matemática 7 s_8a_ef_volume_3

7a SÉRIE 8oANOENSINO FUNDAMENTAL IICaderno do ProfessorVolume 3

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3 18/04/13 19:1318/04/13 19:1318/04/13 19:1318/04/13 19:13

ENSINO MÉDIO – 1a SÉRIE

CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

1a edição revista

governo do estado de são paulo

secretaria da educação

São Paulo, 2013

CADERNO DO PROFESSOR

MATEMÁTICAVOLUME 3

MATERIAL DE APOIO AO

ENSINO FUNDAMENTAL – 7a SÉRIE/8o ANO

MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 1 09/05/13 14:08


Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretário-Adjunto

João Cardoso Palma Filho

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão da Educação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenador de Gestão de Recursos Humanos

Jorge Sagae

Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação

Educacional

Maria Lucia Guardia

Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares

Ana Leonor Sala Alonso

Coordenadora de Orçamento e Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno, Pio de Sousa Santana e Roseli Ventrela.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosangela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: João dos Santos, Juvenal de Gouveia, Otavio Yoshio Yamanaka, Patrícia de Barros Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci, Lydia Elisabeth Menezello e Maria Margarete dos Santos.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida, Sérgio Roberto Cardoso e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Daniela Peixoto Rosa, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira, Silvana Alves Muniz, Thiago Candido Biselli Farias e Welker José Mahler.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bomfim, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos, Silmara Santade Masiero e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Angela Maria Baltieri Souza, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, João Mário Santana, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Claudia Segantini Leme, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Sofia Valeriano Silva Ratz.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghelfi Rufino, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Aparecido Antônio de Almeida, Jean Paulo de Araújo Miranda, Neide de Lima Moura e Tânia Fetchir.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Ana C. S. Pelegrini, Cíntia Leitão, Mariana Góis, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita e Tatiana F. Souza.

Direitos autorais e iconografia: Débora Arécio, Érica Marques, José Carlos Augusto, Maria Aparecida Acunzo Forli e Maria Magalhães de Alencastro.


COORDENAÇÃO TÉCNICA Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini (coordenadora) Ruy Berger (em memória)

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

EQUIPE DE PRODUÇÃO Coordenação executiva: Beatriz Scavazza. Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti.

EQUIPE EDITORIAL Coordenação executiva: Angela Sprenger. Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa. Projeto editorial: Zuleika de Felice Murrie.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico).

APOIO Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica S.A.

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº- 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.* As fotografias da agência Abblestock/Jupiter publicadas no material são de propriedade da Getty Images.* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.

Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7a série, volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. São Paulo: SEE, 2013.

ISBN 978-85-7849-365-3

1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.

CDU: 373.3:51

S239c


COORDENAÇÃO TÉCNICA Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini (coordenadora) Ruy Berger (em memória)

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

EQUIPE DE PRODUÇÃO Coordenação executiva: Beatriz Scavazza. Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti.

EQUIPE EDITORIAL Coordenação executiva: Angela Sprenger. Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa. Projeto editorial: Zuleika de Felice Murrie.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico).

APOIO Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica S.A.

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº- 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.* As fotografias da agência Abblestock/Jupiter publicadas no material são de propriedade da Getty Images.* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

Senhoras e senhores docentes,

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-

radores na reedição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que per-

mitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula de

todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com os

professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-

dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação

— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste

programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização

dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações

de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca

por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso

do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.

Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-

tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São

Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades

ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,

dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade

da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas

aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam

a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-

ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a

diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.

Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu

trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar

e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.

Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.

Bom trabalho!

Herman VoorwaldSecretário da Educação do Estado de São Paulo


SUMÁRIO

Ficha do Caderno 7

Orientação geral sobre os Cadernos 8

Situações de Aprendizagem 11

Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações 11

Situação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações no plano 25

Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares 38

Situação de Aprendizagem 4 – Equações com soluções inteiras e suas aplicações 50

Orientações para Recuperação 58

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 60

Considerações finais 61

Conteúdos de Matemática por série/volume do Ensino Fundamental 62


7

FICHA DO CADERNO

Expandindo o mundo das equações

Nome da disciplina: Matemática

Área: Matemática

Etapa da educação básica: Ensino Fundamental

Série/Ano: 7a/8o

Volume: 3

Temas e conteúdos: Equações

Representações no plano através de coordenadas

Sistema de equações

Equações em diversos domínios


8

ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS

Os temas escolhidos para compor o con-

teúdo disciplinar de cada volume não se afas-

tam, de maneira geral, do que é usualmente

ensinado nas escolas, ou do que é apresentado

pelos livros didáticos. As inovações pretendi-

das referem-se às suas formas de abordagem

sugeridas ao longo de cada Caderno. Em tal

abordagem, busca-se evidenciar os princípios

norteadores do presente currículo, destacando-

-se a contextualização dos conteú dos, as com-

petências pessoais envolvidas, especialmente as

relacionadas com a leitura e a escrita matemá-

tica, bem como os elementos culturais internos

e externos à Matemática.

Em todos os Cadernos, os conteúdos estão

organizados em oito unidades com extensões

aproximadamente iguais, que podem corres-

ponder a oito semanas de trabalho letivo. De

acordo com o número de aulas disponíveis por

semana, o professor explorará cada assunto

com mais ou menos aprofundamento. A crité-

rio do professor, em cada situação específica,

o tema correspondente a uma das unidades

pode ser estendido para mais de uma semana,

enquanto o de outra unidade pode ser tratado

de modo mais simplificado.

É desejável que o professor tente contem-

plar as oito unidades, uma vez que, juntas,

elas compõem um panorama do conteúdo de

cada volume, e, muitas vezes, uma das unida-

des contribui para a compreensão das outras.

Insistimos, no entanto, no fato de que somente

o professor, em sua circunstância particular, e

levando em consideração seu interesse e o dos

alunos pelos temas apresentados, pode deter-

minar adequadamente quanto tempo dedicar

a cada uma das unidades.

Ao longo dos Cadernos são apresentadas,

além de uma visão panorâmica de seu conteúdo,

quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e

4), que pretendem ilustrar a forma de aborda-

gem sugerida, instrumentalizando o professor

para sua ação em sala de aula. As Situações

de Aprendizagem são independentes e podem

ser exploradas com mais ou menos intensi-

dade, segundo seu interesse e o de sua clas-

se. Naturalmente, em razão das limitações no

espaço dos Cadernos, nem todas as unidades

foram contempladas com Situações de Apren-

dizagem, mas a expectativa é de que a forma

de abordagem dos temas seja explicitada nas

atividades oferecidas.

São apresentados também em cada Cader-

no, sempre que possível, materiais disponíveis

(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros)

em sintonia com a forma de abordagem pro-

posta, que podem ser utilizados pelo professor

para o enriquecimento de suas aulas.

Compõem o Caderno, ainda, algumas con-

siderações sobre a avaliação a ser realizada,

bem como o conteúdo considerado indispen-

sável ao desenvolvimento das competências

enunciadas no presente volume.


9

Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3

Conteúdos básicos do volume

O planejamento deste volume tem três

objetivos centrais: contemplar o estudo mais

aprofundado das equações de 1o grau, apre-

sentar o plano cartesiano como recurso para

organizar e representar informação e também

apresentar a ideia de equação com mais de

uma incógnita em dois contextos: o dos siste-

mas de equações e o das equações restritas às

soluções inteiras.

Na Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações, partimos de uma discus-

são sobre a importância do trabalho com a leitu-

ra, interpretação de enunciados e transcrição das

informações para a linguagem algébrica, discutin-

do algumas estratégias para o desenvolvimento

da competência leitora do aluno. Na sequência,

sugerimos a continuidade do trabalho iniciado

na série/ano anterior com equações de 1o grau

por meio de estratégias para a resolução de pro-

blemas. Na situação proposta, partimos de

problemas que envolvem equacionamentos

mais complexos do que os trabalhados na

6a série/7o ano, e sugerimos estratégias de organi-

zação de dados em tabelas, usando variações na

posição da incógnita como recurso para discussão

de equações mais complexas. A situação é finaliza-

da com a apresentação de uma proposta de traba-

lho com equações usualmente não trabalhadas na

7a série/8o ano, em um contexto de desenvolvi-

mento dos raciocínios lógico e criativo.

Na Situação de Aprendizagem 2 – Coor-denadas cartesianas e transformações no pla-no, iniciamos a apresentação do recurso da

representação de figuras por meio de coorde-

nadas. A ideia de representação da informação

em um plano com eixos orientados não é nova,

ela já apareceu nas séries/anos anteriores quan-

do foram trabalhados alguns temas relaciona-

dos aos gráficos no contexto do tratamento da

informação; porém, agora, ela se desenvolverá

na 7a série/8o ano com novas explorações, tais

como a ideia de representação através de co-

ordenadas, usada em mapas e guias de ruas,

e as transformações no plano (translação, re-

flexão, ampliação e redução). O trabalho com

as transformações do plano também represen-

ta uma oportunidade de retomada das ideias

de simetria axial e rotacional trabalhadas nas

séries/anos anteriores.

Com a Situação de Aprendizagem 3 – Sis-temas de equações lineares, iniciamos a dis-

cussão sobre o significado de equações com

mais de uma incógnita, e sobre as estratégias

para a resolução de sistemas de equações.

O uso de mais de uma incógnita para orga-

nizar as informações de um problema mais

complexo é um recurso que deve ser compreen-

dido, bem como devem ser compreendidas as

estratégias de resolução de sistemas de equa-

ções lineares em uma 7a série/8o ano. Além da

discussão dos métodos da adição e da subs-

tituição, que será proposta por meio de uma

retomada da ideia de balança desenvolvida na

6a série/7o ano, dois outros importantes aspectos

serão trabalhados nesta Situação de Aprendiza-

gem: a representação de um sistema de equações

no plano cartesiano e a análise e discussão de

um sistema de equações lineares por meio de

investigações sobre sua representação no plano.


10

Unidade 1 – Equações de 1o grau (problemas).

Unidade 2 – Equações e inequações de 1o grau (problemas).

Unidade 3 – Sistema de coordenadas car-tesianas.

Unidade 4 – Transformações geométricas no plano.

Unidade 5 – Sistemas de equações lineares (método da adição).

Unidade 6 – Sistemas de equações lineares (método da substituição).

Unidade 7 – Sistemas de equações lineares (interpretação gráfica).

Unidade 8 – Equações com soluções inteiras.

Certamente a estratégia proposta não tem a

intenção de explorar a discussão de sistemas

lineares com a profundidade que será feita

mais adiante no Ensino Médio, mas tem o

caráter de desenvolver no aluno a compreen-

são do uso das linguagens algébrica e gráfica

como aliadas na análise e interpretação de

um problema com equações lineares.

Na Situação de Aprendizagem 4 – Equa-ções com soluções inteiras e suas aplicações,

apresentamos uma série de problemas que,

uma vez equacionados, conduzem a uma

única equação com mais de uma incógnita.

Equações como essas, que em domínio real

seriam classificadas como indeterminadas,

podem ter um número finito de soluções in-

teiras e positivas. Problemas dessa natureza,

ou seja, problemas em que estamos interes-

sados nas soluções inteiras positivas de uma

equação com mais de uma incógnita, são

muito frequentes em situações do nosso dia

a dia, e sua discussão, por meio da organiza-

ção e análise dos dados em tabelas, trabalha

com o desenvolvimento de várias habilidades

matemáticas, como será descrito nesta Situa-

ção de Aprendizagem.

Como se pode perceber, este Caderno

apresenta inúmeras possibilidades de abor-

dagem sobre os três objetivos centrais do

volume 3 citados no primeiro parágrafo, porém, deve ficar a critério do professor a es-

colha daquelas que são mais adequadas ao

seu programa e das maneiras para explorá-las.

Sabemos, evidentemente, que o volume

apresenta uma quantidade grande de novas

informações para o aluno, o que demanda

um tempo maior reservado para a reflexão

e a sistematização. Contamos com a leitura

cuidadosa das propostas aqui apresentadas,

mas entendemos como legítimo que o profes-

sor faça seus cortes e recortes de maneira a

adequá-las às suas necessidades.

Quadro geral de conteúdos do volume 3 da 7a série/8o ano do Ensino Fundamental


11


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 EXPANDINDO A LINGUAGEM DAS EQUAÇÕES

Nesta Situação de Aprendizagem discu-

tiremos aspectos relacionados com a leitura,

interpretação de enunciados e transcrição

das informações para a linguagem algébrica.

O trabalho prossegue com resolução de proble-

mas envolvendo equações de 1o grau, utilizan-

do o recurso de organização das informações

em tabelas.

Tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: equações de 1o grau; equações variadas (resolução por métodos não algorítmicos); inequações.

Competências e habilidades: leitura e interpretação de enunciados; transposição entre as lin-guagens escrita e algébrica; raciocínio lógico dedutivo.

Estratégias: equacionar e resolver problemas de maneiras diferentes confrontando resultados e identificando equivalências; utilizar a heurística como método de investigação da solução de equações; estudar desigualdades por meio da resolução de problemas contextualizados.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

O estudo da Álgebra no Ensino Fundamen-tal inicia-se de forma organizada e intencional na 6a série/7o ano, com o uso de letras na repre-sentação de problemas que envolvem regularida-des, padrões e relação entre grandezas. Ainda na 6a série/7o ano, o aluno deve tomar contato e reco-nhecer as equações simples como um importante recurso para organizar e representar informações. Assim, parte significativa do empenho do professor como o parceiro mais experiente do aluno deve ser o de selecionar adequadamen-te problemas que permitam a maior abrangência de situações passíveis de transposição da lin-guagem materna para a linguagem da álgebra. Outro objetivo que também deve ser atingido na

6a série /7o ano é o da sistematização de métodos de resolução de equações simples de 1o grau.

De acordo com esta proposta de planejamen-

to, o volume 3 da 7a série/8o ano será dedicado à

sequência do estudo da Álgebra, sendo, portan-

to, indispensável que o professor avalie, no início

do curso, em que estágio encontra-se o conheci-

mento dos alunos no que diz respeito à transposi-

ção de problemas da língua escrita para a álgebra

(e vice-versa) e ao tipo de equação que o aluno

consegue resolver por um método que não seja

apenas o de tentativa e erro. Feita essa avaliação,

a sequência de trabalho do volume poderá ser

planejada, tendo como objetivo a ampliação do repertório de situações de transposição en-

tre linguagens e a ampliação de estratégias de

SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM


12

resolução de equações mais complexas (ainda

com o foco voltado às equações de 1o grau). Na

Situação de Aprendizagem 1, apresentaremos al-

gumas possibilidades de trabalho nessa direção.

A leitura atenta de um problema é o primei-

ro passo no caminho da transposição para a

linguagem algébrica, mas estudos indicam que

apenas a boa leitura não é garantia para a trans-

posição correta. Veja, por exemplo, a seguinte

situação-pro blema apresentada para estudantes

universitários e os seus resultados: usando as va-

riáveis A para número de alunos e P para o de

professores, escreva uma equação para represen-

tar a afirmação “há seis vezes mais alunos do

que professores nesta universidade”. A resposta

correta não é 6A = P, apesar de boa parte dos

estudantes ter assinalado essa alternativa. Se essa

fosse a resposta, para um total de 10 alunos tería-

mos 60 professores, exatamente o contrário do

que afirma o enunciado. O correto seria A = 6P.

Aproveitando esse exemplo, uma estratégia

importante que merece ser discutida pelo pro-

fessor com seus alunos é a da verificação. Note

que, após a transposição entre as linguagens,

que conduziu equivocadamente à expressão

6A = P, caso o aluno confrontasse seu resulta-

do com um exemplo numérico, é possível que

tivesse identificado seu erro. Bastaria, nesse

caso, atribuir um valor qualquer para A, como

10, obtendo em seguida 60, o que indicaria

que para cada 1 aluno teríamos 6 professores.

Confrontando esse resultado com as informa-

ções do texto, fica evidente que a correção a

ser feita é a da troca entre A e P na expressão

errada, resul tando corretamente na expressão

A = 6P (nesse caso, para 1 professor temos 6

alunos, para 2 professores temos 12 alunos,

para 3 professores temos 18 alunos, e assim

sucessivamente).

Veremos a seguir alguns exemplos que podem

ser utilizados para o mesmo tipo de trabalho.

Atividade 1

Escreva uma sentença matemática que re-

presente a seguinte frase:

“X reais a menos que Y reais é igual a 40 reais”.

É possível que boa parte dos estudantes

responda X – Y = 40, quando o correto

seria Y – X = 40. Um exemplo numérico

pode ajudá-los a esclarecer a questão: “Dez

reais a menos que 50 reais é igual a 40 reais”

(50 – 10 = 40).

Atividade 2

Se X operários constroem um muro em

Y horas, quantas horas serão necessárias para

que o triplo do número de operários construa

o mesmo muro? (Naturalmente, estamos su-

pondo que todos os operários têm rendimento

igual no desempenho da tarefa de construção.)

