máquina de turing - infouem.com.br · • que pode ler e escrever símbolos em uma fita por ......

Pro

f. Ya

nd

re M

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on

ad

o -

1

Máquina de Turing

Prof. Yandre Maldonado e Gomes da Costa

[email protected]

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA

Pro

f. Ya

nd

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ad

o -

2

Teoria da Computação

Ciência da Computação

Ênfase teórica: idéias fundamentais e modelos computacionais;

Ênfase prática: projeto de sistemas computacionais;

“As tecnologias computacionais são construídas a partir de fundamentos da computação. Aquelas são passageiras,

enquanto estes estão por trás da tecnologia em qualquer tempo.”

Pro

f. Ya

nd

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o -

3


Histórico da Computação:

Computar: do latim “computare”, que

significa calcular, avaliar, contar;

Ábaco – China,

aprox. 3500 a.c.

Máquina de Babbage –

R.U., 1823.

ENIAC – EUA, 1946.

Pro

f. Ya

nd

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o -

4


Os fundamentos estão por trás da

tecnologia em qualquer tempo.

Anos 40 Anos 50 Anos 60 Anos 70 Tempos

atuais

Fundamentos Teóricos da Computação

Tecnologias Computacionais

Pro

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nd

re M

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o -

5

Máquina de Turing

Introduzida por Alan Turing em 1936;

Ferramenta para estudar a capacidade dos processos algorítmicos;

Modelo abstrato, concebido antes mesmo de uma implementação tecnológica;

Pro

f. Ya

nd

re M

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on

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o -

6

Máquina de Turing

Formaliza a idéia de uma pessoa que realiza cálculos;

Simulação de uma situação na qual uma pessoa, equipada com um instrumento de escrita e um apagador, realiza cálculos numa folha de papel;

“A Máquina de Turing ainda hoje é aceita como a formalização de um procedimento efetivo, ou seja, uma seqüência finita de instruções, as quais podem ser realizadas mecanicamente, em tempo finito.” (Menezes, 1998).

Pro

f. Ya

nd

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on

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o -

7

Máquina de Turing

MT pode ser vista como a mais

simples “máquina de computação”,

servindo para determinar quais

funções são computáveis e quais não

são (Delamaro, 1998).

Pro

f. Ya

nd

re M

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on

ad

o -

8

Máquina de Turing

Outros modelos foram propostos, mas todos mostraram ter, no máximo, poder computacional equivalente ao da MT;

Estas são chamadas Máquinas Universais:

Máquinas capazes de expressar a solução para qualquer problema algorítmico.

Pro

f. Ya

nd

re M

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on

ad

o -

9

Máquina de Turing

A Máquina de Turing consiste de:

Uma Unidade de Controle• Que pode ler e escrever símbolos em uma fita por

meio de um cabeçote de leitura e gravação e pode se deslocar para a esquerda ou direita;

A fita estende-se infinitamente em uma das extremidades e é dividida em células. Utilizada como dispositivo de entrada, saída e memória de trabalho;

• Estas células podem armazenar qualquer elemento de um conjunto finito de símbolos, um alfabeto.

Pro

f. Ya

nd

re M

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on

ad

o -

10

Máquina de Turing

Programa ou Função de Transição: função

que comanda as leituras e gravações, o

sentido de movimento da cabeça e define o

estado da máquina que será ativado.

Controle

( )

a b b a b b ...

* Como o símbolo “ ” estabelece o limite da extremidade esquerda da fita, não

se pode apagá-lo e nem realizar movimentos para a esquerda deste símbolo.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

11

Máquina de Turing

Funcionamento da Máquina de Turing A MT deve assumir sempre em um estado,

pertencente à um conjunto finito de estados;

O processamento de uma MT começa sempre em um estado especial, chamado estado inicial;

Inicialmente a primeira célula da fita é preenchida com “ ”, que indica o início da mesma;

A cabeça de leitura é posicionada inicialmente na segunda célula da fita, a célula seguinte a “ ”;

As células em branco, que não fazem parte da palavra a ser processada, são preenchidas com o símbolo “ ”;

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

12

Máquina de Turing

Funcionamento da Máquina de Turing O processamento em uma MT consiste em

uma seqüência de passos que consistem em:

• Observar o estado e o símbolo corrente da fita (aquele em que o cabeçote está posicionado);

• Escrever um símbolo nesta célula da fita;

• Mover o cabeçote para a esquerda ou direita;

• Mudar o estado corrente;

A ação exata a ser executada é determinada por um programa (função de transição) que comunica à unidade de controle o que deve ser feito com base na configuração (estado + símbolo corrente da fita) em que a MT se encontra.

