1 máquina de turing universal. 2 máquinas de turing são “ hardwired ” elas executam um único...
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Máquina de Turing Universal
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Máquinas de Turing são “hardwired”
elas executamum único programa
Uma limitação de Máquinas de Turing:
Computadores reais são programáveis
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Solução: Máquina de Turing Universal
• Máquina programável
• Simula qualquer outra Máquina de Turing
Atributos:
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Máquina de Turing Universal
simula qualquer Máquina de TuringM
Entrada da Máquina de Turing Universal:
Descrição das transições deM
Conteúdo inicial da fita deM
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Máquina de TuringUniversal M
Descrição de
Conteúdo da fita de
M
Estado deM
Três fitas
Fita 2
Fita 3
Fita 1
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Descrevemos uma Máquina de Turingcomo um string de símbolos:
Codificamos como um string de símbolos
M
M
Descrição de M
Fita 1
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Alfabeto de Codificação
Símbolos: a b c d
Codificação: 1 11 111 1111
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Codificação de estados
Estados: 1q 2q 3q 4q
Codificação: 1 11 111 1111
Codificação do movimento da cabeça da fita
Movimento:
Codificação:
L R
1 11
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Codificação de Transição
Transição: ),,(),( 21 Lbqaq
Codificação: 10110110101
separador
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Codificação da Máquina
Transições:
),,(),( 21 Lbqaq
Codificação:
10110110101
),,(),( 32 Rcqbq
110111011110101100
separador
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Conteúdo da fita 1 da MT Universal:
codificação da máquina a ser simulada na forma de um string binário de 0’s e 1’s
M
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Uma Máquina de Turing é descritacomo um string binário de 0’s e 1’s
O conjunto de todas as Máquinas de Turing forma uma linguagem:
cada string da linguagem éo código binário de uma Máquina de Turing
Portanto:
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Linguagem das Máquinas de Turing
L = { 010100101,
00100100101111,
111010011110010101, …… }
(Máquina deTuring 1)
(Máquina deTuring 2)
……
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Conjuntos Contáveis
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Conjuntos infinitos são: Contáveis
ou
Não Contáveis
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Conjunto Contável:
Existe uma correspondência biunívocaentreelementos do conjuntoe números naturais
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Exemplo:
Inteiros pares: ,6,4,2,0
o conjunto dos inteiros positivos pares é contável
Números naturais:
Correspondência:
n2 corresponde a
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Exemplo: O comjunto dos números racionaisé contável
Números racionais: ,87,43,21
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Prova ingênua
Números racionais: ,31,21,11
Números naturais:
Correspondência:
Não funciona:
nunca iremos contar números com numerador 2:
,32,22,12
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Abordagem melhor
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21
31
41
12
22
32
13
23
14
21
11
21
31
41
12
22
32
13
23
14
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21
31
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23
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24
11
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25
11
21
31
41
12
22
32
13
23
14
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Números racionais: ,22,31,12,21,11
Correspondência:
Números naturais:
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Provamos:
O conjuntos dos números racionais é contável,descrevendo um procedimento de enumeração
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Definição
Um procedimento de enumeração para é uma Máquina de Turing que geratodos os strings de , um por um
Seja um conjunto de strings S
S
S
e
cada string é gerado em tempo finito
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Enumerador para
,,, 321 sss
Ssss ,,, 321
tempo finito: ,,, 321 ttt
strings
Ssaída
(na fita)
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Máquina EnumeradoraConfiguração
Instante 0
0q
Instante
sq
1x 1s#1t
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Instante
sq
3x 3s#3t
Instante
sq
2x 2s#2t
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Um conjunto é contável de existe umprocedimento de enumeração para ele
Observação:
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Exemplo:
O conjunto dos stringsé contável
},,{ cba
Vamos descrever um procedimento de enumeração
Prova:
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Procedimento ingênuo:
Produzir os strings em ordem lexicográfica:
aaaaaa
......
Não funciona: strings que começam com nunca serão produzidos
b
aaaa
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Procedimento melhor:
1. Produza todos os strings de comprimento 1
2. Produza todos os strings de comprimento 2
3. Produza todos os strings de comprimento 3
4. Produza todos os strings de comprimento 4
..........
Ordem Própria
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Produza strings em Ordem Própria:
aaabacbabbbccacbcc
aaaaabaac......
comprimento 2
comprimento 3
comprimento 1abc
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Teorema:
O conjunto de todas as Máquinas de Turing é contável
Prova:
Vamos mostrar um procedimento deenumeração para o conjunto de stringsque representam Máquinas de Turing
Qualquer Máquina de Turing pode ser codificada como um string de 0’s e 1’s
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1. Gere o próximo string binário de 0’s e 1’s na ordem própria
2. Verifique se o string descreve uma Máquina de Turing se SIM:SIM: imprima o string na fita se NÃO:NÃO: ignore o string
Procedimento de enumeração:
Repita
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Conjuntos Não Contáveis
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Teorema:
Seja um conjunto infinito contável
O conjunto potência de :não é contável
S2S
S
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Prova:
Como é contável, podemos escreverS
},,,{ 321 sssS
Elementos deS
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Elementos do conjunto potência têm a forma:
},{ 31 ss
},,,{ 10975 ssss
……
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Podemos codificar cada elemento do conjuntopotência como um string binário de 0’s e 1’s
1s 2s 3s 4s
1 0 0 0}{ 1s
elementos doconj. potência
Codificação
0 1 1 0},{ 32 ss
1 0 1 1},,{ 431 sss
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Vamos supor, por contradição, que o conjunto potência seja contável.
Então: podemos enumeraros elementos do conjunto potência
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1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 0 0 1
elementos do conj. potência Codificação
1t
2t
3t
4t
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Tome o conjunto cuja codificação é a sequência dos bits que são os complementos dos bits da diagonal
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1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 0 0 1
1t
2t
3t
4t
Novo conjunto: 0011
(complemento binário da diagonal)
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o novo conjunto deve ser algum elemento do conjunto potênciait
Entretanto, isso é impossível:
o i-ésimo bit de deve sero complemento dele próprio
pela definição de :it
it
Contradição!!!
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Como temos uma contradição:
O conjunto potência of não é contável
S2 S
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Uma Aplicação: Linguagens
Alfabeto Exemplo : },{ ba
O conjunto de todos os Strings:
},,,,,,,,,{},{ * aabaaabbbaabaababaS infinito e contável
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Alfabeto Exemplo : },{ ba
O conjunto de todos os Strings:
},,,,,,,,,{},{ * aabaaabbbaabaababaS infinito e contável
Uma linguagem é um subconjunto de :
},,{ aababaaL
S
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Alfabeto Exemplo : },{ ba
O conjunto de todos os Strings:
},,,,,,,,,{},{ * aabaaabbbaabaababaS
infinito e contável
O conjunto potência de consiste de todas as linguagens sobre o alfabeto:
}},,,}{,{},{},{{2 aababaabaaS 1L 2L 3L 4L
não contável
S
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Conjunto de todas as linguagens: não contável
Conjunto de todas as MTs: contável
1L 2L 3L kL
1M 2M 3M
?
Existem uma infinidade de linguagens a mais do que Máquinas de Turing
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Existem linguagens que não são aceitas pornenhuma Máquina de Turing
Essas linguagens não podem ser descitas por meio de algoritmos
Conclusão: