matemática 4º - soluciones

Soluciones

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

133

Capítulo 1

Para empezar

a. x 3 .

b. x 7

8.

c. x 0 .

d. x 263 .

1 a. 234

1 000

117

500. d.

2 343 434

1 000 000

. .

. .

b. 6 754

900

3 377

450

. . e.

167

99

c. 408 889

90 000

.

. f.

134

99

2 La correcta es la d.

a. 30 83, b. 3 057, c. 3 029,

3 a. Es la sucesión de los naturales positivos. Las

seis cifras que siguen son 121314.

b. Es la sucesión de los pares. Las seis cifras que

siguen son 161820.

c. Es la sucesión formada por un uno, un cero, un

uno, dos ceros, un uno, tres ceros, etc. Las seis

cifras que siguen son 000010.

4 a. Representa el número 5, porque su distancia al

0 mide lo mismo que la hipotenusa del triángulo

rectángulo de catetos 4 y 3.

b. Para representar 2, se puede usar un trián-

gulo rectángulo de catetos 1; para 5, uno de

catetos 2 y 1; para 8, uno de catetos 2, y para

11, uno de catetos 2 y 3.

5 : 5

: 5; 77

; 6.

: 5 3 2 9 6 1 3 4 877

96

; , ; , ; , ; ; ; , ; 66 7 9; , .

: 3 15; .

: todos.

6 El número 6.

7 a. Por ejemplo, 3.

b. Por ejemplo, 9 601

9 9000 9697

.

., .

c. Por ejemplo, 3.

d. No se puede, porque el conjunto de los números

racionales es denso; entre dos racionales siem-

pre hay otro racional.

8 Solo la primera afirmación es verdadera.

9 a. 50 b. Irracional.

10 1

42

1

273

1

813

1

12552 3 4 3 ( )

11 Opuesto:

1; 9; 4

3; 0; 3 ;

11

4; 1 4, ; ; 5.

Inverso:

1;1

9;3

4; no tiene;

3

3;

4

11;

9

13;1

; 5

5.

12 a. I. V.

II. VI.

III. VII.

IV. VIII.

b. Las respuestas serían las mismas, salvo en los

casos VII. y VIII., porque las raíces de índice par

de a y b deben ser números reales, o sea, a y

b deben ser no negativos para poder aplicar la

propiedad distributiva.

13 1.er renglón: 27 27 27 27

2.do renglón: 25 25 25 25

3.er renglón: 27

64

27

64

27

64 1

4.to renglón: 4

25

25

4

8

125

125

8

14 a. 2

b. 2

c. No existe la raíz real de índice par de un número

negativo.

d. 3

15 a. 5 11 180339893 ,

b. 2 1 259921053

,

c. 3 1 8734440147,

d. 7 1 241365829

,

e. 4 2 8284271334,

f. ( ) ,6 4 1929627145

16 a. 55 c. z y23 e. 3 3 4y z

b. 27 d. 2 23 x f. 5 22 4

17 a. 13

236 d. 3 124

b. 5

674 e. 9

c. 1 3 2 f. 2 546

Soluciones

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

134

e. Es correcta, porque la medida de la nueva

diagonal es d a b' 2 2 2 .

31 a. 2L b. d 2L; área 2L2.

32 a. ( 2; 1) c. [1; 3] e. [ 7; 2)

b. ( ; 4] d. ( 5; ) f. (4; 12]

33 A cargo de los alumnos.

34 a. ( 2; ) c. (0; 45) e. ( ; 2,5]

b. (2,3; ) d. [ 4; 6) f. [3; )

35 a. [3; 7) c. 1

21;

b. x x/7

28 d. x x/ 5

36 4 4 4 4

Los valores absolutos de dos números opuestos

son iguales. Se puede expresar así: x x .

37 a. x 4,2 o x 4,2.

b. x 7,5 o x 7,5.

c. x 5 o x 5.

Las representaciones, a cargo de los alumnos.


39 a. [ 5; 5]

b. ( ; 5) (5; )

c. ( 5; 5)

d. ( ; 5] [5; )

Las representaciones, a cargo de los alumnos.

40 a. Por ejemplo, d 8 12 4 4.

b. Por ejemplo, d 8 12 20 20( ) .

c. Por ejemplo, d 8 12 20 20.

d. Por ejemplo, d 8 12 4 4( ) .

41 a. x y x y x y x y: :

b. Se usa la propiedad que afirma que si

.yx x xa a a

c. Se usa la propiedad que afirma que si

.ox x xa a a

42 a. S x x/ ( ; )2 2 2 2

b. S x x x/ 4 4o

( ; 4] [4; )

c. S x x/ ;16

3

16

3

16

3

16

3

18 a. 5

33

1

3 d. 3 2 2

b. 1

3 e.

24 4 10

13

c. 1

33

1

62 35 36

f. 2

19 a. 8

27 b.

136

c. 9

16 d.

16

25

20 a. 1

5 b.

2

3

21 a. 55 b. 37

10 c. 211

24 d. 2 34

15

22 a. Es falsa. Por ejemplo, 4 8 43 , mientras

que 32 1 786 , ... .

b. Es falsa. Por ejemplo, 4 8 32 23 5 .

c. Es falsa. Por ejemplo, 5 7 5 723 23 ( ) .

d. Es falsa. Por ejemplo, 9 16 9 16.

e. Es verdadera.

f. Es falsa. Por ejemplo, 2 3 2 3 2 38 24 2 .

23 a. 7

5

3

b. 160

30 271.

24 943

495

25 1111

26 Sí, porque al aplicar el teorema de Pitágoras, la me-

dida de la diagonal del cuadrado de lado a es 2 a

y la del cuadrado de lado (2a) es 2 2 a.

27 Con 6 L de pintura blanca hacen falta aproximada-

mente 11,1 L de pintura negra, y con 5 L de pintura

negra, aproximadamente 2,7 L de pintura blanca.

28 a. 6 6, % b. 4 16, %

29 937,5

30 a. Es correcta, por el teorema de Pitágoras.

b. Es incorrecta, porque d 52.

c. Es incorrecta, porque d a b2 2 , y al hacer las

transformaciones que se indican, la medida de la

nueva diagonal es d a b a b' 4 9 52 2 2 2 .

d. Es correcta, porque d 68.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

135

c. 1.ª forma: 36,45. Redondeado es 36,5.

2.ª forma: 36,45.

Se comete menor error con la 2.ª forma.

d. 1.ª forma: 7,720754717. Redondeado es 7,7.

2.ª forma: 7,716981132.


50 a. 3,1463. Ea < 0,00004.

b. 3,5029. Ea < 0,000006.

c. 0,5040. Ea < 0,00002.

d. 3,0951. Ea < 0,000007.

51 a. 23

9 c.

252

100

63

25 e.

2 273

900

.

b. 255

100

51

20 d.

227

90 f.

250

99

52 a. La parte decimal tiene un 5, un 2, dos 5, dos 2,

tres 5, tres 2, etcétera.

b. La parte decimal tiene un 5, un 2, un 5, dos 2,

un 5, tres 2, un 5, cuatro 2, etcétera.

53 ; ; ; ; , respectivamente.

La representación, a cargo de los alumnos.

54 a. Verdadera. c. Verdadera. e. Falsa.

b. Falsa. d. Falsa. f. Falsa.

55 a. Hay dos:16

3

17

3y . b. Hay una:

11

2.

c. Hay seis, las de numerador 36, 37, 38, 39, 40 y

41.

56 Sí, 1

3

1

2y , respectivamente.

57 Para 6, se puede dibujar un triángulo rectángulo,

de modo que la medida de cada cateto sea 1, y

así se obtiene 2 como medida de su hipotenusa.

Luego se dibuja otro triángulo rectángulo de modo

que las medidas de sus catetos sean 2 y 2. La

medida de su hipotenusa es 6.

Para 18, se puede dibujar un triángulo rectángulo

de modo que la medida de cada cateto sea 3, y así

se obtiene 18 como medida de su hipotenusa.

Para 12, se puede dibujar un triángulo rectángu-

lo, de modo que la medida de cada cateto sea 1,

para obtener 2 como medida de su hipotenusa.

Luego se dibuja un triángulo rectángulo, de modo

que las medidas de sus catetos sean 2 y 1, y así

se obtiene 3 como medida de su hipotenusa.

Finalmente se dibuja otro triángulo rectángulo,

de modo que las medidas de sus catetos sean 3 y

3. La medida de su hipotenusa es 12.

d. S x x x/ 2 8o

( ; 2) (8; )

e. S x x/ [ ; ]18 30 18 30

f. S x x x/10

3

14

3o

10

3

14

3

43 Redondeado es 35,543; truncado es 35,542. La di-

ferencia es mayor al truncar.

44

Truncamiento Redondeo

a. 24,15 24,16

b. 24,15 24,15

c. 24,92 24,92

d. 24,15 24,16

e. 24,16 24,16

f. 24,16 24,16

45 a. 7.686,669 m3

b. 7.721,94 m3. Es mayor que el anterior.

c.

Error absoluto Error relativo

1.er caso 0,00045 0,000000059

2.º caso 35,27145 0,0046

46

Redondeo Truncamiento

3,142 Ea < 0,0005 3,141 E

a < 0,0006

3 1,732 Ea < 0,00006 1,732 E

a < 0,00006

47 Algunos ejemplos posibles:

a. 5 67, b. 0 97, c. 550

10 000.

48

4 decimales 5 decimales

a. 11,8797 11,87968

b. 0,6667 0,66666

c. 8,9877 8,98766

d. 15,9080 15,90801

49 a. 1.ª forma: 11,703. Redondeado es 11,7.

2.ª forma: 11,8.


b. 1.ª forma: 34,39. Redondeado es 34,4.

2.ª forma: 34,4.

Se comete el mismo error.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

136

Capítulo 2

Para empezar

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

1 Al finalizar el tercer mes habrá 3 parejas; al finalizar

el cuarto mes, 5 parejas; al finalizar el quinto mes,

8 parejas; y al finalizar el sexto mes, 13 parejas.

2 a. 146; 109; 108; 86.

b. 57; 39; 59.

3 a. 6.174.

b. En no más de siete pasos se llega al número

6.174.

c. En algún momento la sucesión llega a 6.174 y

desde allí no varía.

4 9, 45, 55, 99.

5 a. 4 no es un número feliz: Julieta obtiene los nú-

meros 16, 37, 58, 89, 136, 46, 52, 29, 85 y 89;

como este último valor se repite, a partir de ahí

todos los valores que siguen van a repetirse y el

ciclo no termina.

7 es un número feliz: Hernán obtiene los núme-

ros 49, 97, 130, 10 y 1.

b. 1, 7, 10, 13, 19.

6 a. En la 7.ª hora habrá 128 bacterias, en la 8.ª,

256 bacterias y en la 9.ª, 512 bacterias.

b. 227 134.217.728

c. Cn 2n, donde C

n es la cantidad de bacterias y n

es la cantidad de horas que transcurrieron.

7 a. La tabla se completa con 1, 4, 9, 16, 25 y 36, en

ese orden.

b. an n2

c. Ocupa el lugar 12 (n 12).

d. 2.500 puntos.


9 a. En la 6.ª figura habrá 729 triángulos y en la 7.ª,

2.187 triángulos.

b. an 3n

c. La figura número 10 (n 10).

d. 1

2

1

4

1

8; ; .

e. Medida del lado de la figura n1

2

nn

10 a. 5; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5.

b. 41 días.

c. Cada número de la sucesión puede obtenerse

a partir del anterior, sumando 0,5 km por día.

58

Inverso Opuesto

0 407,990

403

403

990

55

55

( , )5 4 154

10

10

54

59 a. 2 113 815 b. 12 2 53 24

c. 2 212

60 a. 46 95 b. 2 53

61 a. x 2 b. x 109

210

62 a. 88

152 b.