A resposta correta não é 3Y, porque o

problema em questão envolve grandezas

“inversamente proporcionais”, ou seja,

quanto maior o número X de operários,

menor o número Y de horas necessárias

para levantar o muro (o dobro de X implica

a metade de Y, o triplo de X implica a terça

parte de Y, e assim por diante). A resposta


13


correta é Y3

. Veja como um exemplo

numérico seria útil na identificação do erro

da expressão 3Y:

Se X = 1 operário e Y = 6 horas, X = 3 operários

construiriam o muro mais rapidamente,

construiriam na terça parte do tempo, ou seja,

em 2 horas. Nesse caso, evidencia-se que a

resposta 3Y, que resultaria em 3 . 6 = 18 horas,

está errada.

Outro aspecto que pode ser trabalhado na

verificação das estratégias de transposição de

problemas para a linguagem algébrica é o uso

adequado da notação, como veremos na ativi-

dade a seguir.

Atividade 3

Escreva uma expressão, com as letras indica-

das na figura, para a área do retângulo.

a

b c

Alguns alunos devem escrever que a área é

igual a “a . b + c”, quando o correto seria

“a . (b + c)”. Nesse caso específico,

a verificação com números pode conduzir a

dois tipos de situação, como veremos usando

os valores numéricos a = 3, b = 4 e c = 2:

Situação 1: O aluno arma a conta 3 . 4 + 2

e conclui que o resultado é 18. Nesse caso, ele

obteve o resultado esperado para o problema,

mas a partir de uma expressão escrita de forma

errada para sua resolução (pela expressão

formulada o resultado seria 14). Duas hipóteses

podem ser levantadas nessa situação: ele escreveu

a expressão com letras, mas não a utilizou

quando foi fazer a verificação com números (fez

a verificação apenas interpretando a figura),

ou ele escreveu a expressão e, ao substituir os

números, não associou a ideia de que em uma

expressão com multiplicações e somas fazemos

primeiro as multiplicações.

Situação 2: O aluno escreve a conta 3 . 4 + 2,

lembra-se da ordem das operações (primeiro

a multiplicação e depois a adição) e conclui

que o resultado é 14. Nesse caso, seu cálculo

está correto para a expressão, mas não é a

solução do problema, porque partiu de uma

expressão errada.

A primeira situação evidencia a necessidade

de que o professor retome com os alunos a

ordem das operações, e a segunda sugere

que o professor explore mais a ideia de

verificação que, no caso desse problema,

implicaria confrontar o resultado 14 com o

cálculo por substituição direta de valores na

figura, como se vê a seguir:

3

4

6

Área = 3 . 6 = 18 ≠ 14

2

Uma atividade importante que também deve

ser praticada é a da passagem da linguagem al-

gébrica para um problema concreto e escrito na

nossa língua. As estratégias de verificação tam-

bém devem ser usadas nesse tipo de problema.


14

Atividade 4

Escreva por extenso uma sentença que for-neça a mesma informação que a expressão X = 5Y fornece.

Uma resposta tipicamente errada seria:“X = número de figurinhas de João e Y = número de figurinhas de Paulo. Logo,Paulo tem o quíntuplo do número de figuri-nhas de João.”Nesse caso, partindo do enunciado criado pelo aluno, se João tem 3 figurinhas, Paulo terá 15, que é o quíntuplo de 3, ou seja, se X = 3, Y tem que ser igual a 15, o que se verifica pela expressão X = 5Y indicada no enunciado do problema. Para corrigir a resposta do aluno, bastaria trocar Paulo e João na frase que relaciona seus números de figurinhas.

Com relação aos procedimentos de resolução de equações, esta proposta de planejamento suge-re que na 6a série/7o ano o aluno tome contato com os métodos de resolução por operação inversa (“desfazer operações”) e por equações equivalen-

tes (método da “balança”), e que na 7a série/8o ano resolva equações mais complexas usando quais-quer desses métodos. É claro que, com orientação do professor, a prática dos alunos na resolução de equações será encaminhada para um procedi-mento que incorpore ideias de ambos os métodos, porém é importante que o professor compreenda que frases como “muda de lado e troca o sinal” devem ser evitadas, porque, além de sugerirem uma ideia errada, induzem a uma série de equí-vocos, como o de resolver a equação 2 x = 5 como

x = 5 − 2 → x = 3, ou a equação x + ×+ =x2

3

como x + x = 6 → x = 3. Nos dois casos, a melhor

conduta do professor seria explicitar a opera-

ção que está sendo feita:

2x = 5 → dividindo ambos os membros por 2,

teremos x = 52

.

x + xx

+ = →2

3 = 3 → multiplicando ambos os mem-

bros por 2, teremos 2x + x = 6, ou seja, 3x = 6. Por fim, dividindo ambos os mem-bros por 3, teremos x = 2.

Na 6a série/7o ano, a expectativa é de que o

aluno consiga resolver problemas que possam

ser traduzidos por equações simples de 1o grau,

por exemplo: = =– , – –

23

14

2x

x +32

3 4 2 62

3 5 3 2 112

x xx

x x x– , – ,= + + = −( )

= =– , – –23

14

2x

x +32

3 4 2 62

3 5 3 2 112

x xx

x x x– , – ,= + + = −( )

= =– , – –23

14

2x

x +32

3 4 2 62

3 5 3 2 112

x xx

x x x– , – ,= + + = −( )

= =– , – –23

14

2x

x +32

3 4 2 62

3 5 3 2 112

x xx

x x x– , – ,= + + = −( )

Na 7a série/8o ano, a expectativa é de que o

aluno consiga resolver problemas que possam

ser traduzidos por qualquer tipo de equação

de 1o grau. Citamos, a seguir, alguns exemplos

de equações de 1o grau mais complexas, que

nos parecem mais apropriadas de ser traba-

lhadas em uma 7a série/8o ano:

x3

+ 2

52

= x4

, x + 1x – 4

=2 – 3xx – 4

x3

+ 2

52

= x4

, x + 1x – 4

=2 – 3xx – 4

(com x ≠ 4)

35

32

– 3x4

= 3x – 12

,2(–2x + 3)

7– 3 = x

2+ 2x( )

35

32

– 3x4

= 3x – 12

,2(–2x + 3)

7– 3 = x

2+ 2x( )


15


O estudo de equações de 1o grau constitui

um tema muito rico para o trabalho com reso-

lução de problemas. O aluno deve reconhecer

nesse estudo que as equações constituem uma

ferramenta importante para a representação e

resolução de problemas cujo encaminhamento

por meio de recursos aritméticos seria mui-

to complicado. Nesse sentido, o professor deve

incentivar que os alunos busquem inicialmente

solucionar os problemas por meio da Aritmética

e que, constatada a difi culdade, saibam utilizar

de maneira apropriada o recurso algébrico das

equações para encontrar a resposta procurada.

A seguir, veremos alguns exemplos de proble-

mas que cumprem essa função. Inúmeros outros

exemplos podem ser criados ou encontrados nos

livros didáticos.

Atividade 5

Ao repartir uma conta de R$ 78,00 no res-

taurante AL GEBRÁ, três amigos estabelece-

ram que:

f Rui pagaria 34

do que Gustavo pagou;

f Cláudia pagaria R$ 10,00 a menos que a

terça parte do que Gustavo pagou.

Que valor da conta coube a cada um dos

três amigos?

Em primeiro lugar, é importante que o professor

oriente uma estratégia de organização das

informações, que pode ser feita por meio

de uma tabela. Na montagem dessa tabela,

chamaremos de x a quantia paga por um

dos três amigos e, sempre que possível, o

professor deve pedir que os alunos montem

outras tabelas chamando de x a quantia paga

por outra pessoa. Essa atividade de mudar o

signifi cado da incógnita é útil para o trabalho

com a ideia de operação inversa e para a

discussão de que, apesar de encontrarmos

valores diferentes para x dependendo de

onde ele esteja na tabela, a resposta fi nal

do problema sempre será a mesma, seja qual

for a escolha de posição para x.

Tabela 1

Rui34x 3x

4 + x +

x3

10− = 78

x = 42,24

Rui: R$ 31,68

Gustavo: R$ 42,24

Cláudia: R$ 4,08

Gustavo x

Cláudiax3

10−

Tabela 2

Rui9 10

4( )x + 9(x +10)

4 + 3(x + 10) + x = 78

x = 4,08

Rui: R$ 31,68

Gustavo: R$ 42,24

Cláudia: R$ 4,08

Gustavo 3(x + 10)

Cláudia x

Tabela 3

Rui xx + 4x

3 + 4x

9 – 10 = 78

x = 31,68

Rui: R$ 31,68

Gustavo: R$ 42,24

Cláudia: R$ 4,08

Gustavo43x

Cláudia 49x − 10


16

O equacionamento mais natural é o da Tabela 1 que, por sua vez, recai em uma equação de resolução supostamente já conhecida de um aluno de 7a série/8o ano. Partindo da Tabela 1 e do equacionamen-to obtido, o aluno terá encontrado como resultado para Rui, Gustavo e Cláudia, respectivamente, os valores de R$ 31,68, R$ 42,24 e R$ 4,08. Espera-se, portanto, que equacionamentos com a colocação de x como o valor da conta a ser paga por ou-tra pessoa que não Gustavo produzam os mesmos resultados finais para cada uma das três pessoas. De posse dessa conclu-são, e tendo montado as Tabelas 2 e 3, o aluno poderá investigar estratégias de re-solução das equações decorrentes dessas duas tabelas, em particular nos interessan-do as estratégias de resolução da equação decorrentes da Tabela 2, que é mais difícil do que as outras. No caso da equação da Tabela 2, o aluno sabe que seu resultado final tem que ser x = 4,08 e, a partir dessa informação, deverá descobrir eventuais er-ros no seu processo de resolução da equa-ção, se ele não tiver conduzido a esse valor. O erro mais frequente, e que merece um comentário do professor, é:

Ao multiplicar por 4 os dois membros, o aluno escreve a equação:9(x+10)+12(4x+40)+4x = 312, quando o correto seria 9(x+10)+12(x+10)+4x = 312 ou 9(x+10)+3(4x+40)+4x = 312.

Uma boa estratégia que pode ser siste-matizada ao final dessa discussão para evitar erros como o mencionado é:

1. Aplicamos a propriedade distributiva

eliminando parênteses.

2. Frações com o numerador escrito como

soma ou subtração devem ser transformadas

em frações com numerador simples (apenas

um número ou uma letra, ou um número

multiplicando uma letra).

3. Multiplicamos os dois membros (termo

a termo) pelos denominadores das frações

ou, de forma mais direta, pelo MDC dos

denominadores.

Nesse caso, a resolução corresponderia às

seguintes etapas:

1)9(x +10)

4+ 3(x +10)+ x = 78

2)9x + 90

4+ 3x + 30+ x = 78

3))9x

4+

90

4+ 3x + 30+ x = 78

4) 9x + 90+12x +120+ 4x = 312

255x = 102 x = 4,08→

Atividade 6

Se de 220 subtrairmos a idade de uma pes-

soa, obtemos uma aproximação da frequência

cardíaca máxima por minuto que essa pessoa

tolera em atividade física intensa. Sabe-se que

a frequência cardíaca máxima de Renê é 2423

da de Bernardo. Se a frequência cardíaca máxi-

ma de Renê é igual a 163

da idade de Bernardo,

determine a idade e a frequên cia cardíaca má-

xima dos dois amigos.

Adotando o mesmo tipo de procedimento

usado na resolução do problema anterior,

equacionaremos esse problema utilizando

tabelas.


17


Tabela 1

IdadeFrequência

cardíaca máxima 24(220 x)23

=16x3

−

x = 36

Renê: 28 anos e FCmáx = 192Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184

Renê 22024(220 x)

23− −

22024(220 x)

23− −

Bernardo x 220 − x

Tabela 2

IdadeFrequência

cardíaca máxima 220 – x =163

220 –23(220 – x)

24⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

x = 28


Renê x 220 − x

Bernardo220 – x =163

220 –23(220 – x)

24⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥220 – x =

163

220 –23(220 – x)

24⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

Tabela 3

IdadeFrequência

cardíaca máxima

x = 184


Renê 22024x

23−

24x23

Bernardo 220 − x x

Tabela 4

IdadeFrequência

cardíaca máxima x =16

3220

23x

24−

x = 192


Renê 220 − x x

Bernardo 22023x

24− 220

23x

24−

Para a montagem das tabelas, é importante

que o aluno compreenda inicialmente

a seguinte informação do enunciado:

FCmáx = 220 – I, onde FCmáx é a frequência

24x23

=163(220 x)−


18

cardíaca máxima do indivíduo de idade I. Para

compreender essa relação, alguns exemplos

podem ser úteis.

Um indivíduo de 20 anos tem frequência cardíaca máxima 200 porque 220 – 20 = 200. Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 200 tem 20 anos de idade, porque 220 – 200 = 20. Um indivíduo de 30 anos tem frequência cardíaca máxima 190, porque 220 – 190 = 30. Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 190 tem 30 anos de idade, porque 220 – 190 = 30. Segue que um indivíduo de idade I tem FC máxima igual a 220 – I, e um indivíduo de frequência cardíaca máxima

FCmáx tem idade I igual a 220 – FCmáx.

Na Tabela 3, colocamos x na frequência cardíaca máxima de Bernardo, o que implica dizer que sua idade será 220 − x. Como a frequência cardíaca máxima de Renê é 24

23da de Bernardo, então a FCmáx de Renê será 24x23

. A partir da FCmáx de Renê concluímos

que sua idade tem que ser 220 – 24x23

.

Note que o caminho feito para a organização

dos dados na Tabela 3 foi:

Tendo em vista a resolução das equações

decorrentes de cada uma das tabelas, é

importante, mais uma vez, destacar que o

aluno deverá compreender que o valor de x

obtido em cada uma delas é diferente porque

diz respeito a uma informação diferente da

tabela, porém, as respostas finais sobre as

idades e frequências cardíacas máximas

de Renê e Bernardo devem ser iguais nas

quatro tabelas, o que pode ser utilizado

como recurso para corrigir eventuais

erros no procedimento de resolução

das equações.

Um curso de equações necessariamente

tem que dar atenção à técnica de resolução,

mas não deve dar ênfase maior a ela do que

ao uso do raciocínio lógico. Não é razoável

que se faça uso de técnicas em problemas de

equações nos quais a solução pode ser obtida

diretamente pelo uso da heurística1, como co-

mentaremos a seguir.

O ambiente de estudo das equações é

extremamente adequado ao exercício da

heurística, já que muitas vezes uma equa-

ção pode ser resolvida por estratégias dife-

rentes das que normalmente faríamos com

o uso das técnicas. O exercício de resolver

equações por caminhos mais inventivos do

que o da técnica é fundamental para o de-

senvolvimento do pensamento matemático

e, portanto, deve sempre ser incentivado.

A seguir, apresentamos uma atividade em que

o aluno tem que resolver uma série de equa-

ções, mas, na maioria dos casos, as técnicas

Para as Tabelas 1, 2 e 4 os caminhos foram:

x

xTabela 4

x

Tabela 1

xTabela 2

1 Segundo o Dicionário Houaiss, heurística: arte de inventar, de fazer descobertas; ciência que tem por objeto a descoberta de fatos. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa (edição eletrônica). Rio de Janeiro: Editora Objetiva, 2007.


19


conhecidas por ele não são suficientes para

resolver os problemas, o que deve motivar a

busca de soluções inventivas. O professor deve

observar que na lista incluímos equações de

2o grau, de 3o grau, com frações algébricas,

exponenciais, equações com radicais, equa-

ções com mais de uma solução, equações sem

solução e até equações com infinitas soluções,

sendo que todas podem ser resolvidas por um

aluno de 7a série/8o ano sem o uso da técnica.

Atividade 7

As técnicas aqui estudadas para resolver

equações são importantes porque organizam

os procedimentos algébricos, porém, nunca

devemos perder de vista a heurística. Todas as

equações a seguir podem ser resolvidas sem o

uso das técnicas algébricas; descubra a solu-

ção de cada uma usando o método heurístico.

Lembre-se que uma equação pode não ter so-

lução, pode ter apenas uma solução, pode ter

mais de uma solução ou até mesmo infinitas

soluções.

a) 3x + 1 = 82

b) 1

115x +

= –

c) x2 = 25

d) x2 + 2 = 51

e) (x + 1)2 = 9

f) x2 = – 16

g) 2x2 = 2 98

2x =

h) 2x+1 = 16

i) 52–x = 25

j) (x + 5).(x – 3) = 0

k) x.(x + 1).(x + 2).(x + 3) = 0

l) x + 1 = x + 2

m) 5

10

x +=

n) xx+

=2

31

o) 2 1

41

xx

–+

=

p) (2x)3 = 64

q) (2x + 1).(3x + 3) = 0

r) x + =3 25

s) 813

1x =

t) 129

2 3=

x –

u) 3 5 152 6x x+ = –

v) 2 141

1341

x – –=

w) x3 = – 8

x) 15

0x

=

y) 0.x = 0


20

a) Basta investigar as potências de 3 até

encontrar alguma cuja soma com 1 resulte 82.

