mac 5796. aula 6 - ime.usp.brwalterfm/cursos/mac5796/aula6.pdf · aula 6 waltermascarenhas...

Onde estamos e para onde vamosVariáveis aleatórias

Valor EsperadoVariância

Variáveis aleatórias independentes

MAC 5796. Aula 6

Walter Mascarenhas

06/04/2011

Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 6




Resumo

1 Onde estamos e para onde vamos

2 Variáveis aleatórias

3 Valor Esperado

4 Variância

5 Variáveis aleatórias independentes





Onde estamos

Derivamos as seguintes fórmulas para o preço no passo n:

P(pn = v × tick) =

(n

n+v2

)p

n+v2 q

n−v2

E(pn) = n (p−q) tick

σ(pn) = 2√

npq tick.





DeMoivre e Laplace provaram que, para a,b moderados e n enorme,

P

(a ≤ pn−n (p−q) tick

2√

npq tick< b)≈ 1√

2π

∫ b

ae−s2/2ds.

Definindo σ e µ através das equações

tick =σ√n, p =

12

+µ

2σ√

ne q =

12− µ

2σ√

n

obtemos

P

(a ≤ pn−µ

σ< b)≈ 1√

2π

∫ b

ae−s2/2ds.





2√npq

n (p−q)

n





Para onde vamos

Processos descritos pela equação diferencial estocástica

dX t = µ(Xt)dt + σ(Xt)dBt .

Calcularemos o valor esperado ao encerarmos o trade segundo umstopping time τ . Para isso usaremos, entre outras coisas, a fórmulade Dynkin:

E(e−ρτ f (Xτ )

)= f (X0) +E

(∫τ

0e−ρs ((A−ρ) f )(Xs)ds

).





E(e−ρτ f (Xτ )

)= f (X0) +E

(∫τ

0e−ρs ((A−ρ) f )(Xs)ds

).





Dado um espaço de probabilidade (Ω,A,P), dizemos que umafunção f : Ω 7→ [−∞,∞] é uma variável aleatória se, para todointervalo I = (a,b), o conjunto

{x tal que f (x) ∈ I }

pertence a A.

É comum dizer que a f acima é uma função mensurável.

Funções não mensuráveis existem mas são equisitíssimas. Por isso,em uma primeira aproximação, você pode assumir que toda funçãof : Ω 7→ [−∞,∞] é uma variável aleatória. (E eu chamarei suaatenção quando a distinção for relevante.)





Altura

Peso

R

R





Qualquer combinação não muito maluca de variáveis aleatóriasresulta em uma variável aleatória:

A soma ou o produto de um número finito de variáveisaleatórias é um variável aleatória

A composta de variáveis aleatórias é uma variável aleatória.Por exemplo se f é uma variável aleatória então

sin(arctan

(√f 2 + π

))também é uma variável aleatória.

Se a seqüência { fn, n ∈N} de variáveis aleatórias é tal quelimn→∞ fn(ω) existe para todo ω ∈ Ω entãof (ω) = limn→∞ fn(ω) é uma variável aleatória.





Exemplo Ω = [0,1], com a σ -álgebra usual (de Borel).

fn(ω) = ωn fn(ω)→

{0 se ω < 1,1 se ω = 1.

lim fn é mensurável mas descontínua.





Se f é uma variável aleatória em (Ω,A,P) então para todoconjunto mensurável C ⊂ [−∞,+∞] o conjunto

f −1(C ) = {ω ∈ Ω com f (ω) ∈ A}

pertence a A. Logo, podemos usar a expressão

ℒf (C ) = P(f −1(C )

)para definir uma medida de probabilidade em [−∞,+∞]. Estamedida é chamada de lei ou distribuição de f .





C

Ω

f −1(C )

f

P(f −1(C )

)= 1√

2πσ

∫C e(s−µ)2/2σ2

ds

No modelo de Black & Scholes, Ω é o espaço dos caminhos dospreços e, para cada t > 0, a variável aleatória lnωt tem distribuiçãonormal com média igual ao drift µ e desvio padrão igual avolatilidade σ .





