mac 5796. aula 9walterfm/cursos/mac5796/aula9.pdf · stops para o passeio aleatório mac 5796. aula...

Stops para o passeio aleatório

MAC 5796. Aula 9

Walter Mascarenhas

27/04/2011

Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 9


Resumo

1 Stops para o passeio aleatório



Curso de Streambase de 27/06 a 01/07.

Streambase é um ferramenta para CEP = complex eventprocessing.

Para alunos regularmente matriculados no IME.



t s t + δp0

ε2 2ε2 3ε2

p0 + x Ganho = e−rs (p0 + x)

τ = tick = σε.



Média

µt = n(t)(p−q)τ =t

ε2 (p−q)τ =t

ε2 (2p−1)τ (1)

Variânciaσ

2t = 4n(t)pqτ2 = 4

tε2 pqτ

2 (2)

Solução τ , p aproximada de (1) e (2):

τ = σε e p =12

(1+

µ

σε

).



P(Cv ,n) =vn

(n

n+v2

)p

n+v2 q

n−v2 . (3)

τ = σε e p =12

(1+

µ

σε

).

Probabilidade de, saindo do 0, alcançar x pela primeira vez noinstante t:

x = vxτ = vτ ⇒ v =xε, para x =

xσ.

Além disso,

p =12

(1+ µε) e q =12

(1−µε)

Paraµ =

µ

σ.



Se n− v >√

n = O(ε) então√

nπ

4n√2

(n

n+v2

)=

4nn!(n+v2

)!(n−v

2

)!

=

√nπ√2πne−nnn (1+O(ε))

4n√2π√

n2− v2e−n(n+v

2

) n+v2(n−v

2

) n−v2

=1+O(ε)√

(1− v2)(1+ v)n2 (1+v) (1− v)

n2 (1−v) .

=1+O(ε)

(1+ v)n2 (1+v) (1− v)

n2 (1−v) .

para

v =vn

=xε

tε2

=xε

t.



√nπ

4n√2

(n

n+v2

)=

1+O(ε)

(1+ v)n2 (1+v) (1− v)

n2 (1−v) .

para v = xε/t. Logo, para n = t/ε2,

ln( √

nπ

4n√2

(n

n+v2

))=− t

2ε2

(1+

xt

ε

)ln(1+

xt

ε

)−

t2ε2

(1− x

tε

)ln(1− x

tε

)+O(ε)

Mathematica= −x2

2t+O(ε) .

Logo, √nπ

4n√2

(n

n+v2

)= e−

x22t (1+O(ε)) . (4)



p =12

(1+ µε) e q =12

(1−µε) ,

Logo, para v = x/ε e n = t/ε2,

4npn+v2 q

n−v2 = (1+ µε)

t2ε2 (1+ xε

t ) (1−µε)t

2ε2 (1− xε

t ) .

Portanto,

ln(4np

n+v2 q

n−v2

)=

t2ε2

((1+

xε

t

)ln(1+ µε) +

(1− xε

t

)ln(1−µε)

).

Usando a expansão ln(1+u) = u−u2/2+O(u3) obtemos

ln(4np

n+v2 q

n−v2

)=−µ

2

2t+

µxt2 +O(ε) .

e4np

n+v2 q

n−v2 = e−

µ2t2 +µx (1+O(ε)) . (5)



Segue das equações (3), (4) e (5) que

P(t ≤ tempo de chegada a x < t + δ ) =(t+δ)/ε2

∑n=t/ε2

P(Cx/ε,n

)≈

O número de n’s com a mesma paridade de x/ε na soma acima éδ/(2ε2) e todos termos são aproximadamente iguais a P

(Cx/ε,t/ε2

).

δ

2ε2 ×x/ε

t/ε2

√2√

tπ/ε2e−

x22t e−

µ2t2 +µx =

δx√2πt3

e−(x−µt)2

2t .

Logo,

P(t ≤ tempo de chegada a x < t + δ )≈ δx√2πt3

e−(x−µt)2

2t .



No limite ε → 0 obtemos que a variável aleatória

τx(ω) = tempo da primeira chegada a x = inf { t tal que ωt = x },

que tem densidade

ρx(t) =x√2πt3

e−(x−µt)2

2t .

t t + δ

P(t ≤ τx < t + δ ) =∫ t+δ

tρx(t)dt ≈ δρx(t) .



