Informática Teórica

Engenharia da Computação

Máquinas de Turing

Agora nos voltamos para um modelo muito mais poderoso, proposto por Alan Turing em 1936, chamado máquina de Turing.

Semelhante a um autômato finito, mas com uma memória ilimitada e irrestrita, uma máquina de Turing é um modelo muito mais acurado de um computador de propósito geral.

Uma máquina de Turing pode fazer tudo que um computador real pode fazer.

Entretanto, mesmo uma máquina de Turing não pode �resolver certos problemas.

Modelo de Máquina de Turing

Usa uma fita infinita como sua memória ilimitada. A fita tem uma cabeça que pode ler e escrever símbolos

e mover-se sobre a fita. Inicialmente, a fita contem apenas a cadeia de entrada e

está em branco em todo o restante. Se a máquina precisa armazenar informação, ela pode

escrevê-la sobre a fita. Para ler a informação que ela escreveu, a máquina pode

mover sua cabeça de volta para a posição onde a informação foi escrita.

Modelo de Máquina de Turing

A máquina continua a computar até que ela decida produzir uma saída.

As saídas aceite e rejeite são obtidas entrando em estados designados de aceitação e de rejeição.

Se não entrar num estado de aceitação ou de rejeição, ela continuará para sempre, nunca parando.

MT AFs

1. Uma máquina de Turing pode tanto escrever sobre a fita quanto ler a partir dela.

2. A cabeça de leitura escrita pode mover-se tanto para a esquerda quanto para a direita.

3. A fita é infinita.

4. Os estados especiais para rejeitar e aceitar fazem efeito imediatamente.

MTExemplo

Seja B = {w#w | w f{0,1}*}. Queremos que M1 aceite se sua entrada é um membro de B e rejeite caso contrário.

MTExemplo

Faça um zigue-zague ao longo da fita para posições correspondentes sobre qualquer dos lados do símbolo # para verificar se elas contem o mesmo símbolo.

Se eles não contem, ou se nenhum # for encontrado, rejeite.

Marque os símbolos a medida que eles são verificados para manter registro de quais símbolos têm correspondência.

Quando todos os símbolos a esquerda do # tiverem sido marcados, verifique a existência de algum símbolo remanescente a direita do #. Se resta algum símbolo, rejeite, caso contrário, aceite..

MTDefinição Formal

O coração da definifição de uma máquina de Turing é a função de transição.

: QQ{E,D}.

Quando a MT está em um certo estado q e a cabeça está sobre uma célula da fita contendo um símbolo a e se (q,a) = (r,b,E), a máquina escreve o símbolo b substituindo o a e vai para o estado r. O terceiro componente é E ou D e indica se a cabeça move para a esquerda ou direita após escrever.

MTDefinição Formal

Uma máquina de Turing é uma 7-upla, (Q,,,,q0, qaceita, qrejeita), onde Q, , são todos conjuntos finitos e

1. Q é o conjunto de estados,

2. é o alfabeto de entrada não contendo o símbolo em branco ᶸ

3. é o alfabeto da fita, onde ᶸ e ,4. : QQ{E,D} é a função de transição,

5. q0 Q é o estado inicial,

6. qaceita Q é o estado de aceitação, e

7. qrejeita Q é o estado de rejeição, onde qrejeita qaceita.

MTComputação

Inicialmente M recebe sua entrada w = w1w2 ...wn *

sobre as n células mais a esquerda da fita, e o restante da fita está em branco (i.e., preenchido com símbolos em branco).

A cabeça começa sobre a célula mais à esquerda da fita.

Note que não contem o símbolo em branco, portanto o primeiro branco aparecendo sobre a fita marca o fim da entrada.

MTComputação

M se move de acordo com a função de transição.

Se M em algum momento tentar mover sua cabeça para a esquerda além da extremidade esquerda da fita, a cabeça permanece no mesmo lugar para aquele movimento, muito embora a função de transição indique E.

A computação continua até que ela entra ou no estado de aceitação ou de rejeição em cujo ponto ela pára.

Se nenhum desses ocorre, M continua para sempre.

MTConfiguração

A medida que uma máquina de Turing computa, mudanças ocorrem no estado atual, no conteúdo atual da fita e a posição atual da cabeça.

Um possível valor desses três itens é denominado configuração da máquina de Turing.

MTConfiguração

Para um estado q e duas cadeias u e v sobre o alfabeto da fita , escrevemos uqv para a configuração na qual o estado atual é q, o conteúdo atual da fita é uv e a posição atual da cabeça é sobre o primeiro símbolo de v.

A fita contem apenas brancos após o último símbolo de v.

MTConfiguração: exemplo

1011q01111

Representa a configuração quando a fita é 101101111, o estado atual é q, e a cabeça está atualmente sobre o segundo 0.

q

1 ᶸ11110110 ᶸ ...

MTComputação: definição formal

Dizemos que a configuração C1 origina a configuração C2, se a máquina de Turing puder ir de C1 para C2 em um único passo.

Suponha que temos a, b e c em , u e v em * e os estados qi e qj .

ua qi bv origina u qj acv se:

(qi,b) = (qj,c,E).

Isso cobre o caso em que a máquina de Turing move para a esquerda.

MTComputação: definição formal

Para um movimento para a direita, digamos que

ua qi bv origina uac qj v se:

(qi,b) = (qj,c,D).

MTComputação: definição formal

Casos especiais ocorrem quando a cabeça estiver em uma das extremidades da configuração.

Para a extremidade esquerda:

qi bv origina qj cv Se a transição envolver um movimento para a

esquerda (porque cuidamos para que a máquina não passe da extremidade esquerda da fita),

qi bv origina c qj v para a transição que envolve um movimento para a

direita.

MTComputação: definição formal

Para a extremidade direita:

ua qi é equivalente a ua qi ᶸ

porque assumimos que brancos vêm após a parte da fita representada na configuração.

MTComputação: definição formal

A configuração inicial de M sobre a entrada w é

qo w

A máquina está no estado inicial q0 com sua cabeça na posição mais à esquerda sobre a fita.

MTComputação: definição formal

Em uma configuração de aceitação, o estado da configuração é qaceita.

Em uma configuração de rejeição, o estado da configuração é qrejeita.

Configurações de aceitação e de rejeição são configurações de parada e portanto não originam configurações adicionais.

MTComputação: definição formal

Uma MT M aceita a entrada w se uma sequência de configurações C1, C2, ..., Ck existe, onde

1. C1 é a configuração inicial de M sobre a entrada w,

2. cada Ci origina Ci+1 e

3. Ck é uma configuração de aceitação.

A coleção de cadeias que M aceita é a linguagem de M, ou a linguagem reconhecida por M, denotada L(M).

MTLinguagem Recursivamente Enumerável

Chame uma linguagem de Turing-reconhecível (ou recursivamente enumerável) se alguma máquina de Turing a reconhece.

MTDecisores

Quando iniciamos uma MT sobre uma entrada, três resultados são possíveis. A MT pode aceitar, rejeitar, ou entrar em loop.

As MTs que são chamadas de decisores, sempre tomam uma decisão de aceitar ou rejeitar.

Um decisor que reconhece alguma linguagem também

é dito decidir essa linguagem.

MTLinguagem Recursiva

Chame uma linguagem de Turing-decidível ou simplesmente decidível se alguma máquina de Turing a decide.