Máquinas de TuringSIPSER – Capítulo 3: A tese de Church-Turing

Universidade Federal da ParaíbaPrograma de Pós-Graduação em InformáticaTeoria da Computação – 2013.1

Ana Paula Nunes Guimarães

Glauco de Sousa e Silva

Sarah Soares de Oliveira Professor: Andrei Formiga

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Até agoraAutômatos finitos são bons modelos para

dispositivos que têm uma quantidade pequena de memória

Autômatos com pilha são bons modelos para dispositivos que possuem memória ilimitada, desde que seja utilizada de apenas uma maneira:◦ LIFO

Agora veremos um modelo mais poderoso:◦ Máquinas de Turing (MTs)

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Máquinas de TuringProposta por Alan Turing em 1936Semelhante a um autômato finito

◦Mas com memória ilimitada e irrestrita

É um modelo de um computador de propósito geral

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Máquinas de Turing

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Máquinas de TuringUm detalhe importante é a aceitação,

ou rejeição da entradaDiferente dos autômatos, ela possui

um estado de aceitação, e outro de rejeição◦Ambos necessariamente finais

Quando um destes estados é alcançado, a computação termina imediatamente

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Máquinas de TuringPara entender o procedimento

executado por uma máquina de Turing, vamos considerar a seguinte linguagem:◦L1 = { w#w | w ∈ {0,1}* }Exemplos de palavras da linguagem L1:

w1=010#010w2=0011#0011

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Máquinas de Turing Algoritmo para reconhecer L = {w#w | w ∈{0,1}*}

1. Faça um zigue-zague ao longo da fita checando posições correspondentes de ambos os lados do símbolo # para verificar se elas contêm o mesmo símbolo. Se a fita não contêm, ou se nenhum # foi encontrado, então rejeite;

2. À medida que os símbolos vão sendo verificados, marque-os;

3. Quando todos os símbolos a esquerda de # forem marcados, verifique se existe algum símbolo não marcado a direita. Se existir, rejeite. Se não existir, aceite a entrada.

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Entrada: 011000#011000

0 1 1 0 0 0 # 0 1 1 0 0 0 □ ...

x 1 1 0 0 0 # 0 1 1 0 0 0 □ ...

x 1 1 0 0 0 # x 1 1 0 0 0 □ ...

x 1 1 0 0 0 # x 1 1 0 0 0 □

x x 1 0 0 0 # x 1 1 0 0 0 □ ...

x x x x x x # x x x x x x x □ ...

aceita

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Definição formal de uma Máquina de Turing Uma MT é definida como uma 7-upla:M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qaceita,qrejeita) Onde:

◦ Q é o conjunto de estados,◦ Σ é o alfabeto de entrada sem o símbolo em

branco (□),◦ Γ é o alfabeto da fita, onde □ ϵ Γ e Σ ⊆ Γ,◦ δ : Q x Γ→ Q x Γ x {L, R} é a função de

transição,◦ q0 ϵ Q é o estado inicial,

◦ qaceita ϵ Q é o estado de aceitação e,

◦ qrejeita ϵ Q é o estado de rejeição (qaceita ≠ qrejeita ).

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Iniciando uma Máquina de TuringEntrada w = ABCD

A B C D □

Unidade de controle

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Exemplo de função de transiçãoδ(q0, A) = (q1,X,R)

A B C D □

q0

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Exemplo de função de transiçãoδ(q0, A) = (q1,X,R)

X B C D □

q1

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Configurações da Máquina de TuringConfigurações de uma MT são

mudanças que ocorrem no estado atual, no conteúdo atual e na posição atual da cabeça.

Exemplo: ABqCD

A B C D □

q

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Configurações da Máquina de TuringCasos especiais:

◦ Começo da cadeia com movimento para a esquerda

◦ Fim da cadeia com movimento para a direita

◦ Configuração inicial (q0w)

◦ Configuração de aceitação (qaceita)

◦ Configuração de rejeição (qrejeita)

Uma MT aceita uma aceita a entrada w se uma sequência de configurações C1, C2, ..., Ck existe.

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Linguagens e Máquinas de TuringLinguagem da MT: coleção de cadeias

que são aceitas

Linguagem Turing-reconhecível

Linguagem Turing-decidível

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Exemplos de Máquinas de TuringL = {anbn | n ≥1}

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Exemplos de Máquinas de Turing

L = {anbn | n ≥1} O estado q0 ao encontrar “a” escreve “x” (ou seja,

marca “a”), muda de estado (q1) e vai para a direita.

O estado q1 é responsável por encontrar um “b” e marcá-lo com “y”.

