equipe técnica de matemática área de matemática ... · pdf...

Caro(a) aluno(a),

Neste Caderno, você estudará Geometria. Esse estudo começa com o reconhecimento, a observação e a classificação de figuras planas e espaciais. Para tanto, serão realizados trabalhos em grupos, cada participante deverá escolher uma figura e todos os integrantes irão registrar as características identificadas. Com seus colegas de classe, você trocará experiências para desenvolver habilidades relacionadas à classificação com base na observação e na resolução de problemas.

Serão apresentadas, também, diversas atividades para o estudo inicial da Geometria dos sólidos. Você aprenderá a construir algumas figuras em três dimensões, usando canudos, linha de costura e outros materiais. Além disso, você terá a oportunidade de fazer um cubo, utilizando uma folha de cartolina (ou de papel sulfite), e de estudar as planificações possíveis desse sólido.

Você conhece um jogo chamado dominó? Ele é formado por peças compostas por dois quadrados. Neste Caderno lhe será apresentado um jogo de poliminó, que, por sua vez, é formado de peças compostas por até cinco quadrados. Com os poliminós você poderá resolver vários desafios muito interessantes.

Esperamos que você participe de todas as atividades propostas por seu professor e, com isso, possa aprender cada vez mais!

Equipe Técnica de MatemáticaÁrea de Matemática

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENPSecretaria da Educação do Estado de São Paulo

Matemática 5a série/6o ano Volume 3

3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 DEFINIR E CLASSIFICAR EXPERIMENTANDO

!?

VOCÊ APRENDEU?

Agora você vai trabalhar em grupo. Com a ajuda de seu professor, forme pequenos grupos (de 3 ou 4 participantes), discuta cada uma das perguntas a seguir e escreva em seu caderno as conclusões do seu grupo. Lembrese de que, para realizar um bom trabalho coletivo, seu grupo deve estar atento às seguintes regras:

• Quandoumparticipantedogrupoestáfalando,osoutrosdevemouvi-loemsilêncio.Essaregra é importante porque, quando mais de uma pessoa fala ao mesmo tempo, dificilmente conseguimos entender o que cada uma está querendo dizer.

• Todososmembrosdogrupodevemparticipardasdiscussões.Seumintegranteestáparticipando muito mais do que o outro, ele deve deixar que aqueles que tenham participado menos possam expressar suas ideias.

Ao final da atividade, seu grupo deverá fazer uma autoavaliação do trabalho levando em consideração as regras estabelecidas. Bom trabalho!

Figuras para realização da atividade

12

3

4

5

67

8

10

9

1112

1314

1516

1718 19 20


4

21 22 23 24

25

26

27 28

3332

31

3435

2930

37

36

38 39

40 4142

43

4445

50

49

48

46

47

1. Um participante do grupo deve escolher uma das 50 figuras e cada integrante deverá citar uma característica da figura escolhida. Em seguida, é a vez de outro participante escolher e repetese a atividade até que todos os integrantes tenham escolhido, cada um, uma figura. Registre na tabela a seguir as características observadas.


5

Nome do aluno que escolheu a figura:

Número da figura escolhida:

Nome do aluno Característica identificada








6




2. Cada integrante do grupo deve escolher uma figura e citar uma de suas características. Em seguida, todos os outros integrantes do grupo devem listar quais das 50 figuras têm a característica escolhida. Cada um deverá preencher a tabela a seguir.

Nome do aluno

Número da figura e característica escolhida

Número das figuras com a característica escolhida

Nome do aluno



Nome do aluno




7

Nome do aluno



LIÇÃO DE CASA

1. Utilizando as 50 figuras com que você trabalhou em classe, preencha a tabela com os números das figuras que atendam às características apresentadas.

Característica Número das figuras

Figuras com apenas 3 lados (retos ou curvos)

Figuras com apenas 3 lados retos

Figuras com apenas 3 “bicos”

Figuras com pelo menos 4 lados retos

Figuras com pelo menos 1 par de lados paralelos

Figuras com todos os lados de mesma medida

Figuras com lados formando uma “quina” perfeita

(lados “em cruz”)

VOCÊ APRENDEU?

