mat 475 tópicos em matemática aplicada

MAT 475

Topicos em Matematica Aplicada

Lana M. R. dos Santos

Departamento de MatematicaUniversidade Federal de Vicosa

MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])

Aula 24: Dualidade

Dualidade

Uma desvantagem de usar relaxacoes para obter limitantes e que

somente uma solucao otima do problema relaxado garante um

limitante dual para o valor otimo do problema original.

A dualidade elimina esta dificuldade pois como sera demonstrado,

toda solucao factıvel do problema dual e um limitante para o

problema primal.


Aula 24: Dualidade

Dualidade

A todo problema de programacao linear esta associado um outro

problema tambem de programacao linear. Esse par de PPL’s sao

chamados de problemas primal e dual.

Se um PPL e de minimizacao, o outro e de maximizacao;

O vetor de custos c de um problema e o vetor de recursos b do outro

e vice-versa;

As restricoes de um problema estao relacionadas com as variaveis do

outro.

A dualidade estuda a relacao entre problemas.


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Problema primal

zL = min cTx

s.a. Ax = b

x ≥ 0

Problema dual

zD = max bT y

s.a. AT y ≤ cy livre

x variaveis primais

y variaveis duais

Ax = b restricoes primais

AT y ≤ c restricoes duais


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Alguns resultados importantes:

Em um problema de minimizacao, uma solucao factıvel para o

problema primal e um limitante superior para o problema dual e uma

solucao factıvel para o problema dual e um limitante inferior para o

problema primal;

(Teorema da Dualidade Fraca)

Se um PPL tem solucao otima, o outro tambem tem e ambos tem

mesmo valor otimo (Teorema da Dualidade Forte);

Se um PPL e ilimitado, o outro e infactıvel;

Se um PPL e infactıvel, o outro e ou ilimitado ou infactıvel;

O dual do dual e o primal.