26

9

63 Medida de la altura 15

2 Área

5

43

64 a. Verdadero.

b. Falso, porque no se puede escribir como frac-

ción; tiene infinitas cifras decimales no periódi-

cas.

c. Falso, porque es 320.

d. Falso, porque es 0,01.

e. Falso, porque 24 16 y ( 5)2 25.

f. Falso, porque, por ejemplo, 1,5 no lo es.

g. Falso; por ejemplo, 2,45 está entre ellos.

h. Verdadero.

65

Triángulo Rectángulo

Perímetro 2 5 7 2 7 7

Área7 13

4

21 7

2

66 a. ( 0,5; 2)

b. ( ∞; 1] [1; ∞)

c. ; ; 10

3

2

3

Los gráficos, a cargo de los alumnos.

67 a. Redondeado: 5,25. Truncado: 5,24.

b. Redondeado: 5,246. Truncado: 5,246.

68 a. Por redondeo: 2,7183.

Por truncamiento: 2,7182.

b. En el redondeo, el error absoluto es menor que

0,00002; mientras que en el truncamiento es

menor que 0,00009.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

137

primero: 255; 342; 278; 350; 435).

17 a. Los dos términos que siguen son 0,0001;

0,00001.

El término general es an

n

1

10.

b. Los dos términos que siguen son 5

6 y

6

7.

c. El término general es an

nn 1

.

18 a. La 46.ª revisión será en enero de 2003.

b. Contando las revisiones de junio de 2011, serán

248.

19 a. El primer año se pagarán $ 1.100 mensuales;

el segundo año, $ 1.250; el tercero, $ 1.400; el

cuarto, $ 1.550; y el quinto se pagarán $ 1.700

por mes.

b. El contrato debería durar por lo menos 8 años.

20 a. 4.800, 4.797, 4.794, 4.791, 4.788, 4.785,

4.782, 4.779, 4.776, 4.773.

b. an 4.800 3 · (n 1)

c. En vaciarse tardará 1.601 horas, es decir, más

de dos meses (seguramente no llegará a vaciar-

se por esta pérdida porque se limpiará antes).

21 a. A las diez de la noche les llegará a 19.683 per-

sonas.

b. Tienen que pasar por lo menos 13 horas.

22 a. Para 4 la sucesión es: 01

2

2

3

3

41; ; ; ; ; ; .

1

4

1

3

A partir de 5 la sucesión que se forma es

01

5

2

5

1

2

3

5

2

3

3

4

4

51; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

1

4

1

3

b. Hay varias propiedades; una de ellas es, por ejem-

plo, que la sucesión correspondiente a 4 está in-

cluida en la sucesión correspondiente a 5.

23 a. Luciana lo hizo bien.

b. Pedro hizo, por ejemplo, 102 1, es decir, prime-

ro elevó a n y después restó 1.

El término general de la sucesión escrita por

Pedro es an 10n 1.

24 a. I. 0,125; 0,0625; 0,03125; 0,015625;

0,0078125.

II. 1; 1; 1; 1; 1.

III. 55; 65; 75; 85; 95.

IV. 729; 2.187; 6.561; 19.683; 59.049.

b. I. Sí, multiplicando por 0,5.

II. Sí, multiplicando por 1.

III. No.

IV. Sí, multiplicando por 3.

También puede obtenerse a partir de los 5 km que

recorre el primer día llamando n a la cantidad de

días y usando la fórmula an 5 0,5 · (n 1).

11 a. Los cuatro números que siguen en la sucesión

son 13

4

7

2

15

44; ; ; .

b. El número que ocupa la posición 20 es 23

4, y el

que ocupa la posición 100, 103

4.

c. El término general de la sucesión es

an n11

41 .

12 a. En la primera semana el ahorro será de $ 120,

por lo que tendré un total de $ 1.120; la segun-

da semana tendré $ 1.240; la tercera, $ 1.360;

la cuarta, $ 1.480; la quinta, $ 1.600; la sexta,

$ 1.720; la séptima, $ 1.840; y la octava y últi-

ma semana tendré $ 1.960.

b. Sí; se puede hacer $ 120 · 4 y sumárselo a

$ 1.000.

c. Para calcular el total ahorrado en los dos meses

sin hacer la cuenta semana a semana se puede

hacer $ 1.000 $ 120 · 8 $ 1.960.

13 a. Los números que siguen son 1

625;

1

3.125;

1

15.625;

1

78.125.

b. an

n1

5

1

c. Ocupa el 6.º lugar.

d. El décimo lugar lo ocupa el número

1

5

1

1.953.125

9

.

14 a. 8, 64, 512, 4.096, 32.768.

b. an 8n.

c. Se necesitarán más de 15.000.000; más preci-

samente, 16.777.216 cuadrados de color.

d. Si n 6 la figura se forma con 262.144 cua-

drados de color. En cambio, no es posible armar

una figura con 515 cuadrados de color porque la

3.ª tiene 512 y la 4.ª, 4.096.

15 a. Al hacer a1 a

3 se obtiene a

4, es decir,

a1 a

3 a

4. Además, a

1 a

3 a

5 a

6.

b. Podrían ser:

a8 a

9 a

10;

a1 a

3 a

5 a

7 a

9 a

10.

16 a. La obtuvo restando al primer número, el segundo.

b. A cargo de los alumnos.

c. A cargo de los alumnos (podría armarse interca-

lando el segundo número entre los dígitos del

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

138

III. Dom f ( ; 4] Im f [0; )

5 a. Porque el denominador sería igual a 0, y no se

puede dividir por 0.

b. Dom f1 ° { 5} Dom f

3

2

3

Dom f2 ° {1} Dom f

4 ° {0,25}

6 a. De crecimiento: (0; 3) (4; 5) (6; 7).

De decrecimiento: (3; 4) (5; 6) (7; 9).

b. Se mantuvo constante en 37 ºC.

c. Por ejemplo: ¿Cuál fue la temperatura máxima

que alcanzó el paciente?

f(3) f(5) 40 son máximos absolutos.

f(7) 39 es un máximo relativo.

f(4) 39 y f(6) 38,5 son mínimos relativos.

37 es un mínimo absoluto; lo alcanza para cual-

quier x perteneciente al intervalo [9; 10].

7 a. A cargo de los alumnos.

b. Máximo relativo: f(1). Mínimo relativo: f( 3).

8 a.

Ord. al origen Raíces Crecimiento Decrecimiento

f1(x) 1 2 ( 4; 4)

f2(x) 2 (0; 2) ( 2; 0)

f3(x) 2 2; 3 y 8 (0; 5) ( 3; 0) (5; 9)

f4(x) 2 2 y 4 ( 3; 1) (2; 3) (1; 2) (3; 5)

b. f1( 4) 1 es un máximo absoluto;

f1(4) 3 es un mínimo absoluto.

f2( 2) f

2(2) 6 son máximos absolutos;

f2(0) 2 es un mínimo relativo y absoluto.

f3( 3) 3 es un máximo absoluto;

f3(5) 2 es un máximo relativo;

f3(9) 3 es un mínimo absoluto;

f3(0) 2 es un mínimo relativo.

f4(1) 3 es un máximo absoluto;

f4(3) 2 es un máximo relativo;

f4( 3) f

4(5) 1 es un mínimo absoluto;

f4(2) 1 es un mínimo relativo.

9 a. Sí, porque la ordenada al origen es la ordenada del

punto de abscisa 0, o sea, la imagen de x 0.

b. En el punto (0; 2).

c. La de f1 es 4; la de f

2 es 4 y la de f

3 es 3.

10 a. Sí, porque en esos puntos la ordenada es 0.

b. x x125 53

Lo corta una sola vez, en x 5.

c. El de f1 lo corta en x 2; el de f

2, en x 3, y el

de f3, en x 3 y en x 3.

11 Solo la tercera afirmación es verdadera.

c. I. an

n

4

1

2

1

II. ann

11

III. an 5 10(n 1)

IV. ann( )3 1


26 a. La medida de los lados de la primera figura es

1

3 y la de las dos siguientes,

1

9 y

1

27 respecti-

vamente.

b. 1

3

1

9

1

27

1

81

1

243

1

729; ; ; ; ; .

c. an

n

1

3

Capítulo 3

Para empezar

Porque muestran los pesos promedio para niñas de

contextura grande (curva azul), mediana (curva roja)

y pequeña (curva verde).

Sí, porque su peso está entre lo que indican la curva

roja y la azul.

El de una nena de 10 años, entre 26 kg y 46 kg. El

de una chica de 18, entre 51 kg y 68 kg.

Porque a medida que aumenta la edad, se incremen-

ta el peso promedio.

1 Solo el b. y el d.

Para el b.: f(2) 2; f( 3) 0 y f(0) 1.

Para el d.: f(2) 1; f( 3) 3 y f(0) 0.

2 El segundo es una curva continua, mientras que el

primero está formado por puntos aislados de esa

curva (sus coordenadas son números enteros). El

punto ( )2 2; pertenece solo al segundo gráfico.

3 a. Dom f [ 2; 6] Im f [ 2; 2]

b. Dom f [ 4; 4] Im f [2; 4]

c. Dom f [ 4; 2] [0; 6] Im f [ 1; 2]

d. Dom f [ 1; 2) (3; 6) (6; 8] Im f [0; 5]

e. Dom f [ 2; 1] [2; 5) [6; 8]

Im f [0; 3] {4}

f. Dom f [ 5; 0] [2; 5] [6; 9]

Im f { 1} [0; 3]

4 a. Porque la raíz cuadrada de un número negativo

no es un número real.

b. [0; )

c. I. Dom f ( ; 3] Im f [0; )

II. Dom f [ 5; ) Im f [0; )

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

139

f. A $ 14.250.

g. Cuanto mayor es el monto de sus ventas, mayor

es su sueldo.


b. f1 es creciente; f

2 es creciente; f

3 es decreciente;

f4 es constante; f

5 es decreciente.

Pend. Ord. al origen Positividad Negatividad

f1

1 2 ( 2; ) ( ; 2)

f2

1,5 12

3; ;

2

3

f3

1

30 ( ; 0) (0; )

f4

0 2 ( ; ) No tiene.

f5

1 2 ( ; 2) (2; )

24 Si la pendiente es positiva, la función es creciente;

si es negativa, la función es decreciente, y si es 0,

la función es constante.

25 a. Es f2.

b. Para f1: la pendiente es 1,5; corta el eje y en 3

y el eje x en 2, y es decreciente.

Para f3: la pendiente es 3; corta el eje y en 1,5

y el eje x en 0,5, y es creciente.

26 a.

x 2 1 0 1 2

f1

4 1 0 1 4

f2

16 1 0 1 16

f3

8 1 0 1 8

f4

32 1 0 1 32

b. Cuando n es par, el gráfico tiene forma de pa-

rábola y es simétrico respecto del eje y (la fun-

ción es par); cuando n es impar, el gráfico es

simétrico respecto del origen de coordenadas (la

función es impar).

27 f1 corresponde al 4.º gráfico; f

2, al 3.º; f

3, al 1.º, y f

4,

al 2.º.

28 a. La tabla se completa desde arriba hacia abajo

con: 0, 1, 2, 3, 1, 2, 3.

b. No, porque el módulo de un número no puede

ser negativo, ya que es una distancia.

c. Dom f ° Im f [0; )

d. La función es par.

Crec. Decrec. Posit. Negat.