A partir daí, outro estado (q2) entra em ação. Ele volta na fita até encontrar “x” (o último “a” marcado).

Quando q2 encontra o “x” devolve o controle para o estado q0, que recomeça o processamento.

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Exemplos de Máquinas de Turing

Quando q0 encontra o “y”, significa que já terminou de marcar os símbolos “a”. Então, se não houverem mais “b” para serem marcados, a cadeia está correta.

Para isso é usado o estado q3, para percorrer o restante da cadeia. Se encontrar só “y” e o □, então a cadeia está correta.

Se encontrar algum “b”, a MT para (já que não existe uma transição δ(q3, b) e a cadeia não é aceita).

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Exemplos de Máquinas de TuringL = {anbn | n ≥1}

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Exemplos de Máquinas de TuringL = {anbn | n ≥1} – cadeia: w =

aabb

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Exemplos de Máquinas de TuringL = {w#w | w ϵ {0,1}*}

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Variantes de Máquinas de TuringVariantes

◦Máquinas de Turing Multifita◦Máquinas de Turing Não-

Determinísticas◦Enumeradores

Poder computacional◦Reconhecem a mesma classe de

linguagensRobustez

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Variantes de Máquinas de Turing E se permitíssemos que o cabeçote de uma

MT ficasse parado?1. Função de transição de uma MT padrão

2. Função de transição de uma MT estendida

Essa característica pode permitir que essas MT reconheçam linguagens adicionais, incrementando assim o poder desse modelo?

Equivalência entre modelos

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Máquinas de Turing MultifitaMáquinas de Turing MultifitaA função de transição é modificada para

permitir ler, escrever e mover as cabeças em todas as fitas simultaneamente

1. Função de transição de uma MT padrão

2. Função de transição de uma MT estendida

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Máquinas de Turing Multifita

Poder computacional

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Máquinas de Turing Multifita

Teorema: toda MT mulifita tem uma MT de uma única fita que lhe é equivalente

Prova: Devemos mostrar como converter uma MT multifita M em uma equivalente S, com apenas uma fita

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Máquinas de Turing Multifita

Cabeçotes e fitas virtuais

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Máquinas de Turing Não-Determinísticas

Em qualquer ponto, a máquina pode proceder de acordo com várias possibilidades

1. Função de transição de uma MT padrão

2. Função de transição de uma MT estendida

A computação é uma árvore ◦ Os nós correspondem às diferentes

possibilidadesPoder computacional

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Teorema: Toda MTND tem uma MTD que lhe é equivalente

Idéia da prova: Podemos simular qualquer MTND M, através de uma MT determinística S

Vemos a computação de M sobre uma entrada w como uma árvore de possibilidades

Cada nó da árvore é uma configuração de M

Máquinas de Turing Não-Determinísticas

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A raiz é a configuração inicial◦Cada nó tem no máximo b filhos

Buscar um estado de aceitaçãoNão fazer busca em profundidade,

fazer busca em largura!◦

Máquinas de Turing Não-Determinísticas

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Simulação da MTNDProva:

◦A MT simuladora S posui três fitas:

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Uma linguagem é Turing-reconhecível se, e somente se alguma MTND a reconhece

Chamamos uma MTND de decisor se todos os nós param sobre todas as entradas

Uma linguagem é decidível se e somente se alguma MTND a decide

Máquinas de Turing Não-Determinísticas

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EnumeradoresUm enumerador pode ser visto como

uma MT com uma impressora anexaA MT pode usar essa impressora como

um dispositivo de saída para imprimir cadeias

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Equivalência com outros modelosExistem vários modelos de

computação de propósito geralTodos os modelos compartilham a

característica essencial de máquinas de Turing◦Acesso irrestrito a memória ilimitada

Linguagens de programação◦Descrevem exatamente a mesma

classe de algoritmos

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Tese de Church-Turing"A capacidade de computação

representada pela Máquina de Turing é o limite máximo que pode ser atingido por qualquer dispositivo de computação"

Supondo verdadeira a hipótese de Church◦ Função computável: é possível construir uma

Máquina de Turing (ou formalismo equivalente) que compute a função

◦ Função Não-Computável: não existe Máquina de Turing (ou formalismo equivalente) que compute a função

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Terminologia para descrever MT’sA entrada da MT é uma cadeiaE se quisermos fornecer como entrada

um objeto?◦Representar o objeto como uma

cadeia◦Grafos, polinômios, gramáticas,

autômatos...Notação <O>

Máquinas de TuringSIPSER – Capítulo 3: A tese de Church-Turing

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