1. Muitas das características que você identificou na atividade em grupo (e na lição de casa) recebem nomes específicos na Matemática. Sua tarefa agora será estabelecer uma correspondência entre as nomenclaturas “oficiais” dessas características na Matemática e a descrição que você fez. Para a realização dessa tarefa, você poderá utilizar o dicionário e recorrer à ajuda de seu professor.


8

Nomenclatura “oficial” na Matemática

Característica correspondente e um exemplo

Polígono

Figuras com 4 lados retos. Exemplo:

19

Triângulo

Figuras com pelo menos 1 lado curvo. Exemplo:

38

Figuras com lados retos e “buracos”. Exemplo:

17

Polígono convexo

Bicos de uma figura com lados retos. Exemplo:

13


9

Lados “em cruz”, ou formando uma “quina perfeita”. Exemplo:

45

Paralelogramo

Triângulo com um ângulo “em cruz” (“em quina”). Exemplo:

36

Triângulo que tem pelo menos 2 lados iguais. Exemplo:

34

Triângulo escaleno

2. No espaço a seguir, você deve registrar outras definições “oficiais” da Matemática que seu professor vai apresentar para a classe.


10

LIÇÃO DE CASA

1. Preencha a tabela a seguir, com base nas 36 figuras apresentadas abaixo.

1

2

3

4

55

6

7

8

13

12

119

10

191817

1615

14

20 21

2223

24

25

2627

28

29

30

32

31

34

33

36

35


11

Nomenclatura “ofi cial” na Matemática Defi nição Figuras

Triângulo Polígono de 3 lados 20 a 34

Polígono de 4 lados

Triângulo equilátero

Quadriláterocom4 ângulos retos

4, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19

Polígono não convexo

VOCÊ APRENDEU?

1. Cole o tangram disponível no fi nal deste Caderno (Anexo 1) em uma cartolina e, em seguida, recorte suas 15 peças e ordeneas pelo “tamanho”.

2.Qualdas15figurasque compõemo tangram temmenor comprimento total?Qual temomaior comprimento? (Caso necessário, utilize sua régua nesta atividade.)

© S

amue

l Silv

a

Leitura e Análise de Texto

Dizemos que duas fi guras são semelhantes quando têm a mesma “forma”, mas tamanhos diferentes. Faça a seguinte experiência com as fi guras de três lados do tangram:

• coloqueamaiordelassobreamesa,fiqueempécomosolhosafastadosdamesa.Pegue outra fi gura de três lados e, tapando um dos olhos, tente encontrar uma posição que faça uma sobreposição perfeita das duas fi guras. Se a sobreposição acontecer, dizemos que as duas fi guras são semelhantes.


12

3. Liste os triângulos semelhantes que você encontrou.

4. Repita o experimento com os quadriláteros do tangram e liste os que são semelhantes.

5. Comparando os resultados obtidos nas Atividades 3 e 4 desta seção, escreva uma regra que seja válida tanto para os triângulos quanto para os quadriláteros e que também garanta a semelhança.

LIÇÃO DE CASA

1. Separe todos os triângulos do tangram, ordeneos pelo seu perímetro, depois pela sua área e, por fim, compare essas ordenações. Registre as conclusões sobre o que você observou na comparação entre as duas ordenações.


13

2. Forme polígonos de 5 e 6 lados com algumas peças do tangram. Desenhe os resultados obtidos no espaço a seguir.


14

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 PLANIFICANDO O ESPAÇO

!?

É possível construir figuras em três dimensões usando vários tipos de materiais, como papelão, cola e fita crepe, ou ainda canudos, linha e agulha. Lendo este texto, você aprenderá a construir algumas figuras em três dimensões usando canudos, linha e agulha. Essa atividade será supervisionada pelo professor e deve ser realizada em classe. Para a atividade, serão necessários alguns canudos, uma tesoura sem ponta, linha e uma agulha de costura.

Leia atentamente a explicação a seguir e interprete o desenho que descreve, passo a passo, a construção de um cubo com suas diagonais. No desenho, convencionaremos que uma seta simples ( ) indicará o sentido em que a linha deve ser passada no canudo vazio, e a seta dupla ( ) o sentido em que a linha deve ser inserida em um canudo já ocupado por uma linha.