(0; ) ( ; 0) ( ; 0) (0; ) No tiene.

e. f xx x

x x( )

si

si

0

0

12 El dibujo, a cargo de los alumnos. Im f [ 3; 3].

13

Positividad Negatividad Raíces Ord. al origen

f1

( 5; 0) (3; ) ( ; 5) (0; 3) 5; 0 y 3 0

f2

( 4; 2) ( ; 4) (2; ) 4 y 2 4

f3

(2; ) ( ; 1) ( 1; 2) 1 y 2 2

14

Positividad Negatividad

f1

( 2; ) ( ; 2)

f2

(3; ) ( ; 3)

f3

( ; 2) ( 2; )

15 El primero (período: 3) y el tercero (período: 10).

16 a. El menor es 3; lo alcanza para x 3 9k,

siendo k un número entero. El mayor es 6, lo

alcanza para x 0 9k, siendo k un número

entero. El período es 9.

b. Sí, porque como lo alcanza para x 0 9k (con

k entero), cuando k 1, x 9, y cuando k

3, x 27.

c. Sí, porque f( 10) f( 10 9k) para k entero,

y cuando k 3, f( 10 9k) f(17).

f( 11) f(25) f(52) 1.

17 Impar; par; par; impar.

18 Hay que hacer un dibujo simétrico con respecto al

eje y.

19 En el primero hay que hacer un dibujo simétrico con

respecto al eje y; en el segundo, con respecto al

origen de coordenadas.

20 a. Sí, se cumple. b. Es impar.

21 Por simetría, 4 es otra de sus raíces y f(2) 5.

22 a.

Ventas del mes ($) Comisión ($) Sueldo ($)

5.000 1.000 2.000

10.000 2.000 3.000

15.000 3.000 4.000

20.000 4.000 5.000

25.000 5.000 6.000

b. Cobrará $ 1.000. Es la ordenada al origen.

c. Hay que completar con: 1.000; 0,20; 0,2.

d. f1, f

4 y f

5.

e. $ 4.500

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

140

35

f1

f2

f3

f4

2

3

5

36

7

2No tiene

36

f1

f2

f3

f4

2 3 9 y 9 No hay

37 a. El gráfico debe cortar el eje x en 4, 6 y 12, y el

eje y en 3.

b. Positividad: ( 4; 6) (12; ).

Negatividad: ( ; 4) (6; 12).

38 f(0) 3; f(2) 0 y f( 3) 1.

39 a. El mayor valor que alcanza la función es 3; el

menor es 2; el período es 6.

b. f(32) es un máximo absoluto, ya que como f(2)

lo es, f(2 6k) siendo k un número entero tam-

bién lo es (en este caso, es k 5).

f( 13) es un mínimo absoluto, ya que como f(5)

lo es, f(5 6k) siendo k un número entero tam-

bién lo es (en este caso, es k 3).

c. Sí, porque como f( 6) lo es, f( 6 6k) siendo

k un número entero también lo es (en este caso,

es k 1).

Dos raíces del intervalo (20; 25) son 22 y 24.

d. Positivo, porque f( 11) f(1) y f(15) f(3).

e. Por ejemplo, 19, porque f( 19) f(5).

f. Está equivocado; el gráfico no es simétrico res-

pecto del origen de coordenadas.

40 a. 7

4

b. f(x) 1,75x 2,5

c. Corta el eje x en10

7; f(2) 1;

f( 2) 1,75 · ( 2) 2,5 6, por lo tanto, el

punto ( 2; 6) pertenece al gráfico.

d. A cargo de los alumnos.

41 Cualquiera de la forma f(x) kx, siendo k un núme-

ro real distinto de 0.

42 a. f1 es par; su gráfico es una parábola con las

ramas hacia abajo; algunos de sus puntos son

(0; 0), (2; 4) y ( 2; 4).

f2 es impar; algunos puntos de su gráfico son (0;

0), (2; 2) y ( 2; 2).

b. f3(x) (x 2)3 3

c. f1(x) x3 1

29 a. Que el de f1 está desplazado 2 unidades hacia

arriba; el de f2, 3 unidades hacia abajo.

b. f x x( ) 6 y f x x( ) 4 , respectivamente.

30 a. Que, con respecto al de f, el de f1 está despla-

zado 2 unidades hacia la izquierda, y el de f2,

3 unidades hacia la derecha.

b. f x x( ) 5 y f x x( ) 7 , respectivamente.

31 a.

x 0,5 1 2 4 8

y 8 4 2 1 0,5

x 0,5 1 2 4 8

y 8 4 2 1 0,5

El gráfico, a cargo de los alumnos.

b. Es f xx

( )4

; es una función de proporcionalidad

inversa, porque el producto entre cada valor de la

variable independiente y su imagen es constante.

c. Es así, ya que el 0 no pertenece al dominio y

ningún valor de x anula la función.

Dom f ° {0} Im f ° {0}

d. Cuando x toma valores muy próximos a 0, las

imágenes, en valor absoluto, toman valores muy

grandes; cuando x toma valores muy grandes,

las imágenes se aproximan a 0.

Las asíntotas son los ejes x e y.

32 A f1 le corresponde el 4.º gráfico; a f

2, el 3.º; a f

3, el

1.º; y a f4, el 2.º .

Dominio Imagen

f1 ° {0} ° {0}

f2 ° {2} ° {0}

f3 ° {0} ° {2}

f4 ° { 2} ° {0}

33 Dom f1 ° { 3}

Dom f2 ° { 12}

Dom f3 ° { 2; 2}

Dom f4 ° {0}

34 f1

f2

Dom [ 5; 3] [ 6; 4]

Im [ 3; 2] [ 3; 3]

Crec. ( 4; 2) ( 1; 0) (1; 3) ( 5; 3) (0; 2)

Decrec. ( 5; 4) (0; 1) ( 3; 0) (2; 4)

Máximos relativos f

1(0) 2 f

2( 3) 3 y f

2(2) 3

Mínimos relativos f

1( 4) 3 y f

1(1) 1 f

2(0) 1

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

141

c. f(x) (x 2)2

d. Sufre el mismo desplazamiento.

e. Para f2 es x 1, para f

3 es x 4 y para f

4 es x

3. Para la f(x) del ítem c. es x 2, y para la

del ítem d. es x 5.

6 a. x1 0, x

2 2. c. x

1 3, x

2 3.

b. x 0 d. x1 5, x

2 0.

7 x2 9 0 x1 3, x

2 3.

2x2 10x 0 x1 0, x

2 5.

x2 4 0 x1 2, x

2 2.

8

a b c x b

a2Máx. Mín.

2 4 6 x 1 — 81 0 1 x 0 — 13 6 0 x 1 3 —1 8 20 x 4 36 —

9 x1 3, x

2 1.

10 a. x1 2, x

2 3.

b. x1 10, x

2 2.

c. x1 2, x

2 1.

11 a. Raíces de f1: 5 y 3.

Raíces de f2: 2 y 0,5.

Raíces de f3: 3 (raíz doble).

Raíces de f4: no tiene.

b. Con dos raíces reales: D > 0.

Con una raíz doble: D 0.

c. Porque no corta el eje x.

12 I. a > 0 c > 0 D > 0

II. a < 0 c < 0 D 0

III. a > 0 c > 0 D < 0

IV. a < 0 c < 0 D < 0

V. a > 0 c 0 D 0

VI. a < 0 c < 0 D > 0

En todos los casos, a > 0 si la parábola está abier-

ta hacia arriba, o a < 0 si está abierta hacia abajo;

c > 0 si la parábola corta el eje y sobre el eje x,

c < 0 si lo corta debajo del eje x, o c 0 si corta

en el origen de coordenadas; D > 0 si la parábola

corta dos veces el eje x, D 0 si lo corta una vez, o

D < 0 si no lo corta.

13 Sí.

14 a. m 2 b. m1

8

15 a. Raíces de f1: 4 y 2.

Raíces de f2: 1 y 3.

Raíces de f3: 5 (raíz doble).

43

f1

f2

f3

Dom ° ° °Im [ 3; ) [1; ) ( ; 2]

Crec . ( 1; ) (2; ) ( ; 3)Decrec. ( ; 1) ( ; 2) ( 3; )

Posit. ( ; 4) (2; ) ° ( 5; 1)Negat. ( 4; 2) No hay ( ; 5) ( 1; )

44 Los gráficos, a cargo de los alumnos.Asíntota

horiz.Asíntota vertical Dom Im

f1

y 0 x 0 ° {0} ° {0}f2

y 0 x 0 ° {0} ° {0}f3

y 3 x 0 ° {0} ° {3}f4

y 0 x 3 ° {3} ° {0}f5

y 0 x 3 ° { 3} ° {0}f6

y 3 x 0 ° {0} ° { 3}

Capítulo 4

Para empezar

A 6 m, en el centro de la calzada.

A 4 m.

1 a.

x 3 2 1 0,5 0 0,5 1 2 3

y 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

b. Dom f ° Im f [0; )

c. Crece en (0; ); decrece en ( ; 0).

d. El mínimo es y 0. Corresponde a x 0.

e. Una parábola abierta hacia arriba.


b. f4 tiene las ramas más separadas y f

1, más jun-

tas. A un mismo valor de x, la imagen de f1 está

más alejada de ese eje que las imágenes de las

demás funciones, pues f1 tiene mayor coeficien-

te principal (en módulo).

c. f2 y f

3, ya que tienen el coeficiente principal negativo.


b. Al sumarle un número positivo se desplaza hacia

arriba tantas unidades como indica ese valor; o

hacia abajo, si el número es negativo.

c. [1; ) y [ 4; ), respectivamente.

4 I con d., II con e., III con a., IV con b. y V con c.


b. f2 está desplazada una unidad hacia la izquier-

da; f3, cuatro hacia la derecha; y f

4, tres hacia la

izquierda.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

142

21 f1(x) f

2(x) f

3(x)

Ord

. al

origen

5 0 9

Raíc

es

5 y 1 4 y 0 3 y 3

Eje

de

sim

et.

x 2 x 2 x 0

Máx.

(o m

ín.)

9 8 9

Vért

ice

( 2; 9) ( 2; 8) (0; 9)

Cre

c.

( 2; ) ( ; --2) (0; )

Decre

c.

( ; --2) ( 2; ) ( ; 0)

Posit

iv.

( ; 5) (1; ) ( 4; 0) ( ; 3) (3; )N

egat.

( 5; 1) ( ; 4) (0; ) ( 3 ; 3)

22 a.

x x1 2

2 24

2

4

2

b b ac

a

b b ac

a

b b ac b b ac

a

b

a

b

a

2 24 4

2

2

2

b.

x x1 2

2 24

2

4

2

b b ac

a

b b ac

a

b b b ac b b ac b ac

a

2 2 2 22

2

4 4 4

4

b b ac

a

ac

a

c

a

2 2

2 2

4

4

4

4


24 Un par es 12 y 11. El otro, 11 y 12.

25 16 cm

26 a. x2 (x 10)2 2.500 b. 220 m

27 A 24; P 24.

Raíces de f4: 0 y 3.

b. f1(x) x2 2x 8

f2(x) 2x2 8x 6

f3(x) x2 10x 25

f4(x) x2 3x

16 Hay infinitas. Son de la forma y ax2 ax 12a,

con a real y no nula.

Por ejemplo: y x2 x 12, o y 2x2 2x 24.

17 a. p representa el coeficiente principal, mientras

que q y r, las raíces.

b. f1(x) (x 5)(x 1)

f2(x)

1

2(x 2)(x 4)

f3(x) (x 6)2

18 a. El coeficiente principal y las coordenadas del vérti-

ce.

b. f1(x) (x 2)2 16

f2(x) 2(x 3)2 2

f3(x) 4(x 0,5)2

19

Polinómica Factorizada Canónica

0,5x2 x 12 0,5(x 6)(x 4) 0,5(x 1)2 12,5

3x2 9x 6 3(x 2)(x 1) 3(x 1,5)2 0,75

3x2 12x 9 3(x 3)(x 1) 3(x 2)2 3

x2 2x 1 (x 1)2 (x 1)2

20 Ordenada al origen: 4.

Raíces: 2 y 4.

Ecuación del eje de simetría: x 1.

Mínimo: y 4,5.

Abscisa del mínimo: x 1.


c. La función crece para los valores de x > 1, esto

es, en el intervalo (1; ).