Pro

f. Ya

nd

re M

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on

ad

o -

13

Máquina de Turing

Funcionamento da Máquina de Turing

O processamento cessa quando a máquina atinge uma configuração para a qual não existe função prevista, neste caso:

• Se a máquina estiver com um estado final ativo, a palavra de entrada é aceita;

• Se o estado ativo não for final, a palavra de entrada não é aceita;

• Se a máquina não parar (looping), a entrada de entrada não é aceita.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

14

Máquina de Turing

Definição da MT, uma octupla:

: alfabeto de símbolos de entrada;

Q : conjunto de estados possíveis, o qual é finito;

: programa ou função de transição

: Q ( V { , }) Q ( V { , }) {E, D}

a qual é uma função parcial;

q0 : estado inicial da máquina, q0 Q;

F : conjunto de estados finais, F Q;

V : alfabeto auxiliar (pode ser vazio);

: símbolo especial para células em branco;

: símbolo especial marcador de início da fita.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

15

Máquina de Turing

A Máquina de Turing pode ser empregada

como modelo de natureza reconhecedora

ou transdutora:

Reconhecedora: processa a palavra de

entrada aceitando-a ou rejeitando-a. Neste

caso, o conjunto de palavras aceitas

corresponde à linguagem descrita pela MT;

Transdutora: máquina para computar uma

função. Aplica uma função sobre o conteúdo

inicial da fita e o resultado produzido é

lançado na própria fita.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

16

Máquina de Turing

Representação de MT por diagrama:

Semelhante à representação de AFD;

Os rótulos das setas, que

representam as funções de transição

são de acordo com a seguinte

legenda:

AF

ND

S0 S1 Sf(a1, a2,m) (a1, a2,m)

Indica estado

inicial da MT

Símbolo a

ser lido

Símbolo a

ser gravado

Sentido do

movimento

Estado

final da MT

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

17

Máquina de Turing

Exemplo 1: uma MT transdutora que

devolve o complemento de uma

entrada binária.

S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

AF

ND

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

18

Máquina de Turing

Processamento de “1010”:

S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

1 0 1 0 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S0

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

19

Máquina de Turing


S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

0 0 1 0 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S0

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

20

Máquina de Turing


S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

0 1 1 0 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S0

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

21

Máquina de Turing


S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

0 1 0 0 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S0

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

22

Máquina de Turing


S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

0 1 0 1 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S0

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

23

Máquina de Turing


S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

0 1 0 1 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S1

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

24

Máquina de Turing


S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

0 1 0 1 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S1

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

25

Máquina de Turing


S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

0 1 0 1 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S1

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

26

Máquina de Turing


S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

0 1 0 1 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S1

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

27

Máquina de Turing


S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

0 1 0 1 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S1

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

28

Máquina de Turing


S0 S1 Sf

(0,1,D)

(1,0,D)

( , ,E)

(1,1,E)

(0,0,E)

( , ,D)

0 1 0 1 ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

Sf

* O reposicionamento da cabeça de

leitura na sua posição original pode ser

útil para realizar combinações de

Máquinas de Turing.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

29

Máquina de Turing

Exemplo : uma MT com alfabeto de

entrada {a} que páre se, e somente

se, a palavra de entrada for da forma

a2n para n>=0

S0 S1

Sf

AF

ND (a, a,D)

( , ,D)

(a, a,D)

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

30

Máquina de Turing

Exemplo : Processamento de “aaa”

S0 S1

Sf

AF

ND

(a, a,D)

( , ,D)

(a, a,D)

a a a ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S0

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

31

Máquina de Turing


S0 S1

Sf

AF

ND

(a, a,D)

( , ,D)

(a, a,D)

a a a ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S1

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

32

Máquina de Turing


S0 S1

Sf

AF

ND

(a, a,D)

( , ,D)

(a, a,D)

a a a ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S0

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

33

Máquina de Turing


S0 S1

Sf

AF

ND

(a, a,D)

