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MAGNO TEOFILO MADEIRA DA SILVA

EQUALIZACAO AUTODIDATA BASEADA EM

COMBINACAO DE FILTROS ADAPTATIVOS

Tese apresentada a Escola Politecnicada Universidade de Sao Paulo paraobtencao do tıtulo de Professor Livre-Docente junto ao Departamento deEngenharia de Sistemas Eletronicos.

Sao Paulo2013

MAGNO TEOFILO MADEIRA DA SILVA

EQUALIZACAO AUTODIDATA BASEADA EM

COMBINACAO DE FILTROS ADAPTATIVOS

Tese apresentada a Escola Politecnicada Universidade de Sao Paulo paraobtencao do tıtulo de Professor Livre-Docente junto ao Departamento deEngenharia de Sistemas Eletronicos.

Area:Processamento de Sinais

Sao Paulo2013

Silva, Magno Teofilo Madeira da

Equalizacao autodidata baseada em combinacao de filtros adaptativos /

M. T. M. Silva. −− Sao Paulo, 2013.

82 p.

Tese (Livre-Docencia) - Escola Politecnica da Universidade de Sao Paulo.

Departamento de Engenharia de Sistemas Eletronicos.

1. Filtros eletricos adaptativos 2. Equalizacao 3. Algoritmos 4. Com-

binacao de algoritmos. I. Universidade de Sao Paulo. Escola Politecnica.

Departamento de Engenharia de Sistemas Eletronicos II.t

Aos meus alunos

Joao, Renato e Ronaldo

i

Agradecimentos

Em primeiro lugar, agradeco a Profa. Maria D. Miranda por todas as discussoes tecnicas

relevantes, pela orientacao rigorosa da minha tese de doutorado, confianca, apoio, amizade

e por seguirmos trabalhando juntos em algoritmos adaptativos para equalizacao desde 1999.

Ao Prof. Max Gerken, in memorian, pelos conselhos, confianca, incentivo, exemplos a

serem seguidos e pelas orientacoes de iniciacao cientıfica, mestrado e fase inicial do doutorado.

Ao Prof. Vıtor H. Nascimento, com quem tenho trabalhado em combinacoes de filtros

adaptativos desde 2006, pelas inumeras discussoes tecnicas, confianca, apoio e permanente

incentivo.

Ao Prof. Jeronimo Arenas Garcıa pelas ideias e discussoes tecnicas que foram fundamen-

tais para o desenvolvimento deste trabalho. Agradeco tambem por fazer com que eu me

sentisse em casa durante minha estancia na Universidad Carlos III de Madrid no primeiro

semestre de 2012. ¡Gracias amigo!

Aos meus alunos Joao Mendes Filho, Renato Candido e Ronaldo Abreu com os quais

aprendi muito durante as orientacoes de seus trabalhos. Esta tese e dedicada a voces!

Ao Prof. Marcio Eisencraft pela amizade, discussoes tecnicas e trabalhos em conjunto.

A Profa. Denise Consonni, pelo apoio, confianca e exemplo de profissionalismo a ser

seguido.

Agradeco tambem aos professores e colegas do LPS Miguel A. Ramırez, Flavio A. M. Cip-

parrone e Mario Minami e tambem a secretaria Dilma Alves da Silva pelo companheirismo,

apoio e incentivo durante todos esses anos que trabalhamos juntos.

Aos demais professores e funcionarios do Departamento de Engenharia de Sistemas

Eletronicos da EPUSP, em especial aos Profs. Marco I. Alayo Chavez e Joao A. Martino e

a secretaria Darlene Ricetti pelo apoio e incentivo.

A FAPESP e ao CNPq pelos auxılios concedidos.

Por ultimo, mas nao menos importante, a minha famılia pelo carinho, compreensao e por

tudo que representa para mim.

ii

Resumo

Equalizadores autodidatas sao usados em sistemas de comunicacao digital para remover a

interferencia intersimbolica introduzida por canais dispersivos. Eles evitam a transmissao

de sequencias de treinamento, possibilitando um uso mais eficiente da banda do canal. Usu-

almente, depois de uma equalizacao preliminar, esses equalizadores sao chaveados para o

modo de decisao direta (DD) a fim de reduzir o erro quadratico medio (MSE - mean-square

error) em regime para nıveis aceitaveis. O bom desempenho desse esquema depende da

selecao de um limiar apropriado de MSE para o chaveamento entre os modos de treinamento

cego e o modo de decisao direta. No entanto, essa nao e uma tarefa facil ja que o nıvel de

MSE adequado depende de varios fatores como constelacao, canal de comunicacao ou razao

sinal-ruıdo. Neste trabalho, e proposto um esquema de equalizacao autodidata que combina

de forma adaptativa um equalizador cego com um equalizador de decisao direta funcionando

em paralelo. A combinacao e adaptada de forma autodidata e consequentemente, o esquema

proposto possibilita um chaveamento automatico entre os filtros componentes, evitando a

selecao a priori de um nıvel de MSE para a transicao. O desempenho do equalizador pro-

posto e ilustrado de forma analıtica e atraves de simulacoes numericas, que mostram suas

vantagens com relacao a esquemas de chaveamento abrupto e suave existentes na literatura.

Palavras-chave: processamento adaptativo de sinais; filtragem adaptativa; equalizadores

autodidatas; algoritmo do modulo constante; algoritmo multimodulo; combinacao convexa;

decisao direta; rastreio.

iii

Abstract

Blind equalizers are used in digital communications systems to remove the intersymbol inter-

ference introduced by dispersive channels. They avoid the transmission of training sequences,

allowing a more efficient use of the channel bandwidth. Usually, after a first rough equaliza-

tion is achieved, these equalizers are switched to a decision-directed (DD) mode to reduce the

steady-state mean-square error (MSE) to acceptable levels. The good overall performance

depends on the selection of an appropriate MSE threshold for switching between the blind

and the DD modes. However, this is not an easy task, since the adequate MSE level depends

on several factors such as the signal constellation, the communication channel, or the signal-

to-noise ratio. In this work, we propose a blind equalization scheme that adaptively combines

a blind and a DD equalizers running in parallel. The combination is itself adapted in a blind

manner, and as a result the overall scheme can automatically switch between the component

filters, avoiding the need to set the transition MSE level a priori. The performance of our

proposal is illustrated both analytically and through a set of simulations, where we show its

advantages with respect to existing hard- and soft-switching equalization schemes.

Keywords: adaptive signal processing; adaptive filtering; blind equalizers; constant-modulus

algorithm; multimodulus algorithm; convex combination; decision-directed; tracking.

iv

Sumario

Lista de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Lista de tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Lista de abreviaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Lista de sımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1 Introducao e formulacao do problema 1

1.1 A equalizacao adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Sobreamostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Algoritmos para adaptacao dos coeficientes do equalizador . . . . . . 6

1.1.3 Transicao para o modo de decisao direta . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 A combinacao convexa de algoritmos adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Objetivos e justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Contribuicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Organizacao da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Chaveamento automatico entre os modos cego e de decisao direta 25

2.1 Combinacao convexa do MMA com o LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Adaptacao do parametro de mistrura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Um exemplo ilustrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Analise estatıstica em regime 34

3.1 Hipoteses simplificadoras e indicadores de desempenho . . . . . . . . . . . . 34

3.2 EMSE em regime da combinacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 EMSE cruzado em regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

SUMARIO v

3.4 Precisao da analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Resultados de simulacao 45

4.1 Algoritmos de chaveamento entre o modo cego e de decisao direta . . . . . . 45

4.2 Cenarios de simulacao, parametros e medida de desempenho . . . . . . . . . 46

4.3 Cenario I: 256-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Cenario II: 64-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5 Cenario III: V.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Conclusoes e perspectivas 53

5.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Referencias Bibliograficas 57

Apendices 67

A Versoes do algoritmo de Shalvi-Weinstein 67

B Os algoritmos multimodulo e de decisao para sinais QAM 73

C Hipoteses adicionais usadas na obtencao do EMSE cruzado 80

vi

Lista de Figuras

1.1 Sistema de comunicacao simplificado com um equalizador adaptativo no modo de

treinamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Equalizador adaptativo no modo de decisao direta. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Sistema de comunicacao simplificado com um equalizador autodidata. . . . . . . . 4

1.4 Sistema de comunicacao simplificado com um equalizador autodidata sobreamostrado. 5

1.5 Combinacao convexa de dois filtros adaptativos transversais para filtragem

supervisionada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 (a) EMSE para µ1-LMS, µ2-LMS, e sua combinacao convexa; (b) media de conjunto

de η(n); µ1 = 0,1, µ2 = 0,01, µα = 100 (adaptacao nao-normalizada), α+ = 4,

b = 0,8; media de 500 realizacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1 Combinacao convexa do MMA com o LMS. O filtro LMS opera no modo de decisao

direta, sendo que seus coeficientes sao atualizados utilizando a saıda do decisor

como sinal desejado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 MSE dos esquemas de combinacao para o Cenario I da Tabela 4.1: (a) MSE do

MMA, LMS, e da combinacao convexa proposta, estimado com uma media de

conjunto de 1000 realizacoes; (b) MSE do MMA, LMS e de sua combinacao convexa

usando (2.12); (c) Parametros de mistura considerando uma realizacao dos algoritmos. 30

2.3 SER em regime em funcao da SNR para o MMA, o LMS e suas combinacoes

usando (2.10) e (2.12); primeiro canal do Cenario I da Tabela 4.1. . . . . . . 31

2.4 SER ao longo das iteracoes para o Cenario I (Tabela 4.1) com SNR = 30 dB.

Media de conjunto de 100 realizacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

LISTA DE FIGURAS vii

3.1 EMSE teorico (teo) e experimental (exp) em funcao do passo de adaptacao do

LMS (µ); ρ = 10−6; 64-QAM, Canal H2(z) de [LAZARO et al., 2005, Eq. (29)],

ausencia de ruıdo, implementacao na taxa de sımbolos, M = 12, media de conjunto

de 1000 realizacoes; (a) ambiente estacionario e (b) ambiente nao-estacionario com

Q = 8× 10−9I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1 MSE ao longo das iteracoes para o Cenario I e parametros dos algoritmos especifi-

cados na Tabela 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 MSE ao longo das iteracoes para o Cenario II e parametros dos algoritmos especi-

ficados na Tabela 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 MSE ao longo das iteracoes para o Cenario III e parametros dos algoritmos especi-

ficados na Tabela 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

B.1 Parte real do erro do RMA em funcao de yR(n) para 64-QAM. Os erros nas coor-

denadas dos sımbolos da constelacao sao indicados por ◦; fator de escala K = 245. 74

B.2 Parte real do erro do SBD para 64-QAM; fator de escala K = 7. Os erros nas

coordenadas dos sımbolos das constelacoes sao indicados por ◦. . . . . . . . . . . 76

B.3 Regioes da parte real de uma constelacao 64-QAM; o centro da regiao Ak e

representado por ck e k = ±2,±1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

viii

Lista de Tabelas

1.1 Sumario do algoritmo LMS aplicado a equalizacao. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Sumario do CMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Sumario do MMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Sumario da combinacao convexa de dois filtros LMS. . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Sumario da combinacao convexa do MMA com o LMS, considerando (2.10). . . . 28

3.1 Expressoes analıticas para o EMSE e EMSE cruzado em regime dos filtros

MMA e LMS em um ambiente nao-estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 Cenarios de simulacao e parametros dos algoritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A.1 Sumario do SWA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A.2 Sumario do DM-SWA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

A.3 Sumario do DM-LSWA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

B.1 Sumario do RMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

B.2 Sumario do algoritmo SBD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ix

Lista de Abreviaturas

A seguir sao listadas as principais abreviacoes usadas na tese. No caso de siglas consagradas

na literatura internacional, optou-se por manter as mesmas em ingles.

AWGN additive white Gaussian noise (ruıdo gaussiano branco e aditivo)

CMA constant-modulus algorithm (algoritmo do modulo constante)

DD decision-directed (decisao direta)

DM-LSWA dual-mode lattice Shalvi-Weinstein algorithm (algoritmo de

Shalvi-Weinstein em trelica com dois modos de operacao)

DM-CMA dual-mode constant-modulus algorithm (algoritmo do modulo

constante com dois modos de operacao)

DM-SWA dual-mode Shalvi-Weinstein algorithm (algoritmo de Shalvi-Weinstein

com dois modos de operacao)

EMSE excess mean-square error (erro quadratico medio em excesso)

FIR finite Impulse Response (resposta ao impulso finita)

HOS high-order statistics (estatısticas de ordem superior)

iid independente e identicamente distribuıdo

ISI intersymbol interference (interferencia intersimbolica)

LMS least mean squares

LTE linear transversal equalizer (equalizador linear transversal)

MMA multimodulus algorithm (algoritmo multimodulo)

MSE mean-square error (erro quadratico medio)

NLMS normalized least mean squares

QAM quadrature amplitude modulation

LISTA DE ABREVIATURAS x

RDE radius-directed equalization (equalizacao guiada por raios)

RLS recursive least squares

RMA regional multimodulus algorithm (algoritmo multimodulo regional)

SBD symbol-based decision (algoritmo de decisao baseada nos sımbolos)

SER symbol error rate (taxa de erro de sımbolo)

SNR signal-to-noise ratio (razao sinal-ruıdo)

SWA Shalvi-Weinstein Algorithm (algoritmo de Shalvi-Weinstein)

xi

Lista de Sımbolos

Nesta tese, matrizes sao indicadas por letras maiusculas em negrito, por exemplo, R. Vetores

coluna sao indicados usando-se letras minusculas em negrito, por exemplo, w e u. Escalares

sao representados por letras minusculas ou maiusculas em italico, por exemplo, M , Nh, µ e

y. A seguir, sao listados os principais sımbolos utilizados.

Sımbolos gerais

n instante de tempo

( · )T transposicao de vetores ou matrizes

( · )∗ complexo conjugado

( · )H hermitiano (transposicao do complexo conjugado) de vetores ou matrizes

E{ · } operador esperanca matematica

‖x‖ norma euclidiana ou ℓ2 do vetor x

Tr(A ) traco (soma dos elementos da diagonal principal) da matriz A

(·)I parte imaginaria

(·)R parte real

∇wJ vetor gradiente da funcao custo J

σ2x variancia do sinal x

O(·) ordem do custo computacional de um algoritmo (operacoes por iteracao)

a sımbolo transmitido

H(z) transformada z da sequencia {hk}Nh−1k=0

funcao de transferencia do canal

Nh numero de coeficientes do canal

hk k-esima amostra da resposta ao pulso unitario do canal

LISTA DE SIMBOLOS xii

u sinal de entrada do equalizador

∆ atraso em numero de amostras

ν ruıdo branco gaussiano

u vetor de entrada do equalizador

w vetor de coeficientes do equalizador

vetor de coeficientes combinados

M numero de coeficientes do equalizador

y sinal de saıda do equalizador

sinal de saıda global da combinacao convexa

e erro de estimacao de algoritmos supervisionados

erro global da combinacao convexa

T perıodo de transmissao dos sımbolos

H0(z) e H1(z) funcao de transferencia dos sub-canais (sobreamostragem)

u0 e u1 vetores regressores de entrada dos sub-equalizadores (sobreamostragem)

β constante que distingue o caso complexo do real

Algoritmo LMS e solucao de Wiener

JMSE funcao custo do erro quadratico medio

wWIE solucao de Wiener

R matriz de autocorrelacao do sinal de entrada

p∆ vetor de correlacao cruzada

µ passo de adaptacao do LMS

λmax maior autovalor da matriz de autocorrelacao R

µ passo de adaptacao do NLMS

δ constante positiva pequena usada para evitar divisao por zero no NLMS

Algoritmo do modulo constante

JCM funcao custo do modulo constante

κ constante de dispersao

LISTA DE SIMBOLOS xiii

passo de adaptacao

ε erro de estimacao

Algoritmo multimodulo

JMM funcao custo multimodulo

r constante de dispersao

ρ passo de adaptacao

c erro de estimacao

Combinacao convexa

η parametro de mistura da combinacao

y1 e y2 saıdas dos filtros da combinacao

w1 e w2 vetores de coeficientes dos componentes da combinacao

e1 e e2 erros de estimacao de uma combinacao de dois filtros LMS

c1 e e2 erros de estimacao da combinacao do MMA com o LMS

µ1 e µ2 passos de adaptacao dos componentes de uma combinacao de dois filtros LMS

ρ e µ passos de adaptacao dos componentes MMA e LMS

ϕ[·] funcao de ativacao nao-linear da combinacao convexa

sgm[x] funcao sigmoidal

α variavel auxiliar da combinacao convexa

ϕ′[·] derivada de ϕ[·]

α+ valor maximo permitido para |α|

µα passo de adaptacao de α (MSE)

ρα passo de adaptacao de α (MMA)

p estimativa da potencia de [y1 − y2]

λp fator de esquecimento

sign[x] funcao sinal

dec[x] funcao de decisao

LISTA DE SIMBOLOS xiv

Analise em regime

ea1 e ea2 erros a priori dos filtros componentes da combinacao

ea erro a priori da combinacao

w1 e w2 vetores de erro dos coeficientes dos filtros componentes

wo solucao otima

v ruıdo complexo iid

ζ1 e ζ2 EMSE em regime dos filtros componentes

ζ12 EMSE cruzado entre os filtros componentes

ζ EMSE da combinacao

Chaveamento abrupto

ξ estimativa do erro quadratico medio de decisao

λe fator de esquecimento

1

Capıtulo 1

Introducao e formulacao do problema

Neste capıtulo, aborda-se inicialmente o problema da equalizacao adaptativa e em seguida,

descreve-se a combinacao convexa de filtros adaptativos. Por fim, os objetivos, a justificativa,

as contribuicoes e a estrutura do trabalho sao apresentados.

1.1 A equalizacao adaptativa

Em sistemas de comunicacao digital, os sinais portadores de informacao, transmitidos entre

locais remotos, sao afetados por interferencia intersimbolica (ISI - intersymbol interference)

e ruıdo introduzidos por canais dispersivos. Exemplos de canais dispersivos incluem cabo

coaxial, fibra optica ou cabo de par trancado em comunicacoes com fio e a atmosfera ou

o oceano em comunicacoes sem fio [JOHNSON JR. et al., 1998]. Para remover os efeitos da

distorcao do canal, e comum usar equalizadores adaptativos, que procuram recuperar a

sequencia de sımbolos transmitida, mitigando os efeitos da ISI [DING; LI, 2001; HAYKIN,

2002; JOHNSON JR. et al., 1998; QURESHI, 1985; TREICHLER; FIJALKOW; JR., 1996; SILVA,

2005].

Um sistema de comunicacao simplificado com um equalizador adaptativo e mostrado na

Figura 1.1. A sequencia transmitida a(n) e em geral nao-gaussiana, independente e identi-

camente distribuıda (iid). O sistema H(z) representa nao so o canal fısico de transmissao,

mas tambem o sistema de transmissao/modulacao e o sistema de recepcao/demodulacao,

efetivamente presentes em qualquer sistema de comunicacao pratico. Assim, denomina-se

aqui como canal um modelo de tempo discreto para o sistema de transmissao, o canal fısico

1.1 A equalizacao adaptativa 2

e o sistema de recepcao. Em geral, as distorcoes decorrentes do canal sao bem modeladas

por um filtro FIR (finite impulse response), cuja funcao de transferencia e dada por

H(z) =

Nh−1∑

k=0

hkz−k, (1.1)

sendo Nh o numero de coeficientes hk, k = 0, 1, 2, . . . , Nh−1 da resposta impulsiva do canal.

