito interessante de investigação: o da cons-trução de embalagens com mesma capacidade e menor custo de material.

Atividade 2

Dois retângulos são equivalentes. No primei-

ro, a base mede 125 cm e a altura mede 80 cm.


15


No segundo, a base mede 50 cm e desconhece-se

a altura.

a) Descreva uma forma de encontrar a al-tura do segundo retângulo e encontre seu valor.

Como os retângulos são equivalentes, eles

possuem a mesma área, que, neste caso,

é o produto da base pela altura. Dividin-

do-se essa área pela medida da base do

segundo, encontramos a altura pedida.

Denominando a altura desconhecida por

h, temos:

A = 125 . 80 = 10 000 cm2, logo 50 . h = 10 000

Portanto: h = 200 cm.

b) Compare o perímetro dos dois retângu-los. O que você observa?

O perímetro do primeiro será 410 cm,

enquanto o do segundo será 500 cm. Obser-

va-se que, embora eles tenham a mesma

área, seus perímetros são diferentes.

A atividade a seguir explora, sob forma de

investigação, uma situação que envolve áreas

e perímetros.

Atividade 3

Um retângulo tem base de 16 cm e altura de

4 cm. Encontre as medidas de um retângulo

equivalente a este que possua o menor perímetro

possível.

4 cm

16 cm

Para resolver essa atividade, o aluno pode

inicialmente calcular a área do retângulo:

64 cm2. A pesquisa sobre o retângulo de menor

perímetro equivalente a esse, que pode ser

feita por meio de uma tabela, deve conduzi-

-lo a um quadrado de lado 8 cm. Trata-se

de uma oportunidade para o professor reto-

mar o conceito de que o quadrado é também

um retângulo.

Fórmula de Pick: calculando áreas por contagem

Em 1899, o matemático tcheco Georg

Alexander Pick publicou um artigo que apre-

sentava uma fórmula para cálculo de áreas de

polígonos cujos vértices eram pontos de uma

malha quadriculada. Observando a composi-

ção e decomposição de figuras planas na ma-

lha, Pick percebeu um padrão que associava

a área de um polígono à quantidade de pon-

tos da malha que se situavam no seu interior

e sobre seu perímetro.

A fórmula de Pick, para um polígono cujos

vértices são pontos de uma malha quadricu-

lada, é: AB

I= + −2

1, em que A é a área do

polígono, B é a quantidade de pontos da ma-

lha situados sobre a fronteira do polígono e

I é o número de pontos da malha existentes no

interior do polígono.

O professor pode propor aos alunos a

construção de polígonos sobre malhas e o

cálculo de suas áreas aplicando a fórmula de


16

Pick. A seguir sugerimos três figuras – um

quadrado, um paralelogramo e um triângulo

retângulo – e nos propomos a verificar se há

equivalência entre os três polígonos. O pro-

fessor pode observar, pela contagem de qua-

dradinhos, a validade intuitiva da fórmula de

Pick.

Figura Valor de B Valor de I Cálculo Área

Quadrado 8 1 A = + −82

1 1 A = 4 u

Paralelogramo 6 2 A = + −62

2 1 A = 4 u

Triângulo retângulo 6 0 A = + −62

0 1 A = 2 u

Pelo exposto observamos que o quadrado e

o paralelogramo dados são polígonos equiva-

lentes.

Atividade 4

Em uma tábua foram fixados, à mesma dis-

tância, alguns pregos formando um geoplano.

Com um elástico o professor formou a figura

a seguir. Aplique a fórmula de Pick para en-

contrar a área do polígono ABCD.

A

D

B

C

Na figura temos B = 5, I = 24, logo

A = 2,5 + 24 – 1 = 25,5 u. Observe que o

mesmo problema pode ser resolvido da for-

ma indicada a seguir, pela diferença entre

a área do retângulo completo e a área dos

4 triângulos retângulos que o contornam:

D

A

C

B

A = − + + +9 53 4

2

2 7

2

5 1

2

2 4

2.

. . . .

A u= − =45 19 5 25 5, , .


17


As atividades a seguir, embora explorem o

cálculo de áreas de figuras irregulares, ainda

se apoiam no uso das malhas quadriculadas.

O método aqui proposto permite a estimativa

de áreas e é empregado em várias atividades

do cotidiano.

Calculando áreas de figuras irregulares

Aerofotogrametria é um conjunto de téc-nicas que permite a elaboração de mapea-mentos com base em fotografias tiradas por câmeras instaladas em aviões ou satélites. Fotogrametristas são os profissionais que analisam as formas e as dimensões dos obje-tos baseando-se nessas fotografias métricas. Esses profissionais têm recursos para deter-minar áreas de regiões como cidades, países ou parques ambientais. A seguir, propomos um método para determinar, de forma apro-ximada, áreas de regiões irregulares em um mapa. Neste caso, consideramos que os mapas foram construídos por meio de um sistema de projeção que preserva a propor-cionalidade entre as áreas representadas e as áreas reais (existem mapas que são construí-dos tendo em vista outras finalidades, como as relacionadas à navegação, e que não pre-servam tais proporções).

Atividade 5

Para calcular o valor aproximado da área de uma região irregular, podemos desenhá-la sobre uma malha quadrangular, em que cada quadradinho indica uma unidade de área (1u), e utilizar o seguinte processo:

1. Conta-se o número de unidades da ma-lha totalmente contidas na região, indi-cada por A1.

2. Conta-se o menor número de unidades

da malha que envolve totalmente a re-

gião, indicada por A2.

3. Calcula-se a média aritmética entre as

duas quantidades de unidades da malha

contadas nos processos 1 e 2.

AA A

u=+

=+

=1

212 33

222,52

A

A1 = 12 u

A2 = 33 u


18

4. Se a figura estiver em escala, devemos

conhecer a área da unidade da malha

para multiplicá-la pelo valor encontrado

anteriormente.

Utilize o procedimento que acabamos de

descrever para calcular a área aproximada do

Estado de Minas Gerais destacado no mapa

a seguir.

PARÁ

MATO GROSSO

MATO GROSSODO SUL

TOCANTINS

MINAS GERAIS

SÃO PAULO

PARANÁ

RIO DE JANEIRO

53 000 km2

ESPÍRITO SANTO

RIO GRANDEDO SUL

SANTACATARINA

GOIÁSDF

BAHIA

PERNAMBUCOPARAÍBA

ALAGOASSERGIPE

RIO GRANDEDO NORTE

PIAUÍ

CEARÁMARANHÃOAMAZONAS

ACRE

RORAIMA AMAPÁ

RONDÔNIA

Contamos 4 unidades da malha totalmente

interiores à região do Estado de Minas

Gerais e 18 unidades como o menor nú-

mero de unidades da malha que envolve

completamente a mesma região. Aplican-

do-se o método descrito, temos:

MATO GROSSO

MATO GROSSODO SUL

TOCANTINS

SÃO PAULO

PARANÁ

RIO DE JANEIRO

ESPÍRITOSANTO

GOIÁS

DF

BAHIA

MINAS GERAIS

MATO GROSSO

MATO GROSSODO SUL

TOCANTINS

SÃO PAULO

PARANÁ

RIO DE JANEIRO

ESPÍRITOSANTO

GOIÁS

DF

BAHIA

MINAS GERAIS

© W

agne

r B

arbo

sa B

atel

la a

dapt

ado

por

Con

exão

Edi

tori

al

© W

agne

r B

arbo

sa B

atel

la

adap

tado

por

Con

exão

Edi

tori

al

© W

agne

r B

arbo

sa B

atel

la a

dapt

ado

por

Con

exão

Edi

tori

al


19


AA A

u=+

=+

=1 2

2

4 18

211

Como cada unidade da malha corresponde a

53 000 km2, temos:

A = 11 . 53 000 = 583 000 km2.

A área ocupada pelo Estado de Minas Gerais

é aproximadamente 583 000 km2.

É possível explorar esse exemplo sugerindo

que os alunos pesquisem sobre a “área real” que

o Estado de Minas Gerais ocupa. Como resul-

tado dessas pesquisas, o valor deve aproximar-se

de 588 400 km2. A título de informação, Minas

Gerais é o quarto Estado mais extenso do Bra-

sil e representa, aproximadamente, 6,9% da área

do território nacional.

O professor pode sugerir, se achar opor-

tuno, aos alunos que construam figuras irre-

gulares sobre a malha e que determinem a

área da figura aplicando as duas fórmulas e

comparando os resultados.

As fórmulas das áreas de figuras planas

As noções sobre áreas apresentadas até o

momento envolvem os retângulos e os proce-

dimentos de estimativa e cálculo de áreas de

figuras apoiados em malhas. Inicia-se agora a

etapa de exploração do cálculo da área de ou-

tros polígonos. O ponto de partida foi a primei-

ra noção de área construída com os alunos: a

área de retângulos. É necessário, portanto, que

o seguinte enunciado seja significativo para os

alunos: Se um retângulo tem lados de medidas

a e b, então a sua área é dada por A = a . b.

Com base na fórmula da área do retângulo,

chegamos facilmente à expressão que estabe-

lece a área de um quadrado de lado a: A = a2.

Para calcular a área de um triângulo, parale-

logramo ou trapézio, necessitamos das medidas

da base e da altura. A identificação da altura des -

sas figuras costuma se apresentar como uma

dificuldade para os alunos. No caso do parale-

logramo, cada lado pode ser considerado por

base e a altura será a distância entre essa base e

o lado paralelo a ela. No trapézio, as bases serão

os lados paralelos, e a altura, a distância entre

eles. Já no triângulo, cada lado pode ser consi-

derado base. Nos dois quadriláteros citados é

indiferente considerar se a altura passa ou não

pelos vértices, pois ela é a mesma em qualquer

lugar em que se meça a distância entre as parale-

las. Em geral, no triângulo, a altura será relativa

ao lado que se toma por base e deve passar pelo

vértice oposto ao lado tomado por base.

A aplicação de uma propriedade, de um teo-

rema ou de uma fórmula na resolução de um

problema é importante porque permite chegar-

mos, de forma mais rápida, à solução, sem que

tenhamos que proceder a todos os passos da

demonstração. As fórmulas podem ser entendi-

das como um resumo de raciocínios. Contudo,

suas aplicações não podem prescindir de uma

análise dos dados do problema e de uma “lei-

tura” atenta da figura.

A seguir, vamos deduzir as fórmulas das áreas

das figuras geométricas mais simples: parale-

logramo, trapézio, losango e triângulo. Para

isso, o conceito central a ser aplicado é o da

equivalência entre cada uma dessas figuras e um


20

retângulo. Sugerimos ao professor que apresente

essas demonstrações usando figuras construídas

em papelão e que discuta com o grupo de alunos

cada passo, verificando se todos compreendem.

Uma estratégia que pode ser aplicada é solici-

tar, em alguns momentos, que um aluno retome

os argumentos e as interpretações utilizados na

demonstração e que, ao final desta, cada aluno

faça seu registro no caderno.

Área do paralelogramo

A área do paralelogramo é obtida a partir da

equivalência com a área de um retângulo de base

e altura, respectivamente, congruentes à base e

à altura do paralelogramo considerado. Vamos

mostrar isso a partir do paralelogramo ABCD:

A

D

B

C

Do vértice A, baixamos um segmento AE,

perpendicular às paralelas AB e CD. Nesse

caso, AE será a altura relativa às bases AB e CD.

A

h

ED

B

C

Vamos destacar o triângulo ADE e trans-

portá-lo para o outro lado do paralelogramo,

que, desse modo, vai transformar-se em um

retângulo equivalente ABE’E.

A

h

ED

B

C

A

h

E ’E C b

B

Observando a composição, percebemos que

ambos os quadriláteros possuem a mesma al-

tura, AE, e a mesma base AB. Logo, o mesmo

produto da medida AE. AB, que determina a

área do retângulo, determina também a área

do paralelogramo. Denotando cada dimensão

por h (altura) e b (base), temos que a área do

paralelogramo é: A = b · h

Área do losango

Inicialmente, o professor pode lembrar aos

alunos que chamamos de losango um paralelo-

gramo equilátero, isto é, com lados congruentes.


21


Como o losango é um paralelogramo, sua área

pode ser obtida pelo produto da base (lado do

losango) pela altura (distância entre a base e o

lado paralelo a essa base).

A C

B

D

B

b

h

DA

C

A = b . h

Outra possibilidade é mostrar que o

losango ABCD equivale a um retângulo

ACFE em que um lado é igual a uma das

diagonais do losango e o outro é metade da

outra diagonal.

A CM

FE

B

D

D

d2

A oud= .2

A D d=.2

D

Área do triângulo

A área do triângulo pode ser deduzida a

partir da área do paralelogramo. Dado um

triângulo qualquer ABC, acrescentamos a ele

o triângulo AB’C, idêntico a ele, formando

um paralelogramo.

A

B C

A

h

bB

B’

C

A área do triângulo é, portanto, igual à me-

tade da área do paralelogramo, que é determi-

nada pelo produto da medida da base b pela

altura h. Logo, a área A do triângulo é igual a:

A b h ou Ab h

= =12 2

. .