Aula 24: Dualidade

Dualidade. Exemplo 1

Problema primal

min 15x1 + 12x2 + x3

s.a. x1 + 2x2 + x3 = 3

2x1 − 4x2 = 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Problema dual

max 3y1 + 5y2

s.a. 1y1 + 2y2 ≤ 15

2y1 − 4y2 ≤ 12

y1 ≤ 1

y1, y2 ∈ R


Aula 24: Dualidade


Problema primal

min 15x1 + 12x2

s.a. x1 + 2x2 ≥ 3

2x1 − 4x2 ≤ 5

x1, x2 ≥ 0

PPL na forma padr~ao

min 15x1 + 12x2 + 0x3 + 0x4

s.a. x1 + 2x2 − x3 + 0x4 = 3

→ y1

2x1 − 4x2 + 0x3 + x4 = 5

→ y2

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Problema dual

max 3y1 + 5y2

s.a. 1y1 + 2y2 ≤ 15

2y1 − 4y2 ≤ 12

−1y1 + 0y2 ≤ 0

0y1 + 1y2 ≤ 0


Aula 24: Dualidade


Problema primal

min 15x1 + 12x2

s.a. x1 + 2x2 ≥ 3

2x1 − 4x2 ≤ 5

x1, x2 ≥ 0


min 15x1 + 12x2 + 0x3 + 0x4

s.a. x1 + 2x2 − x3 + 0x4 = 3→ y1

2x1 − 4x2 + 0x3 + x4 = 5→ y2

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Problema dual

max 3y1 + 5y2

s.a. 1y1 + 2y2 ≤ 15

2y1 − 4y2 ≤ 12

−1y1 + 0y2 ≤ 0

0y1 + 1y2 ≤ 0


Aula 24: Dualidade


Problema primal

max 5x1 + 12x2 + 4x3

s.a. x1 + 2x2 + x3 ≤ 10

2x1 − x2 + 3x3 = 8

x1, x2, x3 ≥ 0


min −5x1 − 12x2 − 4x3 + 0x4

s.a. x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10

→ y1

2x1 − x2 + 3x3 = 8

→ y2

x1, x2, x3 ≥ 0

Problema dual

min 10y1 + 8y2

s.a. 1y1 + 2y2 ≥ 5

2y1 − y2 ≥ 12

1y1 + 3y2 ≥ 4

y1 ≥ 0, y2 ∈ R


Aula 24: Dualidade


Problema primal

max 5x1 + 12x2 + 4x3

s.a. x1 + 2x2 + x3 ≤ 10

2x1 − x2 + 3x3 = 8

x1, x2, x3 ≥ 0


min −5x1 − 12x2 − 4x3 + 0x4

s.a. x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10→ y1

2x1 − x2 + 3x3 = 8→ y2

x1, x2, x3 ≥ 0

Problema dual

min 10y1 + 8y2

s.a. 1y1 + 2y2 ≥ 5

2y1 − y2 ≥ 12

1y1 + 3y2 ≥ 4

y1 ≥ 0, y2 ∈ R


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Sejam os seguintes PPLs:

Problema primal (P)

zL = max cTx

s.a. Ax ≤ bx ≥ 0

Problema dual (D)

zD = min bT y

s.a. AT y ≥ cy ≥ 0

Exercıcios:

Mostre que os PPLs sao problemas primal e dual.

Escreva o dual do problema (D) para verificar que o dual do dual e o

primal.


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Tabela: Regras para a construcao do dual

Primal(dual) Dual(primal)

Minimizacao Maximizacao

Vetor de recursos b Vetor de custos c

Vetor de custos c Vetor de recursos b

Restricao Variavel

= livre

≤ ≤≥ ≥

Variavel Restricao

livre =

≤ ≥≥ ≤


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Problema primal

zL = min cTx

s.a. Ax = b

x ≥ 0

Problema dual

zD = max bT y

s.a. AT y ≤ cy livre

Teorema (Dualidade Fraca)

Se x e uma solucao factıvel para o problema primal e y uma solucao

factıvel para o problema dual, entao bT y ≤ cTx.

Demonstracao.

Como x e factıvel, Ax = b e x ≥ 0. Como y e factıvel, AT y ≤ c.Portanto, bT y = (Ax)T y = xTAT y ≤ xT c = cTx.


Aula 24: Dualidade

Dualidade. Propriedades

Corolario (1)

(i) Se o problema primal e ilimitado, entao o dual e infactıvel;

(ii) Se o problema dual e ilimitado, entao o primal e infactıvel.

Demonstracao.

(i) Suponha que o problema dual tenha uma solucao factıvel y. Pelo

Teorema da Dualidade Fraca, bT y ≤ cTx para todo x factıvel. Por

outro lado, como o primal e ilimitado, existe x factıvel tal que

cT x < bT y, o que gera uma contradicao.

(ii) (similar)


Aula 24: Dualidade

Dualidade

O Corolario 1 pressupoe que um dos problema e factıvel (ainda que

ilimitado).

Mas se um problema e infactıvel, o que podemos afirmar sobre o

outro? – Pode ser ilimitado ou infactıvel!

Exemplo de ambos os problemas primal e dual infactıveis:

min x1 + 2x2

s.a. x1 + x2 = 1

2x1 + 2x2 = 3

x1, x2 ≥ 0

max y1 + 3y2

s.a. y1 + 2y2 = 1

y1 + 2y2 = 2

y1, y2 ∈ R

Exemplo de primal infactıvel e dual ilimitado:

min x1 + x2

s.a. −x1 + x2 ≥ 1

x1 − 2x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0

max y1 + y2

s.a. −y1 + y2 ≤ 1

y1 − 2y2 ≤ 1

y1, y2 ≥ 0


Aula 24: Dualidade


Corolario (2)

Sejam x e y solucoes factıveis dos problemas primal e dual,

respectivamente, tais que bT y = cT x. Entao, x e y sao solucoes otimas

dos problemas primal e dual, respectivamente.

Demonstracao.

Pelo Teorema da Dualidade Fraca, temos bT y ≤ cTx para todo x primal

factıvel e para todo y dual factıvel. Por hipotese, cT x = bT y. Desta

forma, cT x = bT y ≤ cTx, para todo x factıvel primal e

bT y ≤ cT x = bT y, para todo y factıvel dual. Portanto, x e solucao otima

do problema primal e y e solucao otima do problema dual.