Devido a memoria de H(z), o sinal u(n) no receptor contem contribuicoes nao somente de

a(n) mas tambem dos sımbolos anteriores a(n− 1), a(n− 2), . . . , a(n−Nh + 1), ou seja,

u(n) =∆−1∑

k=0

hka(n− k)︸︷︷︸

pre-ISI

+h∆a(n−∆) +

Nh−1∑

k=∆+1

hka(n− k)︸︷︷︸

pos-ISI

+ν(n). (1.2)

em que ∆ e o atraso da associacao em serie dos sistemas canal e equalizador e ν(n) e um

ruıdo aditivo, assumido branco e gaussiano (AWGN - additive white Gaussian noise) com

media nula e variancia σ2ν . O papel do equalizador e mitigar os dois somatorios em (1.2),

mitigando dessa forma a ISI e encontrando uma aproximacao y(n) para a(n − ∆). Neste

trabalho, vamos abordar apenas o equalizador linear transversal (LTE - linear transversal

equalizer), cujos vetores de entrada e de coeficientes, ambos de dimensao M , sao dados

respectivamente por

u(n) = [ u(n) u(n− 1) · · · u(n−M + 1)]T (1.3)

e

w(n− 1) = [w0(n− 1) w1(n− 1) · · · wM−1(n− 1) ]T , (1.4)

sendo que (·)T indica transposicao. Usando esses vetores, a saıda do equalizador e calculada

como

y(n) = uT (n)w(n− 1). (1.5)

O equalizador no esquema da Figura 1.1 funciona no chamado modo de treinamento, ja

que uma versao atrasada da sequencia transmitida a(n − ∆) (sequencia de treinamento) e

conhecida previamente no receptor. Durante o modo de treinamento, o equalizador adapta

seus coeficientes usando o erro de estimacao e(n) = a(n−∆)− y(n) e um algoritmo adapta-

tivo. Quando a informacao e efetivamente transmitida, o receptor nao tera acesso a a(n−∆).


equalizador

adaptativo

canal

a(n−∆)z−∆

ν(n)

e(n)

a(n) u(n) y(n)H(z)

Figura 1.1: Sistema de comunicacao simplificado com um equalizador adaptativo no modo de

treinamento.

Nesse caso, como esquematizado na Figura 1.2, o sinal de treinamento a(n−∆) e substituıdo

por sua estimativa a(n−∆) obtida na saıda do decisor, o que caracteriza o chamado modo

de decisao direta (DD - decision-directed). Cabe observar que o equalizador retorna ao trei-

namento sempre que houver inclusao de um novo elemento na rede, quando ocorrer falta

de energia, ou quando variacoes do canal de comunicacao impuserem um novo ajuste aos

coeficientes do filtro utilizado. Esse mecanismo implica paradas previstas e nao previstas e,

principalmente, perda de banda disponıvel, ja que parte da banda deve ser alocada para a

transmissao da sequencia de treinamento [MENDES FILHO, 2011].

equalizador

adaptativodecisor

a(n−∆)e(n)

u(n) y(n)

Figura 1.2: Equalizador adaptativo no modo de decisao direta.

A fim de usar a banda do canal de comunicacao de forma mais eficiente, em vez de

transmitir uma sequencia previamente conhecida no receptor, estatısticas de ordem superior

a dois (HOS - high-order statistics) do sinal transmitido podem ser utilizadas para se calcular

o erro de estimacao e(n) no modo de treinamento [DING; LI, 2001; JOHNSON JR. et al., 1998;

HAYKIN, 2002]. Em outras palavras, o equalizador “conhece” as estatısticas do sinal que

se pretende transmitir e entao ajusta permanentemente os coeficientes com base em um

algoritmo que avalia o quao distante estao as estatısticas do sinal de saıda do equalizador


das do sinal transmitido [BENVENISTE; GOURSAT; RUGET, 1980]. Essa solucao e conhecida

como equalizacao autodidata, cega ou nao-supervisionada (blind equalization), cujo esquema

esta mostrado na Figura 1.3.

filtro

adaptativo

algoritmo

autodidata

HOS dea(n)

canal

ν(n)

e(n)

a(n) u(n) y(n)H(z)

Figura 1.3: Sistema de comunicacao simplificado com um equalizador autodidata.

E comum realizar o processamento dos sinais no receptor com uma taxa maior que a de

transmissao dos sımbolos, usando uma tecnica conhecida como sobreamostragem, descrita

brevemente a seguir.

1.1.1 Sobreamostragem

O equalizador pode realizar o processamento dos sinais na taxa de sımbolos (1/T ) ou com

sobreamostragem. Neste caso, o equalizador trabalha numa taxa maior que a dos sımbolos,

sendo comum se considerar o dobro dessa taxa, i.e., 2/T . Os equalizadores fracionarios ou

sobreamostrados sao amplamente considerados na literatura ja que possibilitam a equalizacao

perfeita sob certas condicoes bem conhecidas, entre elas a ausencia de ruıdo [TREICHLER;

FIJALKOW; JR., 1996; DING; LI, 2001; MAI; SAYED, 2000; SILVA, 2005].

Quando o receptor e implementado para funcionar com o dobro da taxa de sımbolos,

as amostras do modelo de tempo discreto do canal correspondem a uma amostragem do

modelo de tempo contınuo com essa taxa maior. Dessa forma, o modelo equivalente de

tempo discreto do sistema de comunicacao com um equalizador fracionario com taxa 2/T

e composto por dois sub-canais e dois sub-equalizadores em paralelo, como mostrado na

Figura 1.4, considerando a adaptacao autodidata.


w0(n− 1)

w1(n− 1)

algoritmo

autodidata

HOS dea(n)

ν0(n)

ν1(n)

e(n)

a(n)

u0(n)

u1(n)

y(n)

H0(z)

H1(z)

Figura 1.4: Sistema de comunicacao simplificado com um equalizador autodidata sobreamostrado.

Se a resposta impulsiva do canal tiver 2Nh coeficientes, obtidos da amostragem com o

dobro da taxa de sımbolos, i.e,

H(z) = h0 + h1z−1 + h2z

−2 + · · ·+ h2Nh−2z−(2Nh−2) + h2Nh−1z

−(2Nh−1), (1.6)

as respostas impulsivas dos sub-canais serao dadas por

H0(z) = h0 + h2z−1 + h4z

−2 + · · ·+ h2Nh−4z−(Nh−2) + h2Nh−2z

−(Nh−1) (1.7)

e

H1(z) = h1 + h3z−1 + h5z

−2 + · · ·+ h2Nh−3z−(Nh−2) + h2Nh−1z

−(Nh−1). (1.8)

Considerando que cada sub-equalizador tenha M/2 coeficientes (com M par), os vetores

regressores de entrada serao

u0(n) = [ u0(n) u0(n− 1) · · · u0(n−M/2 + 1)]T (1.9)

e

u1(n) = [ u1(n) u1(n− 1) · · · u1(n−M/2 + 1)]T . (1.10)

Por fim, concatenado esses dois vetores no vetor u(n), ou seja,

u(n) = [uT

0 (n) uT

1 (n) ]T , (1.11)


a saıda do equalizador pode ser calculada como y(n) = uT (n)w(n − 1), sendo w o vetor

correspondente a concatenacao dos coeficientes dos dois sub-equalizadores.

Dessa forma, a adaptacao dos dois sub-equalizadores em paralelo pode ser realizada

considerando um unico vetor de coeficientes w com dimensao M . Assim, para adaptacao de

um equalizador fracionario, a unica coisa que deve ser alterada nos algoritmos de equalizacao

descritos a seguir e o vetor de entrada do equalizador, que deve ser como (1.11) [SILVA, 2005].

1.1.2 Algoritmos para adaptacao dos coeficientes do equalizador

Nesta secao, sao descritos brevemente alguns algoritmos adaptativos de equalizacao supervi-

sionada e autodidata para atualizacao do vetorw(n−1). Inicialmente, revisita-se o algoritmo

LMS (least mean squares) usado em equalizacao supervisionada e em seguida sao descritos

o algoritmo do modulo constante (CMA - constant modulus algorithm) e o algoritmo mul-

timodulo (MMA - multimodulus algorithm) usados em equalizacao autodidata.

O algoritmo LMS

Algoritmos do gradiente estocastico buscam minimizar o erro quadratico medio (MSE),

definido como

JMSE(n) , E{|e(n)|2},

em que E{·} representa o operador esperanca matematica e e(n) = a(n−∆)−y(n). O MSE

e uma funcao custo convexa, cujo mınimo depende do atraso ∆ e e dado pela solucao de

Wiener

wWIE = R−1p∆,

em que R = E{u∗(n)uT (n)} e a matriz de autocorrelacao do sinal de entrada, p∆ =

E{u∗(n)a(n − ∆)} e o vetor de correlacao cruzada entre o vetor regressor de entrada e

o sinal transmitido e (·)∗ representa o complexo conjugado [FARHANG-BOROUJENY, 1998;

HAYKIN, 2002; SAYED, 2008; NASCIMENTO; SILVA, 2013].

A solucao de Wiener pode ser encontrada pelo algoritmo do gradiente exato (steepest

descent algorithm), que evita o calculo da inversa de R, atualizando w(n − 1) na direcao


oposta ao gradiente de JMSE(n), i.e.,

w(n) = w(n− 1) + µ [p∆ −Rw(n− 1)] ,

em que µ e um passo de adaptacao e w(−1) e um chute inicial para o mınimo de JMSE(n).

A menos que algum conhecimento previo esteja disponıvel, w(−1) e usualmente feito igual

ao vetor nulo, i.e., w(−1) = 0. Com uma escolha adequada para µ, este algoritmo atinge

exatamente a solucao de Wiener. No entanto, o gradiente exato requer um conhecimento

previo deR e p∆, o que nao e factıvel para equalizacao. E importante observar que em muitas

situacoes praticas, o canal varia no tempo, u(n) e nao-estacionario e consequentemente, R

e p∆ nao podem ser estimados em cada instante de tempo.

Para solucionar esse problema, o algoritmo LMS foi proposto. Em vez de usar o gradiente

exato, o LMS usa uma aproximacao instantanea, i.e.,

∇wJMSE(n) ≈ −2a(n−∆)u∗(n) + 2u∗(n)uT (n)w(n− 1) = −2e(n)u∗(n), (1.12)

o que leva a seguinte equacao de atualizacao:

w(n) = w(n− 1) + µe(n)u∗(n), (1.13)

com w(−1) = 0 e µ sendo o passo de adaptacao. As operacoes do algoritmo LMS estao

mostradas na Tabela 1.1. O LMS e o filtro adaptativo mais popular devido ao seu baixo custo

computacional [O(M)], robustez, facilidade de implementacao e muitos resultados analıticos.

A partir de uma analise de segunda ordem, e possıvel mostrar que ele converge na media

quadratica para a solucao de Wiener se [FARHANG-BOROUJENY, 1998; NASCIMENTO; SILVA,

2013]

0 < µ <2

βλmax

<2

βMσ2u

, (1.14)

sendo β = 2 (resp., β = 3) para sinais complexos (resp., reais), λmax o maior autovalor de R

e σ2u a variancia do sinal de entrada u(n).

Devido a aproximacao (1.12), o algoritmo LMS varia em torno da solucao de Wiener, nao

a atingindo exatamente. A distancia entre o valor mınimo de JMSE(n) e a potencia de erro

obtida efetivamente com o LMS e chamada de erro quadratico medio em excesso (EMSE -

excess mean-square error) e a razao entre o EMSE e o valor mınimo de JMSE(n) e conhecida

como desajuste. Para passos de adaptacao pequenos, o desajuste e pequeno, ja que o LMS se


Tabela 1.1: Sumario do algoritmo LMS aplicado a equalizacao.

Inicializacao:

w(−1) = 0

Para n = 0, 1, 2, . . . , calcule

y(n) = uT (n)w(n− 1)

e(n) = a(n−∆)− y(n)

w(n) = w(n− 1) + µe(n)u∗(n)

Fim

comporta aproximadamente igual ao algoritmo do gradiente exato. Entretanto, um passo de

adaptacao pequeno tambem significa convergencia lenta. Esse compromisso existe para todos

os algoritmos adaptativos e tem sido assunto de intensa pesquisa nas ultimas decadas: muitos

algoritmos tem sido propostos para permitir uma convergencia mais rapida sem aumentar o

desajuste.

Diante disso, um problema do algoritmo LMS e a escolha do passo de adaptacao. Quao

grande deve ser o passo para possibilitar uma convergencia rapida, proporcionar um desajuste

aceitavel e ainda assegurar a estabilidade? Uma possıvel solucao para esse problema e obtida

com o algoritmo LMS normalizado (NLMS - normalized least-mean squares), que usa um

passo de adaptacao variante no tempo, ou seja,

µ(n) =µ

δ + ‖u(n)‖2 , com 0 < µ < 2, (1.15)

sendo que δ e uma constante positiva usada para evitar divisao por zero e ‖ · ‖ representa a

norma euclidiana. Assim, a equacao de atualizacao do NLMS e dada por

w(n) = w(n− 1) +µ

δ + ‖u(n)‖2 e(n)u∗(n). (1.16)

O passo de adaptacao de (1.15) depende inversamente da potencia instantanea do vetor de

entrada u(n), o que possibilita o NLMS acompanhar melhor variacoes na estatıstica do sinal.

Outros algoritmos que merecem destaque sao os da famılia RLS (recursive least-squares).

Embora o algoritmo RLS convencional tenha um custo computacional elevado [O(M2)], ele

apresenta em geral uma velocidade de convergencia maior que as dos algoritmos LMS e


NLMS para um mesmo valor de desajuste. E bem conhecido na literatura que o compro-

misso entre velocidade de convergencia e custo computacional tende a ser menos crıtico para

versoes rapidas do RLS, i.e., versoes que apresentam um custo computacional que crescem

linearmente com o comprimento do filtro [O(M)] [HAYKIN, 2002]. Entre os membros da

famılia dos algoritmos RLS rapidos, merece destaque o algoritmo EF-LSL (error feedback

least-squares lattice) modificado [MIRANDA; GERKEN; SILVA, 1999], que e numericamente

bem comportado em precisao finita, embora nenhuma prova de sua estabilidade numerica

seja conhecida.

A literatura de filtros adaptativos e vasta e esse assunto ainda desperta interesse na

comunidade cientıfica, sendo uma area de intensa pesquisa. Ha varios livros sobre esse

assunto, sendo [HAYKIN, 2002; SAYED, 2003, 2008; DINIZ, 2008; FARHANG-BOROUJENY,

1998; APOLINARIO JR. (Ed.), 2009] os de maior destaque. Cabe mencionar tambem o capıtulo

[NASCIMENTO; SILVA, 2013], que abrange os fundamentos de filtragem adaptativa e aborda

diversos topicos sobre a pesquisa atual na area.

O algoritmo do modulo constante

O CMA foi proposto independentemente em [GODARD, 1980] e [TREICHLER; AGEE, 1983] e

busca minimizar a funcao custo do modulo constante definida como

JCM(n) = E{[κ− |y(n)|2

]2}, (1.17)

sendo κ = E{|a(n)|4}/E{|a(n)|2} uma constante de dispersao, que contem informacao so-

bre as estatısticas de ordem superior do sinal transmitido a(n) e y(n) = uT (n)w(n − 1) e

a saıda do equalizador. Essa funcao penaliza desvios no modulo do sinal equalizado que

ficam distantes da constante de dispersao κ. Diferente da funcao custo do erro quadratico

medio usada em filtragem adaptativa supervisionada, JCM(n) nao e convexa em relacao aos

coeficientes do equalizador. Em outras palavras, ela apresenta mınimos locais e algoritmos

baseados no modulo constante podem ficar parados nessas solucoes sub-otimas.

O CMA e obtido a partir de uma aproximacao instantanea para o vetor gradiente de

JCM(n) em relacao a w. Dessa forma, definindo o “erro” de estimacao

ε(n) =[κ− |y(n)|2

]y(n), (1.18)


a equacao de atualizacao do CMA pode ser escrita como

w(n) = w(n− 1) + ε(n)u∗(n), (1.19)

sendo um passo de adaptacao. Diferente dos algoritmos de equalizacao supervisionada,

o vetor de coeficientes do CMA nao pode ser inicializado com o vetor nulo pois nesse caso

w(n) = 0 para todo n. Por isso, e comum inicializa-lo com o vetor “pino” [DING; LI, 2001],

ou seja,

w(−1) = [ 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ]T . (1.20)

As operacoes do CMA estao mostradas na Tabela 1.2.

Tabela 1.2: Sumario do CMA.

Inicializacao:

w(−1) = [ 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ]T

κ = E{|a(n)|4}/E{|a(n)|2}

Para n = 0, 1, 2, . . . , calcule

y(n) = uT (n)w(n− 1)

ε(n) = [κ− |y(n)|2]y(n)

w(n) = w(n− 1) + ε(n)u∗(n)

Fim

Como o CMA e um algoritmo do gradiente estocastico, a similaridade de (1.19) com a

equacao de adaptacao do LMS [Eq. (1.13)] nao e surpreendente. Por isso, o CMA e interpre-

tado como a versao autodidata do algoritmo LMS [PAPADIAS; SLOCK, 1997]. Dessa forma,

como no caso do LMS, o custo computacional aumenta linearmente com o comprimento do

filtro, i.e., O(M), e passos de adaptacao pequenos levam a um desajuste pequeno e a uma

convergencia lenta. Entretanto, a similaridade com o LMS para por aı. A multimodalidade

de JCM(n) torna difıcil a analise do comportamento do CMA. Por exemplo, a analise de esta-

bilidade que permite obter o intervalo do passo de adaptacao do CMA depende de inumeras

hipoteses simplificadoras nao muito realistas, como a inicializacao proxima da solucao otima

[NASCIMENTO; SILVA, 2008].

E importante observar que o CMA apresenta algumas desvantagens como a impossibili-

dade de resolver as ambiguidades de fase introduzidas pelo canal de comunicacao, a possıvel


convergencia para mınimos locais indesejaveis e problemas de instabilidade [JOHNSON JR.

et al., 1998; SILVA, 2005; MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008a]. Alem disso, o melhor

desempenho do CMA ocorre para sinais de modulo constante, ja que o fato de√κ nao coin-

cidir com o modulo dos sımbolos da constelacao gera um erro quadratico medio em regime

nao nulo. Na verdade, os algoritmos baseados no modulo constante so podem alcancar um

erro quadratico medio em regime nulo para sinais de modulo constante em um ambiente

estacionario, livre de ruıdo e se for adotada a sobreamostragem [MAI; SAYED, 2000; SILVA;

MIRANDA, 2004; NASCIMENTO; SILVA, 2008]. Por isso, esses algoritmos apresentam um desa-

juste relativamente grande, quando usados para recuperar sinais de modulo nao-constante,

como e o caso de sinais com modulacao QAM (quadrature amplitude modulation) de ordem

elevada (e.g., 1024-QAM) [MENDES FILHO, 2011].

A questao da instabilidade do CMA foi abordada em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO,

2008a], onde foi proposto um mecanismo para evitar a divergencia em uma versao nor-

malizada do algoritmo. O algoritmo proposto em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008a],

denominado dual-mode-CMA (DM-CMA), trabalha com dois modos de operacao. No pri-

meiro modo, ele funciona como o CMA normalizado e no segundo, rejeita estimativas nao-

consistentes do sinal transmitido. Uma analise estatıstica desse algoritmo foi feita posteri-

ormente em [CANDIDO et al., 2010].