( , ,D)

(a, a,D)

a a a ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S1

CADEIA REJEITADA

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

34

Máquina de Turing

Exemplo : Processamento de “aaaa”

S0 S1

Sf

AF

ND

(a, a,D)

( , ,D)

(a, a,D)

a a a a ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S0

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

35

Máquina de Turing


S0 S1

Sf

AF

ND

(a, a,D)

( , ,D)

(a, a,D)

a a a a ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S1

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

36

Máquina de Turing


S0 S1

Sf

AF

ND

(a, a,D)

( , ,D)

(a, a,D)

a a a a ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

S0

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

37

Máquina de Turing


S0 S1

Sf

AF

ND

(a, a,D)

( , ,D)

(a, a,D)

a a a a ...

Unidade de

Controle

Estado atual:

Sf

CADEIA RECONHECIDA

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

38

Máquina de Turing

Exercício 1 (lista Yandre 1a):

Construa uma MT transdutora que

receba como entrada um número

binário e devolva o quádruplo do

mesmo.

S0 S1 Sf

(0,0,D)

(1,1,D)

( ,0,D) ( ,0,E)S2

(0,0,E)

(1,1,E)

( , ,D)

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

39

Máquina de Turing

Exercício 2: Construa uma MT com

menor número de estados possível

que reconheça a linguagem denotada

pela ER a(a+b)*, assumindo o

alfabeto {a,b}

S0Sf

AF

ND

(a, a,D)

(a,a,D)

(b,b,D)

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

40

Máquina de Turing




{anbn|n≥0} – (lista Yandre 3c)

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

41

Exercício 3

S0

S2

AF

ND

(B, B,D)

(B,B,D)

Sf( , ,E)

S1

(a,a,D)

(B,B,D)

S3(a,a,E)

(B,B,E)

(b, B,E)

(a, A,D)

(A, A,D)

( , ,D)

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

42

Máquina de Turing




{W pertence {a,b}| o número de a s

em W é igual ao número de b s}.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

43

Exercício 4

S0

S2

AF

ND

(b, B,D)

(b,b,D)

(A,A,D)

S4(a, A,E)

S1

(B,B,D)

(a,a,D)

S3

(a,a,E)

(B,B,E)

(A,A,E)

(b,b,E)

(b, B,E)

(a, A,D)

(<, <,D)

(<, <,D)

Sf( , ,E)

(a,a,E)

(B,B,E)

(A,A,E)

(b,b,E)

(B,B,D)

(A,A,D)

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

44

Máquina de Turing



que reconheça por estado final e com

cabeçote imóvel a seguinte linguagem

de alfabeto {a,b,c,d}

{ambncmdn | m, n pertence a N}

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

45

S0

S2

AF

ND

(b, B,D)

(b,b,D)

(D,D,D)

(C,C, D)

S4(d, D,E)

S1

(B,B,D)

(a,a,D)

(b,b,D)

S3

(a,a,E)

(C,C,E)

(b,b,E)

(c, C,E)

(a, A,D)

(A, A,D)

(B, B,D)

Sf( , ,E)

(D,D,E)

(C,C,E)

(b,b,E)

(C,C,D)

(D,D,D)

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

46

Exercícios para casa:

1. Construa uma Máquina de Turing para a seguinte

linguagem (com o mínimo de estados):

{ anbncn| n≥0}

(Yandre 3d)

2. Construa uma MT que reconheça a linguagem { w

pertence {a,b}*| w ≠ wR}, ou seja, o conjunto das

palavras sobre {a,b} que não são palíndromos.

3. Construa uma MT com fita bidirecional e alfabeto {a} que

pare se a fita contiver célula em branco.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

47

Exercício 2

S0

S2

AF

ND

(b, ,D)

(a,a,D)

(b,b,D)

S4( , ,E)

S1

(b,b,D)

(a,a,D)

S3(a, ,D)

S6( , ,D)

Sf

( , ,E)

(a, ,E)

(b, ,E)

S5

( , ,E)

(a,a,D)

Sf

(b,b,E)

(a,a,E)

(b,b,E)

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

48

Máquina de Turing

Máquina de Turing

Dada a sua natureza conceitual, a MT pode

ser implementada de diversas formas;

Os computadores modernos são MT (exceto

pelo fato de terem memória finita)

• O processador corresponde à unidade de

controle, cujos estados podem ser definidos pelos

padrões de bits que podem ser associados aos

registradores;

• A memória da máquina corresponde ao sistema

de armazenamento em fita;

• Os padrões de bits (0 e 1) correspondem ao

alfabeto da fita.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

49

Máquina de Turing

Importância da MT para a Ciência da

Computação:

A potência computacional da MT é tão

grande quanto a de qualquer sistema

algorítmico;

Se um problema não puder ser resolvido por

uma MT, não poderá ser resolvido por

qualquer sistema algorítmico;

MT representa a fronteira teórica da

capacidade computacional para as

máquinas modernas reais.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

50

MÁQUINA UNIVERSAL

Se for possível representar qualquer

algoritmo como um programa em uma

máquina simples e poderosa então tal

máquina é de fato uma MÁQUINA

UNIVERSAL

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

51

Máquina deveria ser Simples

para permitir estudos de propriedades sem a necessidade de considerar características não-relevantes, bem como permitir estabelecer conclusões gerais sobre a classe de funções computáveis

Poderosa

capaz de simular qualquer característica de máquinas reais ou teóricas, de tal forma que os resultados provados fossem válidos para modelos aparentemente com mais recursos e para que qualquer função computável possa ser nela representada.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

52

Máquinas Universais

As evidências de que máquina é de fato

universal, podem se classificadas como:

EVIDÊNCIA INTERNA

Demonstração de que qqr extensão das

capacidades da máquina proposta computa,

no máximo a mesma classe de funções, ou

seja, não aumenta o poder computacional

EVIDÊNCIA EXTERNA

Consiste no exame de outros modelos que

definem a noção de algoritmo, juntamente

com a prova de que são, no máximo,

computacionalmente equivalentes.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

53


O modelo de máquina universal mais

utilizado é a Máquina de TURING

• A MT possui tantas células de

armazenamento de dados quanto

necessário

• Em 1936, Alonzo Church apresentou a

• Hipótese de Church

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

54


Hipótese de Church:

• Qualquer função computável pode ser processada por uma MT, ou seja,

• Existe um algoritmo expresso na forma de MT capaz de processar a função.

• Mas essa noção intuitiva de algoritmo não é matematicamente precisa.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

55


Modelos equivalentes à MT:

Máquina Norma

• Máquina de registradores onde o conjunto de

registradores é infinito

Máquina de Post

• Baseada na estrutura de dados do tipo fila (o

primeiro dado armazenado é o primeiro a ser

recuperado)

Máquinas com Pilhas

• São necessárias pelo menos duas pilhas para

simular o mesmo poder computacional de um fita

ou fila

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

56

Extensões da MT não aumentam

seu poder computacional

Extensões:

Não determinismo:

• Permite que a máquina possa tentar

diversos caminhos alternativos para uma

mesma situação

Múltiplas fitas

Múltiplas unidades de controle

Fitas infinitas nas duas extremidades

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

57

Máquinas de Turing

Existem 3 maneiras de abordar o estudo das

Máquinas de Turing e de seus modelos

equivalentes:

Reconhecimento de Linguagens

• Linguagens que podem ser reconhecidas e suas propriedades

Processamento de Funções

• Funções computáveis e suas propriedades

Solucionabilidade de Problemas: problemas

solucionáveis e não-solucionáveis, problemas

parcialmente solucionáveis (computáveis) e

completamente insolúveis (não computáveis) e suas

propriedades.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

58

Máquina de Turing

Reconhecimento de Linguagens

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

59

Máquinas que param sempre

e que param se aceitam.

MT que aceitam a linguagem das

palavras no alfabeto {a,b,c} que não

têm ab como prefixo, ou seja, {a,b,c}*-

({ab}{a,b,c}*)

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

60

Máquinas que param sempre

e que param se aceitam.

