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El material didctico Gua para el Profesor, Matemtica 7, Proyecto Bicentenario, para Sptimo ao de Educacin Bsica, es una obracolectiva, creada y diseada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la direccin de
MANUEL JOS ROJAS LEIVA
Coordinacin Cientfico-Matemtica: Gabriel Moreno Rioseco
Edicin: Angela Baeza PeaMarcia Villena Ramrez
Autores: Mara Antonieta Santis AvalosPedro Enrique Rupin Gutirrez
Correccin de estilo: Isabel Spoerer VarelaAstrid Fernndez Bravo
Documentacin: Paulina Novoa VenturinoJuan Carlos Reyes Llanos
La realizacin grfica ha sido efectuada bajo la direccin deVERNICA ROJAS LUNA
Con el siguiente equipo de especialistas:
Coordinacin Grfica: Carlota Godoy Bustos
Diseo : Claudia Pino SierraGina Casas Hernndez
Diagramacin : Gina Casas Hernndez
Cubierta: La Prctica S.P.A.
Produccin: Germn Urrutia Garn
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquiermedio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin en ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblico.
2009, by Santillana del Pacfico S.A. de Ediciones. Dr. Anbal Arizta 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quebecor World S.A.ISBN: Inscripcin Nwww.santillana.cl [email protected]
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ndice
Presentacin 4
Ejes del proyecto Bicentenario
Cuadro comparativo entre OFV y CMO 6
Organizacin del texto del alumno 10
Organizacin de la gua para el profesor 12
Planificacin de las unidades 14
Nmeros enteros 14
Variaciones proporcionales 30
Construcciones geomtricas 46
Potencias y races cuadradas 62
lgebra y ecuaciones 78
Tringulos y sus elementos 94
Prismas y pirmides 110
Datos y azar 126
Recursos 142
Solucionario de evaluaciones complementarias 142
Bibliografa 143
1Unidad
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| 4 |Santillana Bicentenario
El proyecto Bicentenario de Santillana, presenta una propuesta destinada a cubrir todos losrequerimientos del Ministerio de Educacin.
Bicentenario, representa una enriquecedora instancia para evocar nuestro pasado y recogerlas experiencias vividas por la nacin en doscientos aos de vida republicana. A su vez,constituye un espacio abierto de debate y reflexin para crear, innovar y proyectar conliderazgo el futuro que hoy se construye en nuestras aulas.
El material didctico que constituye esta serie, busca fomentar en los y las estudiantes lacomprensin de la realidad, facilitando la seleccin de estrategias para resolver problemas ycontribuir al desarrollo del pensamiento crtico y autnomo. Ademas, el currculum de estesector tiene por objetivo aportar al desarrollo de las capacidades de comunicacin,razonamiento y abstraccin de los alumnos y alumnas, impulsando el desarrollo delpensamiento intuitivo y la reflexin permanente.
La propuesta Editorial contempla el Texto del alumno, un Taller de ejercicios, un Anexo consolucionario, la Gua para el profesor y los Recursos digitales.
Ejes proyecto Bicentenario1. Incorporacin de los ajustes curriculares
La serie Bicentenario ha sido creada acorde a los nuevos ajustes curriculares publicados enjulio de 2008, abordando los nuevos requerimientos relacionados con los ObjetivosFundamentales Verticales y Contenidos Mnimos Obligatorios.
El propsito de esta nueva propuesta para el sector de Matemtica es introducir a los y lasestudiantes en la comprensin del mundo que los rodea por medio de relaciones entre los
diversos aspectos de la realidad, basada en el conocimiento proporcionado por esta readel conocimiento.
PRESENTACIN DEL PROYECTO
Para el alumno(a): Texto del EstudianteTaller de ejerciciosAnexo con solucionario
Para el profesor(a): Gua del ProfesorRecursos digitales
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Se pretende que todos los alumnos y alumnas logren, en su formacin general, unaeducacin matemtica bsica. Esta perspectiva se expresa en los Objetivos Fundamentalesy Contenidos Mnimos Obligatorios orientados hacia un aprendizaje contextualizado delconocimiento matemtico.
As el sector de Matemtica se ha reestructurado entorno a cuatro ejes temticosfundamentales, estos son:
1 Nmeros
2 lgebra.
3 Geometra.
4 Datos y azar.
2. Evaluacin permanente y explcita
En los textos del proyecto Bicentenario, la evaluacin se ha ido desarrollando en diversosmomentos a lo largo de cada una de las unidades con el propsito de obtener informacinsobre los aprendizajes logrados. En este sentido se entregan evaluaciones diagnsticas, deproceso y finales. Cada evaluacin cuenta con su correspondiente pauta de correccin conindicadores, criterios y actividades remediales y de profundizacin, que permiten atender a
la diversidad de aprendizaje de los y las estudiantes.Los tipos de evaluaciones que encontrar en el texto, se detallan a continuacin:
Evaluacin diagnstica. Se presenta al inicio de cada unidad para identificar losconocimientos previos con los cuales los estudiantes se enfrentarn a los nuevosaprendizajes y permite detectar falencias que pudieran entorpecer el logro deaprendizajes ms complejos. Este momento evaluativo, es de carcter formativo.
Evaluacin de proceso. Se desarrolla durante la unidad y, dado su carcter formativo,permitir al estudiante retroalimentar su desempeo y, al docente, realizar a tiempo lasmodificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes.
Evaluacin final. Su carcter es sumativo, pues entrega informacin a cerca del nivel delogro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados al trmino de la unidad, dandola posibilidad de reforzar los aprendizajes ms dbiles.
3. Innovacin en el diseo
La propuesta grfica pone nfasis en los recursos visuales, como infografas, ilustraciones,
fotografas, esquemas, entre otros; con el propsito de apoyar la labor docente, al favorecerla construccin de aprendizajes, a partir de la comprensin visual.
4. Incorporacin de las TIC
Con el objetivo de responder a la amplia gama de recursos tecnolgicos y para atenderla cobertura de alfabetizacin digital, se han introducido nuevos mtodos deenseanza-aprendizaje que contemplan el uso de las TIC como instrumento cognitivoy para la realizacin de actividades interdisciplinarias y colaborativas.
Los recursos digitales que contempla el proyecto son 3 discos compactos que contienen:el libro del alumno digital, tutoriales que muestran al docente cmo utilizar herramientasdigitales y la gua didctica en formato PDF.
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La gua para el profesor del Texto Matemtica 7, Proyecto Bicentenario, es un material creado por editorial Santillana comoapoyo al proceso de enseanza-aprendizaje para el subsector de Matemtica. Esta propuesta de gua incorpora materialconcreto de apoyo a la labor docente, a travs de diversos elementos que se desarrollan en el interior de las pginas.
A continuacin se describen los tipos de pgina que encontrar en cada unidad:
Organizacin de la gua
1. Pginas de inicio
Ttulo de la unidad
Introduccin de la unidad
Describe el propsito dela unidad.
2. Esquema de la unidad
Organizador grfico que muestra losprincipales conceptos tratados en eldesarrollo de la unidad.
3. Sugerencias metodolgicas
Informacin para el docente
Esta seccin est destinada a entregar informacin anexa
al docente, de manera de profundizar y complementarla informacin dada en el texto del alumno.
Actividades complementarias
Proporciona al docente actividades que pueden serrealizadas antes, durante o despus del tratamiento decontenidos y que permiten profundizar o reforzar los
conceptos principales abordados en las pginas del textodel estudiante.
Contenidos de la unidadListado de los contenidosdesarrollados en el textodel estudiante.CMO
OFV
OFT
Tiempo estimado
Tarea
En esta seccin seproponen diversasactividades deprofundizacin para quelos estudiantes desarrollen
los temas trabajados.
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Sugerencias de evaluacinPara las evaluaciones de cada unidad del texto del alumno,se presenta una tabla que organiza para cada tem losindicadores, las preguntas que responden a cada indicador,los criterios de logro, remediales y actividades deprofundizacin.
Errores frecuentes o posibles dificultades
Esta seccin presenta dos instancias de trabajo, una de ellases la relacionada con los errores ms comunes en quesuelen incurrir los alumnos y alumnas, proponiendoestrategias para evitar y subsanar estos errores. Y la otra, esla relacionada con las posibles dificultades que los y lasestudiantes pueden presentar, donde para superarlas sepresentan remediales e indicaciones tiles.