La función decrece para los valores de x < 1, o

sea, en el intervalo ( ; 1).

La función tiene imágenes positivas para los

valores de x menores que 2, y para los valo-

res de x > 4. O sea que el conjunto de positivi-

dad es ( ; 2) (4; ).

La función tiene imágenes negativas para los

valores de x > 2 y x < 4. O sea que el conjun-

to de negatividad es ( 2; 4).

d. Factorizada: f(x) 0,5(x 2)(x 4).

Canónica: f(x) 0,5(x 1)2 4,5.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

143

Ordenada al origen: 6.

Raíces: 1 y 3.

Intervalo de crecimiento: (1; ).

Intervalo de decrecimiento: ( ; 1).

Conjunto de positividad: ( ; 1) (3; ).

Conjunto de negatividad: ( 1; 3).



b. Llega al máximo de 900 bacterias al cabo de 20

minutos.

c. A los 20 minutos.

d. Sí.

e. Se extingue a los 50 minutos.

42 A 60; P 34.

43 Debe medir 12 dm de lado.

Capítulo 5

Para empezar

Opción 1: 125 cm3. Opción 2: 250 cm3.

Opción 1: x3. Opción 2: 2x3.

El de la opción 2 tiene el doble de capacidad que el

de la opción 1.

1 a. 27x3

b. Perímetro de toda la figura: 18x 24.

Área de la figura celeste: 10x2 15x.

c. Área total del prisma: 22x2 10x.

Volumen del prisma: 6x3 6x2.

2 a. Ancho: x 1; alto: x 2.

b. x3 3x2 2x c. 24 cm3

d. Se modificaron los coeficientes.

3 a. Diámetro de la base: 2x.

Perímetro de la base: 2 x.

Altura del cuerpo: 2x.

b. Área lateral: II. Volumen: III.

4 a. Por ejemplo: 9x2 3x.

b. Por ejemplo: 16x2 8x.

5 a. 9x4 0,3x3 6

b. Por ejemplo:

P(x) es un trinomio de grado 5, su coeficiente

principal es ( 7), tiene un término cúbico con

coeficiente 6 y el término independiente es raíz

cuadrada de 2.

Q(x) es un trinomio de grado 2, su coeficiente

28 P 104 cm; A 480 cm2.

29 a. Por ejemplo:

Ancho Largo Área

4 m 3 m 12 m2

6 m 1 m 6 m2

4,5 m 2,5 m 11,25 m2

3,5 m 3,5 m 12,25 m2

b. A(x) x · (7 x)

c. Debe ser un cuadrado de 3,5 m de lado.

d. Sí.

Es la máxima posible.

30 Las funciones de los ítems a., d., f., g. y h.

31 Para el ítem a.: a 1; b 0.

Para el ítem d.: a 1; b 2 ; c 4.

Para el ítem f.: a 1; b 1; c 0.

Para el ítem g.: a 1; b 2; c 15.

Para el ítem h.: a 1

2; b 1; c 22.

32 La función pasa a ser lineal.

33 Corta el eje x, ya que la ecuación

2(x 2)2 8 0 tiene solución real.

34 f x x2

3

2

35 c 4

36 Fucsia: y 3x2 2; verde: y 3x2 2.


b. En II. se desplazó 2 unidades hacia arriba; en

III., 3 unidades hacia la izquierda.

c. Es similar, pero desplazado 4 unidades hacia abajo.

d. Es similar, pero desplazado 2 unidades hacia la

derecha.

38 En la primera se desplazó la parábola 3 unidades

hacia la derecha y 1 hacia arriba: y (x 3)2 1.

En la segunda, se aplicó a la parábola una simetría

con respecto al eje x, y se la desplazó 2 unidades

hacia arriba: y x2 2.

39 a. x1 4, x

2 2.

b. x 13

2

c. No tiene solución real.

40 a. Ecuación del eje de simetría: x 1.

Mínimo: y 8.

Abscisa del mínimo: x 1.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

144

13 a. Área verde: 2x2 1,5x.

Área celeste: 2x2 1,5x 42.

b. Verde: 6,75 m2; celeste: 35,25 m2.

14 a. x2 2x 2x 22 x2 4x 4

b. (x 2)2 x2 4x 4

c. L2(x) x2 4x 4; la diferencia es que el térmi-

no lineal tiene un coeficiente negativo.

d. L2(x) x2 2xn n2

15 a. I III. Dimensiones: ancho a; alto (x a).

Dimensiones de II: ancho alto (x a).

Base de la figura B (x a) a a x a

b. 1.ª) Área 2(x a) · a (x a)2 x2 a2

2.ª) Área (x a)(x a) x2 a2

El producto entre la diferencia y la suma de dos

números es igual a la diferencia de los cuadra-

dos de esos números.

c. (x 3)(x 3) x2 9

16 II.; II.; III.

17 a. x2 14x 49 e. x4 6x2 9

b. 4x2 20x 25 f. 9x6 42x3 49

c. 25x2 20x 4 g. 4x2 1

d. 25 20x 4x2 h. x6 16

18 a. I. x5 4x4 24x3

II. 4x3 2x2 5x

III. 212

25

22

5

8 6 4x x x

IV. 3,2x8 4x7

b.

gr[P(x)] gr[Q(x)] gr[P(x) · Q(x)]

I 4 1 5

II 2 1 3

III 5 3 8

IV 1 7 8

n r n r

19 a. 4x4 12x2 9

b. 8x4 8x3 10x2 12x 3

c. x4 6,5x3 3x2 2x 1

d. 6x7 36x6 18x5 120x4 13,5x3 117x2 27

e. x5 6x4 1,5x3 11x2 3

f. 4x2 4x 1

20 a. 360x3 3.750x2 21.500x 100.000

b. 20x3 136x2 129x 101

21 Falsa, porque para obtener el polinomio nulo

principal es 1, al igual que su término indepen-

diente; además, tiene un término lineal con co-

eficiente ( 5).

R(x) es un cuatrinomio de grado 6, su coeficiente

principal es ( 2,5); tiene un término de grado 4

con coeficiente 3 quintos y uno cúbico con coefi-

ciente ( 1); el término independiente es ( 1).

S(x) es un binomio de grado 1 con coeficiente

principal y término independiente iguales a 1.

6 V; V; F; F.

7 Tiene razón.

8 a. Son polinomios: P(x); Q(x); T(x); U(x) y W(x).

R(x) no es polinomio porque el exponente de la

variable x es 0,5; ni S(x), porque es la expresión

del cociente entre dos polinomios; y tampoco V(x),

porque la variable x tiene exponente negativo.

b. P(x) Q(x) T(x) U(x) W(x)

Grado 1 4 1 7 1

Coef. principal 5 5 90 0 4, 2,5

9 a. P(x) Q(x) 9x2 7x 2

P(x) Q(x) 4x3 x2 5x 12

2P(x) 3R(x) 3x4 6x3 2x2 0,25x 14

1

2

1

3

1

2

1

3

11

3

17

24

7

3

4 3 2R x P x x x x x( ) ( )

b. P(1) 2 5 1 7 13;

Q(1) 2 4 6 5 9

P(1) Q(1) 4

(P Q) (1) 9 7 2 4

c. No es lo mismo, ya que los resultados son po-

linomios opuestos (la resta de polinomios no

cumple la propiedad conmutativa).

10 a. Opuestos. b. Iguales.

11 P x x x x( )2

52 4

1

3

5 3 2

Q x x x x( )3

50 7 25 3 2

S x x x x( ) ,6 0 6 13 2

T x x x x( ) ,6 0 48

3

10

3

3 2

12 Verdadera. Por ejemplo, si P(x) x2 x y

Q(x) x2 5, P(x) Q(x) x 5.

Falsa. Por ejemplo, para los polinomios anterio-

res, P(x) Q(x) 2x2 x 5.

Verdadera. Por ejemplo, si R(x) x3 1 y

Q(x) x2 5, R(x) Q(x) x3 x2 6.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

145

Los coeficientes de (x 1)5 son:

1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1

El desarrollo es:

(x 1)5 x5 5x4 10x3 10x2 5x 1

35 4, 6, 8, y 2n, respectivamente.

36 a. x 2

b. C(x) 0,5x 1 R(x) 0

c. x3 6x2 12x 8

d. 9

1698 4x x

e. 9

16

9

298 6 4x x x

37 4x 6

38 a. P(x) x4 6

b. P(x) 0,5x3

c. P(x) 2x 1

39 a. Como al hacer la división se obtiene como resto

m 3, debe ser m 1.

b. Para que el resto sea 0 debe ser m 3.

c. Para que el resto sea negativo m debe ser me-

nor que 3.

40 a. El polinomio puede ser, por ejemplo:

P(x) 3x3 x2 6x 2.

En ese caso, el resto de la división es cero.

b. Sí, porque el resto puede ser cualquier polino-

mio de grado 1. Por ejemplo, si R(x) 4, debe

ser P(x) 3x3 x2 6x 6.

41 Para que solo pueda escribirse un polinomio podría

darse el resto de la división o indicarse el término

independiente de P(x).

42 a. Falso, porque puede anularse el término de ma-

yor grado. Por ejemplo, si P(x) 2x3 x2 1

y Q(x) 2x3 2x 3, ambos son de grado 3 y,

sin embargo, P(x) Q(x) x2 2x 4, que es

de grado 2.

b. Falso; el grado del producto es igual a la suma

de los grados de los factores. Por ejemplo, si

P(x) x3 1 y Q(x) 3x2 2, entonces

P(x) · Q(x) 3x5 2x3 3x2 2, por lo que:

gr[P(x) · Q(x)] 5 y gr[P(x)] gr[Q(x)] 3 2 5.

c. Verdadero. Porque, como P2(x) P(x) · P(x), enton-

ces gr[P2(x)] gr[P(x)] gr[P(x)] 2 · gr[P(x)].

d. Falso, porque el grado del resto también puede

ser de grado 0. Por ejemplo, si P(x) 3x 1 y

Q(x) x 2, entonces el cociente de hacer

P(x) : Q(x) es C(x) 3 y R(x) 5.

como producto, es necesario que alguno de los

factores sea nulo.

Verdadera. Ejemplo: (x3 1)2 x6 2x3 1.

22 a. 9x 6 c. 2x 1

b. 2x 1 d. 1

2

1

4x

23 a. C x x x( )3

8

3 R(x) x 6

b. C x x x( ) 5 31

2

1

6 R(x) 0

c. C x x( ) 21

3 R x x x( ) 5 6 12

d. C x x x( ) 2 6 125 2 R(x) 0

24 a. x 1

3 b. 4x 1 c. x 6

25 a. C(x) 4x3 2x R(x) x 6

b. C(x) x4 2x3 2x2 4x 4

R(x) 8x2 14x 1

c. C(x) 3x3 6x2 15x 30 R(x) 40

d. C x x x x( ) 3 2329

330 R(x) 92

26 a. Dividendo: x2 16.

b. Cociente: 3x2 10. Resto: 0.

c. Cociente: x 6. Resto: 0.

d. Dividendo: 6x3 15x2 12x 35.

e. Dividendo: 0,3x3 9,2x2 6,1x 1.

27 a. Q(x) es igual que P(x).

b. Q(x) es el opuesto de P(x).

28 Solo la última afirmación es verdadera.

29 8,5x 284

30 P(x) porque la variable está elevada a un exponente

negativo y Q(x), porque la variable está en el radican-

do de una raíz cuadrada.

31 a. 2

b. Grado 42.

c. No, porque el exponente sería negativo.

32 Para a 2 y b 3.

33 101 154106

3

40

3

3 2x x x

34 Cada fila de la pirámide empieza y termina con 1.

Al sumar dos coeficientes consecutivos se obtiene el

número de la fila siguiente que se ubica entre ellos.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

146

b. No se puede porque para que 2 fuese raíz, debe-

ría completarse con 3,5, pero en ese caso, 3

no sería raíz.