A resposta é x = 4, porque 34 = 81.

b) O denominador da fração do primeiro

membro tem que ser igual a – 5 para que

a igualdade seja verdadeira com o segundo

membro. Para que x + 1 seja igual a – 5,

x tem que ser igual a – 6 .

c) Os números que elevados ao quadrado re-

sultam 25 são 5 e –5. É provável que os alu-

nos encontrem apenas a resposta positiva,

e que se surpreendam com o fato de encon-

trarmos duas soluções para uma equação.

d) Tirando 2 de 51 resulta 49, o que implica

dizer que procuramos um número cujo

quadrado seja 49. Resposta: 7 e –7.

e) –3 e 3 são os números cujo quadrado é 9,

mas como estamos elevando x + 1 ao

quadrado, procuramos x + 1 = –3 e x + 1 = 3,

ou seja, x = – 4 ou x = 2.

f) Não existe número real cujo quadrado

seja negativo, portanto, a equação não possui

solução em IR.

g) A metade de 98

é 916

. Então, procuramos

um número que elevado ao quadrado resulte 9

16. Resposta: 3

4 e −

34

.

h) Como 24 = 16, procuramos um número

que somado a 1 dê 4, que é o número 3.

i) Análogo ao anterior, o x procurado é 0.

j) Se o produto de dois números é zero, neces sa-

ria mente um deles é zero (ou ambos são 0).

Segue, portanto, que x é igual a –5 ou 3.

k) Análogo ao anterior, x pode ser 0, –1, –2

ou –3.

l) Não há valor de x que torne a igualdade ver-

dadeira, portanto, essa é uma equação “sem

solução” (a solução é um conjunto vazio).

m) Como fração indica uma divisão, jamais

poderemos ter uma fração de numerador

diferente de zero que seja igual a zero. Por-

tanto, essa é outra equação de solução vazia.

n) Se uma fração é igual a 1, necessariamente

seu numerador é igual ao seu denominador,

o que implica dizer que estamos procurando

o x que resolva a equação x + 2 = 3x.

Resposta: x = 1.

o) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.

p) Inicialmente, procuramos um número que

elevado ao cubo resulte 64, que é o número 4.

Em seguida, a pergunta passa a ser: qual é o

expoente de uma potência de 2 para que o

resultado seja 4? Resposta: 2. Esse exercício

pode ser usado para discutir ou recordar a

propriedade (am)n = a m . n.

q) Análogo ao raciocínio dos exercícios j e k.

Resposta: − 1

2 ou –1.

r) O quadrado de 25 é 625. Então, procu-

ramos um número que somado a 3 resulte

625. Esse número é 622.

s) 3x tem que ser igual a 81 para que a

fração do lado esquerdo seja equivalente a 1.

O expoente que faz 3x ser igual a 81 é 4,

que é a resposta da equação.

t) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.


21


u) Seja qual for o valor de x, sabemos

que x 2 e x 6 serão números não negativos,

portanto, a equação não possui solução

(em IR).

v) Uma vez que os dois membros representam

equações de denominador 41, temos que ter

2x – 1 = –13, ou seja, x = – 6.

w) –2 é um número que elevado ao cubo

resulta – 8 (nesse exercício o professor pode

comentar com os alunos que em um conjunto

numérico, que será estudado no futuro,

a equação do problema terá outras duas

soluções além do –2).

x) De modo análogo ao exercício m e

ao u, o problema não tem solução (o

professor deve aproveitar esse exercício

para discutir que x = 0 não é uma solução

do problema).

y) Qualquer valor para x resolve a equação,

portanto, é uma equação com infinitas

soluções.

Dependendo do interesse da turma, os se-

guintes comentários podem ser feitos ao longo

da correção dessa atividade:

f As equações a, h, i, p, s, t e x recebem o

nome de equações exponenciais. Você con-

segue imaginar o porquê desse nome?

Porque a incógnita se encontra em um

expoente.

f Na 1a série do Ensino Médio, você vai

aprender técnicas para resolver equações

exponenciais.

f As equações b, m, n e o recebem o nome

de equações com frações algébricas. Você

consegue imaginar o porquê desse nome?

Porque são equações envolvendo frações

escritas com incógnitas no denominador.

f Na 7a série/8o ano e na 8a série/9o ano, você

vai aprender técnicas para resolver equa-

ções com frações algébricas.

f As equações c, d, e, f, g, j, k, l, q, u, v, w e y

recebem o nome de equações algébricas (ou

equações polinomiais). O grau de uma equa-

ção algébrica varia de acordo com o maior

expoente que a incógnita assume quando a

equação está escrita na forma mais simples

possível. As estratégias de resolução das

equações algébricas de 1o grau você come-

çou a aprender na 6a série/7o ano, e continua

aprendendo na 7a série/8o ano. Na 8a série/

9o ano, você aprenderá técnicas para reso-

lução de equações algébricas de 2o grau. Na

3a série do Ensino Médio, você vai aprender

técnicas para resolver algumas equações al-

gébricas de grau maior ou igual a 3.

f A equação r chama-se equação irracional (equa-

ção que possui a incógnita no radicando).

f Para sua surpresa, algumas equações para as

quais você não encontrou solução têm uma

ou mais respostas, mas para encontrá-la(s)

você terá que expandir seus conhecimentos

sobre conjuntos numéricos. Por exemplo,

as equações f e u têm soluções no conjunto

numérico dos números complexos, que você

vai aprender na 3a série do Ensino Médio.


22

A equação w, para a qual você só encontrou

uma solução, possui mais duas soluções no

conjunto dos números complexos. Mas fique

atento, existem equações que não possuem

solução, seja qual for o conjunto numérico

assumido, ou seja, sua solução sempre será

o conjunto vazio. São exemplos de equações

com solução conjunto vazio: l, m e x.

f Existem muitos outros tipos de equação que

exploram contextos matemáticos que você

ainda não conhece, então, seja bem-vindo

ao maravilhoso mundo das equações que

você só está começando a aprender (refe-

rimo-nos, nesse caso, às equações trigono-

métricas, matriciais e logarítmicas).

A investigação das equações, que são sen-

tenças matemáticas em que aparecem o sinal de

igualdade (=) e uma ou mais incógnitas, estabe-

lece quase de forma natural uma porta de en-

trada para o estudo das sentenças matemáticas

com uma ou mais incógnitas nas quais aparece

um sinal de desigualdade (>, <, ou ).

Dois aspectos devem ser destacados na in-

trodução ao estudo das inequações. Em pri-

meiro lugar, é importante que o professor evite

a formulação de regras como “multiplica por

negativo e troca o sinal da desigualdade” sem

que antes tenha sido trabalhada com seguran-

ça uma compreensão significativa de tal “regra

prática”. Em segundo lugar, deve-se procurar,

na medida do possível, problematizar o uso das

inequações em situações concretas de resolução

de problemas. A seguir, apresentamos alguns

problemas que contemplam esse objetivo.

Atividade 8

A figura indica uma folha de latão que será

usada na montagem de uma peça (as medidas

estão em metros).

a) Determine todos os valores possíveis de

x (em metros) para que o perímetro da

folha seja maior ou igual a 64 m.

2(2x + 4 + x) + 2(x + x + 10 + x) ≥ 64

x ≥ 3 metros.

b) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que a soma dos compri-mentos representados em vermelho seja menor que a soma dos demais comprimen-tos que completam o perímetro da folha.

2(2x + 4 + x + x) < 2(x + 10) + x + x →

→ x < 3. Nesse caso, é importante que se

observe a figura para identificar a condição

de existência de x (para que a figura exista,

temos que ter x > 0). Portanto, a resposta

do problema deve atender simultaneamente

às condições x < 3 e x > 0, o que pode ser

escrito, resumidamente, como 0 < x < 3, com

x dado em metros.

Atividade 9

Para produzir x litros de uma substância, o

custo por litro depende da quantidade produ-

zida, ou seja, depende do valor de x. Em dada

situação, o custo por litro é expresso pela relação

2x +

4

x + 10

2x + 4

xx

xx


23


C = 1 000 – 1,5x. A empresa que fabrica essa

substância desenvolveu um novo processo de

produção que pode ser feito ao custo (por litro)

dado pela fórmula C = 940 – 1,4x. Pergunta-se:

a) Deseja-se produzir 450 litros da subs-

tância. Em qual dos dois processos o

custo por litro será menor? E se a quan-

tidade a ser produzida for 620 litros?

Para x = 450, o processo antigo implica um

custo de (1 000 – 1,5 . 450) = R$ 325,00 por

litro, e o novo, um custo de (940 – 1,4 . 450)=

= R$ 310,00 por litro. Para x = 620, o processo

antigo implica um custo de (1 000 – 1,5 . 620) =

= R$ 70,00 por litro, e o novo, um custo de

(940 − 1,4 . 620)= R$ 72,00 por litro. Portan-

to, para 450 litros, o custo por litro dado pela

fórmula antiga é maior que o dado pela fórmula

nova, e para 620 litros a situação se inverte.

b) Determine todos os valores de x para os

quais o custo por litro no novo processo

de produção é menor do que o custo

por litro no processo antigo.

Procura-se a solução da inequação

940 − 1,4x < 1 000 − 1,5x, que é x < 600.

Devemos ainda observar que como x > 0,

portanto 0 < x < 600, com x dado em litros.

Atividade 10

Para enviar uma mensagem do Brasil para

os Estados Unidos via fax, uma empresa co-

bra R$ 3,40 pela primeira página e R$ 2,60 por

página adicional, completa ou não. Calcule o

maior número de páginas possível de uma des-

sas mensagens para que seu preço não ultra-

passe o valor de R$ 136,00.

Chamando de P o preço em R$ para enviar x

páginas, temos: P = 3,4 + 2,6.(x – 1)

Calcular o maior número de páginas possível

para que o preço não ultrapasse R$ 136,00

resume-se a resolver e interpretar a inequação

3,4 + 2,6.(x – 1) ≤ 136, com x inteiro.

Resolvendo a inequação:

3,4 + 2,6x − 2,6 ≤ 136 → x ≤ 52.

O maior número inteiro que é menor ou

igual a 52 é o próprio 52, que é a resposta

do problema.

Atividade 11

Em um concurso com 20 questões, para

cada questão respondida corretamente, o can-

didato ganha 3 pontos e, para cada questão res-

pondida de forma errada (ou não respondida),

perde 1 ponto. Sabendo que para ser aprovado

o candidato deve totalizar na prova um míni-

mo de 28 pontos, calcule o menor número de

questões respondidas corretamente para que

o candidato seja aprovado no concurso.

Chamaremos de x o número de questões

respondidas corretamente pelo candidato e

de 20 – x o número de questões respondidas

erradamente ou não respondidas por ele. Se

P é o total de pontos obtidos pelo candidato

ao responder corretamente x questões,

então a função que modela o problema é

P = 3x – (20 – x), com x sendo um número

inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 20.

O menor número de questões respondidas

corretamente para que o candidato totalize

um mínimo de 28 pontos será o menor inteiro

que atende à inequação P ≥ 28. Resolvendo:


24

3x – (20 – x) ≥ 28

3x – 20 + x ≥ 28

4x ≥ 48

x ≥ 12. Portanto, no mínimo ele deve

acertar 12 questões, totalizando, nesse caso,

exatamente 28 pontos.

Atividade 12

Três planos de telefonia celular são apre-

sentados na tabela a seguir:

PlanoCusto fixo

mensalCusto adicional

por minuto

A R$ 35,00 R$ 0,50

B R$ 20,00 R$ 0,80

C R$ 0,00 R$ 1,20

a) Qual é o plano mais vantajoso para

alguém que utiliza 25 minutos por mês?

Chamando-se de CA , CB e CC o custo total

dos planos A, B e C para x minutos de uso,

teremos:

Para qualquer valor de x maior do que

50 minutos, o plano A será mais barato que

os planos B e C.

Considerações sobre a avaliação

Na Situação de Aprendizagem 1, discu-

timos a resolução de equações e inequações.

No tema equações, demos continuidade à

introdução feita na 6a série/7o ano sobre o

assunto, apresentando situações mais comple-

xas, passíveis de equacionamento, bem como

equações de 1o grau de complexidade maior

que as apresentadas na série/ano anterior. No que

diz respeito às desigualdades, nestes Cadernos,

o estudo das inequações tem início na 7a série/

8o ano e prossegue nas séries/anos seguintes.

Na 7a série/8o ano, entendemos que o assunto

deve ser tratado, sempre que possível, com

maior ênfase dada à resolução de problemas

e não à tecnicidade, o que não quer dizer que

o professor deva abandonar por completo a

sistematização de alguns procedimentos de

resolução de inequações. Lembramos que o

estudo das inequações está apenas começando

na 7a série/8o ano e, certamente, será retoma-

do com aprofundamento e outros matizes nas

séries/anos seguintes.

Uma vez que o aluno estará aprofundan-

do seus conhecimentos sobre equações nesse

volume, é tarefa importante do professor pre-

pará-los para uma boa leitura de enunciados

b) A partir de quantos minutos, de uso

mensal, o plano A se torna mais

vantajoso que os outros dois?

Queremos encontrar o menor valor de x para

que CA < CB e CA < CC .

C = 35 + 0,5 .x C = 35 + 0,5 .25 =47,5

C = 20 + 0,8 .x A A

B

→→→

→ C = 20 + 0,8 .25 =40

C = 1,2.x C = 1,2 .25 =30B

C C

Portanto, para 25 minutos de uso:

CC < CB < CA.

CA < CB

35 + 0,5x < 20 + 0,8x, ou seja, x > 50

CB < CC

35 + 0,5x < 1,2x, ou seja, x > 50


25


e para a transposição de linguagens (do tex-

to para a álgebra, e vice-versa). A leitura

e a interpretação de enunciados será me-

lhor, quanto mais o aluno puder praticá-la

com orientação do professor. O professor

deve evitar concentrar o curso apenas em

problemas do tipo “resolva a equação...”,

“determine o valor de x...”, etc., sendo

preferível que se privilegiem problemas

com texto e contexto. Instrumentalizar os

alunos para uma boa leitura de enunciados

significa orientá-los para que identifiquem

os dados, as relações entre dados e a per-

gunta. Em seguida, outra etapa importante

é a da transposição das informações coleta-

das para a linguagem da álgebra. Nesse mo-

mento, o professor deve estar atento para as

dificuldades específicas dos seus alunos para

que possa elaborar a estratégia certa para a

condução do curso.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAÇÕES NO PLANO

Nesta Situação de Aprendizagem, iremos

ampliar a noção de localização com base na

exploração e na formalização do sistema de

coordenadas no plano. Os alunos já trabalha-

ram nas séries/anos anteriores com a leitura

e a representação de valores numéricos em

retas e gráficos. Nesta etapa da escolaridade,

pretende-se que os alunos compreendam o

sistema de coordenadas cartesianas como um

modo organizado e convencionado para re-

presentar objetos e relações matemáticas.

Em outras palavras, eles devem conhecer as

principais características do plano cartesiano:

que é constituído por dois eixos perpendicula-

res entre si, cada qual subdividido em partes

iguais, representadas por números positivos

e negativos; que o plano é dividido em qua-

tro quadrantes, etc. São essas características

que fazem do plano cartesiano um sistema

apropriado para representar pontos, figuras

geométricas, equações e funções. Contudo,

há uma ressalva a se considerar: no plano

cartesiano, os pontos representados nos dois eixos correspondem a números reais. Como os

alunos ainda não estudaram a formação do

conjunto dos reais e a reta real, trabalharemos

neste momento apenas com pontos racionais.

O que estamos chamando de coordenadas

cartesianas é um sistema de coordenadas ra-

cionais no plano. A formalização do plano

cartesiano será feita posteriormente, a partir

do estudo dos números reais e das funções.

O conhecimento do sistema de coorde-

nadas cartesianas também é importante

para a continuidade dos estudos em Álge-

bra. A representação de pares ordenados

(x, y) correspondentes a uma equação com

duas variáveis possibilita a análise gráfi-

ca da solução de um sistema de equações.

No Ensino Médio, o gráfico cartesiano será

usado para a representação de diferentes ti-

pos de função, da linear à exponencial.


26

Inicialmente, propomos algumas atividades

relacionadas à noção de localização antes de

introduzir formalmente o sistema de coorde-

nadas cartesianas. É importante explorar os

conhecimentos prévios dos alunos em situa-

ções de localização, tais como a procura de uma

rua em um guia de endereços ou a localização

de uma cidade em um mapa.

A partir de alguns exemplos conhecidos, dis-

cutiremos as principais características de um

sistema de localização: a necessidade de um pon-

to de referência, as coordenadas e as dimensões

envolvidas, as convenções adotadas, etc. Em

seguida, destacamos os principais elementos

do sistema de coordenadas cartesianas: o ponto

de origem, a reta numérica, os eixos coordenados,

os pares ordenados e o plano cartesiano.

Feito isso, propomos uma série de atividades

que têm por objetivo consolidar o conhecimento

do sistema de coordenadas cartesianas. As ativi-

dades 5 e 6 tratam da representação de figuras

geométricas no plano cartesiano. Na atividade 7,

propomos um jogo de batalha-naval matemático

envolvendo coordenadas cartesianas. Da ativida-

de 8 em diante, introduzimos as transformações

geométricas no plano cartesiano: por meio de

operações realizadas com as coordenadas carte-

sianas, exploraremos movimentos e transforma-

ções de figuras geométricas simples, tais como

translação, reflexão, ampliação e redução.


Conteúdos e temas: coordenadas; plano cartesiano; pares ordenados; transformações geométricas.

Competências e habilidades: conhecer as principais características do sistema de coordenadas cartesianas; localizar pontos e figuras geométricas no plano cartesiano; realizar transforma-ções geométricas no plano usando operações com as coordenadas cartesianas.

Estratégias: análise e resolução de situações–problema; uso de um jogo para a familiarização com o sistema de coordenadas; uso do plano para representar pontos e figuras.


A ideia de localização

Um dos desafios que se coloca para o profes-

sor da 7a série/8o ano é como introduzir o sistema

de coordenadas cartesianas de uma forma sig-

nificativa para o aluno. Sugerimos que se explo-

rem, inicialmente, algumas situações e alguns

contextos em que a noção de localização seja

familiar aos alunos. Um aluno da 7a série/8o ano

provavelmente já se deparou com algum tipo de

problema de localização, como encontrar uma

rua em um guia de endereços, achar um livro em

uma biblioteca ou, até mesmo, jogar batalha-

-naval. Em todos esses exemplos, a noção de

coordenada está diretamente envolvida.

Nosso trabalho será fazer com que o aluno

saiba reconhecer e analisar os elementos que


27


estão presentes em uma situação de localização.

Ele deverá se apropriar dos termos próprios da

Matemática usados para localizar um objeto, tais

como: origem, sentido, distância, escala, coorde-

nada, reta numerada, eixos coordenados, plano

cartesiano, par ordenado, etc. As atividades pro-

postas a seguir caminham nessa direção.

Atividade 1 – Localização

Solicite aos alunos que tentem localizar

o endereço de suas casas usando um guia de

ruas. Eles devem consultar uma lista em or-

dem alfabética das ruas de sua cidade, que

deve conter duas informações: a página onde

se encontra o mapa da região e a localização

da rua neste mapa. A localização será feita

por meio de duas informações: uma referência

horizontal e uma referência vertical, ambas

representadas por números ou por letras.

Outra ideia que deve ser destacada é que a

informação sobre a localização de um objeto

parte sempre de um ponto de referência escolhido.

No caso do guia de ruas, o ponto de referência

é o canto superior esquerdo da página, onde se

iniciam as sequências de números e letras. Na

próxima atividade, exploramos uma situação

em que as informações sobre a localização de

um objeto depende do referencial escolhido.

Atividade 2 – Ponto de referência

Um empreiteiro deve construir um ralo em

uma cozinha seguindo as instruções fornecidas

pelo arquiteto na planta a seguir, construída

em escala.

R. Vadico

R. Mendes Caldeira

R. Rodrigues dos Santos

R. Monsenhor A

ndrade

R. Elisa Whitaker

R. João Teodoro

R. São Caetano

R. São Caetano

R. Mauá

R. Miguel Carlos

R. d

a Ca

ntar

eira

R. P

línio

Ram

os

R. A

ntôn

io P

ais

Av. Mercúrio

Av. d

o Es

tado

Av. d

o Es

tado

R. Benjamim de Oliveira

R. B

arão

de

Dup

rat

R. d

a Ca

ntar

eira

R. Gen. C

arneiro

R. Fernandes Silva

R. Sampaio Moreira

R. da Alfândega

R. Santa Rosa

R. do Lucas

R. do Gasômetro

R. do Gasômetro

R. Polignano A. Maré

PraçaSão Vito

R. Monsenhor A

ndrade

B R Á S

B O M R E T I R OR

1

A

B

C

D

2 3 4

No mapa acima, a Rua Vadico encontra-se no

quadro C4, ou seja, no cruzamento da 3a linha

com a 4a coluna.

Pode-se comentar com os alunos que, nesse caso, utilizou-se uma combinação de letras e números para dar a informação da localização de um ponto desta rua. Poderiam ser duas letras ou dois números, dependendo da convenção estabelecida pelo guia. O cru-zamento das duas informações resultou na localização da região em que se encontra a rua no mapa.

Como achar a localização precisa do ralo por

meio da planta fornecida? Se escolhermos

Con

exão

Edi

tori

al

Con

exão

Edi

tori

al

ralo

3,2 m

0,3 m

0,7 m


28

como ponto de referência o canto superior

esquerdo da cozinha, então o ralo se encontra

a 3,2 metros na direção horizontal e a

0,7 metros na direção vertical em relação ao

ponto de referência escolhido. Veja a planta

a seguir.

Atividade 3 – Localização e dimensões

Para encontrarmos o local de uma casa, precisamos do endereço dela. No caso, precisa-mos saber o nome da rua e o número da casa. Encontrada a rua, basta nos orientarmos pela numeração até localizarmos a casa. Por con-venção, a numeração de uma rua segue um sentido crescente de numeração relacionado à distância em relação ao início dessa rua. Esse início é estabelecido por convenção, e a partir dele numeram-se as residências, com os números pares à direita e os ímpares à esquerda. Assim, a casa de número 250 fica no lado direito da rua, a aproximadamente 250 metros de seu início. Esta situação envolveu a localização de um ponto em determinado espaço de uma dimensão, a saber, da distância da casa até o início da rua.

No caso do guia de endereços, para lo-

calizar uma rua foram necessárias duas in-

formações: a primeira em relação à direção

horizontal (representada por letras) e a segun-

da em relação à direção vertical (representada

por números). O mesmo ocorre quando que-

remos informar a localização de um livro em

uma estante. A prateleira informa a dimensão

vertical, e a posição do livro na prateleira, a

dimensão horizontal. Tal livro encontra-se na

5a prateleira de baixo para cima, e é o 5o da

direita para a esquerda.

Um mapa geográfico também envolve

a localização de duas direções: a vertical,

chamada de latitude, e a horizontal, que é a

longitude. O sentido de cada uma dessas di-

reções foi estabelecido por convenção: Norte

e Sul a partir da linha do Equador para a la-

titude, e Leste e Oeste a partir do meridiano

de Greenwich para a longitude. A cidade de

Santos, por exemplo, encontra-se 23° 57´ ao

Por outro lado, se adotarmos como ponto

de referência o canto superior direito, as

coordenadas da localização do ralo mudam:

0,3 metros na horizontal e 0,7 metros na

vertical. Embora as coordenadas variem de

acordo com o referencial adotado, a posição

do ralo é sempre a mesma. Tudo depende

da escolha do referencial mais adequado em

cada situação.

ralo

ralo

ponto de referência

ponto de referência

3,2 m

0,3 m

0,7

m

0,7

m

Con

exão

Edi

tori

alC

onex

ão E

dito

rial


29


Sul do Equador e 46° 20’ a Oeste do meridia-

no de Greenwich. As três situações descritas

envolveram a localização em um espaço de

duas dimensões.

Já a posição de um avião em pleno voo en-

volve a localização em um espaço de três di-mensões. Além das coordenadas geográficas

(latitude e longitude), precisamos determinar a

altura em que o avião está viajando, completan-

do assim três informações. Outro exemplo é a

localização de um livro em uma biblioteca com

várias fileiras de estantes. Precisamos informar

a fileira em que se encontra a estante, a prate-

leira e a posição do livro na prateleira. Três di-

mensões, três informações são necessárias.

Atividade 4 – Da reta numerada ao plano

O modelo matemático mais usado para lo-

calizar pontos em uma dimensão é a reta nu-

merada (veja a figura a seguir). Para localizar

um ponto com precisão em uma reta são neces-

sários três elementos. O primeiro é um ponto

de referência ou origem, a partir do qual serão

feitas as comparações de distância. O segundo

é um sentido de crescimento, de forma que seja

possível estabelecer uma sequência crescente de

numeração. E, por fim, uma unidade de medi-

da, que servirá de parâmetro para a marcação

de todos os outros pontos da reta.

Parte-se do pressuposto de que é pos-

sível associar cada ponto da reta a um único

número real e cada número real a um úni-co ponto na reta. Essa afirmação não precisa ainda ser justificada para os alunos, uma vez que eles somente vão estudar a construção e a representação dos números reais na 8a série/ 9o ano. Neste momento, basta que eles com-preendam que é possível localizar e representar números inteiros e racionais na reta numerada.

Essa correspondência entre pontos e números define um sistema de coordenadas na reta. O nú-mero correspondente a um ponto da reta é cha-mado de coordenada. A coordenada nada mais é do que o endereço de um ponto na reta numerada.

A reta numérica, contudo, não é suficiente para localizar pontos em um espaço de duas dimensões. O modelo matemático mais utili-zado para esse fim é o plano. O plano cartesia-no consiste na junção de duas retas numeradas

(eixos coordenados), uma horizontal e outra

vertical, que se cruzam no ponto de origem.

Do mesmo modo que um número repre-

sentava um ponto na reta numerada, um par

de números representará um ponto no plano.

Cada um desses números corresponderá a um

ponto em um dos eixos coordenados. Assim,

o endereço de um ponto no plano correspon-

de a um par ordenado de números. Essa orde-

nação foi convencionada da seguinte forma: o

primeiro número corresponde ao eixo horizon-

tal, e o segundo, ao vertical. Por exemplo, o

ponto correspondente ao par ordenado (3, 2)

543210–1–2–3

Origem

Unidade Sentido


30

encontra-se a 3 unidades de distância da ori-

gem na horizontal e a 2 unidades na vertical.

O gráfico a seguir mostra a representação de al-

guns pares ordenados no plano cartesiano.

ponto é uma coordenada composta por três

pontos ordenados (x, y, z).

É importante comentar com os alunos que

o nome do sistema de coordenadas cartesia-

nas é uma homenagem ao seu criador, o fi-

lósofo e matemático francês René Descartes,

que viveu no século XVII. A ideia de localizar

pontos no plano por meio de um sistema de

coordenadas representou um grande avanço

no estudo da Geometria. A partir da cria-

ção do sistema de coordenadas cartesianas, a

Geo metria passou a se apoiar nas técnicas de

representação algébrica, permitindo um es-

tudo mais analítico das figuras geométricas.

Além disso, a própria Álgebra se transformou,

pois os valores de uma função puderam ser

representados graficamente, permitindo uma

análise geométrica das expressões algébricas.

As atividades a seguir têm como objetivo

principal familiarizar os alunos com os princi-

pais elementos do sistema de coordenadas no

plano, por meio da representação de figuras

geométricas e das possíveis transformações que

podem ser feitas a partir de operações com

suas coordenadas: translações, reflexões, am-

pliações e reduções. Na atividade 5, serão in-

troduzidos os termos abscissa e ordenada para

designar as coordenadas do eixo x e do eixo y,

respectivamente.

Atividade 5 – Representação de figuras geométricas no plano

Observe as figuras geométricas representa-

das no plano a seguir.

Por convenção, o ponto de origem do plano

corresponde ao par ordenado (0, 0), que é o

ponto de interseção das duas retas numeradas.

O sentido de crescimento no eixo horizontal é

da esquerda para a direita, e no vertical, de bai-

xo para cima. Os números positivos são repre-

sentados à direita e acima do ponto de origem,

e os negativos à esquerda e abaixo desse ponto.

Os pontos do plano são representados pelos

pares ordenados (x, y), no qual x representa os

valores associados ao eixo horizontal, e y,

os valores associados ao eixo vertical.

No caso da representação de planos no

espaço, acrescenta-se mais um eixo coorde-

nado perpendicular ao plano, passando pela

origem. Assim, no espaço, o endereço de um

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

43210–1–2–3– 4

(–3, 1)

(3, 2)

(2, –2)

x

(0, 0)

(–1, – 4)

y


31


1. Determine as coordenadas de seus vértices.

As coordenadas dos vértices do quadrado

ABCD são A (6, 5), B (4, 7), C (2, 5) e

D (4, 3). As do triângulo EFG são E (–2, 1),

F (– 8, 5) e G (– 8, 1). As do retângulo HIJK

são H (0, –1), I (– 6, –1), J (– 6, – 4), K (0, – 4).

As do triângulo LMN são L (6, 0), M (0, – 6)

e N (4, – 6).

2. Quais pontos possuem a mesma abscissa?

Os pontos A e L possuem abscissa 6. Os

pontos B, D e N possuem abscissa 4.

Os pontos H, K e M possuem abscissa 0. Os

pontos I e J possuem abscissa – 6. Os pontos

F e G possuem abscissa – 8.

3. Quais pontos possuem ordenadas iguais a zero?

Somente o ponto L possui ordenada igual a 0.

Na próxima atividade, os alunos deverão

fazer o caminho inverso, isto é, partindo das

coordenadas para representar as figuras geo-

métricas no plano cartesiano.

Atividade 6 – Desenhando polígonos

Desenhe os seguintes polígonos no plano

cartesiano a partir das coordenadas de seus

vértices:

1. Triângulo ABC, sendo A (5, 2), B (7, 7) e

C (1, 5).

2. Quadrado DEFG, sendo D (–3, 2), E (–3, 7),

F (– 8, 7) e G (– 8, 2).

3. Hexágono HIJKLM, sendo H (–7, 0),

I (–10, 0), J (–12, –3), K (–10, –6), L (–7, – 6)

e M (–5, –3).

4. Quadrilátero NOPQ, sendo N (7, 0),

O (0, –3), P (7, – 6) e Q (5, –3).

A familiaridade com os termos abscissa e ordenada pode levar ainda algum tempo. Assim, se os alunos apresentarem dificul-dade nessa atividade, o professor pode re-formular a pergunta, substituindo o termo abscissa por coordenada x e ordenada por coordenada y. O importante é enfatizar a capacidade leitora dos alunos em relação às coordenadas cartesianas no plano. Outro problema que costuma aparecer é a dificul-dade de leitura de pontos que estejam nos eixos coordenados. Por exemplo, o ponto L situa-se no eixo x, e possui coordenada (6, 0). O ponto H está situado no eixo y, possui coordenada (0, –1). Deve-se mostrar aos alunos que todo ponto situado no eixo x será representado por um par ordenado (x, 0), e todo ponto situado no eixo y, por um par ordenado (0, y).

F

G E

–5

10

–10

5

5

–5

10

J

HI

B

A

D

C

M

K

N

L

–10

y

x


32

A próxima atividade é uma espécie de jogo

de batalha naval adaptado para o plano car-

tesiano. O uso de jogos como estratégia de

ensino na Matemática tem se mostrado bas-

tante proveitoso, sobretudo com alunos do En-

sino Fundamental. Esse jogo tem por objetivo

o conhecimento do sinal das coordenadas nos

quatro quadrantes do plano cartesiano. No

primeiro quadrante, ambas as coordenadas são

positivas; no segundo, a abscissa é negativa e a

ordenada positiva; no terceiro, ambas as coor-

denadas são negativas; e no quarto, a abscissa é

positiva e a ordenada, negativa.

Pode-se explorar com os alunos que nos qua-

-drantes ímpares (1o e 3o) as coordenadas têm o

mesmo sinal, enquanto nos quadrantes pares,

(2o e 4o) elas têm sinal oposto, como mostra a fi-

gura abaixo.

1o e 2o quadrantes, e o jogador Sul no 3o e 4o

quadrantes. Cada tiro é um par ordenado (x, y)

que representa um ponto no plano cartesiano.

Os objetos a serem descobertos são os seguintes:

Atividade 7 – Batalha-naval matemática

Este jogo é uma batalha-naval desenvolvida

em um plano coordenado. As regras são as mes-

mas do tradicional jogo de batalha-naval. A di-

ferença é que, em vez de navios e submarinos, os

objetos a serem atingidos são símbolos e objetos

matemáticos. Além disso, a batalha se desenvol-

ve nos quatro quadrantes do plano cartesiano.

O jogador Norte posiciona seus símbolos nos

Os símbolos devem ser posicionados no

tabuleiro do jogo, que é um plano cartesiano.

Por exemplo, o jogador Norte deve posicio-

nar seus símbolos no 1o e 2o quadrantes, como

mostra a figura a seguir.

O jogador Sul terá três tentativas de tiro.

Cada tentativa deve ser anunciada como um

par ordenado (x, y). Em seguida, o jogador

Norte deverá informar se os tiros acertaram

algum símbolo. Por exemplo, se os tiros forem

(3, 5), (–2, 4) e (–5, 5), apenas o segundo

tiro terá acertado o alvo, que é o símbolo da

multiplicação.

É importante que cada jogador dê os ti-

ros com as coordenadas correspondentes ao

ponto

adição

triângulomenor

subtração

quadrado

multiplicação

triângulo maior

divisão

y

x–5 10–10 50

10

–5

5

–10

y

x

3o

(−, +)

(−, −)

(+, +)

(+, −)

1

4o

o2o


33


quadrante do adversário, caso contrário, po-

derá acertar a própria esquadra. O jogo termi-

na quando um jogador acertar as coordenadas

dos oito símbolos do outro jogador.

As próximas atividades envolvem trans-formações geométricas no plano. Por meio

de simples operações aritméticas realizadas

com as coordenadas dos vértices de figuras

geométricas, iremos explorar algumas trans-

formações que podem ser realizadas com es-

sas figuras. É importante destacar que esta é

uma abordagem dinâmica da Geometria, em

contraposição à maneira usual, que é estáti-

ca. Por meio dela, os alunos poderão analisar

não apenas o movimento das figuras no plano

(translações e reflexões) como, também, am-

pliações e reduções dessas figuras.

Atividade 8 – Translação

Considere o triângulo ABC. As coordena-

das (x, y) de seus vértices são A (3, 2), B (7, 3)

e C (4, 5).

unidades na direção do eixo coordenado

correspondente. Por exemplo, somando 6

às abscissas dos vértices do triângulo ABC,

obteremos o triângulo A’B’C’ de coordena-

das (x + 6, y). Esse novo triângulo resulta

da translação horizontal (segundo o eixo x)

em 6 unidades do triângulo original, como

mostra a figura.

A tabela a seguir mostra as transformações

nas coordenadas de cada vértice.

DABC (x, y)

DA’B’C’(x + 6, y)

A (3, 2) A’ (9, 2)

B (7, 3) B’ (13, 3)

C (4, 5) C’ (10, 5)

2. Translação vertical: Somando –10 às

ordenadas do triângulo ABC, obtemos o

triângulo A’B’C’, cujas coordenadas dos

vértices são ( x, y – 10), conforme mostram

a figura e a tabela a seguir.

ABC (x, y)

A’B’C’(x, y – 10)

A (3, 2) A’ (3, –8)

B (7, 3) B’ (7, –7)

C (4, 5) C’ (4, –5)

1. Translação horizontal: Se somarmos uma

constante a às coordenadas dos três vér-

tices, o triângulo será transladado em a

y

5C

A

B

2

3 4 7 x

3

y

5

3

2

x3 4 7

C

A

B

9 10 13

A'

C'

B'


34

3. Translação combinada: Ocorre quando so-

mamos constantes às duas coordenadas

de cada vértice. Por exemplo, se quisermos

transladar o triângulo ABC em 11 uni-

dades para a esquerda e 4 unidades para

cima, devemos fazer a seguinte operação

em suas coordenadas: (x – 11, y + 4).

coordenadas (x + a, y + b), em que a e b são

números reais quaisquer.

Atividade 9 – Reflexão

1. Reflexão em relação ao eixo y: se multiplicar-

mos as abscissas dos vértices por –1, a figura

será refletida em relação ao eixo y. Obteremos

o triângulo A’B’C’ de coordenadas (–x, y).

ABC (x, y)

A’B’C’(x – 11, y + 4)

A (3, 2) A’ (–8, 6)B (7, 3) B’ (–4, 7)C (4, 5) C’ (–7, 9)

ABC(x, y)

A’B’C’

(–x, y)A (3, 2) A’ (–3, 2)B (7, 3) B’ (–7, 3)C (4, 5) C’ (– 4, 5)

A reflexão preserva a distância dos vértices

em relação ao eixo, como mostra a figura. O

vértice A está à mesma distância do eixo y que

o vértice A’. O mesmo vale para B e B’, C e C’.

Assim, podemos afirmar que o triângulo A’B’C’ é

simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo y.

2. Reflexão em relação ao eixo x: se multiplicar-

mos as ordenadas dos vértices por –1, a figura

será refletida em relação ao eixo x. Obteremos

o triângulo A’B’C’, de coordenadas (x, –y).

ABC(x, y)

A’B’C’

(x, –y)A (3, 2) A’ (3, –2)B (7, 3) B’ (7, –3)C (4, 5) C’ (4, –5)

Genericamente, temos que a translação de

um ponto de coordenadas (x, y) passa a ter

23

56

7

9

–8 –4 3 4 7–7

y

x

C

A

A'

B

C'

B'

–7 –3 4 7 x–4 3

y

C

AA'

B

C'

B'

23

5

743

–7

–8

–5

2

3

5C

A

A'

B

C'

B'

y

x


35


Neste caso, observa-se que o triângulo A’B’C’ é

simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo x.

3. Reflexão em relação à origem: se multiplicar-

mos ambas as coordenadas dos vértices por –1,

a figura será refletida em relação à origem.

O que é equivalente a uma composição de

reflexões, uma em relação ao eixo y e outra em

relação ao eixo x, ou vice-versa. Obteremos, de

qualquer modo, o triângulo A’B’C’ de coorde-

nadas (–x, –y), como mostra a figura a seguir.

Agora, o ponto de simetria entre os triân-

gulos é a própria origem (0, 0). Ou seja, a dis-

tância de A até a origem é igual à distância

de A’ até a origem, o mesmo acontecendo em

relação a B e B’ e C e C’. A reflexão por um

ponto é equivalente à composição entre duas

translações, uma vertical e outra horizontal,

como mostra a figura.

Atividade 10 – Ampliação e redução

1. Ampliação: para ampliar as dimensões do

triângulo ABC em duas vezes, multiplica-

mos suas coordenadas por 2, obtendo o

triângulo A’B’C’.

ABC(x, y)

A’B’C’

(–x, –y)A (3, 2) A’ (–3, –2)B (7, 3) B’ (–7, –3)C (4, 5) C’ (– 4, –5)

ABC(x, y)

A’B’C’(2x, 2y)

A (3, 2) A’ (6, 4)

B (7, 3) B’ (14, 6)

C (4, 5) C’ (8, 10)

Neste caso, ao duplicarmos as coordena-

das de ABC, as distâncias até a origem tam-

bém duplicam.

OA’ = 2.OA

OB’ = 2.OB

OC’ = 2.OC

743

2

–5

3

–3

5

y

x

–2

y

2

–2–3

–5

–3 3 4 7 x–4–7

3

5 C

BA

A'B'

C'

y

2

3 4 6 7 8 14 x

3

4

56

10

C

A

A'

B

C'

B'

A'

C'

B'

A

C

B


36

Generalizando, para ampliar uma fi gura

em n vezes, multiplicamos suas coordenadas

(x, y) por n, obtendo (n.x, n.y), para n > 1.

Quando 0 < n < 1, obtemos uma redução da

fi gura, como mostra o exemplo a seguir.

2. Redução: para reduzir as dimensões do tri-

ângulo ABC, tornando-as quatro vezes me-

nores, multiplicamos suas coordenadas por 14

, obtendo o triângulo A’B’C’ de coordena-

das (14

x, 14

y).

Em seguida, peça que analisem o que aconte-

ce com os pontos da fi gura quando somamos

um valor constante às suas abscissas ou quando

multiplicamos suas coordenadas por um valor

negativo. Ao realizarem essas simples operações

aritméticas, os alunos podem descobrir os dife-

rentes tipos de transformações envolvidas. Ao

professor caberá a tarefa de nomear e sistema-

tizar os diferentes tipos de transformação, usan-

do uma notação simbólica.

Translação horizontal: (x, y) (x + a, y)

Translação vertical: (x, y) (x, y + b)

Translação horizontal e vertical:

(x, y) (x + a, y + b)

Refl exão horizontal: (x, y) (–x, y)

Refl exão vertical: (x, y) (x, –y)

Refl exão pela origem: (x, y) (–x, –y)

Ampliação: (x, y) (ax, ay). Para a > 1.

Redução: (x, y) (ax, ay). Para 0 < a < 1.

ABC(x, y)

A’B’C’

( 1144

x, 1144

y)

A (3, 2) A’ (0,75; 0,5)B (7, 3) B’ (1,75; 0,75)C (4, 5) C’ (1; 1,25)

No Caderno do Aluno apresentamos ati-vidades relativas apenas às transformações: translação (horizontal; vertical; horizontal e vertical) e refl exão (horizontal; vertical). Todavia, se houver tempo e se julgar neces-sário, o professor poderá propor situações envolvendo as demais transformações: re-fl exão pela origem, ampliação e redução. Apesar da rotação ser uma transformação, não a incluímos nas atividades anteriores. Consideramos que a inclusão desse tópico implicaria a discussão sobre ângulos, e a determinação das coordenadas fi caria mais complexa, fugindo ao objetivo principal desta Situação de Aprendizagem.

2

0,75

0,75 1,75 3 4 7

1,25

3

5

y

x

C

A

A'

B

C'

B'

Comentários sobre a aplicação da Situação de Aprendizagem

A aplicação dessas atividades pode ser me-

nos expositiva e mais investigativa. Por exem-

plo: solicite aos alunos que representem uma

fi gura geométrica qualquer no plano cartesiano.


37



Após a realização das atividades propostas, esperamos que os alunos estejam mais familia-rizados com as coordenadas cartesianas e com as representações gráficas de pontos no plano, construindo uma base sólida para a represen-tação de equações e resolução de sistemas, con-teúdos da próxima Situação de Aprendizagem.

O uso do jogo de batalha-naval matemática como recurso didático constitui um excelente estímulo para o aluno se apropriar das coorde-nadas cartesianas e dos quadrantes do plano car-tesiano. Além disso, a sequência de atividades de transformações geométricas no plano coloca tanto a Geometria como o uso do plano cartesia-no em outra perspectiva, diferente da usualmente adotada. Acreditamos que tal abordagem favore-ce a aprendizagem significativa do sistema de co-ordenadas cartesianas e amplia o conhecimento geométrico dos alunos, ao introduzir o movimen-to e a transformação nas figuras geométricas.

O processo de avaliação deve ser elaborado pelo professor de acordo com as característi-cas de cada turma e com os objetivos de apren-dizagem mínimos estabelecidos pelo atual Currículo. Acreditamos que, ao final desse percurso, o aluno deve se apropriar dos se-guintes conhecimentos, necessários para a continuidade de seus estudos:

f compreender a associação entre pontos de uma reta e números;

f localizar e representar pontos no plano car-tesiano;

fdistinguir os sinais das coordenadas carte-sianas em cada quadrante do plano;

f conhecer as características das principais

transformações geométricas no plano.

Uma atividade que permite avaliar se o aluno apropriou-se efetivamente do sistema de coorde-nadas cartesianas e dos diferentes tipos de trans-formação geométrica é a seguinte: solicita-se que cada aluno represente uma figura geométrica qualquer no plano cartesiano, identificando os vértices com letras e anotando suas coordena-das. Em seguida, eles devem escolher pelo menos duas transformações e aplicá-las na figura esco-lhida. Por exemplo, o aluno pode representar um quadrilátero ABCD e aplicar uma reflexão em relação ao eixo y e uma redução de 50%, como

mostra a figura a seguir.

Quadrilátero ABCD: A (3, 7), B (6, 8),

C (10, 6), D (6, 10)

Reflexão em relação ao eixo y: A’ (–3, 7),

B’ (– 6, 8), C’ (–10, 6), D’ (– 6, 10)

Redução em 50% (0,5): A” (–1,5, 3,5),

B” (–3, 4), C” (–5, 3), D” (–3, 5)

Por meio desta atividade, o professor po-

derá avaliar se o aluno se apropriou efetiva-

mente do sistema de coordenadas cartesianas

e das transformações no plano.

A''

y

5

–5

5 10 x

–10

10

AA'B

B'

B''

CC'

C''

DD'

D''


38


Conteúdos e temas: sistemas de equações; métodos de resolução (adição e substituição); representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis; análise das soluções de um sistema linear (algébrica e gráfica).

Competências e habilidades: traduzir um problema para a linguagem algébrica na forma de um sistema; resolver sistemas de equações pelo método da adição; resolver sistemas de equações pelo método da substituição; representar uma equação com duas incógnitas no plano cartesiano; analisar e discutir as possíveis soluções de um sistema linear; interpretar graficamente a solução de um sistema.

Estratégias: análise de situações-problema envolvendo sistemas de equações lineares; uso da analogia com balanças para compreender os métodos de resolução; representação gráfica das equações de um sistema.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

O assunto principal desta Situação

de Aprendizagem é o estudo dos sistemas de

equações de 1o grau. Os alunos já estão fami-

liarizados com a resolução das equações de

1o grau, conteúdo que foi estudado na 6a série/

7o ano e aprofundado neste mesmo Caderno,

na Situação de Aprendizagem 1.

Nesta Situação de Aprendizagem, apresen-

taremos alguns problemas que envolvem duas

equações e duas incógnitas. São os chamados

sistemas de equações lineares, pois as equações

podem ser representadas no plano cartesiano por

uma reta.

Inicialmente, discutiremos o significado das

equações com duas incógnitas e os métodos

de resolução de sistemas por meio da análise de

situações-problema. Recorremos à já conhecida

analogia com as balanças de prato para ilustrar

o método da substituição e o da adição, o que, a

nosso ver, contribui para uma melhor compreen-

são por parte do aluno dos procedimentos estu-

dados. Deve-se evitar a simples memorização ou

automatização dos procedimentos, pois isso acaba

por gerar um aprendizado precário da Álgebra,

potencializando erros e dificuldades posteriores.

Depois, apresentaremos dois procedimen-

tos de resolução de sistemas (adição e subtra-

ção), com um enfoque na escolha do método

pelo aluno e na verificação dos resultados em

relação à pergunta original do problema.

A representação gráfica de equações com

duas variáveis no plano cartesiano será explorada

nas últimas atividades. A construção do gráfico

das equações de um sistema vai ajudar o aluno a

compreender melhor quando o sistema é possível

e determinado ou indeterminado e impossível.


39



Atividade 1 – Equações e incógnitas

1. Considere o problema seguinte:

A soma das idades de João e Maria é 28 anos.

Qual a idade de cada um deles?

Transcrevendo o problema para a linguagem

algébrica, temos x + y = 28. Se conside-

rarmos apenas as idades completas de João

e Maria (números naturais entre 1 e 28), te-

remos as seguintes possibilidades de solução,

mostradas na tabela a seguir:

A tabela mostra que são possíveis 27 pares de

soluções. Ou seja, considerando apenas as infor-

mações contidas no enunciado, o problema fica

indeterminado, isto é, aceita mais de uma solução.

Para que o problema tenha uma solução determi-

nada, precisamos de mais uma informação numé-

rica a respeito das idades de João e Maria.

Em termos algébricos, uma equação com duas

incógnitas pode ter mais de uma solução. Depen-

dendo do domínio, pode haver infinitas soluções.

2. Se o enunciado também informasse que

João é 4 anos mais velho que Maria, mais

uma equação seria acrescentada ao proble-

ma, delimitando o número de soluções.

Essa nova informação pode ser escrita algebri-

camente como x = y + 4. Ou ainda, de forma

equivalente, como x – y = 4, pois a diferença de

idade entre João e Maria é de 4 anos. Obser-

vando a tabela, há um único par de valores que

satisfaz ambas as equações: x = 16 e y = 12.

Portanto, o problema passou a ter uma solução

determinada. A idade de João é 16 anos e a de

Maria 12 anos.

3. Se o problema nos informasse que a idade

de João é o triplo da de Maria, teríamos

que x = 3y.

O único par de valores que satisfaz essa nova

condição é 21 e 7. Portanto, João teria 21 anos

e Maria 7 anos.

4. Consideremos, agora, o caso em que a idade

de Maria é o dobro da idade de João.

Nesse caso, observando a tabela, não há nenhum

par de valores inteiros que satisfaçam essa condi-

ção. Ou seja, dentro do contexto inicial, o problema

não possui solução. A não ser que considerássemos

as idades não inteiras. Isso tornaria inviável a so-

lução pela tabela, pois existem infinitos pares que

satisfazem a primeira equação.

João (x) Maria (y)

1 27

2 26

3 25

4 24

5 23

6 22

7 21

8 20

9 19

10 18

11 17

12 16

13 15

14 14

João (x) Maria (y)

15 13

16 12

17 11

18 10

19 9

20 8

21 7

22 6

23 5

24 4

25 3

26 2

27 1


40

5. Podemos operar com as equações dadas

para resolver o problema do item anterior.

Partindo da equação inicial x + y = 28 e sa-

bendo que a idade de Maria é o dobro da de

João, podemos substituir o valor de y por 2x,

obtendo uma equação com apenas uma incóg-

nita: x + 2x = 28 ou 3x = 28, portanto x = 28

3

ou x = 9,333... ou 9 1

3. Como y = 2x, então

y = 18 2

3. Dessa forma, dentro do contexto

dos números racionais, descobrimos algebrica-

mente que João tinha 9 anos e 4 meses, e Maria

18 anos e 8 meses.

a) Primeira medida: os dois objetos pesam,

conjuntamente, 2 500 gramas.

Em linguagem algébrica, x + y = 2 500

Ao substituir o valor de uma incógnita pela expressão equivalente em termos da ou-tra incógnita, obtivemos uma equação com apenas uma incógnita, tornando possível determinar sua solução. Essa forma de reso-lução é chamada de método da substituição, que será discutido a seguir.

Atividade 2 – As balanças e o método da substituição

Uma forma de introduzir o método da

substituição com significado é por meio

de uma analogia com a balança de pratos.