4. Evaluaciones complementarias
Cada unidad presenta dos pginas destinadas a evaluar
los contenidos de la unidad mediante preguntas deseleccin mltiple.
5. Solucionario
Entrega las respuestas de las evaluaciones
complementarias de la gua para el profesor.
6. Bibliografa
Entrega una serie de recursos bibliogrficos que le
permitirn ampliar el contenido de los temas tratadosen cada unidad del texto.
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1
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Objetivosfundamentalestransversales
Prom
overelintersylacapa
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lidad,utilizarelconocimientoyseleccionarlainformacinrelevante.
Desa
rrollarlacapacidadderesolverproblemas,l
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Desa
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Tiempoestima
do
4a5
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Observaciones
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Esquema de la unidad
NMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Orden y representacinen la recta numrica
Nmeros enteros
Valor absoluto
Resolucin de problemas
Operatoria
MultiplicacinAdicin DivisinSustraccin
Actividades complementarias Comentar con los estudiantes situaciones en que se hace necesario extender el conjunto de
los nmeros naturales a nmeros que representen cantidades negativas, mostrar ejemplos
de informacin donde aparezcan cantidades negativas y analizar el significado de esta
representacin en ese contexto. Otro ejemplo cotidiano que puede ser comentado con los
alumnos(as) son los ascensores.
Por ltimo, analizar con los estudiantes algunos casos de la sustraccin de nmeros naturales,
en los cuales, el minuendo es menor que el sustraendo, mencionando que este tipo desituaciones puede ser resuelta mediante el uso de nmeros enteros.
Informacin para el docente Al empezar est unidad se propone un proyecto grupal que tiene como objetivo que los
alumnos(as) se familiaricen con el uso de nmeros negativos en diversos contextos, por
ejemplo, en el concepto de profundidad. En este proyecto se pide que investiguen acerca
del punto submarino ms profundo del planeta (actividad 6), este lugar es llamado Fosa
Challenger o de las Marianas y se ubica en el Pacfico al sur de Japn, fue descubierto en1951 por la nave sonda Challenger y tiene una profundidad de 11.022 m.
PGINAS DE INICIO (Pginas 8 y 9)
Sugerencias metodolgicas
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UNIDAD 1 | Nmeros enteros
Tareas
Para mayor conocimiento de la historia de los nmeros visita la pgina:http://edumate.files.wordpress.com/2007/01/numerosenterosorigenehistoria.pdf
Informacin para el docente Es importante recordar las operaciones aritmticas con nmeros naturales y el orden en larecta numrica con estos nmeros, para luego generalizarlas a los nmeros positivos y
negativos.
QU RECUERDO? (Pginas 10 y 11)
IndicadorN de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/sugerencias de profundizacin
Utilizar las
operaciones con
nmeros
naturales, para
resolver e
interpretar
situaciones.
1
2
3
4
5
$ 1.000
Recibe $ 250
$ 240
$ 1.800
No, faltan
$ 300
3 / 5 Realizar ejercicios en que los alumnos(as) ejerciten
las 4 operaciones con nmeros naturales. Realizarsustracciones en que identifiquen cules son
posibles de resolver en los nmeros naturales y
cuales no.
Realizar problemas cuya resolucin implique operar
con nmeros naturales, ejercitando las4 operaciones.
Construir e
interpretar la
recta numrica.
6 Orden
cronolgico:
B, A, C, E, D.
1 / 1 Ejercitar el orden de los nmeros naturales en la
recta numrica.
Resolver problemas en que los alumnos debanordenar cantidades positivas de menor a mayor.
Construir ejemplos de rectas numricas en
diferentes escalas y que ubiquen en ella nmeros
naturales dados.
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Informacin para el docente Es importante hacer nfasis en que en el conjunto de los nmeros enteros se cumplen, entre
otras, dos importantes propiedades: el inverso aditivo y el neutro aditivo, lo cual no ocurreen los nmeros naturales. Los estudiantes deben reconocer estas propiedades y saber su
importancia dentro de la aritmtica.
NMEROS ENTEROS (Pginas 14 y 15)
5 m
4 m
3 m
2 m
1 m
0 m
1 m
2 m
3 m
4 m
5 m
NMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS (Pginas 12 y 13)
Informacin para el docente Es muy til para los alumnos(as) entender el concepto de nmero positivo y negativogracias a los muchos modelos que existen en donde se utilizan estas cantidades, sin
embargo, hay modelos que se ajustan mejor que otros a las propiedades matemticas de
este conjunto numrico, y por lo tanto, el docente debe realizar las aclaraciones
correspondientes para que no se produzcan contradicciones o errores entre el modelo
dado como ejemplo y los fundamentos matemticos. Por ejemplo, en el caso del modelo
de pisos de un edificio, se debe condicionar a que el cero corresponde a la primera planta,
y en otros casos simplemente no se considera el cero.
Actividades complementarias La siguiente actividad puede ser previa al trabajo con estas pginas.
Ubica los siguientes elementos en el dibujo:
1. Un flotador que est al nivel del mar.
2. Un buzo que est 5 m bajo el nivel del mar.3. Un pez que est a 3 m.
4. Un pelcano que est a 10 m sobre el buzo.
5. Una caracola que est a 6 m bajo el pelcano.
6. Un submarino que est a 2 m de la caracola.
A partir de lo anterior, responde.
7. A cuntos metros sobre el nivel del mar estel pelcano?
8. A cuntos metros bajo el nivel del mar est lacaracola?
9. A cuntos metros bajo el nivel del mar est elsubmarino?
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3 C 3 C 2 C 5 C 7 C 0 C
C, C, C, C, C, C
| 19 |
UNIDAD 1 | Nmeros enteros
Actividades complementariasDe acuerdo a las propiedades que se cumplen en el conjunto de los nmeros enteros,
responde las siguientes preguntas:
1. Cuntos nmeros enteros se pueden intercalar entre (5) y 5?2. Qu nmero sumado con (5) resulta 0?3. Cul es el inverso aditivo de 0?4. Si a es un nmero negativo, cmo representamos el nmero que sumado con a resulta 0?
Tareas
El Aconcagua es el cerro ms alto de la cordillera de los Andes con una altura de 6.959 msobre el nivel del mar. Por otra parte, la fosa de Atacama tiene una profundidad aproximadade 8.000 m. Responde.
5. Cul es la distancia entre la cima del Aconcagua y la profundidad de la fosa de Atacama?6. Supn que el Aconcagua estuviera apoyando su base sobre la fosa de Atacama. Aparecera
la cumbre sobre el nivel del mar? A qu distancia del nivel del mar quedara la cumbre?
7. Averigua cul es la cumbre ms alta de Chile y comprala con el Aconcagua.
ORDEN Y REPRESENTACIN EN LA RECTA NUMRICA (Pginas 16 y 17)
Informacin para el docente El ejemplo relacionado con los aos antes de Cristo y despus de Cristo es muy usado para
explicar la representacin de nmeros enteros en la recta numrica, sin embargo, hay que
aclarar a los estudiantes que el ao cero que correspondera al cero de la recta numricano existe como tal en nuestro calendario, en el cual el ao 1 a. C. precede al ao 1 d. C.,
es decir, desde el ao 1 a. C. al 1 d. C. ha transcurrido solo un ao.
Errores frecuentes o posibles dificultades Es muy comn que los alumnos(as) identifiquen el antecesor de un nmero negativo como
el antecesor del valor absoluto del nmero y le agregan el signo , por ejemplo,
errneamente sealan que el antecesor de 7 es 6 y no 8 que es lo correcto. Lo mismo
ocurre con el sucesor. Para evitar este error, el uso de la recta numrica es indispensable,
ya que para el alumno(a) ser ms fcil identificar cul es el antecesor y sucesor de una
manera grfica.
Actividades complementariasOrdena las siguientes temperaturas desde la ms baja hasta la ms alta.
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| 20 |Santillana Bicentenario
Informacin para el docente Es importante sealar a los alumnos(as) que en situaciones cotidianas, los nmeros negativos
no tienen ningn sentido si no se ocupan como representacin y ligados a un contexto
determinado, como por ejemplo, de profundidad, de deudas o de temperatura bajo cero.