Área do trapézio

Neste momento, consideramos que os alu-

nos já conhecem algumas ideias e procedimen-

tos para demonstração de fórmulas de áreas.

A fórmula da área do trapézio pode ser encon-

trada por eles a partir de um desafio. Inicial-

mente, o professor divide a sala em grupos de

três alunos e propõe a seguinte atividade:


22

Atividade 6

Trapézio é todo quadrilátero convexo que

tem apenas dois lados paralelos. No trapézio

GALO, dado a seguir, B é a medida da base

GA (base maior) e b é a medida da base LO

(base menor). A altura do trapézio é indi-

cada por h e representa a distância entre as

bases. A área do trapézio é dada pela expres-

são: AB b h

=+( ).

2. Encontre uma maneira de

demonstrá-la apoiando-se na figura a seguir.

A

LOb

base menor

base maior

h altura

BG

Uma das possibilidades é compor um parale-

logramo a partir da justaposição de um tra-

pézio congruente ao dado, segundo a figura:

base menor

base menorbase maior

h altura

B + b

Com ele, aplicando a fórmula da área do pa-

ralelogramo, encontramos: AB b h

=+( ).

2.

Terminadas as deduções dessas fórmulas, o professor pode propor aos alunos uma série de exercícios que já fazem parte de sua seleção, quando trata deste tema, ou que podem ser es-colhidos entre os vários encontrados na maio-ria dos livros didáticos de 7a série/8o ano. Um primeiro tipo de exercício pode ser aquele em

que o aluno deve reconhecer na figura os dados essenciais para o cálculo de sua área. Em um segundo momento, o professor pode explorar enunciados e deixar a construção da figura a cargo do aluno. Outra etapa é retomar o cálcu-lo de áreas combinado aos conhecimentos de

cálculos algébricos, como propomos a seguir.

Atividade 7

A figura indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma peça (as medidas

estão em metro).

x + 10

x x

x x

2x +

4

2x + 4

a) Se calcularmos a área da superfície da folha de latão necessária à construção da peça, ela será uma expressão que depende do valor de x. Escreva essa ex-pressão.

A área da folha pode ser calculada decom-

pondo-a em quatro retângulos:

A = x (2x + 4) + x (2x + 4) + x ( x + 10) +

+ (x + 10) . (2x + 4)

A = 7x2 + 42x + 40.

b) Encontre o valor da área dessa superfí-cie quando x = 4 metros.

Sendo x = 4, substituindo este valor na ex-

pressão anterior, temos: A = 7 . 42 + 42 . 4 + 40,

A = 320 m2.


23


A atividade a seguir representa outro de-

safio aos alunos, pois envolve o conhecimento

de fórmulas e das relações entre as figuras en-

volvidas. Tomando este problema como mo-

delo, o professor pode sugerir aos alunos um

pequeno projeto que explore sobreposições e

dobraduras de figuras.

Vale ressaltar que no percurso das outras Si-

tuações de Aprendizagem, o cálculo da área é

retomado, ampliando sua noção na geometria

plana e espacial.

Atividade 8

Separe duas folhas de papel sulfite. Dispo-

nha uma sobre a outra como mostra a figura.

Discuta com seu colega se a folha de cima co-

briu a metade, mais da metade ou menos da

metade da folha de baixo.

Observando a figura, constatamos que o

quadrilátero que cobre parte da folha pode

ser decomposto em dois triângulos (ABC e

BCD), sendo que ABC possui como base o

lado maior do retângulo (b) e altura, o lado

menor (h). Portanto, sua área equivale à

metade da área do papel retangular. Como

ainda resta computar a área do outro triân-

gulo (BCD), podemos concluir que a área

coberta é maior que metade da folha.

A

b

C

B

h

D

Considerações sobre a avaliação

Espera-se, ao final desta Situação de Apren-

dizagem, que os alunos tenham ampliado

suas estratégias para o cálculo de áreas,

combinando métodos de estimativa e uso de

malhas com o uso de fórmulas. As demons-

trações das fórmulas se apresentam como

um recurso não só de sua compreensão, mas

também de estratégia que os alunos podem

adotar, decompondo figuras em outras mais

simples. A fórmula, como dissemos anterior-

mente, deve auxiliar o pensamento do aluno

na identificação dos elementos essenciais ao

cálculo da área. Ela deve indicar a necessidade

da determinação da base, da altura ou da dia-

gonal e, para isso, o aluno pode aplicar várias

noções relativas às medidas aprendidas ante-

riormente, como o conceito de perímetro e

de proporciona lidade. O trabalho com áreas

permite também retomar muitos casos de fato-

ração (produtos notáveis). Nesse sentido, vale


24

a pena explorar alguns exercícios em que os

dados são indicados por letras. Lembramos

que o cálculo de área é aplicado em várias

situações cotidianas e profissionais. Além do

material que o professor já possui para tra-

tar desse tema, em vários livros e vestibulares

podem ser encontrados bons exercícios para

adaptá-los à linguagem da 7a série/8o ano.

Para avaliação, sugerimos que o professor

aborde problemas:

f que, partindo dos dados nas figuras, neces-

sitem do uso direto da fórmula, o que exige

a identificação dos elementos necessários

ao cálculo da área;

f em que os alunos devam desenhar a figura

e interpretar o enunciado;

f que envolvam termos algébricos;

f que permitam o uso de estratégias de esti-

mativa.

A avaliação, no caso, pode apontar esse

caminho para o professor. A dificuldade em

qualquer um dos aspectos pode ser supera da

com exercícios que tenham maior signi fica-

do para os alunos. Assim, por exemplo, se for

identificada uma dificuldade no tratamento

algébrico, o professor poderá partir de proble-

mas com dados numéricos e ir, pouco a pou-

co, acrescentando termos indicados por letras,

como em um processo de generalização.

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema

O professor pode encontrar um traba-lho muito interessante sobre a fórmula de Pick no site: <http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/index.html> (acesso em: 16 maio 2013) ou no artigo “Como calcular a área de um polígono se você sabe contar” do livro Meu professor de Matemática e outras histórias, de Elon Lages Lima, editado pela SBM. Se o professor achar oportuno, pode apresentar aos alunos o site <http://www.google.com/intl/pt-PT/earth/index.html> (acesso em: 16 maio 2013). Ele apresenta um modelo tridimensional do espaço, do globo terrestre e de várias regiões, construído a partir de fotos de satélites. Seria um interessante recurso para o professor iniciar a discussão sobre a importância da aerofotogra-metria. O professor pode encontrar em vários livros didáticos demonstrações e problemas in-teressantes sobre áreas de figuras geométricas. O texto “Temas e problemas elementares” (SBM – Coleção do Professor de Matemática), de que um dos autores é Elon Lages Lima, apresenta um capítulo sobre áreas com pro-blemas interessantes para serem resolvidos em sala de aula. Por fim, na RPM, Revista do Professor de Matemática, no 11, há um ar-tigo sobre polígonos equidecomponíveis, de auto ria de Elon Lages, em que encontramos a de monstração do teorema que envolve a equidecomposição de polígonos e de sua recí-

proca, denominada teorema de Bolyai-Gerwien.


25


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 TEOREMA DE TALES: A PROPORCIONALIDADE NA GEOMETRIA


Conteúdos e temas: teorema de Tales e suas aplicações em situações contextualizadas.

Competências e habilidades: perceber a Matemática como conhecimento historicamente cons-truído; compreender o processo de demonstração; criar argumentos lógicos; explorar relações entre elementos geométricos e algébricos; desenvolver a capacidade de síntese e generalização de fatos; reconhecer situações que podem ser resolvidas pela aplicação do teorema de Tales.

Estratégias: demonstração, resolução de situações-problema contextualizadas, criação de hipóteses.


O teorema de Tales, ou teorema dos seg-

mentos proporcionais, geralmente é enunciado

da seguinte forma: “Se um feixe de retas pa-

ralelas, indicado pelas retas a, b e c, é inter-

ceptado por duas transversais, d e e, então os

segmentos determinados pelas paralelas sobre

as transversais são proporcionais”.

Aa

Cc

E

e

F

Bb

D

d

ABBC

DEEF

=

A ideia de proporcionalidade que ele expres-

sa é importante na combinação de elementos

geométricos e numéricos porque permite de-

senvolver noções matemáticas, como: o estudo

da semelhança de figuras e o estudo de perspec-

tiva. São várias as possibilidades de aplicação

do teorema de Tales em situa ções-problema

contextualizadas. A partir da noção de seme-

lhança de figuras, em particular de triân-

gulos, objeto de estudo do volume 3 da 8a série/

9o ano, o teorema de Tales passa a ter uma

posição subsidiária, pois a proporcionalidade

que a semelhança sugere é mais abrangente

que a proposta pelo uso desse teorema.

A apresentação da proporcionalidade ex-

pressa pelo teorema de Tales será feita, inicial-

mente, de forma intuitiva, explorando paralelas

traçadas em um triângulo. Em seguida, propo-

mos uma demonstração desse teorema apli-

cando o cálculo de áreas, recurso que evita

o enfrentamento de grandezas incomensurá-

veis, necessárias a sua demonstração formal,

e que será objeto de estudo na 8a série/9o ano.

Uma vez demonstrado o teorema, são sugeri-

das algumas atividades que exploram sua apli-

cação e de sua recíproca.


26

A primeira noção a ser desenvolvida com

os alunos é uma interpretação do teorema

de Tales relativo aos triângulos, que pode

ser expressa da seguinte forma: “Se uma reta

paralela a um lado de um triângulo intersecta

os outros dois lados em pontos distintos,

então ela determina segmentos que são pro-

porcionais a esses lados”.

Isso significa que, dado um triângulo

qualquer de vértices A, B e C, tomado o

segmento DE paralelo à base BC, vale a

proporção:

ADAB

AEAC

=

Ou seja,

de modo

equivalente:

A

B CADDB

AEEC

=

A

D E

B C

Para que os alunos tenham um primeiro

contato com essa proporcionalidade de seg-

mentos em um triângulo, sugerimos que se

desenvolva, de forma dialogada com a classe,

a próxima atividade. A leitura da situação des-

crita no problema deve vir acompanhada de

sua figura. No primeiro momento, o profes-

sor pode dirigir um pouco mais as noções de

proporcionalidade geométrica que serão apren-

didas, apoiando-se no conhecimento de pro-

porcionalidade que os alunos já adquiriram.

Atividade 1

Sílvio é um jardineiro que está trabalhando

no projeto de um canteiro triangular, em uma

esquina da praça de seu bairro.

A

B C

Inicialmente, ele propõe que o canteiro seja

composto por dois tipos diferentes de folha-

gens rasteiras, e que a divisão entre elas seja

feita por uma faixa paralela à base BC, indica-

da na figura pelo segmento DE. Desse modo,

Sílvio fez as seguintes medições no canteiro:

AD = 4 m, DB = 4 m e AE = 3 m. Qual deve

ser a medida de EC?

A

D

4 m 3 m

4 m

E

B C

Neste momento, o professor pode deixar que

os alunos construam algumas hipóteses sobre

a medida de EC. Intuitivamente, eles podem


27


estabelecer o critério de que, sendo D o ponto

médio de AB, E também o será de AC. Por-

tanto, a medida de EC deve ser 3 metros.

Concluída essa primeira fase, o professor

pode propor o mesmo problema, mas admi-

tindo, agora, que o ponto D não seja médio

de AB.

A

D

2 m 1,5 m

6 m

E

B C

Com essa atividade, buscamos evidenciar a

proporcionalidade entre os segmentos deter-

minados pela paralela nos lados do triângulo.

Nesse caso, pode-se pensar de duas formas:

percebe-se a proporcionalidade 2 para 1,5 ou

2 para 6. A medida encontrada para EC deve

ser, portanto, 4,5 metros.

Vamos aproveitar o mesmo enunciado para

explorarmos outras proporções possíveis de se-

rem construídas.

Atividade 2

Pelas dimensões encontradas no primeiro

projeto, Sílvio percebeu que poderia explorar

melhor o canteiro dividindo-o mais uma vez

por outra faixa paralela à base BC, indicada

na figura pelo segmento FG. Isso permitiria

plantar outro tipo de folhagem, deixando o

canteiro ainda mais bonito.

A

D

F

2 m 1,5 m

5 m

1 m

E

G

B C

Com base nessas dimensões encontre as

medidas de EG e GC.

O segmento EG = 3,75 m e GC = 0,75 m.

Neste momento, é conveniente uma pe-

quena generalização da proporcionalidade

entre os lados do triângulo determinados pe-

las paralelas à base. O professor pode apro-

veitar para explorar as proporções entre as

medidas de cada uma das partes como:

ADAB

AEAC

=28

1,5 6

ou

ABFB

ACGC

=81

6,

ou

Professor, neste momento inicial é impor-tante observar se os alunos estabelecem correta-mente as posições dos termos na proporção. Nesse sentido, deve-se ressaltar a ordem dos termos que compõem a proporção.

Atividade 3

Lucas queria estimar a medida mais extensa

do pequeno lago que havia perto de sua casa.