1o passo:

12

34

2o passo:

181

3

98 10 15

11

125617

1327

14416

3o passo:


© C

onex

ão E

dito

rial


15

Você deve ter notado que seu cubo não está muito rígido. Podemos obter uma rigidez maior dividindo cada quadrado em dois triângulos e construindo com os canudos as diagonais do cubo e de suas faces.

4o passo:

© C

onex

ão E

dito

rial

VOCÊ APRENDEU?

1. Agora você vai construir um cubo utilizando cartolina ou uma folha de papel. Copie em uma cartolina a figura indicada no final deste Caderno (Anexo 2). Se não tiver uma cartolina, recorte a folha do Anexo 2 e faça a atividade com o papel recortado. Faça as dobras indicadas na figura a seguir e use fita adesiva para fixar as bordas.

Planificação do cubo

Construção do cubo a partir da sua planificação

© C

onex

ão E

dito

rial


16

2. Observe as três planificações a seguir e indique qual(is) delas pode(m) ser planificação(ões) de um cubo.

a) b) c)

3. As planificações a seguir não formam cubos. Como você pode concluir isso rapidamente?

a) b) c)

4.Quaisdasplanificaçõesaseguirformamcubosequaisnãoformam?Procurerespondersemmontar os cubos, mas, se isso não for possível, copie cada planificação em uma folha, recorte e tente montar o cubo.

a) b) c) d)


17

LIÇÃO DE CASA

1. É possível formar um cubo quando temos uma planificação com cinco quadrados alinhados e um não alinhado? Justifique sua resposta.

Poliminós são figuras planas formadas pela justaposição de certo número de quadrados iguais, de maneira que um lado inteiro de um quadrado (face) fique em contato com um lado inteiro de outro quadrado (outra face). Assim, por construção geométrica, existe somente um poliminó de um quadrado (chamado monominó) e um poliminó de dois quadrados (dominó); dois poliminós de três quadrados (triminós), cinco poliminós de quatro quadrados (tetraminós) e, assim, sucessivamente.

Desafio!

1) 4)

2)

3)


18

• Desenheospentaminós(minósformadospor5quadrados)diferentesqueexistem.

R TI UL VN P

Y ZW X

VOCÊ APRENDEU?

1. Como você concluiu na seção Desafio!, existem 12 pentaminós diferentes. A seguir, eles estão desenhados e a cada um deles associamos uma letra do alfabeto (as letras foram escolhidas em referência à forma do pentaminó).


19

Recorte a folha quadriculada no final deste Caderno (Anexo 3), colea sobre uma cartolina, pinte nela os 12 pentaminós e recorteos.

(Observação: se não tiver uma cartolina, desenhe e recorte diretamente na folha quadriculada.)

2. Pegue seus 12 pentaminós e forme um circuito fechado com diferentes quantidades de quadrados na região interior do circuito.

A linha que delimita a região interior deve circundar o mais “por fora” possível o circuito, passando uma única vez pela aresta que une dois pentaminós (a Figura 1 exemplifica um possível circuito e a Figura 2 indica que esse circuito deixou 11 quadrados na região interior).

Figura 1 Figura 2

Desenhe o circuito que você formou na malha a seguir.


20

LIÇÃO DE CASA

1. Monte um retângulo 6 × 10 com os 12 pentaminós e pinte no quadriculado a seguir o resultado que você obteve.


VOCÊ APRENDEU?




21

Pinte no quadriculado a seguir os 35 hexaminós diferentes que existem.

Desafio!

VOCÊ APRENDEU?

1. Desenhe as vistas frontal, lateral e superior de cada um dos objetos sobre a mesa, na tabela a seguir.

© C

onex

ão E

dito

rialSuperior

Lateral

7

1

2

3 4

5

6

Frontal


22

Figura Frontal Lateral Superior

1

2

3

4

5

6

7


23

2. A figura a seguir representa a fotografia de uma casa. Desenhe as vistas da lateral direita, da lateral esquerda, frontal, traseira e superior dessa casa, supondo que não existam outras janelas, além das visíveis.

© C

onex

ão E

dito

rial

Superior

Frontal

Lateral Direita

Lateral Esquerda

Traseira


24

LIÇÃO DE CASA

1. Escolha um objeto qualquer, desenhe as vistas frontal, lateral e superior desse objeto e leveo para a aula de Matemática para mostrálo aos seus colegas e ao professor, junto com seus desenhos.