S0 S1(a,a,D) (b,b,E)S2

S0 S1

(a,a,D)

(b,b,E)

Máquina que pára sempre

Máquina que pára se aceita

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

61

MT como Reconhecedores de

Linguagens

A linguagem aceita por M, denotada por

ACEITA(M) ou L(M), é o conjunto de todas as

palavras pertencentes a * aceitas por M, ou

seja:

ACEITA(M)=

{w M ao processar w *, pára em um estado

qf F}

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

62


Linguagens

A linguagem rejeitada por M, denotada por

REJEITA(M), é o conjunto de todas as palavras

de * rejeitadas por M, ou seja:

REJEITA(M) = {w M ao processar w *, pára

em um estado q F}

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

63


Linguagens

A linguagem para a qual M fica em loop infinito,

denotada por LOOP(M) é conjunto de todas as

palavras de * para as quais M fica

processando indefinidamente.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

64


Linguagens

ACEITA(M) REJEITA(M)

LOOP(M)

*

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

65


Linguagens

ACEITA(M) REJEITA(M) =

ACEITA(M) LOOP(M) =

REJEITA(M) LOOP(M) =

ACEITA(M) REJEITA(M) LOOP(M) =

ACEITA(M) REJEITA(M) LOOP(M) = *

ACEITA(M) REJEITA(M)

LOOP(M)

*

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

66


Linguagens

Critério para o Reconhecimento de Linguagens.

• Se a máquina pára para toda palavra da

linguagem sobre o alfabeto de entrada, ela

é reconhecida pela Máquina de Turing.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

67

Linguagem Enumerável

Recursivamente

Uma linguagem aceita por uma Máquina de

Turing é dita enumerável recursivamente.

Enumerável deriva do fato de que as

palavras de qualquer linguagem enumerável

recursivamente podem ser enumeradas ou

listadas por uma Máquina de Turing.

Recursivamente é um termo matemático,

anterior ao computador, com significado

similar ao de recursão, utilizado na

computação.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

68

Linguagem Enumerável Recursivamente

A classe das Linguagens Enumeráveis

Recursivamente inclui as

linguagens livre do contexto e algumas

outras linguagens para as quais não se

pode, mecanicamente, determinar se uma

dada palavra pertence ou não à linguagem.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

69

Linguagem Enumerável Recursivamente

Se L é uma dessas linguagens, então para qualquer máquina M

que aceita a linguagem L, existe pelo menos uma palavra w, não

pertencente a L, que, ao ser processada por M, resulta que a

máquina entre em loop infinito.

Se w pertence a L, M pára e aceita a entrada

Se w não pertence a L, M pode parar, rejeitando a palavra, ou

permanecer processando indefinidamente (loop).

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

70

Exemplos Linguagem Enumerável Recursivamente

As seguintes linguagens são exemplos de linguagens Enumeráveis

Recursivamente:

Duplo_Bal = { anbn |n 0}

Triplo_Bal = { anbncn | n 0}

Palavra_Palavra = { ww | w é palavra sobre os símbolos a

e b}

{ w / w tem o mesmo número de símbolos a que b}

{ ai bj ck | i=j ou j=k}

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

71

Classe das Linguagens Recursivas

Uma sub-classe da Classe das

Linguagens Enumerável

Recursivamente, denominada

Classe das Linguagens Recursivas, é

composta pelas linguagens para as

quais existe pelo menos uma

Máquina de Turing que pára para

qualquer entrada, aceitando ou

rejeitando.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

72

Classe das Linguagens

Recursivas

Definição Linguagem Recursiva

Uma linguagem é dita recursiva se

existe uma Máquina de Turing tal que:

• ACEITA(M) = L

• REJEITA(M) = * - L.

• LOOP(M) =

A máquina

não entra

em loop

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

73

Classe das Linguagens

Recursivas

Pode-se afirmar que a classe das

Linguagens Recursivas representa todas as

linguagens que podem ser reconhecidas

mecanicamente.

Existem conjuntos que não são

Enumeráveis Recursivamente, ou seja,

linguagens para as quais não é possível

desenvolver uma MT que as reconheça.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

74

Propriedades das Linguagens Recursivas

Se uma linguagem L sobre um alfabeto

qualquer é recursiva, então seu

complemento, ou seja, *-L, é recursivo.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

75


Uma linguagem L sobre um alfabeto

qualquer é recursiva se, e somente se, L e

seu complemento são enumeráveis

recursivamente.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

76


A Classe das Linguagens Recursivas está

contida propriamente na Classe das

Linguagens Enumeráveis Recursivamente.

Linguagens Enumeráveis Recursivamente

Linguagens Recursivas

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

77

Linguagens Enumeráveis

Recursivamente.