Pensando sobre o problema, ele inicialmente


28

fez um esquema da situação, indicando essa

extensão por AB e imaginando dois triân-

gulos ABD e BCE, sendo as bases AD e EC

paralelas (Figura 1). Depois, foi ao local e

fincou 5 estacas, cada uma correspondente

a um vértice dos triângulos de seu esquema.

Contou com passos as medidas correspon-

dentes aos lados AE, BD e CD e completou

seu esquema como na Figura 2.

C

BEA

D

C

BE4 passos

9 passos

3 passos

A

D

Figura 2

O procedimento criado por Lucas permite

a resolução do problema? Se sua resposta foi

afirmativa, expresse os cálculos efetuados por

ele e o valor, em passos, por ele encontrado

para a extensão AB.

O objetivo desta atividade é fazer o aluno

explicitar, por meio de uma argumenta-

ção lógica, seu conhecimento a respeito da

propriedade aprendida. No caso, o método

aplicado por Lucas permite calcular a me-

dida AB por considerar os segmentos AD e

EC paralelos, determinando, nos lados do

triângulo, segmentos proporcionais. Obser-

vando que a razão de proporcionalidade é

BD ____ DC = 9 __ 3 = 3, podemos concluir que AB = 12

passos.

Na atividade a seguir, apresentamos aos

alunos a expressão do teorema de Tales rela-

cionada ao triângulo. Posteriormente ela será

ampliada para a proporção entre os segmentos

determinados por paralelas nas transversais.

Atividade 4

De uma praça em formato retangular saem

4 avenidas, α, β, ϕ e θ, uma de cada vértice

do retângulo. Ligando cada par de avenidas há

três ruas, 1, 2 e 3, sempre paralelas em cada caso.

Os pontos de encontro entre as ruas de mesmo

número são nomeados pelas letras do alfabeto,

A, B, C, D, etc. Observe na figura os pontos M e

P. O ponto M está na rua “2 Leste”, enquanto o

ponto P está na rua “3 Norte”.

Figura 1


29


Praça

NORTE

Avenida θ

Avenida α

M

P

Avenida β

Avenida ϕ

OESTE

LESTE3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

SUL

L

K

J

A

E

I

C

G

B

F

D

H

a) Considere apenas a parte Sul e as seguin-

tes distâncias entre os pontos e verifique

se é válida a proporção GH ____ HI = DE ____ EF .

GH = 50 m

HI = 40 m

DE = 60 m

EF = 48 m

A solução desta atividade exige um cuidado

na leitura do enunciado e das informações

contidas na gravura.

50 ___ 40 = 60 ___ 48 ⇔ 50 . 48 = 60 . 40 = 2 400.

b) A proporção verificada no item anterior é a expressão matemática do teorema de Tales, segundo o qual “se uma reta para-lela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados”. Considere

agora o lado Leste da praça da figura e escreva a expressão matemática do teore-ma de Tales.

AB

BC

DE

EF= .

c) Dado que AB = 36 m, calcule a medi-da BC.

36 60

4828 8

BCBC m= ⇒ = , .

d) Na figura, a distância entre os pontos J e K é igual a 32 m. Sendo assim, calcule as medidas de KL a partir da proporciona-lidade entre os segmentos do lado Norte e de KL com base na proporcionalidade entre os segmentos do lado Oeste.

JKKL

ABBC KL

KL m= = =32 36

28 825 6

,, .

JKKL

GHHI KL

KL m= = =32 50

4025 6, .


30

Atividade 5

Se a praça da figura da atividade ante-

rior for retirada do mapa, observa-se que as

avenidas θ e ϕ encontram-se no ponto X,

enquanto as avenidas α e β encontram-se

no ponto Y.

NORTE

Avenida θ

Avenida α

M

P

Avenida β

Avenida ϕ

OESTE

LESTE3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

SUL

L

K

J

A

E

I

C

G

B

F

D

H

Y

X

Adotando as medidas fornecidas ou cal-

culadas na atividade anterior, e dado que

JX = 10 m e AY = 8 m, calcule:

a) GX

OESTE

X

I

G

K

J

H

L

3 2

32 m

50 m

10 m

1

JXJK

GXGH

GXGX m= = = =

1032 50

1258

15 625,

JXJK

GXGH

GXGX m= = = =

1032 50

1258

15 625, .

b) DY

M

LESTEA

Y

E

C

B

F

D

3

2

36 m

8 m

60 m

1

AYAB

DYDE

DYDY m.= ⇒ = ⇒ = =8

36 60403

13 33, ...


31


A próxima etapa do nosso estudo contem-

plará a demonstração do teorema de Tales.

Para dar início a ela, sugerimos que o professor

aproveite a situação para fazer considerações

históricas sobre a vida de Tales, remetendo

às formas particularmente diferentes que o co-

nhecimento matemático tinha nas civilizações

egípcia e grega.

Uma perspectiva histórica: quem foi Tales?

Na Ciência, temos alguns exemplos de pro-

priedades ou fórmulas vinculados a nomes de

seus proponentes como: a fórmula de Bhaskara,

as leis de Newton, as leis de Kepler, a geometria

euclidiana e os teoremas de Tales e de Pitágoras.

Esse nexo entre “autor e obra” serve, muitas

vezes, como fonte de argumentação e indica-

ção da aplicação da ideia que ele representa.

Dessa forma, é comum usarmos expressões

como: “aplique Tales”, “resolva por Pitágoras”

ou “resolva por Bhaskara”. A noção expressa

pelo teorema de Tales abre um grande espectro

de novos problemas geométricos.

No tema desta Situação de Aprendizagem,

dois fatos devem ser destacados: quem foi Tales?

O que é um teorema?

Com a primeira questão, o professor tem

a oportunidade de inserir a história da Mate-

mática em seu curso. A abordagem histórica

possibilita o combate à visão do conhecimento

como pronto e acabado. Nesse caso, ela per-

mitirá uma comparação entre formas diferen-

tes de fazer Matemática. A forma empírica,

do “ensaio e erro”, que caracteriza a mate-

mática dos egípcios e babilônios, tornou-se

o fundamento da forma dedutiva empregada

pelos gregos. É impossível omitir uma ou

outra na construção do conhecimento geomé-

trico. Tales é o personagem que circula entre

as riquezas culturais de ambas as civilizações

e que, criando seus próprios nexos, forma a base

do que seria a tradição grega de fazer Matemá-

tica. Com Tales, a Geometria se transformou

de conhecimento empírico, cujos resultados

se deduzem diretamente da prática, em conhe-

cimento dedutivo, baseado na aplicação das

leis da lógica. Contudo, os trabalhos de Tales e

Pitágoras ainda careciam de uma organização,

e essa tarefa coube a outro geômetra grego,

Euclides, em meados do século III a.C.

Tales viveu por volta de 585 a.C. e apren-

deu muito com a matemática egípcia. À sua

vida estão associadas grandes façanhas, como

a de prever um eclipse e a de medir a altura

da pirâmide de Quéops observando sua som-

bra. Pelo que se sabe, é o primeiro personagem

da história a quem se atribuem descobertas

na Matemática desligadas da Geometria do

mundo real.

Atividade 6

Inicialmente, o professor pode orientar uma

pesquisa sobre a vida de Tales. É possível que

haja controvérsias entre algumas informa-

ções que os alunos encontrarão. Isso, como

dito anteriormente, deve-se ao fato de serem

poucos os registros sobre sua vida. O profes-

sor pode ilustrar esta aula com o apoio de um

mapa, localizando o Egito, a Grécia e, parti-

cularmente, a cidade de Mileto, antiga cidade

grega, hoje pertencente à Turquia.


32

A noção de teorema

A atividade prática dos povos egípcios e

babilônios levou à descoberta de um gran-

de número de fatos geométricos. Esses eram

aprendidos indutivamente por meio de pro-

cessos experimentais. No contato com essa

produção, os geômetras gregos perceberam

que alguns desses fatos podiam ser obtidos

a partir de outros, por deduções lógicas. Isso

lhes sugeriu que algumas verdades geomé-

tricas, tomadas como mais simples e gerais,

serviriam de base para a dedução de outras

propriedades geométricas.

Tendo por base um pequeno número de

afirmações tomadas como verdadeiras, deno-

minadas axiomas ou postulados (do grego,

digno de confiança), demonstrava-se um con-

junto de proposições geométricas, ao qual se

deu o nome de teoremas. Essa foi uma das

maiores contribuições gregas ao conhecimen-

to matemático e científico: o método deduti-

vo. Tales é considerado um dos fundadores

da geometria dedutiva.

Como dissemos, no início desta Situação de Aprendizagem, queremos demonstrar que “se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas transversais, então os segmentos de-terminados pelas paralelas sobre as transver-sais são proporcionais”.

Em um processo de demonstração, o des-

taque fica por conta das argumentações que

devem ter por base conhecimentos já adquiri-

dos. A seguir propomos uma apresentação do

teorema de Tales, cuja base da argumentação é

o conhecido cálculo da área de um triângulo. A

vantagem dessa abordagem é não precisar se

referir a segmentos incomensuráveis, nem à no-

ção de semelhanças de figuras, temas da 8a série/

9o ano. Dando continuidade ao trabalho de

demonstrações, que teve início com as áreas,

o objetivo aqui é apresentar aos alunos uma

forma característica de fazer Matemática, for-

ma essa que será também abordada na Situa-

ção de Aprendizagem 3, cujo tema é o teorema

de Pitágoras.

A demonstração do teorema de Tales

Atividade 7

Para a demonstração do teorema de Tales,

iniciaremos por sua interpretação relativa aos

triângulos, já explorada de forma intuitiva nas

atividades anteriores. Segundo esse teorema:

“Se uma reta paralela a um lado de um triân-

gulo intersecta os outros dois lados em pontos

distintos, então ela determina segmentos que

são proporcionais a esses lados”.

Inicialmente vamos considerar um triân-

gulo qualquer de vértices A, B e C. “Se uma

reta paralela a um lado de um triângulo

(considerado por base) intersecta os outros

dois lados em pontos distintos, então ela de-

termina segmentos que são proporcionais a

esses lados”. O professor pode começar a ati-

vidade construindo com os alunos a seguinte

representação: dado um triângulo qualquer

de vértices A, B e C, tomado o segmento DE

paralelo à base BC, queremos mostrar que é

válida a proporção AD ____ DB = AE ____ EC .


33


A

B C

A

D E

B C

Começamos por estudar a área do triân-

gulo ADE: ela pode ser calculada de duas

formas distintas:

A

D E

B C

A

D E

B C

AADE = 1

2 . AE . DG ou AADE = 1

2 . AD . EF

Dessa forma, temos:

AE . DG = AD . EF, que é o mesmo que a pro-

porção AE ____ AD = EF ____ DG (1)

Vamos agora observar os triângulos DEC

e BDE. Destacando que a base dos dois triân-

gulos é DE e que a altura correspondente a ela

é também a mesma (h), podemos concluir que

possuem a mesma área.

ACDE = ABDE

A

D E

G

B C

h

F

A

D E

B C

h

(h: altura relativa à base DE, ou ao vértice C,

considerando o triângulo CDE; ou ao vértice

B, considerando o triângulo BDE).

Contudo, podemos determinar a área des-

ses triângulos de outra forma:

ACDE = 1

2 . CE . DG e ABDE = 1

2 . BD . EF

Logo, CE . DG = BD . EF e EC ____ BD = EF ____ DG (2)

FG


34

Comparando as expressões (1) e (2), temos

que: EC ____ BD = AE ____ AD

Ou, como preferimos: AD ____ DB = AE ____ EC

A

B

D

DB EC

C

E

AD AE

Com essa demonstração construímos a pro-porcionalidade entre as partes dos lados do triângulo obtidas por segmentos determinados por uma paralela a uma base. Outro passo nesse estudo é generalizar essa proporção quando se toma a parte e o todo dos segmen tos deter-minados por uma paralela à base. Isso é pos-sível por meio da adição da área do triân gulo ADE às áreas dos triângulos CDE e BDE.

Como vimos, ACDE = ABDE, logo:

ACDE + AADE = ABDE + AADE, isto é: AACD = AABE

A

B

D

C

E

F

A

D

CB

E

G

h

Observando os triângulos ACD e ABE, podemos deduzir que:

AACD = 1 __ 2 AC . DG e AABE = 1 __ 2 AB . EF

Como as áreas são iguais temos que:

1 __ 2 AC . DG = 1 __ 2 AB . EF e, portanto,

AC . DG = AB . EF, que pode ser escrito

como a seguinte proporção:

EF ____ DG = AC ____ AB

Mas, como visto em (2) EC ____ BD = EF ____ DG ,

logo EC ____ BD = AC ____ AB

Portanto, concluimos que: AB ____ DB = AC ____ EC

A

B

D

DB EC

C

EAB AC

Outra forma de chegarmos à mesma con-clusão é por meio da adição de uma unidade em cada termo da proporção encontrada an-teriormente. Assim:

AD ____ DB + 1 = AE ____ EC + 1

AD + DB _________ DB = AE + EC _________ EC

AB ____ DB = AC ____ EC

Essa demonstração que fizemos, contudo, não permite uma generalização para a interpre-tação do teorema de Tales como: “Se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas trans-versais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcio-nais”. Isto porque a demonstração feita até aqui está associada à proporcionalidade que envolve segmentos que têm uma de suas extremidades num vértice do triângulo. Para essa generaliza-ção propomos o seguinte procedimento:

1. Tomamos inicialmente o mesmo triân-

gulo ABC e prolongamos dois de seus


35


lados de modo a criar uma nova base

PQ, paralela à BC.A

B

P Q

C

2. Da mesma forma que criamos a propor-

ção AD ____ DB = AE ____ EC , encontraremos a pro-

porção AB ____ BP = AC ____ CQ , que pode ser escrita

como AC ____ AB = CQ

____ BP .

3. Retomamos a proporção AB ____ DB = AC ____ EC ,

que é equivalente à AC ____ AB = EC ____ DB .