Vamos explorar a seguir um exemplo de proble-

ma que pode ser resolvido tanto por meio das

balanças como algebricamente pelo método

da substituição.

1. Precisamos descobrir o peso de dois obje-

tos, convenientemente denominados x e y.

Para isso, foram realizadas as seguintes

medidas em uma balança de pratos:

b) Segunda medida: o objeto x pesa o mesmo

que o objeto y mais 500 gramas.

Em linguagem algébrica, x = y + 500

c) Substituição: trocamos o objeto x pelo

seu equivalente, y mais 500 gramas. Em

seguida, tiramos 500 gramas de cada

lado, mantendo a equivalência.

Em linguagem algébrica, (y + 500) + y = 2 500,

ou y + y – 500 = 2 500 – 500

x y 500g

x y

2 000g

500g

x y

y

2 000g

500g

500g


41


d) Se dois objetos y pesam 2 000 gramas,

um objeto y pesará 1 000 gramas.

Em linguagem algébrica, 2y = 2 000 ou,

y = 1 000

Substituindo o valor de x na primeira

equação, temos:

e) Como o objeto x pesa o mesmo que o

objeto y mais 500 gramas, então seu

peso é de 1 500 gramas.

Em linguagem algébrica, x = 1 000 + 500 ou

x = 1 500

Em linguagem algébrica, a resolução do

problema ficaria assim:

x+ y=2500

x= y+500

Substituindo o valor de y na segunda equa-

ção, temos:

A ideia principal desse método de reso-lução é que, tanto na solução pela balança como na solução algébrica, a estratégia ado-tada foi a substituição do valor de uma das incógnitas pelo seu equivalente em termos da outra. Isso é o que caracteriza o chamado método da substituição.

As atividades anteriores foram resolvidas

usando-se a imagem das balanças e a ideia de

peso como analogia. Em ambos os casos, o prin-

cípio que estava subjacente era o da equivalência.

É importante comentar com os alunos que esse

recurso pode ser transferido para outras ativida-

des que não envolvam necessariamente medidas

de pesos, tais como: idade, preço de produtos,

tempo, altura ou, simplesmente, números.

Atividade 3 – Procedimentos de resolução de sistemas lineares pelo método da substituição

Consideremos os seguintes sistemas:

a) x + 2y = 5

x – y = –1

b) 3x – 2y = 8

5x + y = 9

Em termos de procedimentos gerais, para

resolver um sistema de duas equações lineares

com duas incógnitas pelo método da substitui-

ção são necessárias as seguintes etapas:

y y

2 000g

y y

2 000g

500g500g

(y + 500) + y = 2 500

2y + 500 = 2 500

2y = 2 000

y = 1 000

x = 1 000 + 500

x = 1 500


42

1a etapa: escrever uma incógnita em ter-

mos da outra. Nessa etapa, devemos

orientar o aluno a escolher a incógnita

mais apropriada para ser isolada, de pre-

ferência com coeficiente unitário.

2a etapa: substituir a incógnita isolada

pelo seu equivalente em termos da outra,

obtendo uma nova equação com apenas

uma incógnita.

3a etapa: resolver a nova equação e obter o

valor de uma das incógnitas.

4a etapa: substituir o valor da incógnita

obtido na 3a etapa em uma das equações,

para obter o valor da outra incógnita.

5a etapa: verificar se a solução obtida

satisfaz as equações originais.

a) x+ 2y=5

x y = 1– –

1a: Nesse caso, uma escolha possível é escrever x

em termos de y, por exemplo, x = 5 – 2y

2a: Substituí-lo na outra equação:

(5 –2y) – y = –1

3a: Resolvendo a equação, obtemos y = 2.

4a: Substituindo esse valor na 1a equação, temos

x + 2.2 = 5, ou seja, x = 1. A solução do sistema

é x = 1 e y = 2.

5a: Verificação: 1 + 2.2 = 5 e 1 – 2 = –1.

A solução encontrada satisfaz as duas equações.

b) 3x 2y = 8

5x + y =9

–

1a: Nesse caso, a escolha mais apropriada

é escrever y em função de x a partir da

2a equação: y = 9 – 5x.

2a: Substituindo na 1a equação, temos

3x – 2.(9 – 5x) = 8.

3a: Resolvendo a equação, obtemos x = 2.

4a: Substituindo esse valor na 2a equação,

temos 5.2 + y = 9, ou seja, y = –1.

5a: Verificação: 3.2 – 2.(–1) = 8 ou 6 + 2 = 8

e 5.2 + (–1) = 9 ou 10 – 1 = 9. A solução

encontrada satisfaz as duas equações.

Atividade 4 – Somando e subtraindo equivalências

A ideia principal que subjaz ao chamado

método da adição é a de que podemos somar

ou subtrair duas equações sem comprometer

o princípio de equivalência. Ou seja, a soma

ou a diferença entre duas equações gera uma

nova equação. Essa ideia nem sempre é dis-

cutida com profundidade, e muitos alunos

simplesmente aplicam o método da adição

por mero automatismo, sem perceber que a

equivalência é preservada. Para ilustrar essa

ideia, propomos o seguinte problema que

pode ser resolvido usando-se a analogia com

as balanças.

1. André e Júlia foram a uma lanchonete.

André comeu dois mistos e tomou um re-

frigerante, e gastou R$ 6,60. Já Júlia comeu


43


um misto e também tomou um refrigerante,

gastando R$ 4,10. Qual é o preço do misto e

do refrigerante nesta lanchonete?

a) Representação do consumo e do gasto de

André.

Chamando o sanduíche de x e o refrigerante

de y, obtemos a equação ( I ) 2x + y = 6,60

Algebricamente, subtraímos a equação II da

equação I:

( I ) 2x + y = 6,60 – (II) x + y = 4,10,

resultando em x = 6,60 – 4,10 ou x = 2,50.

d) Se um sanduíche custa R$ 2,50 e Júlia

gastou R$ 4,10, então o preço do

refrigerante é o valor que falta: R$ 1,60.

Se 2,50 + y = 4,10, então y = 1,60.

e) Em termos algébricos, a resolução

completa ficaria assim:

b) Representação do consumo e do gasto de

Júlia.

Equivalente à equação (II) x + y = 4,10

c) Subtraindo o consumo de Júlia do consumo

de André, restará apenas um sanduíche.

Portanto, subtraindo os valores pagos,

a diferença obtida, R$ 2,50, é o preço do

sanduíche.

2x + y = 6,60x + y = 4,10

–

2x – x + y – y = 6,60 – 4,1( ) ( ) 00

x = 2,502,50 + y = 4,10y = 1,60

��

O procedimento de resolução adotado nesse problema é conhecido como método da adição. Embora tenha sido feita uma diferença entre equações, deve-se comentar com os alunos que subtrair é equivalente a adicionar o oposto. Portanto, adicionando a equação I à equação II multiplicada por menos um, obteremos o mesmo resultado.

R$ 2,50

R$ 6,60R$ 4,10

R$ 6,60

R$ 4,10


44

Uma ideia importante que deve ser retomada

com os alunos é a de que qualquer equação pode

ser transformada em outra equação equivalente

quando realizamos as seguintes operações:

a) adicionamos ou subtraímos um mesmo

número ou expressão nos dois lados da

igualdade.

b) multiplicamos ou dividimos os termos

de ambos os lados da igualdade por um

mesmo número ou expressão, desde que

diferente de zero.

Atividade 5 – Procedimentos para resolução de sistemas lineares pelo método da adição

Consideremos os seguintes sistemas:

1a etapa: decidir uma maneira de anular

uma das incógnitas na soma de equações.

Observar os coeficientes e sinais das incóg-

nitas. Se houver dois termos opostos entre si,

basta efetuar a soma. Caso contrário, será

preciso multiplicar uma das equações para

obter um termo oposto ao termo da outra

equação.

2a etapa: efetuar a soma de equações que

anule uma das incógnitas.

3a etapa: resolver a nova equação obtida.

4a etapa: substituir o valor da incógnita obti-

do na 3a etapa em uma das equações do sistema

para obter o valor da outra incógnita.

5a etapa: verificar se a solução obtida satis-

faz as equações originais.

a) 2x+ y x – y

+

3x

1a: as equações possuem termos opostos

(y e –y)

2a e 3a: obtemos 3x = 9. Portanto, x = 3

4a: substituindo na 2a equação, temos:

3 – y = 4, então y = –1

5a: verificação: 2.3 + (–1) = 5 ou 6 – 1 = 5

3 – (–1) = 4 ou 3 + 1 = 4

A solução satisfaz as equações.

a) b) 3x – 62

c) 23

Para resolver um sistema pelo método da

adição é preciso que, quando somadas as equa-

ções, pelo menos uma das incógnitas seja anu-

lada. Isso ocorre quando somamos um termo

ao seu oposto. Por exemplo: 2x + (–2x) = 0

ou (–5y) + 5y = 0. Assim, precisamos proceder

da seguinte maneira:

2x + y = 6,60

–x – y = – 4,10

2x + (–x) + y + (–y) = 6,60 + (– 4,10)

x = 2,50

+

2x + y = 5

x – y = 4

3x + 5y = – 6

x – 2y = – 2

3x + 2y = – 4

4x – 3y = 23


45


b) 3x + 5y = –6

x – 2y = –2 .–3

→3x + 5

+y = –6

–3x +6y = 6 11y = 0

⎧⎨⎩

1a: não há termos opostos. Portanto, pode-

mos multiplicar a 2a equação por –3, obtendo o

termo oposto a 3x.

2a e 3a: obtemos 11y = 0. Portanto, y = 0.


x – 2.0 = –2, então x = –2

5a: Verifi cação: 3.(–2) + 5 . 0 = – 6 ou

– 6 + 0 = – 6

–2 – 2.0 = –2 ou –2 – 0 = –2


c) 3xx

+ 2y = –44 – 3y = 23

. 3. 2

⎧⎨⎩

⎯ →⎯9x + 6y = –12

8x – 6y = 46+

17x = 34

1a: não há termos opostos. Portanto, uma estra-

tégia é multiplicar a 2a equação por 2 e a 1a equação

por 3, obtendo os termos opostos 6y e –6y.

2a e 3a: obtemos 17x = 34. Portanto, x = 2.


3.2 + 2y = –4, então y = –5

5a: Verifi cação: 3.2 + 2.( –5) = –4 ou 6 – 10 = – 4

4.2 – 3.( –5) = 23 ou 8 + 15 = 23


Atividade 6 – A escolha do método

A ideia é que os alunos decidam qual o

sistema mais apropriado em cada situação.

A princípio, não há uma norma para usar um

ou outro método. É por meio da experiên-

cia e da refl exão sobre os procedimentos utiliza-

dos que o aluno poderá decidir qual o melhor

caminho a ser percorrido. Contudo, podemos

delinear algumas características que facilitam

um ou outro método. Por exemplo, o método

da adição se torna mais rápido quando existem

termos opostos nas duas equações. Já o método

da substituição é preferível quando for fácil

isolar uma das incógnitas.

Os seguintes sistemas podem ser propostos

aos alunos:

a) 2 73 7

x yx y

––

=

+ =

x = 2 e y = –3

b) x yx y+ =

− = −

⎧⎨⎩

5 13 13

x = – 4 e y = 1

c) 2 3 06 4 13

x yx y+ =

− =

⎧⎨⎩

x = 32

e y = –1

d) x yx y= −

+ =

⎧⎨⎩

3 12 12

x = 5 e y = 2

Atividade 7 – Equações, tabelas e gráfi cos

A representação gráfi ca de uma equa-

ção linear com duas incógnitas é um recurso

valioso na discussão e na análise das possíveis

resoluções de um sistema. Além disso, ele pre-

para o aluno para o trabalho posterior com

funções, que se iniciará na 8a série/9o ano.


46

Na atividade 1, construímos uma tabela

com as soluções inteiras e positivas de uma

equação com duas incógnitas. Para cada valor

de x, correspondia um valor de y, cuja soma

era sempre 28 (x + y = 28). Podemos, então,

construir um par ordenado (x, y) que configure

a relação entre essas incógnitas, e representá-lo

num plano cartesiano.

A representação de uma equação linear

com duas incógnitas no plano cartesiano per-

mite a visualização de suas possíveis soluções,

o tipo de relação existente entre as incógnitas,

etc. Além disso, será de muita valia na análise

e discussão das soluções de um sistema linear

de duas equações. A seguir, vamos explorar

um problema que resulta em um sistema desse

tipo e representar as soluções em uma tabela

e, em seguida, no plano cartesiano.

1. Problema: A soma de dois números inteiros

e positivos é 12 e a diferença entre eles é 4.

Traduzindo em linguagem algébrica, escre-

vemos as equações I e II:

x + y = 12 (I)

x – y = 4 (II)

Para cada equação, constroem-se as tabelas

com os valores x e y, considerando o domínio

dado pelo problema, isto é, de valores entre 1

e 11. Vamos considerar também, sem perda de

generalidade, que x é maior que y.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x + y 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

x 5 6 7 8 9 10 11

y 1 2 3 4 5 6 7

x − y 4 4 4 4 4 4 4

Agora, para cada par ordenado (x, y) das

tabelas, localizaremos um ponto no plano

x – y = 4

1

2

3

4

5

6

7

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x

x + y = 12y

1110987654321

x1110987654321

cartesiano, obtendo os seguintes gráficos das

equações I e II:


47


Juntando os pontos no mesmo plano, obte-

mos o gráfico das duas equações. O ponto em

comum aos dois gráficos (8,4) é a solução do

sistema.

Pode-se solicitar aos alunos que construam

o gráfico das equações e verifiquem se pontos

fora do domínio do problema inicial também

estão contidos na reta. Por exemplo, no gráfico

da equação x + y = 12 representado abaixo, os

pares ordenados (–1, 13), (7,5; 4,5) e (15, –3) per-

tencem à reta e satisfazem à equação x + y = 12.

Consideremos agora que o problema não

se restrinja ao domínio dos números inteiros,

e possa incluir números negativos, racionais e

irracionais. Então, os pontos das equações po-

dem ser representados por uma reta. Como

já foi comentado anteriormente, a formali-

zação do conceito de reta real será feita na

8a série/9o ano. Nesse momento, basta que o alu-

no compreenda que os pontos intermediários

entre os inteiros também estão alinhados e, por-

tanto, podem ser representados por uma reta.

Atividade 8 – Soluções de um sistema

Assim que os alunos se apropriarem dos pro-

cedimentos de resolução de um sistema linear,

podemos problematizar a questão das possíveis

soluções de um sistema. Até agora, o repertório

de soluções que os alunos conheciam era com-

posto por números determinados. Contudo, uma

particularidade dos sistemas lineares de duas

equações é que eles podem gerar outros tipos de

resultados. Podemos obter uma solução possível,

mas indeterminada, ou uma solução impossível.

Solução de um

sistema linear

Possível

Impossível

Determinada

Indeterminada

y

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

x1110987654321

y

13

x + y = 12

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

14 15 x13121110987654321–1–2–3

–3


48

Apresentaremos alguns exemplos de siste-

mas contendo os três tipos de soluções mos-

tradas na página anterior. O professor deve

estimular os alunos a investigarem os padrões

nas equações dos sistemas em que a solução

é indeterminada ou impossível. Além disso,

será feita a representação gráfica dos sistemas

para a interpretação geométrica das soluções.

Atividade 9 – Sistema possível e determinado

Proponha aos alunos a resolução de siste-

mas por meio do método da adição como o

que segue:

Atividade 10 – Sistema possível e indeterminado

Peça aos alunos que resolvam o seguinte

sistema pelo método da adição:

Agora, eles devem representar as duas equa-

ções no plano cartesiano. Como para determi-

nar uma reta são necessários ao menos dois

pontos, eles devem montar a tabela com apenas

dois pares ordenados para cada equação.

2x + y = 3

x y

0 3

1,5 0

x – y = 6

x y

0 – 6

6 0

A partir da tabela, obtemos o gráfico a seguir,

que mostra as duas retas, uma de cada equação,

interceptando-se no ponto (3, –3), que é a solu-

ção do sistema.

Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos

uma outra equação cujos termos são os opostos

da 2a equação.

Assim, ao tentarmos anular uma das incóg-

nitas, a outra incógnita e o termo independen-

te também se anularam, obtendo a igualdade

0x + 0y = 0. Como os coeficientes de ambas

as incógnitas é zero, qualquer que seja o valor das

incógnitas x e y o resultado sempre será igual a

zero. Portanto, teremos uma sentença verdadeira

(0 = 0) para qualquer valor de x e y.

y

–3

3 x

–4x – 2y = 6

4x + 2y = 6+

0.x +0.y = 0

−

2 36

3 93 – 3

x yx yx

x y

+ ==

== =

–

2 34 2 6

x yx y+ =

+ =

⎧⎨⎩


49


Esse resultado mostra que, na verdade, as

duas equações do sistema são equivalentes, ou

seja, são a mesma equação. Por essa razão,

trata-se de um problema que tem apenas uma

equação com duas incógnitas e, portanto, infi-

nitas soluções. Em termos gráficos, a represen-

tação das equações no plano gera duas retas

coincidentes, como mostra a figura.