As variáveis aleatórias mais simples definidas em (Ω,A,P) são asfunções indicadoras. Para cada A ∈ A, a função indicadora de A é

1{A}(ω) =

{1 se ω ∈ A0 se ω ∕∈ A

Uma combinação finita de funções indicadoras é chamada defunção simples:

f =n

∑k=1

ak1{Ak} .





O valor esperado de uma variável aleatória simplesf = ∑

nk=0 ak1{Ak}, é definido como

E(f ) =n

∑k=1

P(Ak)ak . (1)

O valor esperado é importante pois:

Ele dá uma informação resumida sobre a f . (É UM númeroque diz muito sobre a variável aleatória).

Dada uma seqüência {Xn, n ∈N} de variáveis aleatórias coma mesma distribuição temos que

P

(limn→∞

1n

n

∑k=1

Xk(ω) = E(X1)

)= 1.

Ou seja, a média converge para o valor esperado comprobabilidade 1.





Dizemos que f é discreta se f = ∑∞

k=0 ak1{Ak}. Neste caso, sef ≥ 0, definimos a integral de f como

E(f ) =∞

∑k=1

P(Ak)ak . (2)

É preciso tomar cuidado com f ´s que mudam de sinal pois a somaem (??) pode levar a algo do tipo −∞ + +∞. Por exemplo, Ω =N,P(n) = 2−n e f (n) = (−2)n. Neste caso a soma (??) não estádefinida, pois há infinitas parcelas iguais a 1 e infinitas parcelasiguais a −1.





Para lidar com problema do cancelamento definimos

f + = max{ f ,0} e f − =−min{ f ,0}.

Note quef + e f − ≥ 0 e f = f +− f −.

Quando f é discreta, dizemos que f é integrável se E(f +) < ∞ eE(f −) < ∞, onde E(f +) e E(f −) são as somas definidasanteriormente. Neste caso definimos

E(f ) = E(f +)−E(f −).





A integral (de Lebesgue) de uma variável aleatória não negativaf : Ω→ [0,∞] é definida como o limite das somas

In(f ) = nP(f ≥ n) +n2n−1

∑k=1

(2−nk

)P(k2−n ≤ f < (k +1)2−n) .

E(f ) = limn→∞

In(f ) . (3)

Quando f muda de sinal dizemos que ela é integrável se E(f +) < ∞

e E(f −) < ∞, com E(f +) e E(f −) definidas por (??). Neste casotambém definimos

E(f ) = E(f +)−E(f −).





1/4

1/2

3/4

1

5/4

3/2

7/4

2

-

6





A variável aleatória f é integrável se e só se ∣f ∣= f +− f − éintegrável. Denotamos por ℒ1(Ω,A,P) o espaço das variáveisaleatórias integráveis em (Ω,A,P).





A integral é um operador linear, ie., se f e g são integráveis ea ∈R então h = af +g é integravel e

E(h) = E(af +g) = aE(f ) +E(g).

Note que a situação é mais delicada para o produto. ConsidereΩ =N e P(n) = 2−n. A função f (n) = 2n/2 é integravel:

E(f ) =∞

∑n=1

2−n2n/2 =∞

∑n=1

(1√2

)n

=1/√2

1− 1√2

< ∞.

Porém

E(f 2)=

∞

∑n=1

2−n(2n/2

)2=

∞

∑n=1

1 = ∞.





Teorema da convergência monótona: se { fn, n ∈N} é umaseqüência crescente de variáveis aleatórias não negativas entãof (ω) = limn→∞ fn(ω) é uma variável aleatória não negativa eE(f ) = limn→∞E(fn).

Note que se E(fn) = ∞ para algum n então E(f ) = ∞;





ℒ2(Ω,A,P) é a família de variáveis aleatórias f em (Ω,A,P) taisque E

(f 2)< ∞.

Se f ∈ ℒ2(Ω,A,P) então f é integrável pois

E(∣f ∣) = E(∣f ∣; ∣f ∣ ≤ 1) +E(∣f ∣; ∣f ∣> 1)≤ 1+E(f 2)< ∞.

Para f ∈ ℒ2(Ω,A,P) podemos definir

variancia(f) = E(

(f−E(f))2)

e o desvio padrão de f :

σ(f ) =√

variancia(f).





Desvio pequenoDesvio grande

Variância = dispersão da variável aleatória ao redor da média.