4. Comparando as proporções dos itens

1 e 2, podemos escrever que CQ ____ BP = EC ____ DB

e, portanto, estamos aptos a concluir

que DB ____ BP = EC ____ CQ .A

B

D

P Q

C

E

Com essa proposição, o teorema de Tales

torna-se independente da figura do triângulo,

podendo ser interpretado como proporções

entre segmentos obtidos por retas paralelas

e transversais.

Vale salientar que a recíproca desse teore-

ma é verdadeira. Isto é: dado um triângulo de

vértices A, B e C, tomando-se os pontos D e

E sobre os lados ÄÄÄ

AB e ÄÄÄ

AC , respectivamente, se

AD ____ DB = AE ____ EC , então ÄÄÄ

BC é paralelo a ÄÄÄ DE .

Determinação da distância entre dois pontos inacessíveis

O teorema de Tales é aplicado a várias situa-ções em que se necessita determinar a distância entre dois pontos inacessíveis entre si. O objeti-vo das atividades propostas a seguir é colocar o aluno diante de situações-problema que envol-vem, de forma prática, um método de determi-nação de distâncias usando o teorema de Tales.

Atividade 8

Como alternativa à crise energética, uma cidade resolveu construir uma pequena hidre-létrica aproveitando a correnteza de um rio situado nas suas proximidades. A figura a se-guir representa parte do projeto da construção da barragem da hidrelétrica. Considerando DE paralelo a BC, qual deve ser o compri-mento da barragem a ser construída?

24 m

B

x

D18 m

C

60 m

E

A


36

Observando as condições da figura, podemos

montar a seguinte proporção:

24 ___ x = 18 ___ 42 , o que implica x = 24 . 42 ______ 18 = 56.

Logo, a barragem terá 56 m de comprimento.

Atividade 9

Informações sobre temperaturas são mui-to úteis e frequentes no nosso cotidiano. Nas previsões do tempo são comuns as informa-ções das temperaturas máxima e mínima no decorrer de um período. Quando nos sentimos doentes, uma das primeiras providências a ser tomada é medir a temperatura do corpo, com o auxílio de um termômetro. A escala térmica mais utilizada no Brasil é a Celsius (ºC). Seu nome é uma homenagem ao astrônomo sue-co Anders Celsius (1701-1744), que a propôs em 1742. A escala térmica considera, como referências, o ponto de congelamento e o pon-to de ebulição da água. Na escala Celsius, o ponto de congelamento é 0 ºC e o de ebulição, 100 ºC. Contudo, existem diversas escalas tér-micas. Nos Estados Unidos e na Inglaterra, a escala utilizada é a Fahrenheit (ºF), que con-sidera 32 ºF o ponto de fusão (congelamento) e 212 ºF o ponto de ebulição. De posse desse conhecimento, podemos montar o seguinte diagrama:

100

Tc

0

ºC

212 ebulição da água

fusão do gelo

Tf

32

ºF

a) Encontre a expressão que determina a conversão da temperatura na escala Celsius para a escala Fahrenheit.

100

Tc

0

ºC


fusão do gelo

Tf

32

ºF

T Tc f−

−=

−

−

0100 0

32

212 32

T Tc f

100

32

180=

−

TT

cf=−5 32

9

.( )

b) O noticiário informa que em Londres a temperatura é de 46 ºF. Converta essa temperatura em grau Celsius e res-ponda: está frio em Londres?

Aplicando a expressão encontrada no item

anterior, temos que:

Tc = 5 (46 – 32)

__________ 9 = 5 . 14 _____ 9 7 7,8 ºC.

Temperatura de um ambiente frio.

c) Em contato com um cidadão america-

no, que deseja passar as férias de janeiro

no Brasil, uma agente informa que, nes-

se período, a temperatura média em

certa cidade no Nordeste brasileiro é de

32 ºC. Sem saber julgar a temperatura

pela escala Celsius, o turista pede que

a agente informe a temperatura na esca-

la Fahrenheit. Qual é a medida encon-

trada pela agente nessa escala?


37


Podemos aplicar novamente a expressão

dada no primeiro item ou aplicar o teorema

de Tales nas escalas:

32 0100 0

32

212 32−

−=

−

−

Tf

32

100

32

180=

−Tf

Tf − =3232 180

100

.

T Ff = + =57 6 32 89 6, , º

100

32

0

ºC


fusão do gelo

Tf

32

ºF

A temperatura de 32 ºC corresponde a 89,6 ºF.

Caso o professor queira, pode ainda explo-

rar uma terceira escala térmica, o Kelvin (K).

O zero Kelvin, quando convertido para grau

Celsius, equivale à temperatura de –273 ºC.

100

0

–273

ºC

373ebulição da água

fusão do gelo

273

0

K

A atividade a seguir, embora envolva

a relação entre duas unidades de medidas

diferentes, também pode ser interpretada

como uma situação de aplicação do teore-

ma de Tales. Essa ideia é explorada de forma

mais sistemática no estudo referente a fun-

ções lineares.

Atividade 10

Para apoiar uma planta trepadeira, um jar-

dineiro constrói, com algumas varas de bambu,

uma treliça. Tomando duas varas transversais,

ele fi xou, com corda, outras três varas com a

intenção de que elas fi cassem paralelas umas

às outras. Terminada a construção, ele efetuou

algumas medidas que estão expressas na fi gura

a seguir. Com base nas medidas apresentadas,

é possível afi rmar se ele conseguiu o parale-

lismo desejado? Em caso negativo, o que ele

deverá fazer para consegui-lo?

20 cm

26 cm

30 cm

36 cm

A intenção dessa atividade é explorarmos

a recíproca do teorema de Tales. No caso,

aplicando as proporções dos segmentos, te-

mos que 20

26

30

36≠ . Logo, os três bambus não

estão paralelos.

20 cm

26 cm

30 cm

x


38

Para resolver essa situação, ele poderá pensar de algumas formas, entre elas, ampliar o segmento de 36 cm para 39 cm, pois indi-cando seu segmento correspondente por x, en-

contramos na proporção 2026

=30x

, x = 39 cm.


Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos tenham compreendi-do os princípios do método de demonstra-ção em Geometria e que tenham ampliado seus conhecimentos sobre proporcionalida-de, observando que a Geometria permite o enfrentamento de várias situações-problema contextualizadas. Espera-se também que a abordagem histórica tenha sido um elemento motivador do curso. É comum alguns alunos reagirem de forma negativa à perspectiva his-tórica da Matemática, essencialmente por-que ela exige leitura e compreensão de textos. Vale lembrar que as competências leitora e escritora são preocupações permanentes des-te Projeto, e que, portanto, devemos manter o firme propósito de proporcionar aos alu-nos Situações de Aprendizagem em que elas

sejam exploradas.

O reconhecimento de uma situação em que se aplica o teorema de Tales ou sua recíproca é es-sencial nesta etapa do trabalho. Na 8a série/9o ano, quando o foco da aprendizagem for semelhança de figuras, em especial semelhança de triângulos, essa habilidade será retomada e aprofundada.

Para avaliação, o professor pode incluir ou-tros problemas que já fazem parte de sua lista de exercícios ou pesquisar, nos livros didáticos,

outras situações que permitam ao aluno aplicar, em diferentes contextos, o teorema de Tales.


No livro As demonstrações em Geometria, de A. I. Feitosa (Coleção Matemática Aprendendo e Ensinando, da Editora Atual e Editora Mir), encontramos um grande suporte conceitual sobre o tema “demonstrações geométricas”. O livro O teorema do papagaio, de Denis Guedj (Cia. das Letras), é uma obra instigante, que nos leva a pensar sobre vários problemas mate-máticos a partir de uma perspectiva histórica. Particularmente no capítulo 3, o personagem Pierre Ruche, um antigo livreiro francês, aborda a vida e as façanhas de Tales de forma simples e muito envolvente, afinal trata-se de “um thriller da história da Matemática”. É um livro para jovens repleto de enigmas e fatos importantes da história da Matemática.

O livro História da Matemática, de Carl

Boyer, é outra referência importante quando

pensamos na abordagem histórica da Mate-

mática. O livro Euclides, a conquista do espaço,

do matemático Carlos Tomei (publicado pela

Editora 34, na Coleção “Imortais da Ciência”),

está escrito em linguagem acessível e apresen-

ta os fatos essenciais do processo de axioma-

tização que Euclides inaugura na Ciência. Na

RPM (Revista do Professor de Matemática),

nos números 21 e 23, encontramos uma dis-

cussão sobre a forma como demonstramos o

teorema de Tales.


39


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 O TEOREMA DE PITÁGORAS: PADRÕES NUMÉRICOS

E GEOMÉTRICOS


Assim como no teorema de Tales, no en-

sino do teorema de Pitágoras a perspectiva

histórica se justifica como elemento motiva-

dor da aprendizagem. Nesse caso, a tarefa do

professor é facilitada pelo grande número de

publicações sobre o tema.

Aqui comentaremos as diferenças entre a

matemática aplicada dos egípcios e a mate-

mática abstrata dos gregos, destacando a im-

portância da combinação entre elas; afinal,

a abstração permite que essas noções sejam

aplicadas em diferentes contextos. A forma-

lização do conhecimento feita por Pitágoras,

a partir de dados empíricos dos egípcios, for-

talece tanto o papel da história como o da

modelagem no ensino de Matemática.

As atividades iniciais permitem a constru-

ção da lógica que servirá de referência para

o professor demonstrar o teorema de Pitágo-

ras, que pode ser enunciado como:


Conteúdos e temas: teorema de Pitágoras; demonstrações geométricas e algébricas.

Competências e habilidades: justificar um resultado a partir de fatos considerados mais sim-ples; identificar padrões numéricos e geométricos; interpretar enunciados; perceber a Mate-mática como conhecimento historicamente construído.

Estratégias: proposição de atividades de investigação, resolução de problemas.

Em um triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cons-truídos sobre os catetos.

a2 = b2 + c2

b

A

C

c

a

B

b2

c2

a2

Lembramos que o teorema de Pitágoras é re-

tomado na 8a série/9o ano em dois momentos: no


40

volume 3, quando o foco será as relações mé-

tricas no triângulo retângulo, e no volume 4,

quando, após os estudos relativos ao número

p (pi) e à área dos círculos, o teorema é genera-

lizado com a exploração de qualquer figura se-

melhante sobre os lados do triângulo retângulo.

Uma perspectiva histórica

Assim como na aprendizagem do teorema

de Tales, propomos ao professor que organize,

junto aos alunos, uma atividade de pesquisa so-

bre Pitágoras e sua visão de mundo. No debate

de apresentação, o professor pode buscar para-

lelos entre Tales e Pitágoras, como serem gre-

gos, terem vivido parte de suas vidas no Egito,

interessarem-se por assuntos mais abstratos

da Matemática e aplicarem o processo de-

monstrativo neste campo de conhecimento.

Pitágoras de Samos (ilha do mar Egeu) foi

um filósofo que exerceu, no século VI a.C., forte

influência na civilização grega. Em seus traba-

lhos, identificamos a originalidade de constru-

ção de um sistema formal de reconhecimento,

classificação e exploração de padrões numéri-

cos e geométricos. O centro da motivação das

pesquisas de Pitágoras e seus discípulos en-

contra-se na ideia de conceber uma ordenação

matemática do cosmos. Os pitagóricos acredi-

tavam que os segredos espirituais do Universo

poderiam ser desvendados por relações numé-

ricas e, para eles, os números deixaram de ser

utilizados somente para contagem e revelaram

outras propriedades. Embora a motivação pos-

sa ser alvo de críticas, deve-se admitir, contudo,

que ela gerou uma contribuição fantástica ao

conhecimento matemático.

Consideramos os fatos relacionados às pró-

ximas três atividades como essenciais na cons-

trução lógica da demonstração do teorema de

Pitágoras. O objetivo é colocar o aluno diante

de situações-problema próximas às enfrenta-

das pelos pitagóricos. Esse resgate combina a

história da Matemática e a resolução de pro-

blemas em uma só abordagem de ensino.