Aula 24: Dualidade


Sejam P = {x ∈ Rn+ : Ax = b} e D = {y ∈ Rm : AT y ≤ c}.

Corolario (3)

O problema primal tem solucao otima se e somente se o dual tiver

solucao otima.

Demonstracao.

Suponha que o primal tem solucao otima. Portanto, P 6= ∅. Do corolario

1, segue que D 6= ∅. Como P 6= ∅ e D 6= ∅, do corolario 2, tem-se que o

dual nao e ilimitado. Portanto, tem solucao otima (a unica possibilidade

que resta dado que nao e infactıvel ou ilimitado). De forma analoga,

mostra-se que se o problema dual tem solucao otima, entao o problema

primal tem solucao otima.


Aula 24: Dualidade

Dualidade. Resumo das relacoes primal–dual

Primal

Factıvel Infactıvel

existe

otimo dual

dual

infactıvel

dual factıvel

nao existe otimo

existe otimo nao existe otimo


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Sejam P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} e D = {y ∈ Rm : AT y ≤ c} as

regioes factıveis dos problemas primal e dual, respectivamente.

Teorema (Teorema da Dualidade Forte)

As solucoes x ∈ P e y ∈ D sao otimas, primal e dual respectivamente,

se, e somente se, cT x = bT y.

. A demonstracao pode ser encontrada em:

Marcos Arenales et al. Pesquisa Operacional: para cursos de engenharia.

Elsevier, 2007

Nelson Maculan e Marcia HC Fampa. Otimizacao Linear. UFRJ. 2004.

url: https://linux.ime.usp.br/~felipecp/50861875-livropdf-

Otimizacao-Linear-Maculan-Fampa.pdf

Marılia Pires. Programacao Matematica. Universidade do Algarve. 2006.

url: http://w3.ualg.pt/~mpires/PMtexto.pdf

https://linux.ime.usp.br/~felipecp/50861875-livropdf-Otimizacao-Linear-Maculan-Fampa.pdf

https://linux.ime.usp.br/~felipecp/50861875-livropdf-Otimizacao-Linear-Maculan-Fampa.pdf

http://w3.ualg.pt/~mpires/PMtexto.pdf


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Sejam P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} e D = {y ∈ Rm : AT y ≤ c} as

regioes factıveis dos problemas primal e dual.

AT y ≤ c ⇔

aT1 y ≤ c1aT2 y ≤ c2

...

aTny ≤ cn

⇔

aT1 y + µ1 = c1, µ1 ≥ 0

aT2 y + µ2 = c2, µ2 ≥ 0...

aTny + µn = cn, µn ≥ 0

⇔

µ1 = c1 − yTa1 ≥ 0

µ2 = c2 − yTa2 ≥ 0...

µn = cn − yTan ≥ 0

em que µ e o vetor das variaveis

de folga do problema dual.


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Para todo x primal factıvel e para todo y dual factıvel (µ ≥ 0), temos

que yi(aix− bi) ≥ 0, i = 1, . . . ,m, em que ai e a linha i da matriz A, e

(cj − yTaj)xj ≥ 0, j = 1, . . . , n, em que aj e a coluna j da matriz A.

Alem disto,

m∑i=1

yi(aix− bi) +

n∑j=1

(cj − yTaj)xj =

m∑i=1

yiaix−

m∑i=1

yibi +

n∑j=1

cjxj −n∑

j=1

yTajxj =

yTAx−m∑i=1

yibi +

n∑j=1

cjxj − yTAx =

cTx− bT y


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Suponha x ∈ P e y ∈ D (portanto, µ ≥ 0)

cTx = yT b = yTAx⇔ (cT − yTA)x = 0⇔n∑

j=1

(cj − yTaj)xj = 0⇔

µ1x1 + mu2x2 + . . .+munxn = 0.