O algoritmo multimodulo

Para mitigar o problema da ambiguidade de fase do CMA, o MMA foi proposto em [WE-

SOLOWSKI, 1992; OH; CHIN, 1995] e depois analisado em [YANG; WERNER; DUMONT, 2002].

O MMA e obtido a partir da minimizacao estocastica da dispersao das componentes real e

imaginaria da saıda do equalizador de forma separada, ou seja,

JMM(n) = E{[r − y2

R(n)

]2}+ E

{[r − y2

I(n)

]2}, (1.21)

sendo y(n) = uT (n)w(n− 1) = yR(n) + jyI(n) e yR(n) e yI(n) as partes real e imaginaria de

y(n), respectivamente. A constante de dispersao tambem e calculada usando separadamente

as partes real [aR(n)] e imaginaria [aI(n)] do sinal transmitido a(n) = aR(n) + jaI(n), i.e.,

r =E{a4

R(n)}

E{a2R(n)} =

E{a4I(n)}

E{a2I(n)} (1.22)


para constelacoes simetricas com sımbolos iid.

O “erro” de estimacao do MMA e dado por

c(n) = cR(n) + jcI(n) = [r − y2R(n)]yR(n) + j[r − y2

I(n)]yI(n). (1.23)

Usando essa definicao em (1.19) em vez de ε(n), temos a equacao de atualizacao do algoritmo,

isto e,

w(n) = w(n− 1) + ρc(n)u∗(n), (1.24)

sendo que ρ e o passo de adaptacao e w(n) o vetor de coeficientes que deve ser inicializado

como (1.20). Cabe observar que para sinais reais r = κ, c(n) = ε(n) e o MMA coincide com

o CMA. As operacoes do MMA estao mostradas na Tabela 1.3.

Tabela 1.3: Sumario do MMA.

Inicializacao:

w(−1) = [ 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ]T

r = E{a4R(n)}/E{a2

R(n)}

Para n = 0, 1, 2, . . . , calcule

y(n) = uT (n)w(n− 1)

cR(n) = [r − y2R(n)]yR(n)

cI(n) = [r − y2I(n)]yI(n)

c(n) = cR(n) + jcI(n)

w(n) = w(n− 1) + ρc(n)u∗(n)

Fim

Embora o MMA apresente uma melhor convergencia que o CMA para sinais de modulo

nao-constante, ele ainda pode ocasionar rotacoes de fase multiplas de π/2 como comentado

em [GARTH; YANG; WERNER, 2001]. Isso foi confirmado teoricamente em [YUAN; TSAI, 2005],

que mostra que a funcao custo do MMA apresenta pontos estacionarios adicionais relacio-

nados a rotacoes de fase multiplas de π/2 e proximos a esses pontos, ele apresenta uma

convergencia lenta antes de convergir para o mınimo desejado. Entretanto essa convergencia

ruim ocorre muito raramente em situacoes praticas. Ocasionalmente, o MMA tambem pode

convergir para algumas solucoes indesejadas causadas por rotacoes multiplas de π/4 [YANG;


WERNER; DUMONT, 2002]. Porem, essas solucoes podem ser evitadas atraves de diferentes

tecnicas, como mencionado em [YANG; WERNER; DUMONT, 2002, Secao VIII].

Outros algoritmos de equalizacao autodidata

Com o objetivo de melhorar o desempenho do CMA e MMA, diferentes algoritmos de equa-

lizacao autodidata tem sido propostos na literatura (veja, e.g., [DING; LI, 2001; SHALVI;

WEINSTEIN, 1993; SILVA; GERKEN; MIRANDA, 2002, 2004; SILVA; MIRANDA; SOARES, 2005;

SILVA, 2005; MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008b; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c]

e suas referencias). Dentre esses algoritmos, destaca-se o algoritmo de Shavi-Weinstein

(SWA) proposto em [SHALVI; WEINSTEIN, 1993]. Em geral, o SWA converge mais rapido

que o CMA e o MMA para um mesmo valor de EMSE em regime, as custas de um custo

computacional maior [O(M2)]. Porem, um dos principais problemas do SWA convencional e

que uma escolha inadequada do fator de esquecimento, uma inicializacao distante da solucao

otima e/ou uma razao sinal-ruıdo baixa podem leva-lo a divergencia (i.e., a norma do vetor

de coeficientes vai para infinito) ou a convergencia para mınimos locais indesejaveis. Como

no RLS convencional, o SWA tambem pode divergir devido a problemas numericos no calculo

da estimativa da matriz de autocorrelacao inversa.

A questao da divergencia do SWA foi abordada em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO,

2008b], onde foi proposta uma versao do algoritmo com dois modos de operacao, denominada

dual-mode-SWA (DM-SWA). No primeiro modo, ele funciona como o SWA convencional e

no segundo, rejeita estimativas nao-consistentes do sinal transmitido. Para evitar a causa

de divergencia devido a perda de positividade da estimativa da matriz de autocorrelacao, foi

proposto um SWA em trelica com dois modos de operacao (DM-LSWA - dual-mode lattice

Shalvi-Weinstein algorithm), que e estavel mesmo em aritmetica de precisao finita e tem

um custo computacional relativamente baixo [O(M)]. Detalhes sobre essas versoes do SWA

podem ser encontrados no Apendice A.

Tambem merece destaque o algoritmo multimodulo regional (RMA - regional multimodu-

lus algorithm) proposto em [MENDES FILHO, 2011; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c]

para equalizacao de sinais QAM. Esse algoritmo foi obtido a partir de uma modificacao na

funcao de erro do MMA, que faz com seu erro de estimacao seja igual a zero nas coordenadas

dos sımbolos da constelacao. Dessa forma, o RMA pode ter um desempenho similar ao de


um algoritmo de equalizacao supervisionada como o NLMS, mesmo quando sao transmiti-

dos sinais QAM de ordem elevada. Um outro algoritmo com caracterısticas similares foi

proposto em [MENDES FILHO, 2011; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012b] e denominado

algoritmo de decisao baseada nos sımbolos (SBD - symbol-based decision). Esses algoritmos

sao revisitados no Apendice B.

1.1.3 Transicao para o modo de decisao direta

Para finalizar esta secao, e importante salientar que a transicao entre os modos de treina-

mento supervisionado ou cego e o modo de decisao direta depende em geral de um limiar de

erro quadratico medio (MSE - mean-square error) atingido pelo algoritmo adaptativo. Um

bom desempenho global do equalizador depende da selecao de um limiar de MSE adequado.

No entanto, essa nao e uma tarefa simples, ja que depende fortemente de varios fatores como

constelacao do sinal transmitido, canal de comunicacao, razao sinal-ruıdo (SNR - signal-to-

noise ratio), entre outros [JOHNSON JR. et al., 2000]. Uma selecao inadequada do nıvel de

MSE para o chaveamento tem um impacto significativo no desempenho da equalizacao ja que

um valor de MSE muito elevado leva a uma convergencia ruim ou a nao-convergencia para o

algoritmo de decisao direta [MAZO, 1980; MACCHI; EWEDA, 1984]. Em contrapartida, um va-

lor muito pequeno pode resultar em um atraso muito grande ou ate em falha no chaveamento

entre os modos. Para evitar a necessidade de se selecionar um limiar de MSE para o chave-

amento abrupto (hard switching) entre os modos cego e de decisao direta, varios esquemas

de chaveamento suave foram propostos na literatura (veja e.g [PICCHI; PRATI, 1987; WEE-

RACKODY; KASSAM, 1994; CASTRO; CASTRO; ARANTES, 2001; CHEN, 2003]). Alem disso,

algoritmos de equalizacao autodidata com bom desempenho no transitorio e em regime tem

sido propostos a fim de evitar o mecanismo de chaveamento para o modo DD (veja, e.g,

[MENDES FILHO, 2011; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012b, 2012c] e suas referencias).

Entretanto, esses esquemas sao tipicamente difıceis de ajustar e o desempenho alcancado

ainda e muito dependente do ambiente particular em que sao aplicados.

A seguir, revisita-se a combinacao convexa de algoritmos adaptativos, que sera utilizada

nos capıtulos seguintes para propor um esquema que permite um chaveamento automatico

entre os modos cego e de decisao direta.

1.2 A combinacao convexa de algoritmos adaptativos 15

1.2 A combinacao convexa de algoritmos adaptativos

A combinacao convexa de dois ou mais filtros operando em paralelo foi proposta para melho-

rar o desempenho de filtros adaptativos [MARTINEZ-RAMON et al., 2002; ARENAS-GARCIA,

2004; ARENAS-GARCIA; GOMEZ-VERDEJO; FIGUEIRAS-VIDAL, 2005; ARENAS-GARCIA; FI-

GUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006; ARENAS-GARCIA et al., 2006; AZPICUETA-RUIZ; FIGUEIRAS-

VIDAL; ARENAS-GARCIA, 2008; SILVA; NASCIMENTO, 2008a; ARENAS-GARCIA; FIGUEIRAS-

VIDAL, 2009; LAZARO-GREDILLA et al., 2010]. Esse metodo e relativamente simples e pro-

porciona um desempenho global melhor ou igual ao de cada filtro individual operando in-

dependentemente. Essa ideia tem gerado interesse, pois uma dificuldade no projeto de

filtros adaptativos e escolher da melhor forma os parametros fixos do filtro, como o passo

de adaptacao para algoritmos do tipo LMS ou o fator de esquecimento para algoritmos do

tipo RLS. Cabe destacar que ha diversos artigos que propoem o uso de algoritmos com passo

variavel [KWONG; JOHNSTON, 1992; ABOULNASR; MAYYAS, 1997; BILCU; KUOSMANEN; EGI-

AZARIAN, 2002; NELATURY; RAO, 2002], mas o desempenho deles e pior do que o de um

algoritmo com parametro fixo escolhido de maneira otima, principalmente quando os sinais

sao estacionarios. Como o desempenho de combinacoes de filtros nunca e pior do que o de

cada filtro individual, essa solucao e mais interessante do que as que utilizam parametros

variaveis em muitas situacoes praticas.

A ideia de se combinar as saıdas de varios filtros adaptativos independentes para se

obter um melhor desempenho do que o de cada filtro individual nao e nova. Ela foi proposta

inicialmente em [ANDERSSON, 1985] e posteriormente melhorada em [NIEDZWIECKI, 1990,

1992]. Ideias similares tambem tem sido usadas na literatura de teoria da informacao (veja,

e.g., [KOZAT; SINGER; ZEITLER, 2007]). No entanto, o metodo de [ARENAS-GARCIA; FIGUEI-

RAS-VIDAL; SAYED, 2006] tem recebido mais atencao devido a sua relativa simplicidade e a

prova de que a combinacao e universal, i.e., considerando entradas estacionarias, a estimativa

combinada e pelo menos tao boa quanto a do melhor filtro componente em regime.

A combinacao convexa de dois filtros adaptativos esta esquematizada na Figura 1.5,

onde se considera a filtragem supervisionada que pode ser usada para diferentes aplicacoes,

como identificacao de sistemas, equalizacao adaptativa, cancelamento de eco ou ruıdo etc.

[HAYKIN, 2002; SAYED, 2003]. O sinal de saıda global y(n) e obtido a partir da combinacao


linear das saıdas y1(n) e y2(n) dos filtros individuais, ou seja,

y(n) = η(n)y1(n) + [1− η(n)]y2(n), (1.25)

sendo η(n) o parametro de mistura. Os vetores de coeficientes de cada filtro w1(n − 1) e

w2(n− 1) sao adaptados com seus respectivos erros

e1(n) = d(n)− y1(n) (1.26)

e

e2(n) = d(n)− y2(n), (1.27)

sendo d(n) a resposta desejada, que no caso da equalizacao supervisionada corresponde ao

sımbolo a(n−∆).

u(n)

d(n)

e(n)

e1(n)

e2(n)

y1(n)

y2(n)

y(n)η(n)

1− η(n)

w1(n− 1)

w2(n− 1)

w(n− 1)

Figura 1.5: Combinacao convexa de dois filtros adaptativos transversais para filtragem

supervisionada.

Na mistura de dois algoritmos do tipo LMS com passos de adaptacao µ1 e µ2, sendo

µ1 > µ2, a combinacao convexa tem uma interpretacao intuitiva. No inıcio da convergencia,

η(n) → 1 e a combinacao se aproxima do filtro µ1-LMS, que converge mais rapidamente.

Em regime, η(n)→ 0 e a combinacao se aproxima do filtro µ2-LMS, que por ser mais lento,

faz um “ajuste fino” a fim de atingir um erro de estimacao menor. No entanto, ha situacoes


em que 0 < η(n) < 1 e nesses casos, a combinacao pode apresentar um desempenho melhor

do que o de cada um dos filtros quando considerados separadamente [ARENAS-GARCIA; FI-

GUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006]. Esse comportamento pode ser observado nos resultados de

simulacao mostrados na Figura 1.6, em que a combinacao convexa de dois filtros LMS com

diferentes passos de adaptacao (µ1 = 0,1 and µ2 = 0,01) foi usada para identificar o sistema

[0,9003 −0,5377 0,2137 −0,0280 0,7826 0,5242 −0,0871

].

O regressor u(n) e obtido de um processo x(n), gerado com um modelo autoregressivo de

primeira ordem, cuja funcao de transferencia e dada por√1− b2/(1 − bz−1). Esse modelo

e alimentado com um processo gaussiano iid, cuja variancia e escolhida para que o traco

da matriz de autocorrelacao R seja igual a um. Alem disso, um ruıdo aditivo iid v(n) com

variancia σ2v = 0,01 e adicionado para se obter o sinal desejado. Na Figura 1.6-(a), sao

mostradas curvas de EMSE, estimadas a partir de uma media de conjunto de 500 realizacoes

e filtradas por um filtro de media movel com 128 coeficientes para facilitar a visualizacao.

Na Figura 1.6-(b), e mostrada a media do parametro de mistura ao longo do tempo. Pode-se

observar que η(n)→ 1 durante o inıcio da convergencia e em regime, η(n)→ 0.

Na combinacao convexa, o parametro de mistura η(n) fica restrito ao intervalo [ 0, 1 ] e

por isso e modificado atraves de uma variavel auxiliar α(n) que esta relacionada com η(n)

atraves da seguinte funcao

η(n) = ϕ[α(n− 1)] =sgm[α(n− 1)]− sgm[−α+]

sgm[α+]− sgm[−α+], (1.28)

sendo

sgm[x] =1

1 + e−x(1.29)

a funcao sigmoidal e α+ o maximo valor que |α(n)| pode assumir. A funcao de ativacao ϕ[·]

foi proposta em [LAZARO-GREDILLA et al., 2010] e e uma versao deslocada e escalonada da

funcao sigmoidal. E importante notar que η(n) atinge os valores 1 e 0 para α(n − 1) = α+

e α(n− 1) = −α+, respectivamente.

Calculando a derivada do MSE global da combinacao

JMSE(n) = E{|e(n)|2} = E{|d(n)− y(n)|2}


combinacaoµ2-LMSµ1-LMS

EMSE(dB)

(a)0

0 1 2 3

−10

−20

−30

−40

−50

E{η

(n)}

(b)

00

1

1

0,5

×1042 3

Iteracoes

Figura 1.6: (a) EMSE para µ1-LMS, µ2-LMS, e sua combinacao convexa; (b) media de conjunto

de η(n); µ1 = 0,1, µ2 = 0,01, µα = 100 (adaptacao nao-normalizada), α+ = 4, b = 0,8; media de

500 realizacoes.

com relacao a α(n) e aproximando as esperancas por seus valores instantaneos, obtem-se a

seguinte regra para adaptar α(n):

α(n) = α(n− 1) + µα(n) Re{[d(n)− y(n)][y1(n)− y2(n)]∗}ϕ′[α(n− 1)], (1.30)

sendo

ϕ′[α(n− 1)] =dη(n)

dα(n− 1)=

sgm[α(n− 1)]{1− sgm[α(n− 1)]}sgm[α+]− sgm[−α+]

(1.31)

e µα(n) um passo de adaptacao. Na pratica, α(n) fica restrita por saturacao ao intervalo

simetrico [−α+, α+], ja que o fator ϕ′[α(n − 1)] em (1.30) pararia a adaptacao se |α(n)|

crescesse muito. Uma escolha comum na literatura e α+ = 4 [ARENAS-GARCIA; FIGUEIRAS-

VIDAL; SAYED, 2006; AZPICUETA-RUIZ; FIGUEIRAS-VIDAL; ARENAS-GARCIA, 2008; LAZARO-

GREDILLA et al., 2010]. Quando se trata da combinacao convexa de dois algoritmos com

passos de adaptacao diferentes, por exemplo, combinacao do µ1-LMS com o µ2-LMS, em

que µ1 > µ2, e melhor inicializar α(−1) = α+ para que η(0) = 1 e a combinacao tenha


um comportamento semelhante ao do filtro rapido no inıcio da convergencia. Entretanto, o

desempenho da combinacao nao e afetado significativamente se α(−1) for feito igual a um

valor no intervalo [−α+, α+], ja que λ(n) converge rapidamente para proximo de 1 quando

o filtro µ2-LMS ainda nao convergiu. Isso tambem ocorre quando ha mudancas abruptas no

canal de comunicacao, por exemplo.

Embora seja possıvel usar um valor constante para µα(n), um comportamento melhor

pode ser obtido com uma regra normalizada. Reinterpretando a combinacao como um filtro

adaptativo de “segunda camada” [AZPICUETA-RUIZ; FIGUEIRAS-VIDAL; ARENAS-GARCIA,

2008] e notando que [y1(n) − y2(n)] faz o papel de sinal de entrada para essa segunda

camada, pode-se considerar

µα(n) =µα

p(n)(1.32)

sendo p(n) uma estimativa da potencia de [y1(n)−y2(n)], i.e,

p(n) = λp p(n− 1) + (1− λp)|y1(n)− y2(n)|2 (1.33)

com p(−1) = 1. A regra normalizada e mais facil de ajustar do que a nao-normalizada,

como observado em [AZPICUETA-RUIZ; FIGUEIRAS-VIDAL; ARENAS-GARCIA, 2008; CANDIDO;

SILVA; NASCIMENTO, 2010]. Alem disso, a selecao do fator de esquecimento λp nao e crıtica

para um bom desempenho da combinacao, sendo λp = 0,9 uma escolha comum na literatura.

As operacoes da combinacao convexa de dois algoritmos LMS com passos de adaptacao

diferentes e adaptacao normalizada estao mostradas na Tabela 1.4, em que

sign[x] =

−1, x < 0

1, x ≥ 0.

Cabe observar que em uma implementacao pratica, a funcao ϕ[·] pode ser calculada com o

auxılio de uma tabela (lookup table). Alem disso, no caso de equalizacao, nao e necessario

calcular o vetor de coeficientes da combinacao, ou seja,

w(n) = η(n+ 1)w1(n) + [1− η(n+ 1)]w2(n), (1.34)

ja que para essa aplicacao, o interesse esta na estimativa obtida com a saıda global combi-

nada, i.e., y(n).

Os benefıcios de se utilizar a funcao ϕ[·] para o calculo de η(n) sao dois. Primeiramente,

ela serve para manter o parametro de mistura η(n) no intervalo [ 0, 1 ]. Em segundo lugar,


Tabela 1.4: Sumario da combinacao convexa de dois filtros LMS.