Atividade 1

É muito difícil estudar Geometria sem o

apoio de desenhos. Os gregos, em muitas de

suas demonstrações geométricas, apoiavam-

-se na observação de figuras. A figura é um

importante veículo para a imaginação ma-

temática. Para ilustrar o valor da figura no processo demonstrativo, pode-se recorrer à história da morte de Arquimedes. Uma das várias versões narra que Arquimedes encon-trava-se diante de uma figura, quando sua cidade, Siracusa, foi invadida pelo exército romano. Um soldado, inclinando-se sobre uma figura desenhada na areia, ordenou a Arquimedes que o acompanhasse, ao que este teria respondido: “Não perturbe meus círculos”. Sentindo-se desafiado, o soldado desembainhou a espada e o matou.

Um dos problemas clássicos da Antiguidade grega era o da duplicação da área do quadra-do. Imagina-se que Tales tenha sido o primeiro a demonstrá-lo. No entanto, esse problema não escapou também das anotações de Pitágoras. O problema consiste em, dado um quadrado, en-contrar outro que tenha o dobro de sua área. Na malha a seguir construiu-se um quadrado. Encontre outro quadrado cuja área seja o do-bro da dele.


41


Se o aluno buscar a forma algébrica para resolver este problema, ele encontrará uma raiz não inteira, que dificilmente poderá ser obtida, a não ser por aproximação. A exemplo dos antigos gregos, podemos resol-ver o problema evitando o número irracio-nal. Para isso, é preciso que nos apoiemos no método figurativo, como mostramos na solução.

A1

A2

A3 A4

A5

Em caso de dificuldade, o professor pode

indicar alguns passos para que os alunos re-

solvam o problema. Um deles é comentar que

a área do quadrado preto é igual à de dois

triângulos retângulos isósceles, obtidos pelo

corte do quadrado pela sua diagonal.

A atividade a seguir retoma as ideias trata-

das no volume 1 da 7a série/8o ano, quando as

propriedades algébricas foram resultado de

uma interpretação de padrões geométricos.

Naquela ocasião, o foco estava na expressão

algébrica associada ao padrão numérico;

agora o objetivo é utilizar a forma figurada da

sequência como recurso para a compreen são

de um fato numérico.

Atividade 2

Na investigação de padrões em sequên-

cias numéricas, Pitágoras apoiava-se na

representação figurativa destes. Números

figurados são aqueles representados por

determinada configuração geométrica. A

forma figurada permite observar a “anatomia”

da sequência. A seguir, cada termo da se-

quência está representado por certa dispo-

sição de quadradinhos.

a) Faça a representação figurativa dos pró-ximos dois números da sequência.


42

b) Associando cada figura ao número de quadradinhos que a compõem, escre-va a sequência numérica que corres-ponde à sequência figurativa. Você reconhece os termos dessa sequência?

É uma sequência de números ímpares {1, 3,

5, 7, 9, 11, 13}.

c) Observando a sequência figurativa, percebemos que o primeiro elemento é um quadrado de uma unidade de lado. Quando encaixamos o segundo termo no primeiro, completamos um quadrado cujo lado tem uma unidade a mais que o primeiro termo. Numeri-camente encontramos a seguinte rela-ção: 1 + 3 = 4.

1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Quando encaixamos o terceiro termo nesse quadrado, completamos um novo quadrado que tem por lado, novamente, uma unidade a mais que o anterior. Numericamente temos: 1 + 3 + 5 = 9. Em cada encaixe em um quadra-do de lado x obtemos um quadrado maior, de lado x + 1. Repita essa operação com os outros termos da sequência. Organize suas anotações e, refletindo um pouco mais sobre as condições oferecidas no problema, expresse, em palavras, uma conclusão que relacione o quadrado dos números naturais com os números ímpares.

Da sequência apresentada podemos dizer que o quadrado de um número natural n, não

nulo, pode ser obtido pela soma dos n primei-

ros números ímpares.

Atividade 3

A propriedade que concluímos na ativida-

de anterior foi uma das que mais fascinaram

Pitágoras.

a) Aplique-a para encontrar o quadrado do número 13.

132 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 +

+ 19 + 21 + 23 + 25 = 169.

b) Como podemos aplicar esse método para determinar a raiz quadrada de um número? Aplique-o para o número 64.

64 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15.

Logo, a raiz quadrada de 64 é 8, pois ele é

decomposto na soma dos oito primeiros nú-

meros ímpares.

c) Verifique que a raiz quadrada de 72 não é um número inteiro.

O número 72 não pode ser decomposto so-

mente pela soma de números ímpares

72 = 1 +3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 8.

Atividade 4

A civilização egípcia é notável quando o assunto é construção. Apoiada em uma mate-mática experimental, essa civilização construiu um conjunto arquitetônico cujo destaque são as enormes pirâmides. Grande parte do pro-cesso de construção civil se apoia na formação de ângulos retos. Para se ter uma ideia, a base da pirâmide de Quéops, construída há mais de 4 500 anos, é composta por pedras esquadreja-das e tem por base um quadrilátero muito pró-ximo de um quadrado. O problema de traçar ângulos retos foi resolvido pelos egípcios de


43


modo tão engenhoso quanto simples. Como descobriram que todo triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento era necessaria-mente um triângulo retângulo, os arquitetos e construtores egípcios usavam uma corda com

13 nós distribuídos em intervalos iguais. Do-brando a corda de modo que formasse um tri-ângulo de lados 3, 4 e 5, e emendando-a pelas extremidades (1o e 13o nós), obtinham um ân-gulo reto, oposto ao lado 5.

Como todo projeto, o professor pode pedir um relatório em que estejam detalhados os proces-sos envolvidos e os conhecimentos adquiridos. Atividades como essas, que envolvem circu-lação de alunos pela sala ou pela escola, ne-cessitam de preparo prévio. O professor pode discutir com os alunos a melhor forma de levar a termo a execução das tarefas.

O objetivo da próxima atividade é levar o aluno a construir uma relação entre os qua-drados dos números do triângulo 3, 4 e 5. Esse fato se caracterizará como um caso particular do teorema de Pitágoras.

Vamos fazer como os agrimensores egípcios

e criar um esquadro de barbante. Tomando um

pedaço de barbante, distribua 13 nós de modo

que suas distâncias sejam iguais. Atenção: use

do bom senso para defi nir essa distância. Essa

etapa deve ser feita com muito capricho! Uma

vez construído o esquadro de barbante, vamos

verifi car se as paredes da sala de aula ou outra

estrutura que contenha linhas horizontais e ver-

ticais estão no esquadro.

Essa atividade pode ser utilizada como um pequeno projeto proposto a grupos de alunos.

© C

onex

ão E

dito

rial

4

5

3


44

Atividade 5

Pitágoras, em sua viagem pelo Egito, tomou

conhecimento da propriedade do triângulo 3,

4 e 5. Seu espírito crítico logo o levaria a esta-

belecer uma outra relação entre esses números.

Vamos acompanhar nesta atividade um supos-

to caminho percorrido por Pitágoras. Vamos

chamar de quadrado geométrico de um segmen-to a construção de um quadrado que tenha

esse segmento por lado.

Com o segmento

construímos seu quadrado geométrico

Vamos chamar de quadrado aritmético o

cálculo em potência de expoente quadrado (2)

do número que representa a medida daquele

lado. Com o número 3 encontramos o quadra-

do aritmético 32 = 9.

a) Utilizando um papel quadriculado, construa os quadrados geométricos dos seg-mentos de medidas: 3, 4 e 5. Pinte de cores diferentes o interior de cada um deles. Calcule os quadrados aritméticos dos números 3, 4 e 5 e escreva seus resul-tados sobre os quadrados geométricos.

9 16 25

b) Analisando os valores dos quadrados

aritméticos, podemos concluir uma re-

lação entre eles. Tente descobri-la.

Com esta atividade experimental, esperamos

que os alunos concluam que os números 3, 4

e 5, lados do triângulo retângulo, se relacio-

nam pela expressão 32 + 42 = 52.

Caso isso não aconteça, o professor pode

lançar mão de perguntas como: é possível

estabelecer uma relação entre esses três

valores, aplicando alguma operação mate-

mática? Será que somando os dois valores

menores obtemos o valor do maior?

9

16

25


45


c) Recorte os quadrados geométricos dos segmentos 3, 4 e 5. Construa no papel quadriculado um triângulo de lados 3, 4 e 5. Acomode, sem sobrepor figuras, sobre cada lado do triângulo o qua-drado geométrico do segmento que lhe corresponde à medida. O lado maior do triângulo retângulo chama-se hipotenu-sa (do grego hypoteinousa – “esticado abaixo”), e os outros lados são denomi-nados catetos (do grego kathetos – “coi-sa perpendicular”). Formule uma sen-tença que combine esses termos com as descobertas feitas sobre os quadrados geométricos e aritméticos associados ao triângulo 3, 4 e 5.

É desejável que as sentenças sejam formula-

ções próximas de: “No triângulo retângulo

3, 4 e 5, a área do quadrado construído sobre

a hipotenusa é igual à soma das áreas dos

quadrados sobre os catetos”.

Caso o professor deseje, pode explorar por

demonstração geométrica da relação entre as

áreas dos três quadrados. Para isso, sugira que

os alunos façam sobreposição e decomposição

de figuras, como propomos a seguir.

O quadrado de lado 4 pode ser sobreposto a

16 quadradinhos do quadrado de lado 5. O qua-

drado de lado 3 deve ser decomposto de modo a

completar a área do quadrado de lado 5.

Atividade 6

Com base nos conhecimentos adquiridos

até agora, vamos nos tornar discípulos de

Pitágoras e buscar outros triângulos que pos-

suam a mesma propriedade do triângulo 3, 4

e 5, isto é, que formem um triângulo retângu-

lo com lados de medidas inteiras e cuja área

do quadrado sobre a hipotenusa seja igual à

soma das áreas dos quadrados construídos so -

bre os catetos.

a) Desenhe um retângulo qualquer. Corte o retângulo pela diagonal. Qual foi a figura criada? Meça seus lados com o auxílio de uma régua. Esta medida re-sultou em um número inteiro?

Professor, você pode coletar as informações

e registrá-las na lousa: para quantos alunos

essa medida resultou um número inteiro?

De maneira geral, não lidamos sempre

com triângulos retângulos cujos lados se-

jam números inteiros, como foi o caso do

triângulo 3, 4 e 5. Contudo, o triângulo 3,

4 e 5 pode gerar uma série de outros triân-

gulos retângulos com lados de medidas in-

teiras. Vamos retomar as ideias tratadas

no volume anterior sobre as transforma-

ções geométricas, com foco especial para

a ampliação.


46

b) Vamos construir o esquadro dos egíp-cios no plano cartesiano. O vértice do triângulo 3, 4 e 5, que corresponde ao ângulo de 90º, será posto na ori-gem do sistema. Portanto, os vérti-ces serão A(0,0), B(0,3) e C(4,0). Para ampliar as dimensões do triângulo ABC em duas vezes, multiplicamos suas coordenadas por 2, obtendo o triângulo A’B’C’, de coordenadas (2x,2y), isto é, A’(0,0), B’(0,6) e C’(8,0). Se quisermos triplicar as suas dimensões, multiplica-mos suas coordenadas por 3, obtendo o triângulo de vértices (0,0), (0,9), (12,0). O resultado dessas ampliações mostra que todos os lados ampliaram seguindo a mesma razão.

y

x

9

6

3

0 4 8

5

10

15

Dessa forma, encontramos outros triângulos

de lados com medidas inteiras, que possuem

a mesma propriedade do triângulo 3, 4 e 5.

Outra forma de apresentar este estudo é

dispondo os vértices do triângulo 3, 4 e 5

como representado nesta figura. Essa dis-

posição é mais clara quando se evidencia a

pouca frequência de triângulos retângulos

de lados com medidas inteiras, como os obti-

dos no item a; a possibilidade de infinitos ternos

numéricos, chamados de ternos pitagóricos, que

formam triângulos retângulos; e a garantia de

que a razão de ampliação também se verifica

entre as hipotenusas.

x

8

4

A 3

B

6

C

9

D

B’

C’

(3,4)

(6,8)

D’ (9,12)y12

Com base nessa atividade, o professor po-

de discutir que o terno pitagórico (3, 4, 5)

pode gerar outros infinitos ternos, como 6, 8,

10 e 30, 40, 50. O terno 3, 4, 5 é considerado

um terno pitagórico primitivo, pois seus ele-

mentos são primos entre si.

O professor pode explorar, ainda, que a re-

lação entre o quadrado da hipotenusa e a soma

dos quadrados dos catetos se mantém para

todos os ternos formados a partir do triângulo

3, 4 e 5, isto é, 102 = 82 + 62; 502 = 302 + 402, etc.

Atividade 7

Em Matemática, como em muitas outras

atividades humanas, depois que se toma

gosto é difícil parar. Embora satisfeitos por

nossas façanhas matemáticas no encontro de

outros ternos pitagóricos, reconhecemos sua

limitação por todos serem relacionados a um

único triângulo, o de lados 3, 4 e 5. Como

Pitágoras, lancemo-nos em mais um desafio:

12


47


Como encontrar outros ternos de números

inteiros que sejam lados de um triângulo re-

tângulo, sem que estejam diretamente relacio-

nados a ampliações do triângulo 3, 4 e 5?