Vista frontal

Vista lateral


25

Vista superior


26

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 GEOMETRIA E FRAÇÕES COM O GEOPLANO OU MALHASQUADRICULADAS

!?

VOCÊ APRENDEU?

Para esta e outras atividades, você vai utilizar uma malha de pontos, ou um geoplano, que poderá ser construído em classe, com o auxílio de seu professor. A utilização da malha ou do geoplano será determinada por ele, mas, para as atividades que faremos a seguir, utilizaremos a seguinte malha de pontos.

Todas as linhas que você vai desenhar nessa malha devem ligar ao menos dois de seus pontos.

1. Desenhe na malha de pontos os algarismos de 0 a 9.


27

2. Escreva na malha de pontos seu nome e sobrenome. (Dica: se o tamanho da malha não for suficiente, faça abreviações.)

3. Desenhe na malha: 5 quadriláteros diferentes (3 deles convexos e 2 não convexos), 3 triângulos (2 isósceles e 1 escaleno) e 1 triângulo retângulo isósceles.


28

4. Desenhe uma figura que não seja um quadrado e que atenda à seguinte condição: a figura deve ter a mesma aparência, seja qual for o lado da malha que estejamos utilizando para observála.

LIÇÃO DE CASA

1. Desenhe as figuras indicadas abaixo na malha a seguir, assumindo como unidade de medida de comprimento 1 u:

a) quadrado de lado 2 u;

b) triângulo isósceles de base 4 u;

c) triângulo retângulo com lados perpendiculares medindo 2 u e 3 u;

d) paralelogramo com um par de lados opostos medindo 2 u;

e) pipa com todos os lados de medida diferente de 2 u;

f ) um trapézio de bases 2 u e 4 u.


29

1u

1u

VOCÊ APRENDEU?

1. Desenhe na malha abaixo figuras diferentes, com área 4 u².

1u

1u


30

2. Desenhe um quadrado de lado 2 u e, depois, outro que tenha o triplo da medida do lado do anterior, ou seja, que tenha lado 6 u. Compare a área dos dois quadrados e registre suas conclusões no espaço a seguir.

1u

1u


31

3. Desenhe na malha abaixo as seguintes figuras:

a) retângulo de área 2 u²;

b) quadrilátero de área 6 u²;

c) triângulo de área 6 u²;

d) paralelogramo com área 2 u²;

e) hexágono com área 4 u²;

f ) um retângulo e um quadrado de áreas iguais.

1u

1u


32


Se numerarmos as linhas e as colunas da malha de pontos, teremos um tabuleiro semelhante ao do jogo batalha naval. Cada ponto desse tabuleiro pode ser localizado de forma única por um par de informações: a localização horizontal e a localização vertical. Imagine agora que cada ponto da malha representa uma fração de numerador igual à localização horizontal do ponto (p) e denominador igual à localização vertical (q). Veja alguns exemplos:

8

7

6

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6 7 8

q

p

A

B

C

D

A = 1 __ 3

C = 5 __ 1 = 5

B = 3 __ 4

D = 7 __ 6

VOCÊ APRENDEU?

1. Marque na malha todos os pontos que representam frações de denominador 5.

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

q

p


33

2. Marque na malha todos os pontos que representam números naturais.

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

q

p

3. Marque na malha a fração 1 __ 2 e todas as frações equivalentes a 1 __ 2 .

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

q

p

4. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F). Caso tenha dificuldade com o vocabulário, consulte seu professor.

( ) Frações com denominadores iguais, necessariamente, estão alinhadas horizontalmente.

( ) As frações impróprias estão localizadas na diagonal que passa pela origem ou à direita dela.

( ) Frações equivalentes, necessariamente, estão alinhadas com a origem da malha e entre si.


34


Vamos determinar um procedimento para fazer adição de frações utilizando a malha ordenada. Por exemplo, para fazer 1 __ 2 + 2 __ 3 os passos são:

•marcamos o conjunto de frações equivalentes a 1 __ 2 ;

•marcamos o conjunto de frações equivalentes a 2 __ 3 ;

•procuramos frações dos conjuntos marcadosque estejam alinhadas horizontalmente e, nessa mesma linha, encontramos a soma adicionando os numeradores das frações.