Actividades complementarias Plantear a los alumnos(as) la siguiente situacin:
El recorrido de un caracol al subir una muralla es el siguiente: sube 3 metros y baja 2metros. Si la muralla tiene 10 metros de altura cunto recorre el caracol para llegar a lacima de la muralla?
1. Expresa la suma de las distancias recorridas con nmeros enteros.2. Expresa la suma de las distancias con valores absolutos y calcula el recorrido total delcaracol.
Para profundizar este contenido se pueden realizar los siguientes tipos de ejercicios.
Completa, en cada caso, con el signo >, = < segn corresponda.
3. | 1 | | 1 |4. | 1 | | 1 |
5. | 1 | 1
Errores frecuentes o posibles dificultades Para los alumnos es difcil entender que existan dos nmeros distintos, que tengan el mismo
valor en su valor absoluto. Una manera simple de justificar y fcil de entender es mostrandoen una recta numrica que tanto3 como 3 (u otros valores) tienen la misma distancia alcero y por lo tanto el mismo valor absoluto.
VALOR ABSOLUTO (Pginas 18 y 19)
Antecesor Nmero Sucesor
0
13
2
12
19
30
Completa la tabla.
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UNIDAD 1 | Nmeros enteros
CMO VOY? (Pginas 20 y 21)
Indicador N depregunta
Respuesta Logradocon
Remediales/sugerencias de profundizacin
Interpretar
nmeros enteros
en contextos
cotidianos.
1
2
C
B
1 / 2 Realizar actividades en que los alumnos(as) busquen
ejemplos cotidianos donde sea necesario utilizar los
nmeros enteros, por ejemplo buscar en diarios o
en internet.
Realizar actividades en que los alumnos investiguenacerca de los nmeros enteros en la contabilidad y
comparen la notacin utilizada en este contexto
con la de otros modelos.
Representar
nmeros enteros
en una rectanumrica y
establecer
relaciones de
orden entre ellos.
3
4
5
B
A
C
2 / 3 Realizar actividades en que los alumnos(as) ordenen
nmeros enteros en la recta numrica, de menor a
mayor y viceversa. Tambin ejercitar el concepto deantecesor y sucesor en los nmeros enteros usando
la recta numrica.
Realizar actividades en que los alumnos ordenen
nmeros enteros en situaciones problemticas, por
ejemplo usando puntos a favor o en contra.
Aplicar el
concepto de
valor absoluto y
de inverso
aditivo de un
nmero entero.
6
7
8
D
D
Debera subir
el anzuelo.
2 / 3 Realizar ejercicios en que los alumnos(as)
identifiquen el valor absoluto de un nmero entero
y su inverso aditivo.
Para profundizar, realizar ejercicios en que se
mezclen ambos conceptos, por ejemplo, el inverso
aditivo del valor absoluto de a, el valor absoluto delinverso aditivo de a, etc.
Informacin para el docente
La adicin de nmeros enteros, sobre todo de nmeros de distinto signo no es algo naturalpara los alumnos(as). Aunque logran aprender las reglas de los signos, pueden surgir ciertas
ADICIN DE NMEROS ENTEROS (Pginas 22 y 23)
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| 22 |Santillana Bicentenario
dificultades o confusiones en ciertos casos. El utilizar la recta numrica para representar la
adicin es una buena opcin porque grficamente aclara la regla de los signos, pero hay que
tener cuidado en fundamentarlas correctamente; el caso de la adicin de un nmero positivo
implica siempre un avance, pero si se est sumando un nmero negativo, se cambia de
direccin, lo que se traduce en un retroceso.
Errores frecuentes o posibles dificultades En el caso de la adicin de nmeros de distinto signo, los alumnos(as) restar ambos
nmeros pero se equivocan frecuentemente en el signo del resultado. El docente debe
remediar estos errores realizando diferentes actividades para que logren practicar el
algoritmo, utilizando la recta numrica, o bien, algn contexto, por ejemplo, situaciones dedeudas y haberes, que sirven para que los alumnos, que an no manejen la regla de signos,
logren identificar el signo del resultado de una adicin.
Actividades complementarias Trabajar con los alumnos(as) las propiedades de clausura, asociatividad y conmutatividad,
de manera particular, en los nmeros enteros, de modo que mejoren su comprensin de
la estructura de este mbito numrico.
Para profundizar este contenido se pueden realizar los siguientes tipos de ejercicios:
Completa con los signos =, < >, segn corresponda.
1. 2 + 3 | 2 + 3 |
2. | 2 | + 3 | 2 + 3 |
3. 2 + 3 | 2 | + 3
4. 2 + 3 | 2 + 3 |
Informacin para el docente Para introducir la sustraccin de nmeros enteros, comentar con los alumnos(as) situaciones
cotidianas donde es necesario calcular la diferencia entre nmeros positivos y negativos, por
ejemplo, la oscilacin trmica, distancias entre altura y profundidad, saldos a favor y en
contra, etc. Al realizar este tipo de ejercicios, los estudiantes calcularn sin dificultad el
resultado de la sustraccin, por lo que ser ms fcil justificar el procedimiento a seguir,
incluso los mismos alumnos(as), guiados(as) por el docente podrn deducir el algoritmo.
SUSTRACCIN DE NMEROS ENTEROS (Pginas 24 y 25)
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UNIDAD 1 | Nmeros enteros
Errores frecuentes o posibles dificultades Para que los estudiantes logren resolver sustracciones de nmeros enteros de manera
correcta, es necesario que manejen el concepto de inverso aditivo. Se le sugiere repasar yprofundizar este concepto antes de realizar este tipo de sustracciones. Al margen de la
pgina 24, aparece una ayuda para recordar qu es el inverso aditivo de un nmero.
Actividades complementarias Para reforzar el algoritmo de la sustraccin, se propone realizar la siguiente actividad.
Completa la tabla.
a b c a b b a b c c b a c
2 3 4
5 2 6
3 4 7
3 1 5
PROBLEMAS DE ADICIN Y SUSTRACCIN DE ENTEROS (Pginas 26 y 27)
Errores frecuentes o posibles dificultades Los alumnos(as) aprendieron a calcular sustracciones transformndolas en adiciones
utilizando el inverso aditivo, pero al resolver problemas, es posible que se confundan y no
logren reconocer cundo se debe restar dos cantidades y cundo se debe sumar. Eldocente debe hacer nfasis en que al traducir el problema a las operaciones matemticas
se identifiquen correctamente las sustracciones y las adiciones y luego se realicen las
transformaciones correspondientes para encontrar el resultado.
Informacin para el docente Cuando los estudiantes resuelvan problemas donde se combinen adiciones y sustracciones
de nmeros enteros, se les puede sugerir, que agrupen los nmeros positivos y los
negativos por separado y los sumen, respectivamente, luego resten los dos resultados,
segn corresponda.
TareasRepresentar en la recta numrica las siguientes operaciones.
1. 2 + 5 (4)
2. 20 + (3 5) + 3 (2)
3. 10 (3) 4 (3 4)
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MULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROS (Pginas 28 y 29)
Informacin para el docente Es importante justificar a los alumnos(as) porqu la divisin de nmeros enteros tiene lamisma regla de los signos que la multiplicacin, simplemente recordando que una es la
operacin inversa de la otra, el docente debe mostrarles que la divisin se puede expresar
como una multiplicacin utilizando el inverso multiplicativo del divisor. Lo ms probable es
que sea necesario y til, para un mejor entendimiento de los alumnos(as), recordar la
divisin de fracciones.
En el caso de realizar ejercicios combinados, recordarles que aqu tambin se cumple la mismaprioridad de las operaciones que en los conjuntos numricos estudiados en aos anteriores.
DIVISIN DE NMEROS ENTEROS (Pginas 30 y 31)
x 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
5
x 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
5 0 5 10 15 20 25 30
Errores frecuentes o posibles dificultades La multiplicacin de nmeros enteros reside su dificultad en la regla de los signos, est seacrecienta ya que en ningn modelo anteriormente utilizado es posible representar la
multiplicacin y justificar la regla de los signos. Los alumnos(as) comnmente creen que el
producto de dos factores es mayor que cada uno de los factores, lo cual no necesariamente
ocurre en el caso de los nmeros enteros, para corregir esta idea, el docente puede
recurrir, de manera previa, a ejemplos de productos de nmeros decimales o fracciones en
que esto tampoco se cumple.