Uma vez que temos a densidade podemos calcular o valor esperadodo ganho ao colocarmos o stop em p0 + x :

E(G ) = (p0 + x)∫

∞

0e−rt

ρx(t)dt.

Esta integral complicada pode ser calculada explicitamente:

E(G ) =1σ

(p0 + x)e−(√

µ2+2r−µ

)x,

onde qualquer coisa = qualquer coisa /σ .



Mostrando que

Ix =∫

∞

0

x√2πt3

e−(x−µt)2

2t −rtdt = e−(√

µ2+2r−µ

)x. (6)

Modo simples: Mathematica

Integrate [x t (−3/2)E (−(x−µ∗t)2/(2t)−r∗t),{t,0, Infinity} .]

Modo complicado: Note que, para λ =√

µ2 +2r ,

(x−µt)2

2t+ rt =

x2−2µxt + µ2t2 +2rt2

2t=−µx− 1

2

(x2

t+ λ

2t)

Ou ainda,

(x−µt)2

2t+ rt =−µx +

λx2

(x

λ t+

λ tx

)

= (λ −µ)x +λx2

(√x

λ t−√

λ tx

)2

.



Ix =1√2π

e−(λ−µ)xJx (7)

Jx =∫

∞

0

x√t3

e− λx

2

(√λtx −√ x

λt

)2

dt.

Fazendo a mudança t = x2/(λ 2s) obtemos√λ t/x =

√x/λ s e

√x/λ t =

√λ s/x

Logo

Jx =∫

∞

0

xλ 3√

s3

x3 e− λx

2

(√λsx −√ x

λs

)2

x2

λ 2s2 ds

=∫

∞

0

λ√se− λx

2

(√λsx −√ x

λs

)2

ds.



Combinado os resultados anteriores obtemos

Jx =∫

∞

0e− λx

2

(√λtx −√ x

λt

)2

12

(x√t3

+λ√t

)dt.

Note que

u =

√λ tx−√

xλ t

(8)

satisfaz

du =12

(√λ

xt+

√x

λ t3

)=

1√λx

12

(λ√t

+x√t3

)dt.

Como para cada u ∈ (0,∞) há um x ∈ (0,1) e outro x ∈ (1,∞) quesatisfaz (8) (ou seja a relação u× x é um para dois),

Jx = 2∫

∞

0e−

λx2 u2√

λxdu =√2π. (9)



Combinado as equações (7)–(9) obtemos (6), ou seja,

Ix = e−(√

µ2+2ρ−µ

)x.

c.q.d.



Voltando aos stops:

E(G ) =1σ

(p0 + x)e−(√

µ2+2r−µ

)x.

Derivando em x e igualando a 0 obtemos

1σ

(1− (p0 + x)

(√µ

2 +2r −µ

))e−(√

µ2+2r−µ

)x

= 0

ex∗ =

1√µ

2 +2r −µ

−p0.



Em termos absolutos,

x∗ =σ2√

µ2 +2rσ2−µ−p0 =

√µ2 +2rσ2 + µ

2r−p0.

Ou ainda, se escrevermos σ = σp0 e µ = µp0,

x∗ =

(√µ2 +2r σ2 + µ

2r−1

)p0.

Note que x∗ > 0 se e só se√µ2 +2r σ2 > 2r − µ

o que é equivalente aσ

2 > 2(r − µ) .



Temos portanto duas possibilidades (quando p0 > 0):

Se σ2 ≤ 2(r − µ) então devemos stopar imediatamente, pois ataxa de desconto é muito alta em relação aos demaisparâmetros.

Caso contrário devemos parar assim que o preço atingir o valor

p0 + x∗ =

√µ2 +2r σ2 + µ

2rp0 > p0.



Petrobrás em 27/04/2011

r = ln( Selic ) = ln( 1.12 )≈ 0.113329.

σ = 0.28 (volatilidade nos últimos 12 meses).

Cenário 1: µ = 0.07.

0.282 = 0.0784< 0.0866574≈ 2(0.113329−0.7) .

Devemos estopar imediatamente.

Cenário 2: µ = 0.08,

0.282 = 0.0784> 0.0666574 = 2× (0.113329−0.8)

Devemos estopar quando o preço atingir√µ2 +2r σ2 + µ

2rp0 = 1.03887p0,

ou seja, após um aumento de ≈ 3.9%.