Inicializacao:

w1(−1) = 0, w2(−1) = 0, α(−1) = α+, p(−1) = 1

Para n = 0, 1, 2, . . . , calcule

η(n) = ϕ[α(n− 1)] =sgm[α(n− 1)]− sgm[−α+]

sgm[α+]− sgm[−α+]

y1(n) = uT (n)w1(n− 1)

y2(n) = uT (n)w2(n− 1)

y(n) = η(n)y1(n) + [1− η(n)]y2(n)

e1(n) = d(n)− y1(n)

e2(n) = d(n)− y2(n)

e(n) = d(n)− y(n)

ϕ′[α(n− 1)] =sgm[α(n− 1)]{1− sgm[α(n− 1)]}


p(n) = λp p(n− 1) + (1− λp)|y1(n)− y2(n)|2

α(n) = α(n− 1) +µα

p(n)Re{e(n)[y1(n)− y2(n)]∗}ϕ′[α(n− 1)]

Se |α(n)| > α+

α(n)← α+sign[α(n)]

Fim

w1(n) = w1(n− 1) + µ1e1(n)u∗(n)

w2(n) = w2(n− 1) + µ2e2(n)u∗(n)

Fim

a derivada ϕ′[α(n − 1)] que aparece em (1.30) assume um valor pequeno quando η(n) se

aproxima dos limites inferior e superior, fazendo com que a velocidade de adaptacao e o

ruıdo do gradiente diminuam [ARENAS-GARCIA; FIGUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006; LAZARO-

GREDILLA et al., 2010].

A combinacao convexa tem sido utilizada para melhorar o desempenho de filtros adap-

tativos e tambem como um esquema alternativo em diferentes aplicacoes, destacando-se:

1. melhoria do desempenho do algoritmo LMS com comprimento variavel [ZHANG; CHAM-

BERS, 2006];


2. melhoria da capacidade de tracking de filtros adaptativos [SILVA; NASCIMENTO, 2008a];

3. cancelamento de eco acustico, dereverberacao e separacao de fontes acusticas [ARENAS-

GARCIA; FIGUEIRAS-VIDAL, 2009; GONZALO-AYUSO et al., 2012; AZPICUETA-RUIZ et al.,

2011; ZELLER et al., 2011; AZPICUETA-RUIZ, 2011];

4. equalizacao autodidata [ARENAS-GARCIA; FIGUEIRAS-VIDAL, 2006; SILVA; NASCIMENTO,

2008a; CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2009];

5. equalizacao espaco-temporal [CHAVES et al., 2011];

6. criacao de estimadores enviesados [LAZARO-GREDILLA et al., 2010];

7. processamento de sinais biologicos [MANDIC et al., 2008; JELFS et al., 2010; XIA et al.,

2011; LI et al., 2012]; e

8. processamento adaptativo distribuıdo [CATTIVELLI; SAYED, 2011; TAKAHASHI; YA-

MADA; SAYED, 2010; ABDOLEE; CHAMPAGNE, 2011; FERNANDES-BES et al., 2012].

Usando a combinacao convexa como fonte de inspiracao, outras combinacoes de algorit-

mos foram propostas na literatura. Dentre essas combinacoes, destacam-se a combinacao

afim [BERSHAD; BERMUDEZ; TOURNERET, 2008; CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2010; BER-

MUDEZ; BERSHAD; TOURNERET, 2011] e a combinacao linear [KOZAT et al., 2010], descritas

a seguir. A combinacao afim de dois filtros LMS foi proposta em [BERSHAD; BERMUDEZ;

TOURNERET, 2008]. Nesse artigo, o parametro de combinacao e escolhido de forma otima a

fim de minimizar o MSE em regime, nao ficando restrito ao intervalo [ 0, 1 ]. Dessa forma,

a saıda global e uma combinacao linear das saıdas dos filtros individuais e a combinacao

convexa e um caso particular. Por isso, a combinacao afim de [BERSHAD; BERMUDEZ;

TOURNERET, 2008] e uma generalizacao da combinacao convexa de [ARENAS-GARCIA; FI-

GUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006]. O parametro de mistura pode assumir valores negativos, o

que ocorre usualmente em regime. Os resultados de [BERSHAD; BERMUDEZ; TOURNERET,

2008] foram estendidos em [CANDIDO, 2009; CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2010], conside-

rando entrada branca ou colorida e outros algoritmos na combinacao (nao apenas o LMS).

Alem disso, foi apresentada uma analise do transitorio da combinacao, levando-se em conta

1.3 Objetivos e justificativa 22

a adaptacao dos filtros componentes e tambem a adaptacao do parametro de mistura adap-

tado com o algoritmo η-LMS, proposto em [BERSHAD; BERMUDEZ; TOURNERET, 2008]. Os

resultados da analise do transitorio facilitaram o ajuste dos parametros livres do esquema

e a obtencao de dois algoritmos normalizados para atualizar o parametro de mistura. Nas

simulacoes mostradas em [CANDIDO, 2009; CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2010], observa-

se uma boa concordancia entre os resultados analıticos e os de simulacao. Dessa forma, os

modelos teoricos sao capazes de prever situacoes em que esses algoritmos podem alcancar

um desempenho melhor, sendo util para o projetista.

Na combinacao linear proposta em [KOZAT et al., 2010], nao e imposta restricao alguma

ao parametro de mistura, ou seja, a soma dos pesos das saıdas dos filtros componentes nao

e necessariamente igual a um como nas combinacoes convexa e afim. Em [KOZAT et al.,

2010], ainda sao apresentados resultados de analises teoricas que confirmam o desempenho

melhor da combinacao linear em relacao aos filtros componentes. Diante dessas diferentes

combinacoes de algoritmos adaptativos, se faz necessaria uma comparacao sistematica e

extensiva, levando-se em conta diferentes cenarios de simulacao e os resultados das analises

teoricas.

1.3 Objetivos e justificativa

Desde a publicacao de [MARTINEZ-RAMON et al., 2002], muitos resultados relacionados a

combinacao de algoritmos adaptativos foram publicados na literatura. No entanto, ainda ha

alguns problemas em aberto e esse assunto continua sendo uma linha de pesquisa ativa.

Especificamente em equalizacao autodidata, esquemas combinados foram explorados em

[ARENAS-GARCIA; FIGUEIRAS-VIDAL, 2006; SILVA; NASCIMENTO, 2008a; CANDIDO; SILVA;

NASCIMENTO, 2010; ABU-SALEM; LUO; GONG, 2009]. Para melhorar o compromisso en-

tre a velocidade de convergencia e o MSE em regime, uma combinacao convexa de dois

equalizadores CMA com diferentes passos de adaptacao foi proposta em [ARENAS-GARCIA;

FIGUEIRAS-VIDAL, 2006]. Posteriormente, em [SILVA; NASCIMENTO, 2008a] foi proposta uma

combinacao convexa do CMA com o SWA para se obter um equalizador com melhor capaci-

dade de rastreio (tracking). Combinacoes afins de equalizadores CMA com diferentes passos

foram exploradas em [CANDIDO, 2009; CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2010]. Embora todos

1.4 Contribuicoes 23

esses esquemas encontram um MSE em regime mais baixo que o de um simples CMA, eles

estao baseados em componentes autodidatas, de forma que o chaveamento para o modo de

decisao direta ainda e necessario na maioria dos casos e o problema de selecionar um limiar

apropriado de MSE para a transicao entre os modos persiste.

Neste trabalho, a combinacao convexa sera abordada no contexto de equalizacao auto-

didata para permitir um chaveamento automatico entre os modos de treinamento cego e de

decisao direta. O esquema consiste na combinacao de um algoritmo de equalizacao auto-

didata que rege o modo cego com um algoritmo de equalizacao supervisionada que rege o

modo de decisao direta. A combinacao e tambem e adaptada de forma autodidata, o que

permite um chaveamento automatico entre os filtros componentes, evitando-se a selecao de

um limiar de MSE a priori. O desempenho do esquema proposto e ilustrado atraves de

resultados analıticos e de simulacoes, que mostram sua vantagem em relacao a esquemas de

chaveamento abrupto e suave existentes na literatura.

Cabe observar que neste trabalho sera abordada apenas a combinacao convexa de filtros

adaptativos, ja que os resultados aqui obtidos podem ser estendidos para outros tipos de

combinacao, como as combinacoes afim e linear.

1.4 Contribuicoes

O esquema proposto nesta tese estende os resultados em combinacao de filtros adaptativos

nos seguintes aspectos:

1. Combinacoes de filtros de diferentes famılias foram previamente consideradas (veja,

e.g., [SILVA; NASCIMENTO, 2008a; NASCIMENTO et al., 2010]). No entanto, o esquema

aqui proposto nao somente considera a combinacao de dois filtros de diferentes tipos,

mas seus modos de operacao tambem sao diferentes: um deles e baseado em um criterio

autodidata, enquanto o outro minimiza um custo supervisionado. Isso implica algumas

mudancas na configuracao da combinacao como um todo, i.e., os dois filtros nao sao

adaptados de forma independente, ja que a decisao global e realimentada para atualizar

o componente supervisionado da combinacao;

2. Diferente da maioria dos trabalhos que exploram combinacoes para melhorar a con-

1.5 Organizacao da tese 24

vergencia, capacidade de rastreio (tracking) e desempenho em regime, o objetivo aqui

e proporcionar um mecanismo automatico para se obter uma transicao suave entre o

modo de treinamento cego e o modo de decisao direta;

3. Uma nova regra de adaptacao e proposta. Tal regra e baseada na minimizacao da

funcao custo do MMA e proporciona uma taxa de erro de sımbolo (SER - symbol error

rate) menor que a adaptacao baseada no MSE;

4. Finalmente, embora o esquema proposto seja valido para combinacoes de diferentes

tipos de filtros adaptativos, sera dada uma enfase especial a combinacao do equalizador

MMA com o filtro LMS. E apresentada uma analise teorica do desempenho da mesma

em um ambiente nao-estacionario, usando o metodo de analise baseado na conservacao

de energia [SAYED, 2008]. Essa analise requer o calculo do EMSE cruzado entre os

filtros, que e um desafio diante dos diferentes modos de operacao.

Como resultado das contribuicoes desta tese, o seguinte trabalho foi aceito para pu-

blicacao:

SILVA, M. T. M.; ARENAS-Garcıa, J. A soft-switching blind equalization scheme via

convex combination of adaptive filters. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013.

1.5 Organizacao da tese

Esta tese foi organizada em cinco capıtulos. A combinacao convexa do equalizador MMA com

o algoritmo LMS e apresentada no Capıtulo 2, onde e introduzido um algoritmo baseado

no MMA para atualizacao do parametro de mistura. O Capıtulo 3 contem uma analise

estatıstica em regime para a combinacao, cuja precisao e verificada atraves de simulacoes.

No Capıtulo 4, sao apresentados resultados de simulacao com o objetivo de avaliar o esquema

proposto e compara-lo com metodos de chaveamento entre os modos de treinamento cego e

o de decisao direta existentes na literatura. Para finalizar, as conclusoes e perspectivas do

trabalho sao apresentadas no Capıtulo 5.

25

Capıtulo 2

Chaveamento automatico entre os

modos cego e de decisao direta

Neste capıtulo, e proposto um esquema baseado na combinacao convexa de filtros adapta-

tivos, que possibilita um chaveamento suave e automatico entre os modos de treinamento

cego e o de decisao direta. E proposto tambem um algoritmo autodidata para adaptacao

do parametro de mistura. Depois de um exemplo ilustrativo, sao apresentadas algumas

conclusoes do capıtulo.

2.1 Combinacao convexa do MMA com o LMS

O esquema proposto consiste na combinacao convexa de um equalizador autodidata com um

equalizador de decisao direta, como mostrado na Figura 2.1. Como na combinacao convexa

da Secao 1.2 (pagina 15), a saıda global do esquema e dada por

y(n) = η(n)y1(n) + [1− η(n)]y2(n), (2.1)

sendo η(n) ∈ [ 0, 1 ] o parametro de mistura e yi(n)=uT (n)wi(n − 1) as saıdas dos equali-

zadores autodidata e DD, respectivamente para i = 1, 2. Embora a configuracao proposta

possa ser usada com outros tipos de equalizadores, considera-se neste trabalho que y1(n) e

y2(n) sao as saıdas dos equalizadores MMA e LMS. A saıda global e decodificada por um

decisor e a sequencia decodificada, a(n − ∆), e usada como sinal desejado na adaptacao

do algoritmo LMS, que faz o papel de um algoritmo de decisao direta. Cabe observar que

2.1 Combinacao convexa do MMA com o LMS 26

a realimentacao da decisao global para atualizar o componente LMS introduz um acopla-

mento entre os filtros componentes. Especificamente para η(n) ≈ 1, a saıda decodificada do

componente MMA sera usada como sinal desejado na adaptacao do filtro LMS.

u(n)

w1(n− 1)

w2(n− 1)

y(n)

y1(n)

y2(n)

η(n)

1−η(n)

e2(n)

a(n−∆)

MMA

LMS

decisor

Figura 2.1: Combinacao convexa do MMA com o LMS. O filtro LMS opera no modo de decisao

direta, sendo que seus coeficientes sao atualizados utilizando a saıda do decisor como sinal desejado.

Para que a combinacao tenha um bom comportamento, e importante que os filtros com-

ponentes sejam adaptados de acordo com suas proprias regras. O parametro de mistura η(n),

por sua vez, deve ser adaptado para se obter um bom desempenho global [ARENAS-GARCIA;

FIGUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006]. Dessa forma, a combinacao pode unir os comportamentos

complementares dos filtros componentes, isto e, a capacidade de equalizacao autodidata do

MMA e o erro menor em regime do LMS no modo de decisao direta.

As equacoes de atualizacao do MMA e do LMS foram apresentadas na Secao (1.1.2)

(pagina 6) e serao repetidas aqui por conveniencia. A operacao padrao do equalizador MMA

consiste na minimizacao estocastica de

JMM,1(n) = E{[r − y21,R(n)

]2}+ E

{[r − y21,I(n)

]2}, (2.2)

sendo y1,R(n) e y1,I(n) as partes real e imaginaria de y1(n) e r a constante de dispersao

definida em (1.22). Sua equacao de atualizacao e dada

w1(n) = w1(n− 1) + ρ c1(n)u∗(n), (2.3)

sendo

c1(n) = c1,R(n) + jc1,I(n) =[r − y21,R(n)

]y1,R(n) + j

[r − y21,I(n)

]y1,I(n). (2.4)


O algoritmo LMS no modo de decisao direta minimiza uma aproximacao instantanea do

erro quadratico medio de decisao, definido como

JMSE,2(n) = E{|a(n−∆)− y2(n)|2

}. (2.5)

Sua equacao de adaptacao e dada por

w2(n) = w2(n− 1) + µe2(n)u∗(n), (2.6)

em que

ei(n) = a(n−∆)− yi(n), (2.7)

i = 1, 2 sao erros de decisao. Embora somente e2(n) seja usado em (2.6), o calculo de e1(n)

com a saıda do equalizador MMA e empregado na definicao do erro global, i.e.,

e(n) = η(n)e1(n) + [1− η(n)] e2(n)

= a(n−∆)− y(n). (2.8)

2.1.1 Adaptacao do parametro de mistrura

A fim de obter um equalizador totalmente cego, o parametro de mistura deve ser adaptado

para minimizar uma funcao custo tambem cega. Para isso, pode-se considerar a funcao custo

multimodulo para o sistema global, i.e.,

JMM(n) = E{[r − y2

R(n)

]2}+ E

{[r − y2

I(n)

]2}, (2.9)

e atualizar η(n) usando o metodo do gradiente estocastico. Dessa forma, considerando a

variavel auxiliar α(n) e a funcao de ativacao de (1.28) (pagina 17), basta calcular a deri-

vada de (2.9) com relacao a α(n) e aproximar as esperancas por seus valores instantaneos.

Seguindo esse procedimento, obtem-se a seguinte regra para adaptacao normalizada de α(n):

α(n) = α(n− 1) +ραp(n)

Re{c(n)[y1(n)− y2(n)]∗}ϕ′[α(n− 1)], (2.10)

sendo

c(n) =[r − y2

R(n)

]yR(n) + j

[r − y2

I(n)

]yI(n), (2.11)


ρα um passo de adaptacao, ϕ′[α(n − 1)] e p(n) definidos respectivamente em (1.31) e

(1.33). Como anteriormente, a variavel α(n) e restrita por saturacao ao intervalo simetrico

[−α+, α+] para garantir um nıvel mınimo de adaptacao em (2.10). As operacoes da com-

binacao convexa do MMA com o LMS estao mostradas na Tabela 2.1, onde dec[·] representa

a funcao do decisor.

Tabela 2.1: Sumario da combinacao convexa do MMA com o LMS, considerando (2.10).

Inicializacao:

w1(−1) = w2(−1) = [0 · · · 0 1 0 · · · 0]T , α(−1) = α+,

p(−1) = 1, r = E{a4R(n)}/E{a2

R(n)}

Para n = 0, 1, 2, . . . , calcule

η(n) = ϕ[α(n− 1)] =sgm[α(n− 1)]− sgm[−α+]


y1(n) = uT (n)w1(n− 1)

y2(n) = uT (n)w2(n− 1)

y(n) = η(n)y1(n) + [1− η(n)]y2(n)

a(n−∆) = dec[y(n)]

c1(n) =[r − y21,R(n)

]y1,R(n) + j

[r − y21,I(n)

]y1,I(n)

e2(n) = a(n−∆)− y2(n)

c(n) = [r − y2R(n)] yR(n) + j [r − y2

I(n)] yI(n)

ϕ′[α(n− 1)] =sgm[α(n− 1)]{1− sgm[α(n− 1)]}


p(n) = λp p(n− 1) + (1− λp)|y1(n)− y2(n)|2

α(n) = α(n− 1) +ραp(n)

Re{c(n)[y1(n)− y2(n)]∗}ϕ′[α(n− 1)]

Se |α(n)| > α+

α(n)← α+sign[α(n)]

Fim

w1(n) = w1(n− 1) + ρc1(n)u∗(n)

w2(n) = w2(n− 1) + µe2(n)u∗(n)

Fim

2.2 Um exemplo ilustrativo 29

2.2 Um exemplo ilustrativo

Para ilustrar o desempenho do esquema proposto, sao mostrados a seguir resultados de uma

simulacao, considerando o Cenario I descrito na Tabela 4.1 (pagina 48). Considera-se a

transmissao de um sinal 256-QAM atraves de um canal ruidoso que muda abruptamente

na iteracao n= 1,5 × 104. Na Figura 2.2-(a), e mostrado o MSE dos componentes MMA

e LMS e de sua combinacao convexa usando o algoritmo da Tabela 2.1. E importante

mencionar que um filtro LMS sozinho nao seria capaz de convergir nessa situacao sem uma

fase de treinamento inicial com uma sequencia piloto. No esquema proposto, o componente

MMA e o responsavel pela equalizacao preliminar do canal de comunicacao, sem fazer uso

de uma sequencia de treinamento. E possıvel observar na Figura 2.2-(c) que η(n) ≈ 1

no inıcio da convergencia. Uma vez que a sequencia decodificada e boa o suficiente para

possibilitar a convergencia do LMS no modo DD, a combinacao chaveia automaticamente

para o componente LMS quando η(n) ≈ 0. Um comportamento similar ocorre depois da

mudanca do canal em n = 1,5 × 104, o que mostra a habilidade do esquema proposto de

reverter para o componente cego quando necessario.