Actividades complementarias Para ayudar a los alumnos(as) a deducir la regla de los signos para la multiplicacin de
nmeros enteros, se propone realizar los siguientes ejercicios.
Completa los casilleros pintados con el producto que corresponda a cada caso.
Completa los casilleros en blanco con los productos que faltan siguiendo el orden en larecta numrica.
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UNIDAD 1 | Nmeros enteros
EJERCICIOS RESUELTOS (Pginas 32 y 33)
Actividades complementariasResuelve lo siguiente.
Pedro, al ir del colegio a su casa, decidi jugando, que por cada 6 pasos que caminara, iba a
retroceder 2, a lo cual llam una jugada. Suponiendo que cada paso mide lo mismo:
130 cm, cunto avanza si lleva 5 jugadas? Cul es la distancia entre el colegio y su casa, si
para llegar de una a otro debe realizar 120 jugadas?
Informacin para el docente El matemtico George Polya, en sus ltimos aos, invirti un esfuerzo considerable en
intentar caracterizar los mtodos generales que usa la gente para resolver problemas, y
para describir cmo debera ensearse y aprender la manera de resolver problemas. En un
plan de cuatro pasos, Polya sintetiza su visin acerca del actuar al resolver problemas:
- comprender el problema
- crear un plan
- ponerlo en prctica y
- examinar lo hecho
El docente puede poner en prctica estos 4 pasos al resolver problemas con susalumnos(as) e invitarlos a conocer ms sobre este matemtico y sus aportes.
Actividades complementariasUn buzo baj 24 metros en 4 horas a una velocidad constante.1. Cuntos metros baj en cada hora?2. Al transcurrir 3 horas, a cuntos metros del nivel del mar estaba el buzo?
Felipe, pide su estado de cuenta en un cajero automtico, en l se indica que debe $ 96.000 desu lnea de crdito. Se sabe que en los ltimos 4 das retir la misma cantidad de dinero y no serealizaron otros movimientos en su cuenta.3. Cunto dinero retir cada da?4. Al tercer da, cunto dinero haba ocupado de su lnea de crdito?
En el caso en que la divisin de nmeros enteros no sea exacta, el docente puede aprovecharesta oportunidad para introducir decimales y fraccionales negativas para posteriormente ampliar
los nmeros enteros a los nmeros racionales.
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS (Pginas 34 y 35)
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| 26 |Santillana Bicentenario
Informacin para el docente Revisar con los estudiantes el proyecto presentado al principio de la unidad. Comentar yreflexionar con ellos acerca de la importancia de los nmeros negativos en nuestra vida
cotidiana. Enfrentar a los alumnos(as) a situaciones en que deban reflexionar y proponer
soluciones a partir de lo estudiado en la unidad, por ejemplo, preguntarles qu simbologa
utilizaran para representar los nmeros negativos si no existiera el signo menos.
TRABAJO CON LA INFORMACIN Y SNTESIS (Pginas 36 y 37)
Informacin para el docente La prueba internacional TIMSS, evala las siguientes habilidades: conocimiento, uso de
procedimientos de rutina, uso de procedimientos complejos, investigacin y resolucin de
problemas, comunicacin y razonamiento. El docente puede guiarse por lo anterior y realizar
ejercicios con los alumnos(as) para evaluar cada una de estas habilidades. Tambin puede
organizar las preguntas de sus pruebas y controles en funcin de estos objetivos para que
los alumnos(as) se vean enfrentados a este tipo de medicin o bien como preparacin a la
prueba SIMCE.
PREGUNTAS TIPO SIMCE (Pginas 38 y 39)
Actividades complementarias
Escribe la expresin numrica que corresponda en cada caso y resuelve.1. A 13 le restas el cociente entre 22 y 11 y le sumas 15.2. Al cudruple de 9 le restas el producto entre 7 y 7.3. Al triple de 7 le sumas el cudruple de 8.4. A 25 le restas el triple de 10.
QU APREND? (Pginas 40 a 42)
CMO ME FUE (Pginas 42)
IndicadorN de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/sugerencias de profundizacin
Caracterizar
nmeros enteros
y reconocer
situaciones en las
que se pueden
utilizar o requerir.
1
2
3
B
D
C
2 / 3 Realizar ejercicios en que los alumnos(as) identifiquen
nmeros enteros en situaciones de la vida cotidiana y
los representen en su notacin matemtica.
Realizar ejercicios en los cuales dado un nmero
entero inventen una situacin cotidiana donde sea
pertinente la utilizacin del nmero mencionado.
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| 27 |
UNIDAD 1 | Nmeros enteros
Representar
nmeros enteros
en la recta
numrica y
establecer
relaciones de
orden.
Utilizar
conceptos como
valor absoluto einverso aditivo
de un nmero.
4
5
11
12
15
B
A
3 y 3
4
Verdadero
3 / 5 Realizar ejercicios en que deban ordenar nmeros
enteros y ubicarlos en la recta numrica. Tambin
reconocer el valor absoluto de un nmero y el
inverso aditivo utilizando la recta numrica.
Resolver ejercicios con los alumnos(as) en que
comparen valores absolutos e inversos aditivos de
nmeros por separado y mezclando ambos
conceptos.
Aplicar las
operaciones de
adicin y
sustraccin con
nmeros enteros
relacionndolas
con situaciones en
las que se utilizan.
6
7
10
13
C
A
C
2.100 C
2 / 4 Realizar ejercicios con los alumnos en que resuelvan
problemas contextualizados que involucren
adiciones y sustracciones por separado. Tambin
realizar ejercicios numricos combinando ambas
operaciones.
Resolver problemas contextualizados en que deban
calcular adiciones y sustracciones combinadas.
Calcular y utilizar
multiplicaciones y
divisiones con
nmeros enteros.
8
9
14
B
C
1.750 C
2 / 3 Realizar ejercicios numricos en que los alumnos(as)
resuelvan multiplicaciones y divisiones por separado.
Resolver problemas contextualizados en que deban
calcular multiplicaciones y divisiones combinadas.
Actividades complementarias Separar en grupos el curso y asignar a cada grupo un modelo en donde se utilice nmeros
enteros (temperatura sobre 0 y bajo 0, aos a. C. y d. C., altura y profundidad, pisos y
subterrneo, deuda o haber, etc.) y planteles que inventen un problema que pueda ser
resuelto mediante la siguiente secuencia de operaciones [(34 12) : 11] 3. Luego, que
cada grupo presente el problema inventado y en conjunto lo resuelvan e interpreten elresultado obtenido.
EJERCICIOS DE REFUERZO Y PROFUNDIZACIN (Pginas 44 y 45)
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| 28 |Santillana Bicentenario
1. Un avin vuela a 460 m de altura sobre el nivel delmar y un pez se encuentra a 18 m de profundidad.
Cmo se pueden representar ambas distancias?
A. 460 y 18
B. 460 y 18C. 460 y 18
D. 460 y 18
2. En un da la temperatura mnima fue de 10 C bajocero y la mxima de 2 C bajo cero. En cuntos
grados vari la temperatura?
A. 2 C
B. 8 C
C. 10 C
D. 12 C
3. Cul de las siguientes alternativas siempre esverdadera?
A. Todo nmero positivo es menor que un nmeronegativo.
B. Todo nmero negativo es menor que un nmeropositivo.
C. El cero es mayor que todo nmero positivo.
D. El cero es menor que todo nmero negativo.
4. Cul de las siguientes temperaturas es mayorque 2 C?
A. 5 C
B. 4 C
C. 3 C
D. 1 C
5. El valor de | 5 | es:
A. 5
B. 0
C. 5
D. 10
6. Cul de las siguientes expresiones es verdadera?
A. 2 < 3
B. 2 < 3
C. 2 < 3
D. 2 > 3
7. Qu grupo est ordenado de mayor a menor?
A. 989, 998, 1.100, 1.010, 1.001
B. 998, 989, 1.001, 1.010, 1.100
C. 989, 998, 1.001, 1.010, 1.100
D. 1.100, 1.010, 1.001, 998, 989
8. El antecesor y sucesor de 7 son, respectivamente:
A. 8 y 6
B. 6 y 8
C. 6 y 8D. 8 y 6
Evaluacin de la unidad Material fotocopiable
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.