Moral da história:

Quando tomamos o limite δ t→ 0 de modo apropriado podemosanalisar completamente o problema do stop superior.

Neste caso a evolução dos preços converge para o processo

pt = µt + σBt

onde o processo Bt é chamado de Movimento Browniano, que é olimite que obtemos ao tomar p = q = 1/2 e ticks da forma t/

√n

(ou seja, se exigirmos que B1 tenha variância 1.)



O processopt = µt + σBt (10)

é parte de uma família mais geral, descrita pelas equaçõesdiferenciais estocásticas

dp = µ(pt)dt + σ(pt)dBt . (11)

Note que o processo (10) corresponde ao caso nos quais as funçõesµ e σ em (11) são constantes.



Da mesma forma que analisamos quando um dado stop para oprocesso

pt = µt + σBt

é acionado, podemos analisar os stops para os processos mais geraisdescritos por

dp = µ(pt)dt + σ(pt)dBt .

Para isto precisamos antes formalizar dois conceitosFiltração.Tempo de parada (stopping time).



σ -algebras representam informação.

Filtrações modelam a evolução desta informação.

Mais formalmente, dizemos que uma família {ℱt , t ≥ 0} deσ -algebras é uma filtração de um espaço de probabilidade(Ω,ℱ ,P) se ℱt ⊂ℱ para todo t e t < s ⇒ℱt ⊂ℱs .

Analogia: Ω = {{ω1,ω2, . . . ,ωN },ωi ∈ ±1}.

ℱk = { subconjuntos de Ω definidos a partir das

k primeiras coordenadas } . (12)



Dados um espaço de probabilidade (Ω,ℱ ,P) e uma filtração{ℱt , t ≥ 0}, dizemos que uma variável aleatória τ : Ω 7→ [0,+∞] éum tempo de parada com respeito a {ℱt , t ≥ 0} se para todot ≥ 0 o conjunto

{ω ∈ Ω com τ(ω)≤ t }

pertence a ℱt .

Em outras palavras, τ é um tempo de parada com respeito a{ℱt , t ≥ 0} se para todo t a informação fornecida por ℱt nospermite determinar, para todo ω ∈ Ω, se τ(ω)≤ t ou não.



Todas regras razoáveis para stop são tempos de parada pois:

Estas regras precisam ser calculáveis por procedimentosrelativamente simples. Isto quer dizer que elas devem servariáveis aleatórias.

Ao aplicarmos a regra em um certo instante t devemos usarapenas as informações disponíveis até aquele instante, semconsiderar possíveis informações que receberemos no futuro.Isto que dizer que devemos decidir se τ(ω)≤ t considerandoapenas a informação disponível no instante t, ou seja, devemoster {τ ≤ t } ⊂ ℱt .



A fórmula de Dynkin.

E(e−rτ f (pτ )

)= f (p0) +E

(∫τ

0e−rt ((G−r) f )(pt)dt

).

pt é um processo estocástico que satisfaz

dp = µ(pt)dt + σ(pt)dBt .

τ é um tempo de parada com respeito a filtração dada por Bt ,G é o operador definido como

Gf (x) =σ(x)2

2f ′′(x) + µ(x) f ′(x)

f é uma função com derivadas segundas contínuas e

lim∣x ∣→∞

∣f (x)∣+∣∣f ′(x)

∣∣+ ∣∣f ′′(x)∣∣= 0.



Aplicando a fórmula de Dynkin: Se

((G−r) f )(x) =σ(x)2

2f ′′(x) + µ(x) f ′(x)− rf (x) = 0 (13)

então

E(e−rτ f (pτ )

)= f (p0) +E

(∫τ

0e−rt ((G−r) f )(pt)dt

)= f (p0) .

Se σ e µ são constantes então (13) tem soluções da formaAeαx +Beβx com µ = 2µ/σ2, r = 2r/σ2 e

α =− µ +√

µ2 +4r2

e β =

√µ2 +4r − µ

2.

Como α < 0, limx→−∞ exα = ∞. Por isto, para calcular stopssuperiores devemos tomar A = 0. Dai obtemos a solução anterior:Beβx .


mac 5796. aula 9walterfm/cursos/mac5796/aula9.pdf · stops para o passeio aleatório mac 5796. aula...

Documents