O uso de (2.10) na adaptacao da variavel auxiliar α(n) tem um papel crucial no desem-

penho da combinacao proposta. Para verificar isso, α(n) tambem foi adaptada com

α(n) = α(n− 1) +µα

p(n)Re{e(n)[y1(n)− y2(n)]∗}ϕ′[α(n− 1)], (2.12)

sendo µα um passo de adaptacao e e(n) definido em (2.8). Neste caso, considera-se o criterio

MSE em vez do MMA como na combinacao convexa de dois filtros LMS (veja Secao 1.2).

Para obter um comportamento adequado dessa combinacao, o passo de adaptacao µα

em (2.12) deve ser relativamente grande. O MSE para µα = 100 e uma realizacao de η(n)

ao longo do tempo estao mostrados nas Figuras 2.2-(b) e (c), respectivamente. Durante a

convergencia inicial, o sinal decodificado nao e uma boa referencia nem para a adaptacao

do componente LMS nem para a adaptacao de α(n). Consequentemente, e devido ao uso

de um valor grande para µα, o parametro de mistura oscila continuamente entre zero e um

e o desempenho global e similar ao do componente MMA. Entretanto, assim que o MSE

atinge um nıvel suficientemente baixo, o filtro combinado chaveia rapidamente para o modo

de decisao direta.


−20

0

0,5 1,5 2,5 3,51 2 3 4

20

10

−10

Componente MMA

Componente LMS

Combinacao usando (2.10)

MSE(dB)

(a)

−20

0

0,5 1,5 2,5 3,51 2 3 4

20

10

−10

Componente MMA

Componente LMS


MSE(dB)

(b)

0

0,5

0,5 1,5 2,5 3,5

1

1 2 3 4

Adaptacao c/ (2.10)

Adaptacao c/ (2.12)

Iteracoes ×10 4

(c)

η(n)

Figura 2.2: MSE dos esquemas de combinacao para o Cenario I da Tabela 4.1: (a) MSE do

MMA, LMS, e da combinacao convexa proposta, estimado com uma media de conjunto de 1000

realizacoes; (b) MSE do MMA, LMS e de sua combinacao convexa usando (2.12); (c) Parametros

de mistura considerando uma realizacao dos algoritmos.


Apesar de desempenhos muito similares em termos de MSE, uma analise da taxa de erro

de sımbolo (SER - symbol error rate) mostra uma vantagem clara do criterio MMA. Na

Figura 2.3, sao mostradas curvas de SER em regime em funcao da SNR para os componen-

tes MMA e LMS e para a combinacao convexa, usando (2.10) e (2.12) para adaptar α(n) e

considerando o primeiro canal do Cenario I (Tabela 4.1). Essas taxas de erro foram estima-

das depois da convergencia, comparando a sequencia transmitida com a sequencia obtida na

saıda do decisor e contando o numero de erros. Foram desprezados 2×105 sımbolos devido a

convergencia e usados 107 sımbolos para estimar a SER para cada valor de SNR. A curva de

SER para a solucao de Wiener com ∆=13 tambem e mostrada na figura para comparacao.

Observa-se que a adaptacao MMA de α(n) faz com a que a combinacao em regime se com-

porte exatamente como o componente DD, tendo um desempenho relativamente proximo

ao da solucao de Wiener. Em contrapartida, a adaptacao MSE introduz uma degradacao

significativa em termos de SER, que pode ser observada no desempenho da combinacao e do

componente DD. Provavelmente, isso ocorre devido ao valor grande de µα necessario para

adaptacao de α(n) com (2.12).

Componente MMAComponente LMS usando (2.10)Componente LMS usando (2.12)

Combinacao usando (2.12)Combinacao usando (2.10)

Wiener

20 22,5 27,5 32,525 30 35

100

10−1

10−2

10−3

10−4

10−5

10−6

SER

SNR (dB)

Figura 2.3: SER em regime em funcao da SNR para o MMA, o LMS e suas combinacoes

usando (2.10) e (2.12); primeiro canal do Cenario I da Tabela 4.1.

2.3 Conclusoes 32

Curvas de SER em funcao do numero de sımbolos recebidos sao mostradas na Figura 2.4

para o Cenario I (Table 4.1), considerando SNR = 30 dB e uma mudanca abrupta do canal

na iteracao n = 4 × 104. Essas curvas foram obtidas fixando-se os coeficientes dos filtros

componentes e da combinacao em cada iteracao e transmitindo 5 × 105 sımbolos para se

calcular a SER. Novamente, pode-se observar que a combinacao usando (2.10) apresenta uma

clara vantagem com relacao a combinacao usando (2.12), que nao converge adequadamente

para um valor fixo de SER. Por esse motivo, nos capıtulos seguintes considera-se apenas a

combinacao convexa com a adaptacao (2.10), cujas operacoes estao mostradas na Tabela 2.1.

100

10−0,4

10−0,8

10−1,2

10−1,6

10−2

1 2 3 4 5 6 7 8

Iteracoes

Componente MMA

×100

4

SER

Componente LMS c/ (2.10)

Componente LMS c/ (2.12)



Figura 2.4: SER ao longo das iteracoes para o Cenario I (Tabela 4.1) com SNR = 30 dB.

Media de conjunto de 100 realizacoes.

2.3 Conclusoes

Neste capıtulo, foi proposta a combinacao convexa do MMA com o LMS a fim de se obter

um esquema de equalizacao autodidata com chaveamento suave para o modo de de decisao

direta. Diferente das combinacoes anteriores propostas na literatura, os filtros componentes

2.3 Conclusoes 33

nao sao independentes, ja que a saıda do decisor obtida com a estimativa combinada faz

o papel de sinal desejado na adaptacao do filtro LMS. Atraves de um exemplo ilustrativo,

observou-se que a adaptacao baseada no criterio multimodulo e mais vantajosa que a baseada

no erro de decisao ao quadrado. Provavelmente, isso acontece por causa do valor elevado

do passo µα usado na adaptacao de α(n) com (2.12) e tambem porque o erro de decisao

e muito elevado no inıcio da convergencia ou depois de mudancas abruptas do canal. A

Equacao (2.10) se mostrou adequada para adaptacao de α(n), independentemente da razao

sinal-ruıdo. Por esse motivo, somente o algoritmo da Tabela 2.1 que usa a adaptacao (2.10)

sera considerado nos capıtulos seguintes.

34

Capıtulo 3

Analise estatıstica em regime

Neste capıtulo, sao obtidas expressoes analıticas para o EMSE em regime da combinacao

convexa do MMA com o LMS em um ambiente nao-estacionario. O EMSE da combinacao

depende do EMSE dos filtros componentes e tambem do EMSE cruzado [ARENAS-GARCIA;

FIGUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006]. Como a literatura contem expressoes para o EMSE do LMS

e do MMA, obtem-se aqui uma expressao para o EMSE cruzado, usando a conservacao de

energia de [SAYED, 2008, Cap. 21] e os resultados da analise em regime do LMS [SAYED, 2008],

CMA [DING; LI, 2001; MAI; SAYED, 2000; SILVA; NASCIMENTO, 2008a, 2008b; SAYED, 2008]

e MMA [MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c]. Inicia-se descrevendo as hipoteses simpli-

ficadoras usadas na analise e definindo-se os indicadores de desempenho. Entao, revista-se

a expressao analıtica do EMSE da combinacao convexa de filtros adaptativos, obtida em

[ARENAS-GARCIA; FIGUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006, Secao III]. Na sequencia, obtem-se uma

expressao analıtica para o EMSE cruzado da combinacao. Por fim, resultados de simulacao

sao mostrados com o intuito de verificar a precisao da analise em regime.

3.1 Hipoteses simplificadoras e indicadores de desem-

penho

A analise apresentada aqui e baseada nas seguintes hipoteses simplificadoras:

A1. O sinal transmitido a(n−∆) esta relacionado com u(n) atraves de

a(n−∆) = uT (n)wo(n− 1) + v(n), (3.1)

3.1 Hipoteses simplificadoras e indicadores de desempenho 35

sendowo(n−1) a solucao otima e v(n) = vR(n)+jvI(n) um ruıdo complexo, considerado

iid, com media nula e variancia σ2v = E{|v(n)|2} = 2E{v2

R(n)} = 2E{v2

I(n)}. A fim

de tornar a analise de desempenho mais simples, as sequencias {u(n)} e {v(n)} sao

consideradas estacionarias. Considera-se tambem que v(n) e independente de {u(ℓ)},

ℓ ≤ n (nao apenas descorrelacionado).

O modelo (3.1) e comumente utilizado em identificacao de sistemas, sendo chamado de mo-

delo de regressao linear [SAYED, 2008], mas tambem e usado em analises de algoritmos de

equalizacao adaptativa como mostrado em [RUPP, 2011]. Para um equalizador sobreamos-

trado com taxa 2/T na ausencia de ruıdo, v(n) ≡ 0 e o filtro otimo atinge a equalizacao

perfeita [TREICHLER; FIJALKOW; JR., 1996; MAI; SAYED, 2000].

A2. Em um ambiente nao-estacionario, a solucao otima segue o modelo

wo(n) = wo(n− 1) + q(n), (3.2)

sendo q(n) um vetor iid com matriz de autocorrelacao positiva-definida dada por

Q = E{q∗(n)qT (n)}. (3.3)

Considera-se que q(n) e independente das condicoes iniciais {wo(0),wi(0), α(0)}, i =

1, 2 e de {u(ℓ), a(ℓ−∆)} para todo ℓ ≤ n.

Esse modelo e conhecido na literatura como random-walk model [SAYED, 2008]. No caso do

equalizador ser implementado na taxa de sımbolos, wo(n) e dado pela solucao de Wiener.

Em contrapartida, no caso de um equalizador sobreamostrado com 2/T , wo(n) representa

a solucao de forcagem a zero (zero-forcing) [TREICHLER; FIJALKOW; JR., 1996; MAI; SAYED,

2000].

A3. ‖u(n)‖2 e independente de c1(n) e e2(n) em regime. Em analises de filtros adaptati-

vos supervisionados em regime, essa hipotese e usualmente chamada de princıpio da

separacao [SAYED, 2008]. Uma hipotese similar foi adotada na analise do CMA [MAI;

SAYED, 2000; SILVA; MIRANDA, 2004; SILVA; NASCIMENTO, 2008b] e MMA [MENDES

FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c].

3.1 Hipoteses simplificadoras e indicadores de desempenho 36

Para medir o desempenho do esquema combinado em regime, e importante definir pre-

viamente o EMSE e o EMSE cruzado dos filtros componentes, i.e.,

ζi , limn→∞

E{|ea,i(n)|2}, i = 1, 2 (3.4)

e

ζ12 , limn→∞

E{ea,1(n)e∗a,2(n)} = limn→∞

E{e∗a,1(n)ea,2(n)}, (3.5)

em que

ea,i(n) = uT (n)wi(n− 1), i = 1, 2 (3.6)

sao erros a priori dos filtros MMA e LMS e

wi(n− 1) = wo(n− 1)−wi(n− 1), i = 1, 2 (3.7)

correspondem aos vetores de erro dos coeficientes1.

Usando (2.1) (pagina 25), nota-se que o esquema combinado pode ser visto como um

filtro com coeficientes

w(n− 1) = η(n)w1(n− 1) + [1− η(n)]w2(n− 1).

Consequentemente, o erro a priori da combinacao pode ser expresso como

ea(n) = uT (n) [wo(n− 1)−w(n− 1)]

= η(n)ea,1(n) + [1− η(n)]ea,2(n) (3.8)

e o EMSE em regime da combinacao e definido como

ζ , limn→∞

E{|ea(n)|2}. (3.9)

Para simplificar a analise, considera-se tambem que

A4. em regime, o parametro de mistura η(n) e independente dos erros a priori ea,i(n) de

ambos os filtros componentes e tem uma variancia pequena [ARENAS-GARCIA; FIGUEI-

RAS-VIDAL; SAYED, 2006].

1Na Secao 3.3, sera visto que o EMSE cruzado ζ12 e uma grandeza real em regime, o que justifica a

definicao dada em (3.5).

3.2 EMSE em regime da combinacao 37

3.2 EMSE em regime da combinacao

Sob a Hipotese A4 e usando (3.8), o EMSE em regime do filtro combinado pode ser estimado

como [ARENAS-GARCIA; FIGUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006, Secao III]

ζ ≈E{η2(∞)

}ζ1 + E

{[1− η(∞)]2

}ζ2

+ 2E {η(∞)[1− η(∞)]} ζ12. (3.10)

Sob a hipotese de variancia nula para η(∞), a combinacao do MMA com o LMS e aproxi-

madamente universal na media quadratica, ja que ela apresenta um desempenho igual ou

superior que os dos filtros que a compoem. Dessa forma, quando o MMA e superior que o

LMS em regime, η(∞) = 1 e o comportamento da combinacao estara proximo ao do MMA,

i.e., ζ ≈ ζ1. Em contrapartida, quando o LMS e superior que o MMA em regime, η(∞) = 0

e ζ ≈ ζ2. Alem disso, ha situacoes em que ζ12 < ζi, i = 1, 2 e a combinacao sera superior

que seus componentes. Neste caso, o EMSE do filtro combinado pode ser estimado como

ζ ≈ ζ12 +∆ζ1∆ζ2

∆ζ1 +∆ζ2, (3.11)

sendo ∆ζi = ζi − ζ12, i = 1, 2. Essa expressao foi obtida em [ARENAS-GARCIA; FIGUEI-

RAS-VIDAL; SAYED, 2006, Eq.(33)] para a combinacao de dois filtros LMS com diferentes

passos de adaptacao. Entretanto, como notado em [ARENAS-GARCIA; FIGUEIRAS-VIDAL;

SAYED, 2006], (3.11) tambem vale para combinacoes convexas de outros algoritmos, como a

proposta neste trabalho.

Em resumo, o EMSE da combinacao do MMA com o LMS pode ser estimado pelo mınimo

entre os valores calculados pelas expressoes analıticas de ζ1, ζ2 e (3.11), i.e.,

ζ ≈ min{ζ1, ζ2, (3.11)}.

3.3 EMSE cruzado em regime

As equacoes de atualizacao do MMA e do LMS podem ser reescritas em funcao de seus

respectivos vetores de erro dos coeficientes. Dessa forma, subtraindo ambos os lados de (2.3)

e (2.6) de wo(n) e usando (3.7) e (3.2), chega-se a

w1(n) = w1(n− 1)− ρ c1(n)u∗(n) + q(n) (3.12)

3.3 EMSE cruzado em regime 38

e

w2(n) = w2(n− 1)− µ e2(n)u∗(n) + q(n). (3.13)

Para obter uma expressao teorica para ζ12, w1(n) deve ser multiplicado a esquerda pelo

hermitiano (complexo conjugado transposto) de w2(n), denotado como wH

2 (n). Calculando

as esperancas de ambos os lados da expressao resultante, usando (3.6) e a Hipotese A2,

depois de algumas manipulacoes algebricas, chega-se a

E{wH

2 (n)w1(n)} = E{wH

2 (n− 1)w1(n− 1)}

− ρE{c1(n)e∗a,2(n)} − µE{ea,1(n)e∗2(n)}

+ ρ µE{c1(n)e∗2(n)‖u(n)‖2}+ E{qH(n)q(n)}. (3.14)

Considerando que os filtros atingem o regime, i.e.,

E{wH

2 (n)w1(n)} ≈ E{wH

2 (n− 1)w1(n− 1)}, para n→∞

e sob a Hipotese A3, (3.14) pode ser reescrita para n→∞ como

−Tr(Q) =− ρE{c1(n)e∗a,2(n)} − µE{ea,1(n)e∗2(n)}

+ ρ µTr(R)E{c1(n)e∗2(n)}, (3.15)

sendo que Tr(·) representa o traco de uma matriz e R , E{u∗(n)uT (n)} e a matriz de

autocorrelacao do sinal de entrada.

Para prosseguir, e necessario encontrar relacoes entre c1(n) e ea,1(n), e entre e2(n) e

ea,2(n). Usando (3.6), (3.7) e (3.1) (Hipotese A1), pode-se reescrever yi(n), i = 1, 2 em

funcao de ea,i(n), isto e,

yi(n) = uT (n)wi(n− 1)

= uT (n)[wo(n− 1)− wi(n− 1)]

= a(n−∆)− ea,i(n)− v(n), i = 1, 2. (3.16)

De (3.16), uma relacao entre e2(n) e ea,2(n) pode ser obtida diretamente usando (2.7) e

considerando que a(n−∆) = a(n−∆) em regime, o que leva a

e2(n) = ea,2(n) + v(n). (3.17)


Esta e uma relacao bem conhecida para filtros adaptativos supervisionados, como e o caso

do LMS [SAYED, 2008].

Em contrapartida, obter uma relacao entre c1(n) e ea,1(n) para o MMA nao e tao simples

e requer hipoteses simplificadoras adicionais [MAI; SAYED, 2000; SILVA; NASCIMENTO, 2008a,

2008b; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c]. Substituindo (3.16) em (2.4) e considerando

que os termos que dependem de eka,1,R(n) e eka,1,I(n) sao suficientemente pequenos para k ≥ 2

quando comparados aos termos lineares em ea,1,R(n) e ea,1,I(n) (veja Apendice C), c1(n) pode

ser aproximado em regime por

c1(n) ≈ [γR(n)ea,1,R(n) + βR] + j [γI(n)ea,1,I(n) + βI(n)] , (3.18)

sendo

γR(n), 3a2R(n−∆)−r−6vR(n)aR(n−∆)+3v2

R(n) (3.19)

e

βR(n) , r aR(n−∆)−a3R(n−∆)−3aR(n−∆)v2

R(n)

+vR(n)[3a2

R(n−∆)−r

]+v3

R(n). (3.20)

Expressoes para γI(n) e βI(n) podem ser obtidas substituindo o subscrito ‘R’ pelo subscrito

‘I’ nas expressoes acima. As principais hipoteses usadas na obtencao desse modelo estao

resumidas no Apendice C. Como os termos que dependem de vkRpara k ≥ 2 nao foram

desprezados nas definicoes (3.19) e (3.20) (similar para a parte imaginaria correspondente),

este modelo e uma extensao dos modelos anteriores usados em analises de regime e transitorio

do CMA e MMA.

Dessa forma, usando (3.17), (3.18), a Hipotese A1 e os resultados do Apendice C, obtem-

se as seguintes aproximacoes em regime

E{c1(n)e∗a,2(n)} ≈ γζ12, (3.21)

E{ea,1(n)e∗2(n)} ≈ ζ12, (3.22)

e

E{c1(n)e∗2(n)}≈ γζ12+E{c1(n)v∗(n)}, (3.23)


sendo que γ , E{γR(n)}=E{γI(n)} e uma constante que depende de estatısticas de ordem

superior da sequencia transmitida e esta definida na Eq. (C.2) (pagina 81). Sob a Hipotese

A7 do Apendice C,

E{γR(n)ea,1,R(n)v∗(n)} = E{γI(n)ea,1,I(n)v

∗(n)} ≈ 0.