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9. Una cuenta de ahorro tiene un saldo en contra de$ 20.000. Cunto se debe depositar para que el
monto de la cuenta sea de $ 20.000 a favor?A. $ 10.000
B. $ 20.000
C. $ 30.000
D. $ 40.000
10. El valor de 7 + 4 + 10 6 4 es:
A. 3
B. 3
C. 11
D. 11
11. A cul alternativa no equivale la operacin3 (9)?
A. 6
B. 9 3
C. 9 + (3)
D. 9 3
12. Pitgoras naci en el ao 580 a. C. y Scrates naciel ao 469 a. C. Cuntos aos hubiese cumplido
Pitgoras el ao en que naci Scrates?
A. 69 aos.
B. 110 aos.
C. 111 aos.
D. 114 aos.
13. Felipe se encuentra en el piso 5 y debe ir alestacionamiento que se encuentra en el piso 2.
Cuntos pisos recorrer Felipe? (Considera quela planta baja corresponde al piso 0).
A. 3
B. 7
C. 3
D. 7
14. Cada vez que se ingresa un nmero a una unidadprocesadora como la que se muestra a continuacin,
que realiza 3 operaciones, se obtiene un nmero
de salida.
Qu nmero de salida se obtiene al ingresar 10?
Entrada D T M Salida
D = Duplica, T = Triplica y M = Valor absoluto
A. 60
B. 10
C. 20
D. 60
15. Cul es el nmero que dividido por (5) es igual a 10?
A. 50
B. 2
C. 2
D. 50
16. La temperatura de la maana fue 2 C bajo cero yascendi 2 C por cada 30 minutos. Al cabo de
4 horas, qu temperatura se registr?
A. 18 C
B. 14 C
C. 14 C
D. 18 C
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| 30 |Santillana Bicentenario
2
Introduccin
Enestaunid
adlosy
lasestu
dian
tesa
pren
derne
lconcep
todevariac
inproporc
iona
ld
irec
tae
inversa.
Me
dian
telas
ac
tiv
ida
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drn
distingu
ir,
en
diferen
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iones,
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itu
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blesque
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ione
nproporc
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Esimportan
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logrenre
conocer
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Tam
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reso
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| 31 |
Obj
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Desarro
llar
laau
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bilida
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fren
tea
tareasy
tra
bajo
s.
Desarro
llare
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tdicoye
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ticayautocr
tica.
Ejerc
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ideas,
sen
tim
ient
os,
yconv
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ionespropias,
conc
lari
da
dye
fic
ienc
ia.
Tiempoestima
do
9a
10semanas.
Obs
ervaciones
-
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| 32 |Santillana Bicentenario
Esquema de la unidad
VARIACIONES PROPORCIONALES
Informacin para el docente Al empezar esta unidad se propone un pequeo proyecto grupal que tiene como objetivo
que los alumnos y alumnas se familiaricen con el concepto de variacin proporcional con
una variable muy mencionada en estos tiempos como lo es la energa elctrica.
La segunda pregunta del proyecto requiere que el o la alumno(a) compare dos cantidades,
invitarlo(a) a que utilice diferentes operaciones para comparar, por ejemplo, a travs de la
sustraccin, comentar si es adecuada, y a travs de la divisin, explicando sus ventajas,
tambin mencionar que a pesar de que se podra afirmar que a mayor poblacin mayor
consumo elctrico, este aumento debiera ser constante y Per contradice la conclusin, por
lo tanto no podramos hablar de variaciones proporcionales para el caso del consumo
elctrico y la cantidad de habitantes de un pas.
Para complementar la tercera pregunta mencione a sus alumnos y alumnas que Chile utiliza
agua como el principal recurso para producir energa elctrica, seguido del carbn y el gas(para mayor informacin puede visitar la pgina http://www.cdec-sic.cl/index_es.php).
PGINAS DE INICIO (Pginas 46 y 47)
Sugerencias metodolgicas
Relaciones noproporcionales
Proporcionalidadinversa
Relacionesproporcionales
Proporcionalidaddirecta
Razones
Porcentajes
Aplicacionesde los porcentajes Aplicaciones delas proporciones
-
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| 33 |
UNIDAD 2 | Variaciones proporcionales
Informacin para el docente Recordar a los alumnos y alumnos que existen diferentes maneras de comparar dos
cantidades, y una de ellas es a travs del cociente, lo que da origen al concepto de razn.
Se recomienda aclarar que una razn no es una fraccin, pero si comparten ciertas
propiedades, mencionando que una razn relaciona parte a parte, comparando cantidades
de la misma magnitud o de magnitudes diferentes.
Errores frecuentes o posibles dificultades Es complejo para los alumnos asimilar el concepto de variacin proporcional, porque deben
comprender a cabalidad el concepto de variable, lo que muchas veces produce dificultades.
Por lo tanto, es importante darles ejemplos cotidianos de magnitudes que varan
proporcionalmente, el dinero, por ejemplo, es un buen modelo para usar como una
magnitud que al relacionarla con el costo de algn producto se pueda mostrar una variacin
proporcional que aumenta, as este mismo modelo se puede utilizar con otra magnitud para
mostrar una variacin proporcional que disminuye.
QU RECUERDO? (Pginas 48 y 49)
IndicadorN de
preguntaRespuesta
Logrado
con
Remediales/
sugerencias de profundizacin
Interpretar una
razn como
comparacin
por cociente.
1
2
3
4
5
6
3 / 6 Ejercitar con los alumnos y alumnas el concepto de
razones equivalentes y el clculo del valor de una
razn. Para ayudarles a comprender pueden
relacionarse con el concepto de fracciones
equivalentes.
Dar ejemplos contextualizados de dos magnitudes
que se comparen por medio de una razn, y
conocida una de las magnitudes y el valor de la
razn, pedir que encuentren la otra magnitud. Es
importante que se muestren valores en aumento y
disminucin para resaltar que el valor de la razn es
constante.
Estados Unidos y China utilizan diferentes recursos para generar electricidad, al igual que
Chile, utilizan centrales hidroelctricas y centrales termoelctricas, pero tambin centralesnucleares, plantas geotrmicas, elicas y, hace muy poco tiempo, plantas mareo elctricas
(este recurso no es utilizado por China).
A partir de la informacin anterior, los estudiantes podrn deducir qu recursos pueden ser
utilizados por nuestro pas sin que signifiquen un gran impacto para nuestro medio ambiente.
14
2
8
10
100
4
100
300
25
1
14
35
Todas
-
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| 34 |Santillana Bicentenario
Interpretar
porcentajes
como razn
entre dos
cantidades.
7
8
9
10
25
43,46
110,4
5,2
2 / 4 Recordar a los alumnos y alumnas que un
porcentaje es una razn cuyo consecuente es
siempre 100. Repasar ejercicios en que calculen
fracciones de una cantidad. Luego realizar ejercicios
en donde deban calcular un porcentaje de una
cantidad dada, guiando a los y las alumnos(as) a que
primero transformen el porcentaje a razn y luego
multipliquen esta razn por la cantidad recordando
que se realiza de la misma manera que con las
fracciones. Ejercitar con los alumnos y alumnas el clculo
mental de cualquier porcentaje a partir de aquellos
que son sencillos de calcular (10%, 5%, 50%, etc.).
Expresar un
porcentaje
como fraccin onmero decimal.
13
14
15
16
2 / 4 Realizar ejercicios de siguiente tipo:
- Dadas distintas fracciones, amplificar hasta
obtener denominador 100 y luego transformar aporcentaje.
- Mostrar fracciones donde el denominador no
sea divisor de 100, transformar a porcentaje
(Aqu, sugerir al alumno o alumna transformar a
decimal y multiplicar por 100).
- Mostrar fracciones o decimales infinitos
(peridicos y semiperidicos) y pedir que los
transformen a porcentaje.
Estos ejercicios pueden servir tanto para remediar
como para profundizar, depender de la ayuda
proporcionada por el docente, y de la dificultad de los
valores utilizados.
50%;
; es la
mitad.
1
2
50
100
25%;
; es la
cuarta parte.
14
25
100
10%;
; es la
dcima parte.
1
10
10
100
20%;
; es la
quinta parte.
1
5
20
100
-
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| 35 |
UNIDAD 2 | Variaciones proporcionales
Interpretar
informacin real
en donde
aparecen
porcentajes.