Para dar continuidade a este estudo,

vamos fazer como os pitagóricos e aplicar

alguns conceitos aprendidos nas atividades

anteriores. Retomando as ideias da atividade 2,

identificaremos os números figurados no for-

mato de um L por gnômon, termo antigo que

os gregos usavam para se referir ao esquadro

de carpinteiro.

Naquela atividade, chegamos à conclu-

são de que, em cada encaixe de um gnômon

em um quadrado de lado x, obtemos um

quadrado maior, de lado x + 1. Essa cons-

tatação relaciona, portanto, a área de dois

quadrados. Nas atividades anteriores, ob-

servamos que, em um terno pitagórico, a

soma de dois quadrados resulta em um ter-

ceiro. Combinando essas ideias, podemos

criar outra fonte de ternos pitagóricos. Para

compreender isso, vamos analisar mais uma

vez o triângulo 3, 4 e 5.

Partindo de um quadrado de 4 unidades de

lado, precisamos, para que haja encaixe, que

o gnômon seja composto por 9 quadradinhos,

isto é, uma unidade a mais que a soma de dois

lados do quadrado dado (quadradinho que

fica no cotovelo do gnômon).

Encaixando o gnômon no quadrado, pro-

duzimos um novo quadrado cujo lado mede

5 unidades (uma unidade a mais que o lado

do quadrado dado) e cuja área é a soma das

áreas do quadrado de lado 4 com a área do

gnômon.

Geometricamente construímos um qua-

drado de lado 5.

Como, neste caso, a quantidade de quadra-

dinhos no gnômon é igual a 9, que é o quadrado

de um número inteiro, conseguimos a relação

esperada: a área de um quadrado foi gera-

da pela soma da área de dois quadrados, o

que aritmeticamente é assim representado:

42 + 32 = 52.

Aplicando o método do encaixe de um

gnômon, encontre o terno primitivo tomando

por base um quadrado de lado 12. Construa

uma figura que represente essa situação.

O gnômon terá 25 quadradinhos e no en-

caixe produzirá um quadrado de lado 13

unidades. Aritmeticamente constatamos

que: 122 + 52 = 132.


48

135

12

Assim, o terno (5, 12, 13) é um terno pi-

tagórico e, portanto, o triângulo construído

com lados dessas medidas será retângulo.

Nessa atividade é importante que os alunos

observem que, para obtermos ternos inteiros, a

quantidade de quadradinhos do L formado

– que é ímpar – deve ser o quadrado de um

número ímpar. Dessa forma, para que possa

haver o encaixe, o lado do quadrado dado

deve ser par.

Portanto, uma forma de pensarmos a

criação de ternos pitagóricos pode partir de

uma análise da quantidade de quadradinhos

que compõem o gnômon. Na condição do

problema, ela sempre deverá ser igual ao qua-

drado aritmético de um número ímpar, como

9, 25, 49, etc. Para pensar sobre a medida

do lado do quadrado do encaixe (quadrado

“abraçado” pelo gnômon), basta imaginar

um quadrado que se encaixa nos lados abaixo

do gnômon. Quanto ao terceiro quadrado,

sua área é igual à do quadrado que tem o

gnômon por lado.

Atividade 8

Encontre o terno pitagórico formado pelo

gnômon composto por 49 quadradinhos.

Se o gnômon tem 49 quadradinhos, o qua-

drado do encaixe terá 24 unidades de lado.

O quadrado com os lados do gnômon terá

25 unidades de lado. Portanto, teremos:

242 + 72 = 252. O terno pitagórico é (7, 24, 25).

Atividade 9

O terno (7, 20, 21) é pitagórico? Justifique

geométrica e aritmeticamente.

Esse método, embora mais sofisticado que

o anterior, era ainda empírico e só valia para

triângulos retângulos em que os dois lados

maiores diferiam em apenas uma unidade.

Uma pergunta que Pitágoras se colocou, e

que provamos agora, é: A propriedade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cons-truídos sobre os catetos é válida para qualquer triângulo retângulo?

Apoiado nos mesmos conhecimentos que

mostramos até agora, Pitágoras demons-

trou a veracidade dessa propriedade para


49


qualquer triângulo retângulo. Vamos acom-

panhar o raciocínio dele, partindo de um qua-

drado. Encaixemos sobre ele um gnômon. O

gnômon é formado por dois retângulos iguais

e um quadrado, como mostra a figura:

FAKE

Figura 1

O retângulo que forma um dos “braços”

do gnômon pode ser decomposto, por uma de

suas diagonais, em dois triângulos retângulos

(Figura 1).

Vamos analisar um desses triângulos retân-

gulos. Seu lado menor corresponde ao qua-

drado do canto do gnômon. O cateto maior

corresponde ao lado do quadrado abraçado

pelo gnômon.

E a hipotenusa, qual sua relação na figura?

Para descobrir, precisamos fazer um novo dese-

nho distribuindo outros braços do gnômon sobre

a figura, de modo a surgir um novo quadrado in-

clinado: o quadrado da hipotenusa (Figura 2).

Figura 2

Comparando as duas figuras seguintes, ob-

servamos que a área azul da primeira é igual à

área vermelha da segunda. A área da figura azul,

como dito anteriormente, corresponde à soma

da área do quadrado construído sobre o cateto

menor com a área do quadrado construído sobre

o cateto maior. A área vermelha corresponde à

área do quadrado construído sobre a hipotenusa

do mesmo triângulo retângulo (Figura 3).

Figura 3

Assim, fica provada a generalidade da pro-

priedade, isto é, está provado o teorema de

Pitágoras:

Em todo triângulo retângulo, a área do quadra-do construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Para essa demonstração, o professor pode

propor aos alunos uma atividade prática. Eles

devem ter em mãos:

f 2 retângulos congruentes quaisquer. Recor-

te esses retângulos por uma diagonal e obte-

nha 4 triângulos retângulos congruentes;

f 3 quadrados. Um deles deve ter lado igual

à hipotenusa do triângulo retângulo ante-

riormente formado; os outros dois devem

ter como lados cada um dos catetos do

triângulo já referido;


50

f 1 quadrado de lado igual à soma das medi-

das dos catetos.

Solicite aos alunos que façam, sobre o

quadrado maior (o que tem lado igual à soma

dos catetos), cada uma das configurações re-

presentadas na Figura 3. Assim, eles poderão

concluir que as duas formas têm a mesma

área e que, portanto, retirando as áreas dos

triângulos retângulos, a área do quadrado

da hipotenusa será igual à soma das áreas dos

quadrados dos catetos.

1 2

3

4

1 2

3 4

Terminada essa etapa, pode-se retomar as

ideias principais estudadas até aqui e enfati-

zar que, em uma demonstração, é importante

que os argumentos utilizados sejam verdades

demonstradas ou conhecidas. Quando apli-

camos o método da demonstração figurativa,

como no caso do teorema de Pitágoras, apenas

as figuras não bastam. É necessário um inten-

so trabalho para demonstrar o pensamento e

raciocínio lógico.

Sabemos que o mesmo teorema foi provado

de outras formas. Na 8a série/9o ano, quando

tratarmos das relações métricas no triângulo

retângulo, o foco será a demonstração pro-

posta por Euclides em Elementos. A seguir,

propomos outras duas demonstrações do teo-

rema de Pitágoras, caso o professor considere o

tempo suficiente para tratá-las.

Brincando de Pitágoras

Atividade 10

Nessa demonstração, aplicaremos o re-

sultado aprendido anteriormente sobre a du-

plicação da área de um quadrado. Aqui são

envolvidos somente triângulos isósceles, o que

não permite uma generalização do teorema,

que deve servir para qualquer triângulo. Con-

tudo, essa demonstração torna-se uma etapa

na generalização do teorema.

Tomando por base um quadrado e a dupli-

cação de sua área por meio da construção de

um quadrado sobre a hipotenusa do triângulo

retângulo isósceles, precisamos construir, so-

bre cada cateto, um quadrado de área igual à

do quadrado original.

A partir de 9 triângulos isósceles idênticos,

construídos a partir de quadrados, e aplican-

do o processo de duplicação da área de um

quadrado, faça uma construção que demons-

tre a validade do teorema de Pitágoras para

triângulos retângulos isósceles. Lembre-se de

que não basta construí-los. Como se trata

de uma demonstração, você deve elaborar ar-

gumentos que a justifiquem.

Após algumas tentativas, os alunos devem

che gar à composição a seguir. Na argumen-

tação, é importante que se apresente a justifi-

cativa de que todas as figuras são quadradas.

Isso é possível porque, sendo triângulos re-

tângulos isósceles, as medidas dos catetos,

e, portanto, dos lados dos quadrados, são

iguais. Quanto à medida dos ângulos, ou

são ângulos retos ou são a soma de dois ân-

gulos complementares do triângulo.


51


1

2 3

4

89

5

6 7

A fim de darmos um salto do processo de

demonstração figurativo para o algébrico,

vamos colocar os alunos diante de um pa-

radoxo que mostra os limites das demons-

trações apoiadas exclusivamente nas figuras

cons truídas sobre malhas.

O limite da demonstração por figuração

Atividade 11

Para essa atividade os alunos precisarão de

papel quadriculado e tesoura.

Inicialmente vamos construir um quadrado

de 64 casas no papel quadriculado (Figura 1).

Depois, vamos decompor o quadrado em 4 fi-

guras: dois triângulos retângulos (ACE e CEF)

e dois trapézios retângulos (BEGH e DFGH),

conforme a Figura 2.

Vamos recortar as peças e tentar montar

um retângulo.

Você conseguiu? Agora, conte a quantidade

de quadradinhos que compõem este retângu-

lo. A qual número você chegou? Ele corresponde

à quantidade de quadradinhos iniciais? O que

será que aconteceu?

Com esta atividade, construímos um absurdo:

64 = 65. A justificativa é que, precisamente,

a decomposição do quadrado não forma um

retângulo. A suposta diagonal do retângulo

não é formada por segmentos colineares (os

segmentos laranja e verde possuem inclina-

ções diferentes: 2 __ 5 % 3 __ 8 ). Assim, nessa com-

posição há um espaço vazio que não permite

o encaixe perfeito entre as peças. Outra for-

ma de perceber esse fato é observar que não

se verifica a semelhança dos triângulos de

área A1 e A1 + A4 .

E

E/H F/H

B

A4

A2

A1

G

C/D

C/FA/G

A3

O objetivo da atividade é colocar o alu-

no diante do limite da demonstração apoia-

da na figura. O professor pode argumentar

que, enquanto os fatos geométricos apoia-

ram as deduções de propriedades algébricas –

tema do volume 2 –, o uso das relações al-

gébricas agora permitirá a validação das

propriedades geométricas aplicadas até aqui.

A B A

C D C F D

E B

Figura 1 Figura 2

A1

A2 A3

A4

G

H


52

O uso dos termos algébricos nas demonstrações

No volume 2 da 7a série/8o ano, o significado das operações algébricas e dos produtos notáveis teve como suporte a visualização geométrica. De certa forma, agora faremos o contrário. Os fatos algébricos permitirão a generalização de fatos geométricos.

Ternos pitagóricos com diferença de 1 unidade

Atividade 12

No volume 2 da 7a série/8o ano, aprende-mos o produto notável: a2 – b2 = (a + b) . (a – b), tomando o terno pitagórico (a,b,c), sendo c a medida da hipotenusa. Logo, c é o maior lado e, portanto: c > a e c > b. Podemos concluir, pela aplicação do teorema de Pitágoras, que a2 = c2 – b2 = (c + b) . (c – b). Logo, se c – b = 1, teremos a2 = c + b. Esse fato pode ser percebi-do em vários ternos encontrados pelo método

descrito na atividade 7:

Terno (3, 4, 5) 32 = 4 + 5

Terno (5, 12, 13) 52 = 12 + 13

Terno (7, 24, 25) 72 = 24 + 25

Mantendo o padrão geométrico-numérico,

percebemos o seguinte diagrama:

+2

+2

+2

+2

4 (+1)

12 (+1)

24 (+1)

40 (+1)

5

13

25

41

3

5

7

9

11

Complete o terno pitágórico em que um

dos elementos é 11.

(11, 60, 61).

Uma demonstração algébrica do teorema de Pitágoras

Atividade 13

Retome a demonstração do teorema de

Pitágoras com base na figura a seguir. Com o

auxílio da álgebra, prove que: a2 = b2 + c2.

ca b

c – b

Na figura, a é a medida da hipotenusa; b e c

são as medidas dos catetos do triângulo re-

tângulo.

Observamos que a área do quadrado maior

é igual à soma das áreas do quadrado in-

terior inclinado, de lado a, com os quatro

triângulos retângulos de catetos b e c.

Na figura, o quadrado maior tem lados

(b + c). Logo, sua área é:

(b + c)2 = b2 + 2bc + c2

A área do quadrado inclinado, quadrado da

hipotenusa de lado a, é: a2.

Os quatro triângulos retângulos de catetos

b e c formam dois retângulos de lados b e c.

Logo, a soma de suas áreas é: 2bc.


53


Efetuemos, agora, os cálculos:

(b + c)2 = a2 + 2bc

b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc, simplificando os ter-

mos semelhantes da expressão:

b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc, temos a2 = b2 + c2.

