manual mn 2015 cap vi 2
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6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS (EDO´s)
INTRODUÇÃO
O estudo das equações diferenciais foi motivado inicialmente por problemas da física, ou seja problemas de mecânica, electricidade, termodinâmica, magnetismo etc. Actualmente muitas outras áreas do conhecimento têm a formulação teórica de seus problemas utilizando essas equações. Entre outras podemos destacar as seguintes áreas, Química, Ecologia, Biologia, Economia e Sociologia.
Suponha RRf n →: e RRy →: , com derivadas até ordem n . Dizemos que uma
equação diferencial ordinária tem ordem n se é uma equação que pode ser escrita como
)´,...,,,( nn yyyxfy = ; =ny derivada de ordem n .
Uma função )(xy ϕ= é dita como solução da equação acima se:
a) )(xy ϕ= possui derivadas até n ;
b) ))(),....,(,( 1 xxxfy nn −= ϕϕ
6.1 EDO´s DE PRIMEIRA ORDEM
))(,(´ xyxfy =
Seguem abaixo os métodos numéricos que nos ajudam a determinar as soluções
aproximadas das EDO´s.
6.1.1 MÉTODO DE EULER
Passo 1: Extracção de dados
Passo 2: Determinação das fórmulas concretas
hxx kk +=+1
);(*1 kkkk yxfhyy +=+
Passo 3: Tabela
k kx ky
Passo 4: Resposta
Exemplo:
Determine a solução da equação diferencial xyy −=' , com 1)0( =y no intervalo [ ]5.0;0
e 1.0=h
Resolução:
Passo 1: Extracção de dados
xyyxf −=);(
00 =x
10 =y
1.0=h
Passo 2: Determinação das fórmulas concretas
1.011 +=↔+= ++ kkkk xxhxx
kkkkkkkk yxyyyxfhyy **1.0);(* 11 −=↔+= ++
Passo 3: Tabela
k kx ky
0 0 1
1 0.1 1
2 0.2 0.99
3 0.3 0.9702
4 0.4 0.941094
5 0.5 0.903450
Passo 5: 903450.0=y
6.1.2 MÉTODO DE RANGE KUTTA 4 – RK 4
Passo 1: Extracção de dados
Passo 2: Determinação das fórmulas concretas
hxx ll +=+1
)*2*2(*6
43211 kkkkh
yy ll ++++=+
34
23
12
1
*;(
)2
;2
(
)2
;2
(
);(
khyhxfk
kh
yh
xfk
kh
yh
xfk
yxfk
ll
ll
ll
ll
++=
++=
++=
=
Passo 3: Tabela
k kx ky 1k 2k 3k 4k
Passo 4: Resposta
Exemplo
Passo 1: Extracção de dados
xyyxf −=);(
00 =x
10 =y
1.0=h
Passo 2: Determinação das fórmulas concretas
1.011 +=↔+= ++ llll xxhxx
)*2*2(*6
43211 kkkkh
yy ll ++++=+
)*1.0)(1.0(*;(
)*05.0)(05.0()2
;2
(
)*05.0)(05.0()2
;2
(
*);(
3434
2323
1212
11
kyxkkhyhxfk
kyxkkh
yh
xfk
kyxkkh
yh
xfk
yxkyxfk
llll
llll
llll
llll
++−=↔++=
++−=↔++=
++−=↔++=
−=↔=
Passo 3: Tabela
k kx ky 1k 2k 3k 4k
0 0 1 0 -0.05 -0.049875 -0.099501
1 0.1 0.99502 -0.09950 -
0.148506
-0.148138 -0.196040
2 0.2 0.98019
9
-0.196040 -
0.242599
-0.242017 -0.256799
3 0.3 0.95599
7
-0.256799 -
0.329580
-0.328831 -0.369246
4 0.4 0.92311
6
-0.329246 -
0.407094
-0.406243 -0.441246
5 0.5 0.88249
7
-0.441246 -
0.473239
-0.472359 -0.501157
Passo 4: Resposta
0.882497=y
6.2 EXERCICIOS
1. Determine a solução numérica aproximada da seguinte Equação Diferencial
Ordinária, com o passo h = 0.2
a) Pelo de Euler
b) Pelo método de Runge – Kutta 4
2. Considere a equação diferencial ordinária, dado por:
Fazendo h = 0.1, determine a solução aproximada usando o método de Euler.
3. Seja dada a equação 31' yxy −= com 1)0( =y no intervalo [0;5] e com N=5.
Determine a solução aproximada pelo método de Runge Kutta – 4.
.