17
18
19
20; quinta
90
25
2 / 3 Es importante que los alumnos y alumnas puedan
calcular complementos de porcentajes, tanto
expresados como porcentajes, como en fracciones
o decimales. Realizar ejercicios de este tipo
mezclando porcentajes expresados en fraccin o
decimal. Para los alumnos(as) aventajados utilizar
porcentajes y fracciones poco usuales. Para alumnos
menos aventajados usar porcentajes y fracciones
conocidas (50%, 25%, 10%, , , , etc.)3
4
1
4
1
2
Resolver
problemas en
donde aparecen
porcentajes.
11
12
El rojo
El azul
1 / 2 Analizar con los y las estudiantes que el porcentaje
de una cantidad vara proporcionalmente a esta, es
decir, si se calcula un mismo porcentaje a dos
cantidades ser mayor aquel cuya cantidad inicial
es mayor.
Realizar con los alumnos(as) ejercicios en que
calculen porcentajes sucesivos y mostrarles que al
calcular el a% de una cantidad y luego el b% del
resto, no es lo mismo que calcular el (a + B% de la
cantidad original).
Informacin para el docente Es importante aclarar a los y las estudiantes que dos razones equivalentes forman una
proporcin. Es recomendable hablar de la constante de proporcionalidad como el valor
constante en las razones que forman la proporcin. Esto ser til al resolver ejercicios en los
cuales existan ms de dos razones.
Actividades complementarias Para profundizar el contenido de estas pginas, se pueden realizar ejercicios en donde se
pida encontrar ciertos valores a partir de razones sucesivas, por ejemplo: Los ngulos
interiores de un pentgono irregular estn en la razn 1 : 2 : 1,5 : 3 : 0,5 , cul es la medida
de cada ngulo?
Tambin se puede ejercitar el concepto de proporcionalidad realizando ejercicios en donde
se d una razn determinada y se pida encontrar otras que formen una proporcin con la
original.
PROPORCIONES (Pginas 50 y 51)
-
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| 36 |Santillana Bicentenario
Informacin para el docente Para los ejercicios en que es conocida una de las razones y adems se conoce la suma o la
resta de las cantidades que forman la otra razn (por ejemplo, los ejercicios 9 y 10), es til
que los alumnos(as) conozcan las propiedades de las proporciones que facilitarn la
resolucin de ese tipo de problemas. Estas son:
- Composicin de proporciones:
Si a : b = c : d entonces, = , o bien = .
- Descomposicin de proporciones:
Si a : b = c : d entonces, = , o bien = .
- Es importante que los y las alumnos(as) comprueben estas propiedades, para lo cual
pueden reemplazar los valores, a partir de dos razones que sepan de antemano que
forman una proporcin.
c d
d
a b
b
c d
c
a b
a
c + d
d
a + b
b
c + d
c
a + b
a
Informacin para el docente Es importante que los y las estudiantes comprendan a cabalidad que dos magnitudes puedenrelacionarse de diferentes maneras, puede mostrarles ejemplos en que a dos magnitudes se
agregue o se disminuya una cantidad constante. Preguntar a los alumnos(as) estas
magnitudes varan constantemente?, la gran mayora contestar que s, luego preguntar a los
alumnos cmo estn comparando, por medio de que operacin?, algunos mencionarn por
medio de la sustraccin, por lo tanto, pedir a los alumnos(as) que comparen a travs del
cociente. Al realizar esto se darn cuenta que la razn no es constante, por lo que el
docente debe hacer nfasis en que la variacin de las magnitudes no es proporcional y que
esta es la condicin necesaria y suficiente para que dos magnitudes varen
proporcionalmente
Actividades complementariasDiscutir con los y las alumnos(as) en cules de los siguientes problemas las magnitudes
varan proporcionalmente:
1. Al comprar 3 kg de pan, Esteban paga $ 750, y al comprar 5 kg paga $ 1.250.2. Javier manda una cadena de e-mails a 5 compaeros y cada uno de ellos a su vez manda
este e-mail a 5 amigos ms y as sucesivamente.
3. Dos amigos se toman una bebida de 2 litros en una hora, en cambio, seis amigos se toman
esta misma cantidad en media hora.
Tarea
Pedir a los y las estudiantes que busquen ejemplos de magnitudes que varenproporcionalmente y no proporcionalmente, determinando la razn constante en los
casos que corresponda.
VARIACIONES PROPORCIONALES Y NO PROPORCIONALES (Pginas 52 y 53)
-
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UNIDAD 2 | Variaciones proporcionales
PROPORCIN DIRECTA (Pginas 54 a 57)
Magnitud 1 Valor 1 de magnitud 1 Valor 2 de magnitud 1 Valor 3 de magnitud 1 Etc.
Magnitud 2 Valor 1 de magnitud 2 Valor 2 de magnitud 2 Valor 3 de magnitud 2 Etc.
coc
ien
te
Errores frecuentes o posibles dificultades Los alumnos(as) suelen afirmar que dos magnitudes son directamente proporcionales soloporque ambas aumentan o disminuyen a la vez. Por esto el docente debe hacer nfasis en
que esta caracterstica es necesaria pero no suficiente para que dos magnitudes sean
directamente proporcionales, se debe cumplir adems que el cociente entre ellas sea
constante. Al listar los distintos valores de las magnitudes horizontalmente, se facilita el
clculo del cociente para verificar que sea constante, como se muestra a continuacin.
Informacin para el docente Aclarar a los estudiantes que para el clculo del cociente entre las magnitudes pueden
realizar la divisin en el orden segn como resulte ms sencillo el clculo, aunque
obviamente el orden en que se realiza una divisin afecta el cociente. En el caso en que pida la constante de proporcionalidad indicar el orden en que se quiere
que se realice la divisin. Si las magnitudes estn expresadas en un grfico indicar a los
alumnos(as) que el cociente se realiza del siguiente modo:
magnitud eje y / magnitud eje x
Utilizar ejemplos relacionados con la fsica o qumica en donde es significativo el uso de
magnitudes que varan proporcionalmente.
Actividades complementariasConstruye una tabla de valores y el grfico correspondiente para encontrar la respuesta a
las siguientes situaciones.
1. Una fotocopiadora hace 60 copias por minuto. Si se necesita fotocopiar una enciclopedia
de 3.600 pginas, cunto tiempo se demora la mquina en hacerlas?
El arriendo de un estacionamiento cuesta $ 600 por hora. Cunto se debera pagar por
5 horas de estacionamiento?
La siguiente actividad se propone para profundizar el contenido tratado en estas pginas.
2. Si la velocidad de un mvil es constante v = , cules de estas magnitudes (velocidad,
tiempo y distancia. son directamente proporcionales? Por qu?
3. Si el Peso de nuestro cuerpo en la tierra se calcula con la frmula P = m g, cul de estasmagnitudes (peso, masa y gravedad. son directamente proporcionales? Por qu?
d
t
-
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| 38 |Santillana Bicentenario
TareaAnaliza el siguiente grfico y luego contesta las preguntas.
El grfico corresponde a la trayectoria de dos automviles, uno de color rojo y el otro azul,
en un tiempo determinado, sin que cambien sus velocidades en el tiempo.
1. Cul de los dos va ms rpido?, por qu?
2. En cunto tiempo el auto rojo recorrer 60 km y el azul 480 km?
3. Cul es la razn que se mantiene constante para el auto rojo?, y para el azul?, esta razn
a qu magnitud fsica corresponde?
IndicadorN de
preguntaRespuesta
Logrado
con
Remediales/
sugerencias de profundizacin
Resolver
problemas que
involucran
razones,
proporciones y
la propiedad
fundamental de
las proporciones.
1
2
B
C
2 / 2 Mostrar formas alternativas para reconocer cuando
dos razones forman una proporcin utilizando
propiedades de las fracciones, por ejemplo, dadas
dos razones identificar si una puede ser obtenida a
partir de la otra amplificando o simplificando, o bien,
verificar si al simplificar ambas razones se puede
obtener una misma razn.
Se sugiere realizar ejercicios en que se busque un
trmino desconocido de la proporcin utilizando elteorema fundamental.
Relacionar
magnitudes e
identificar
relaciones
proporcionales
y no
proporcionales.