Consequentemente, o ultimo termo do lado direito de (3.23) pode ser aproximado por

E{c1(n)v∗(n)} ≈ E{β(n)v∗(n)}

≈ γσ2v + E{|v(n)|4} − 0,5σ4

v . (3.24)

Substituindo (3.24), (3.22) e (3.21) em (3.15), chega-se a

ζ12 ≈ρµTr(R)[γσ2

v+E{|v(n)|4}−0,5σ4v ]+Tr(Q)

ργ + µ− ρµγTr(R). (3.25)

Para γσ2v ≫ E{|v(n)|4}−0,5σ4

v , (3.25) se reduz a

ζ12 ≈ρµTr(R)γσ2

v+Tr(Q)

ργ + µ− ρµγTr(R). (3.26)

Como afirmado anteriormente, e possıvel constatar nessa expressao que o EMSE cruzado em

regime entre o MMA e o LMS e uma grandeza real.

Expressoes analıticas para o EMSE do MMA (ζ1) em um ambiente nao-estacionario foram

obtidas anteriormente na literatura (veja, e.g., [SILVA; NASCIMENTO, 2008a, 2008b; MENDES

FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c]). Em [MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c], por exemplo,

uma versao normalizada do MMA foi analisada em regime usando o metodo da conservacao

de energia e hipoteses simplificadoras, similares as consideradas aqui. A expressao do EMSE

obtida em [MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c] pode ser estendida diretamente para a

versao nao-normalizada do MMA e esta mostrada na Tabela 3.1. Esta tabela tambem contem

uma expressao para o EMSE do LMS (ζ2) [SAYED, 2008] conjuntamente com a expressao

(3.26) para o EMSE cruzado (ζ12).

3.4 Precisao da analise 41

Tabela 3.1: Expressoes analıticas para o EMSE e EMSE cruzado em regime dos filtros MMA

e LMS em um ambiente nao-estacionario.

ζ1 (MMA) ζ2 (LMS) ζ12

ρ σ2βTr(R) + Tr(Q)/ρ

2γ − ρ¯γTr(R)

µσ2vTr(R) + Tr(Q)/µ

2− µTr(R)

ρµTr(R)γσ2v+Tr(Q)

ργ + µ− ρµγTr(R)

σ2β ≈ 2E{a6

R(n)− r2a2

R(n)}+ σ2

vE{3a4R(n) + r2}

γ ≈ 1.5(σ2a + σ2

v)− r¯γ ≈ 1.5

(r+9σ2

v

)σ2a+r

2 − 3rσ2v

σ2v ≈ E{|a(n)|2} −wH

o (0)Rwo(0)

3.4 Precisao da analise

Para verificar a precisao da analise em regime, considera-se a transmissao de um sinal

64-QAM atraves do canal

h = [ 0,2258 0,5161 0,6452 −0,5161 ]T

na ausencia de ruıdo [LAZARO et al., 2005, Eq. (29)]. Considera-se ainda que o equalizador

e implementado na taxa de sımbolos com M = 12 coeficientes e que a combinacao con-

vexa do MMA (ρ = 10−6) com o LMS (diferentes passos de adaptacao) utiliza (2.10) com

ρα = 5× 10−3 para adaptacao da variavel auxiliar α(n).

Na Figura 3.1-(a) sao mostradas curvas de EMSE para o MMA e o LMS e de seu EMSE

cruzado, preditas pelas expressoes da Tabela 3.1, considerando um ambiente estacionario

[Tr(Q) = 0]. Os valores experimentais, estimados com uma media de conjunto de 1000

realizacoes, tambem estao mostrados na figura. Como foi usado um passo fixo para o MMA,

seu EMSE em regime nao varia, sendo aproximadamente igual a −10 dB. Pode-se observar

que os resultados experimentais concordam com a analise para todo o intervalo de passo

de adaptacao considerado. O EMSE em regime da combinacao nao e mostrado na figura,

ja que neste caso, sempre ocorre um chaveamento suave para o filtro LMS e a combinacao

apresenta o mesmo EMSE em regime deste componente.

3.4 Precisao da analise 42

MMA − teo

MMA − exp

LMS − teo

LMS − exp

EMSE cruzado − teo

EMSE cruzado − exp

(a)

−60

−50

−40

−30

−20

−10

−3−4−5−6−71010101010

EMSE(dB)

µ

MMA − teo

MMA − exp

LMS − teo

LMS − exp

EMSE cruzado − teo

EMSE cruzado − exp

(b)

−30

−20

−10

−15

−35

−25

−5

−3−4−5−6−71010101010

EMSE(dB)

Combinacao - teo

Combinacao - exp

Figura 3.1: EMSE teorico (teo) e experimental (exp) em funcao do passo de adaptacao do LMS

(µ); ρ = 10−6; 64-QAM, Canal H2(z) de [LAZARO et al., 2005, Eq. (29)], ausencia de ruıdo,

implementacao na taxa de sımbolos, M = 12, media de conjunto de 1000 realizacoes; (a) ambiente

estacionario e (b) ambiente nao-estacionario com Q = 8× 10−9I.

3.5 Conclusoes 43

Considerando agora um ambiente nao-estacionario com Q = 8 × 10−9I, sao obtidas as

curvas teoricas e experimentais de EMSE, mostradas na Figura 3.1-(b). Novamente, como

e considerado um passo de adaptacao fixo para o MMA (ρ = 10−6), seu EMSE nao varia.

Em contrapartida, a curva de EMSE do LMS varia com µ e apresenta um mınimo que

ocorre aproximadamente para µ = 7× 10−5. Como esperado, a combinacao do MMA com o

LMS apresenta um desempenho igual ou melhor que os de seus filtros componentes, sendo

melhor que ambos simultaneamente para um certo intervalo do passo de adaptacao do LMS.

Novamente, a analise concorda com os resultados experimentais para todo o intervalo de

passo de adaptacao do LMS considerado.

Cabe mencionar que resultados igualmente precisos tambem sao obtidos variando-se o

passo de adaptacao do MMA e considerando um passo de adaptacao fixo para o LMS.

3.5 Conclusoes

Devido aos diferentes criterios dos algoritmos considerados na combinacao, a obtencao de

uma expressao analıtica para o EMSE cruzado em regime nao e simples. Um fator compli-

cador desta analise e o fato do MMA ser um algoritmo autodidata baseado em uma funcao

custo nao-linear. Gracas a resultados de analises do CMA e MMA existentes na literatura,

uma expressao analıtica para o EMSE cruzado entre o MMA e o LMS foi obtida neste

capıtulo. Essa expressao em conjunto com (3.10) e com as expressoes analıticas dos EMSEs

dos filtros componentes da Tabela 3.1 possibilitam a predicao teorica do EMSE da com-

binacao em regime. Atraves de resultados de simulacao, verificou-se que ocorre uma boa

concordancia entre os resultados teoricos e experimentais.

Sobre a analise da combinacao, cabe ainda discutir dois aspectos importantes:

- Analise do transitorio: uma analise completa da combinacao deve levar em conta o

transitorio e nao apenas o regime permanente como foi feito neste capıtulo. No entanto,

devido a nao linearidade da funcao sigmoidal, esse problema e muito complicado. Em

[NASCIMENTO et al., 2009] e [SILVA; NASCIMENTO; ARENAS-GARCIA, 2010], foram obti-

dos modelos teoricos para a combinacao de dois filtros LMS no transitorio e em regime

permanente, usando aproximacoes de serie de Taylor para as nao-linearidades. Foram

obtidas expressoes para a evolucao no tempo da media e da variancia do parametro de

3.5 Conclusoes 44

mistura, alem do EMSE da combinacao. No entanto, esses modelos nao apresentam

uma boa concordancia com a simulacao, principalmente durante o chaveamento entre

os filtros componentes. Esse ainda e um problema em aberto, que continua sendo

investigado.

- Metodo de analise: o metodo usado na analise de filtros adaptativos e uma escolha

do projetista. Na literatura, e comum fazer a analise atraves do metodo tradicional,

em que se obtem uma recursao para a matriz de covariancia do vetor de erro dos

coeficientes ou atraves da conservacao de energia, baseada no valor esperado da norma

euclidiana do vetor de erro dos coeficientes. E importante salientar que esses metodos

envolvem hipoteses simplificadoras diferentes e por isso, nem sempre chegam as mesmas

expressoes. Em geral, a conservacao de energia e um metodo mais simples quando se

esta interessado apenas no regime permanente [NASCIMENTO; SILVA, 2013] e por esse

motivo, ela foi utilizada neste capıtulo.

45

Capıtulo 4

Resultados de simulacao

Neste capıtulo, sao mostrados resultados que ilustram o bom comportamento do esquema

proposto em diferentes cenarios de simulacao. Ele e comparado com algoritmos de cha-

veamento entre os modos de treinamento cego e o modo de decisao direta existentes na

literatura. Inicia-se com uma breve descricao dos algoritmos usados na comparacao. Em se-

guida, descrevem-se os cenarios de simulacao. Os resultados sao entao mostrados e discutidos

em tres secoes subsequentes. O capıtulo termina com uma secao de conclusoes.

4.1 Algoritmos de chaveamento entre o modo cego e

de decisao direta

O esquema proposto nesta tese e comparado com os algoritmos de [PICCHI; PRATI, 1987; WE-

ERACKODY; KASSAM, 1994; CASTRO; CASTRO; ARANTES, 2001; MENDES FILHO; MIRANDA;

SILVA, 2012c]. Para facilitar a identificacao, esses algoritmos foram chamados pelos sobre-

nomes de um dos autores, i.e., Picchi, Kassam, Castro e Mendes, respectivamente.

O algorithm de Picchi [PICCHI; PRATI, 1987] e baseado em um modo de operacao do

tipo stop-and-go para o algoritmo de decisao direta (DD). Em cada iteracao, um indicador

(flag) inibe a adaptacao se a confiabilidade do erro de decisao nao e suficientemente grande

para justificar a sua utilizacao na atualizacao dos coeficientes. O algoritmo de Kassam

[WEERACKODY; KASSAM, 1994] e do tipo modulo constante com dois modos de operacao,

em que uma regra decide em cada iteracao pelo CMA ou pelo algoritmo guiado por raios

4.2 Cenarios de simulacao, parametros e medida de desempenho 46

(RDE - radius-directed equalization), que e um algoritmo do tipo decisao-direta. O algoritmo

de Castro [CASTRO; CASTRO; ARANTES, 2001] combina o CMA e o algoritmo DD de forma

concorrente. Em cada iteracao, uma variavel auxiliar, baseada na estimativa obtida com

o CMA, e usada para decidir se os coeficientes do DD devem ser atualizados ou nao. Por

fim, o algoritmo de Mendes [MENDES FILHO, 2011; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c]

modificou a funcao de erro do MMA para possibilitar que o algoritmo autodidata convergisse

na media para a solucao de Wiener, evitando dessa forma o chaveamento entre os modos

cego e DD. O algoritmo de Mendes e conhecido na literatura como algoritmo multimodulo

regional (RMA - regional multimodulus algorithm) e e revisitado no Apendice B.

Na comparacao, considera-se tambem o chaveamento abrupto (hard switching) entre o

algoritmo de equalizacao autodidata e o algoritmo DD, usado como filtros componentes na

combinacao. O momento de chaveamento segue um limiar de MSE, calculado para assegurar

uma taxa de erro de sımbolo menor que 10−1, como sugerido em [JOHNSON JR. et al., 2000,

p.88–89]. Neste caso, o MSE e estimado atraves de uma janela exponencial, i.e.,

ξ(n) = λe ξ(n− 1) + (1− λe)|a(n−∆)− y(n)|2,

sendo ξ(0) = 1 e 0 ≪ λe < 1 o fator de esquecimento. Considerou-se λe = 0.9 em todas as

simulacoes. O chaveamento abrupto ocorre se ξ(n) e menor que o limiar de MSE em uma

dada iteracao n. Como esse chaveamento depende de varios fatores como constelacao, canal,

ou razao sinal-ruıdo, ele foi ajustado independentemente para cada cenario de simulacao.

4.2 Cenarios de simulacao, parametros e medida de

desempenho

Os cenarios de simulacao foram caracterizados por diferentes constelacoes, razoes sinal-ruıdo

(SNRs), filtros componentes e canais de comunicacao. Para facilidade de reproducao dos

resultados apresentados, os canais de comunicacao considerados foram usados previamente

em trabalhos ja publicados. Os parametros dos cenarios de simulacao estao apresentados na

Tabela 4.1.

No Cenario I, considera-se a transmissao de um sinal 256-QAM atraves do canal telefonico

de [PICCHI; PRATI, 1987, Fig.2] que muda abruptamente para o canal h = [ 0.3 1 0.3 ]T de

4.2 Cenarios de simulacao, parametros e medida de desempenho 47

[MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c] na iteracao n = 2,5× 105. Em ambos os casos, a

razao sinal-ruıdo foi de SNR = 40 dB. Alem disso, todos os algoritmos foram implementados

na taxa de sımbolos (1/T ).

No Cenario II, um sinal 64-QAM e transmitido atraves de canais de microondas ruidosos

(chan6 e chan9), obtidos da base de dados disponıvel em [SPIB, 2012] e com uma razao

sinal-ruıdo de SNR = 40 dB. Novamente, ocorre uma mudanca abrupta no canal (de chan6

para chan9) na iteracao n = 4 × 104. Neste caso, os algoritmos foram implementados com

sobreamostragem (2/T ) como explicado na Secao 1.1.1 (pagina 4).

No Cenario III, considera-se novamente a implementacao na taxa de sımbolos. Uma

mudanca abrupta no canal ocorre em n = 105 e vai do canal de [CHEN, 2003, Table 2] para

o canal de [LAZARO et al., 2005, Eq. (29)] com SNR = 30 dB. Alem disso, o sinal e gerado

a partir da constelacao V.29, especificada na recomendacao ITU-T para a transmissao de

9600-bits/s em canais com fio [ITU-T, 1988].

Os parametros dos algoritmos usados na comparacao foram ajustados para se obter

um bom compromisso entre velocidade de convergencia e desempenho em regime. Esses

parametros estao mostrados na Tabela 4.1 e estao identificados com os mesmos sımbolos

usados nos artigos onde foram originalmente publicados. Nas simulacoes, todos os equali-

zadores (incluindo o componente DD) foram inicializados com o tıpico vetor “pino” (veja

Eq. (1.20) da pagina 10) [DING; LI, 2001; JOHNSON JR. et al., 2000]. A variavel auxiliar da

combinacao foi inicializada com α(−1) = α+. Isso faz com que no inıcio, a combinacao

tenha um desempenho semelhante ao do componente autodidata [η(n) ≈ 1]. Entretanto,

qualquer outro valor inicial no intervalo [0, 1] nao afetaria significativamente o desempenho

da combinacao, ja que η(n) converge rapidamente para 1 quando o componente DD ainda

nao convergiu. Isso ocorre, por exemplo, depois de uma mudanca abrupta no canal.

Como medida de desempenho, considera-se o erro quadratico medio

MSE(n) = E{|a(n−∆)− y(n)|2

},

estimado ao longo das iteracoes atraves de uma media de conjunto de 1000 realizacoes.

4.2

Cenariosdesim

ulacao,parametrosemedidadedesempenho

48

Tabela 4.1: Cenarios de simulacao e parametros dos algoritmos.

Parametros Cenario I Cenario II Cenario III

Constelacao 256-QAM 64-QAM V.29 [ITU-T, 1988]

Canais Canal da Fig. 2 de chan6 e chan9 de Canal de [CHEN, 2003, Tab.2]

[PICCHI; PRATI, 1987] [SPIB, 2012] e H2(z) da Eq. (29) de

e h = [ 0.3 1 0.3 ]T [LAZARO et al., 2005]

SNR 40 dB 40 dB 30 dB

Taxa de processamento taxa dos sımbolos (1/T ) sobreamostragem (2/T ) taxa dos sımbolos (1/T )

Numero de coeficientes M=21 M=6 M=35

LMS µ=5× 10−5 µ=5× 10−4 –

MMA ρ=10−7 ρ=10−6 –

EF-LSL – – λ=0,999, δ=104,

DM-LSWA ǫ = 10−13, µp=5× 10−4

Combinacao (2.10) ρα=5× 10−4 ρα=5× 10−3 ρα=5× 10−4

Picchi α=5× 10−6, β=14 α=5× 10−4, β=6 –

Kassam α=10−7, d=0,4 α=5× 10−6, d=0,7 –

Castro ηv=5× 10−5, ηw=10−8 ηv=2× 10−4, ηw=10−6 ηv=10−4, ηw=10−6

Mendes µ=5× 10−4 – –

Chaveamento abrupto limiar de MSE: 0,1 limiar de MSE: 0,5 limiar de MSE: 0,25

4.3 Cenario I: 256-QAM 49

4.3 Cenario I: 256-QAM

Voltando aos resultados da simulacao da Figura 2.2 (pagina 30), que foi realizada para este

mesmo cenario, compara-se agora o desempenho do esquema proposto com os de algumas

tecnicas de equalizacao autodidata para chaveamento suave, existentes na literatura. As

curvas de MSE ao longo das iteracoes para todos os esquemas considerados sao mostradas

na Figura 4.1. Pode-se observar que a combinacao convexa do MMA com o LMS usando

(2.10) apresenta um desempenho superior que os dos outros esquemas de chaveamento suave

em termos de velocidade de convergencia. Alem disso, ela atinge umMSE em regime proximo

ao da solucao de Wiener com um atraso de ∆=13 amostras, independentemente da razao

sinal-ruıdo como mostrado nas curvas de SER da Figura 2.3 (pagina 31). O algoritmo de

Castro leva mais iteracoes para convergir que a combinacao convexa e nao e capaz de atingir

o mesmo MSE em regime. Isso ocorre devido ao CMA, que nunca e desprezado no algoritmo

concorrente. O algoritmo de Mendes e mais lento que o de Castro e atinge um MSE em

regime ligeiramente menor que o da combinacao. Alem de mais lento, esse algoritmo parece

convergir para mınimos locais mais frequentemente que os outros (1.1% das realizacoes desse

algoritmo foi desprezada para obter a curva mostrada na figura). Finalmente, o algoritmo

de Kassam apresenta a convergencia mais lenta e o algoritmo de Picchi apresenta um atraso

relativamente grande antes de convergir para seu valor final de MSE em regime.

PicchiPicchi

CastroCastro

Kassam

Kassam

MendesCombinacao

Iteracoes

MSE(dB)

−30

−20

−10

0

0 1 2 3 4 5

10

20

×10 5

Figura 4.1: MSE ao longo das iteracoes para o Cenario I e parametros dos algoritmos especificados

na Tabela 4.1.

4.4 Cenario II: 64-QAM 50

4.4 Cenario II: 64-QAM

Diferente da simulacao anterior, considera-se agora um equalizador sobreamostrado com

2/T e somente M = 6 coeficientes. Na Figura 4.2 sao mostradas curvas de MSE ao longo

das iteracoes. O algoritmo de Picchi nao e mostrado na figura ja que seu desempenho e

indistinguıvel do obtido com o algoritmo de Kassam. Antes da mudanca abrupta do canal, a

combinacao convexa do MMA com o LMS e o chaveamento abrupto apresentam desempenhos

semelhantes, seguidos pelos algoritmos de Kassam e de Castro. Depois da mudanca abrupta

do canal, a combinacao converge mais rapido que o algoritmo de Kassam, atingindo um

MSE em regime ligeiramente superior. O chaveamento abrupto apresenta a convergencia

mais lenta e o algoritmo de Castro um comportamento intermediario entre o do algoritmo

de Kassam e o do chaveamento abrupto. Comparando com os resultados da Figura. 4.1,

pode-se observar que o desempenho das tecnicas de chaveamento suave consideradas na

comparacao sao muito dependentes do cenario de simulacao. Por exemplo, o algoritmo

de Kassam apresenta o pior desempenho em termos de velocidade de convergencia para o

Cenario I e um desempenho proximo do obtido pela combinacao depois da mudanca do canal

no Cenario II. Essa dependencia do cenario de simulacao nao e observada para a combinacao

convexa, que apresenta um desempenho superior quando comparada com todos os outros

esquemas considerados, independentemente da constelacao, canal e taxa de processamento.

