ma12 unidade 5 - im.ufrj.br · progressões aritméticas unidade 5 o aumento constante de cada...
TRANSCRIPT
5
1
Progressões Aritméticas
Sumário
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2 Primeiros Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.3 Soma dos Termos de uma PA . . . . . . . . . . . . 6
5.4 Somas Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.5 Exercícios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.6 Exercícios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.7 Textos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Unidade 5 Introdução
5.1 Introdução
As Progressões Aritméticas (PA) constituem-se na família mais simples de
sequências de�nidas recorrentemente. Elas são comuns na vida real e sempre
aparecem quando se apresentam grandezas que sofrem variações iguais em in-
tervalos de tempos iguais como, por exemplo, no cálculo de juros simples, ou
desvalorização de um bem ao longo do tempo.
Nessa unidade, você encontrará também a fórmula que fornece a soma dos
n primeiros termos de uma PA, fórmula que generaliza a que foi descoberta por
Gauss, quando menino, conforme vimos na Unidade 3.
Em seguida, são de�nidas generalizações do conceito de PA, introduzindo
as PAs de segunda ordem, terceira ordem, etc. Esse tópico, em geral, não
é explorado no Ensino Médio, mas coloca à disposição do professor métodos
poderosos para calcular somas.
5.2 Primeiros Exemplos
São comuns na vida real, grandezas que sofrem variações iguais em inter-
valos de tempos iguais. Vejamos algumas situações concretas.
Exemplo 1 Uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em janeiro e aumen-
tou mensalmente sua produção de 30 veículos. Quantos veículos produziu em
junho?
Solução Os valores da produção mensal, a partir de janeiro, são 400, 430, 490,
520, 550, . . . . Em junho, a fábrica produziu 550 veículos.
Poderíamos ter evitado escrever a produção mês a mês, racionando do modo
a seguir. Se a produção aumenta de 30 veículos por mês, em 5 meses ela
aumenta 5×30 = 150 veículos. Em junho, a fábrica produziu 400 + 150 = 550
veículos.
Progressões aritméticas são sequências nas quais o aumento de cada termo
para o seguinte é sempre o mesmo.
A sequência (400, 430, 460, 490, 520, 550, . . .) é um exemplo de uma pro-
gressão aritmética.
2
Unidade 5Progressões Aritméticas
O aumento constante de cada termo para o seguinte é chamado de razão
de progressão. A razão da progressão acima é igual a 30.
Vamos à de�nição formal.
Definição 1Uma progressão aritmética é uma sequência na qual a diferença entre cada
termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de
razão da progressão e representada pela letra r.
Exemplo 2As sequências (5, 8, 11, 14, . . .) e (7, 5, 3, 1, . . .) são progressões aritméticas
cujas razões valem respectivamente 3 e −2.
Em uma progressão aritmética (a1, a2, a3, . . .), para avançar um termo,
basta somar a razão; para avançar dois termos, basta somar duas vezes a razão,
e assim por diante. Assim, por exemplo, a13 = a5 + 8r, pois, ao passar de a5
para a13, avançamos 8 termos; a12 = a7 + 5r, pois avançamos 5 termos ao
passar de a7 para a12; a4 = a17 − 13r, pois retrocedemos 13 termos ao passar
de a17 para a4 e, de modo geral,
an = a1 + (n− 1)r,
pois, ao passar de a1 para an, avançamos n− 1 termos.
Exemplo 3Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo
vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?
Solução a20 = a5 + 15r, pois ao passar do quinto termo para o vigésimo,
avançamos 15 termos. Logo, 50 = 30 + 15r e r =4
3. Analogamente, a8 =
a5 + 3r = 30 + 3.4
3= 34. O oitavo termo vale 34.
Exemplo 4Qual é a razão da progressão aritmética que se obtém inserindo 10 termos
entre os números 3 e 25?
Solução. Temos a1 = 3 e a12 = 25. Como a12 = a1+11r, temos 25 = 3+11r.
Daí, r = 2.
3
Unidade 5 Primeiros Exemplos
Exemplo 5 O cometa Halley visita a Terra a cada 76 anos. Sua última passagem por
aqui foi em 1986. Quantas vezes ele visitou a Terra desde o nascimento de
Cristo? Em que ano foi sua primeira passagem na era cristã?
Solução Os anos de passagem do cometa foram 1986, 1910, 1834,... e formam
uma progressão aritmética de razão −76. O termo de ordem n dessa progressão
é an = a1 + (n − 1)r, isto é, an = 1986 − 76(n − 1) = 2062 − 76n. Temos
an > 0 quando n <2062
76= 27, 13 . . . . Portanto, os termos positivos dessa
progressão são os 27 primeiros, a1, a2, a3, . . . , a27. Logo, ele nos visitou 27
vezes na era cristã e sua primeira passagem na era cristão foi no ano a27 =
2062− 76× 27 = 10.
Poderíamos também ter resolvido o problema aproveitando o fato dos termos
dessa progressão serem inteiros.
Em uma progressão aritmética de termos inteiros e razão não-nula, todos os
termos dão o mesmo resto quando divididos pelo módulo da razão. Como 1986
dividido por 76 dá resto 10, todos os anos em que o cometa por aqui passou
dão resto 10 quando divididos por 76. A primeira visita ocorreu entre os anos
1 e 76, inclusive. Entre esses anos, o único que dividido por 76 dá resto 10 é o
ano 10. Para descobrir a ordem desse termo, usamos an = a1 + (n− 1)r, isto
é, 10 = 1986− 76(n− 1). Daí,
n =2062
76= 27.
Muitas vezes é conveniente enumerar os termos de uma progressão aritmé-
tica a partir de zero, conforme mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 6O preço de um carro novo é de R$ 15 000,00 e diminui de R$1 000,00 a
cada ano de uso. Qual será o preço com 4 anos de uso?
Solução Chamando o preço com n anos de uso de an, temos a0 = 15000 e
queremos calcular a4. Como a desvalorização anual é constante, (an) é uma
progressão aritmética. Logo, a4 = a0 + 4r = 15000 + 4 × (−1000) = 11000.
O preço será de R$11 000,00.
4
Unidade 5Progressões Aritméticas
Exemplo 7Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética
crescente. Mostre que a razão dessa progressão é igual ao raio do círculo
inscrito.
Solução. Chamemos os lados do triângulo de x− r, x, x + r. Esse é um bom
truque para facilitar as contas; ao representar uma progressão aritmética com
um número ímpar de termos, começar pelo termo central.
Como a progressão é crescente, a hipotenusa é o último termo. Pelo Teo-
rema de Pitágoras, (x + r)2 = (x − r)2 + x2. Daí, x2 = 4rx e, já que x 6= 0
pois x é um dos catetos, x = 4r. Os lados são então 3r, 4r e 5r. O perímetro
é 2p = 3r + 4r + 5r = 12r e a área éS
p=
6r2
6r= r.
Exemplo 8Determine 4 números em progressão aritmética crescente, conhecendo sua
soma 8 e a soma de seus quadrados 36.
Solução Um bom truque, para representar progressões aritméticas com um
número par de termos, é chamar os dois termos centrais de x− y e x+ y. Isso
faz com que a razão seja (x + y)− (x− y) = 2y.
A progressão é então x− 3y, x− y, x + y, x + 3y.
Temos {(x− 3y) + (x− y) + (x + y) + (x + 3y) = 8
(x− 3y)2 + (x− y)2 + (x + y)2 + (x + 3y)2 = 36{4x = 8
4x2 + 20y2 = 36{x = 2
y = ±1
Como a progressão é crescente, y > 0. Logo, x = 2 e y = 1. Os números são
−1, 1, 3, 5.
Em uma progressão aritmética, o termo geral é dado por um polinômio em
n, an = a1 + (n − 1)r = r . n + (a1 − r). Se r 6= 0, ou seja, se a progressão
não for estacionária (constante), esse polinômio é de grau 1. Se r = 0, isto é,
se a progressão for estacionária, esse polinômio é de grau menor que 1.
5
Unidade 5 Soma dos Termos de uma PA
Por esse motivo, as progressões aritméticas de razão r 6= 0 são chamadas
de progressões aritméticas de primeira ordem.
Reciprocamente, se em uma sequência o termo de ordem n for dado por
um polinômio em n, de grau menor que ou igual a 1, ela será uma progressão
aritmética. Com efeito, se xn = an + b, (xn) é uma progressão aritmética na
qual a = r e b = a1 − r, ou seja, r = a e a1 = a + b.
Como em uma progressão aritmética an = a0 + nr, a função que associa a
cada natural n o valor de an é simplesmente a restrição aos naturais da função
a�m a(x) = a(0) + rx.
Portanto, pensando em uma progressão aritmética como uma função que
associa a cada número natural n o valor an, o grá�co dessa função é formado
por uma sequência de pontos colineares no plano.
Em outras palavras, (an) é uma progressão aritmética se e somente se os
pontos do plano que têm coordenadas (1, a1), (2, a2), (3, a3), etc. estão em
linha reta.
Figura 5.1: Grá�co de uma PA
5.3 Soma dos Termos de uma PA
Baseados na ideia de Gauss, usada para calcular a soma 1 + 2 + · · ·+ 100,
podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética
qualquer.
6
Unidade 5Progressões Aritméticas
Teorema 2A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (a1, a2, a3, ...) é
Sn =(a1 + an)n
2.
DemonstraçãoTemos Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an e, escrevendo a soma de trás
para frente, Sn = an + an−1 + an−2 + · · ·+ a2 + a1. Daí,
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + (a3 + an−2) + · · ·+ (an−1 + a2) + (an + a1).
Observe que, ao passar de um parêntese para o seguinte, a primeira parcela
aumenta de r e a segunda parcela diminui de r, o que não altera a soma.
Portanto, todos os parênteses são iguais ao primeiro, (a1 + an). Como são n
parênteses, temos
2Sn = (a1 + an) . n e Sn =(a1 + an)n
2.
Exemplo 9Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética
2, 6, 10, . . . ?
Solução a20 = a1 + 19r = 2 + 19× 4 = 78.
S20 =(2 + 78)20
2= 800.
Exemplo 10A soma dos n primeiros números inteiros e positivos é
n∑k=1
k = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)
2.
Observe que Sn, no exemplo anterior, é um polinômio do segundo grau em
n, sem termo independente.
7
Unidade 5 Soma dos Termos de uma PA
Exemplo 11 A soma dos n primeiros números ímpares é
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) =(1 + 2n− 1)n
2= n2.
Observe que Sn, no exemplo anterior, é também um polinômio do segundo
grau em n, sem termo independente. Isto se generaliza como segue.
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é
Sn =(a1 + an)n
2=
[a1 + a1 + (n− 1)r]n
2=
r
2n2 +
(a1 −
r
2
)n.
Observe que, se r 6= 0, então Sn é um polinômio do segundo grau em n,
desprovido de termo independente. Se r = 0, Sn é um polinômio de grau
menor que 2, sem termo independente.
Reciprocamente, todo polinômio do segundo grau em n, desprovido de termo
independente, é o valor da soma dos n primeiros termos de alguma progressão
aritmética. Com efeito P (n) = an2 + bn é a soma dos n primeiros termos da
progressão aritmética na qualr
2= a e a1−
r
2= b, ou seja, r = 2a e a1 = a+b.
Definição 3 De�ne-se para sequências o operador ∆, chamado de operador diferença,
por ∆an = an+1 − an.
Portanto, da de�nição segue imediatamente que uma sequência (an) é uma
progressão aritmética se e somente se (∆an) = (an+1 − an) é constante.
Definição 4 Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência (an) na qual
as diferenças ∆an = an+1 − an, entre cada termo e o termo anterior, formam
uma progressão aritmética não-estacionária.
Exemplo 12 A sequência (an) = (1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .) é uma progressão aritmética de
segunda ordem porque a sequência das diferenças entre cada termo e o anterior,
(bn) = (∆an) = (an+1 − an) = (2, 3, 4, 5, 6, . . .)
é uma progressão aritmética não-estacionária.
8
Unidade 5Progressões Aritméticas
+ Para Saber Mais - PAs de Ordem Superior - Clique para ler
5.4 Somas Polinomiais
A pergunta que nos colocamos é como calcular somas do tipo∑n
k=1 P (k),
onde P (k) é um polinômio em k.
Se o polinômio é P (k) = a0 + a1k + a2k2 + · · ·+ amk
m, temos que∑nk=1 P (k) =
∑nk=1 a0 +
∑nk=1 a1k +
∑nk=1 a2k
2 + · · ·+∑n
k=1 amkm
= a0∑n
k=1 1 + a1∑n
k=1 k + a2∑n
k=1 k2 + · · ·+ am
∑nk=1 k
m,
que pode ser calculado desde que saibamos calcular, para p ∈ N, somas do tipo:
n∑k=1
kp = 1p + 2p + · · ·+ np.
Exemplo 13A soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros e positivos é
12 + 22 + · · ·+ n2 =n∑
k=1
k2
e pode ser calculada do modo a seguir:
n∑k=1
(k + 1)3 =n∑
k=1
k3 + 3n∑
k=1
k2 + 3n∑
k=1
k +n∑
k=1
1.
Os dois primeiros somatórios têm várias parcelas comuns, pois
n∑k=1
(k + 1)3 = 23 + 33 + · · ·+ n3 + (n + 1)3
en∑
k=1
k3 = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3.
Simpli�cando as parcelas comuns aos dois membros, obtemos
(n + 1)3 = 13 + 3n∑
k=1
k2 + 3n∑
k=1
k +n∑
k=1
1.
9
Unidade 5 Somas Polinomiais
Comon∑
k=1
k = 1 + 2 + · · ·+ n =n(n + 1)
2
en∑
k=1
1 = 1 + 1 + · · ·+ 1 = n,
temos
(n + 1)3 = 13 + 3n∑
k=1
k2 + 3n(n + 1)
2+ n.
Daí,n∑
k=1
k2 =2n3 + 3n2 + n
6=
n(n + 1)(2n + 1)
6.
Observe que 12 + 22 + · · · + n2 =n∑
k=1
k2 é um polinômio do terceiro grau
em n.
Exemplo 14 Sabendo que
12 + 22 + · · ·+ n2 =n∑
k=1
k2
é um polinômio do terceiro grau em n, poderíamos ter determinado o valor de
p(n) = 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2
pondo p(n) = an3 + bn2 + cn + d. Assim, temos
p(1) = 12, p(2) = 12 + 22, p(3) = 12 + 22 + 32 e p(4) = 12 + 22 + 32 + 42.
Obtemos o sistema de equaçõesa + b + c + d = 1
8a + 4b + 2c + d = 5
27a + 9b + 3c + d = 14
64a + 16b + 4c + d = 30
Resolvendo, encontramos a =1
3, b =
1
2, c =
1
6, d = 0. Então
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =1
3n3 +
1
2n2 +
1
6n =
n(n + 1)(2n + 1)
6.
10
Unidade 5Progressões Aritméticas
Os teoremas a seguir generalizam os últimos exemplos.
Teorema 51p + 2p + 3p + · · ·+ np =n∑
k=1
kp é um polinômio de grau p + 1 em n.
DemonstraçãoVamos proceder por indução sobre p. Para p = 1, o teorema já foi provado
anteriormente.
Suponhamos agora quen∑
k=1
kp seja um polinômio de grau p + 1 em n,
para todo p ∈ {1, 2, . . . , s}, Mostraremos que essa a�rmação é verdadeira para
p = s + 1, isto é, mostraremos quen∑
k=1
ks+1 é um polinômio de grau s + 2 em
n. Observe que
(k + 1)s+2 = ks+2 + (s + 2)ks+1 + · · · ,
onde os termos que não foram escritos explicitamente formam um polinômio de
grau s em k. Temos então,
n∑k=1
(k + 1)s+2 =n∑
k=1
ks+2 + (s + 2)n∑
k=1
ks+1 + F (n),
onde F (n) é um polinômio de grau s + 1 em n, pela hipótese da indução.
Simpli�cando os termos comuns aos dois primeiros somatórios, obtemos
(n + 1)s+2 = 1 + (s + 2)n∑
k=1
ks+1 + F (n).
Daí,n∑
k=1
ks+1 =(n + 1)s+2 − 1− F (n)
s + 2
que é um polinômio de grau s + 2 em n.
11
Unidade 5 Somas Polinomiais
Corolário 6 Se F é um polinômio de grau p entãon∑
k=1
F (k) é um polinômio de grau
p + 1 em n.
Exemplo 15
Vamos calcular Sn =n∑
k=1
k(k+2). Pelo corolário, sabemos que o valor dessa
soma é um polinõmio do terceiro grau em n. Então Sn = an3 + bn2 + cn + d.
Atribuindo a n os valores 1, 2, 3 e 4 obtemos as equaçõesa + b + c + d = 3
8a + 4b + 2c + d = 11
27a + 9b + 3c + d = 26
64a + 16b + 4c + d = 50
Resolvendo, encontramos a =1
3, b =
3
2, c =
7
6, d = 0. Então,
Sn =1
3n3 +
3
2n2 +
7
6n =
2n3 + 9n2 + 7n
6=
n(n + 1)(2n + 7)
6.
+ Para Saber Mais - PA com Termo Geral Polinomial - Clique para ler
O exemplo a seguir é conhecido como Teorema Fundamental da Somação
e fornece uma técnica bastante e�ciente para o cálculo de somas.
Exemplo 16
Mostre quen∑
k=1
∆ak = an+1 − a1.
Solução
n∑k=1
∆ak = ∆a1 + ∆a2 + ∆a3 + · · ·+ ∆an−1 + ∆an =
(a2 − a1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + · · ·+ (an − an−1) + (an+1 − an) =
an+1 − a1.
12
Unidade 5Progressões Aritméticas
Exemplo 17
Calculen∑
k=1
k(k + 1)
Solução Determinaremos ak tal que ∆ak = k(k + 1) = k2 + k. Como(∆ak) é
uma progressão aritmética de segunda ordem, (ak) é uma progressão aritmética
de terceira ordem. Logo, ak é um polinômio de terceiro grau. Se
ak = ak3 + bk2 + ck + d,
∆ak = ak+1 − ak
= a(k + 1)3 + b(k + 1)2 + c(k + 1) + d− [ak3 + bk2 + ck + d]
= 3ak2 + (3a + 2b)k + (a + b + c) = k2 + k.
Devemos ter 3a = 1, 3a + 2b = 1, a + b + c = 0. Daí, a =1
3, b = 0, c = −1
3
e d é arbitrário. Logo, ak =1
3k3 − 1
3k + d.
n∑k=1
k(k + 1) =n∑
k=1
∆ak = an+1 − a1
=(n + 1)3 − (n + 1)
3+ d− d =
n(n + 1)(n + 2)
3.
13
Unidade 5 Exercícios Recomendados
5.5 Exercícios Recomendados
1. Formam-se n triângulos com palitos, conforme a �gura. Qual o número
de palitos usados para construir n triângulos?
Figura 5.2:
2. Calcule a soma de todos os inteiros que divididos por 11 dão resto 7 e
estão compreendidos entre 200 e 400.
3. Quanto vale o produto (a)(aq)(aq2)(aq3) . . . (aqn−1)?
4. Um quadrado mágico de ordem n é uma matriz n × n, cujos elementos
são os inteiros 1, 2, . . . , n2, sem repetir nenhum, tal que todas as linhas
e todas as colunas têm a mesma soma. O valor dessa soma é chamado
de constante mágica. Por exemplo, os quadrados
1 5 9
8 3 4
6 7 2
8 1 6
3 5 7
4 9 2
e
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
são mágicos, com constantes mágicas respectivamente iguais a 15, 15
e 65. Aliás, os dois últimos são hipermágicos, pois as linhas, colunas e
também as diagonais têm a mesma soma. Calcule a constante mágica de
um quadrado mágico de ordem n.
5. Suprimindo um dos elementos do conjunto {1, 2, . . . , n}, a média aritmé-
tica dos elementos restantes é 16,1. Determine o valor de n e qual foi o
elemento suprimido.
14
Unidade 5Progressões Aritméticas
6. Um bem, cujo valor hoje é de R$ 8000,00, desvaloriza-se de tal forma
que seu valor daqui a 4 anos será de R$ 2000,00. Supondo que o valor
do bem cai segundo uma linha reta, determine o valor do bem daqui a 3
anos.
7. Prove que a soma de todos os inteiros positivos de n dígitos, n > 2, é
igual ao número 49499...95500...0, no qual há n− 3 dígitos sublinhados
que são iguais a 9 e n− 2 dígitos sublinhados que são iguais a 0.
8. Considere um jogo entre duas pessoas com as seguintes regras:
i) Na primeira jogada, o primeiro jogador escolhe um número no conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e diz esse número.
ii) As pessoas jogam alternadamente.
iii) Cada pessoa ao jogar escolhe um elemento de A, soma-o ao número
dito pela pessoa anterior e diz a soma.
iv) Ganha quem disser 63.
Qual dos jogadores tem uma estratégia vencedora e qual é essa estratégia?
9. Na primeira fase do campeonato brasileiro de futebol, que é disputado por
24 clubes, quaisquer dois times jogam entre si uma única vez. Quantos
jogos há?
10. Qual o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano?
11. Há dois tipos de anos bissextos: os que são múltiplos de 4 mas não de
100 e os que são múltiplos de 400.
(a) Quantos são os anos bissextos entre 1997 e 2401?
(b) Se 1o de janeiro de 1997 foi quarta-feira, que dia será 1o de janeiro
de 2500?
(c) Escolhido um ano ao acaso, qual a probabilidade dele ser bissexto?
12. O número triangular Tn é de�nido como a soma dos n primeiros ter-
mos da progressão aritmética 1, 2, 3, 4, . . .. O número quadrangular Qn
é de�nido como a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética
15
Unidade 5 Exercícios Suplementares
1, 3, 5, 7, . . .. Analogamente são de�nidos números pentagonais, hexago-
nais, etc. A �gura abaixo justi�ca essa denominação.
Determine o número j-gonal de ordem n.
Figura 5.3:
13. Mostre que ∆ak = ∆bk então ak − bk é constante.
14. Use o teorema fundamental da somação para calcular:
(a)n∑
k=1
3k.
(b)n∑
k=1
k . k!.
(c)n∑
k=1
1
k(k + 1).
5.6 Exercícios Suplementares
1. Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em progressão arit-
mética. Determine o ângulo mediano.
2. Se 3 − x, −x,√
9− x, . . . é uma progressão aritmética, determine x e
calcule o quinto termo.
3. Calcule a soma dos termos da progressão aritmética 2, 5, 8, 11,... desde
o 25o até o 41o termo, inclusive.
16
Unidade 5Progressões Aritméticas
4. Quantos são os inteiros, compreendidos entre 100 e 500, que não são
divisíveis nem por 2, nem por 3 e nem por 5? Quanto vale a soma desses
inteiros?
5. Determine o maior valor que pode ter a razão de uma progressão aritmé-
tica que admita os números 32, 227 e 942 como termos da progressão.
6. De quantos modos o número 100 pode ser representado como uma soma
de dois ou mais inteiros consecutivos? E como soma de dois ou mais
naturais consecutivos?
7. Os inteiros de 1 a 1000 são escritos ordenadamente em torno de um
círculo. Partindo de 1, riscamos os números de 15 em 15, isto é, riscamos
1, 16, 31,... O processo continua até se atingir um número já previamente
riscado. Quantos números sobram sem riscos?