3 C
2 / 2 Para que a los estudiantes les sea ms fcil
reconocer una variacin proporcional entre dos
magnitudes, fomentar en ellos razonamientos del
tipo: si duplico una magnitud, se duplica la otra? o
bien si diminuyo a la mitad una magnitud,
disminuye a la mitad la otra?, etc.
CMO VOY (Pginas 58 y 59)
120
110
100
90
80
70
60
50
40
20
10
0
Distancia (km)
Tiempo (h)1 2 3
-
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UNIDAD 2 | Variaciones proporcionales
4 D
Tambin es til y facilita la comprensin usar
modelos geomtricos para identificar magnitudes
proporcionales.
Relacionar
magnitudes e
identificar
relaciones
directamente
proporcionales.
5
7
C
D
2 / 2 Realizar ejercicios en que se conozca la constante
de proporcionalidad y una magnitud y se pida
determinar la otra.
Pedir al estudiante que resuelva situaciones en las
cuales se deban utilizar magnitudes fsicas o
qumicas, por ejemplo, dar la velocidad de un auto ypedir que calculen el tiempo en recorrer una cierta
distancia.
Identificar e
interpretar la
grfica de
relacionesdirectamente
proporcionales.
6 B
1 / 1 Analizar grficos contextualizados realizando
preguntas tanto de comprensin del grfico como
informacin que se puede extraer a partir de l.
Resolver
problemas de
aplicacin donde
se relacionen
magnitudes
proporcionales
(directa y no
proporcionales.
8
- Se necesitan
12 tarros.
- Con 20
tarros se
puede pintar
70 m2.
1 / 1 Al realizar ejercicios de este tipo, guiar a los
alumnos(as) a seguir un mtodo de resolucin
ordenado, como por ejemplo: identificar las
magnitudes, formar la proporcin correspondiente,
usar el teorema fundamental y resolver para
encontrar el dato faltante.
Actividades complementarias Comentar con los alumnos(as) situaciones cotidianas en las cuales existan magnitudes, de
modo que al aumentar una de ellas, la otra disminuya, luego reflexionar acerca de cuales
situaciones representan una variacin proporcional inversa. Para variar un poco la actividad,
puede proponer una magnitud y pedirle a los alumnos(as) que encuentren otra que se
relacione inversamente proporcional a esta.
PROPORCIONALIDAD INVERSA (Pginas 60 y 61)
-
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Errores frecuentes o posibles dificultades Los alumnos(as) tienden a pensar que solo basta con que una magnitud aumente y la otra
disminuya para que exista una relacin de proporcionalidad inversa. Para aclarar lo anterior,
haga nfasis en que el producto entre ambas magnitudes debe ser constante y que siempre
se debe verificar esto antes de concluir la relacin proporcional que existe entre ambas
magnitudes.
Informacin para el docente Al resolver problemas que involucran una proporcin inversa y uno de los trminos de la
proporcin es desconocido, es usual utilizar el mtodo de invertir la razn donde est el
trmino desconocido y multiplicar cruzado. Para explicar este mtodo se sugiere usar ladefinicin que diferencian ambas proporciones, para la directa el cociente es constante y
para la inversa el producto es constante. As:
Actividades complementariasIndica si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales. Justifica.
1. Litros de bencina y kilmetros recorridos por un vehculo.
2. La cantidad de alimento para perros y el nmero de perros que sern alimentados.
3. Ingreso percpita y nmero de integrantes del grupo familiar.
Resuelve los siguientes problemas.
4. 15 mquinas iguales hacen su trabajo en 5 das. Cuntas mquinas se necesitan para hacer
el trabajo en un da?
5. Si van 12 nios al campamento, los alimentos durarn 6 das. Si todos comen la misma
cantidad, cuntos das durar la comida si van 20 nios?
= x
c
a
b
a c = x b
= xa cb
| 40 |Santillana Bicentenario
Informacin para el docente
Una proporcin inversa es una funcin racional del tipo y = donde k es la constante de
proporcionalidad e y y x las magnitudes que son inversamente proporcionales.
Los grficos para las funciones de este tipo son hiprbolas, donde sus asntotas son los ejes
coordenados (asntota horizontal y = 0, asntota vertical x = 0), el signo de k nos indica en
k
x
GRFICO DE PROPORCIONALIDAD INVERSA (Pginas 62 y 63)
= x
c
a
b
a x = b c
x = b ca
cocienteconstante
productoconstante
Proporcin directa Proporcin inversa
-
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UNIDAD 2 | Variaciones proporcionales
PORCENTAJES (Pginas 64 y 65)
APLICACIONES DE LAS PROPORCIONES (Pginas 66 y 67)
APLICACIN DE LOS PORCENTAJES (Pginas 68 y 69)
que cuadrante se encuentra la hiprbola, si k es positivo, se encuentra en los cuadrantes
I y III, si es negativo en los cuadrantes II y IV. Es importante que los alumnos(as) observen que
las ramas de la hiprbola nunca tocan los ejes coordenados, y que la funcin se indefine cuando
x = 0.
Errores frecuentes o posibles dificultades A los alumnos(as) les dificulta realizar el grfico de una proporcin inversa, un error
frecuente es que logran graficar los puntos pero tienden a unirlos con una lnea recta. Para
evitar esta situacin se sugiere fundamentar por qu el grfico de una proporcin inversa
es una curva y no una recta como el de la proporcin directa.
Informacin para el docente Es importante que el alumno(a) se acostumbre a utilizar distintas representaciones de un
porcentaje: notacin fraccionaria, porcentaje, decimal, etc.
Errores frecuentes o posibles dificultades Al resolver problemas que involucran porcentajes, muchos alumnos(as) al plantear la
proporcin correspondiente, no logran identificar que uno de los trminos est implcito (el
que corresponde al 100%), y en consecuencia, creen que les faltan dos datos por buscar.
TareaPedir a los alumnos(as) que busquen informacin en la prensa, diarios o Internet, de noticias
donde se utilicen porcentaje adecuadamente y donde no sea pertinente su utilizacin.
Informacin para el docente En la direccin
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm
se pueden encontrar aplicaciones de la proporcionalidad relacionada con geometra
(homotecia).
Errores frecuentes o posibles dificultades Un error frecuente es que los alumnos(as) piensan que al aumentar en a% una cantidad y
luego a este resultado disminuirlo en un a% se vuelve a obtener la cantidad original. Para
evitar lo anterior, pedir que resuelvan ejercicios de este tipo y comprueben que la cantidad
original no es igual a la cantidad resultante. Por ejemplo:
- Juan compra un artculo en $ 90.000 y lo vende con un 10% de ganancia. En seguida el artculose vuelve a vender pero ahora con 10% de prdida. El artculo queda en el precio original?
-
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| 42 |Santillana Bicentenario
Actividades complementariasResuelve el siguiente problema anotando todos los pasos realizados para obtener el
resultado.
1. Pedro deposit en una cuenta de ahorro $ 10.000 con una tasa de inters mensual de 3,5%.
Construye una tabla para representar el aumento del dinero de Pedro en el transcurso de
los meses. Luego grafica.
EJERCICIOS RESUELTOS (Pginas 70 y 71)
Informacin para el docente En el marco del estudio de los procesos de razonamiento matemtico se presenta una
investigacin para analizar las posibles relaciones entre los logros cognitivos alcanzados
durante el estadio del pensamiento formal y la resolucin de problemas matemticos.
78 alumnos(as) fueron estudiados mediante la prueba de razonamiento lgico TOLT, y con
una prueba de resolucin de problemas matemticos. Los resultados sugieren que son los
alumnos(as) con mayor nivel de pensamiento formal los que mejor resuelven los problemasmatemticos. Sin embargo, tan solo el 36% de estos fue capaz de resolver problemas donde
los esquemas de proporcionalidad estn presentes. Los resultados sugieren que alcanzar el
nivel de razonamiento formal no es suficiente para saber aplicarlo en problemas
matemticos concretos, siendo necesario adquirir el conocimiento especfico para llevar a
cabo una correcta resolucin.
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS (Pginas 72 y 73)
Informacin para el docente Comentar con los alumnos(as) el proyecto grupal planteado al inicio de la unidad para que
compartan la informacin recolectada por ellos acerca de las centrales de energa elctrica.
En cuanto al dao del medioambiente, los alumnos(as) pueden buscar informacin en la
pgina http://www.cne.cl/ y generar un debate dentro del grupo o entre todos los grupos
respecto de este tema.