0

0 1 2 3 4

5

5 6 7 8

10

−5

−10

−15

Kassam

Kassam Castro

Castro

Combinacao

Chaveamento abrupto

Combinacao / Chaveamento abrupto

Iteracoes

MSE(dB)

×10 4

Figura 4.2: MSE ao longo das iteracoes para o Cenario II e parametros dos algoritmos especificados

na Tabela 4.1.

4.5 Cenario III: V.29 51

4.5 Cenario III: V.29

A ideia proposta nesta tese tambem pode ser aplicada a diferentes tipos de algoritmo. Para

ilustrar esse fato, considera-se a combinacao convexa do DM-LSWA (dual-mode lattice Shalvi-

Weinstein algorithm) [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008b] com o algoritmo EF-LSL (er-

ror feedback least-squares lattice) modificado [MIRANDA; GERKEN; SILVA, 1999], revisitados

no Apendice A. O algoritmo EF-LSL modificado e um algoritmo supervisionado que per-

tence a famılia RLS e apresenta um comportamento numerico confiavel. O DM-LSWA,

por sua vez, pode ser interpretado como a versao autodidata do algoritmo EF-LSL modifi-

cado. Como mostrado em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008b], o DM-LSWA pode evitar

divergencia quando ha inconsistencia na estimativa nao-linear do sinal transmitido, sendo

numericamente bem comportado, mesmo em precisao finita.

A curva de MSE dessa combinacao e mostrada na Figura 4.3, onde e comparada com

a obtida com o algoritmo de Castro. A tecnica de chaveamento abrupto nao e mostrada

na figura ja que seu desempenho e indistinguıvel do obtido com a combinacao. Alem disso,

as demais tecnicas de chaveamento suave nao foram consideradas nesta simulacao, ja que

foram propostas para sinais QAM. A combinacao do EF-LSL com o DM-LSWA usando

(2.10) converge mais rapido que o algoritmo de Castro e ambos atingem o mesmo MSE em

regime. Novamente, e importante observar que, independentemente do cenario, o esquema

proposto apresenta um bom desempenho.

−20

0

0 0,5 1,51 2

5

15

10

−5

−10

−15

Castro

Combinacao

Iteracoes

MSE(dB)

×10 5

Figura 4.3: MSE ao longo das iteracoes para o Cenario III e parametros dos algoritmos especifi-

cados na Tabela 4.1.

4.6 Conclusoes 52

4.6 Conclusoes

A combinacao convexa de um algoritmo de equalizacao autodidata com um algoritmo de

decisao direta parece ser mais vantajosa que outros metodos de chaveamento suave pela fa-

cilidade de ajuste de seus parametros e principalmente por apresentar um bom desempenho

independentemente do cenario de simulacao. Isso foi constatado nas simulacoes realizadas

em tres cenarios, caracterizados por diferentes constelacoes, razoes sinal-ruıdo, filtros compo-

nentes e canais de comunicacao. E importante salientar que a ideia da combinacao proposta

neste trabalho nao se restringe aos algoritmos MMA e LMS. Isso pode ser constatado atraves

da simulacao correspondente ao Cenario III, em que os algoritmos DM-LSWA e EF-LSL fo-

ram combinados. Essa combinacao e mais vantajosa que a dos algoritmos MMA e LMS, ja

que nao ocorre divergencia e o compromisso entre custo computacional, EMSE em regime e

velocidade de convergencia e melhor.

53

Capıtulo 5

Conclusoes e perspectivas

Em filtragem adaptativa classica, o algoritmo LMS ganhou destaque diante de seu baixo custo

computacional, facilidade de implementacao, robustez e inumeros resultados analıticos. Para

melhorar o compromisso entre velocidade de convergencia, custo computacional, capacidade

de rastreio (tracking) e desempenho em regime do LMS, muitos algoritmos foram propostos

na literatura [SAYED, 2008]. Analogamente, em equalizacao autodidata, diferentes versoes

do CMA vem sendo propostas desde o artigo de [GODARD, 1980]. A proposta de um novo

algoritmo de equalizacao autodidata sempre traz vantagens e desvantagens em relacao aos

existentes. O SWA, por exemplo, apresenta em geral uma velocidade de convergencia maior

que a do CMA, mas o preco que se paga por isso e o custo computacional mais elevado.

Nesse contexto, o algoritmo DM-LSWA pode ser considerado como o que apresenta o melhor

compromisso entre custo, velocidade e desempenho em regime. Alem disso, evita divergencia

devido a problemas numericos e devido a inconsistencia na estimativa do sinal transmitido

[MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008b]. Apesar de todo o esforco despendido durante anos

na busca do algoritmo ideal, isso ainda nao e suficiente para se garantir um bom desempenho

global da equalizacao, uma vez que o MSE atingido por um algoritmo cego em regime e, em

geral, inferior ao de um algoritmo supervisionado, principalmente quando a constelacao nao

e de modulo constante. Por esse motivo, o chaveamento para o modo de decisao direta e

inevitavel.

O chaveamento abrupto entre os modos cego e de decisao direta e a solucao mais simples

para esse problema, mas seu desempenho e muito dependente das caracterısticas do sinal

Conclusoes e perspectivas 54

e do meio de transmissao, incluindo o modelo do canal de comunicacao e a razao sinal-

ruıdo. Diante disso, inumeros algoritmos que possibilitam um chaveamento suave foram

propostos, e.g., [PICCHI; PRATI, 1987; WEERACKODY; KASSAM, 1994; CASTRO; CASTRO;

ARANTES, 2001; CHEN, 2003; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c]. Porem, muitos

desses algoritmos sao difıceis de ajustar. Em outras palavras, para cada cenario de simulacao

diferente, e necessario selecionar um conjunto distinto de parametros fixos.

A combinacao de filtros adaptativos surgiu como uma solucao para facilitar a escolha

dos parametros fixos ja que dois algoritmos funcionam em paralelo e a selecao entre eles e

feita tambem de forma adaptativa com o intuito de se obter um melhor desempenho global.

Em equalizacao autodidata, a combinacao de dois algoritmos do tipo CMA com passos de

adaptacao diferentes atinge um MSE em regime menor que o de cada filtro individual. No en-

tanto, isso ainda nao e suficiente pois o chaveamento para o modo de decisao direta continua

sendo necessario. Diante disso, foi proposto nesta tese um esquema de equalizacao autodi-

data com chaveamento suave para o modo de decisao direta baseado na combinacao convexa

de algoritmos adaptativos. As conclusoes e perspectivas deste trabalho sao comentadas a

seguir.

5.1 Conclusoes

A combinacao proposta apresenta um desempenho superior que os obtidos com esquemas de

chaveamento suave em termos de velocidade de convergencia e nao depende da constelacao

ou outras caracterısticas do cenario de simulacao. O algoritmo proposto para adaptar o

parametro de mistura e relativamente simples de ajustar. Obteve-se um modelo teorico

para prever o desempenho da combinacao em regime atraves de uma expressao analıtica

para o EMSE. Esse modelo consegue prever bem as situacoes em que o esquema proposto

apresenta um bom desempenho, sendo util para o projetista. Embora a maior parte dos

resultados foi particularizada para a combinacao do equalizador MMA com o algoritmo LMS,

a proposta pode ser aplicada a diferentes tipos de algoritmos adaptativos, como mostrado

nas simulacoes.


5.2 Perspectivas

As perspectivas relacionadas ao esquema proposto incluem futuras extensoes considerando a

combinacao de filtros com diferentes comprimentos, similar a proposta em [ZHANG; CHAM-

BERS, 2006] ou ainda encontrar um atraso conveniente para a equalizacao supervisionada.

O uso de esquemas baseados na minimizacao da taxa de erro de sımbolos (veja, e.g., [CHEN

et al., 2001]) tambem pode ser considerando em substituicao ao equalizador DD, o que pode

ser vantajoso em relacao a esquemas baseados no MSE, especialmente quando a codificacao

de canal e utilizada. Cabe ainda destacar a possibilidade de usar o esquema proposto para

restauracao de imagens de forma autodidata [ABREU, 2011; ABREU; SILVA, 2011].

Com relacao a combinacao convexa de filtros adaptativos, destacam-se a seguir dois

dos principais problemas em aberto. Um dos problemas da combinacao convexa e o custo

computacional, que em geral e o dobro do custo de um simples filtro. Para reduzir o custo

computacional da combinacao, uma possibilidade e adaptar o filtro rapido de forma usual,

mas em vez de adaptar o filtro lento, pode-se adaptar a diferenca entre os filtros componentes.

Os coeficientes do filtro diferenca tem um intervalo dinamico menor comparado ao do filtro

lento. Consequentemente, esse filtro pode ser atualizado com um menor numero de bits,

que por sua vez, pode ser escolhido de forma a fazer com que o desempenho do esquema

seja similar ao da implementacao em precisao infinita. Essa ideia merece uma investigacao

melhor a fim de viabilizar o uso de um esquema de combinacao na pratica. Alem disso, ela

deve ser estendida para diferentes combinacoes, nao apenas a que considera um filtro rapido

e um lento.

O outro problema diz respeito a analise do transitorio da combinacao. Devido a nao-

linearidade sigmoidal utilizada no calculo do parametro de mistura, a analise teorica do

comportamento transitorio da combinacao convexa nao e simples. Em [NASCIMENTO et al.,

2009] e [SILVA; NASCIMENTO; ARENAS-GARCIA, 2010], foram obtidos modelos teoricos para

a combinacao convexa de dois filtros LMS no transitorio e em regime permanente, usando

aproximacoes de serie de Taylor para as nao-linearidades. Foram obtidas expressoes para

a evolucao no tempo da media e da variancia do parametro de mistura, alem do EMSE

da combinacao. No entanto, esses modelos nao apresentam uma boa concordancia com a

simulacao, principalmente durante o chaveamento entre os filtros componentes. Para resolver


esse problema, uma possibilidade e assumir que o parametro α(n) e uma variavel aleatoria

com distribuicao uniforme. Embora isso nao ocorra na pratica, e possıvel obter um modelo

para o transitorio da combinacao convexa que talvez apresente uma concordancia melhor

com os resultados de simulacao. Isso sera abordado em um trabalho futuro.

57

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67

Apendice A

Versoes do algoritmo de

Shalvi-Weinstein

O SWA foi derivado originalmente em [SHALVI; WEINSTEIN, 1993], usando cumulantes empıricos

na minimizacao da seguinte funcao custo

JSW(n) =Cy

2,2(n)

[Cy1,1(n)]

2, (A.1)

sendo

Cy2,2(n) , E{|y(n)|4} − βE{|y(n)|2}2

e

Cy1,1(n) , E{|y(n)|2}

os cumulantes de y(n) de ordens (2, 2) e (1, 1), respectivamente e β = 2 (resp., β = 3) para

sinais complexos (resp., reais). Como mostrado em [REGALIA, 1999], sob certas condicoes,

a funcao custo JSW(n) se reduz a JCM(n). Dessa forma, o CMA e o SWA buscam minimizar

o mesmo criterio. Consequentemente, o SWA tambem pode ser interpretado como um algo-

ritmo baseado no modulo constante que usa uma aproximacao para a matriz Hessiana, i.e.,

ele pode ser considerado como um algoritmo do tipo quase-Newton [SHALVI; WEINSTEIN,

1993; SILVA; MIRANDA, 2004].

Baseando-se na ligacao entre os algoritmos de equalizacao autodidata e os algoritmos

de filtragem adaptativa classica de [PAPADIAS; SLOCK, 1997], o SWA pode ser visto como a

Versoes do algoritmo de Shalvi-Weinstein 68

versao autodidata do algoritmo RLS convencional. Para reforcar essa interpretacao, o SWA

foi deduzido em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008b] a partir da minimizacao da versao

determinista da funcao custo do modulo constante, i.e.,

JSWd(n) =n∑

ℓ=0

λn−ℓ[κ− |yn,ℓ|2

]2, (A.2)

sendo yn,ℓ , uT (ℓ)w(n) e 0 ≪ λ < 1 um fator de esquecimento. Seguindo os passos de

[MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008b], chega-se a seguinte equacao de atualizacao

w(n) = w(n− 1) +1

βσ2a − κ

ε(n)P(n)u∗(n), (A.3)

sendo

P−1(n) , R(n) = λR(n− 1) + u∗(n)uT (n), (A.4)

ε(n) definido em (1.18) e σ2a = Ca

1,1 = E{|a(n)|2}. Como no caso do algoritmo RLS, usando o

lema de inversao matricial [SAYED, 2003, Eq. (2.6.4)] em (A.4), obtem-se a seguinte equacao

recursiva para atualizacao da matriz de autocorrelacao inversa, ou seja,

P(n) =1

λ

[P(n− 1)− P(n− 1)u∗(n)uT (n)P(n− 1)

λ+ uT (n)P(n− 1)u∗(n)

], (A.5)

sendo P(−1) = δ−1I, δ uma constante positiva pequena e I a matriz identidade. As operacoes

do SWA estao mostradas na Tabela A.1.

O SWA tambem apresenta um compromisso entre velocidade de convergencia, desajuste,

capacidade de rastreio (tracking) e custo computacional. Em geral, ele converge mais rapido

que o CMA para um mesmo valor de EMSE em regime, as custas de um custo computacional

maior [O(M2)]. No contexto de tracking, e conhecido que os desempenhos dos algoritmos

CMA e SWA dependem de como o ambiente nao-estacionario varia. Em alguns ambientes,

o CMA tem um desempenho melhor que o SWA; em outros o SWA e superior ou similar

ao CMA [SILVA; MIRANDA, 2004]. Baseando-se nesses resultados, combinacoes convexas de

algoritmos com capacidades de tracking diferentes foram propostas e analisadas em [SILVA;

NASCIMENTO, 2008a], como a combinacao do CMA com o SWA para equalizacao autodi-

data. Dessa forma, a combinacao convexa e capaz de se adaptar a diferentes ambientes

nao-estacionarios, o que nao seria possıvel se apenas um algoritmo fosse utilizado.


Tabela A.1: Sumario do SWA.

Inicializacao:

w(−1) = [0 · · · 0 1 0 · · · 0]T , 0≪ λ < 1,

P(−1) = δ−1I, δ: constante positiva pequena

κ = E{|a(n)|4}/E{|a(n)|2}, γ−1SW

= 1/(βσ2a − κ)

Para n = 0, 1, 2, 3, ... calcule:

y(n) = uT (n)w(n− 1)

ε(n) = [κ− |y(n)|2]y(n)

P(n) =1

λ

[P(n− 1)− P(n− 1)u∗(n)uT (n)P(n− 1)

λ+ uT (n)P(n− 1)u∗(n)

]

w(n) = w(n− 1) + γ−1SWε(n)P(n)u∗(n)

Fim

Devido a multimodalidade de JSW, uma escolha inadequada do fator de esquecimento,

uma inicializacao distante da solucao otima e/ou uma razao sinal-ruıdo baixa podem leva-lo

a divergencia (i.e., a norma do vetor de coeficientes vai para infinito) ou a convergencia

para mınimos locais indesejaveis. Como no RLS convencional, o SWA tambem pode divergir

devido a problemas numericos no calculo de P(n). A questao da divergencia foi abordada

em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008b], onde foi proposta uma versao do SWA com

dois modos de operacao, denominada dual-mode-SWA (DM-SWA). No primeiro modo, ele

funciona como o SWA convencional e no segundo, rejeita estimativas nao-consistentes do

sinal transmitido, como explicado a seguir.

Definindo γSW = βσ2a − κ, a equacao de atualizacao do SWA pode ser reescrita como

w(n) = w(n− 1) + ε(n)P(n)u∗(n), (A.6)

sendo

ε(n) =ε(n)

γSW

. (A.7)

O “erro” ε(n) foi entao reescrito como um erro de estimacao de um algoritmo de equalizacao

supervisionada, como o RLS, ou seja,

ε(n) = ε(n)/γSW = d(n)− y(n), (A.8)


sendo d(n) = x(n)y(n) e x(n) = [βσ2a − |y(n)|2] /γSW. No RLS, d(n) representa a resposta

desejada, i.e., d(n) = a(n−∆). No SWA, reescrever ε(n) como (A.8) e interessante porque

a informacao das estatısticas de ordem superior do sinal transmitido aparece na variavel

d(n). Nesse caso, tanto d(n) quanto y(n) podem ser interpretados como estimativas do sinal

transmitido. Tal fato sugeriu supor que d(n) e consistente quando apresenta o mesmo sinal

de y(n) e que, nessa situacao, y(n) esta em uma regiao de interesse. Quando d(n) apresenta

um sinal diferente de y(n), o que acontece quando |y(n)|2 > βσ2a ou x(n) < 0, a estimativa

nao e considerada consistente e deve ser rejeitada para evitar divergencia. Dessa forma,

fazendo d(n) = 0, a Equacao (A.6) se reduz a

w(n) = w(n− 1)− y(n)P(n)u∗(n). (A.9)

As equacoes (A.6) e (A.9) caracterizam os dois modos de operacao do DM-SWA, cujas

operacoes estao mostradas na Tabela A.2.

Tabela A.2: Sumario do DM-SWA.

Inicializacao:

w(−1) = [0 · · · 0 1 0 · · · 0]T , 0≪ λ < 1,

P(−1) = δ−1I, δ: constante positiva pequena

Para n = 0, 1, 2, 3, ... calcule:

y(n) = uT (n)w(n− 1)

x(n) =βσ2

a − |y(n)|2βσ2

a − κSe x(n) ≥ 0,

d(n) = x(n)y(n)

Caso contrario

d(n) = 0

Fim

ε(n) = d(n)− y(n)

P(n) =1

λ

[P(n− 1)− P(n− 1)u∗(n)uT (n)P(n− 1)

λ+ uT (n)P(n− 1)u∗(n)

]

w(n) = w(n− 1) + ε(n)P(n)u∗(n)

Fim


Atraves de uma analise determinista, foi mostrado em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO,

2008b] que se y(n) deixa a regiao de interesse por alguma razao, como uma inicializacao

ruim ou uma razao sinal-ruıdo baixa, a Equacao (A.9) forca y(n) a retornar para a regiao

de interesse depois de um intervalo de um tempo finito. Dessa forma, embora (A.9) nao

possibilite obter um resultado adequado para equalizacao, ela e importante para evitar a

divergencia devido a inconsistencia na estimativa nao-linear do sinal transmitido. Alem

disso, quando y(n) esta na regiao de interesse, mesmo d(n) sendo limitado, o algoritmo pode

divergir se nao forem tomadas precaucoes na atualizacao da matriz de autocorrelacao inversa.

Porem, tecnicas eficientes de implementar a atualizacao dessa matriz sao bem conhecidas,

como, por exemplo, a solucao com estrutura em trelica de [MIRANDA; GERKEN; SILVA, 1999].

Usando essa estrutura, foi proposto o SWA em trelica com dois modos de operacao (DM-

LSWA - dual-mode lattice Shalvi-Weinstein algorithm), que e estavel mesmo em aritmetica

de precisao finita e tem um custo computacional que cresce linearmente com o numero de

coeficientes do equalizador [O(M)].