8. Podem os números√
2,√
3,√
5 pertencer a uma mesma progressão
aritmética?
9. Um bem, cujo valor hoje é de R$ 8000,00, desvaloriza-se de tal forma
que seu valor daqui a 4 anos será de R$ 2000,00. Supondo constante a
desvalorização anual, qual será o valor do bem daqui a 3 anos?
10. Calcule a soma de todas as frações irredutíveis, da formap
72, que perten-
çam ao intervalo [4,7].
11. Qual a maior potência de 7 que divide 1000!?
12. Calcule o valor das somas dos n primeiros termos das sequências?
(a) 13, 23, 33, . . .
(b) 1 . 4, 3 . 7, 5 . 10, 7 . 13, . . .
13. Representando por bxc a parte inteira do real x, isto é, o maior número
inteiro que é menor que ou igual a x e por {x} o inteiro mais próximo do
real x, determine:
(a) b√
1c+ b√
2c+ b√
3c+ · · ·+ b√n2 − 1c.
(b) b 3√
1c+ b 3√
2c+ b 3√
3c+ · · ·+ b 3√n3 − 1c.
17
Unidade 5 Exercícios Suplementares
(c)1
{√
1}+
1
{√
2}+
1
{√
3}+ · · ·+ 1
{√
1000}.
(d) {√
1}+ {√
2}+ {√
3}+ · · ·+ {√
1000}.
14. Determine o primeiro termo e a razão da progressão aritmética na qual a
soma dos n primeiros termos é, para todo n:
(a) Sn = 2n2 + n
(b) Sn = n2 + n + 1
15. Determine no quadro abaixo:
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) o primeiro elemento da 31a linha.
(b) a soma dos elementos da 31a linha.
16. Refaça o Exercício Recomendado 8 para o caso do vencedor ser quem
disser 64.
17. Refaça o exercício anterior para o conjunto {3, 4, 5, 6}.
18. Mostre que no Exercício Recomendado 8, se o conjunto fosse A =
{3, 5, 6, 7}, o segundo jogador tem a estratégia que impede o primeiro
jogador de ganhar.
19. Uma bobina de papel tem raio interno 5cm, raio externo 10cm e a espes-
sura do papel é 0,01cm. Qual é o comprimento da bobina desenrolada?
20. Dividem-se os números naturais em blocos do modo seguinte:
(1), (2, 3) (4, 5, 6) (7, 8, 9, 10) (11.12.13.14) . . . . Em seguida suprimem-
se os blocos que contêm um número par de elementos, formando-se o
quadro:
18
Unidade 5Progressões Aritméticas
1
4 5 6
11 12 13 14 15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Determine:
(a) o primeiro elemento da linha k.
(b) o elemento central da linha k.
(c) a soma dos elementos da linha k.
(d) a soma dos elementos das k primeiras linhas.
21. Prove: se an é um polinômio de grau p então ∆an é um polinômio de
grau p− 1.
22. Prove o Corolário 6.
23. Quantos são os termos comuns às progressões aritméticas
(2, 5, 8, 11, . . . , 332) e (7, 12, 17, 22, . . . , 157)?
24. Benjamin começou a colecionar calendários em 1979. Hoje, sua coleção
já tem algumas duplicatas - por exemplo, o calendário de 1985 é igual ao
de 1991 - mas ainda não está completa.
(a) Em que ano Benjamim completará sua coleção?
(b) Quando a coleção estiver completa, quantos calendários diferentes
nela haverá?
25. A razão entre as somas dos n primeiros termos de duas progressões arit-
méticas é2n + 3
4n− 1, para todo valor de n. Quanto vale a razão entre seus
termos de ordem n?
19
Unidade 5 Textos Complementares
5.7 Textos Complementares
Para Saber Mais PAs de Ordem Superior
De modo geral, uma progressão aritmética de ordem k (k > 2) é uma
sequência na qual as diferenças entre cada termo e o termo anterior formam
uma progressão aritmética de ordem k − 1.