1 2 3 4 5 6 7 8

q

p

8

7

6

5

4

3

2

1

0

3 __ 6 4 __

6 7 __

6

LIÇÃO DE CASA

1. Represente na malha as frações equivalentes a 2 __ 3 .

8

11

7

10

6

9

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6 97 108 11

q

p


35

2. Represente nas malhas as seguintes operações (e seus resultados): 1 __ 3 + 3 __ 2 e 3 __ 5 + 3 ___ 10 .

8

11

7

10

6

9

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6 97 108 11

q

p

8

11

7

10

6

9

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6 97 108 11

q

p


36

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 PERÍMETRO, ÁREA E ARTE USANDO MALHAS GEOMÉTRICAS

!?

VOCÊ APRENDEU?

1. Desenhe a mesma figura indicada abaixo na malha quadriculada a seguir cujos quadradinhos têm lados com o dobro da medida dos quadradinhos da malha original.


37

2. Agora, desenhe a mesma figura nas malhas a seguir (a da esquerda teve apenas a largura dobrada; a da direita, apenas o comprimento). Em seguida, compare as figuras com a original e descreva o tipo de distorção que você verificou.

3. Compare as três transformações que você fez da camisa nas atividades anteriores e responda:

a) Dois segmentos de reta paralelos em uma delas se mantêm paralelos nas outras?

b) Dois segmentos de reta perpendiculares em uma delas se mantêm perpendiculares nas outras?


38

c) Na camisa original, para que a manga encoste na lateral da camisa, é necessário um giro de

1 __ 8 de volta de circunferência. Ocorre o mesmo com as camisas “transformadas”?

4. Proponha uma malha quadriculada, em uma folha avulsa, que faça a seguinte transformação no homem indicado na figura: ele deve parecer mais gordo e baixo, sua perna direita deve parecer mais afastada da esquerda e seus braços mais afastados do seu corpo.

5. Os três gráficos a seguir mostram a informação de que uma empresa vendeu R$ 100 000,00 no anode2006eR$110000,00noanode2007.Qualdastrêsrepresentaçõesgráficasvocêachaque a diretoria da empresa vai utilizar para convencer os acionistas de que a empresa está em franco crescimento? Justifique sua resposta no espaço a seguir.

a) (em R$)

110 000100 000

20072006110 000

100 000

b) (em R$)

20072006 c) (em R$)

110 000100 000

20072006


39

6. Marque um ponto na malha abaixo e, em seguida, pinte todos os triângulos ao redor desse ponto. Depois disso, responda: qual é a fração de uma volta completa que corresponde ao ângulo interno do triângulo equilátero?


40

LIÇÃO DE CASA

1. Adote o lado do triângulo da malha a seguir como unidade de comprimento (1 u) e a área do triângulo da malha como unidade de área (1 u²). Determine o perímetro e a área das figuras a seguir.

1

2

3

4

5


41

2. Observe que o mosaico a seguir foi construído a partir de uma “peça básica” pintada na malha.

Peça básica

Construa uma “peça básica” e um mosaico a partir dela na malha a seguir:

3. Construa um mosaico com a “peça básica” indicada a seguir:

© C

onex

ão E

dito

rial

© C

onex

ão E

dito

rial

Peça básica


42

VOCÊ APRENDEU?

1. Observe um desenho feito em malha de pontos que, com o uso adequado de cores, explora a representação de uma imagem tridimensional. Faça um desenho na malha a seguir que explore o campo tridimensional.

PESQUISA INDIVIDUAL

Maurits Cornelis Escher (18981972) foi um importante artista gráfico holandês cujas obras exploravam a construção de maravilhosas imagens por meio de técnicas que você estudou indiretamente nesta Situação de Aprendizagem. As imagens criadas por Escher exploram a ideia do infinito, dos opostos, da circularidade, além de paradoxos visuais.

Faça uma pesquisa em livros e/ou na internet sobre as obras de Escher, escolha uma imagem criada por ele e tente identificar qual “peça básica” foi utilizada na sua composição.


43


44

ANEXO 1

1

2 3

4

78 9 10

11

1213

14

15

56


45


46

ANEXO 2


47


48

ANEXO 3

equipe técnica de matemática área de matemática ... · pdf...

Documents