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Máquina de Turing
Teoria da Computação
Máquina de Turing
Wellington Aparecido Della Mura
Universidade Estadual do Norte do Paraná
Centro de Ciências Tecnológicas
Wellington Aparecido Della Mura Teoria da Computação
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Aulas anteriores
Linguagens Livres de Contexto
Autômatos com Pilha
Poder de reconhecimento do AP
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Aula de hoje
Objetivo: Introduzir a Máquina de TuringHistórico
Noção intuitiva e formal
Modelos equivalentes
Hipótese de Church
Motivação
É a formalização mais utilizada de algoritmo;
Seu funcionamento é base para a computação atual;
Serve para o entendimento da noção de computabilidade.
Existem mais problemas não solucionáveis do quesolucionáveis.
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Contextualização
David Hilbert (1928) propôs o Problema de DecisãoExiste um procedimento mecânico capaz de decidir, emtempo �nito, se uma proposição é válida ou não?
Kurt Gödel (1931) propôs o Teorema da Não CompletudeProvando a existência de proposições indecidíveis
Máquinas Universais:Máquina de TuringMáquinas com pilhasMáquina de PostMáquina NormaFunções Recursivas de KleeneCálculo Lambda
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Histórico
A Máquina de Turing foi proposta porAlan Turing em 1936.
O primeiro formalismo com a noção dealgoritmos e do que seria computável.
Algoritmo
Sequência �nita de instruções discretas realizadasmecanicamente em um tempo �nito.
Hipótese de Church: qualquer função computável podeser processada por uma Máquina de Turing.
Noção de algoritmo não é matematicamente precisa.
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Aplicabilidade da Máquina de Turing
Processamento de FunçõesConceito de funções computáveis e suas propriedades
Reconhecimento de LinguagensFormalismo reconhecedor de linguagens RecursivamenteEnumeráveis
Solucionabilidade de ProblemasDe�nir se os problemas são solucionáveis, nãosolucionáveis, parcialmente solucionáveis ou insolúveis.
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Noção Intuitiva
Mecanismo simples que formaliza a ideia de uma pessoaque realiza cálculos.Uma pessoa, equipada com uma caneta e um apagador,realiza cálculos em uma folha de papel, organizada emquadrados.Os quadrados contém apenas dados iniciais do problema.A pessoa realiza operações simples:
1 Ler um símbolo do quadrado;2 Alterar um símbolo do quadrado;3 Mover os olhos para outro quadrado (esquerda/direita)
O comportamento, a cada momento, é determinado peloestado presente e o símbolo no quadrado atual.Termina quando chega em uma resposta satisfatória.
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Noção como Máquina
A noção de uma pessoa calculando pode ser vista como umamáquina de estados �nitos formada por:
Fita: que serve de dispositivo de entrada, de saída ememória de trabalho.
Unidade de Controle: representa o estado corrente damáquina e possui uma unidade de leitura e gravação.Pode de movimentar para a esquerda ou para a direita.
Função de transição (programa): De�ne o próximo estadoda máquina, comanda as leituras, gravações e a direçãode movimento da leitura.
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Representação Grá�ca da Máquina
A �ta é �nita à esquerda e in�nita à direitaSímbolo na �ta pode pertencer ao alfabeto de entrada, aoalfabeto auxiliar, ser branco ou marcar o início de �ta.Inicialmente a única informação que existe na �ta é seumarcador de início seguido da entrada.
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IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Representação Formal
M = 〈Σ, Q, δ, q0, F, V, β,Θ〉
Σ: alfabeto de símbolos de entrada;
Q: conjunto �nito de estados possíveis da máquina;
δ: é a função de transição (programa) tal que:δ : Q×(Σ∪V ∪{β,Θ})→ Q×(Σ∪V ∪{β,Θ})×{E,D}q0: estado inicial tal que q0 ∈ Q;F : conjunto de estados �nais tal que F ⊆ Q;
V : é um alfabeto auxiliar (pode ser vazio);
β: é o símbolo especial branco;
Θ: é o marcador de início de �ta.
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Função de Transição
A Função de Transição:
Considera o estado corrente e o símbolo lido na �ta.
Determina um novo estado, o símbolo a ser gravado na�ta e o sentido do movimento da cabeça de leitura.
A transição δ(p, x) = (q, y,m) é representada por:
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Computação da Máquina de Turing
O processamento para uma entrada w consiste em:
Aplicação sucessiva da função programa a partir do estadoinicial q0 e da cabeça posicionada mais à esquerda da �ta.
A execução da função programa ocorre até que se atinjauma condição de parada.
O processamento pode:
parar; ou
�car processando inde�nidamente(ciclo ou loop in�nito).
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Condição de Parada
A parada do processamento de uma Máquina de Turing parauma entrada w pode acontecer de duas maneiras:
Aceita a entrada w.Quando atinge o estado �nal e a máquina para;
Rejeita a entrada w. Quando:A função programa é inde�nida; ouA função programa de�ne um movimento à esquerda noinício da �ta.