Exemplo A tabela abaixo mostra uma sequência (an) = (n3 − n) e suas
diferenças
(∆an), (∆2an) = (∆∆an), (∆3an) = (∆∆2an) etc...
n an ∆an ∆2an ∆3an
0 0 0 6 6
1 0 6 12 6
2 6 18 18 6
3 24 36 24 6
4 60 60 30 2
5 120 90 2
6 210 2
7 2
Se (∆an), como parece, for constante, (∆2an) será uma progressão aritmé-
tica, (∆an) será uma progressão aritmética de segunda ordem e (an) será uma
progressão aritmética de terceira ordem. Isso é verdade, pois
an = n3 − n
∆an = an+1 − an = (n + 1)3 − (n + 1)− [n3 − n] = 3n2 + 3n,
∆2an = 3(n + 1)2 + 3(n + 1)− [3n2 + 3n] = 6n + 6,
∆3an = 6(n + 1) + 6− [6n + 6] = 6
e ∆3an realmente é constante.
Observe que, nesse quadro, a soma de dois elementos lado a lado é igual
ao elemento que está embaixo do primeiro desses elementos. Isso nos permite
calcular os elementos que estão assinalados por 2 na tabela acima. Da direita
para a esquerda, eles são iguais a 6, 30 + 6 = 36, 90 + 36 = 126 e 210 + 126 =
336. Portanto, a7 = 336 e este foi o processo mais exótico que você já viu para
calcular a7 = 73 − 7.
20
Unidade 5Progressões Aritméticas
Proposição Toda sequência na qual o termo de ordem n é um polinômio
em n, do segundo grau, é uma progressão aritmética de segunda ordem e,
reciprocamente, se (an) é uma pregressão aritmética de segunda ordem então
(an) é um polinômio de segundo grau em n.
Demonstração Com efeito, se an = an2 + bn + c, com a 6= 0, temos
∆an = an+1−an = a(n+ 1)2 + b(n+ 1) + c− (an2 + bn+ c) = 2an+ (a+ b),
que é do primeiro grau em n. Pelo que comentamos acima, (∆an) é uma
progressão aritmética não-estacionária.
Por outro lado, se (an) é uma progressão aritmética de segunda ordem,
bn = ∆an = an+1 − an é uma progressão aritmética com razão diferente de
zero e
b1 + b2 + b3 + · · ·+ bn−2 + bn−1 =
(a2 − a1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + · · ·+ (an − an−1) + (an+1 − an) =
an+1 − a1
é um polinômio do segundo grau em n. Em consequência, an também é um
polinômio do segundo grau em n.
Observação O resultado anterior será generalizado mais adiante.
21
Unidade 5 Textos Complementares
Para Saber Mais PA com Termo Geral Polinomial
Com o corolário acima, podemos generalizar o teorema em [Para Saber
Mais: PAs de Ordem Superior], conforme foi prometido lá.
Teorema (an) é uma progressão aritmética de ordem p, (p > 2), se, e somente
se an é um polinômio de grau p em n.
Demonstração Vamos proceder por indução sobre p.
Para p = 2, o teorema foi provado em [Para Saber Mais: PAs de Ordem
Superior, Proposição].
Suponhamos que o teorema seja verdadeiro para todo p ∈ {2, 3, . . . , s}.Mostraremos que essa a�rmação é verdadeira para p = s + 1.
Se (an) é uma progressão aritmética de ordem s+1, bn = ∆an = an+1−an
é uma progressão aritmética de ordem s e, pela hipótese da indução, bn é um
polinômio de grau s em n. Entãon∑
k=1
bk = an+1 − a1 é, pelo corolário do
Teorema 5, um polinômio de grau s + 1 em n. Se an é um polinômio de grau
s + 1 em n, ∆an é um polinômio de grau s em n, conforme você facilmente
veri�cará. Pela hipótese da indução, (∆an) é uma progressão aritmética de
ordem s, ou seja, (an) é uma progressão aritmética de ordem s + 1.
22