Os exercícios exemplares a seguir visam aplicar o teorema de Pitágoras em diferentes contextos. O professor pode combiná-los com aqueles que já fazem parte de seu curso ou bus-car outros que estão presentes em livros didáti-cos da 7a série/8o ano do Ensino Fundamental.

Esses exercícios exemplares exploram al-gumas situações contextualizadas em que se aplica o teorema de Pitágoras.

Atividade 14

Thiago quer descobrir a medida aproximada da parte mais extensa de uma lagoa (BC). Como não sabe nadar, viu uma forma de resolver seu problema com o uso de seus conhecimentos em Geometria. Lembrando dos egípcios, fixou três estacas na margem da lagoa e esticou cordas de A até B e de A até C. Como lhe interessa uma medida aproximada, fez o máximo para formar no encontro das cordas em A um ângulo reto. Medindo o comprimento dessas cordas obteve AB = 7 m e AC = 24 m. Construiu, então, em seu caderno, um esboço da situação e a resolveu. Qual é o valor encontrado por Thiago?

C

24 m7 m

B

A

Embora a resolução do problema envolva uma simples aplicação do teorema de Pitá-goras, o interessante na atividade é o proce-dimento criado para determinar a medida da distância inatingível entre dois pontos, seme-lhante ao sugerido pela aplicação do teore-ma de Tales. A resposta será 25 m.

Atividade 15

Aqui, temos o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura. Um marceneiro foi contratado para construir o corrimão des-sa escada. Quantos metros lineares de madei-ra serão utilizados no corrimão?

24 cm24 cm

24 cm24 cm

24 cm

90 cm

90 cm

30 cm

30 cm

corrimão

Para resolver a atividade, pode-se sugerir que os alunos usem calculadora. Observando a fi-gura, temos um triângulo retângulo. O pedaço inclinado do corrimão, que indicaremos por c, é a hipotenusa. Um dos catetos mede 90 cm, e o outro mede o comprimento total das bases dos degraus, isto é, 24 . 5 =120 cm.

Portanto, teremos: c2 = 902 + 1202

Logo, c2 = 8 100 + 14 400 = 22 500

c = ® ______

22 500 = 150 cm

O comprimento total de madeira para o cor-

rimão será 150 + 30 + 30 = 210 cm ou 2,1 m.


54

Atividade 16

Esta figura representa a “pipa” construída

por Cadu. Ele possui 1 metro de linha para re-

forçar a pipa, contornando sua estrutura. En-

contre o comprimento da linha que contorna

a estrutura da pipa e verifique se a quantidade

de fio é suficiente.33 cm

24 cm

12 cm

12 cm16 cm

O problema se resume em achar as medidas

das hipotenusas dos triângulos retângulos,

indicados pelas cores vermelho e amarelo.

33 cm 13 cm

12 cm20 cm

12 cm

20 cm

5 cm

24 cm

12 cm

12 cm16 cm

No vermelho aplicamos: x2 = 162 + 122,

x = 20 cm.

No amarelo aplicamos: y2 = 122 + 52,

y = 13 cm.

O comprimento total de fio será, portanto,

resultado da soma:

13 + 12 + 20 + 20 + 12 + 13 = 90 cm.

Portanto, Cadu conseguirá reforçar a estrutu-

ra da pipa, pois ele tem 1 metro de fio.

Atividade 17

A figura representa a planta de um ter-

reno com a forma de um trapézio retângulo

ABCD. No momento de colocá-lo à venda, o

proprietário resolveu dividi-lo em duas partes,

de modo que ambas tivessem a mesma área.

A divisão entre os dois terrenos foi feita com

uma cerca, indicada na figura por PQ, paralela ao lado AB. Encontre o perímetro do ter-

reno ABPQ.

FAKE15 m

29 m

20 m

A

B

Q

P

D

C

Este tipo de atividade coloca o aluno em

uma situação em que só o conhecimento da

fórmula não basta para resolver o problema.

Ela, contudo, serve para orientar o pensa-

mento no sentido de buscar os termos essen-

ciais para a resolução da atividade. No caso,

o cálculo da área do trapézio indica a necessi-

dade de determinar sua altura. O aluno deve

observar que a altura pode ser traçada pelo

vértice D, formando, assim, um triângulo


55


retângulo. No entanto, ainda faltará um

dado para podermos aplicar o teorema de

Pitágoras: a medida de um cateto. A partir

da análise da figura, percebe-se que a me-

dida do cateto, que não é a altura, pode ser

encontrada pela diferença das medidas das

bases do trapézio. Outra forma de resolver

o problema é atribuir à distância BP ou AQ

um valor algébrico. Contudo, a medida final

dessa distância também pode ser resolvida

por cálculo sem a atribuição da variável. Às

vezes é difícil para os alunos encontrarem

essas relações. Se o professor achar conve-

niente, é interessante buscar outros exercí-

cios que, como este, explorem situações em

que os dados necessários sejam encontrados

como resultado de uma análise da figura.

1o passo – cálculo da área do trapézio: para

determinar a altura, uma ideia é levantarmos

a altura no vértice D e, com o uso do teorema

de Pitágoras, encontrar o valor de h:

FAKE15 m

20 m

29 m

9 m

h

152 = h2 + 92

h = 12 m

Comecemos pelo cálculo da área da figura

total: A = (29 + 20) . 12

_____________ 2 = 294 m2.

A área do retângulo ABPQ será, portan-

to, A = 147 m2. Chamando BP de x, as di-

mensões do retângulo serão x e 12. Assim,

teremos:

A

B

Q

P

12 mh=12 m

x

A = 12 . x

147 = 12 . x

x = 12,25 m

Logo, o perímetro do quadrilátero ABPQ é

2 . 12 + 2 . 12,25 = 48,5 m.


Ao final desta Situação de Aprendizagem,

espera-se que os alunos tenham ampliado os

princípios do método de demonstração inicia-

dos com o teorema de Tales. Embora tenhamos

focalizado os aspectos ligados à demonstra-

ção – exigindo várias habilidades relacionadas

ao enfrentamento de situações-problema, ao

processo de reconhecimento e generalização

de propriedades e ao desenvolvimento da ar-

gumentação lógica –, é importante conside-

rar que caberá ao professor encontrar outras

situações contextualizadas em que o teorema

é aplicado. O reconhecimento das situações

em que se emprega o teorema de Pitágoras

é um elemento essencial a ser considerado


56

como resultado dessa Situação de Aprendi-

zagem. Um tema que decorre da demons-

tração de um teorema é a validade de sua

recíproca. Em outras palavras, mesmo sem

demonstração, o professor pode discutir com

o grupo de alunos que a recíproca do teore-

ma de Pitágoras é válida, isto é, que, se em um

triângulo o quadrado da medida do maior

lado é igual à soma dos quadrados das me-

didas dos outros dois lados, então o ângulo

oposto ao lado maior é reto e, portanto, o

triângulo é retângulo. Essa conclusão pode

nortear alguns exercícios em que o professor,

oferecendo as medidas dos lados de um triân-

gulo, pode indagar sobre ele ser ou não um

triângulo retângulo. Este tema é retomado no

estudo de trigonometria na 1a série do Ensino

Médio, quando, na aplicação da Lei dos Cos-

senos, podemos investigar se um triângulo é

acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Na avaliação, o professor pode explorar

alguma situação nova de demonstração fi-

gurativa. A atividade 11, por exemplo, pode

ser aplicada em uma situação avaliativa no

sentido de apreender como os alunos estão

analisando uma situação e como argumentam

em sua demonstração. O reconhecimento das

situações-problema que são resolvidas pela

aplicação do teorema de Pitágoras deve tam-

bém ser focalizado na avaliação do professor.

É importante o professor observar que em

alguns exercícios, em que os dados vêm

expressos nas figuras, os alunos, geralmente,

cometem o erro de considerar o lado desco-

nhecido como a hipotenusa na expressão

a2 = b2 + c2. Para determinar raízes quadradas,

se o professor julgar necessário, pode propor

o uso de calculadoras ou o uso do método

aprendido na atividade 3, isto é, pela decom-

posição em uma soma de números ímpares.


São várias as obras que exploram a vida de

Pitágoras e a demonstração de seu teorema.

Contexto histórico, atividades, demonstrações e

um grande número de explorações do teorema

fazem do livro Descobrindo padrões pitagóricos,

do professor Ruy Madsen Barbosa (Editora

Atual), uma das referências mais completas.

Na Coleção “Vivendo a Matemática” (Editora

Scipione), o volume Descobrindo o Teorema de

Pitágoras, de Luiz Marcio Imenes, traz ativi-

dades e demonstrações em linguagem simples,

muito acessível aos alunos. Pela editora da

Sociedade Brasileira de Matemática, na Co-

leção do Professor de Matemática, o livro

Temas e problemas elementares (Elon Lages

Lima e outros autores) trata também da

demonstração de recíproca deste teorema

e sua aplicação na classificação de triângu-

los quanto à medida dos seus ângulos. No

livro O último Teorema de Fermat, de Simon

Sing (Editora Record), encontramos, além

de uma abordagem histórica bastante rica

em detalhes, a ligação que envolve o teore-

ma de Pitágoras como um caso particular do

teorema proposto por Fermat. Uma aven-

tura instigante pela história da Matemática

é contada em 20 000 léguas Matemáticas de

A. K. Dewdney (editora Jorge Zahar).


57


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 PRISMAS


Conteúdos e temas: prismas: identificação, relações métricas, área da superfície e volume de um prisma reto.

Competências e habilidades: reconhecer e nomear um prisma; explorar as relações entre ele-mentos geométricos e algébricos; visualizar figuras espaciais no plano; sintetizar e generalizar fatos obtidos de forma concreta.

Estratégias: manipulação de sólidos geométricos; planificação de prismas; leitura e interpre-tação de enunciados e dados; resolução de problemas.

Prismas: identificação e elementos

O prisma é um formato presente em mui-

tas situações do cotidiano dos estudantes. A

palavra “prisma” deriva do grego pris, que

significa “serrar”, e do sufixo -ma, que indica

“resultado”. Os antigos gregos utilizavam esse

termo para se referir aos pedaços de madeira

que eram cortados. Nos dias de hoje, a maio-

ria das embalagens e objetos com que toma-

mos contato tem essa forma.

Inicialmente, propomos que o professor

apresente aos alunos uma série desses objetos

concretos, como caixa de fósforos, embalagens

de pizzas, caixas de sapatos, e discuta com

eles alguns conceitos básicos como:

f as bases dos prismas retos são polígonos de

mesma forma e tamanho e suas faces late-

rais são retangulares;

f o nome do prisma é dado pela forma de

sua base, que pode ser triangular, quadran-

gular, hexagonal, etc;


Nesta Situação de Aprendizagem seguimos

no estudo de Geometria, mas agora com foco

na geometria espacial. Este assunto foi inicia-

do no volume 2 da 6a série/7o ano, quando o

objetivo era reconhecer, classificar e nomear

os poliedros por meio de atividades que envol-

viam planificação, montagem de sólidos e um

estudo preliminar da relação de Euler.

Agora, na 7a série/8o ano, o foco será o re-

conhecimento, a planificação, a representação

plana e as relações métricas dos prismas, em

particular os prismas retos. No volume 4 da

8a série/9o ano, os cilindros concluem os estu-

dos da geometria espacial nesse segmento da

escola básica. No volume 4 da 2a série do En-

sino Médio, a geometria espacial é retomada

em uma perspectiva mais ampla e formal.

Neste momento serão tratadas as relações

métricas de outros sólidos, como a pirâmide,

o cone e a esfera.


58

f o paralelepípedo é um prisma cujas bases

são paralelogramos;

f se todas as faces do paralelepípedo são re-

tangulares, ele será chamado de paralelepí-

pedo retângulo;

f se o prisma tiver todas as faces quadradas,

ele formará um cubo, também chamado

de hexaedro regular (grego hexa – seis, e

hedros – apoiar-se, faces), o conhecido for-

mato do dadinho.

Nas embalagens, o professor pode indicar o

nome dos principais elementos que formam os

prismas retos.

vértice

aresta

face

Desmontando a embalagem, o professor

pode começar a discussão sobre a planifi cação

do prisma e sobre o cálculo de sua área.

A partir do trabalho com embalagens,

o professor pode distribuir aos alunos algu-

mas planifi cações de prismas de diferentes

bases para que eles façam as suas construções.

Diagonais de um prisma

A atividade a seguir explora as diagonais em

um prisma quadrangular reto. Esse caso per-

mite aplicar o teorema de Pitágoras em fi guras

espaciais. Esse mesmo problema pode ser pro-

posto imaginando caixas de lápis em formato

de um prisma de base triangular. Nele obser-

va-se que o prisma não tem diagonal e que a

medida do lápis coincide com a diagonal da

face lateral. Outra possibilidade é supor a cai-

xa como um cubo ou como um prisma regular

de base hexagonal.

Atividade 1

Uma caixa tem o formato de um parale-

lepípedo reto-retângulo com 4 cm de com-

primento, 3 cm de profundidade e 12 cm de

altura, conforme fi gura a seguir. Encontre a

medida do segmento AB, também chamado

de diagonal do prisma.