7 a. P(x) (x a) · C(x) R(x)

b. R(a)

c. Vale 2; representa el resto de la división.

d. No, porque P(1) no es 0.

8 a. P(2) 0 No es divisible.

b. P( 6) 0 No es divisible.

c. P( 1) 0 Es divisible.

9 Como el resto es 0, 5 es raíz de P(x).

10 a. Cociente: x3 2x2 6x 25. Resto: 72.

Teorema del resto:

( 3)4 5( 3)3 7( 3) 3 72.

b. No, porque el resto no es 0.

11 a. I. 2 II. 4

b. I. 1 II. 4

12 a. Se completa con x2 9.

b. Sí, son raíces de P(x); 2 es raíz de (x 2), en

tanto que 3 y 3 son raíces de (x2 9).

13 a. C(x) 2x2 4x 5 R(x) 12

b. C(x) x 14 R(x) 72

c. C(x) 2x2 5 R(x) 0

14 a. I. C(x) 2x3 x 3 R(x) 7

II. C(x) x3 1,5x2 1,5x 0,5 R(x) 0

III. C(x) 3x 1 R(x) 0

IV. C(x) x 0,25 R x( )65

16

b. En los casos II. y III., porque el resto es 0.

15 a. El divisor es (x 5).

6 2 4 1

5 30 140 720

6 28 144 719

C(x) 6x2 28x 144 Resto: 719.

b. El dividendo es 2x3 ( 1)x2 3x 1.

2 1 3 1

3 6 15 36

2 5 12 37

C(x) 2x2 5x 12 Resto: 37.

16 a. (x 4) b. (x 3) y (x 3). c. (x 2)

17 m 40

Capítulo 6

Para empezar

Volumen x(x 2)(x 6)

El alto de la caja tiene que ser mayor que 2 cm, por-

que de lo contrario no podría formarse el lado que

mide x 2.

Si la altura fuese 15 cm, el volumen sería

4.095 cm3.

1 a. P(1) 4

P( 1) 4

P(0) 0 0 es raíz de P(x).

P( )5 0 5 es raíz de P(x).

P( )5 0 ( )5 es raíz de P(x).

P(5) 100

b. P(6) P( 6) 864

P(2) P( 2) 0 2 y 2 son raíces.


P(0) 36

c. P(1) 12,5

P( 1) 7,5

P(2) 0 2 es raíz de P(x).

P( 2) 20

P(5) 1.537,5

P( 5) 1.557,5

P(0) 10

d. P(6) P( 6) 864


P(3) P( 3) 0 3 y 3 son raíces

P(0) 36

2 Tiene razón, porque como x6 es una potencia par,

cualquiera sea el valor de x, x6 es un número mayor

o igual que 0, y al sumarle 8, se obtiene un número

mayor o igual que 8.

3 Los polinomios que tienen 0 como raíz son P(x),

S(x), M(x) y R(x), porque son los que tienen término

independiente nulo.

4 a. 1 y 1. c. No tiene. e. 1

3

1

3y

b. 1,5 d. No tiene. f. 0,2

5 a. Se completa con 3.

b. Se completa con 45.

c. Se puede completar con un número par mayor o

igual que 2 como exponente y un número positi-

vo como término independiente.

d. Se completa con 3.

6 a. Se completa con 7.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

147

29 a. x 3 y x 3. c. 2x 1 y 2x 1.

b. x 10 y x 10. d. 4x 7 y 4x 7.

30 a. (2x 9)(2x 9)

b. No es.

c. (0,5 x2)(0,5 x2)

d. ( )( )3 7 3 7x x e. (10 5x)(10 5x)

f. (x3 6)(x3 6)

31 En el primero:

I: 3x 2 II: 3x 2 III: 3x 2

Caras cuadradas: A. Caras no cuadradas: B y C.

En el segundo:

I: 0,5x 6 II: 0,5x 6 III: 0,5x 6

Caras cuadradas: F. Caras no cuadradas: D y E.

32 Se puede dividir P(x) por (x 5) aplicando la regla

de Ruffini y luego buscar las raíces del cociente.

P(x) 16 (x 5)(x 0,75)(x 1,25)

33 a. P(x) 2x3 12x2 18x 28

b. P(x) 2(x 2)(x 1)(x 7)

34 a. P(x) 6, 6, 3, 3 , 2 , 2, 1 , 1.

Q(x)

3

4

3

4

3

23

1

4

1

4

1

21

, , , , , , ,

, , ,

3,3

2

1

21 .

T(x) 4, 4, 2 , 2, 1 , 1 .

V(x) 12, 12, 6, 6, 4, 4, 3, 3, 2 , 2, 1, 1.

b. P(x) (x 2)(x 3)(x 1)

Q x x x x( ) 43

2

1

21

T(x) (x 2)(x 2)(x 1)(x 1)

V(x) (x 2)2(x 3)

35 a. P(x) (x 2)(x 3)(x 1)

b. P x x x x( ) 3 3 11

3

c. P(x) (x2 1)(x 2)(x 2)

d. P(x) (x2 3)(x 3)(x 1)(x 1)

e. P x x x x x( ) 6 1 21

3

1

2

2

18 a. Hay que rodear la 2.ª y la 3.ª.

b. Hay que rodear la 1.ª y la 3.ª.

c. Hay que rodear P(x) x · (4x4 8x 1).

19 a. La I. y la III.

b.

x x2 · (x 3) x · (x 3)2 x3 3x2

1 dm 4 16 4

2 dm 20 50 20

3 dm 54 108 54

4 dm 112 196 112

20 a. 5x2 d. (2x 1)

b. 3x e. (2x2 4)

c. (x 3)

21 a. 2,5(2x 1)x 5x2 2,5x

b. 13

13

23

13

1 2 3 2( )x x x x x

22 a. Anaranjada: (3x 3)(2x 2) 6x2 12x 6.

Azul: (2x 2)(x 1) 2x2 4x 2.

Verde: (3x 3)(x 1) 3x2 6x 3.

b. Hay que rodear I., III. y IV.

23 a.

Área Base Altura

x2 5x x 5 x

6x2 4x 3x 2 2x

15x2 10x 3x 2 5x

b. Sí.

24 a. 6 x3(x2 2)

b. 5 x (x4 5x2 1)

c. 11 x2(x4 2x 3)

d. m x3(x2 3)

e. 7 m x7(x 2)

f. m2 x2

(mx2 x m2)

25 Juli escribió 3 (x 2) x (x 2).

Zoe tiene razón; el factor común al que se refiere es

(x 2); al extraerlo se obtiene (x 2)(3 x).

26 a. (x 7)(5 x)

b. (x 2)(x 4)

27 a. x 8 b. 3x 1 c. 2x 0,5 d. x a

28 a. No es. d. No es.

b. (5x 4)2 e. x 52

c. x 3

5

2

f. No es.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

148

b. En I. la raíz es 1

3; en II., es

4

5; en III., es

11; y en IV., 3. En todos los casos es el valor

que hace que la medida del lado sea 0; x debe

ser mayor que ese valor para que se forme el

cuadrado.

48 A(x) 42x2 84x

49 Por ejemplo:

Base Altura

4x x 8

2x 2x 16

x 4x 32

50 a. P(x) 10 x (x 3)

b. P(x) 0,5 x3(x 0,5)(x 0,5)

51 P(x) 4 (x 0,5)(x 0,5)

Q(x) 4 (x 0,5)2

W x x( )1

3

1

5

22

T x x x( ) ( )( )1

2550 50

R(x) (x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)

52 a. Bien.

b. Mal, porque (x 5)2 x2 10x 52.

c. Bien.

d. Bien.

e. Mal, porque (x 5)2 x2 10x 25.

53 a. P(x) x2(x 3)2

Raíces: 3(doble) y 0 (doble).

b. P(x) (x 1)(x 6)(x 6)

Raíces: 6, 1 y 6.

c. P(x) 2 x (x 2)(x 2)(x2 4)

Raíces: 2, 0 y 2.

d. P(x) 2 (x 1)(x 4)(x 0,5)

Raíces: 4, 0,5 y 1.

54

Raíces Multiplicidad

a2 3

1 1

b1 2

6 1

c0 5

5 3

d

0 2

1,4 1

2 1

36 a. P(x) x2 (x3 3x2 4)

P(x) x2 (x 2) 2 (x 1)

b. P x x x x x( )1

52 5 5 5 34 3 2

P x x x x x( )1

52 1 1

1

23

P x x x x x( )2

51 1

1

23

37

P(x) Q(x)

Raíces 0 1 3 1,5 3 1

Multiplicidad 2 1 1 1 2 3

38 Dani tiene razón, porque se pueden escribir dife-

rentes polinomios con las mismas raíces y distinto

coeficiente principal, por ejemplo:

P(x) 3(x 1)(x 4)(x 5) y

Q(x) 2(x 1)(x 4)(x 5).

39 a. P(x) x(x 1)(x 1)

b. P(x) 4(x 7)2(x 7)2(x 3)2

No es el único; otro podría ser:

Q(x) 4(x 7)(x 7)(x 3)4

40 Las raíces son 1 y 2

3.

41 a. 3 y 3. c. No tiene.

b. 1 d. 2 2y .

42 El coeficiente que falta es 5.

43 a. 0,8

b. 2

44 a. Sí, porque es raíz de uno de sus factores.

b. Sí, porque algún factor tiene que ser 0.

45 P(1) 0 P(x) es divisible por (x 1), por el teo-

rema del resto.

46 P x x x x( ) 12 3 68

9

3 2 ; Q x x( )2

3;

C(x) 12 114

3

2x x ; R(x) 0.

47 a.

I. A(x) 9x2 6x 1 III. L(x) x 11

P(x) 12x 4

II. L(x) 2,5x 2 IV. A(x) 5x2 30x 45

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

149

b. x 3; x 6 y x 6.

c. x 2,5; x 0 y x 1.

d. x 3 e y 6; x 0 e y 4; x 1 e

y 10.

e. x 2 e y 0; x 0 e y 4; x 1 e y 1.

f. x 0 e y 6; x 2 e y 0; x 1 e y 6.

6 Las soluciones de las inecuaciones de la primera

columna se corresponden con puntos de la recta,

mientras que las de la segunda, con puntos del pla-

no (por eso hay que dar un valor de x y uno de y).

7 Representaciones a cargo de los alumnos.

a. x6

7

6

7 ;

b. x > 1 ( 1; ∞).

c. x ≤ 1 o bien x ≥ 3 ( ∞; 1] ∪ [3; ∞).

d. 2 < x < 2 ( 2; 2).


a. Las soluciones se corresponden con los puntos del

plano que están debajo de la recta y 2x 1.

b. Las soluciones se corresponden con los puntos

de la recta y 1,5x 1 o están debajo de

ella.

c. Las soluciones se corresponden con los pun-

tos del plano que están debajo de la parábola y 0,5x2, por ejemplo, x 2 e y 1.

d. Las soluciones se corresponden con los puntos

del plano que están por arriba de la parábola y 0,5x2, por ejemplo, x 2 e y 3.

9 a. Se puede plantear la ecuación x2 2x 8 8.

Para encontrar la solución en forma gráfica puede

trazarse una recta paralela al eje x que pase por

8 y observar para qué valores de x se producen

las intersecciones entre la recta y la parábola.

b. Se puede plantear la inecuación 4x 8 > 0.

c. La inecuación es x2 2x 8 ≥ 4x 8. La

solución es 6 ≤ x ≤ 0, que corresponde al in-

tervalo [ 6; 0].

10 a. Pudo resolver la ecuación f(x) 3, cuyas solucio-

nes son x 2,5 y x 1.

b. f(x) ≤ 0 en el intervalo [ 2; 0,5].

c. f(x) ≥ 3 en ( ∞; 2,5] ∪ [1; ∞).