TRABAJO CON LA INFORMACIN Y SNTESIS (Pginas 74 y 75)
Informacin para el docenteEn la pgina
http://www.simce.cl/fileadmin/Documentos_y_archivos_SIMCE/orientacion/Orientaciones
8o-14.pdf podr encontrar informacin acerca de las orientaciones didcticas del SIMCE de
octavo ao, los aspectos ms relevantes de esta medicin y los conocimientos y habilidadesque sern evaluados de acuerdo con los Objetivos Fundamentales y CMO del Marco
Curricular vigente.
PREGUNTAS TIPO SIMCE (Pginas 76 y 77)
UNIDAD 2 | V i i i l
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| 43 |
UNIDAD 2 | Variaciones proporcionales
QU APREND? (Pginas 78 a 80)
IndicadorN de
preguntaRespuesta
Logrado
con
Remediales/
sugerencias de profundizacin
Establecer
proporciones
entre razones e
identificar
variaciones
proporcionales.
1
2
3
4
B
C
A
B
3 / 4 Realizar ejercicios en que los estudiantes reconozcan
una proporcin verificando a travs del teorema
fundamental, o utilizando otro mtodo y que
busquen un trmino que falta.
Realizar ejercicios en que apliquen proporcionalidad
ya sea a travs de escalas u otros ejercicios
contextualizados.
Resolver
situaciones de
proporcionalidad
directa mediante
tablas y grficos,
estableciendo la
constante deproporcionalidad.
5
6
12
C
B
$ 82.500
2 / 3 Realizar ejercicios en que los estudiantes relacionen
el grfico de una proporcin directa con la tabla de
valores o bien con la constante de proporcionalidad.
Realizar ejercicios de problemas contextualizados
que involucren proporcionalidad directa en que
deban utilizar una estrategia de resolucin y
contestar una pregunta formal.
Resolver
situaciones de
proporcionalidad
inversa mediante
tablas y grficos,
estableciendo la
constante de
proporcionalidad.
7
8
9
10
13
C
Inversa
K = 120
10; 8; 2,4
0,39 h
3 / 5 Realizar ejercicios en que los alumnos(as) deban
completar tabla de doble entrada en donde las
magnitudes sean inversamente proporcionales.
Realizar ejercicios en donde los alumnos(as) deban
graficar dos magnitudes inversamente
proporcionales y deban responder preguntas a
partir del grfico.
Resolver
situaciones que
Implican
aplicaciones de
las proporciones.
11. a
11. b
11. c
11. d
14
24
21%
15
27%
Ambas
3 / 5 Realizar ejercicios donde los estudiantes deban
identificar distintos tipos de escala para diferentes
contextos.
Realizar ejercicios que se enfrenten a problemas
contextualizados en los cuales se utilicen
aplicaciones de proporciones, tales como, escalas,
porcentajes aplicados al comercio, etc.
Actividades complementariasResuelve los siguientes ejercicios.
1. Si una tienda exhibe en su vitrina la oferta lleve 3 y pague 2, cul es el porcentaje dedescuento por producto, si el pago total es $ 1.650?
2. Un producto se vende sin IVA y cuesta $ 8.735. Cunto cuesta el producto con el IVA includo?
EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIN (Pginas 82 y 83)
-
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| 44 |Santillana Bicentenario
1. Cul es el valor que falta en la siguiente proporcin?
A. 2
B. 3C. 5
D. 8
2. En un video club se anuncia que por cada 5 videos
que se arrienden, se puede llevar otros 2 sin costo.
Cuntos hay que arrendar para obtener 6 gratis?
A. Se deben arrendar 3 videos.B. Se deben arrendar 10 videos.
C. Se deben arrendar 15 videos.
D. Se deben arrendar 12 videos.
3. Un actor de teatro memoriza 15 lneas de su
parlamento en 25 minutos. En esa misma razn y en
las mismas condiciones, cunto tiempo necesita para
memorizar 120 lneas?
A. 120 minutos.
B. 200 minutos.
C. 250 minutos.
D. 300 minutos.
4. Elige la alternativa que corresponda a dos magnitudes
que sean directamente proporcionales.
A. Rapidez con que camina un alumno(as) y
tiempo en que se demora en llegar caminando
al colegio.
B. Nmero de objetos vendidos y ganancia.
C. Duracin de los turnos de una fiesta y elnmero de voluntarios para hacer el turno.
D. Peso de una persona y talla de la misma.
Evaluacin de la unidad Material fotocopiable
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.
X
12
10
15=
5. En una construccin, 5 maestros pintan una pared en
2 horas. Si un da se ausentan 3 maestros, cunto se
demorarn en pintar una pared igual a la anterior?
(Supn que todos los maestros trabajan al mismo ritmo).
A. 1,2 h
B. 2 h
C. 3,5 h
D. 5 h
6. Elige la alternativa que correspondan a dos magnitudes
que sean inversamente proporcionales.
A. Cantidad de kg recolectados por los alumnos(as)
si cada alumno(a) trajo 1 kilogramo.B. Cantidad de dinero que ahorra una persona en
1 ao y cantidad que deposita cada mes.
C. Cantidad de entradas que debe vender cada
alumno y el n de alumnos que vendern.
D. Edad de cada alumno y los aos que le faltan para
la mayora de edad.
7. Un mapa esta hecho a escala 1 cm : 150 km. Si la
distancia entre dos lugares es de 750 km, a qu longitud
corresponde en el mapa:
A. 0,5 cm.
B. 2,5 cm.
C. 5 cm.
D. 7,5 cm.
8. Un grifo de 3 cm3 demora 18 horas en llenar un
estanque. Cuntas horas emplear en llenar el mismo
estanque otro grifo de 6 cm3?
A. 9 h
B. 36 h
C. 12 h
D. 15 h
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9. Una bacteria mide 0,5 mm de longitud. Si se
quiere hacer un dibujo a escala de ella usando
100 mm : 1 mm, cunto medir la bacteria enel dibujo?
A. 0,005 mm.
B. 0,05 mm.
C. 5 mm.
D. 50 mm.
10. Si una escala de notas evala con un 4,0 al 60% de
las respuestas correctas, cuntas respuestas correctas
debera tener un alumno en una prueba de
25 preguntas para obtener un 4,0?
A. 15 correctas.
B. 17 correctas.
C. 18 correctas.
D. 19 correctas.
11. De qu nmero es 15 el 15%?
A. 15
B. 25
C. 100
D. 115
12. El precio con IVA de un producto es $ 35.000. Cul
es el precio aproximado del producto, sin IVA?
A. $ 17.000
B. $ 29.411
C. $ 28.700
D. $ 41.300
13. Si a un vestido se le descuenta el 10% de su valor,
cuesta $ 12.500. Cul es el precio aproximado del
vestido sin el descuento?
A. $ 13.880
B. $ 13.889
C. $ 13.900
D. $ 13.989
14. Si la sombra de un rbol mide el triple de su altura,
en qu razn estn el rbol y su sombra?
A. 1 : 4
B. 4 : 1
C. 1 : 3
D. 3 : 1
15. Felipe deposit un milln de pesos en el banco
durante 6 meses. Cada mes gan 1% de inters
simple. Qu monto tiene al cabo de 6 meses?A. $ 1.051.010
B. $ 1.061.520
C. $ 1.060.000
D. $ 1.600.001
16. El 30% de 3 equivale a:
A. el 100% de 3.
B. el 3% de 30.
C. el 100% de 90.
D. 90.
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| 46 |Santillana Bicentenario
3
Introduccin
Esta
unidad
tiene
como
objetivom
ostrara
los
alumnosy
alumnas
construcciones
geomtricascon
instrumento
sbsicosdemedicin,com
olosonlaregla,
laescuadra,eltransportadoryelcomps,y
tambin
mostraralgunasconstruccionesconunsoftwaregeomtrico.
Se
realizanprimerolasconst
ruccionesbsicas
yelementalesquesonlabasedelas
construccionesmscomplejas,p
artiendoconelnguloysubisectriz,
rectasparalelasyperpendiculares.A
partirdeesto,seconstruyen
tringulosycuadrilteros.
Adems,e
nesta
unidadserecordarnyreforzarnpro
piedadesquecaracterizan
aestasfigurasgeomtricas,c
ondiferentes
manerasde
comprobarlasydededucirlas.