Como µj , xj ≥ 0, j = 1, . . . , n, tem-se que:

µ1x1 = 0, µ2x2 = 0, . . . , µnxn = 0 (Folgas complementares)


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Teorema (Teorema das Folgas Complementares)

Sejam x e y solucoes factıveis dos problemas primal e dual,

respectivamente. As solucoes x e y sao otimas, primal e dual, se, e

somente se:

(i) yi(aix− bi) = 0, i = 1, . . . ,m

(ii) (cj − yTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n


Aula 24: Dualidade

Dualidade

(⇐) Se yi(aix− bi) = 0, i = 1, . . . ,m e

(cj − yTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n, entao

m∑i=1

yi(aix− bi) +

n∑j=1

(cj − yTaj)xj = 0

Portanto, cTx− bT y = 0. Como x e factıvel primal e y factıvel dual, pelo

corolario 2, o vetor x e otimo primal e o vetor y e otimo dual.

(⇒) Se x e otimo primal e y e otimo dual, pelo Teorema de Dualidade

Forte, temos que cTx− bT y = 0. Como x e factıvel primal e y factıvel

dual, temos que:

yi(aix− bi) = 0, i = 1, . . . ,m e (cj − yTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n


Aula 24: Dualidade

Dualidade. Exemplo

Seja o problema primal cuja solucao otima e x∗1 = 35, x∗2 = 200 e z∗ = 235.

z = min x1 + x2 + x3

s.a. 2x1 + x2 = 270

2x2 + 3x3 = 400

x1, x2, x3 ≥ 0

Pelo Teorema das Folgas Complementares, tem-se que as variaveis de

folga do problema dual sao µ1 = µ2 = 0, o que gera o problema dual:

zD = max 270y1 + 400y2

s.a. 2y1 = 1

y1 + 2y2 = 1

3y2 ≤ 1

Portanto, a solucao otima do problema dual e y1 = 1/2, y2 = 1/4 e

zD = 270(1/2) + 400(1/4) = 235, como era de se esperar.


Aula 24: Dualidade

Dualidade

A teoria de dualidade tem suas raızes nos trabalhos de Lagrange;

A otimizacao de uma funcao restrita a um domınio e tratada como a

otimizacao de uma funcao irrestrita penalizada.

Na Relaxac~ao Lagrangiana relaxa-se um conjunto de restricoes

para a funcao objetivo, multiplicando-as por fatores de penalizacao

(multiplicadores de Lagrange) que tornam pouco atraentes as

solucoes que violam as restricoes relaxadas.

Pz = min cx

s.a Ax = b

x ∈ X

L(u) [Problema Lagrangiano]

z(u) = minx∈X{cx+ u(b−Ax)}

u ∈ Rm [multiplicadores de Lagrange]


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Suponha que o seguinte problema P tenha solucao otima x∗

z = min cTx

s.a. Ax = b

x ≥ 0

Dado um vetor u ∈ Rm, seja o problema Lagrangiano L(u):

z(u) = minx≥0{cTx+ uT (b−Ax)}


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Quest~ao: Sera que existe um vetor (multiplicador de lagrange) u∗ ∈ Rm

tal que o Problema Lagrangiano L(u∗) tenha valor otimo igual ao valor

otimo de P? isto e, tal que

z = z(u∗) = minx≥0{cTx+ (u∗)

T(b−Ax)}

. O melhor limitante dual que se pode obter com um problema

lagrangiano e o valor otimo do problema nomeado Problema Dual

(Lagrangiano). Neste caso:

zD = maxu∈Rm

{z(u)}

= maxu∈Rm

{minx≥0{cTx+ uT (b−Ax)}}

. A questao entao e determinar se existe u∗ ∈ Rm tal que zD = z.


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Dado um vetor arbitrario u ∈ Rm, seja

z = minx≥0{cTx : Ax = b}

= minx≥0{cTx+ uT (b−Ax) : Ax = b}

≥ minx≥0{cTx+ uT (b−Ax)} = z(u)

Portanto, para qualquer u ∈ Rm, z(u) ≤ z.