Desigualdade de Chebyshev:

P(∣f −E(f )∣ ≥ ε)≤ σ(f )2

ε2 .





Desigualdade de Schwarz: se f ,g ∈ ℒ2(Ω,A,P) então

E(∣fg ∣)≤√

E(f 2)E(g2).





Demonstração da desigualdade de Schwarz.

Primeiro passo: esquentando os motores.

f = 1{A} e g = 1{B} .

Neste caso

E(∣fg ∣) = E(1{A}1{B}) = E(1{A∩B}) = P(A∩B) .

E(f 2)= E(1{A})≥ P(A∩B) .

E(g2)= E(1{A})≥ P(A∩B) .

Logo

E(∣fg ∣)≤√P(A∩B)2 ≤

√E(f 2)E(g2).





Segundo passo:

f =n

∑j=1

aj1{Aj} e g =m

∑k=1

bk1{Bk} .

Neste caso

∣fg ∣=n

∑j=1

m

∑k=0∣ajbk ∣1{Aj}1{Bk}=

n

∑j=1

m

∑k=1∣ajbk ∣1{Aj ∩Bk}

Logo, como P(A∩B)≤√P(A)

√P(B),

E(∣fg ∣) =n

∑j=0

m

∑k=0∣ajbk ∣P(Aj ∩Bk)

≤n

∑j=1

m

∑k=1

(∣aj ∣√P(Aj)

)(∣bk ∣

√P(Bk)

).





Pela desigualdade de Cauchy (para números)

E(∣fg ∣)≤

√√√⎷( n

∑j=1

a2j P(Aj)

)(m

∑k=1

b2kP(Bk)

)=√

E(f 2)E(g2).

Logo, a desigualdade vale quando f e g são funções simples.

Usamos agora o Teorema da Classe Monótona:





Versão simplificada do teorema da classe monótona 1.

Considere duas famílias C ⊂ℳ de variáveis aleatórias não negativas

SeC contém todas as funções da forma f = ∑

nk=1 ak1{Ak} com

ak ∈ [0,∞) e Ak ∈ A.

Se { fn, n ∈N} é uma seqüência de elementos de C efn ↑ f ∈ℳ então f ∈ C.

então C =ℳ.

1veja Probability with Martingales, de David Williams, para a versão completa.





Terceiro passo:

f =n

∑j=1

aj1{Aj} com aj ≥ 0 e g ≥ 0 com E(g2)< ∞.

Classes: ℳ={

g ≥ 0 com E(g2)< ∞

}e

Cf =

{g ∈ℳ tal que E(∣fg ∣) = E(fg)≤

√E(f 2)E(g2)

}.

Segundo passo ⇒Cf contém as g ’s simples.Convergência monótona: Se gn ∈ Cf ↑ g ∈ℳ então

fgn ↑ fg ⇒ E(fg) = limE(fgn)≤√

E(f 2) limE(g2n ) =

√E(f 2)E(g2).

Logo, g ∈ℳ e classe monótona ⇒Cf =ℳ.





Quarto passo:

f ≥ 0 com E(f 2)< ∞ e g ≥ 0 com E

(g2)< ∞.

Classes: ℳ={

g ≥ 0 com E(g2)< ∞

}e

Cf =

{g ∈ℳ tal que E(∣fg ∣) = E(fg)≤

√E(f 2)E(g2)

}.

Terceiro passo ⇒Cf contém as g ’s simples.Convergência monótona: Se gn ∈ Cf ↑ g ∈ℳ então

fgn ↑ fg ⇒ E(fg) = limE(fgn)≤√

E(f 2) limE(g2n ) =

√E(f 2)E(g2).

Logo, g ∈ℳ e classe monótona ⇒Cf =ℳ.





ResumoE(∣fg ∣)≤

√E(f 2)E(g2)

se f ,g ≥ 0 e E(f 2),E(g2)< ∞.

Caso geral:

E(∣fg ∣) = E(∣f ∣ ∣g ∣)≤√

E(∣f ∣2)E(∣g ∣2

)=√

E(f 2)E(g2).

E se E(f 2) ou E

(g2)= ∞?

Ok desde que convencionarmos que 0×∞ = 0.