11 a. x > 2 ( 2; ∞).

b. x 0; x 1.

c. 3 ≤ x ≤ 1 [ 3; 1].

d. x > 2 ( 2; ∞).

12 a. Podría haber comprado 1 libro y 12 CD, 2 libros y

11 CD, 3 libros y 10 CD, 4 libros y 9 CD, 5 libros

y 8 CD, 6 libros y 7 CD, 7 libros y 6 CD, 8 libros y

55 a. Sí, porque si 3 es raíz de Q(x), Q(3) 0, enton-

ces también es 2Q(3) 0.

b. Sí, porque si 3 es raíz de P(x), P(3) 0, enton-

ces también es P2(3) 0.

56 a. P(x) 2(x 2)(x 4)(x 6)

b. P(x) 4(x 1)(x 2)2

c. Podría ser P(x) (x 1)3(x 3)2.

d. Podría ser P(x) x(x 1)4.

57 En el ítem c hay más de un polinomio con esas

características, porque no se indica el coeficiente

principal ni se dice cuál es la raiz doble y cuál la

triple. Algo similar ocurre en el ítem d, porque no

se conocen el coeficiente principal ni las restantes

raíces con su orden de multiplicidad.

58 a. m 3

b. La otra raíz es 2.

Capítulo 7

Para empezar

Podría ser:

2x 1 2x 3 no tiene solución;

2x 1 x 3 tiene una solución;

2x 1 2x 3 4 tiene más de una solución

(infinitas).

1 a. Son equivalentes; la solución de ambas es

x 3.

b. No son equivalentes; x 3 y x 3 son solu-

ciones de la primera, pero solo x 3 satisface

la segunda.

2 Se pueden completar con:

a. 6 c. 4

b. 3 d. 3

3 Pueden ser, por ejemplo:

a. x 2 e y 1; x 0 e y 3; x 1,5 e

y 0.

b. x 4 e y 1; x 1 e y 1; x 2,5 e

y 0.

En estas ecuaciones hay dos incógnitas, mientras

en las anteriores hay solo una.

4 En la recta, x 3 representa un punto; en el plano,

representa una recta vertical.

Representaciones a cargo de los alumnos.

5 Pueden ser, por ejemplo:

a. x 7

5; x 0 y x 3.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

150

dos y las rectas, secantes. Los sistemas III. y

IV. son compatibles indeterminados y las rectas

coinciden. Los sistemas II. y VI. son incompati-

bles y las rectas son paralelas.

19 a. Se llega a una falsedad; significa que el sistema

es incompatible. Las rectas son paralelas.

b. Se llega a una identidad (una igualdad indepen-

diente de los valores de x e y); significa que el

sistema es compatible indeterminado. Las rec-

tas coinciden.

20 Se pueden completar de infinitas formas. Se mues-

tra solo un ejemplo.

a. x y 1. Alcanza con escribir la ecuación de

una recta secante a la dada.

b. y 0,5x 2,5. Se completa con una ecuación

equivalente a la dada.

c. 2y x 1. Se completa con la ecuación de una

recta paralela a la dada.

21 a. Lo primero que hizo fue multiplicar la segunda

ecuación por 4; así logró que la y tenga coeficien-

tes opuestos en las dos ecuaciones; después

sumó las dos ecuaciones para que los términos

con y se cancelen, obteniendo una ecuación con

la x como única incógnita; finalmente, halló el

valor de x.

b. y 2

3; puede hallarse reemplazando el valor

de x en cualquiera de las ecuaciones del siste-

ma (y despejando el valor de y), o puede realizar-

se un procedimiento similar al que se hizo para

hallar el valor de x.

22 a. x 5; y 8.

b. x 0,5; y 1.

c. x 0,5; y 0,75.

23 a. x 10; y 15.

b. x y2

3

5

6; .

c. x 2

3; y 2.

24 a. x 3; y 1; z 1.

b. x 1; y 1; z 3.

c. x 0,5; y 1,5; z 2.

25 a. x 2 e y 1; x 2 e y 5.

b. x 1,5 e y 2; x 0,5 e y 1.

c. x 1 e y 0.

d. x 0 e y 2; x 1 e y 4.

26 a. x ≤ 2.

b. x ≥ 7,5.

5 CD, 9 libros y 4 CD, 10 libros y 3 CD, 11 libros

y 2 CD, o 12 libros y 1 CD.

b. Si comprase 1 libro y 12 CD, pagaría $ 226; por

2 libros y 11 CD, $ 231; por 3 libros y 10 CD,

$ 236; por 4 libros y 9 CD, $ 241; por 5 libros

y 8 CD, $ 246; por 6 libros y 7 CD, $ 251; por

7 libros y 6 CD, $ 256; por 8 libros y 5 CD,

$ 261; por 9 libros y 4 CD, $ 266; por 10 libros

y 3 CD, $ 271; por 11 libros y 2 CD, $ 276; y por

12 libros y 1 CD, $ 281.

c. Compró 8 CD y 5 libros.

d. x y

x y

13

17 22 246

La solución del sistema es x 8 e y 5. Por

cualquier método se llega al mismo resultado.

13 a. 2 · (83 y) y 178

b. y 4

c. Podría hallarse el valor de x reemplazando el va-

lor de y en cualquiera de las dos ecuaciones del

sistema. x 87

14 a. x 22,5 2,5 x b. x 12,5

c. Podría hallarse el valor de y reemplazando el va-

lor de x en cualquiera de las dos ecuaciones del

sistema. y 10

15 a. Sustitución, porque en una sola ecuación apare-

ce la y despejada. x 2; y 1.

b. Igualación, porque la x está despejada en am-

bas ecuaciones. x 2; y 0,5.

c. Sustitución, porque en la segunda ecuación la y

está despejada. x 12,5; y 25.

16 La solución es la misma con cualquiera de los méto-

dos; x 300; y 75.

17 a. El segundo sistema corresponde al peso de las

valijas de María Laura y Nicolás, mientras que el

tercero, al de las valijas de Romina y Julián.

b. Porque en el primer caso solo la x está despe-

jada en la segunda ecuación, mientras que en

el segundo caso, aparece despejada en ambas

ecuaciones.

c. La valija de María Laura pesa 20 kg y la de

Nicolás, 35 kg. La de Romina pesa 18 kg y la de

Julián, 30 kg.

18 a. Gráfico a cargo de los alumnos. x 3; y 2.

b. Gráfico a cargo de los alumnos.

I. x 0,5; y 0,5.

II. No tiene solución.

III. Tiene infinitas soluciones.

IV. Tiene infinitas soluciones.

V. x 1; y 3.

VI. No tiene solución.

c. Los sistemas I. y V. son compatibles determina-

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

151

39 Todos menos el a.

40 a. x 2,5; y 1,5.

b. x 1; y 1.

c. x 5; y 1.

d. x 3; y 1.

e. No tiene solución.

f. x y1

3

2

3; .

g. x 1; y 3,5.

h. x 3; y 2.

i. x 3; y 1.

j. x 2,5; y 1,5.

41 a. Todos son compatibles determinados, excepto

el e, que es incompatible.

b. Representaciones a cargo de los alumnos.

42 Se obtiene una falsedad.

43 Es un sistema compatible indeterminado porque tie-

ne infinitas soluciones.

44 Se puede completar de infinitas formas, por ejemplo:

a. x y 0 (o la ecuación de cualquier recta se-

cante a la que se da).

b. 3x 4 y (o cualquier ecuación equivalente a

la que se da).

c. 3x y 0 (o la ecuación de cualquier recta

paralela a la que se da).

45 a. x 2; y 1,5; z 0,5.

b. x y z2

5

3

51; ; .

46 a. 20 50 610

20

x y

x y

x: cantidad de billetes de $ 20; y: cantidad de

billetes de $ 50.

Tiene 13 billetes de $ 20 y 7 de $ 50.

b.

h m

m h

60

31

33

m: cantidad de mujeres; h: cantidad de hombres.

Concurrieron 12 mujeres y 48 hombres.

c.

x y z

x z

y x

40

2 3

4

x: edad del mayor; y: edad del mediano; z: edad

del menor.

El mayor tiene 17 años, el del medio, 13, y el

menor, 10.

27 La solución del sistema a se representa en el gráfi-

co IV; la del sistema b, en el gráfico I; la del sistema

c, en el gráfico II; y la del sistema d, en el gráfico

III.


Algunas soluciones pueden ser:

a. x 4 e y 4; x 8 e y 3,5.

b. x 6 e y 8; x 11 e y 16.

c. x 0 e y 2,5; x 1 e y 3,5.

d. x 1 e y 5; x 4 e y 15.


Algunas soluciones pueden ser:

a. x 2 e y 0; x 4 e y 2.

b. x 4 e y 2; x 6 e y 1.

c. x 1 e y 1; x 2 e y 0.

d. x 1 e y 1; x 2 e y 0.

30 Se completan con:

a. ≤; ≥ y ≥ (en ese orden).

b. ≥; ≥ y ≤ (en ese orden).

31 Puede medir hasta 5,08 m de ancho, aproximada-

mente (el largo siempre tiene que ser 2 metros más

que el ancho). Por ejemplo, podría ser de 5 m por

7 m.

32 a. 15 25 2 500

25

x y

x

.

b. Al menos 84 abonos mensuales.

c. Más de 40 abonos mensuales.

d. Al menos 167 abonos semanales.

33 Hay más de una forma de hacerlo. Se pueden com-

pletar con:

a. 3 y 3.

b. 2 y 2x (en ese orden).

34 x 1.

35 Las ecuaciones b y d.

36 Pueden ser:

a. x 0 e y 0; x 1 e y 3; x 1 e y 2.

b. x 0 e y 0; x 1 e y 1; x 1 e y 2.

c. x 0 e y 1; x 1 e y 0; x 1 e y 1.

d. x 0 e y 5; x 2 e y 5; x 1 e y 4.

37 Las soluciones comunes a ambas pueden ser x 1

e y 1; x 0 e y 1; x 1 e y 1; las solucio-

nes de la primera inecuación, que no son soluciones

de la segunda, pueden ser x 0 e y 4; x 2 e y 0.


© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

152

10 32 m

11 40,2 m, aproximadamente.

12 a. A 14,24 m, aproximadamente.

b. A 6,64 m, aproximadamente.

13 I. Con a. y b. IV. Con a.

II. Con b. V. Con a. y b.

III. Con b. VI. Con a.

14 a. 44,31 cm c. 33,94 cm

b. 22,01 cm d. 89,13 cm

Todos los resultados son aproximados.

15 a.

AMD CMD ABC

sen MD

AD

CM

CD

AB

AC

cos AM

AD

MD

CD

BC

AC

tg DM

AM

CM

DM

AB

CB

cotg AM

DM

DM

CM

CB

AB

sec AD

AM

CD

MD

AC

BC

cosec AD

MD

CD

CM

AC

AB

b. Son inversas: sen y cosec, cos y sec, tg y cotg.

c. Por el criterio AA: cada uno tiene un ángulo recto

y otro de amplitud .

16 a. x y h x yh

xh

yh

xh

2 2 22 2

2

2

2

2

21 1

2 22 2

1 1yh

cos sen

b. tgsen

costg

sen

cos

yx

yx

hh

c. 45º, y los catetos x e y son iguales.

sen 45º cos 45º 2

2

17

1 11 12

2

2

2

2

2sec

cos cos cos

cos senttg2


47 a. y x

y x x

5

2 12

x 2 e y 7; x 3 e y 2.

b. y x x

y x

2 2 1

5 4( )

x 1 e y 2; x 2 e y 1.

c. A cargo de los alumnos.


Capítulo 8

Todos los resultados de los cálculos han sido redondea-

dos a los centésimos.

Para empezar

BC CD14 21cm; cm

Los triángulos son semejantes, por el criterio AA: to-

dos tienen un ángulo recto y comparten el ángulo A.