O resultado obtido, 0x + 0y = 4, não possui

solução, pois quaisquer que sejam os valores de

x e y, o lado esquerdo da equação será sempre

igual a zero, enquanto o direito vale quatro.

Assim, a sentença obtida é falsa, pois 0 ≠ 4. Em

termos gráficos, as duas equações seriam repre-

sentadas como mostra a figura.

2x + y = 3

x y

0 3

1,5 0

4x + 2y = 6

x y

0 3

1,5 0

Atividade 11 – Sistema impossível

Peça aos alunos que resolvam o seguinte

sistema pelo método da adição:

Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos

uma equação em que os coeficientes das incógnitas

são opostos, mas o termo independente, não.

2x + y = 3

x y

0 3

1,5 0

4x + 2y = 10

x y

0 5

2,5 0

Como podemos ver, as duas retas que repre-

sentam as equações são paralelas. Dessa forma,

elas não possuem pontos de interseção, o que

mostra que o sistema não possui solução.


Ao final desta Situação de Aprendiza-

gem, espera-se que os alunos sejam capazes

de resolver problemas envolvendo mais de

uma incógnita, saibam representar esses pro-

blemas na forma de um sistema e consigam

achar uma solução usando o método mais

conveniente.

3

y

1,5 x3

y

1,5 x

2x+ y = 34x+ 2y =10

− − − 4x 2y = 6

4x + 2y = 10+

0x + 0y = 4

��

5

2,5


50

Além disso, eles devem analisar e compreen-

der as possíveis soluções de um sistema linear:

determinada, indeterminada e impossível.

Além disso, eles devem saber representar uma

equação linear com duas variáveis no plano

cartesiano, além de interpretar graficamente a

solução de um sistema.

No decorrer das aulas, é importante que o

professor alterne momentos de problematiza-

ção e sistematização com atividades e exercícios

relativos ao conteúdo ensinado. Consideramos

que no decorrer dessas duas semanas o professor

proponha algumas atividades de avaliação que

contemplem os seguintes itens:

a) Resolução de problemas: o foco da

avaliação deve estar na tradução do

problema para a linguagem algébrica

(montagem do sistema).

b) Resolução de sistemas: propor exer-

cícios visando a familiarização com os

procedimentos de resolução dos sistemas

estudados. Avaliar se os alunos sabem

usar os dois métodos, escolhendo o

melhor em cada situação e se fazem a

verificação dos resultados obtidos.

c) Representação gráfica: representar equa-

ções no plano cartesiano e construir

tabelas com alguns valores das incógnitas.

Avaliar se os alunos representam corre-

tamente os pares (x, y) da equação no

plano cartesiano.

d) Análise e discussão das soluções de um sistema: propor a resolução de sistemas

que tenham solução indeterminada ou

impossível. Avaliar se os alunos sabem iden-

tificar quando o sistema é possível e deter-

minado ou indeterminado ou impossível.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 EQUAÇÕES COM SOLUÇÕES INTEIRAS E SUAS APLICAÇÕES

Nesta Situação de Aprendizagem, apre-

sentamos uma série de problemas que, uma

vez equacionados, conduzem a uma única

equação com mais de uma incógnita. Equa-

ções como essas que, em domínio real, seriam

Tempo previsto: 1 semana.

Conteúdos e temas: múltiplos e divisores; máximo divisor comum; equações e sistemas; contagem.

Competências e habilidades: identificar regularidades e padrões; raciocínio lógico dedutivo em problemas algébricos; organizar informações em tabelas.

Estratégias: utilizar tabelas para identificar padrões e regularidades; utilizar tabelas para or-ganizar informações; investigar propriedades de divisibilidade entre inteiros e do MDC por meio de exemplos numéricos.

classificadas como indeterminadas, podem ter

um número finito de soluções inteiras e positi-

vas. Investigaremos equações dessa natureza (em

domínio inteiro positivo) com o uso de tabelas e

em contextos próximos de situações reais.


51



O estudo de sistemas de equações linea res na

7a série /8o ano, normalmente, concentra esforços

na discussão, compreensão e sistematização dos

métodos de resolução (adição e substituição) de

sistemas determinados. Ocorre que, em inúme-

ras situações de ordem prática, o que precisa-

mos resolver são sistemas com mais incógnitas

do que equações e, ainda para complicar (ou fa-

cilitar), sistemas que requerem apenas soluções

inteiras positivas.

Vejamos alguns exemplos adaptados de ar-

tigos da Revista do Professor de Matemática 2.

Exemplo 1 – Para agrupar 13 ônibus em

filas de 3 ou 5 em uma garagem, quantas filas

serão formadas de cada tipo?

Exemplo 2 – Quantas quadras de vôlei

e quantas quadras de basquete são necessá-

rias para que 80 alunos joguem simulta-

neamente? E se forem 77 alunos? (Dado: uma

partida de basquete é disputada por 5 jogadores,

e uma de vôlei, por 6.)

Exemplo 3 – Um laboratório dispõe de duas

máquinas para examinar amostras de sangue.

Uma delas examina 15 amostras de cada vez,

enquanto a outra examina 25. Quantas vezes

essas máquinas devem ser acionadas para

examinar 2 000 amostras?

Exemplo 4 – Um caixa eletrônico dis po-

nibiliza para saque apenas notas de R$ 20,00,

R$ 50,00 e R$ 100,00. Se um cliente deseja sacar

R$ 250,00, de quantas maneiras diferentes ele

poderá receber suas notas?

Exemplo 5 – Deseja-se adquirir um total

de 100 peças dos tipos A, B e C, sendo que

os preços unitários das peças são R$ 1,00,

R$ 10,00 e R$ 20,00, respectivamente. Se

dispomos de R$ 200,00 para a compra,

quantas e quais são as possibilidades de

compra?

Escrevendo cada um desses problemas em

linguagem algébrica, encontraremos equações

do tipo ax + by = c ou ax + by + cz = d, em

que nos interessam apenas as soluções inteiras

e positivas do tipo (x,y) ou (x,y,z).

Exemplo 1:

t: número de filas com 3 ônibus.

c: número de filas com 5 ônibus.

3t + 5c = 13

Exemplo 2:

v: número de pares de times de vôlei.

b: número de pares de times de basquete.

12v + 10b = 80 ou 12v + 10b = 77

2 A Revista do Professor de Matemática é editada pela Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cms>. Acesso em: 14 mar. 2013.

Lembrete: usamos 12v, e não 6v, porque para haver uma partida de vôlei precisamos de dois times completos de 6 jogadores; o mes-mo raciocínio se aplica a 10b no lugar de 5b.


52

Exemplo 3:

x: número de amostras examinadas pela

máquina X

y: número de amostras examinadas pela

máquina Y

15x + 25y = 2 000

Exemplo 4:

x: total de notas de R$ 20,00

y: total de notas de R$ 50,00

z: total de notas de R$ 100,00

20x + 50y + 100z = 250

Exemplo 5:

a: número de peças adquiridas do tipo A

b: número de peças adquiridas do tipo B

c: número de peças adquiridas do tipo C

a + 10b + 20c = 200

Problemas nos quais nos interessam as so-

luções inteiras positivas de uma equação com

mais de uma incógnita, normalmente, recebem

o nome de equações diofantinas, em homenagem

ao matemático Diofanto de Alexandria, que vi-

veu por volta do ano 250 d.C. e se interessou por

problemas dessa natureza (ver nota histórica ao

final do texto).

Uma equação diofantina, como acabamos

de descrever, pode apresentar uma, mais de

uma ou nenhuma solução. O estudo aprofun-

dado das equações diofantinas permite-nos

encaminhar a discussão para:

1. estabelecer um critério de existências de so-

lução que envolva diretamente a noção de

máximo divisor comum;

2. estabelecer um algoritmo para encontrar

as soluções, quando elas existirem.

Nesta Situação de Aprendizagem, inves-

tigaremos problemas envolvendo equações

diofantinas com o uso de tabelas e, a partir

da observação de padrões e regularidades,

identificaremos suas soluções. Não investiga-

remos o algoritmo de resolução das equações

diofantinas, no entanto, ele é uma decorrên-

cia quase que imediata da análise que fare-

mos para determinar quando uma equação

diofantina tem ou não solução. Deve ficar

claro, por meio da atividade, que o recurso

das tabelas, usado para a busca de soluções,

torna-se muito complicado quando estamos

diante de um problema em que os coeficien-

tes da equação são números muito altos, o

que certamente justificará o interesse pela

busca de um algoritmo geral. Caso o pro-

fessor identifique esse interesse nos alunos,

deixaremos duas indicações bibliográficas

nas quais o algoritmo e sua demonstração

podem ser encontrados.

A forma como pretendemos apresen-

tar o estudo de problemas relacionados às


53


equações diofantinas, apesar de não usual na

escola básica, sugere pelo menos três aspec-

tos que justificam plenamente sua abordagem:

1) trabalha-se com a identificação de padrões

e regularidades; 2) trabalha-se com a ideia de

múltiplos, divisores e do máximo divisor co-

mum; 3) trabalha-se, indiretamente, com racio-

cínio de contagem.

A seguir, apresentaremos a resolução dos

exemplos indicados no início desta proposta,

contando com sua análise, professor, sobre

outros desdobramentos possíveis para ativi-

dades com os alunos.

Resolução do exemplo 1

Montaremos uma tabela que nos permita

avaliar possibilidades para t e c, de tal forma

que se atenda à restrição 3t + 5c = 13:

Inicialmente, fixamos t = 0 e variamos o

valor de c, o que permite observar que não há

solução para o problema quando t = 0, por-

que a soma 3t + 5c sempre será um múltiplo

de 5 (lembre-se de que queremos 3t + 5c = 13).

Note que não fizemos mais do que 4 linhas

na tabela com t = 0 por dois motivos: em pri-

meiro lugar, pode-se observar com facilidade

que 3t + 5c será sempre múltiplo de 5, o que

não fornece solução para o problema e, em

segundo lugar, na quarta linha já atingimos

soma maior do que os 13 ônibus possíveis

do problema.

Da 5a linha até a 9a, fizemos o mesmo tipo

de análise, só que agora com c = 0. Também

concluímos, nesse caso, que não há solução

possível com c = 0.

Com os valores possíveis de 3t e de 5c lista-

dos na última coluna da tabela, nos interessa

agora procurar somas de dois deles que totali-

zem 13. No caso do problema, a única soma que

totaliza 13 é 10 + 3. Segue, portanto, que a única

solução do problema é 3.1 + 5.2 = 13, ou seja,

(t,c) = (1,2).

Deve-se observar, por meio desse exemplo,

que o fato de um problema dessa natureza ter

uma, mais de uma ou nenhuma solução está

diretamente relacionado com os valores atri-

buídos aos coeficientes da equação, que no

caso do exemplo 1 foram 3, 5 e 13. Outras

escolhas poderiam implicar na existência de

mais de uma solução (se trocássemos, por

exemplo, o 13 por 15) ou de nenhuma solu-

ção (se trocássemos, por exemplo, 3 por 2).

LinhaNúmero de filas com

3 ônibus (t)

Número de filas com

5 ônibus (c)

Total de ônibus

(3t + 5c)

1 0 0 0

2 0 1 5

3 0 2 10

4 0 3 15

5 1 0 3

6 2 0 6

7 3 0 9

8 4 0 12

9 5 0 15

10 1 2 13


54


Montaremos uma tabela que nos permita

avaliar possibilidades para v e b de tal forma

que se atenda à restrição 12v + 10b = 80 (na se-

quência, analisaremos o caso 12v + 10b = 77).

Com as nove primeiras linhas da tabela,

descobrimos uma solução do problema, que é

v = 0 e b = 8. Note que o padrão seguido nas

nove primeiras linhas não foi continuado, porque

na nona linha já se atingiu 80, que é o número de

alunos da escola na primeira situação proposta

no enunciado do problema. Da 10a à 15a linha,

identificamos que não há solução quando

b = 0. O padrão com b = 0 não prosseguiu para

além da 15a linha, porque na linha seguinte já

LinhaNo de pares de times de

vôlei (v)

No de pares de times de basquete (b)

Total de alunos

(12v + 10b)

1 0 0 0

2 0 1 10

3 0 2 20

4 0 3 30

5 0 4 40

6 0 5 50

7 0 6 60

8 0 7 70

9 0 8 80

10 1 0 12

11 2 0 24

12 3 0 36

13 4 0 48

14 5 0 60

15 6 0 72

16 5 2 80

ultrapassaríamos 80 alunos. Por fim, buscando

combinações de resultados da última coluna

cuja soma seja 80, encontraremos mais uma so-

lução para o problema, que é v = 5 e b = 2. Esse

problema apresenta, portanto, soluções do tipo

(v,b), que são (0,8) e (5,2).

Dando continuidade à análise desse exem-

plo, é fácil perceber que não existe solução

para a equação 12v + 10b = 77. Uma justifica-

tiva razoável para isso é a seguinte:

f os múltiplos de 10 terminam sempre em 0,

portanto, 10b tem algarismo das unidades

igual a zero;

f os múltiplos de 12 terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8,

portanto, 12v termina em algarismo das uni-

dades igual a um desses números;

f decorre dos itens anteriores que a soma 12v + 10b

termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 e, como 77 tem al-

garismos das unidades igual a 7, 12v + 10b

nunca será igual a 77.

Pode-se demonstrar que:

Uma equação diofantina ax + by = c tem so-

lução inteira se, e somente se, o máximo divisor

comum entre a e b for um número que divide c.

O teorema que acabamos de enunciar garante a existência de soluções inteiras (in-clui os negativos). Lembramos que nos cinco exemplos que estamos analisando, nos interes-sam as soluções inteiras positivas. Ou seja, sua aplicação em problemas desse tipo exige que se faça uma análise com critério, porque pode ser que a equação tenha uma solução com in-teiros negativos e, nesse caso, essa solução não interessaria para o problema em questão.


55


Veremos a seguir os passos da demonstra-

ção do teorema.

Recordemos as seguintes propriedades de

divisibilidade entre inteiros:

1. Se d divide a, então d dividirá a.m, para

qualquer m inteiro.

Exemplo: 7 divide 21, então 7 divide 9 . 21

(se 7 divide 21, então 21 é múltiplo de 7 e,

portanto, o produto de 21 por qualquer in-

teiro será divisível por 7).

2. Se d divide a e divide b, então d dividirá

a + b.

Exemplo: 3 divide 6 e 9, então, 3 divide

6 + 9 (como 6 9

3+

é igual a 63

93

+ , e como

3 divide 6 e 9, então 3 dividirá 6 + 9).

3. Se d é MDC(a,b), então existem inteiros r e s

tais que a . r + b . s = d.

Exemplo: MDC(6,9) = 3, e 6.(–1) + 9.(1) = 3

(note que –1 e 1 não são os únicos valores

r e s tais que a.r + b.s = d; temos também,

por exemplo, 2 e –1).

Veja que o algoritmo nos permite escrever

1) 9 = 1 . 6 + 3 e 2) 6 = 2 . 3 + 0. Da primeira

igualdade temos 3) 3 = 9 – 1 . 6 e da segunda

4) 2 . 3 = 6 – 0. Substituindo 4 em 3, temos

3 = 9 − 1 . (6 – 0), ou seja, 3 = (1) . 9 + (–1) . 6.

Por meio das duas primeiras propriedades

listadas, sabemos que se a equação ax + by = c

tiver alguma solução com x’ e y’ inteiros, e se

d for um divisor comum de a e b, então d divi-

dirá c. Em particular, como o MDC (a,b) é um

divisor comum de a e b, a condição necessária

para que a equação tenha solução inteira é que

MDC (a,b) divida c. Já sabemos que é necessário

que MDC (a,b) divida c para que a equação dio-

fantina tenha solução inteira. Agora nos resta

perguntar se essa condição também é suficiente.

A resposta é sim, e decorre da terceira proprie-

dade listada. Chamando o MDC (a,b) de d, se

d dividir c, então c = d.m e, pela propriedade 3,

existem inteiros r e s tais que a.r + b.s = d. Multipli-

cando ambos os membros da igualdade por m, te-

mos a.(r.m) + b.(s.m) = d.m, ou seja, a.x’ + b.y’ = c.


Com o resultado que acabamos de demons-

trar, como o MDC(15,25) = 5 divide 2 000, o

problema tem solução inteira. Com o uso de

uma tabela, é possível encontrar as 27 soluções

do problema, que são os seguintes pares (x,y):

(130,2), (125,5), (120,8), (115,11), (110,14),

(105,17), (100,20), (95,23), (90,26), (85,29),

(80,32), (75,35), (70,38), (65,41), (60,44), (55,47),

(50,50), (45,53), (40,56), (35,59), (30,62), (25,65),

(20,68), (15,71), (10,74), (5,77), (0,80)

Essa propriedade é uma decorrência quase imediata do algoritmo de Euclides para determinação do MDC entre dois números:

1 2

9 6 3

3 0


56


Como o MDC (20,50,100) = 10 divide 250, o

problema tem solução inteira. Utilizando uma ta-

bela encontramos as seguintes soluções (x,y,z):

(0,1,2), (0,3,1), (0,5,0), (5,1,1), (5,3,0), (10,1,0)


Uma vez que o MDC (1,10,20) = 1 divide 200,

a equação possui solução inteira. Utilizando uma

tabela encontraremos as 91 soluções (a,b,c):

Observe que a tabela tem uma série de re-

gularidades que, uma vez identificadas, facili-

tam a generalização das triplas ordenadas. Por

exemplo, as primeiras 11 triplas, que começam

com a = 0, têm soma b + c iniciando em 10 e

aumentando sempre uma unidade. Nas demais

sequências de triplas (conforme organizamos

anteriormente), a será um múltiplo de 10, b

será igual a 19, 18, 17, ... , 10 (reduzindo sempre

duas unidades para a tripla seguinte) e c será

igual a 0, 1, 2, ... (terminando em 9, 8, 7, 6 ou 5,

dependendo da sequência).