Máquina de Turing

entrada aceitarejeita

Loop

Não pára

TURING

RECONHECÍVEL

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

78

Linguagens Recursiva

Param para toda entrada

Máquina de Turing

entrada aceita

rejeita

TURING DECIDÍVEL

A MT sempre pára

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

79

Linguagens Recursiva

TURING DECIDÍVEIS

As linguagens decidíveis são

fechadas sob as operações

União,

Concatenação

Kleene,

Complemento

Interseção

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

80

Linguagem Recursiva

Enumeráveis

TURING RECONHECÍVEIS

As linguagens RECURSIVAS

ENUMERÁVEIS são fechadas sob as

operações

União,

Concatenação

Kleene,

Interseção

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

81

Toda linguagem DECIDÍVEL é

TURING RECONHECÍVEL

Nem toda linguagem TURING

RECONHECÍVEL é TURING

DECIDÍVEL

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

82

DECIDIBILIDADE

Na teoria da computação e na teoria

da complexidade computacional um

problema de decisão é uma questão

sobre um sistema formal com uma

resposta do tipo

Sim ou não

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

83

DECIDIBILIDADE

Dados dois números

X e Y

Y é divisível por X?

Dado um número inteiro x

X é número primo?

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

84

DECIDIBILIDADE

Um problema de decisão também

pode ser formalizado como o

problema de verificar se determinada

CADEIA DE CARACTERES pertence

ou não a uma linguagem formal

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

85

DECIDIBILIDADE

Um problema de decisão é chamado

DECIDÍVEL ou EFETIVAMENTE

SOLÚVEL se tem uma representação

na qual o conjunto de strings aceito é

um LINGUAGEM RECURSIVA.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

86

DECIDIBILIDADE


SEMI-DECIDÍVEL ou SOLÚVEL ou

PROVÁVEL se tem uma

representação na qual o conjunto de

strings aceito é um LINGUAGEM

RECURSIVAMENTE ENUMERÁVEL.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

87

DECIDIBILIDADE


INDECIDÍVEL ou INSOLÚVEL ou

IMPROVÁVEL se

NÃO HÁ UMA MÁQUINA DE

TURING QUE O SOLUCIONE

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

88

DECIDIBILIDADE

Um exemplo clássico de um problema

de decisão é o conjunto dos número

primos:

É possível decidir efetivamente se um

número natural é primo

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

89

DECIDIBILIDADE

Problemas de decisão INDECIDÍVEIS

incluem o PROBLEMA DA PARADA

“Dada uma MT arbitrária M e uma palavra

arbitrária w, determinar se a computação

de M com entrada w pára”

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

90

Exercício

Sejam L uma LRE e R uma linguagem

recursiva, mostre:

a) L – R é uma LRE

Tem-se que L – R = L∩R.

Como R é uma LRec e a clase das LRecs

é fechada sob complementação, tem-se

que R também é uma LRec e,

portanto,uma LRE. Como a classe das

LREs é fechada sob interseção,L∩R é

uma LRE. Logo, L – R é uma LRE.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

91

Exercício


recursiva, mostre:

L – R pode não ser recursiva

Seja R = ø uma LR e, portanto, uma LRec.

Então, L – R = L – ø = L. Logo, se L for uma

LRE não recursiva, então L-R pode não

ser recursiva.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

92

Exercício


recursiva, mostre:

R - L pode não ser um LRE

Seja R = Σ* uma LR e, portanto, uma LRec.

Então, R - L = Σ* – L = L. Como a classe das

LRE não é fechada sob complementação,

L pode não ser uma LRE.

Pro

f. Ya

nd

re M

ald

on

ad

o -

93

Bibliografia

BROOKSHEAR, J. G. Ciência da Computação. Porto Alegre: Bookman, 2000;

DELAMARO, Márcio Eduardo. Linguagens Formais e Autômatos. Maringá: UEM, 1998;

HOPCROFT, J. E. & ULLMAN, J. D. Formal Languages and Their Relation to Automata. Addison-Wesley, 1969;

MENEZES, Paulo Blauth. Linguagens Formais e Autômatos. Porto Alegre: Editora Sagra-Luzzatto, 1998;

VIEIRA, Newton José. Introdução aos Fundamentos da Computação. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.

máquina de turing - infouem.com.br · • que pode ler e escrever símbolos em uma fita por ......

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