O DM-LSWA usa o EF-LSL modificado de [MIRANDA; GERKEN; SILVA, 1999] na secao de

predicao e por isso apresenta as mesmas caracterısticas de paralelismo desse algoritmo. Suas

operacoes estao mostradas na Tabela A.3, onde tambem estao listadas as variaveis que devem

ser inicializadas com valores nao nulos. As variaveis (Efi (n), ϑi, k

fi (n)) e (Eb

i (n), ψi(n),

kbi (n)) representam energias, erros de predicao a priori e coeficientes de reflexao das predicoes

progressiva e regressiva, respectivamente. Os fatores de conversao sao denotados por γi(n).

As variaveis (b, b, f, f) foram introduzidas para reduzir o custo computacional do algoritmo.

Para assegurar um comportamento numerico robusto na secao de predicao, e necessario evitar

divisoes por valores proximos de zero nos calculos. Para isso, uma constante positiva pequena

ǫ e adicionada aos denominadores, cujo valor depende da precisao de implementacao. Em

geral, ǫ = 2k−b deve ser usado para sinais de entrada que satisfazem −2k/2 ≤ u(n) ≤ 2k/2,

sendo k um inteiro e b a mantissa da palavra usada na quantizacao das energias [MIRANDA;

GERKEN; SILVA, 1999]. As operacoes do algoritmo EF-LSL modificado tambem estao contidas

na Tabela A.3. Neste caso, porem, deve-se considerar d(n) = a(n−∆), nao sendo necessario

o calculo de x(n).

Os algoritmos multimodulo e de decisao para sinais QAM 72

Tabela A.3: Sumario do DM-LSWA.

Inicializacao:

v(−1) = [0 · · · 0 1 0 · · · 0]T

Efi (−1) = Eb

i (−1) = δ, i = 0, . . . ,M − 1

Para n = 0, 1, 2, 3, ... calcule:

ϑ0 = ψ0(n) = u(n); ξ0 = d(n− 1); γ0 = 1

Para i = 0 :M − 1,

b = ψi(n− 1) γi

f = ϑi γi

Ebi (n− 1) = λEb

i (n− 2) + b ψ∗

i (n− 1)

Efi (n) = λEf

i (n− 1) + f ϑ∗

i

b = b/(ǫ+ Ebi (n− 1))

f = f/(ǫ+ Efi (n))

γi+1 = γi − b b∗

Trelica:

ψi+1(n) = ψi(n− 1)− kb∗i (n− 1)ϑi

ϑi+1 = ϑi − kf∗i (n− 1)ψi(n− 1)

kbi (n) = kbi (n− 1) + f ψ∗

i+1(n)

kfi (n) = kfi (n− 1) + b ϑ∗

i+1

Estimacao conjunta:

ξi+1 = ξi − ψi(n− 1) v∗i (n− 2)

vi(n− 1) = vi(n− 2) + b ξ∗i+1

Fim

y(n) = vH(n− 1)ψ(n)

x(n) = (βσ2a − |y(n)|2)/(βσ2

a − κ)

Se x(n) ≥ 0

d(n) = x(n) y(n)

Caso contrario

d(n) = 0

Fim

Fim

73

Apendice B

Os algoritmos multimodulo e de

decisao para sinais QAM

O algoritmo multimodulo regional (RMA - regional multimodulus algorithm) e o algoritmo

de decisao baseada nos sımbolos (SBD - symbol-based decision) foram propostos e analisados

em [MENDES FILHO, 2011; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c, 2012b, 2012a; MENDES

FILHO; SILVA; MIRANDA, 2011; MENDES FILHO et al., 2009]. Esses algoritmos autodidatas

tratam sinais de modulo nao-constante como sinais de modulo constante e convergem apro-

ximadamente para o MSE em regime de um algoritmo de equalizacao supervisionada. Por

esse motivo, o chaveamento para o modo de decisao direta pode ser evitado.

A equacao de atualizacao dos coeficientes desses algoritmos e dada por

w(n) = w(n− 1) +µ

δ + ‖u(n)‖2 e(n)u∗(n), (B.1)

sendo µ um passo de adaptacao, δ uma constante positiva usada para evitar divisao por zero

e e(n) o erro de estimacao que depende do algoritmo.

A funcao de erro do RMA se anula quando a saıda do equalizador e igual a coordenada

de um dos sımbolos da constelacao. Ela foi obtida atraves da repeticao da funcao de erro do

MMA com r = 1 para cada regiao Ak (veja Figura B.1), ponderada por um fator de escala,

ou seja,

eRMA(n) =αℓ

[1− y2ℓ (n)

]yℓ(n) + jαm

[1− y2m(n)

]ym(n), (B.2)


em que

yℓ(n) = yR(n)− cℓ (B.3)

e

ym(n) = yI(n)− cm (B.4)

correspondem as versoes transladadas das partes real e imaginaria da saıda do equalizador.

Os escalares cℓ e cm sao os centros das regioes identificadas e αℓ e αm sao fatores de escala,

dados pelos valores absolutos desses centros. Devido a translacao de y(n) para origem do

plano complexo, tudo se passa como se somente os sımbolos {±1 ± j} de uma constelacao

4-QAM tivessem sido transmitidos.

Na Figura B.1, e mostrada a parte real do erro do RMA em funcao de yR(n) para 64-

QAM. E possıvel notar que a funcao de erro do RMA e contınua por partes e se anula quando

a saıda do equalizador coincide com a coordenada de um dos sımbolos da constelacao. As

operacoes do RMA sao mostradas na Tabela B.1.

yR(n)

e RM

A,R(n)

−7 −5 −3

−1

−1

0

0

1

1 3 5 7

−0,5

0,5

A−1 A2A1A

−2

Figura B.1: Parte real do erro do RMA em funcao de yR(n) para 64-QAM. Os erros nas coorde-

nadas dos sımbolos da constelacao sao indicados por ◦; fator de escala K = 245.


Tabela B.1: Sumario do RMA.

Inicializacao:

w(0) = [ 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ], 0 < µ < 2 e 0 < δ ≪ 1

Para n = 1, 2, 3 . . . , calcule:

y(n) = uT (n)w(n− 1) = yR(n) + jyI(n)

A partir de yR(n) e yI(n), obtem-se cℓ e cm, respectivamente

yℓ(n) = yR(n)− cℓ

ym(n) = yI(n)− cm

eR(n) = |cℓ|[1−y2ℓ (n)]yℓ(n)

eI(n) = |cm|[1−y2m(n)]ym(n)

e(n) = eR(n) + jeI(n)

w(n) = w(n− 1) +µ

δ + ‖u(n)‖2 e(n)u∗(n)

Fim

Inspirando-se no RMA e no algoritmo de decisao direta, foi proposto o algoritmo SBD,

cujo erro de estimacao e dado por

eSBD(n) = |aR(n)| [aR(n)− yR(n)] + j|aI(n)| [aI(n)− yI(n)]. (B.5)

As variaveis |aR(n)| e |aI(n)| criam uma envoltoria no erro do SBD, essencial para a recu-

peracao dos sımbolos transmitidos. Na Figura B.2, e mostrada a parte real desse erro em

funcao de yR(n) para 64-QAM. Novamente, nota-se que a funcao de erro e contınua por par-

tes e se anula quando a saıda do equalizador coincide com a coordenada de um dos sımbolos

da constelacao. As operacoes do SBD sao mostradas na Tabela B.2.


yR(n)

e SBD,R(n)

−7 −5 −3

−1

−1

0

0

1

1 3 5 7

−0,5

0,5

Figura B.2: Parte real do erro do SBD para 64-QAM; fator de escala K = 7. Os erros nas

coordenadas dos sımbolos das constelacoes sao indicados por ◦.

Tabela B.2: Sumario do algoritmo SBD.

Inicializacao:

w(0) = [ 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ], 0 < µ < 2/√S e 0 < δ ≪ 1

Para n = 1, 2, 3 . . . , calcule:

y(n) = uT (n)w(n− 1) = yR(n) + jyI(n)

aR(n) = dec[yR(n)]

aI(n) = dec[yI(n)]

eR(n) = |aR(n)|[aR(n)− yR(n)]

eI(n) = |aI(n)|[aI(n)− yI(n)]

e(n) = eR(n) + jeI(n)

w(n) = w(n− 1) +µ

δ + ‖u(n)‖2 e(n)u∗(n)

Fim

Apesar desses algoritmos atingirem aproximadamente o MSE de um algoritmo de equa-

lizacao supervisionada, eles convergem muito lentamente, o que limita a utilizacao dos mes-

mos em situacoes praticas. Para aumentar suas taxas de convergencia, foi proposta uma

tecnica denominada de vizinhanca axial, que pode ser interpretada como um metodo de


casamento de funcoes densidade de probabilidade (pdf fitting) [MENDES FILHO; MIRANDA;

SILVA, 2012a]. A seguir, essa tecnica e explicada brevemente para o RMA. Sua extensao

para o algoritmo SBD e direta e esta detalhada em [MENDES FILHO, 2011; MENDES FILHO;

MIRANDA; SILVA, 2012a].

Na Figura B.3, podem ser observadas quatro regioes da parte real de uma constelacao

64-QAM. Se a parte real da saıda do equalizador cair na regiao A−1, as regioes A−2 e A1 sao

consideradas suas vizinhas e os seus sımbolos podem ser usados de modo a auxiliar o RMA

a aprender mais rapidamente a geometria da constelacao QAM. Para isso, o erro usado na

atualizacao do algoritmo e calculado considerando o erro devido a regiao principal e os erros

provenientes das regioes vizinhas, multiplicados por fatores de ponderacao. No calculo do

erro de uma regiao vizinha, tudo se passa como se a saıda do equalizador pertencesse a essa

regiao. Alem disso, multiplica-se esse erro por um fator de ponderacao, que e tanto menor

quanto mais distante a regiao vizinha estiver da regiao principal. Assim, o erro da regiao

principal sempre tera um peso maior no calculo do erro total.

yR(n)

A−1 A2A1A

−2

a−2,1 a

−2,2 a−1,1 a

−1,2 a2,1 a2,2a1,1 a1,2

c−2 c

−1 c1 c20

0−7 −5 −3 −1 1 3 5 7

saıda do equalizador (parte real)

Figura B.3: Regioes da parte real de uma constelacao 64-QAM; o centro da regiao Ak e

representado por ck e k = ±2,±1.

Para obter uma expressao do erro que incorpore a vizinhanca, cabe lembrar que as regioes

principais que contem as partes reaℓ e imaginaria da saıda do equalizador sao denotadas

como Aℓ e Am, respectivamente. No caso em que sao considerados apenas dois vizinhos de

cada regiao principal, o erro do RMA e calculado levando em conta nao somente as regioes

principais Aℓ e Am, mas tambem as regioes Aℓ±1 e Am±1 nas suas vizinhancas. Assim, a

expressao do erro do RMA passa a ser dada por

eRMA(n) =ℓ+1∑

k=ℓ−1

χkαk

[1−y2k(n)

]yk(n) + j

[m+1∑

l=m−1

χlαl

[1−y2l (n)

]yl(n)

], (B.6)


sendo yk(n) = yR(n)−ck e yl(n) = yI(n)−cl versoes transladadas das partes real e imaginaria

da estimativa do sinal transmitido e χk e χl os fatores de ponderacao, escolhidos tal que o

erro de uma regiao principal (k = ℓ ou l = m) tenha peso igual a “um” no erro total e o erro

de uma regiao vizinha (k = ℓ± 1 ou l = m± 1) tenha peso menor que um, por exemplo, um

valor proporcional ao inverso do quadrado da distancia entre os centros das regioes vizinha e

principal. Para obter um bom desempenho quando a ordem da constelacao QAM e elevada,

pode ser necessario incluir mais vizinhos. Neste caso, algumas regioes vizinhas podem nao

ser adjacentes a regiao principal, fazendo fronteira apenas com outra regiao vizinha.

A velocidade de convergencia do RMA e do SBD aumenta com a ajuda dos vizinhos.

Entretanto, o MSE em regime tambem aumenta devido aos erros dos vizinhos somados ao

erro principal em cada instante de tempo. Por essa razao, e interessante desconsiderar a

ajuda dos vizinhos quando os algoritmos atingem o regime. Assim, em vez de ponderar os

erros dos vizinhos com um valor fixo, pode ser mais interessante pondera-los com uma funcao

que varie no tempo, como por exemplo

χk(n) =[1− bp(n)

]δkℓ + bp(n) (B.7)

e

χl(n) =[1− bp(n)

]δlm + bp(n) (B.8)

em que b = 1/16 para o RMA e b = 1/4 para o SBD. O expoente p(n) e dado pela seguinte

funcao nao-linear

p(n) = 7,1467exp

[8(ξ(n)− 0,03

)]− 1

exp[8(ξ(n)− 0,03

)]+ 1− 9,1467, (B.9)

em que ξ(n) = λξ(n − 1) + (1 − λ)|a(n − ∆) − y(n)|2 e uma estimativa do valor medio do

erro de decisao ao quadrado e 0 ≪ λ < 1 e um fator de esquecimento. Essa funcao forca

p(n) a ficar no intervalo −10 ≤ p(n) ≤ −2. Assim, quanto menor o MSE, menor sera o valor

do expoente p(n) e consequentemente menor sera o peso dado aos vizinhos. Essa funcao foi

obtida experimentalmente para que quanto maior o valor de ξ(n), maior seja a influencia

dos vizinhos e vice-versa. Quando o nıvel de MSE se reduz de tal forma que os vizinhos nao

mais contribuem para a convergencia, estes podem ser descartados completamente.


O uso da funcao (B.9) para descartar os vizinhos faz com que esses algoritmos sejam

interpretados como tecnicas autodidatas de chaveamento suave para o modo de decisao

direta. A escolha das ponderacoes dos vizinhos de forma adaptativa pode torna-los mais

eficientes e simples de ajustar. Alem disso, e interessante estende-los para outros tipos de

constelacao, ja que foram propostos apenas para constelacoes do tipo QAM.

80

Apendice C

Hipoteses adicionais usadas na

obtencao do EMSE cruzado

Para obter (3.18), assume-se que

A5. em regime, termos que dependem de eka,1,R(n) e eka,1,I(n), k ≥ 2 podem ser desprezados,

ja que sao suficientemente pequenos quando comparados a termos que dependem de

ea,1,R(n) e ea,1,I(n), respectivamente. Em outras palavras, o MMA pode nao atingir

a equalizacao perfeita, mas minimiza suficientemente a interferencia intersimbolica

introduzida pelo canal. Uma hipotese similar foi usada na analise do CMA [MAI;

SAYED, 2000; SILVA; NASCIMENTO, 2008a, 2008b].

Dessa forma, substituindo a parte real de (3.16) para i = 1 na parte real de (2.4) e usando

A5, depois de manipulacoes algebricas, chega-se a (3.18).

Como (3.18) e usada para estimar os valores esperados em (3.21) e (3.23), e necessario

calcular os momentos de primeira ordem de γR(n) e γI(n). Alem disso, a expressao analıtica

do MMA em regime (veja Tabela 3.1) tambem depende dos momentos de segunda ordem de

γR(n), γI(n) e β(n) = βR(n) + jβI(n). Na sequencia, sao obtidas expressoes analıticas para

os momentos de primeira e segunda ordens dessas variaveis aleatorias. Para isso, assume-se

tambem que

A6. E{akR(n)} = E{ak

I(n)} = 0, para todo k inteiro, positivo e ımpar; e para dados com-

plexos E{a2(n)} = 0 (condicao de circularidade). Em outras palavras, a constelacao e

Hipoteses adicionais usadas na analise em regime do MMA 81

simetrica (media nula), condicao comum das constelacoes usadas em comunicacoes di-

gitais [PROAKIS, 2001]. Alem disso, considera-se que v(n) tambem obedece a condicao

de circularidade.

A7. a(n − ∆), v(n) e ea,1(n) sao mutuamente independentes em regime. Essa hipotese

requer que as flutuacoes em regime de ea,1(n) sejam insensıveis ao sımbolo transmitido

a(n −∆) [MAI; SAYED, 2000; SILVA; NASCIMENTO, 2008b]. Alem disso, a hipotese de

independencia entre ea,1(n) e v(n) e comumente usada na analise de filtros adaptativos

supervisionados [SAYED, 2008]. Uma consequencia imediata dessa hipotese e que γR(n),

γI(n) e β(n) sao independentes de ea,1(n) em regime.

A8. As partes reais de a(n), ea,1(n) e v(n) sao independentes de suas respectivas partes

imaginarias em regime.

Usando A6-A8 e as definicoes (3.19) e (3.20), chega-se a

E{β(n)} = 0

σ2β = 2E{β2

R(n)}=2E{β2

I(n)}

≈ 2E{a6R(n)− r2a2

R(n)}+ σ2

vE{3a4R(n) + r2},

+ 18E{a2R(n)}E{v4

R(n)}

+ 4E{v4R(n)}E{3a2

R(n)− r}+ 2E{v6

R(n)}, (C.1)

γ , E{γR(n)} = E{γI(n)} = 1.5(σ2a + σ2

v)− r, (C.2)

e

¯γ , E{γ2R(n)} = E{γ2

I(n)}

≈ 1.5(r+9σ2

v

)σ2a+r

2 − 3rσ2v + 9E{v4

R(n)}. (C.3)

sendo σ2a = 2E{a2

R(n)} and σ2

v = 2E{v2R(n)}.

A variancia de v(n) pode ser estimada teoricamente por

σ2v ≈ σ2

a −wH

o Rwo, (C.4)

sendo wo , E{wo(n)} = wo(0). Quando o filtro otimo atinge a equalizacao perfeita

wH

o Rwo = σ2a e σ2

v = 0. Alem disso, quando wo e a solucao de Wiener, i.e., wo = wWIE =

Hipoteses adicionais usadas na analise em regime do MMA 82

R−1p∆, σ2v = σ2

a − wT

WIEp∗

∆, sendo que p∆ = E{a(n − ∆)u∗(n)} representa a correlacao

cruzada entre a sequencia transmitida e o vetor de entrada.

Expressoes fechadas para os momentos de quarta e sexta ordens de v(n) em funcao de σ2a,

wo, R e p∆ sao complicadas. Alem disso, quando v(n) e relativamente pequeno em regime,

termos que dependem de seus momentos de quarta e sexta ordens podem ser desprezados

em (C.1) e (C.3), levando a expressoes mais simples, i.e.,

σ2β ≈ 2E{a6

R(n)− r2a2

R(n)}+ σ2

vE{3a4R(n) + r2}, (C.5)

e

¯γ ≈ 1.5(r+9σ2

v

)σ2a+r

2 − 3rσ2v . (C.6)

Diferente de [MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c], aqui nao se despreza termos

que dependem de vkRe vk

Ipara k ≥ 2 nas definicoes de γR(n), βR(n), γI(n) e βI(n) [veja

Eqs. (3.19) e (3.20)]. Por esse motivo, as expressoes (C.2) e (C.6) sao ligeiramente dife-

rentes das Eqs. (40) e (41) de [MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c], respectivamente,

chegando-se aqui a um modelo mais preciso. Essa precisao se torna evidente quando v(n) e

pequeno o suficiente para desprezar termos que dependem de momentos de quarta e sexta

ordens, mas nao tao pequeno para desprezar termos que dependem de σ2v .

magno teofilo madeira da silva´ - lps · silva, magno teófilo madeira da equaliza¸cão...

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