Duas variáveis aleatórias f e g são independentes se para todointervalo I = [a,b] e J = [c ,d ] os eventos f −1(I ) e g−1(J) sãoindependentes.

Informalmente, f e g são independentes se o valor de uma nãofornece informação sobre o valor da outra. Por exemplo se Ω é obaralho, com cartas de igual probabilidade, então f e g a seguir sãoindependentes:

f (♦∗) = 1, f (♥∗) = 2, f (♣∗) = 3, f (♠∗) = 4.

g(∗A) = 1, g(∗n) = n, g(∗J) = 11, g(∗Q) = 12, g(∗K ) = 13.





Teorema: se f ,g ∈ ℒ2(Ω,A,P) são independentes então

E(fg) = E(f )E(g).





Caso simples:

f =n

∑j=1

aj1{Aj} e g =m

∑k=1

bk1{Bk} .

fg =n

∑j=1

m

∑k=1

ajbk1{A}1{B}=n

∑j=1

m

∑k=1

ajbk1{A∩B} .

E(fg) =n

∑j=1

m

∑k=1

ajbkP(Aj ∩Bk)

Independência ⇒ P(Aj ∩Bk) = P(Aj)P(Bk) e

E(fg) =n

∑j=1

m

∑k=1

ajbkP(Aj)P(Bk) = E(f )E(g).





Caso semi simples:

f = simples≥ 0 e g ∈ ℒ2(Ω,P,A)

Considere a classesℳ={

g ∈ ℒ2(Ω,P,A) e independente de f}

e G = {g ∈ℳ tal que E(fg) = E(f )E(g)}.

G contém as funções simples (Caso simples).

Se {gn, n ∈N} ∈ G e gn ↑ g ∈ℳ então fgn ↑ fg eE(fgn) = E(f )E(gn) ↑ E(f )E(g) pelo Teorema da convergênciamonótona. Logo g ∈ G.

Pelo teorema da classe monótona, G =ℳ. Ou seja, para todag ∈ ℒ2(Ω,P,A) independente de f temos que E(fg) = E(f )E(g).





Caso não negativo:

f ∈ ℒ2(Ω,P,A)≥ 0 e g ∈ ℒ2(Ω,P,A)≥ 0

Considere a classesℳ=

{g ∈ ℒ2(Ω,A,P) ,g ≥ 0 e independente de f

}e

G = {g ∈ℳ tal que E(fg) = E(f )E(g)}.

G contém as funções simples ≥ 0 (Caso semi simples).

Se {gn, n ∈N} ∈ G e gn ↑ g ∈ℳ então fgn ↑ fg eE(fgn) = E(f )E(gn) ↑ E(f )E(g) pelo Teorema da convergênciamonótona. Logo g ∈ G.

Pelo teorema da classe monótona, G =ℳ. Ou seja, para todasf ,g ∈ ℒ2(Ω,P,A), f,g ≥ 0 e independentes temos queE(fg) = E(f )E(g).





Caso geralf = f +− f −, f +, f − ∈ ℒ2(Ω,A,P) ,

g = g+−g−, g+,g− ∈ ℒ2(Ω,A,P) ,

E(fg) = E(f +g+− f +g−− f −g+ + f −g−

)= E

(f +g+

)−E(f +g−

)−E(f −g+

)+E(f −g−

)= E

(f +)E(g+)−E(f +)E(g−)−E(f −)E(g+)

+E(f −)E(g−)

=(E(f +)−E(f −))(

E(g+)−E(g−))

= E(f )E(g).





A covariância entre duas variáveis aleatórias f e g em ℒ2(Ω,A,P)é definida como

cor (f ,g) = E((f −E(f ))(g −E(g))).

A covariância é uma medida de independência: Se f e g sãoindependentes então f −E(f ) e g −E(g) também sãoindependentes e

cor (f ,g) =E((f −E(f ))(g −E(g))) =E(f −E(f ))E(g −E(g)) = 0.

Em geral variáveis dependentes podem ter correlação 0, ou seja acorrelação nula é apenas um indicativo de independência. Porém,para variáveis com distribuição normal ausência de correlação éequivalente a independência.


mac 5796. aula 6 - ime.usp.brwalterfm/cursos/mac5796/aula6.pdf · aula 6 waltermascarenhas...

Documents