Nota histórica

Diofanto viveu por volta do ano 250 d.C. e foi um matemático de trabalhos extremamen-te originais para sua época. A principal obra de Diofanto, chamada Arithmetica, consta ter sido escrita em 13 livros, dos quais apenas os seis pri-meiros chegaram até nós. Alguns consideram Diofanto o pai da Álgebra, uma vez que ele intro-duziu em seu trabalho a ideia de equação algébri-ca expressa por símbolos. Na solução de sistemas de equações, Diofanto manipulava um único sím-bolo para representar as incógnitas e chegava às respostas, comumente, pelo método de tentativa, que consiste em assumir para alguma das incóg-nitas um valor preliminar que satisfaça algumas condições. Esses valores preliminares conduziam a expressões erradas, mas que geralmente sugeriam alguma estratégia pela qual valores podiam ser obtidos de forma a atender a todas as condições do problema. Na coleção de 150 problemas que compõem sua obra, fica claro que o tratamento dado por Diofanto não é o da axiomatização, e raramente ele apresenta generalizações. Não há

uma distinção clara no tratado de Diofanto en-

tre equações determinadas e indeterminadas e,

(0,0,10), (0,2,9), (0,4,8), (0,6,7), (0,8,6), (0,10,5), (0,12,4), (0,14,3), (0,16,2), (0,18,1), (0,20,0)

(10,19,0), (10,17,1), (10,15,2), (10,13,3), (10,11,4), (10,9,5), (10,7,6), (10,5,7), (10,3,8), (10,1,9)

(20,18,0), (20,16,1), (20,14,2), (20,12,3), (20,10,4), (20,8,5), (20,6,6), (20,4,7), (20,2,8), (20,0,9)

(30,17,0), (30,15,1), (30,13,2), ... , (30,3,7), (30,1,8)

(40,16,0), (40,14,1), ... ,(40,0,8)

(50,15,0), (50,13,1), ... , (50,1,7)

(60,14,0), (60,12,1), ... , (60,0,7)

(70,13,0), (70,11,1), ... , (70,1,6)

(80,12,0), (80,10,1), ... , (80,0,6)

(90,11,0), (90,9,1), ... , (90,1,5)

(100,10,0), (100,8,1), ... , (100,0,5)


57


quando ele se ocupava desse segundo grupo, ge-

ralmente contentava-se em encontrar uma solu-

ção, e não todo o conjunto de soluções.

Muitos dos problemas resolvidos por

Diofanto eram da determinação de soluções in-

teiras (ou racionais) em equações com mais de

uma incógnita, fato pelo qual esse tipo de assun-

to, investigado na Situação de Aprendizagem 4, é

conhecido por muitos na Matemática como equa-

ções diofantinas. Veremos a seguir (em notação

moderna) um problema resolvido por Diofanto

para ilustrar sua forma de pensar a Matemática.

“Determine dois números tais que, cada

um somado com o quadrado do outro, for-

neça um quadrado perfeito.”

Como Diofanto tentava sempre escrever os

problemas usando apenas uma incógnita, em

vez de chamar os números de x e y, chamou-os

de x e 2x + 1. Note que, nesse caso, ao somar o

segundo com o quadrado do primeiro, necessa-

riamente teremos um quadrado perfeito, porque

2x + 1 + x² é igual a (x + 1)². Na sequência, exi-

ge-se que o primeiro somado com o quadrado

do segundo seja um quadrado perfeito, ou seja,

que x + (2x + 1)² seja um quadrado perfeito.

Diofanto escolhe um quadrado perfeito parti-

cular, que é (2x – 2)², para igualar à expressão

x + (2x + 1)², da qual decorrerá uma equação

linear em x, como veremos a seguir:

x + (2x + 1)² = (2x – 2)²

x + 4x² + 4x + 1 = 4x² – 8x + 4 → x = 3

13.

Segue, portanto, que um dos números é 3

13 e o

outro, dado por 2x + 1, é 1913

.

Note que no lugar de (2x − 2)² poderíamos ter

usado (2x − 3)² ou (2x − 4)² ou outras expressões

semelhantes, o que resultaria em outros pares de

respostas que atendem à condição do enunciado

do problema, mas Diofanto se contentava em

encontrar uma única solução para o problema.

Como curiosidade final, citamos um trecho

(adaptado para a linguagem moderna) de uma

obra datada do século V ou VI d.C., chamada

Antologia grega, em que, supostamente, revela-se

com quantos anos Diofanto morreu:

“Diofanto passou 16

da sua vida na infân-

cia, 1

12 na juventude, 1

7 como solteiro; 5 anos

depois de casado nasceu o seu filho, que mor-

reu com metade da idade que Diofanto viveu,

4 anos antes da sua própria morte.”

Equacionando o problema, descobriremos

a suposta idade que Diofanto morreu:

52

4 → x = 84 anos

Rep

rodu

ção

Frontispício de livro de Aritmética de Diofanto, Toulouse, França, 1620.


58


Na Situação de Aprendizagem 4, investiga-

mos processos de resolução de equações com

mais de uma incógnita e soluções inteiras po-

sitivas. Acreditamos que a discussão de proble-

mas desse tipo, além de aproximar o estudo da

Matemática de sua contextualização, permite

também a retomada de propriedades dos múl-

tiplos e divisores de um número. Do ponto de

vista das habilidades trabalhadas, a situação

proposta exige que o aluno seja capaz de orga-

nizar as informações numéricas em uma tabela,

observar padrões, generalizar regularidades e

investigar propriedades dos múltiplos e diviso-

res por meio da resolução de problemas.

As avaliações devem verificar se o aluno

está apto a:

f equacionar um problema a partir da leitu-

ra e interpretação do seu enunciado;

f identificar se a equação possui ou não

solução por uma análise numérica direta

(com uso de tabelas), o que pode ser com-

provado pelo teorema do máximo divisor

comum que foi apresentado no texto;

f organizar os dados em uma tabela, o que

implica fazer escolhas convenientes dos

números atribuídos às incógnitas de tal

forma que haja um padrão que possa ser

cercado na montagem da tabela;

f encontrar todas as soluções da equação;

f criar (e resolver) seus próprios problemas

envolvendo equações com várias incóg-

nitas e soluções inteiras positivas.

ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO

A avaliação do conteúdo trabalhado na

Situação de Aprendizagem 1 pode-se rea-

lizar por meio de provas individuais, o que

permitirá identificar melhor as dificuldades es-

pecíficas de cada aluno. Tais dificuldades podem

ser classificadas em: 1) não consegue transpor a

informação para a linguagem algébrica; 2) conse-

gue transpor a informação, porém não consegue

resolver a equação; 3) consegue resolver a equa-

ção, porém não interpreta e analisa as soluções

no contexto do problema.

Para recuperar o primeiro tipo de difi-

culdade, o professor pode recorrer a novos

problemas, de preferência mais simples no

primeiro momento, para que o aluno possa

progredir. Outra estratégia interessante é a de

formar duplas de trabalho para a resolução

de problemas. Nesse caso, é necessário que o

professor escolha as duplas adequadamente

de forma que um aluno com maior conhe-

cimento sobre o assunto possa ajudar o que

ainda não atingiu objetivos mínimos. A recu-

peração do segundo tipo de dificuldade im-

plica identificar qual erro específico o aluno

está cometendo e, uma vez esclarecido, o pro-

fessor pode propor novos problemas em que

ele tenha mais uma vez que colocar à prova

esse tipo de conhecimento. Um bom caminho

para recuperar o terceiro tipo de dificuldade


59


é o de fazer perguntas para o aluno do tipo:

“Sua resposta é plausível para o que está sen-

do perguntado?” ou “Identifique novamente

a pergunta do problema no texto e confronte

com a sua resposta”.

Em relação à Situação de Aprendizagem 2,

caso os objetivos de aprendizagem não sejam

plenamente atingidos pelos alunos, o profes-

sor poderá explorar as seguintes estratégias de

recuperação:

f a retomada da ideia de localização usando

guias de endereços, mapas, plantas e outros

recursos extramatemáticos;

f uma sistematização das principais carac-

terísticas do sistema de coordenadas car-

tesianas, seguida de exercícios similares às

atividades 5 e 6 propostas neste Caderno.

Essas atividades sintetizam a essência da

ideia de localização no sistema de coorde-

nadas cartesianas.

Caso o professor note que os alunos não es-

tão conseguindo resolver os sistemas propostos

na Situação de Aprendizagem 3, é adequado ava-

liar se isso se deve à dificuldade em relação aos

procedimentos de resolução de equações ou à

interpretação do problema. No primeiro caso,

a atividade de recuperação deve contemplar

os procedimentos de resolução de equação de

1o grau: o significado da operação inversa, a ideia

de equivalência, a linguagem algébrica, etc.

Se a dificuldade de interpretação do pro-

blema persistir, o professor deverá preparar

uma atividade cujo foco seja a leitura de enun-

ciados: identificação dos verbos principais,

reconhecimento dos valores a serem descober-

tos (incógnita), descrição da pergunta central

do problema, etc.

Por fim, no que diz respeito aos conteú-

dos da Situação de Aprendizagem 4, se os

objetivos mínimos não tiverem sido atingidos

plenamente por algum aluno, o professor po-

derá lançar mão das seguintes estratégias de

recuperação:

f propor novos exercícios para que sejam re-

solvidos em duplas de trabalho, procuran-

do sempre formar duplas em que um aluno

possa, de fato, ajudar outro que esteja com

dificuldades no assunto;

f trabalhar com a representação das equa-

ções (com duas incógnitas) no plano car-

tesiano. Uma equação do tipo ax + by = c

terá sempre como representação uma reta

e, construindo o gráfico no papel milime-

trado (ou quadriculado), podemos identi-

ficar as soluções inteiras como pontos da

malha de coordenadas inteiras por onde

passa a reta;

f trabalhar com estratégia de jogos: divida

a classe em grupos, e cada um deverá ela-

borar um problema de equação diofantina

(com sua solução). Os problemas criados

pelos grupos deverão ser trocados entre

eles e vencerá o jogo o grupo que conseguir

resolver corretamente o maior número de

problemas.


60

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA

ALVES, Sérgio; GALVÃO, Maria E. E. L.

Um estudo geométrico das transformações

elementares. São Paulo: IME-USP, 1996.

BAUMGART, John K. Tópicos de história da

Matemática para uso em sala de aula: Álgebra.

São Paulo: Atual, 2001.

BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática.

São Paulo: Edgard Blucher, 1994.

CAJORI, Florian. Uma história da Matemática.

Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.

CARNEIRO, José Paulo. Dispositivo para

expressar o MDC de dois números como

combinação linear deles. Revista do Professor

de Matemática, no 37, São Paulo: Sociedade

Brasileira de Matemática, 1998.

COIMBRA, Carlos. Coordenadas no Espaço.

Ciência hoje na escola tempo e espaço, v. 7.

Rio de Janeiro: Ciência Hoje, 1999.

COXFORD, Albert F.; SHULTE, Arthur P.

As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

DINIZ, Maria Ignez S.; SOUZA, E. R. Álgebra:

das variáveis às equações. São Paulo: CAEM,

IME-USP, 1996. Disponível em: <http://www.

ime.usp.br/caem>. Acesso em: 14 mar. 2013.

GARBI, Gilberto G. O Romance das equações

algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997.

KRULIK, Stephen; REYS, Robert. E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1998.

LIMA, Elon Lages et. al. Temas e problemas elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. (Coleção do Professor de Matemática.)

MILES, César Polcino; COELHO, Sônia P. Números: uma introdução à matemática. São Paulo: Edusp, 2001.

PATROCÍNIO, Antônio Carlos; SATO, Sérgio Nokiani; ISNARD, Carlos Augusto Soluções inteiras. Revista do Professor de Matemática. no 8. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 1986.

Revista do Professor de Matemática. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, publicada desde 1982.

Vários números apresentam material sobre álgebra e equações.

ROCQUE, Gilda Diha.; PITOMBEIRA, João Bosco. Uma equação diofantina e suas resoluções.Revista do Professor de Matemática, no 19. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.


61


CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os três objetivos centrais do volume 3 da

7a série/8o ano são aprofundar a discussão so-

bre equações de 1o grau; apresentar o plano

cartesiano e suas possibilidades e introduzir a

ideia de sistemas de equações e seus métodos

de resolução. O professor deve compreender

que muitos dos temas deste volume serão

retomados nas séries/anos subsequentes, se-

guindo um currículo em espiral, o que deve

ser usado como um balizador para a escolha

da “escala” a ser adotada, no que diz respeito

tanto à profundidade com que vai explorar

cada assunto, como ao tempo que dedicará a

cada um deles.

Reforçamos mais uma vez nossa compreen-

são de que o volume apresenta uma quantida-

de grande de novos temas, e que as propostas

aqui apresentadas para o tratamento desses

temas são sugestões para reflexão do professor,

sendo perfeitamente compreensível que sejam

feitos ajustes, adequações, cortes e recortes

para colocá-las a serviço do seu planejamento.

Apresentamos, a seguir, a grade curricular com os conteúdos de Matemática, de todas as séries/anos do Ensino Fundamental, destacan-do com um sombreado os conteúdos de outros volumes e de outras séries/anos diretamente re-lacionados com os conteúdos deste volume 3.


62

CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA POR SÉRIE/VOLUME DO ENSINO FUNDAMENTAL

5a série/6o ano 6a série/7o ano 7a série/8o ano 8a série/9o ano

Vol

ume

1

NÚMEROS NATURAIS- Múltiplos e divisores.- Números primos.- Operações básicas.- Introdução às potências.

FRAÇÕES- Representação.- Comparação e ordenação.- Operações.

NÚMEROS NATURAIS- Sistemas de numeração na Antiguidade.

- O sistema posicional decimal.

NÚMEROS INTEIROS- Representação.- Operações.

NÚMEROS RACIONAIS- Representação fracionária e decimal.

- Operações com decimais e frações.

NÚMEROS RACIONAIS- Transformação de decimais

finitos em fração. - Dízimas periódicas e

fração geratriz.

POTENCIAÇÃO- Propriedades para

expoentes inteiros.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO- A linguagem das potências.

NÚMEROS REAIS- Conjuntos numéricos.- Números irracionais.- Potenciação e radiciação

em IR.- Notação científica.

Vol

ume

2

NÚMEROS DECIMAIS- Representação.- Transformação em

fração decimal.- Operações.

SISTEMAS DE MEDIDAS- Comprimento, massa e

capacidade.- Sistema métrico decimal.

GEOMETRIA/MEDIDAS- Ângulos.- Polígonos.- Circunferência.- Simetrias.- Construções geométricas.- Poliedros.

ÁLGEBRA- Equivalências e

transformações de expressões algébricas.

- Produtos notáveis.- Fatoração algébrica.

ÁLGEBRA- Equações de 2o grau:

resolução e problemas. - Noções básicas sobre

funções; a ideia de interdependência.

- Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

Vol

ume

3

GEOMETRIA/MEDIDAS- Formas planas e espaciais.- Noção de perímetro e área

de figuras planas.- Cálculo de área

por composição e decomposição.

NÚMEROS/ PROPORCIONALIDADE- Proporcionalidade direta

e inversa.- Razões, proporções,

porcentagem. - Razões constantes na

geometria: π.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO- Gráficos de setores.- Noções de

probabilidade.

ÁLGEBRA/EQUAÇÕES- Equações de 1o grau.- Sistemas de equações e

resolução de problemas.- Inequações de 1o grau- Sistemas de coordenadas

(plano cartesiano).

GEOMETRIA/MEDIDAS- Proporcionalidade,

noção de semelhança.- Relações métricas em

triângulos retângulos.- Razões trigonométricas.

Vol

ume

4

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO- Leitura e construção de gráficos e tabelas.- Média aritmética.- Problemas de contagem.

ÁLGEBRA- Uso de letras para representar um valor desconhecido.- Conceito de equação.- Resolução de equações.- Equações e problemas.

GEOMETRIA/MEDIDAS- Teoremas de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações.- Área de polígonos. - Volume do prisma.

GEOMETRIA/MEDIDAS- O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo.- Volume e área do cilindro.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO- Contagem indireta e probabilidade.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.


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matemática 7 s_8a_ef_volume_3

Education