4

12

3

A

B

A partir da fi gura, podemos construir um

triângulo retângulo que tem a distância AB


59


como a hipotenusa e, por catetos, a altura do

prisma e a diagonal da base, indicada pela

letra d.

4

12

3

A

D

d

B

Inicialmente aplicaremos o teorema de Pitá-

goras para determinarmos a medida de d:

Diagonal da base: d2 = 16 + 9 = 25 ⇒ d = 5

Assim, a diagonal do prisma pode ser encon-

trada aplicando-se mais uma vez o teorema

de Pitágoras: D2 = 144 + 25 = 169 ⇒ D = 13.

Portanto, o segmento AB = 13 cm.

Volume de um prisma

Para calcular o volume de um prisma determi-

namos quantos cubinhos de aresta de 1 unidade

de comprimento cabem no mesmo. Comecemos

com um paralelepípedo reto, de base retangular.

Cálculo do volume do paralelepípedo reto pela decomposição e contagem de cubinhos.

Com isso, é possível concluir que a quan-

tidade de cubinhos que cabem no paralelepí-

pedo reto é igual à área da base (Abase ), que

corresponde à quantidade de cubos apoiados

sobre a mesma, pela altura (H), que corres-

ponde à quantidade de camadas de cubos que

preenchem completamente o sólido.

Desta forma, o volume de um paralelepípedo

pode ser calculado com a expressão: V = Abase . H.

Neste momento, mesmo sem a aplicação do

Princípio de Cavalieri, podemos generalizar que

o volume de qualquer prisma se dá pela mesma

expressão. Uma imagem que pode auxiliar os

alunos nessa generalização é caracterizar

os prismas pela sobreposição de placas idênticas,

umas sobre as outras.

Um tema que vem se tornando de relevância

social, quando se trata da preservação do meio

ambiente, é o referente a embalagens dos pro-

dutos. Além do tipo do material utilizado na

fabricação das embalagens, como isopor, pape-

lão ou plástico, é importante também conside-

rar se as embalagens são bem dimensionadas,

isto é, se a relação volume interno/quantidade

de material utilizado é a melhor possível. Tam-

bém deve-se atentar ao fato de que, para serem

embaladas coletivamente, isto é, lado a lado, o

formato deve satisfazer a condição de permitir

o menor espaço vazio entre elas.


60

A atividade a seguir explora essa relação

entre a área da superfície de um prisma e seu

volume. O objetivo é levar o aluno a compreen-

der que prismas equivalentes, isto é, de mesmo

volume, podem possuir áreas superficiais dife-

rentes. A atividade ainda exige a representação

algébrica do volume, a resolução de uma equa-

ção e o cálculo de áreas. Configura-se, portanto,

como um exercício que trabalha vários concei-

tos tratados na 7a série/8o ano.

Atividade 2

Dizemos que dois prismas são equivalentes

quando têm o mesmo volume. A seguir, são

dados dois formatos diferentes que compõem

o projeto de uma caixa.

8 cm

8 cm

8 cm

FAKE4 cm

8 cm

(x + 10) cm

Sabendo que eles são equivalentes, determine:

a) o volume das caixas.

Para calcular o volume do cubo podemos

aplicar a expressão geral para o volume de

prismas, V = 64 . 8 = 512 cm3.

b) a caixa cuja superfície tem a menor área.

A área lateral do cubo é composta por 6 qua-

drados de lados iguais a 8 cm.

Assim, a área da superfície total do cubo é

igual a Acubo= 6 . 64 = 384 cm2.

Para o cálculo da área da superfície total do paralelepípedo, necessitamos encontrar

o valor de x. Como os prismas são equiva-

lentes, eles possuem o mesmo volume. Para

o paralelepípedo, vale a seguinte expressão

para o volume:

V = Abase . h = 8 . (x + 10) . 4 = 32x + 320

Como V = 512 cm3, podemos escrever a

equação: 32x + 320 = 512 ⇒ x = 6.

Assim, as dimensões do paralelepípedo se-

rão: 8 cm, 16 cm e 4 cm. A área da sua su-

perfície total é composta por dois retângulos

de lados 16 cm e 8 cm (bases), dois retângu-

los de lados 8 cm e 4 cm e dois retângulos de

lados 16 cm e 4 cm. Portanto, a expressão

de sua área superficial será:

Aparalelepípedo = 2 . 8 . 16 + 2 . 8 . 4 + 2 . 4 . 16 =

= 256 + 64 + 128 = 448 cm2.

Logo, embora os prismas tenham o mesmo

volume, o cubo representa aquele que con-

some menor quantidade de material para

ser produzido.

O professor pode acrescentar que, dentre

os retângulos equivalentes, o quadrado é o de

menor perímetro, ao passo que, dentre os para-

lelepípedos equivalentes, o cubo é o de menor

área superficial.


61


Atividade 3

O uso de urnas eletrônicas nas eleições no Brasil se configura como um dos processos eleitorais mais modernos do mundo. Na fi-gura, temos representada uma dessas urnas. Vamos considerá-la um prisma cujas bases são trapézios retângulos. Na figura estão da-das as medidas de AB, AC, CD e DE. Con-sidere, também, a diferença entre o perímetro do retângulo BDEF e o perímetro do trapézio ABDC igual a 34 cm.

F

BA

CD

E

17 cm

21 cm

37 cm

40 cm

B

a) Desejando-se produzir uma capa de material plástico para cobrir a urna, ne-cessita-se calcular a área da urna a ser coberta. Encontre-a (no caso, ignora-se a área da face apoiada sobre a mesa).

Para resolver esta atividade é necessário

indicar a aresta BD por uma incógnita, por

exemplo, x. Desse modo, podemos escrever a

seguinte expressão:

40 + 40 +x + x – (21 + 37 + 17 + x) = 34

80 + 2x – 75 – x = 34

x = 29 cm

Ou podemos encontrar a incógnita aplican-

do o teorema de Pitágoras, como segue:

BD2 = 212 + 202

BD2 = 841

BD = 29 cm

A área a ser coberta pela capa é igual à soma

das áreas das duas bases do prisma, os dois

trapézios, com as áreas dos três retângulos

que são suas faces laterais, excluída a face

apoiada sobre a mesa.

A = 2 . (17 + 37) . 21

_____________ 2 + 40 . 29 + 17 . 40 +

+ 21 . 40 = 3 814 cm2.

b) Encontre o volume ocupado por uma urna.

Para o cálculo do volume precisamos da área

da base, que é a área do trapézio e da al-

tura do prisma, que, no caso, é a medida da

aresta DE. Portanto:

V = ( ).17 37 21

2

+ . 40 = 22 680 cm3.


Ao final desta Situação de Aprendizagem,

espera-se que os alunos tenham se apropriado

dos fatos principais associados aos prismas.

Inicialmente priorizamos a identificação e ca-

racterização dos prismas para sua posterior

representação plana. Junto a isso criamos um

vocabulário geométrico, que permite a dife-

renciação entre elementos da geometria plana

e da geometria espacial, como a diferenciação

entre lados do polígono e arestas do poliedro.

A aprendizagem dos alunos pode ser ava-

liada inicialmente a partir de situações que

envolvam: aspectos qualitativos dos prismas,

como identificação da base e da altura; no-

menclatura dos prismas, a partir de objetos

concretos; e suas representações planas com o

uso das malhas.


62

Em um segundo momento, o professor pode explorar situações-problema que envol-vam o cálculo de áreas e volumes de prismas. É também uma oportunidade para o profes-sor investigar a consistência do conhecimento sobre áreas de figuras planas.


Para o desenvolvimento deste conteúdo, vá-rios livros didáticos de Ensino Fundamental apre-sentam uma série de situações-problema sobre a geometria métrica nos prismas. O professor pode selecionar alguns desses problemas e agregá-los

àqueles que já fazem parte de sua experiência no tratamento deste tema. Propomos que o professor dê preferência aos problemas que envolvem situa-ções contextua lizadas. Na Revista do Professor de Matemática, encontramos vários números que tratam dos prismas. Particularmente no núme-ro 3, do 2o semestre de 1982, encontramos uma interessante abordagem sobre a relação dos po-liedros e as formas na natureza. A RPM é uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemáti-ca, disponível em: <http://www.rpm.org.br/cms> (acesso em: 16 maio 2013). Para o trabalho com planificações de sólidos, o professor encontra mo-delos em vários livros didáticos ou em pesquisas em sites de busca na internet.

ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO

Considerando que algumas metas não te-nham sido alcançadas na Situação de Apren-dizagem 1, o professor pode acrescentar outros tipos de problemas que o auxiliem a identifi-car os pontos a serem reforçados.

Algumas vezes os alunos apresentam difi-culdades em “montar” a proporção, trocando os termos de posição, conforme Situação de Aprendizagem 2. A atenção do professor nes-se sentido é fundamental para que o aluno re-conheça as partes que se colocam em razão e proporção. O apoio de figuras, para identificar o que são as paralelas e as transversais, é fun-damental na superação dessas dificuldades.

Caso as metas aplicadas na Situação de Aprendizagem 3 não tenham sido atingidas, sugere-se que o professor retome os aspectos essenciais do processo de demonstração do teorema e que proponha aos alunos um con-junto de exercícios de contexto que permitam

a identificação da hipotenusa e dos catetos e a aplicação do teorema na sua solução.

Caso os objetivos da Situação de Apren-dizagem 4 não tenham sido plenamente al-cançados, sugerimos que as atividades de recuperação retomem:

f as figuras planas, particularmente o triân-gulo equilátero, o retângulo, o paralelo-gramo, o quadrado e o hexágono regular, enfatizando, de forma esquemática, suas propriedades e relações métricas;

f a manipulação dos objetos sólidos em for-ma de prismas, identificando seus elemen-tos, particularmente aqueles relacionados às figuras planas vistas anteriormente;

f a representação plana de prismas;

f o cálculo de áreas e volumes dos prismas com diferentes bases.


63


CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA POR SÉRIE/VOLUME DO ENSINO FUNDAMENTAL

5a série/6o ano 6a série/7o ano 7a série/8o ano 8a série/9o ano

Vol

ume

1

NÚMEROS NATURAIS- Múltiplos e divisores.- Números primos.- Operações.- Introdução às potências.

FRAÇÕES- Representação.- Comparação e ordenação.- Operações.

NÚMEROS NATURAIS- Sistemas de numeração na

Antiguidade.- O sistema posicional

decimal.

NÚMEROS INTEIROS- Representação.- Operações.

NÚMEROS RACIONAIS- Representação fracionária

e decimal. - Operações com decimais

e frações.

NÚMEROS RACIONAIS- Transformação de decimais

finitos em fração. - Dízimas periódicas e

fração geratriz.

POTENCIAÇÃO- Propriedades para

expoentes inteiros. - Problemas de contagem.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO- A linguagem das potências.

NÚMEROS REAIS- Conjuntos numéricos.- Números irracionais.- Potenciação e radiciação

em IR.- Notação científica.

Vol

ume

2

NÚMEROS DECIMAIS- Representação.- Transformação em

fração decimal.- Operações.

SISTEMAS DE MEDIDAS- Comprimento, massa e

capacidade.- Sistema métrico decimal.

GEOMETRIA/MEDIDAS- Ângulos.- Polígonos.- Circunferência.- Simetrias.- Construções geométricas.- Poliedros.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS- Equivalências e

transformações de expressões algébricas.

- Produtos notáveis.- Fatoração algébrica.

ÁLGEBRA- Equações de 2o grau:

resolução e problemas. - Noções básicas sobre

funções; a ideia de interdependência.

- A ideia de variação.- Construção de tabelas e

gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

Vol

ume

3

GEOMETRIA/MEDIDAS- Formas planas e espaciais.- Noção de perímetro e área

de figuras planas.- Cálculo de área

por composição e decomposição.

NÚMEROS/ PROPORCIONALIDADE- Proporcionalidade direta

e inversa.- Razões, proporções,

porcentagem. - Razões constantes na

geometria: π.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO- Gráficos de setores.- Noções de probabilidade.

ÁLGEBRA/EQUAÇÕES- Equações de 1o grau.- Sistemas de equações e

resolução de problemas.- Inequações de 1o grau.- Sistemas de coordenadas

(plano cartesiano).

GEOMETRIA/MEDIDAS- Proporcionalidade,

noção de semelhança.- Relações métricas em

triângulos retângulos.- Razões trigonométricas.

Vol

ume

4

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO- Leitura e construção de

gráficos e tabelas.- Média aritmética.- Problemas de contagem.

ÁLGEBRA- Uso de letras para

representar um valor desconhecido.

- Conceito de equação.- Resolução de equações.- Equações e problemas.

GEOMETRIA/MEDIDAS- Teoremas de Tales e

Pitágoras: apresentação e aplicações.

- Área de polígonos. - Volume do prisma.

GEOMETRIA/MEDIDAS- O número π; a

circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo.

- Volume e área do cilindro.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO- Contagem indireta e

probabilidade.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.


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matemática 7 s_8a_ef_volume_4

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