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Linguagens Aceita, Rejeitada e Loop
Seja M = 〈Σ, Q, δ, q0, F, V, β,Θ〉 uma Máquina de Turing,então:
A linguagem aceita (reconhecida) por M é denotada porACEITA(M) ou L(M).A linguagem rejeitada por M é denotada porREJEITA(M).A linguagem loop de M , denotada por LOOP (M).
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Exemplo: Problema do Duplo Balanceamento
Seja uma MT que aceite a linguagem L = {anbn | n ≥ 0}
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Máquina de Turing
IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Exemplo: Função de Transição
δ Θ a b A B βq0 (q0,Θ, D) (q1, A,D) (q3, B,D) (q4, β,D)q1 (q1, a,D) (q2, B, E) (q1, B,D)q2 (q2, a, E) (q0, A,D) (q2, B, E)q3 (q3, B,D) (q4, β,D)q4
Dada a entrada w = aabb, os passos de processamento são:
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IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Máquina de Turing x Algoritmo
A Máquina de Turing é aceita como uma formalização doconceito de algoritmo.
É usual considerar como conceito de algoritmo:Máquina de Turing que sempre para a qualquer entrada.
Uma máquina que eventualmente �ca em loop in�nito:Não seria considerada um algoritmo.
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IntroduçãoNoção intuitiva e formalModelos equivalentes à Máquina de TuringHipótese de Church
Modelos Equivalentes à Máquina de Turing
A Máquina de Turing é considerada o mais geral dispositivo decomputação
Todos os demais modelos e máquinas propostosNormaPostAutômato com Pilha
As diversas modi�cações da Máquina de Turing
Possuem, no máximo, o mesmo poder computacional daMáquina de Turing.
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Autômato com Múltiplas Pilhas
O autômato com pilha é um formalismo reconhecedor daslinguagens livres de contexto.
Um autômato com duas pilhas possui o mesmo poder deuma MT;
Um maior número de pilhas não aumenta a capacidadecomputacional;
A estrutura de �ta é mais expressiva do que a de pilha.
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MT com Fita In�nita à Esquerda e à Direita
Uma MT com �ta in�nita dos dois lados não aumenta o podercomputacional.
Pode ser facilmente simulada por uma �ta tradicional:Células pares: parte direita da �ta; eCélulas ímpares: parte esquerda da �ta.
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Outras modi�cações da Máquina de Turing
Máquina de Turing Não-Derminística
Máquina de Turing com Múltiplas Fitas
Máquina de Turing Multidimensional
Máquina de Turing com Múltiplas Cabeças
Modi�cações combinadas
A combinação de algumas ou todas as modi�cações nãoaumenta o poder computacional da Máquina de Turing
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Hipótese de Church
Objetivo do modelo abstrato de computação Máquina deTuring:
Explorar os limites da capacidade de expressar soluções deproblemas;
Uma proposta de de�nição formal da noção intuitiva dealgoritmo;
Existiram diversos outros trabalhos equivalentes ao de Turing,como:
1 Máquina de Post (Post - 1936)2 Funções Recursivas (Kleene - 1936)
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Hipótese de Church (cont.)
Forte reforço da Hipótese de (Turing-) Church
"A capacidade de computação representada pela Máquina de
Turing é o limite máximo que pode ser atingido por qualquer
dispositivo de computação".
Remete ao conceito de Máquinas Universais
Hipótese de Church não é demonstrávelUm algoritmo ou função computável não ématematicamente preciso.Não há como de�nir o conjunto de todas as máquinaspossíveis.
Reconhecida para toda a teoria da computação clássica.Wellington Aparecido Della Mura Teoria da Computação
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Revisão
1 De�nição de algoritmo2 Noção intuitiva da MT3 Modelo formal da MT4 Condições de parada e loop
5 Modelos equivalentes à MT6 Hipótese de Church
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Exercícios
Lista de Exercícios
Ferramenta para simulação da MT: JFLAP(http://www.j�ap.org/)
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Próxima Aula
Máquina de Turing como Reconhecedor de Linguagem
Máquina de Turing como Processador de Funções
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Bibliogra�a
MENEZES, P. B. Linguagens Formais e autômatos.v.3, 6a ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (cap.8)
DIVERIO, T. A.; MENEZES, P. B. Teoria daComputação: máquinas universais e computabilidade.v. 5, 3a ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.(cap.5)
LEWIS, H. R.; PAPADIMITRIOU, C. H. Elementos eTeoria da Computação. v. 2. Porto Alegre: Bookman,2000.(cap.4)
HOPCROFT J. E.; MOTWANI H. ; ULLMAN J. D.Introduction to Automata Theory, Languages, andComputation. v.2. Addison-Wesley, 2001.(cap.8)
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