Aula 24: Dualidade

Dualidade

z(u) = minx≥0{cTx+ uT (b−Ax)}

= minx≥0{uT b+ (cT − uTA)x}

= uT b+minx≥0{(cT − uTA)x}

= uT b+minx≥0

n∑

j=1

(cj − uTaj)xj

(∗)= uT b+

n∑

j=1

minxj≥0

(cj − uTaj)xj

(*) A decomposicao na soma de n subproblemas foi possıvel pois as

variaveis xj , j = 1, . . . , n sao independentes entre si.


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Como para cada j = 1, . . . , n, a unica restricao do problema

z(u)j = minxj≥0{(cj − uTaj)xj} e xj > 0, temos que:

Se cj − uTaj < 0, z(u)j → −∞ (xj →∞)

Se cj − uTaj ≥ 0, z(u)j = 0 (xj = 0)

Portanto, para cada j = 1, . . . , n:

minxj≥0{(cj − uTaj)xj} =

−∞, se (cj − uTaj)xj < 0 (xj →∞)

0, caso contrario (xj = 0)

Como estamos buscando o limitante maximo, devemos evitar que

z(u)j → −∞. Para isto, devemos impor que:

cj − uTaj ≥ 0, para j = 1, . . . , n

.


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Logo, para todo u ∈ Rm tal que cj − uTaj ≥ 0, j = 1, . . . , n, temos que:

z(u) = uT b+

n∑

j=1

minxj≥0{(cj − uTaj)xj : cj − uTaj ≥ 0}

= uT b+

n∑

j=1

0

= uT b


Aula 24: Dualidade

Dualidade

Para todo u ∈ Rm tal que cj − uTaj ≥ 0, j = 1, . . . , n, temos que:

cj − uTaj ≥ 0, j = 1, . . . , n⇔ aTj u ≥ cj , j = 1, . . . , n⇔ ATu ≤ c.

Portanto,

zD = maxu∈Rm

{z(u)}

= maxu∈Rm

{z(u) : ATu ≤ c}

= maxu∈Rm

{uT b : ATu ≤ c} (Problema Dual)


Aula 24: Dualidade

PI: Dualidade. Dualidade em Programacao Inteira

Seja o Problema de Programacao Inteira P:

z = max{cx : x ∈ X}, em que X = {x ∈ Zn+ : Ax ≤ b}

.

Definicao (Dualidade Fraca)

Um problema dual fraco do problema de programacao inteira (P) e

qualquer problema de minimizacao (DP) zD = min{ub : u ∈ PD}, em

que PD = {u ∈ Rm+ : uA ≥ c}.

Proposicao

Se DP e factıvel entao z ≤ zD. Se DP e ilimitado, entao P e infactıvel.


Aula 24: Dualidade

PI: Dualidade

Um problema dual (fraco) e facil de construir. Por exemplo, um

problema dual (fraco) de um problema de programacao inteira P e o

problema dual da relaxacao linear de P.


Aula 24: Dualidade

PI: Dualidade

De maneira geral:

Proposicao

Se um problema DP e um problema dual para uma relaxacao de um

problema de programacao inteira P, entao DP e tambem um problema

dual para P.

Demonstracao.

Seja zDR = min{zDR(u) : u ∈ XDR} um problema dual para o problema

RP, uma relaxacao do problema de programacao inteira P. Entao

zR(x) ≤ zDR(u), ∀x ∈ XR e ∀u ∈ XDR.

Pela definicao de relaxacao, cx ≤ zR(x), ∀x ∈ X ⊂ XR. Portanto,

cx ≤ zDR(u), ∀x ∈ XR e ∀u ∈ XDR.


Aula 24: Dualidade

PI: Dualidade

Definicao (Dualidade Forte)

Um problema dual forte de um problema de programacao inteira P e

qualquer problema dual fraco que tambem satisfaca:

Se X 6= ∅ e z e limitado, entao (x∗, u∗) ∈ X ×XD e tal que

zD(u∗) = cx∗.


Aula 24: Dualidade

Desigualdades Validas

Um problema de Programacao Inteira P e facil de resolver se a

regiao das solucoes factıveis da relaxacao linear tiver todos os pontos

extremos inteiros. Nesse caso, ao resolver a relaxacao linear de Pobtem-se a solucao otima de P.