1 a. d ; 6,43 cm.

b. x 9 m; y 2,25 m.

Los resultados se obtienen a partir de las seme-

janzas de triángulos.

2 Se precisan, aproximadamente, 50,3 cm para el ar-

mazón grande y 12,6 cm para el pequeño.

3 Son semejantes, por criterio LLL.

4 a. Con el criterio AA.

b. AB AC13 75 15 87, ,cm; cm.

5 a. Por ejemplo, AC

DE

AB

DB

CB

EB.

b. 8,11 m, aproximadamente.

6 a. Son semejantes.

b. 31 m

7 Mide 15 m de ancho, y se puede calcular a partir de

la semejanza de los triángulos ABC y A’B’C.

8 a. A 37,1 cm, aproximadamente.

b. 10 cm y 20 cm.

c. 22º 1’ 27,53”.

9 a. A 1.229 m del extremo izquierdo, y a 1.065 km

del extremo derecho, aproximadamente.

b. 2.063 m, aproximadamente.

c. 13º 37’ 25,73”.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

153

cosec cotg ; sec ; 5

3

5

4

4

3

b. sen tg 3

5

4

5

3

4; cos ;

cosec cotg ; sec ; 5

3

5

4

4

3

31 a. y b. sen 48º sen 132º 0,7431448

cos 48º cos 132º 0,6691306

tg 48º tg 132º 1,1106125

cosec 48º cosec 132º 1,3456327

sec 48º sec 132º 1,4944765

cotg 48º cotg 132º 0,900404

32 sen ( ), cos ( ), tg ( ).

33 Teniendo en cuenta que las ordenadas en el 1.º y 2.º

cuadrante son positivas y que las abscisas del 1.er

cuadrante son positivas en tanto las del 2.º son ne-

gativas, las igualdades resultan en la 1.ª columna:

V, F y F y en la 2.ª columna: F, F y V.

34 Lados AC 9,58 cm y BC 5,24 cm.

Área 16,22 cm2

35 En los casos b., c., e. y f.

36 8,66 m

37 7,87 m

38 h 3,99 cm y el lado BC 6,39 cm

39 a. Los ángulos miden A 74º 24’ 36’’;

B 44º 28’ 6’’ y C 61º 7’ 18’’.

b. Lado NP 15,98 cm y ángulos:

P 21º 13’ 27,61’’ y N 18º 46’ 32,39’’.

c. Lado RS 7,26 cm y ángulos:

R 36º 28’ 36’’, S 97º 31’ 23’’.

d. Ángulos X 83º 20’ 4’’; Y 52º 37’,

Z 44º 2’ 56’’.

40 A partir del teorema del coseno se plantean las

igualdades correspondientes a cada lado, se suman

miembro a miembro, se despeja la suma a2 b2 c2

y se divide ambos miembros por el producto 2abc.

41 289,65 m

42 Perímetro 28,28 cm, área 41,4 cm2.

43 4,33 cm.

44 sen 0,98; tg 4,90.

45 a. sen 0,86; cos 0,51; tg 1,70;

19 cos sen1 11

2

3

4

3

2

22

tgsen

cos

1

2

3

2

1

3

3

3

20 a. No existe. c. 23º 34’ 41,44”

b. No existe. d. 26º 33’ 54,18”

21 8,66 m, aproximadamente.

22 a. 90º

b. sen cos tg

sen cos tg

yh

xh

yx

xh

yh

xy

c. sen cos cos sen tg cotg

23 a. cotg c. sec (90º )

b. tg d. cosec (90º )

24sen cos tg

30º 1

2

3

2

3

3

60º3

2

1

2 3

45º2

2

2

21

25 seno coseno tangente

33º 0,545 0,839 0,649

90º 0,839 0,545 1,540

75º 0,966 0,259 3,732

90º 0,259 0,966 0,268

26 a. 0,978 c. 0,208

b. 0,978 d. 4,702

27 sen 56º 0,829; cos 56º 0,559; tg 56º 1,483.

28 a. Puede ser cualquier triángulo rectángulo.

b. Tiene que ser un triángulo rectángulo isósceles.

c. Tiene que ser un triángulo rectángulo isósceles.

29 a. 27,32 cm

b. 22,94 cm

c. 39,01 cm

Todos los resultados son aproximados.

30 a. Lado OP 5

sen tg 3

5

4

5

3

4; cos ;

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

154

3 a. Los puntos forman dos rectas paralelas a la rec-

ta AB.

b. Los puntos forman una circunferencia de centro

A y radio 3.

c. Los puntos forman una recta perpendicular al

segmento AB que contiene su punto medio, es

decir, forman la mediatriz del segmento.

4 a. Construcción a cargo de los alumnos.

b. Los ángulos miden 60° y 120° porque los trián-

gulos SPR y QRP son equiláteros.



c. A cargo de los alumnos.

d. La bisectriz de BAD está incluida en la media-

triz de BE .



c. Se forma una parábola. Cada uno de sus puntos

equidista del punto F y de la recta r. Además,

la recta perpendicular a r que contiene al punto

F es el eje de simetría de la parábola. Algunas

parábolas pueden relacionarse con funciones

cuadráticas.

d. La recta r se llama directriz, y el punto F, foco.

7 a. El punto V está ubicado en la mitad entre F y la

intersección entre r y la perpendicular a r que

pasa por F.

b. Obtendría una parábola (V resulta el vértice de la

parábola).

c. A cargo de los alumnos. Para visualizar la figu-

ra que se va formando en el GeoGebra puede

ayudarte activar el rastro de los puntos A y B, y

desplazar el C sobre la perpendicular.

8 La parábola “cierra” sus ramas cuanto más cerca

está el foco de la directriz.

9 Gráfico a cargo de los alumnos (corresponde a una

parábola de eje horizontal, con las ramas hacia la

derecha).

El vértice se ubica en el (0; 0).

10 a. Sí es posible. Gráfico a cargo de los alumnos

(corresponde a una parábola de eje vertical, es

cóncava hacia abajo y vértice en el (0; 1)).

b. No es posible, porque el eje de simetría debe ser

perpendicular a la directriz.

c. Sí es posible; hay infinitas parábolas que cum-

plen esas condiciones.

d. Sí es posible; el foco es el (1; 4).

e. No es posible; el foco estaría sobre la directriz y

el único punto que equidistaría de ambos sería

sec 1,97; cosec 1,16; cotg 0,59.

b. Si 90º , entonces sen 0,51; cos

0,86; tg 0,59; sec 1,16;

cosec 1,97; cotg 1,70.

46 a. 1 c. 2 2 3 2 3

4

b. 1

4 d.

13

123

47 10

33 cm

48 En el triángulo rectángulo escaleno el cateto menor

mide 6,47 cm y el mayor, 24,15 cm; el otro ángulo

agudo es de 15º. El triángulo rectángulo isósceles

tiene sus ángulos agudos y sus catetos respectiva-

mente iguales; la hipotenusa mide 12,73 cm.

49 a. A cargo del alumno.

b. sen 130º sen 50º; cos 130º cos 50º;

tg 130º tg 50º.

50 a. Ángulo B 102º; lados c 5,43 cm y

b 7,38 cm.

b. Ángulos B 38º 33’ 15’’; C 23º 26’ 44’’.

Lado c 7,66 cm.

c. Ángulos A 102º 58’ 20’’; C 32º 1’ 40’’.

Lado a 22,05 cm

51 22,36 m y 20,15 m, respectivamente.

52 Los ángulos miden: A 57º 7’ 18’’;

B 78º 27’ 46’’; C 44º 24’ 55’’; R 123º 44’

P 29º 55’ 35’’; Q 26º 20’ 24’’.

53 31,29 m

54 68,36 m

55 3,32 m

Capítulo 9

Para empezar

Existen varios casos, por ejemplo las geometrías no

euclidianas.

1 a. d ,( )A C 29 ; d ,( )B D 13 .

b. Perímetro ( )ABCD 8 2 5 .

c. hAD

2 ; área ( )ABCD 8 .

2 Gráfico a cargo de los alumnos.

Los puntos son (4; 2) y (4; 6).

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

155

vería a acercarse a la Tierra.

24 a. x y2 20 . Representa una función.

b. y x2 16 . No representa una función.

c. x y2 12 . Representa una función.

25 El foco estará a 40 metros de altura, pues la dis-

tancia entre el foco y el vértice es la misma que la

distancia entre el vértice y la directriz.

26 Gráficos a cargo de los alumnos. Solo el b represen-

ta una función.

27 15 metros.

Capítulo 10

Para empezar

10 fichas.

3 fichas: anaranjado, azul y verde; anaranjado, azul

y lila; anaranjado, verde y lila.


b. 36 piezas.

c.

Cantidadde formas

Cantidadde colores

Cantidadde tamaños Total de piezas

4 5 3 4 · 5 · 3 60

2 3! 6

3 4! 24

4 a. 10! 3.628.800

b. 9! · 2! 725.760

5 a. 5! 120

b. 55 3.125

c. En a. hay 4 · 3 · 2 · 1 · 2 48 pares.

En b. hay 54 · 2 1.250 pares.

6 a. 5! 120

10! 3.628.800

6! 720

7! 5.040

3! 6

0! 1

b. ; ; .

c. Hay que rodear la 1.ª, la 2.ª, la 3.ª y la 5.ª.

7 a. n 1 b. (n 1)! c. n

8 V(4, 3)

24

el (0; 0).

11 a. Foco: 01

4; ; directriz: y

1

4.

b. Foco: 5

40; ; directriz: x

5

4.

12 a. Representa una función cuadrática.

b. No representa una función, ya que existen dos

imágenes para cada abscisa mayor que 1.

c. No es función, ya que existen valores de abscisa

con más de una imagen.

Solo las parábolas de directriz horizontal (y eje

vertical) representan parábolas.

13 a. A 112,5 cm.

b. f x x( )1

450

2 ; Dom f [ 150; 150].

14 a. x y2 4 . Representa una función.

b. y x2 8 . No representa una función.

c. x y2 12 . Representa una función.

15 La distancia entre A y B es 10 en b y c.

16 a. k 1,5 o k 10,5.

b. k9

5.

17 Área: 24. Perímetro: 6 2 17 4 5 23 19, .

18 a. El punto equidista de los lados del triángulo y, en

consecuencia, es el centro de la circunferencia

inscripta.


19 a. El punto equidista de los vértices del triángulo y,

en consecuencia, es el centro de la circunferen-

cia circunscripta.


20 Es el lugar geométrico de los puntos del plano que

están a una distancia de A menor o igual que 2, pero

mayor o igual que 1,5 cm.

21 Es el lugar geométrico de los puntos del plano que

se encuentran a 2 cm de la recta r.

22 Gráficos a cargo de los alumnos. (En todas el vértice es

el (0; 0); la única de eje de simetría horizontal es la b).

23 a. El cometa estará más cerca cuando pase por

el vértice de la parábola ya que es el punto que

está más cerca de la directriz.

b. No, ya que la parábola es una curva abierta. Si

la trayectoria fuese parabólica, el cometa no vol-

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

156

20 a. Se puede completar aplicando la propiedad

enunciada en 19 c.:

8

5

8

6

9

6. También

podría haberse completado usando la simetría

analizada en 19 b., con

9

3.

b. Hay varias formas de completarlo, por ejemplo:

7

2

7 8

3 3, o

7

2

7 8

1 2, o usando

las simetrías.

c. Hay varias formas de completarlo, por ejemplo:

13 13

8 9

114

9

, o usando las simetrías.

d. Hay varias formas de completarlo, por ejemplo:

12 11

9 9

111

8

, o

12 11

8 7

111

8

, o

usando las simetrías.

21 El resultado es el mismo: x x x3 26 12 8 .

22 a. x x x1 2 12 2

x x x x1 3 3 13 3 2

x x x x x1 4 6 4 14 4 3 2

x x x x x x1 5 10 10 5 15 5 4 3 2

b. Los coeficientes del desarrollo de la potencia 2

corresponden al tercer renglón del triángulo, los

de la potencia 3, al cuarto renglón, etcétera.

c.

x x x x x x x1 6 15 20 15 6 16 6 5 4 3 2

23 x x x x x2 12 60 160

24

6 6 5 4 3

00 192 642x x

24 a. 1,17 (1 0,1)7 ; 1,9485 (si se considera

a 1 y b 0,1 en el desarrollo del binomio).

Si se hubieran empleado todos los términos se

hubiera obtenido el resultado exacto.

b. (1 0,1)

25 a. El desarrollo de la potencia 2 tiene 3 términos,

el de la potencia 3 tiene 4 términos, etcétera. En

general, si el binomio se eleva a n, su desarrollo

tiene n 1 términos.

b. Tendría 10 términos.

c. En todos los casos el tercer término correspon-

de al combinatorio

n

2, siendo n la potencia. En

ese término la potencia de x es n 2 y la de 1

es 2.

9 a. V(5, 3)

60 b. 53 125

10 a. V(26, 3)

· V(10, 2)

1.404.000

b. 263 · 102 1.757.600

11 A, D y B, respectivamente.

12 Hay que rodear el 2.º y el 4.º.

13 C(5, 3)

10

14 a. C(8, 2)

8 20

b. C( , )

( ) ( )n n n n n n n

2

1

2

3

2

15 Es cierto, porque C(10, 3)

C(10, 7)

120.

16 a. 10 b. 56 c. 792 d. 792

17 a. I. 8

II. 2

III. Por ejemplo: 7 y 15, respectivamente.

IV. n r

b. I. 1

II. n III. 1

IV. n

18

19 a. Es el 1.

b. Por ejemplo,

3

1

3

2;

5

2

5

3;

en general

n

n m

n

m, con 0 ≤ m ≤ n.

c. Se obtiene sumando los dos números que están

en la fila anterior a su izquierda y a su derecha. Por

ejemplo, el segundo número de la próxima fila se

obtiene haciendo 1 5, o sea,

5

0

5

1

6

1.

En general

n

m

n

m 1

n

m

1

1,

con 0 ≤ m ≤ n. El siguiente renglón del triángulo

sería:

1 6 15 20 15 6 1

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

157

llegar a tiempo en bicicleta. Como ambos su-

cesos son incompatibles (pues se viaja en un

transporte o en el otro), esas probabilidades se

suman: 0,5 · 0,7 0,5 · 0,8 0,75.

36 a.

Claro Oscuro Total

Mujeres 280 120 400

Hombres 80 320 400

Total 360 440 800

b. 80

4000 2,

37 a. 6! 720 b. 5! · 2! 240

38 V(14, 2)

182

39 C(14, 2)

91

40 a. V(12, 3)

1.320 b. V(11, 2)

110

41 C(12, 3)

220

42 C(12, 3)

220

43 10! 3.628.800

44 32 9

45 C(10, 2)

· C(26, 3)

· P5 14.040.000

46 a. 91

144 b. 1 c. 7

47 a. Falso; también los combinatorios

n

0 valen 1.

b. Verdadero; por ejemplo,

5

2

5

3.

c. Falso;

nn

1.

d. Verdadero; 0 es el único número natural que no

puede expresarse como un número combinatorio.

48 En los desarrollos se redondean los coeficientes a

los centésimos.

a. x x x x x1 2 8 4 30 24 60 487 7 6 5 4, , , ,

, , , ,72 58 52 25 20 90 3 583 2x x x

b. 2 1 32 80 80 40 10 15 5 4 3 2x x x x x x

c. x x x x x3 4 12 9 6 31 4 6 4 1

d. x x x x x x x2 4 8 7 6 5 44 6 4

49 En los desarrollos se redondean los coeficientes a

los centésimos.

26 En todos los casos se puede encontrar el quinto

término; cuando la potencia es 4, el quinto término

es el último. Se trabaja con el combinatorio

n

4 y

la potencia de x es n 4.

a. 1.215 x2

b. 1.296

c. 1.120 x4

d. 0,0035 x3

27 Es el cuarto término:

.9

33 2 2686 3 6x x .

28 F Como uno de los términos del binomio es ne-

gativo, al desarrollar cualquier potencia algunos

términos resultan negativos.

V Como los dos términos del binomio son positi-

vos, todos los términos del desarrollo de cual-

quier potencia son positivos.

F En el tercer término del desarrollo, la potencia

de x es 4 y la de ( 2) es 2, por lo que el coefi-

ciente es positivo.

29 a. 2

6 b.

1

6

1

6

1

36

30 Dos sucesos A y B son incompatibles cuando

no pueden ocurrir al mismo tiempo; en ese caso

P(A o B) P(A) P(B).

Dos sucesos A y B son independientes cuando la

ocurrencia de uno de ellos no incide en la ocurrencia

del otro; en ese caso P(A y B) P(A) · P(B).

31 a. Independientes.

b. Incompatibles.

c. Incompatibles.

32 0,15 0,35 0,50

33 a. Es más probable que haya sacado dos verdes.

b. 10

180 17

3

,

34 a. I. 30

5000 06,

II. 150

5000 30,

b. 270

3000 90,

35 a. En la primera ramificación se completa con 0,5

y 0,5. En la siguiente se completa con 0,7 y 0,2,

respectivamente.

b. 0,2

c. Es la probabilidad de llegar a tiempo en auto o

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

158

53 a. 6

12 b.

7

12

c. No son incompatibles porque ambos sucesos

tienen resultados en común (por ejemplo, el 3

es impar y primo).

54 a .

Caminan No caminan Total

Nenas 12 5 17

Nenes 11 12 23

Total 23 17 40

b. 23

40 c.

12

23


b. 0,50 · 0,95 0,50 · 0,88 0,915

56 0,88 · 0,15 0,12 · 0,20 0,156

a. x x x x x2 5 15 93 75 312 56 6 5 4 3, , ,

, , ,585 94 585 94 244 142x x

b. 3 1 2 187 5 103 5 1037 7 6 5x x x x. . .

.2 835 945 189 21 14 3 2x x x x

c. x x x x x2 4 8 6 4 21 4 6 4 1

d.

2 1 32 80 80 40 10 12 5 10 8 6 4 2x x x x x x

50 a. 0,4x3 b. 54x2

51 1.215 x4

52 No puede ser, porque en el quinto término la poten-

cia de ( 0,5) es 4; por lo tanto, el coeficiente es

positivo.

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

159

Capítulo 1

1 a. 10 000

121

. b.

7

31

2 2,24. Ea < 0,004.

3 a. S3

2

3

2;

b. S 3 5;

c. S x x/ ; 36 18 36 18

d. S o >15

2x x x° /

( ;

5

2

2,, ) ( , ; )5 75

Capítulo 2

1 a. Cada término puede obtenerse multiplicando el

término anterior por 1

3.

b. El término general puede expresarse de varias

formas; podría ser an

n2

3

1

3.

c. a10 2

177.147

2 a. Para la sexta fila se necesitarían 1.024 perso-

nas.

b. En la quinta fila.

c. an 4n 1

Capítulo 3

1 a. Dom f [–10; 6] Im f [–8; 6]

b. –4

c. Crecimiento: (–10; –8) (–6; –4) (–1; 2).

Decrecimiento: (–8; –6) (–4; –1) (2; 4).

d. (4; 6)

e. Positividad: (–5; –2) (1; 3).

Negatividad: [–10; –8) (–8; –5) (–2; 1) (3; 6].

f. Para x 10 alcanza un mínimo absoluto;

para x –8, un máximo relativo;

para x –6, un mínimo relativo;

para x –4, un máximo relativo y absoluto;

para x –1, un mínimo relativo;

para x 2, un máximo relativo.

2 El gráfico debe ser simétrico con respecto al origen

de coordenadas y pasar por ese punto y por

(2; –1), (–3; 2), (–2; 1) y (3; –2).

f(–2) 1 y f(3) –2.

3 Im f [–3: 2]; período: 3; f(15) –3; f(–8) 2;

f(14) f(5), por lo tanto, es negativo.

Capítulo 4

1 a. Forma polinómica: f(x) 3x2 6x.

Forma factorizada: f(x) 3 x (x 2).

b. El gráfico corta el eje x en 0 y 2; el vértice es el

punto (1; 3); los puntos ( 1; 9) y (3; 9) perte-

necen al gráfico.

2 F - V - F - V - V

3 Hay dos respuestas posibles: los números son 6 y

8, o bien 6 y 8.

Capítulo 5

1 Área: 2x2 6x 9. Perímetro: 6x 12.

2 a. x3 4x2 30x 2

b. 1

2

5

4

41

424 45 4 3 2x x x x x

c. Cociente: 0,25x2 0,5x 4. Resto: 8.

d. 1

16256 2x x

3 a. El grado de P(x) es 5, porque el grado del co-

ciente es igual a la resta entre el grado de P(x)

y el de Q(x).

b. El resto R(x) podría ser el polinomio nulo (que

no tiene grado). Si no lo es, el grado de R(x) es

menor que el del divisor, por lo que puede ser

2, 1 o 0.

4 El cociente es el mismo porque

P(x) Q(x) · C(x) R(x)

y también P(x) C(x) · Q(x) R(x).

Soluciones de las autoevaluaciones

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

11.7

23

160

Capítulo 6

1 2,5x2 7x

2 a. 91

6

1

6 x x

b. 52

5

2

x x

c. 21

3

1

3

1

92

x x x x

3 a. Las raíces son: 0, 1 y 1, todas de multiplici-

dad 1, y 2, de multiplicidad 3.

b. El resto es 0 porque 1 es raíz y, en conse-

cuencia, (x 1) divide a P(x).

Capítulo 7

1 Es incompatible. Las rectas son paralelas.

2 El a., por igualación, porque ya está despejada la x

en ambas ecuaciones; el b., por sustitución, porque

en la segunda ecuación ya está despejada la y. a. x 4; y 2,5. b. x 1; y 1.

3 x 1 e y 2.

4 Los puntos (1; 2) y (1; 1) indican soluciones del

sistema. Esto puede observarse en el gráfico por-

que son los puntos que quedan en la región que

satisfacen ambas inecuaciones; en forma analítica

puede verificarse que son los dos únicos puntos

de la lista cuyas coordenadas satisfacen ambas

inecuaciones.

Capítulo 8

1 391 m aproximadamente.

2 cos 2

32

tg 14

2

cotg 2 2

sec 3

42

cosec 3

3 a. 0,92

b. 0,4

c. 2,29

d. 0,4

e. 0,92

f. 0,44

4 Perímetro 43,69 cm

Área 63,3 cm2

Capítulo 9

1 Área SPQR 10. Perímetro SPQR 6 5 .

2 a. Queda una corona circular.

b. Quedan dos “franjas” comprendidas entre rectas

paralelas a la recta b, una de cada lado de b.

3 a. Falso. El foco lo tiene en (1; 0).

b. Verdadero, el vértice equidista del foco y de la

directriz, y además están alineados.

c. Falso. Siempre que la directriz sea vertical habrá

abscisas con dos imágenes (el eje de simetría

será horizontal).

4 a. x y2 8 .

b. y x2 4 .

Capítulo 10

1 a. Hay 126 formas; se puede calcular haciendo

C(9, 4) 126.

b. Hay 24 formas; se puede calcular haciendo

P4 4! 24.

c. Hay 360 formas; se puede calcular haciendo

V(6, 4) 360.

d. Hay 1.296 formas; se puede calcular haciendo

V(6, 4) con repetición 64 1.296.

2 5.103x

3 La probabilidad es 5

64.

4 La probabilidad de que un chico tenga ojos claros

es 0,28 · 0,12 0,72 · 0,25 0,2136.

matemática 4º - soluciones

Documents