Quanto mais a regiao das solucoes factıveis da relaxacao linear se

aproximar da envoltoria convexa da regiao das solucoes factıveis de

P, melhor e a qualidade do limitante dual obtido com a relaxacao

linear do modelo e, usualmente, mais facil de se provar a otimalidade

em algoritmos do tipo branch–and–bound


Aula 24: Dualidade

Desigualdades validas

Metodos de planos de corte visam obter uma aproximacao da

envoltoria convexa da regiao factıvel de um problema de

programacao inteira.

Usualmente busca-se por desigualdades validas que violem a solucao

otima corrente do problema relaxado.


Aula 24: Dualidade


Definicao (Desigualdade Valida)

Uma desigualdade πx ≤ πo, denotada por (π, πo) e uma desigualdade

valida para X ⊂ Rn se πx ≤ π0 para todo x ∈ X.

πx = πo

X


Aula 24: Dualidade


Uma desigualdade e valida para um PPI se ela e satisfeita para todas

solucoes factıveis (inteiras) do modelo.

Portanto, em particular, se X = {x : Ax ≤ b, x ∈ Zn+} e

conv(X) = {x : Ax ≤ b, x ≥ 0}, aix ≤ bi e aix ≤ bi sao desigualdades

validas para X e para conv(X).


Aula 24: Dualidade

Desigualdades validas. Exemplo 1

(P)max 3x1 + 14x2 + 18x3

s.a 3x1 + 5x2 + 6x3 ≤ 10

x1, x2, x3 ∈ {0, 1}

solucao inteira: x∗1 = 1, x∗2 = 0, x∗3 = 1, z∗ = 21

solucao do problema relaxado: x1 = 0, x2 = 0.8, x3 = 1, z∗ = 29.2

Ao inserir a restricao x2 + x3 ≤ 1 no modelo, a solucao

x = (0, 0.8, 1) torna-se infactıvel.

A solucao do problema relaxado com a restricao adicional e:

x∗1 = 1, x∗2 = 0, x∗3 = 1, z∗ = 21, que e a solucao otima de P.


Aula 24: Dualidade


Seja X = {(x, y) : x ≤ 10y, 0 ≤ x ≤ 5, y ∈ {0, 1}} a regiao factıvel de

um problema inteiro misto.

Entao, uma desigualdade valida para o problema e: x ≤ 5y.

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

x = 10y


Aula 24: Dualidade


Seja X = {(x, y) : x ≤ 10y, 0 ≤ x ≤ 5, y ∈ {0, 1}} a regiao factıvel de

um problema inteiro misto.

Entao, uma desigualdade valida para o problema e: x ≤ 5y.

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

x = 10yx = 5y


Aula 24: Dualidade


Problema de Localizacao de Facilidades Capacitado

minm∑i=1

n∑j=1

cijxij +

n∑j=1

fjyj

s.an∑

j=1

xij = ai, i = 1, . . . ,m

m∑i=1

xij ≤ bjyj , j = 1, . . . , n

xij ≥ 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

yj ∈ {0, 1}, j = 1, . . . , n.

Como para todas as solucoes factıveis temos que xij ≤ bjyj e xij ≤ ai,uma desigualdade valida para o problema e: xij ≤ min{ai, bj}


Aula 24: Dualidade

Desigualdades validas. Arredondamento de variaveis inteiras

Seja X = {x ∈ Z4+ : 13x1 + 20x2 + 11x3 + 6x4 ≥ 72}.

Dividindo a restricao por 11, obtemos:13

11x1 +

20

11x2 + x3 +

6

11x4 ≥

72

11.

Mas⌈13

11

⌉x1 +

⌈20

11

⌉x2 + x3 +

⌈6

11

⌉x4 ≥

13

11x1 +

20

11x2 + x3 +

6

11x4 ≥

72

11.

Portanto: 2x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥ 7211 .

Como x1, x2, x3, x4 ∈ Z+, podemos substituir 7211 por d 7211e na restricao.

Desta forma, obtemos a seguinte desigualdade valida:

2x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥ 7

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